2016届中考数学压轴题专项训练(无答案)
2016中考数学压轴题汇编4
2016中考数学压轴题汇编（4）1.在平面直角坐标系中，直线y kx b=+（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O⑴如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB．①求k的值；②若b=4，点P为直线y kx b=+上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标．⑵若12k=-，直线y kx b=+将圆周分成两段弧长之比为1∶2，求b的值．（图乙供选用）2.图①，梯形ABCD中，∠C=90°．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线BA—AD—DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1 cm/s．设E、F出发t s时，△EBF的面积为y cm2．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM 为抛物线的一部分，MN、NP为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：(1)梯形上底的长AD=_____cm，梯形ABCD的面积_____cm2；(2)当点E在BA、DC上运动时，分别求出y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)；(3)当t为何值时，△EBF与梯形ABCD的面积之比为1：2.3.如图①，将边长为4cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠(点E 、F 分别在边AB 、CD 上)，使点B 落在AD 边上的点 M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，连接EP ． (1)如图②，若M 为AD 边的中点， ①,△AEM 的周长=_____cm ； ②求证：EP=AE+DP ；(2)随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置(点M 不与A 、D 重合)，△PDM 的周长是否发生变化?请说明理由．4.如图，已知二次函数y=423412++-x x 的图象与y 轴交于点A ，与x 轴 交于B 、C 两点，其对称轴与x 轴交于点D ，连接AC ．(1)点A 的坐标为_______ ，点C 的坐标为_______ ；(2)线段AC 上是否存在点E ，使得△EDC 为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P 为x 轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA 、PC ，若所得△PAC 的面积为S ，则S 取何值时，相应的点P 有且只有2个?5.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的半圆O 交BC 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ． （1）求证：点D 是BC 的中点；（2）判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （3）如果⊙O 的直径为9，cos B ＝13 ，求DE 的长．6.如图，直角梯形ABCD 和正方形EFGC 的边BC 、CG 在同一条直线上，AD ∥BC ，AB ⊥BC 于点B ，AD ＝4，AB ＝6，BC ＝8，直角梯形ABCD 的面积与正方形EFGC 的面积相等，将直角梯形ABCD 沿BG 向右平行移动，当点C 与点G 重合时停止移动．设梯形与正方形重叠部分的面积为S ．(1)求正方形的边长；(2)设直角梯形ABCD 的顶点C 向右移动的距离为x ，求S 与x 的函数关系式； (3)当直角梯形ABCD 向右移动时，它与正方形EFGC 的重叠部分面积S ，能否等于直角梯形ABCD 面积的一半？若能，请求出此时运动的距离x 的值；若不能，请说明理由．7.如图，抛物线与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点C (0，4)，其中x 1、x 2是方程x 2－2x －8＝0的两个根．(1)求这条抛物线的解析式；(2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．A B C G FE D8.如图，一次函数y ＝a x ＋b 的图象与反比例函数y ＝kx 的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，已知OA ＝10，点B 的坐标为(m ，－2)，t a n ∠AOC ＝13．(1)求反比例函数的解析式； (2)求一次函数的解析式；(3)在y 轴上存在一点P ，使△PDC 与△CDO 相似，求P 点的坐标．9.已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (m ，0)、B (0，n )，其中m 、n 是方程x 2－6x ＋5＝0的两个实数根，且m ＜n ，．(1)求抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ，求C 、D 点的坐标和△BCD 的面积；(3)P 是线段OC 上一点，过点P 作PH ⊥x 轴，交抛物线于点H ，若直线BC 把△PCH 分成面积相等的两部分，求P 点的坐标．10.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=°，点E 在斜边AB 上，以AE 为直径的O ⊙与BC 相切于 点.D（1）求证：AD 平分.BAC ∠ （2）若3 4.AC AE ==，①求AD 的值；②求图中阴影部分的面积.。
2016上海中考数学必做压轴
1已知：Rt ABC ∆中 ，90C ∠=︒,4AC =,cot B =四边形MNPQ 的边MN 在AB 边上，2MN =，顶点P 、Q 分别在边BC 、AC 上，QM AB ⊥于M ,//PN QM ，如图11．设AM x =，四边形MNPQ 的面积记为y ．（1）当65x =时，求PB 的长； （2）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）PCQ ∆能与QMA ∆相似吗？若能，请求出x 的值；若不能，请说明理由2如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =10，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE =x ，BF =y ．C A M NBQP（图11）（1）当点F 与A 重合时，求CE 的长；（2）当点F 在射线BA 上时，求y 关于x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围。
（3）射线EF 交直线AD 于G ，若AG =2，求x 的值。
如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，EF 垂直平分BD ，交CA 的延长线于点E（1）求证：2DE EA EC =⋅；（2）若ED ＝6，BD ＝CD ＝3，求BC 的长。
3如图11，已知梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =1，AB =DC =2。
联结BD ，点E 在边DC 上，且∠ABD ＝∠CBE 。
设BC =x （x ＞1），CE =y 。
（1） 当x =3时，求∠C 的正切值；（2） 求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3） 联结AE ，若△ABE 与△DBC 相似，求BC 的长。
EFDCBA A BCD E4如图，正方形ABCD 中，BE 平分DBC ∠且交边CD 于点E .将BCE ∆绕点C 按顺时针方向旋转到DCF ∆的位置，并且延长BE 交DF 于点G .（1）求证：BDG ∆∽DEG ∆； （2）求证：DG 是EG 和BG 的比例中项； （3）若4=⋅BG EG ,求BE 的长.（图11）第4题图5．已知在△ABC 中，∠A=45°，AB=7，34tan B ，动点P 、D 分别在射线AB 、AC 上，且∠DPA=∠ACB ，设AP=x ，△PCD 的面积为y ．（1）求△ABC 的面积；（2）如图，当动点P 、D 分别在边AB 、AC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果△PCD 是等腰三角形，求线段AP 的长．C APBD6已知：如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 2，AC = 4，P是斜边AB 上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E 是射线DC上一点，且∠EPD = ∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE = 2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．（6题图）7如图12，已知等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，AD :BC =1:2，点E 为边AB 中点，点F 是边BC 上一动点，线段CE 与线段DF 交于点G 。
2016年中考数学压轴题、几何证明题
2016年中考数学压轴题、几何证明题中考数学例题讲解【例１】如图10，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF。
