随机变量及其分布

（3）随机变量与随机事件的关系 随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之 内。或者说：随机事件是从静态的观点来研究随 机现象，而随机变量则是从动态的观点来研究随 机现象。 所以，随机变量概念的产生是概率论发展史上的 重大事件，引入随机变量后，对随机现象统计规 律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为 对随机变量及其取值规律的研究。
F ( x)
o
x1

x2

x
反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是 某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(4)是鉴 别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.
三、例题讲解
例1 已 知 随 机 变 量 X在 整 个 实 轴 上 取 值 ,其分布 函数为 A Be x , x 0 F ( x) { 0, x0 其 中 0为 常 数 ,求 常 数 A, B的 值. 解 由分布函数的性质知
于是F ( x ) P{ X x } 0;
2 P {0 X x } k x , k是常数. 当 0 x 2时,
由P{0 X 2} 1, 得4k 1, 即 k 1 . 4 x2 因而P{0 X x } . 4
于是
F ( x ) P{ X x }
x2 P { X 0} P {0 X x } . 4 当 x 2时,
F ( x ) P{ X x } 1.
故 X 的分布函数为 x 0, 0, 2 x F ( x ) , 0 x 2, 4 x 2. 1,
其图形为一连续曲线
实例2 抛掷骰子，观察出现的点数，则有
{1， 2， 3， 4， 5， 6}
样本点本身就是数量 X(e)=e 恒等变换
X(1)=1,X(2)=2,X(3)=3,X(4)=4,X(5)=5,X(6)=6
2. 随机变量的概念
定义 设E是一随机试验， 是它的样本空间， 若
按一定法则 1实数X ( )
利用分布函数可以计算
P ( a X b) P ( X b) P ( X a ) F (b) F (a)
（ ] a ] b
P( X a) 1 P( X a) 1 F (a)
2.分布函数的性质
(1) 0 F ( x) 1, x (,); ( 2) F ( x1 ) F ( x2 ), ( x1 x2 ); (单调不减性)
（2）随机变量的引入
实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球， 观察摸出球的颜色
{红色、白色} 将数量化
？
可采用下列方法
红即有 X（红色）=1，X（白色）=0
1, X (e ) 0, e 红色 e 白色
这样便将非数量的 {红色、白色} 数量化了。
证明 由 x1 x2 { X x1 } { X x2 },
得 P{ X x1 } P{ X x2 },
又 F ( x1 ) P{ X x1 }, F ( x2 ) P{ X x2 },
故 F ( x1 ) F ( x2 ).
( 3) F ( ) lim F ( x ) 0, F () lim F ( x) 1; x
( x )
F ( x) P ( X x)
为 X 的分布函数. 记作 X ～ F(x) 或 FX(x). 如果将X看作数轴上随机点的坐标,则分布 函数F(x)的值就表示X落在区间(-, x]的概率. X x x 由定义， F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.
———|——>
o
所以
x
o
x
lim F ( x) lim P{ X x} 1.
x
(4) lim F ( x ) F ( x0 ), ( x0 ).
x x0
即任一分布函数处处右连续.
0, x 0, 1 p , 0 x x , 1 1 p2 F ( x) p2 , x1 x x2 , p 1 1 , x x . 2
实例4 在有两个孩子的家庭中，考虑其性别， 共有4个样本点：
e1 （男，男），e2 （男，女）， e3 （女，男），e4 （女，女）
若用 X 表示该家女孩子的个数时，则有 X (e1 ) 0, X (e2 ) 1, X (e3 ) 1, X (e4 ) 2 可得随机变量X (e ), 0, X (e ) 1, 2, e e1 e e2 , e e3 e e4
四、小结
1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性
的, 因此为了方便有力地研究随机现象, 就需将随 机事件数量化,把一些非数量表示的随机事件用数 字表示时, 就建立起了随机变量的概念. 因此随机 变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数.
2. 随机变量分布函数的概念
F ( x ) P{ X x }
F () A 1. 由分布函数的右连续性 F (0) A B 0
于是有A 1, B 1.
例2 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数. 解 当 x 0时, P{ X x }是不可能事件,
3.随机变量的分类
随机变量
离散型
非离散型
连续型
其它
（1）离散型 随机变量所有可能值是有限多 个或可列多个，叫做离散型随机变量。
实例1 观察一个骰子出现的点数，随机变量 X的可能值是1，2，3，4，5，6 实例2 若随机变量X记为“连续射击，直至 命中时的射击次数”，则X的可能值是1， 2，3‥‥‥
实例 3 掷一个硬币, 观察出现的结果 , 共有两种
情况:
e1 (反面朝上), e2 (正面朝上),
若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
e1 (反面朝上) e2 (正面朝上)
X (e )
0 X (e1 ) 0
1 X ( e2 ) 1
即 X (e) 是一个随机变量.
3. 分布函数的性质(4个性质)
x
证明 F ( x ) P{ X x }, 当 x 越来越小时,
P{ X x} 的值也越来越小 , 因而当 x 时, 有
x
lim F ( x ) lim P{ X x } 0
x
x 同样,当 x 增大时 P{ X x} 的值也不会减小 , 而 X (, x] 当 x + 时, X 必然落在 (, )内.
则称 上的单值实值函数 X ( )为随机变量 （random variable） 随机变量一般用 X, Y , Z ,或小写希腊字母 , , 表示
说明
(1)随机变量与普通的函数不同
随机变量是一个函数 , 但它与普通的一元函 数有着本质的差别 ,普通一元函数是定义在实数 轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本 空间的元素不一定是实数). (2)随机变量的取值具有一定的概率规律 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因 此随机变量的取值也有一定的概率规律.
（2）连续型 随机变量所取的可能值可以连 续地充满某个区间，叫做连续型随机变量。
实例 随机变量 X 为“灯泡的寿命”，则 X 的取值范围为[0,+).
二、分布函数的概念
为了对随机变量r.v（random variable）给出一种统一的描述方法， 下面引进分布函数的概念.
1.分布函数的定义
设 X 是一个 r.v，称
第 四 章
随 机 变 量 及 其 分 布
第4.1节
随机变量及分布函数
一、随机变量的概念 二、分布函数的概念
三、例题讲解
四、小结
一、随机变量的概念
1.随机变量的引入
（1）为什么要引入随机变量？ 概率论是从数量上研究随机现象内在规律 性的，为了更方便有力的研究随机现象， 就要用数学分析的方法进行研究，因此为 了便于数学上的推导和计算，就需将任意 的随机事件数量化，把一些非数量表示的 随机事件用数字来表示时，就建立起了随 机变量的概念。
实例5 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8， 现该射手不断向目标射击，直到射中目标为止， 则X(e)=“所需射击次数”是一个随机变量，且X(e) 的所有可能取值为1，2，3，‥‥‥ 实例6 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过， 如果某人到达该车站的时刻是随机的，则 X(e)=“此人的等车时间”是一个随机变量，且X(e) 所有可能的取值为[0,5].