线线、线面垂直的性质

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线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理-武威第三中学-邵志光

定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
推论:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
定理4:如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）
推论:如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。（判定定理推论2的逆定理）
线面平行判定及其性质
1、直线与平面平行的判定定理：
定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
定理2：平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。
2、判断直线与平面平行的方法:
（1）利用定义：证明直线与平面无公共点；
（2）利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；
（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
3、直线与平面平行的性质定理：
定理1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
定理2:一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。
线面垂直判定及其性质
（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
3、直线与平面平行的性质定理：
定理1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
定理2:一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。
线面垂直判定及其性质
定理3：如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。
2、面面平行的性质定理:
定理1:两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。

线面垂直、面面垂直的性质与判定定理

转化结论
CB
D β
E 证明：在平面β内过D作直线
A
DE ⊥AB
则CDE是二面角 - AB 的平面角
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D
所以直线CD⊥平面β
8
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
β
a l
A α
符号语言：
α
Aa
β
a⊥β
B
12
例3 , a , a ,判断a与位置关系
证明：设 I l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
β
I bbll Nhomakorabeab 又a
线面垂直
a // b 性质
b
a //
a
面面垂直性质 13
变式：
思考：已知平面，，直线a,且 , AB, a //, a AB,试判断直线a与平面的位置关系。
2、会利用“转化思想”解决垂直问题
面面关系
线面关系
线线关系
空间问题平面化面面平行
线面平行
线线平行
面面垂直
线面垂直
线线垂直
16
线l在平面α内，那么直线l与平面β的位
置关系有哪几种可能？
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
6
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？
α
β
7
证明问题：
已知：， AB,CD ,且CD AB. 求证：CD

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质

空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。

推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。

一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。

线面垂直的性质

2、判定定理 l m
ln
l
（m,
n
）
m n P
3、推论 a//b, a b
判断下列命题是否正确：
√ 1、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
×2、在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
√ 3、垂直于同一平面的两直线互相平行。 √ 4、垂直于同一直线的两平面互相平行。
a
b
α
符号语言：
a ，b a // b
例2.已知l ，l ，求证a//.
证明：设l =A，l =B
在内过点A取两条直线a和b l =A l与a确定一个平面 l
B l 且B
b
a
与相交，设 =c
A
l l a，同理l c
在平面中：l a，l c a//c 又a ，c a //，同理b //
3、推论
l ，l a//
理论迁移
例1 如图，已知 l,CA ,
于点A，CB 于点B，a , a AB,
求证：a // l .
C β
B
αlAa源自例2 PA 如图，已知 PA 矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点求证：（1）MN CD; （2）若 PDA 45，求证：MN 面PCD
P
A
M B
E N
D
C
例1.已知a ，b ，求证a//b.
证明：(反证法)
假设a与b不平行 b ，
a
设求b =O过点O作b//
a ，b
α
则过一点O有两条直线b与b
这与过一点有且只有一条直线
与已知平面垂直矛盾
可见假设不成立
a //b
b’ b
O