（1）求证：ΔBEF∽Δ CEG．（2）当点 E 在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，请你求出y 和x之间的函数关系式，并求出当x 为何值时，y有最大值，最大值是多少？解析过程及每步分值（ 1）因为四边形ABCD是平行四边形，所AB PDG ·············· 1 分所以 B GCE , G BFE所以△ BEF ∽△ CEG (3)分（ 2）△ BEF与△ CEG的周长之和为定值．· 4 分理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H ，因为GF⊥ AB，所以四边形FHCG为矩形．所以FH＝CG，FG＝CH因此，△ BEF与△ CEG的周长之和等于BC＋CH ＋BH由BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH6，所以BC＋ CH ＋ BH ＝ 24 ······· 6 分理由二：AB ＝ 5， AM ＝ 4，可知在 Rt △ BEF 与 Rt △ GCE 中，有：434EF BE, BF BE, GE EC, GC555所以，△ BEF 的周长是 12BE ， △ECG 的周长是 512CE 5又 B E ＋CE ＝ 10，因此 V BEF 与 VCEG的周长之和是24．3)设 BE ＝x ，则 EF 4x, GC 3(10 x)553 CE， xE G所以 14 3y 2EFgDG2g 5x[5(10 x) 5] 6 2 22 xx 25 5配方得：25(x 55 )2 121所以，当x 565时，y 有最大值．· ···9 分10分最大值为1261【例２】如图二次函数y＝ax2＋bx＋c（ a> 0）与坐标轴交于点A、B、C且OA＝ 1OB＝OC＝3．（1）求此二次函数的解析式．（2）写出顶点坐标和对称轴方程．（3）点M、N 在y＝ax2＋bx＋ c 的图像上（点N在点M的右边），且MN∥ x轴，求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径．解析过程及每步分值（1）依题意A（ 1，， 0） B （3，， 0） C（0， 3）分别代入y ax2 bx c1 分解方程组得所求解析式为y x22x 3··· 4 分（2）y x2 2x 3 （x 1）2 4 ········· 5 分顶点坐标（1， 4），对称轴x 1······7 分（3）设圆半径为r，当MN在x轴下方时，N点坐标为（1 r，r ）· ·············8 分把N点代入y x2 2x 3得r 1217· ·····9 分同理可得另一种情形r 1217圆的半径为 1 2 17或 1 217 10 分【例3】已知两个关于x的二次函数y1与当x k 时，y2 17；且二次函数y2的图象的对称轴是直y2，y1 a（x k）22（k 0），y1 y2x2 6x 12线x 1．（1）求k 的值；（2）求函数y1， y2的表达式；( 3)在同一直角坐标系内，问函数y1 的图象与y2 的图象是否有交点？请说解析过程及每步分值( 1)由y1 a(x k) 2， y1 y2 x 6x 12得y2 (y1 y2) y1 x26x 12 a(x k)2 2 x26x 10 a(x k)2．又因为当x k时，y2 17，即k2 6k 10 17，解得k1 1，或k2 7(舍去) ，故k的值为1．( 2) 由k 1，得y2 x2 6x 10 a(x 1)2 (1 a)x2 (2a 6)x 10 a，所以函数y2的图象的对称轴为x 2a 6，2(1 a)于是，有2a 6 1，解得 a 1，2(1 a)所以y1 x22x 1， y2 2x2 4x 11 ．( 3)由y1 (x 1)2 2，得函数y1的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(1， 2)；由y2 2x2 4x 11 2(x 1)2 9，得函数y2的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为( 1， 9)；故在同一直角坐标系内，函数y1的图象与y2的图象没有交点．【例4】如图, 抛物线y x2 4x与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y 轴向上平移, 使它经过原点O,得到直线l, 设P是直线l 上一动点.（1）求点A的坐标;（2）以点A、B、O、P 为顶点的四边形中, 有菱形、等腰梯形、直角梯形, 请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;（3）设以点A、B、O、P 为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为x, 当 4 6 2 S 6 8 2时,求x 的取值范围.解析过程及每步分值解：（ 1 ）∵ y x2 4x （x 2）2 4∴ A（-2,-4）（2）四边形ABP1O为菱形时，P1（-2,4）四边形ABOP2为等腰梯形时，P1（2，4）55四边形ABP3O为直角梯形时，P1（4，8）55四边形ABOP4为直角梯形时，P1（6，12）55（3）式是 y=-2x-8, 所以直线l 的函数关系式是 y=-2x①当点 P 在第二象限时， x<0,POB 的面积 SPOB 214 (2x) 4xAOB 的面积S AOB 214 4 8，S S AOB S POB 4x 8(x 0)4 6 2 S 6 8 2，S462 S 682 4x 8 4 6 24x 8 6 8 2②当点 P 在第四象限是， x>0, 过点 A 、 P 分别作 x 轴的垂线，垂足为 A ′、232 x2 S 1422x 的取值范围是142 2232AB 所P′则四边形 P OA ′ A 的面积4 2x1S POA A S梯形PP AAS PP O(x 2) (2 x) x 4x 422AA ′B 的面积 SAAB14 2 4∵ 4 6 2 S 6 8 2，32 2∴ S 4 6 2 即 4x 8 4 6 2∴ x2S 6 8 24x 8 6 8 24 2 1S2∴ x 的取值范围是3 2 2x 4 2 1225】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。
2016中考数学压轴题(完整版)
2021 中考数学压轴题〔完满版〕A级基础题1.要使分式 1x-1 有意义，那么 x 的取值范围应满足 ()A.x=1B.x0C.x1D.x=02.(2021 年贵州黔西南州 )分式 x2-1x+1的值为零，那么x的值为()3.(2021 年山东滨州 )化简 a3a，正确结果为 ()4.约分： 56x3yz448x5y2z=________;x2-9x2-2x-3=________.5. a-ba+b=15，那么ab=__________.6.当 x=______时，分式 x2-2x-3x-3的值为零.7.(2021年广东汕头模拟)化简： 1x-4+1x+42x2-16.8.(2021年浙江衢州)先化简x2x-1+11-x，再采用一个你喜欢的数代入求值 .9.先化简，再求值：m2-4m+4m2-1m-2m-1+2m-1，其中m=2.B 级中等题10.(2021年山东泰安)化简：2mm+2-mm-2mm2-4=________.11.(2021年河北 )假设x+y=1，且x0 ，那么x+2xy+y2xx+yx的值为________.12.(2021年贵州遵义)实数 a 满足a2+2a-15=0，求1a+1-a+2a2-1a+1a+2a2-2a+1的值.C 级拔尖题13.(2021年四川内江)三个数x，y，z满足xyx+y=-2，xyzxy+yz+zx的值为 ________.yzz+y=34，zxz+x=-34，那么14.先化简再求值：ab+ab2-1+b-1b2-2b+1，其中b-2+36a2+b2-12ab=0.分式7.解：原式 =x+4+x-4x+4x-4x+4x-42=x+4+x-42=x.8.解：原式 =x2-1x-1=x+1，当x=2时，原式=3(除x=1外的任何实数都可以 ).9. 解：原式 =m-22m+1m-1m-1m-2+2m-1=m-2m+1+2m-1=m-2m-1+2m+1m+1m-1=m2-m+4m+1m-1，当 m=2 时，原式 =4-2+43=2.12. 解：原式 =1a+1-a+2a+1a-1a-12a+1a+2=1a+1-a-1a+12=2a+12，∵a2+2a-15=0 ，(a+1)2=16.原式 =216=18.13.-4 剖析：由 xyx+y=-2 ，得 x+yxy=-12 ，裂项得 1y+1x=-12.同理 1z+1y=43，1x+1z=-43.所以 1y+1x+1z+1y+1x+1z=-12+43-43=-12，1z+1y+1x=-14.于是 xy+yz+zxxyz=1z+1y+1x=-14 ，所以 xyzxy+yz+zx=-4.14.解：原式 =ab+1b+1b-1+b-1b-12=ab-1+1b-1=a+1b-1.由 b-2+36a2+b2-12ab=0，得b-2+(6a-b)2=0，b=2,6a=b，即a=13，b=2.原式 =13+12-1=43.这篇中考数学压轴题的内容，希望会对各位同学带来很大的帮助。
2016挑战中考数学压轴题
目录第一部分函数图象中点的存在性问题因动点产生的相像三角形问题例 1 2015 年上海市宝山嘉定区中考模拟第24 题例 2 2014 年武汉市中考第 24 题例3 2012 年苏州市中考第29 题例42012 年黄冈市中考第25 题例 52010 年义乌市中考第24 题例 62009 年临沂市中考第 26 题因动点产生的等腰三角形问题例 12015 年重庆市中考第 25 题例 2 2014年长沙市中考第第 26 题例 3 2013 年上海市虹口区中考模拟第 25 题例4 2012 年扬州市中考第 27 题例 5 2012 年临沂市中考第 26 题例6 2011 年盐城市中考第 28 题因动点产生的直角三角形问题例 1 2015 年上海市虹口区中考模拟第 25 题例2 2014 年苏州市中考第 29 题例 3 2013 年山西省中考第 26 题例4 2012 年广州市中考第24 题例52012 年杭州市中考第22 题例 62011 年浙江省中考第23 题例72010 年北京市中考第 24 题因动点产生的平行四边形问题例 1 2015 年景都市中考第 28 题例 2 2014 年陕西省中考第 24 题例 3 2013 年上海市松江区中考模拟第 24 题例4 2012 年福州市中考第 21 题例 5 2012 年烟台市中考第 26 题例6 2011 年上海市中考第24 题例72011 年江西省中考第 24 题因动点产生的梯形问题例 1 2015 年上海市徐汇区中考模拟第 24 题例2 2014 年上海市金山区中考模拟第 24 题例 32012 年上海市松江中考模拟第 24 题例 4 2012年衢州市中考第 24 题例 5 2011 年义乌市中考第 24 题因动点产生的面积问题例 1 2015 年河南市中考第 23 题例 2 2014 年昆明市中考第 23 题例3 2013 年苏州市中考第29 题例42012 年菏泽市中考第21 题例 52012 年河南省中考第23 题例 62011 年南通市中考第28 题例72010 年广州市中考第 25 题因动点产生的相切问题例 1 2015 年上海市闵行区中考模拟第 24 题例 2 2014 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题例3 2013 年上海市杨浦区中考模拟第 25 题因动点产生的线段和差问题例 1 2015 年福州市中考第 26 题例 2 2014 年广州市中考第 24 题例3 2013 年天津市中考第25 题例42012 年滨州市中考第 24 题第二部分图形运动中的函数关系问题由比率线段产生的函数关系问题例 1 2015 年呼和浩特市中考第 25 题例 2 2014 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题例3 2013 年宁波市中考第 26 题例 4 2012 