线面垂直的性质定理
线面垂直、面面垂直的判定与性质
本周知识小结：直线与平面垂直的判定和性质：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线例3、.(2012·广东高考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是CD上的点,且DF=21AB,PH为△PAD中AD边上的高.(1)证明:PH⊥平面ABCD.(2)若PH=1,AD= 2，FC=1,求三棱锥E-BCF的体积.(3)证明:EF⊥平面PAB.例4、（09一模东城）如图，ABCD是边长为2a的正方形，ABEF是矩形，且二面角C AB F--是直二面角，AF a=，G是EF的中点．（Ⅰ）求证：平面AGC⊥平面BGC；（Ⅱ）求GB与平面AGC所成角的大小；例5、（09年崇文一模）在直四棱柱1111ABCD A B C D-中，AB CD∥，1AB AD==，12D D CD==，AB AD⊥．（Ⅰ）求证：BC⊥平面1D DB；（Ⅱ）求1D B与平面11D DCC所成角的大小．例6、如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC角形，AB＝2，O是AB中点．(1)在棱PA上求一点M，使得OM∥平面PBC；(2)求证：平面PAB⊥平面ABC.课后练习：B1、若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积的( )A.倍B.2倍C.倍D.倍2、(2013·惠州高一检测)某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为5的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为5的等腰三角形.则该几何体的体积为( )A.24B.80C.64D.2403、(2013·宿州高一检测)如图,四边形BCC1B1是圆柱的轴截面.AA1是圆柱的一条母线,已知AB=2,AC=2,AA1=3.(1)求证:AC⊥BA1.(2)求圆柱的侧面积4、如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PA=a,PB=PD=a,则PC=5、对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( )A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β6、(2012·上海高考)一个高为2的圆柱,底面周长为2π,则该圆柱的表面积为.。
线面垂直、面面垂直的性质定理
注意辅助线的作用
空间问题平面化
面面垂直
线面垂直 线线垂直
作业： 把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面， 另一条直角边AC与桌面所在的平面 垂直，a是 内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与 a垂直？ 课本p73 A组2,5 B组4 课时作业
α l α l α l β β β
平行
相交
线在面内
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？ 若存在，怎样画线？
α
β
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
β a
符号语言：
l
α A
作用： 面面垂直线面垂直
(1)长方体ABCD A' B 'C ' D '中, 棱AA' , BB ' , CC , DD 所在直线与平面ABCD的位置关
' '
系怎样?它们之间又具有什么位置关系?
D'
C'
B'
A& , b , 那么直线a, b一定 平行吗?
a b
α
线面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言： a
PA
(3)过一点有多少条直线与已知平面 垂直? 只有一条.
P
β
a
解:无论P在α内或α外，设PA⊥α.
α
A B
A
B
P
β
a
α
若另有直线 PB⊥α， 记PA、 PB确定的平面为β，且α∩β＝ a， 则，在平面β内过点P有两条直 线同垂直于直线a，这是不可能 的。
线面垂直面面垂直的性质定理PPT课件
线面、面面垂直 的性质定理
复习回顾
1. 线面垂直判定：一条直线和一个平面内的 两条相交直线都垂直.
2. 面面垂直判定：一个平面经过另一个平 面的垂线.
β
l ,l
l α
3.线面角：
P
α
ALeabharlann B4.面面角：β B
lO
A
[0 ,90 ]
α [0 ,180 ]
新课导入: 问题1：如果直线a，b都垂直于同一条平 面，那么直线a，b的位置关系如何？
问题2：一个平面的垂线有多少条？这些 直线彼此之间具有什么位置关系？
新课讲授： 线面垂直的性质2
垂直于同一个平面的两条直线平
行。符号语言：
a
a
b
b
a
//
b
a b
// a
b
线面垂
线线平
练习：如：已知 l,CA , 于
点A，CB 于点B，a , a AB,
求证：a // l . C β
（ ×）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β
（ ×）
√ (3)在平面α内作交线的垂线，则此垂线必垂
直于平面β（ ）
2.如图，P是 ABC所在的平面外一点， 且PA 面ABC，面PAC 面PBC 求证：BC AC
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理ppt课件
a⊥β α
b
a
B
γ
证明：过a作平面γ交于b， 因为直线a//，所以a//b
β 又因为a⊥AB，所以b⊥AB
A
又⊥β，∩β=AB
辅助线（面）：
所以b⊥β
发展条件的使解题过 程获得突破的
进而a⊥β
【课后自测】4、如图，已知SA⊥平面ABC，
平面SAB⊥平面SBC，求证：AB⊥BC
证明：过点A作AD⊥SB于D， ∵平面SAB⊥平面SBC，
直线l在平面α内，那么直线l与平面β
的位置关系有哪几种可能？
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？ 若存在，怎样画线？
α
β
证明问题：
已知： ， A , C B , 且 D C A . 求D 证：B CD
β
a
l
A α
a
l
a
a l
作用： 面面垂直线面垂直
垂直体系
判定
判定
线线垂直
线面垂直 面面垂直
定义
性质
问题2 , a , a , 判 断 a 与 位 置 关 系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已 ， ， 知直 平 a,且 线 面 ,A,B
a/ /,aA,B 试判断 a与直 平 的 线 面 位置关
符号语言：
ab
a ,b a //b
α
线面垂直关 系
最新版整理ppt
线线平行关 系
3
平面与平面垂直的性质
温故知新
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