直线、平面垂直的判定及其性质

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。

【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

【性质】线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

【判定】面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

【性质】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

一、选择题1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】直线l与平面α内两条相交直线都垂直，是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件．【答案】 C2．空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( ) A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABDC．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED【解析】在等腰三角形ABC、ADC中，E为底边AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC.又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE，故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE.【答案】 D3．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得 ( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α【解析】当a，b异面时，A不成立；当a，b不平行时，C不成立；当a，b不垂直时，D不成立．故选B.【答案】 B4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直【解析】在平面α内有无数条彼此平行的直线与直线m垂直，与直线m垂直的直线可能与平面α平行，与直线m平行的平面可能与平面α垂直．故A，C，D错误．【答案】 B5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立．．．的是( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【解析】α⊥β，b⊂α，b不一定垂直于β.故C错误．【答案】 C6．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真 B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假 D．命题“綈p且綈q”为假【解析】命题p，命题q皆为假，所以命题C正确．【答案】 C7．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在的平面，那么( )A ．PA ＝PB >PCB ．PA ＝PB <PCC ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PB ≠PC【解析】 ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC .【答案】 C二、填空题8．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α.其中真命题的序号是________．【解析】由平面平行的传递性知①正确，由面面垂直的判定定理知③正确．【答案】 ①③9．P 为△ABC 所在平面外一点，AC ＝2a ，连接PA 、PB 、PC ，得△PAB 和△PBC 都是边长为a 的等边三角形，则平面ABC 和平面PAC 的位置关系为________．【解析】如图所示，由题意知PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝a ，取AC 中点D ，连接PD 、BD ，则PD ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠BDP 为二面角P －AC －B 的平面角，又∵AC ＝2a ，∴PD ＝BD ＝22a ，在△PBD 中，PB 2＝BD 2＋PD 2，∴∠PDB ＝90°.【答案】垂直10．(精选考题·四川高考)如图所示，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________________________________________________________________________．【解析】如图，过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由线面垂直关系可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，∴∠ADC ＝60°.连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34. 【答案】34 三、解答题11．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .【证明】 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC, ∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．【解析】 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PCD .∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥BC .(2)如图，连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°.从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC .又PD ＝DC ＝1，∴PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2.由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22.由V ＝13S △PBC h ＝13×22h ＝13，得h ＝ 2.因此点A 到平面PBC 的距离为 2.。

线面垂直、面面垂直的性质与判定定理

垂直体系
判定
判定
线线垂
线面垂直面面垂直
直
定义
性质
问题2 ,a ,a ,判断 a 与位置关系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已，知，平直 a,且面线 ,A,B
a//,aA,B 试判断 a与直平线的面位置关
α
Aa
β
a⊥β
B
例3 ,a ,a ,判断 a 与位置关系
∵BC 平面SBC
A
C
∴AD⊥BC
∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴SA⊥BC
“从已知想性质，从求证
∵SA∩AD=A，
想判定”这是证明几何问
∴BC⊥平面SAB
题的基本思维方法．
∵AB 平面ABC ∴AB⊥BC
课堂小结
1、证题原则注从已意知想辅性助质，线从求的证作想判用定
： 2、会利用“转化思想”解决垂直问题
A
DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角的平面
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D
所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号语言：
β
a
l
A α
a
l
a
a l
作用：面面垂直线面垂直
的位置关系有哪几种可能？
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？

线面垂直、面面垂直的性质与判定定理

α
发展条件
转化结论
CB
D β
E 证明：在平面β内过D作直线
A
DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角的平面
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D
所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
又a

a// b
b

性质
a //
a
面面垂直性质
变式：
思考：已，知，平直 a,且面线 ,A,B a/ / ,aA,B 试判断 a与直平的线面位置关
a⊥β
α
b
a
B
γ
证明：过a作平面γ 交于b，因为直线a//，所以a//b
： 2、会利用“转化思想”解决垂直问题
面面关系
线面关系
线线关系Βιβλιοθήκη 空间问题平面化面面平行线面平行
线线平行
面面垂直
线面垂直
线线垂直
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β 又因为a⊥AB，所以b⊥AB
A
又⊥β ，∩β =AB
辅助线（面）：
所以b⊥β
发展条件的使解题过程获得突破的
进而a⊥β
【课后自测】4、如图，已知SA⊥平面ABC，
平面SAB⊥平面SBC，求证：AB⊥BC
证明：过点A作AD⊥SB于D， ∵平面SAB⊥平面SBC，
S
平面SAB∩平面SBC=SB，
符号语言：
β

线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理

线面、面面平行和垂直的八年夜定理之迟辟智美创
作
一、线面平行.
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那
么这条直线与这个平面平行.符合暗示：
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 符号
暗示：
二、面面平行.
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.
符号暗示：
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，
那它们的交线平行. 符号暗示：（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平
面）
三、线面垂直.
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面. 符号暗示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a
＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
符号暗示：
2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行.（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线.）四、面面垂直.
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直.
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。