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题由面积公式产生的函数关系问题例 1 2015 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题例2 2014 年黄冈市中考第 25 题例 3 2013 年菏泽市中考第 21 题例4 2012 年广东省中考第22 题例52012 年河北省中考第26 题例 62011 年淮安市中考第 28 题第三部分图形运动中的计算说理问题代数计算及经过代数计算进行说理问题例 1 2015 年北京市中考第 29 题例2 2014 年福州市中考第22 题例32013 年南京市中考第 26 题几何证明及经过几何计算进行说理问题例 1 2015 年杭州市中考第 22 题例2 2014 年安徽省中考第 23 题例 3 2013 年上海市黄浦区中考模拟第 24 题第四部分图形的平移翻折与旋转图形的平移例 1 2015 年泰安市中考第 15 题例2 2014 年江西省中考第 11 题图形的翻折例 1 2015 年上海市宝山区嘉定区中考模拟第 18 题例2 2014 年上海市中考第 18 题图形的旋转例 1 2015 年扬州市中考第 17 题例 2 2014 年上海市黄浦区中考模拟第 18 题三角形例 1 2015 年上海市长宁区中考模拟第 18 题例2 2014 年泰州市中考第 16 题四边形例 1 2015 年安徽省中考第 19 题例2 2014 年广州市中考第 8 题圆例 1 2015 年兰州市中考第 15 题例2 2014 年温州市中考第 16 题函数图像的性质例 1 2015 年轻岛市中考第 8 题例2 2014 年苏州市中考第 18 题第一部分 函数图象中点的存在性问题因动点产生的相像三角形问题例 1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第 24 题如图 1，在平面直角坐标系中，双曲线（ k ≠0）与直线 y ＝ x ＋ 2 都经过点 A (2, m ) ．（ 1）求 k 与 m 的值；（ 2）此双曲线又经过点 B ( n , 2) ，过点 B 的直线 BC 与直线 y ＝ x ＋ 2 平行交 y 轴于点 C ，联络 AB 、AC ，求△ ABC 的面积；（ 3）在（ 2）的条件下，设直线 y ＝ x ＋2 与 y 轴交于点 D ，在射线 CB 上有一点 E ，假如以点 A 、 C 、 E 所构成的三角形与△ ACD 相像，且相像比不为 1，求点 E 的坐标．图 1动感体验请翻开几何画板文件名“15 宝山嘉定 24”，拖动点 E 在射线 CB 上运动，能够体验到，△ ACE 与△ ACD 相像，存在两种状况．思路点拨1．直线AD y k y82 2421BABC 1224222210CEAD 22CE ACx x22CAACCA ADCE2 1010 26cm8cm5cm42 10 2 2cm BPBA 5t10 BP BC 5t 8 t 32 4 AC CD 6 8 4t t7 BPBC BQ BC 8 4t 8 BQ BA8 4t10 415QC PD4t 3t8 BQ BAt32 BP BA PQPD 2 QD 2 (3t )2(8 8t) 2 (3t)2 (8 8t )28t12841BQBC73y1 x2 1 ( b 1)x b b 1 b x 1b x5bxx 1616 ,164 4 442 4 2 85 5 5y1 x2 1( b 1)x b 1(x 1)(x b) BA QA QA 2 BA OA ( b )2 b 1 b 8 4 34 4 4 4QA OA 4 1,23BA QA BO QA b QAQA 4 y 1 ( x 2)(x m) 25”QA OACOOA b 1m4y1( x 2)( x m)21 4(2mm 1BC OE16 2 6HP EO HP 22CP CO 31FF 'EO1( x( x,2)(xm))m( xBF 'COmm)y1( x 2)( x 4)42 HP3 (1,3) CE BC 42 2 CB BF2)(x m)2 CO BF 'x2m CE BF 1 x 21x 242BC 2 CE BFm m 4 m 2 4 BFBF( m 4) m 2 4 BC 2 CE BF(m 2) 2 m 24 ( m 4) m 2m 1( xmBC 2 BE BF2)(x m) x 2 2m (2m,0) 2m BF2(2 m 2)m4BEBC BC BFBC 2 BE BF( m 2) 22 22(2 m 2)m 2 2 22 2 21A 1C 1A 1C”24x 1 y1x 21x1 1A 1C2(x 11 x2 1)3(x 1 x 2 )6 x 1 x 2s28 48S23y 2y 13y 2 y 11x 221x 21x 121x 1 3 ( x 2 x 1 ) 1(x 2 x 1 ) 1 384 84 8 4x 2 x 172 x 2 x 1 14, x 1 6,GAF 3 PQDDQ t 3 tS x 2x 1 2.x 2tantanQP 5 t 4 5 t8.4t20y a( x 1)( x 4)a1 y1( x 1)( x 4)1 x2 5x 2 7222 2( x,1(x 1)( x4))PM1( x 1)( x 4)AM4 xAMAO 222PMCO1(x 1)( x 4)AMAO11( x 1)( x 4)122x52x24xPM CO 24x21 (x 1)( x4)12PM( x 1)( x 4)AM x 4x 42x 5(5, 2)21(x1( x 1)( x1)( x 4)114)2x 2 PM( x 1)( x 4) AM 4 x22x42 24 x1( x 1)( x 4)1x3(3, 14) 2 x 0 ( 3,14) (5, 2) y1 x2 (1m4)4 x22(m, 1 m 2 5 m 2) (m, 1 m 2) DE( 1 m 2 5 m 2)( 1 m 2)1 m2 2m 2 2 22 222SDAC1 ( 1 m2 2m) 4 m 2 4m(m 2) 2 4m 2(1 m4)2 2S1(2n 2) 41m(n 2)1n(4 m)m 2n 4n1 m2 5m 22222 2Sm24m 2 3 2 3 4 3 3 4 3 2 13 1AD 1AD 1AD 1AD ( a ,1) ( a , 1)222216161 a 2a 1 y 1 x 2(x, 1x 2)PAx2( 1x 2 2)21 x 441 x2 1 x 2164 4441644PM 221 x 4 421x) 2 1433 2PAPH(16x1 x16 (31)4 2 34y1 x( x, 1x )1(2 3 2)4 2 32222 24444PB21 221 x 21)2121121ED CD tan C53 15x ( x 1)(xx 4 44 444EC 25PMDM 4 QN3PMPM4QNQN3PM3 4QNDN34344CQCN QN4 3 19 QN3PM 15 CQ CN QN4 15 314 4 4 44 4 tan QPD QD DN3 tan C BA 3PM4QN 4PD DM 4CA 43 3BP BM PM3 4 5 cos C CH CQ 5 4 25 4 25 7 PM 4QN 73 3 CQ 2 5 8 8 8 3 6 BPBMPM3 7 25 25 a BH PH 6 6 m 6 6 6 OC 2 36 6 BP 6 3 BO CO(2,23) (2,23)2 32a ( 6)a3 y3x( x 4)3 x 2 2 3 x6663y 2 3(2, 23) 4 2( y 2 3) 216 y 1y 22 3 2( y2 222y2 34 3)2 y(2, 2 3)y3x( x 4)3( x 2)22 3 D(2,2 3)tan DOA2 3 y4 x663333yx 7,x 3,yx 7x 7S△ APRS梯形 CORAS△ ACPS△POR84x,yy 4.31 t) 414 (4 t)1t (7 t) 8 t 28t 12 0 AB4 2 cos A3AP 7 t（3+72 252AQ O A OQ OA5OR 5 t 20 7 t 5t 20 t 41 7 t 2[(7 t ) (t 4)] t 51AQ3 3 3 3 38A 520 3 226 41 226cos A 2 AQ 2AP cos t 2(7 t) tAP 2AQ cos AAP 3 3 5 43 8 4313 12 169 3 2 AD EF CE 3 CM CG 2 FC FA FC FB FAFB 13 BHAF BA 13 AB BG FE FG FEFA FGFA 2BG21324mAEa122a1 2 3m 3m 2m 3m EE 'DD ' a(xm)( x 3m) 3 3m1 m 3m 4m2 am1 3mm 2 3mAE 'AD 'x m3mam 2 4m 4mADDD ' 3 4m 2m GFFF ' 4 AE AD GF 4m 3m 3m AEAD GF GF 34mAEEE ' 5AD DD ' 353 45 334GO ( 34 1)mG(m34m,0)y 1 x 2 3 x 4 y 1 x 2 3 x 41( x 2)( x 8)4 24 2 4y1x 4 M (m,1m 4)Q(m, 1m 23m 4)2242( 1m 4) (1 m 23m 4)1 m2 m 8 1 m 2 m 8 8 ( x, 1(x 2)(x 8)) 2 42444 QGBH11(x 2)(x 8)1 QG DH41( x 2)( x 8)4242GBHD28 x2GDHBxy3 x 23x 3 y 3 x 2 3x 3 3( x 4)( x 2)DGCO3 DG3BG 984 8 48BG AO44 4(1, 9 ) 27 (1, 27 ) 1Atan M 1EA M 1 A 3 1A y3 x 3 y 3 x 3 yk y k y24 4 4 AE 44 4x xxyk k( x 1 )2 5 k x 1 x 1 ( 1 , 5k) ( 1 ) 2 ( 5 k )2 12 k 2 k 1 2 3x 2 2 k 4 2 2 2 4 2 43 k 23 y y 1 x 2 y x 2 y 2x 2 y 2x4 BC PO 2PO 3 x 72 CP OA PO3 y1x 6y1x 1ym 1 x 25m x m 2 3m 22 m 1 x25m x m 23441 x2 5 xy3m 2 m 2 3m 2 0 m 1 2 m 2 1 y444 22t1 (3t)2 5 3t t OP22 t 10 10 3t 2t t 2 10 3t 4t t 10 t 104 29 3 1 x 3 x,7 3t 30 20 2 AC 1 AB xBC 3 x1 x 21 x2(3 x)213 x x.x23x 4 0 x2(3 x)21 x51 x2 (3 x)21 x 2x41 x2 x5 x 43333CDABCD h S 1xh 1 h 2 (3x) 2 2x(3 x) 2h 2x1 h 22h(3 x) 2 h 2x 2 2x 1 h 21 h 2x 1 h 23x4 x 2 (1 h 2 ) 9x 2 24x 16x 2 h28x224x 16S21 x 2h2 2 x26 x 42( x 3 )2 14≤ x 2 x3422 324≤ x 2 S 21 2 (3 x) 2h 21 h 2xS 21 x2 h 2 2x 2 6x 432242(x3 )21 1 x ≤ 4S22 AD aAC 2 AD 2 BC 2 BD 22232228x 21 a 2(3 x)2( x a) 2a 3x 41 a 213x 424x 16xxx 2S21x 2 (1 a 2 )2x 26x 441EF ( x Ex A )1EF ( x E x C ) 1 EF (x C x A ) 1(ax 23ax 4a) 1a( x3 )225 a 25 a 22 2 22 2 8 8 25 a5 a 2 a7 (1，267 )a1 (1， 4) AM DN 5 5a 3 n845772 MDNP5a227n3 5a(1,35a ) ( 4, 3) ( 4,3) 3 21a aAGQK3a275aaa a a aGQKD33a19 3b c 0,222am 2xm 2ym 4 m 4 1 m( m4)1 m 32mc 3.2224 42 4 8c 1,b9yx 29x 1sinAOHsin OBC 416 4bc 3.225AHOA sinAOH 4 OH3BH OB OH22 tan ABOAH4 22 25 55BH5 5 11y 1 x 1 ( x, x 29 x 1) ( x, 1x 1) MN ( x29 x 1) (1x 1) x24x (1,9)2 2 22 22 x 27 (1,9) (3,11) (27, 5 7 ) (27, 527 )222思路点拨1．