线面垂直面面垂直的性质与判定定理课件
学习目标
学习者能够理解面面 垂直的性质与判定定 理的基本概念。
学习者能够通过实际 案例分析，提高解决 实际问题的能力。
学习者能够掌握面面 垂直的性质与判定定 理的应用方法。
02
线面垂直的性质
定义与性质
01
02
03
定义
线面垂直是指一条直线与 某一平面内的任意一条直 线都垂直。
性质1
线面垂直，则该直线与平 面内任意直线都垂直，且 线段与平面所成的角为直 角。
06
实例分析
线面垂直实例
总结词
线面垂直的判定定理
详细描述
若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则该 直线与该平面垂直。
实例
一个长方体，其一条棱与底面垂直，则该棱与底 面所在的平面垂直。
面面垂直实例
总结词
面面垂直的判定定理
详细描述
若两个平面内各有一条相交直线互相垂直，则这两个平面互相垂直 。
实例
证明2
根据判定定理2，如果一个平面$alpha$与另一个平面$beta$的垂线$c$平行，那么可以证明平面$alpha$与平面 $beta$垂直。设过直线$c$作平面$gamma$与$beta$相交于直线$d$，由于$c parallel d$，且$c perp beta$ ，则$d perp beta$。又因为直线$d$在平面$alpha$内，所以平面$alpha perp beta$。
平面与平面垂直的判定定理证明
假设平面β内有一条直线m与平面α垂直，那么可以通过平面的性质证明平面β与平面α 互相垂直。
05
面面垂直的判定定理
判定定理
判定定理1
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两 个平面垂直。
线面垂直_面面垂直的性质定理
l α 符号表 αβ l β 示：
线线 垂直 线面 垂直
C A
l
B D
面面 垂直
（2）若 PDA 45，求证：MN 面PCD
P E N A M B D
例3 如图，已知 PA 矩形ABCD所在平面，M、 N分别是AB、PC的中点求证： （1）MN CD;
β B பைடு நூலகம் l A a
C
练1. 四边形ABCD中，AD∥BC， AD=AB，∠BCD=450， ∠BAD=900，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面 BCD，构成四面体ABCD. 求证:平面ADC⊥平面ABC A
A
D
D
B
C
B
C
练2.平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a， ∠B=90°，∠DCB=135°，沿对角线AC将 四边形折成直二面角. (1)证明：AB⊥面BCD； (2)求面ABD与面ACD所成的角.
2.已知两个平面垂直,下列命题为真命题的是____ ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意 一条直线. ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数 条直线. ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 ④过一个平面 内任意一点作交线的垂线,则此垂线必 垂直于另一个平面.
例1 a
如图已知平面α、β,α⊥β,α∩β = l , 直线a⊥β, α，试判断直线a与平面α的位置关系.
a b
α
直线与平面垂直的性质定理.
垂直于同一个平面的两条直线平行 线面垂直的性质定理： 反证法 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明： 假设 a与b不平行. 记直线b和α的交点为o, 则可过o作 b’∥a. ∵a⊥α , ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和 b’都垂直平面α , 这不可能! ∴ a∥ b
线面垂直的性质定理
b
α
a
b ∥α
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性质定理： a ⊥α , b ⊥α
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面” a ⊥α , β ∥α a ⊥β
a ∥b
变式探究
a
b
α
b
α
a
2.逆向探究：
交换“条件”与“结论” ①a ⊥α , a ⊥ b
a ∥b
变式探究
2.逆向探究：
交换“条件”与“结论” ①a ⊥α , b ∥α
a⊥ b
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性质定理： a ⊥α , b ⊥α
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面” a ⊥α , β ∥α a ⊥β
a ∥b
变式探究
a
b
α
2.逆向探究：
①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面” a ⊥α , β ∥α a ⊥β
a ∥b
变式探究
a
b
c
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2.逆向探究：
①
α 交换“条件”与“结论” β
性质定理： a ⊥α , b ⊥α
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面” a ⊥α , β ∥α a ⊥β
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面”
a ∥b
变式探究
b
l
a
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性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b 变式探究
1.类比探究：
a
①交换“平行”与“垂直”
b
a ⊥α,b ∥α a⊥ b α
②交换“直线”与“平面”
a ⊥α,β ∥α a⊥β
ba
2.逆向探究：
交换“条件”与“结论” α
①a ⊥α,a⊥ b b ∥α 或 b
② 无忧PPT整理发布
性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b 变式探究
线线垂直 线面垂直
关键：线不在多，相交则行
二、新知探究
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱
AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面ABCD的 位置关系如何？它们彼此之间具有什么
位置关系？ C1
D1
B1
A1
C
D
B
A
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3 线面垂直的性质定理：
垂直于同一平面的两直线互相平行.