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§2.3.3 直线与平面垂直的性质
学习目标：
1. 理解和掌握直线与平面垂直的性质定理及其应用；
2. 了解反证法证题的思路和步骤；
3. 掌握平行与垂直关系的转化.
一、课前准备
（预习教材P70~ P71，找出疑惑之处）
复习1：①什么是二面角？什么是二面角的平面角？②当两个平面所成的二面角____________时，这两个平面互相垂直.
复习2：两个平面垂直的判定定理是____________
___________________________________________.
复习3：①垂直于同一直线的两条直线的位置关系是____________；②垂直于同一平面的两个平面的位置关系是___________.
二、新课导学
探究：直线与平面垂直的性质定理
问题1路边的电线杆，它们与地面的位置关系如何？你感觉它们之间的位置关系又是什么样的？
问题2：如图12-1，长方体的四条棱AA'、BB'、
CC'和DD'与底面ABCD是什么关系？它们之间又是什么关系？
.
图12-1
反思：由以上两个问题，你得出了什么结论？自己能试着证明吗？和其它同学讨论讨论，看看难在哪里？
典型例题
例1 如图12-2，已知直线a ⊥平面α，直线b ⊥平面α，求证：a ∥b .
图12-2
小结：由于无法直接运用平行直线的判定知识来证明a ∥b ,我们假设,a b 不平行,进而推出“经过直线上同一点有两条直线与该直线垂直”的错误结论，说明假设不正确，即原命题正确：a ∥b .这种证明命题的方法叫做“反证法”.
新知：直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.
反思：这个定理揭示了什么?
例2 判断下列命题是否正确，并说明理由.
⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；（） ⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；（） ⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；（） ⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；（） ⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（） ⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行. （）
小结：体会“平行”与“垂直”之间的转化.
动手试试
练1. 如图12-3，CA α⊥于点A ，CB β⊥于点B ， l αβ=，a α⊂，且a AB ⊥，求证：a ∥l .
图12-3
练2. 如图，AB 是异面直线,a b 的公垂线（与,a b 都垂直相交的直线），a α⊥，b β⊥，c αβ=，
求证：AB ∥c .
三、总结提升
1. 直线与平面垂直的性质定理及应用：
2. “平行”与“垂直”关系的相互转化.
知识拓展
设,a m 和l 是直线，,αβ是平面，则直线与平面垂直还有下列性质： (1)l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭； (2)//l m m l αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭ (3)//l l ααββ⊥⎫⎬⊥⎭
你能把它们用图形表示出来吗？
当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 下列四个命题中错误的是（）.
A.,a b a αα⊥⊥⇒∥b
B.,a a α⊥∥b b α⇒⊥
C.,a b α⊥∥,a b α⇒⊥
D.,a a b b α⊥⊥⇒∥α
2. 平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等，则正确的结论是（）. A.平面ABC 必平行于α B.平面ABC 必垂直于α
C.平面ABC 必与α相交
D.存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内 3. 已知平面α和平面β相交,a 是α内一条直线，则有（）. A.在β内必存在与a 平行的直线 B.在β内必存在与a 垂直的直线 C.在β内不存在与a 平行的直线
D.在β内不一定存在与a 垂直的直线
4. 直线a α⊥，直线b β⊥，且α∥β，则a ___b .
5. 设直线,a b 分别在正方体''''ABCD A B C D -中两个不同的平面内，欲使//a b ，,a b 应满足________________________.(至少写出2个不同答案)
课后作业
1. 已知aα
⊄，a b
⊥，求证：a∥α.
⊥，bα
2. (A班选作) 如图12-5，在三棱锥中，PA PB
⊥，若M是PC的中点，试确定AB
=，AB BC
上点N的位置，使得MN AB
⊥.
图12-5
§2.3.4平面与平面垂直的性质
学习目标
1. 理解和掌握两个平面垂直的性质定理及其应用；