菱形 PDBQ 一定切合两个条件，点P 在∠ ABC 的均分线上，PQ 4t cos A AE 2 3 t 10 CQ CP CQ 610 32 32 10 16 6 t 6 t3CQ 3 AP t 5 3 CBCA8 6 993152 2 9a 3b c 0, AP AB 1 AP 1 t 1 1 t x 1 1 t 4 1 t 2 4 1 t 22 5 a b c 4,2 PE 4a 2b c 2. PE BC 2 2 2 2 4 4GE(41 t2 ) (4 t)1 t2 t 4141120SACGSAGESCGEGE( AF DF ) t 2t(t 2)2 1 tt 208 524413E(11t,4t) F (11t, 4) Q(3,t) C(3,0) ( 1t2)2 (4 t) 2 t 2 t 2 40t 80 0 t 12085222t 220 8 5( 1 t 2)2 (4 2t) 2 t 2 13t 2 72t 800 0 (13t 20)(t 40)0 t 120t 240213y3 x 3 y3x y 3 x 3 y 3 x 3 3 3 y 3 y 3x (1,3) AM 13(1,3)42 44 2 22 222c 3,b 5c 3 y x25x 3 4m 3m 5m 4m 2m 4m 2m y x25x 31b3c.2222m1 ( 7 ,27) y3 x 23x 23 x 23 2m 16 m 10m 33 y3 y3 (0, 3)23 x 22 4 16y3 (0,3) ( m, 3) A( 1 m,0) B(1 m,0) ( m, 3) D( 1 m,0) E(1 m,0) AB1AE 2 AB2 AE 2 m 13 a 1 1 ( x 1)(x 3) 1 2 3y x x 233 2 2 2 2y1 x2 x 31( x 1)2 2 6 2 2 2 6 2 2 2 24 2 6 ( 2 61,0) (2 6 1,0)2 22S1(DFAC ) AD16 1(DF6 2) 2 2 16 2 2 S1(CF AD ) AC 162221(CF 2 2)6 2 1622 2 (17 ,16 ) ( x, 1 x 2 x3 ) ( 1 x 2x3) 6 5 x233 3322 22FMCN1(x 1)(x 3)8112 2bc 0, 2yx 2 bx c y x 2 bx cAM DNx 14228 4bc 6.y1 x2 2x 6 y1 22x 6 PH HF tan F6 3 9 (2, 9 3m 3m 3m12 2 x4 2 )m 22 (2, 93 n 2 3(2, 9 DPE3tan DPE 0.43 a 2 c 0, a1, 2) n22 2 2) tan 7c3. c3.tan DPE3PDHPH 3S 梯形 BDEP1(BDEP) PH24BCOA124” 24”tan7DH72BDOB 3a b c 2,3 b 7c 0 y3 x 2 7x y1 1 x) M ( x, 3 x 27 x)c 0,ax ( x, 4a 2b c 1.22222 2 2 22( 3 x 2 7x)1x x 12 x 2 2 P(2 ,1) FG1OG 1(1 m) S OFG1(1 m) 22223 3 3224HG1A'G1(2 m) 11m OHOG HG (1 m) (11m)3 m22222OK4 OH4 3 m 2m EK1OKm SOEH1OH EK 1 3m m 3 m 233 222 2 24SSOFGSOEH1 (1 m)23 m 2 1 m 2 1 m 1 1 (m 1 )2 3 m 1 3 y1 x442 2 42 2 8 2 82F ( a, 1a) 3a H (3a3,0) 2a2 24”22ya( x 4) 2 k 4a k 0,a 1, y (x 4)2 4 x 28x 1216a k12. k 4.yx 2 8x 12(x 2)( x 6) ( x 4)2 (2 x 4)236 x 2 2 4 PM 2t5 5 5PH MH t P 'G 2t 4 PH t NH1PH1t MN3t S 1 3 t t 3 t 222222224S △ P' DC2t 433339P' GS △P ' DC24) 2 S2(2t 4) 2 212t 12△PHtt(2t 4 t 44 tS PMN44y1 x2 8 ( x, 1 x 2 8) 1x 2x 2+( 1 x 28 6)2x 2+( 1x 2 2) 2( 1 x 2 2) 2 1 x 228 8 8 88881OD ( x P ) 3x 1OE y P1 x2 16 3x 1 x 2 16 12 1 x 2 3x 4224441( x 6) 213 1 21312 8a a3y3(x2)( x4)32333 34( x6)88 8xx5 544 1QH 1 3t) 3 9 2 9911 32)( x 4))KE COBP (6 t (t 1)10 10 ( ,0) ( x, (xDE BO2 2 5 10 2 832)( x 4)( x327 159 933338(1,x 2x 3) yx 3 ( x,3)94) (3,8 )10 4(x,44xx88421 x 212c( 3x 3) ( 3 x 23x 3)3 x 2 3 x 1 4( 3 x 2 3x) 9 y bx c c4848228 2 422y1 x2 (c 1)x c 1(x 1)(x 2c) (x, 1( x 1)(x 2c)) x1 ( x1)(x 2c)2 2 2 2x 1 2c E(1 2c,1 c)EHCO 1 c 1 c2c 3c c1 y 1 x23 x 2 y 1 x 2DHDO 2c 22 2 2 2P(m, 1m 23 m 2) F (m, 1m 2) FP1 m2 2m22 221FP( x B x C ) 2FP m 2 4m(m 2)2 421” 21”2S 梯形 PB 'OD1 DO(B 'O PD ) 1 x(2 x 2 x 2) 1 x3 1 x 22x1 2 1 2 1 3 2 2S PDBDB PD (2 x)( x 2 x 2) x 3 x 2 22 2 2 2 11S 四边形 PB'A'DS 梯形 PB 'OD S PDBx 2 2x+2 S PB'OB ' O x P 2x x1122S PBO BO y P 2( x 2 x 2) x 2x 2 S 四边形 PB' A 'D S PB'O S PBOx 22x+22 2y 1 1 y 1 1 AE 5 sin AEO 2 5 sin ACP 254a 2b 3 0,a1x x 5516a4b322 23.b1P(m, 1m 21 m 3) C(m, 1 m 1) PC ( 1m 1) ( 1 m 2 1 m 3) 1 m 2 m42 2 22 2 2 22PD PC sin ACP 2 5PC2 5 5 ( 1 m 2 m 4)5(m 1)2 9 5 5 9 5 m 5 525 52m32 DN PD cos PDN PD cos ACP5 2 5 ( 1 m 2 m 4) 1 ( m 2)(m 4)95 5 251( m 2)(m 4)95 1(m 2)( m 4)10(4 m) m32 ymP( p, p 1)5(4 m) m2 5 9910xy m y m ymy kx bk b 0, k 1, y x 1 P( p, p 1) y x 12k b 1.bx xx1.2 (2)4 ( x 1)2113x113p113 2( 2 4 2 x xx222x)( x 1)xxxx 15 x1 5 p 15y1 x b 1A CA C 25”22221 1 1y1 x b 1OE OC1 2b 1 b y 1 x b y 1 x b (3, b3) b 3 5 b2 2 2 2 2 2 2 21 3 1 51 25 A C5 5 5 BN 33(b)(b)(52b)1(2b 2)bb222 2221 14 4 3 CNa4 y 4 x 2 8x 4 y 4 x 2 8x 44( x 3)(x 5) 2 5 2 5 31515 1515 1515BN BD 3 BN 3 DN 3 3 AC 15 3 25” CNAD5 CN5 AC8 8 8 53 1BC 1y (5 x)232(1y)2 y 2 x 2 10x 16318 245 x24 x1 5 2225 5 5 55 A' D(24 )2(5 x18)2x214x 25 x214x 25 5 x x x1455555x 2 14 x25 |5 x x | x8655185 115152 52 10A' D( 24 )2( 11 ) 22425 255 tan A1tan A425” 25”5101002 3QP5 QP512m 2m 3 5AP2AH12 5 QP OP y 3 y92tan A2m54m5PO PA 3x x2PD1PO 3tan Ptan A4QP5r O 3 r QP5QM 5 r QO5QM5 r2 232Q2 222(5r )2 (3 r )2( 5)2r 9r O 3 r Q QP 5 QM r 5 (r 5)2(r 3)2(5)211OM 12211 2 2 2233AN 3OH OM 1 6 2 6 2 6 2 6 2 a a(6 2 a) ( a 3 2) 2 18 3 2 3 2AHAN 32( x D x P )2( x D x Q ) 2(2x Dx P x Q ) 2(4 n 2 5n 2n)2( n 2)26 26 2 3 54a4a3a a 1 b3 y1 x3x 2 1(x3) 25 C(3, 25) OA OD 3222 22222 22828ODOB225 41 y25 y2539 3253 959541 AEAF888C ( ,)B'( ,) ( ,)xC '158 2 828 2 82 8 2 8 C 'E B''F12x C '93 3 93 15 15 AO BO 2 4 (8,1) 53 A'OA ' O ' m 2 m8 E'(8,1) 82 282 41 41 OE OA OE2 7BOE''O' 4 7 7 724” 24” y1 x2 x 4 22①当 BC ＝ 1 时，直接写出矩形ABCD 的周长；②设动点 A 的坐标为 ( a , b ) ，将矩形 ABCD 的周长 L 表示为 a 的函数并写出自变量的取值范围，判断周长能否存在最大值，假如存在，求出这个最大值，并求出此时点A 的坐标；假如不存在，请说明原因．动感体验请翻开几何画板文件名 “ 15 呼和浩特 25”，拖动点 A 在 x 轴下方的抛物线上运动， 察看 L 随 a 变化的图像，能够体验到，有两个时辰， L 获得最大值，这两个时辰的点 A 对于抛物 线的对称轴对称．思路点拨1．先用含 a 的式子表示线段AB 、 AD 的长，再把L 表示为a 的函数关系式．2．点A 与点D 对于抛物线的对称轴对称，依据对称性，点 A 的地点存在两个状况．满分解答（ 1）因为抛物线22经过原点，所以 2y ＝ x ＋(2 m － 1) x ＋ m － 1 m － 1＝0．解得 m ＝± 1。