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
a ⊥α,b ∥α a⊥ b
a
②交换“直线”与“平面” α
a ⊥α,β ∥α a⊥β
2.逆向探究：
β
交换“条件”与“结论”
①a ⊥α,a⊥ b b//或 b
②a ⊥α,β ∥α a⊥β
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随堂测试
1.判断下列命题是否正确：正确的是：①④ ①平行于同一条直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
一、知识回顾
1. 直线和平面垂直的定义？
如果直线和这个平面内的任意一条 直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂 直.
注:若l ,b
则l b.
l
bA
α
2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都
垂直，则该直线与此平面垂直。
图形表示
符号表示
m ,n
a
m
On
mI nO
a
a m,a n
直，则这两条直线互相垂直。（ ） 2、已知直线a、b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的
位置关系 _____b __/__/__或 _ b
小结
1.知识方法
①线面垂直的性质定理及其应用
③类比探究，逆向探究
2.数学思想
线面关系
转化 垂直关系 空间问题
线线关系 平行关系 平面问题
是AB、PC的中点求证： （1）MNCD;
（2）若PDA45o，求证：MN 面PCD
P
A
M B
E
N D
C
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典型例题
练习. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面
A1DC
求证： (1) MN∥AD1
(2) M是AB的中点.
D1
C1
图形语言：
a
b
α
符号语言： a ， b a //b
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线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明：
假设 a与b不平行.
记直线b和α的交点为o, 则可过o作 b’∥a.
∵a⊥α , ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和 b’都垂直平面α , 这不可能! ∴a∥b .
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
a ⊥α,b ∥α a⊥ b
②交换“直线”与“平面”
b a
变式探究
l
α
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性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
a ⊥α,b ∥α a⊥ b
②交换“直线”与“平面”
变式探究
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性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b
a ⊥α,b ∥α a⊥ b
②交换“直线”与“平面”
a ⊥α,β ∥α a⊥β
a
2.逆向探究：
b
交换“条件”与“结论” α
①
c
β
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性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
a ⊥α,b ∥α a⊥ b
②交换“直线”与“平面”
a ⊥α,β ∥α a⊥β 2.逆向探究：
b
a // b
图形语言：
O
简述为：线面垂直 线线平行
© 2006 NENU 济南九中高三数学备课组
三、理论迁移
例 1: 如图，已知I l,C A
于点A，CB 于点B，a,aAB,
求证：a / / l .
C β
B
α
l
Aa
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三、理论迁移
例2 如图，已知 PA 矩形ABCD所在平面，M、N分别
反证法
否a 定结b论b’
正确推理
α
o
导出矛盾 肯定结论
© 2006 NENU 济南九中高三数学备课组
直线与平面垂直的性质1：
如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线垂直于面上任意直线．（定义）
符号语言：a b
图形语言：
α
ab
ab
简述为：线面垂直 线线垂直
© 2006 NENU 济南九中高三数学备课组
交换“条件”与“结论”
①a ⊥α,b ∥α a⊥ b
变式探究
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性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b 变式探究
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
a
a ⊥α,b ∥α a⊥ b
b
②交换“直线”与“平面” α
a ⊥α,β ∥α a⊥β 2.逆向探究：
ba
交换“条件”与“结论”
①a ⊥α,a⊥ b b ∥α α
a
α
β
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性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b 变式探究
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
a ⊥α,b ∥α a⊥ b
②交换“直线”与“平面”
a ⊥α,β ∥α a⊥β
a
b
α
c β
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性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b 变式探究
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
反证法
否a 定结b论b’
正确推理
α
o
导出矛盾 肯定结论
© 2006 NENU 济南九中高三数学备课组
线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明：
假设 a与b不平行.
记直线b和α的交点为o, 则可过o作 b’∥a.
∵a⊥α , ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和 b’都垂直平面α , 这不可能! ∴a∥b .
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
a ⊥α,b ∥α a⊥ b
②交换“直线”与“平面”
a ⊥α,b ∥α a⊥b
变式探究
β
β
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性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b 变式探究
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
a ⊥α,b ∥α a⊥ b
②交换“直线”与“平面”
a ⊥α,β ∥α a⊥β
2.若a,b表示直线, 表示平面，下列命题
正确的是 (3)(4) 。
(1 )a ,a b,则 b/ / (2)a/ /,a b,则 b
(3 )a//,b ,则 b a (4 )a ,b ,则 b a
课堂练习：
√ 1、判断下列命题是否正确；
（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（ ）
√ （2）垂直于同一个平面的两条直线互相平行；（ ） √ （3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂
A
M
B
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性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b 1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
变式探究
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性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
a ⊥α,b⊥α ? a ∥b
变式探究
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性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b
直线与平面垂直的性质2：
如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面，那么另一条也垂直于这个平面．
符号语言：a / / b a
图形语言：
b a b
O
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直线与平面垂直的性质3：
如果两条直线同时垂直于一个平面，
那么这两条直线平行．
符号语言：a b
a