2. 进一步理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化及转化的数学思想.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P 71~ P 72，找出疑惑之处）
复习1：直线与平面垂直的性质定理是___________ ___________________________________________.
复习2：直线与平面垂直的判定定理是___________ ___________________________________________.
复习3：两个平面垂直的定义是什么?
二、新课导学
探索新知
探究：平面与平面垂直的性质
问题1：如图13-1，黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？
图13-1
问题2：如图13-2，在长方体中，面AAD
D ''与面 ABCD 垂直，AD 是其交线，则直线AA '与AD 关系如何？直线AA '与面ABCD 呢？
图13-2
反思：以上两个问题有什么共性？你得出了什么结论？请用图形和符号语言把它描述在下面，并试着证明这个结论.
黑板地面
新知：平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
反思：这个定理实现了什么关系的转化?
典型例题
例1 如图13-3，已知平面,αβ，αβ⊥，直线a 满足a β⊥，a α⊄，求证：a ∥面α.
图13-3
例2 (A 班选作) 如图，四棱锥P ABCD -的底面是个矩形，
2,AB BC =PAB 是等边三角形，且侧面PAB 垂直于底面ABCD . ⑴证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ； ⑵求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角.
动手试试
练1. 平面α⊥平面β，P α∈，过点P 作平面β的垂线a ，求证：a α⊂.
练2. 如图13-5，平面α⊥平面β，AB αβ=， a ∥α，a AB ⊥，求证：a β⊥.
三、总结提升
学习小结
1. 两个平面垂直的性质定理及应用；可证明线面垂直、线线垂直、线在面内及求直二面角；
2. 判定定理和性质定理的交替运用，三种垂直关系的相互转化.
知识拓展
两个平面垂直的性质还有： ⑴如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线,必在这个平面内；
⑵如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面； ⑶三个两两垂直的平面，它们的交线也两两垂直. 你能试着用图形和符号语言描述它们吗?
当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 下列命题错误的是（）.
A.αβ⊥⇒α内所有直线都垂直于β
B.αβ⊥⇒α内一定存在直线平行于β
C.α不垂直β⇒α内不存在直线垂直β
D.α不垂直β⇒α内一定存在直线平行于β 2. 已知αβ⊥，下列命题正确个数有（）. ①αβ内的已知直线必垂直于内的任意直线 ②αβ内的已知直线必垂直于内的无数条直线 ③α内的任一直线必垂直于β
A.3
B.2
C.1
D.0
3. 已知αβ⊥，,a b αβ⊂⊂，b 是α的斜线，a ⊥b ，则a 与β的位置关系是（）. A.a ∥β B. a 与β相交不垂直 C. a β⊥ D.不能确定
4. 若平面αβ⊥平面，直线a α⊂，则a 与β的位置关系为_____________________.
5. 直线m 、n 和平面α、β满足m n ⊥，m α⊥, αβ⊥，则n 和β的位置关系为__________.
5. a b ⊥，且a ∥α，则直线b 和面α是（）. A.b α⊂ B.b 与α相交或b ∥α或b α⊂ C.b α⊄ D.b ∥α或b α⊂
6. 过平面外一点P ：①存在无数条直线与平面α平行②存在无数条直线与平面α垂直③仅有一条直线与平面α平行④仅有一条直线与平面α垂直；其中正确结论的个数是（）. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7. 下列说法错误的是（）.
A.过一点和一个平面垂直的平面有无数个
B.过一个平面的一条垂线的所有平面都与此平面垂直
C.过一个平面的一条斜线的平面与此平面不垂直
D.二面角的任意一个平面角所在平面垂直于此二面角的两个面
课后作业
1. 如图13-6，平面α⊥平面γ，βγ⊥平面平面， l αβ=，求证：l γ⊥.
图13-6
2. (A 班选作)如图13-7，,,CD CD AB αββ⊥⊂⊥，CE ,EF ⊂ α，90FEC ∠=°，求证：面EFD ⊥面DCE . F
图13-7
3. 如图14-5，2VA VB AC BC ====
，AB = 1VC =，求二面角V AB C --大小.
图14-5
4 (A 班选作)S 为ABC ∆所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC . 求证：AB BC ⊥.。