2016年中考数学压轴题
2014年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类【例1】．如图1，已知抛物线经过点A (﹣1，0)、B (3，0)、C (0，3)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M 是线段BC 上的点（不与B ，C 重合），过M 作MN ∥y 轴交抛物线于N ，若点M 的横坐标为m ，请用m 的代数式表示MN 的长．（3）在（2）的条件下，连接NB 、NC ，是否存在m ，使△BNC 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．【考点：二次函数综合题． 专题：压轴题；数形结合．】【巩固1】．如图2，抛物线()02232≠--=a x ax y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．【考点：二次函数综合题．专题：压轴题；转化思想．】图1 图2平行四边形类【例2】．如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2+mx +n 经过点A （3，0）、B （0，﹣3），点P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点P 的横坐标为t ．（1）分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式．（2）若点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积．（3）是否存在这样的点P ，使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．等腰三角形类【例3】．如图，点A 在x 轴上，OA =4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2）求经过点A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【考点：二次函数综合题．专题：压轴题；分类讨论．】图3【巩固3】．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （﹣1，0），如图所示：抛物线y =ax 2+ax ﹣2经过点B ．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．规律探索类【例4】如图，已知点A 1、A 2、A 3、A 4…、A n 在x 轴的正半轴上，且横坐标依次为连续的正整数，过点A 1、A 2、A 3、A 4…、A n 分别作x 轴的垂线，交抛物线y =x 2+x 于点B 1、B 2、B 3、B 4…、B n ，交过点B 1的直线y =2x 于点C 2、C 3、C 4…、C n 。
2016年中考数学压轴题集锦
For personal use only in study and research; not forcommercial use中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题1、（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－32x 2+b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5． （1）求b 、c 的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）2、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，． （1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图16，在平面直角坐标系中，直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)y ax x c a =+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐第26题图（第25题图）x标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由． 4、如图14，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点． （1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM 的函数解析式；（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5、ABC △中，90C ∠=，60A ∠=，2AC =cm ．长为1cm 的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M N ，分别作AB 的垂线交直角边于P Q ，两点，线段MN 运动的时间为t s ． （1）若AMP △的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）；（2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由；（3）t 为何值时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似？ 6、已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ． （1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积． （3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？7、已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；图14⑶坐标平面内是否存在点M ，使得以点M 和⑵中抛物线 上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图19-1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，5OA =，4OC =．（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D E ，两点的坐标；（2）如图19-2，若AE 上有一动点P （不与A E ，重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（05t <<），过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N ．求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M 的坐标．9、如图，在直角坐标系xOy 中，点PA 的坐标为(01)，，直线l 过(01)B -，于C Q ，，连结AQ 交x 轴于H ，直线（1）求证：H 点为线段AQ 的中点； （2）求证：①四边形APQR 为平行四边形；②平行四边形APQR 为菱形；（3）除P 点外，直线PH 与抛物线214y x =有无其它公共点？并说明理由． x仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
2016年中考数学压轴题及解析分类汇编
2016中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一) 例1直线113y x=-+分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．(1) 写出点A、B、C、D的坐标；(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11闸北25”，拖动点Q在直线BG上运动，可以体验到，△ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种．思路点拨1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个．满分解答（1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．（2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)．（3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°． 因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么BQ ==．Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况：①当3BQ BA =3=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --． ②当13BQ BA =13=．解得13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -． 图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB ⊥BG；二是BQ ==．我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°．在Rt △BGH 中，sin 1∠=，cos 1∠=．①当3BQ BA=时，BQ = 在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =⋅∠=，cos 19BN BQ =⋅∠=．当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --．②当13BQ BA =时，BQ =31(,2)3Q ，41(,0)3Q -． 例2Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A 在x 轴上运动，可以体验到，直线AB 保持斜率不变，n 始终等于m 的2倍，双击按钮“面积BDE ＝2”，可以看到，点E 正好在BD 的垂直平分线上，FD //x 轴．拖动点P 在射线FD 上运动，可以体验到，△AEO 与△EFP 相似存在两种情况．思路点拨1．探求m 与n 的数量关系，用m 表示点B 、D 、E 的坐标，是解题的突破口．2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD //x 轴．3．如果△AEO 与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．满分解答（1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数k y x =的图像上，所以4,2.m k n k =⎧⎨=⎩整理，得n ＝2m ．（2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A ＝12，EH ＝2，所以BH ＝1．因此D (4，m )，E (2，2m )，B (4，2m ＋1)．已知△BDE 的面积为2，所以11(1)2222BD EH m ⋅=+⨯=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)．因为点D （4，1）在反比例函数k y x =的图像上，所以k ＝4．因此反比例函数的解析式为4y x =． 设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入B (4，3)、E (2，2)，得34,22.k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得12k =，1b =． 因此直线AB 的函数解析式为112y x =+． 图2 图3 图4（3）如图3，因为直线112y x =+与y 轴交于点F （0，1），点D 的坐标为（4，1），所以FD // x 轴，∠EFP ＝∠EAO ．因此△AEO 与△EFP 相似存在两种情况：①如图3，当EA EF AO FP==．解得FP ＝1．此时点P 的坐标为（1，1）．②如图4，当EA FPAO EF ==．解得FP ＝5．此时点P 的坐标为（5，1）． 考点伸展本题的题设部分有条件“Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第（1）题的结论m 与n 的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为12y x=-，直线AB 为172y x =-．第（3）题FD 不再与x 轴平行，△AEO 与△EFP 也不可能相似． 图52016中考数学压轴题函数相似三角形问题(二)例3如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I 上下运动，观察图形和图像，可以体验到，x 2－x 1随S 的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q 在DM 上运动，可以体验到，如果∠GAF ＝∠GQE ，那么△GAF 与△GQE 相似．思路点拨1．第（2）题用含S 的代数式表示x 2－x 1，我们反其道而行之，用x 1，x 2表示S ．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y 2－y 1＝3．通过代数变形就可以了．2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与x 轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与AB 的交点G 在x 轴的下方，或者假设交点G 在x 轴的上方．满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，18-）． （2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S-=． 当S =36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为（6，3）． （3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ．因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ．由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ t PQD QP t ∠==-，所以345t t =-．解得207t =． 图3 图4考点伸展第（3）题是否存在点G 在x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t 的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．例4如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上．（1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．图1动感体验请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A ′向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A A ′B ′B 为菱形．再拖动点D 在x 轴上运动，可以体验到，△B ′CD 与△ABC 相似有两种情况．思路点拨1．点A 与点B 的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B ′ 的坐标、AC 和B ′C 的长．2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．3．探求△ABC 与△B ′CD 相似，根据菱形的性质，∠BAC ＝∠CB ′D ，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．满分解答(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩解得43m =-，4n =． (2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--=x x y ()2416133x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4． 因此平移后的抛物线的解析式为()3164342,+--=x y ． 图2(3) 由点A (-2，4) 和点B ′ (6，0)，可得A B ′＝如图2，由AM //CN ，可得''''B N B C B M B A=，即28=．解得'B C =AC =形的性质，在△ABC 与△B ′CD 中，∠BAC ＝∠CB ′D ．①如图3，当''AB B C AC B D ==，解得'3B D =．此时OD ＝3，点D 的坐标为（3，0）． ②如图4，当''A B B D A C B C ==，解得5'3B D =．此时OD ＝133，点D 的坐标为（133，0）． 图3 图4 考点伸展在本题情境下，我们还可以探求△B′CD与△AB B′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．我们也可以讨论△B′CD与△C B B′相似，这两个三角形有一组公共角∠B，根据对应边成比例，分两种情况计算．2016中考数学压轴题函数相似三角形问题(三) 例5如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,图1动感体验请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景．双击按钮“第(3)题”， 拖动点D 在x 轴上方的抛物线上运动，观察△DCA 的形状和面积随D 变化的图象，可以体验到，E 是AC 的中点时，△DCA 的面积最大．思路点拨1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ． （2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4． 如果2==CO AO PM AM ，那么24)4)(1(21=----xx x ．解得5=x 不合题意． 如果21==CO AO PM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4 （3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ． 当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(<<m ，那么42)4(21)2(214)22(21++-=--+-⨯+=n m m n n m n S ． 由于225212-+-=m m n ，所以m m S 42+-=． 例6如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图 备用图动感体验请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D 可以在射线BA 上运动．双击按钮“第（2）题”，拖动点D 可以体验到两圆可以外切一次，内切两次．双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE 为腰”和“DE 为底边”，可以体验到，△DEF 为等腰三角形．思路点拨1．先解读背景图，△ABC 是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF 也是等腰三角形． 2．用含有x 的式子表示BD 、DE 、MN 是解答第（2）题的先决条件，注意点E 的位置不同，DE 、MN 表示的形式分两种情况．3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意． 4．第（3）题按照DE 为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．满分解答（1）如图2，作BH ⊥AC ，垂足为点H ．在Rt △ABH 中，AB ＝5，cosA ＝310AH AB =，所以AH ＝32＝12AC ．所以BH 垂直平分AC ，△ABC 为等腰三角形，AB ＝CB ＝5． 因为DE //BC ，所以AB AC DB EC =，即53y x=．于是得到53y x =，（0x >）． （2）如图3，图4，因为DE //BC ，所以DE AE BC AC =，MN AN BC AC =，即|3|53DE x -=，1|3|253x MN -=．因此5|3|3x DE -=，圆心距5|6|6x MN -=．图2 图3 图4在⊙M 中，115226M r BD y x ===，在⊙N 中，1122N r CE x ==． ①当两圆外切时，5162x x +5|6|6x -=．解得3013x =或者10x =-． 如图5，符合题意的解为3013x =，此时5(3)15313x DE -==． ②当两圆内切时，5162x x -5|6|6x -=． 当x ＜6时，解得307x =，如图6，此时E 在CA 的延长线上，5(3)1537x DE -==； 当x ＞6时，解得10x =，如图7，此时E 在CA 的延长线上，5(3)3533x DE -==．图5 图6 图7（3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 也是等腰三角形．如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1．如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时12534BF =． 图8 图9 图10 图11考点伸展第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH 是△ABC 的高，D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形DEHF 是等腰梯形．例 7如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由； （2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式． 图1动感体验请打开几何画板文件名“08杭州24”，拖动点A 在y 轴上运动，可以体验到，AQ 与BC 保持平行，OA ∶OB 与OA ∶OB ′保持3∶2．双击按钮“t ＝3”，“t ＝0．6”，“t ＝－0．6”，“t ＝－3”，抛物线正好经过点B （或B ′）．思路点拨1．数形结合思想，把OC OB OA ⋅=2转化为212t x x =⋅．2．如果AQ ∥BC ，那么以OA 、AQ 为邻边的矩形是正方形，数形结合得到t ＝b ． 3．分类讨论tan ∠ABO ＝23，按照A 、B 、C 的位置关系分为四种情况．A 在y 轴正半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况；A 在y 轴负半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况．满分解答（1）因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q （t ，b ），所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(．因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0>b t ．令0=y ，得-=t OB t b，+=t OC tb ． 所以-=⋅t OC OB (|||||tb)( +t t b)|-=2|t 22|OA t tb ==．即22b t t t -=±．所以当32t b =时，存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=．（2）因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(．解得1,121+=-=t x t x ． ①当0>t 时，由||||OC OB <，得)0,1(-t B ．如图2，当01>-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ，解得3=t ．此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y ．如图3，当01<-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ，解得=t 53．此时二次函数的解析式为-=y 532x ＋2518x ＋12548． 图2 图3②如图4，如图5，当0<t 时，由||||OC OB <，将t -代t ,可得=t 53-，3-=t ．此时二次函数的解析式为=y 532x ＋2518x －12548或241832++=x x y ． 图4 图5考点伸展第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为2()y t x t t =--+．由3tan 2OA ABO OB ∠==，得23O B O A =．①把2(,0)3B t 代入2()y t x t t =--+，得3t =±（如图2，图5）． ②把2(,0)3B t -代入2()y t x t t =--+，得35t =±（如图3，图4）．2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一)例1如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P 在OC 上运动，可以体验到，△APD 的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”， 拖动点P 由O 向C 运动，可以体验到，点H 在以OM 为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切换．思路点拨1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ．满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MC BD DM MB ===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-． ①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）．②当PA ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H ． 考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32m =．②如图4，当PA ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43m =．第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．图6 图7例2如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R 由B 向O 运动，从图像中可以看到，△APR 的面积有一个时刻等于8．观察△APQ ，可以体验到，P 在OC 上时，只存在AP ＝AQ 的情况；P 在CA 上时，有三个时刻，△APQ 是等腰三角形．思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR 的面积等于8，按照点P 的位置分两种情况讨论．事实上，P 在CA 上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ ，按照点P 的位置分两种情况讨论，点P 的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)． 令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8APR ACP POR CORA S S S S =--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，AB =OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1． 我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-．如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =．如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当PA ＝PQ 时，那么12cos AQ A AP∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =．综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P 在CA 上，QP ＝QA 时，也可以用2cos AP AQ A =⋅∠来求解．2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二)例3如图1，在直角坐标平面内有点A (6, 0)，B (0, 8)，C (－4, 0)，点M 、N 分别为线段AC 和射线AB 上的动点，点M 以2个单位长度/秒的速度自C 向A 方向作匀速运动，点N 以5个单位长度/秒的速度自A 向B 方向作匀速运动，MN 交OB 于点P ．(1)求证：MN ∶NP 为定值；(2)若△BNP 与△MNA 相似，求CM 的长； (3)若△BNP 是等腰三角形，求CM 的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“10闸北25”，拖动点M在CA上运动，可以看到△BNP与△MNA的形状随M的运动而改变．双击按钮“△BNP∽△MNA”，可以体验到，此刻两个三角形都是直角三角形．分别双击按钮“BP＝BN，N在AB上”、“NB＝NP”和“BP＝BN，N在AB的延长线上”，可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况．思路点拨1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．4．探求等腰三角形BNP，N在AB上时，∠B是确定的，把夹∠B的两边的长先表示出来，再分类计算．满分解答(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒．在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t，AQ＝3t．在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．在图3中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．(2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．如图4，△BNP ∽△MNA ，在Rt △AMN 中，35AN AM =，所以531025t t =-．解得3031t =．此时CM 6031=． 图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，OP MP QN MN =，即245OP t =．所以85OP t =． ①当N 在AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的，885BP t =-，105BN t =-．(Ⅰ)如图5，当BP ＝BN 时，解方程881055t t -=-，得1017t =．此时CM 2017=． (Ⅱ)如图6，当NB ＝NP 时，45BE BN =．解方程()1848105255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得54t =．此时CM 52=． (Ⅲ)当PB ＝PN 时，1425BN BP =．解方程()1481058255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得t 的值为负数，因此不存在PB ＝PN 的情况． ②如图7，当点N 在线段AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存在BP ＝BN 的可能，此时510BN t =-．解方程885105t t -=-，得3011t =．此时CM 6011=． 图5 图6 图7考点伸展如图6，当NB ＝NP 时，△NMA 是等腰三角形，1425BN BP =，这样计算简便一些． 例4如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？ 图1动感体验请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E 在BC 上运动，观察y 随x 变化的函数图像，可以体验到，y 是x 的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图像，可以看到，当E 是BC 的中点时，y 取得最大值．双击按钮“m ＝8”，拖动E 到BC 的中点，可以体验到，点F 是AB 的四等分点．拖动点A 可以改变m 的值，再拖动图像中标签为“y 随x ” 的点到射线y ＝x 上，从图形中可以看到，此时△DCE ≌△EBF ．思路点拨1．证明△DCE ∽△EBF ，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y 关于x 的函数关系式．2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF 为等腰三角形，那么得到x ＝y ；一段是计算，化简消去m ，得到关于x 的一元二次方程，解出x 的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m 的值．满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF =，即8m x x y -=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m=-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．(3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m =，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图4）． 图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性． 2016中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“09重庆26”，拖动点G 在OC 上运动，可以体验到，△DCG 与△DEF 保持全等，双击按钮“M 的横坐标为1.2”，可以看到，EF ＝2，GO ＝1．拖动点P 在AB 上运动的过程中，可以体验到，存在三个时刻，△PCG 可以成为等腰三角形．思路点拨1．用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到．2．过点M 作MN ⊥AB ，根据对应线段成比例可以求FA 的长．3．将∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG 与△DEF 保持全等．4．第（3）题反客为主，分三种情况讨论△PCG 为等腰三角形，根据点P 的位置确定点Q 的位置，再计算点Q 的坐标．满分解答（1）由于OD 平分∠AOC ，所以点D 的坐标为（2，2），因此BC ＝AD ＝1．由于△BCD ≌△ADE ，所以BD ＝AE ＝1，因此点E 的坐标为（0，1）．设过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，那么⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.039,224,1c b a c b a c 解得65-=a ，613=b 1=c ．因此过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为1613652++-=x x y ．（2）把56=x 代入1613652++-=x x y ，求得512=y ．所以点M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛512,56． 如图2，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，那么DA DN FA MN =，即25622512-=-FA ．解得1=FA ． 因为∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG ≌△DEF ，所以CG ＝EF ＝2．因此GO ＝1，EF ＝2GO ． （3）在第（2）中，GC ＝2．设点Q 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++-161365,2x x x ． ①如图3，当CP ＝CG ＝2时，点P 与点B （3，2）重合，△PCG 是等腰直角三角形．此时G Q Q x x y -=，因此11613652-=++-x x x 。
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中考数学压轴题专项训练（一）
解答题
1.（11分）如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A(1，1)，B(3，1)．动点
P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过点P作PQ⊥OA，垂足为Q．设
点P移动的时间为t秒（0
（1）求经过O，A，B三点的抛物线解析式．
（2）求S与t的函数关系式．
（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物
线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
OABCPQxy1123
OABCPQxy1123
中考数学压轴题专项训练（二）
解答题
2.（11分）如图，抛物线22bxaxy与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，
与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标．
（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐
标．
（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q．若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′，
是否存在点P，使点Q′恰好在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明
理由．
y
xDCBO
A
y
xDCBO
A
中考数学压轴题专项训练（四）
解答题
4.（11分）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(-3，0)，点B(1，0)，交y轴于点E(0，-3)．点
C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=-x+m
过点C，交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线，交直线CD于点H，
交抛物线于点G，求线段HG长度的最大值；
（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四
边形，求点N的坐标．
l
A
KOBFCGEHDx
y
中考数学压轴题专项训练（五）
解答题
5.（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线3342yx与抛物线214yxbxc交于A，B
两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A，B重合），过点P作x轴的垂线，
垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大
值．
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、
位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．
y
xBCO
E
D
A
G
F
P
中考数学压轴题专项训练（六）
解答题
6.（11分）如图1，点A为抛物线C1：2122yx的顶点，点B的坐标为
(1，0)，直线AB交抛物线C1于另一点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴
的直线x=a交直线AB于点F，交抛物线C1于点G，若FG:DE=4:3，求a的值；
（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m>0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点
为P，交x轴负半轴于点M，交射线AB于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，
求m的值．
C
D
BAO3x
y
E
QPMyx
O
A
B
N
图1 图2