2016届高三数学二模预测3
高考数学二模试题2016年高三二模客观题难题解析(上)
2016年高三二模客观题难题解析（上）——奉贤、三区（徐汇、金山、松江）、浦东、崇明、四区（青浦、嘉定、宝山、长宁）、虹口、黄浦一、【奉贤区】13（理）、在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，若点P 是棱上一点，则满足2PA PC '+=的 点P 的个数 ； 解析：法一（枚举法）：一条棱一条棱的分别枚举，通过对称性可以找到一定的规律，满足条件的点应该在棱''C B ，''D C ，'CC ，'AA ，AB ，AD 上，各有一点，故满足条件一共有6个点；法二（定义法）：因为正方体的体对角线且2'=+PC PA ，所以点P 是以32=c ，以1=a 为长半轴，以21为短半轴的椭球上，因为P 在正方体的棱上，所以点P 应是椭圆与正方体的棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱''C B ，''D C ，'CC ，'AA ，AB ，AD 上，各有一点，故满足条件一共有6个点；14（理）、若数列{}n a 前n 项和n S 满足2121n n S S n -+=+（2n ≥，*n N ∈），且满足1a x =，{}n a 单调递增，则x 的取值范围是 ；解析：由题意：2121n n S S n -+=+，根据公式法，做差得，142n n a a n ++=+，……①，退一步，即241-=+-n a a n n ，……②，再做差得：411=--+n n a a （3n ≥），故{}{}122,-k k a a 是从第二项起的分奇偶项的以4为公差的等差数列，若要满足{}n a 单调递增，则只需321a a a <<即可；所以分别计算出123,92,12a x a x a x ==-=+，代入计算即可，故答案为：()3,2∈x ；17（理）、设12,z z C ∈，221122240z z z z -+=，2||2z =，那么以1||z 为直径的圆的面积为（ ）A.π B. 4π C. 8π D. 16π解析：法一（复杂法）：221122240z z z z -+=，两边同除21z z ，可得：0421221=+-z zz z ，设t z z =21，则0422=+-z z ，设bi a z +=，则可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⇒+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++041241024422222222b a b b a a i i b a b b b a a a ， 解得：①⎩⎨⎧==02b a 舍去；②⎩⎨⎧±==31b a ，2121231z z z i z zz ==⇒±==⇒，1||z 4=，2=r ，故为B ； 法二（韦达法）：221122240z z z z -+=，两边同除21z z ，可得：0421221=+-z zz z ，设t z z =21，则0422=+-z z ，设方程两根为：43,z z ，根据韦达，424121243=⇒==⇒==z z z z z z z ，故选B ；18、方程935x x b ++=（b R ∈）有两个负实数解，则b 的取值范围为（ ） A. (3,5) B. ( 5.25,5)-- C. [ 5.25,5)-- D. 前三个都不正确解析：设t x =3，因为0<x ，故()1,0∈t ；根据数形结合，可作出2个函数图象：b t y +=和25t y -=，故b 的取值范围就卡在直线b t y --=过点()5,0和与抛物线相切时的2个临界值之间：故答案选B ；二、【徐汇区+金山区+松江区=三区合卷】13（理）14（文）定义在R 上的奇函数)(x f ，当0≥x 时，[)[)⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∈+=,1,311,0),1(log )(21x x x x x f ，则关于x 的函数)10(,)()(＜＜a a x f x F -=的所有零点之和为 （结果用a 表示）。
2016年高考数学二模试卷
2015-2016学年高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015秋•临沂月考）已知集合A={0，x}，B={x2，﹣x2，|x|﹣1}，若A⊆B，则实数x的值为（）A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．22．（5分）（2015•浙江模拟）下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=B．y=﹣x2+1 C．．y=2x D．y=lg|x+1|3．（5分）（2015秋•临沂期中）函数f（x）=2﹣2sin2（+π）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π4．（5分）（2012•武昌区模拟）若=（）A．B．C．D．5．（5分）（2015秋•临沂期中）已知命题p：∀x∈R，x2﹣5x+6＞0，命题q：∃α、β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）6．（5分）（2015•青岛一模）“∀n∈N*，2a n+1=a n+a n+2”是“数列{a n}为等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件7．（5分）（2015秋•临沂期中）设四边形ABCD为平行四边形，||=3，||=4，若点M、N满足=3，=2，则•=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（5分）（2015秋•临沂期中）某几何体的三视图如图，则此几何体的体积为（）A．6 B．34 C．44 D．549．（5分）（2015秋•临沂期中）设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则+的最小值为（）A．3+2B．3﹣2C．8 D．1010．（5分）（2015秋•临沂期中）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）＞2x﹣1的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1≤x＜1} D．{x|﹣1＜x≤2}二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.11．（5分）（2014•抚州校级一模）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=．12．（5分）（2015秋•临沂期中）函数f（x）=的定义域是．13．（5分）（2015秋•临沂期中）一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为60cm，80cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是cm2．14．（5分）（2015秋•临沂期中）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sin（x+φ）cosφ的最大值为．15．（5分）（2015秋•临沂期中）定义在R上函数f（x）满足f（1）=1，f′（x）＜2，则满足f（x）＞2x﹣1的x的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程. 16．（12分）（2015秋•临沂期中）在锐角△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠所对的边，若向量=（3，﹣sinA），=（a，5c），且•=0．（1）求的值；（2）若c=4，且a+b=5，求△ABC的面积．17．（12分）（2015秋•临沂期中）如图，在各棱长均相等的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1AC=60°，D为AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求证：平面ABB1A1⊥平面AB1C．18．（12分）（2015秋•临沂期中）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|ω|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0 2f（x）的解析式；（2）将y=f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）的图象，求当x∈[﹣，]时，函数f（x）=g（x）的值域．19．（12分）（2015秋•临沂期中）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足++…+=（n2+n+2）•2n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．20．（13分）（2015秋•临沂期中）设f（x）=e x（lnx﹣a）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）若y=f（x）在x=1处的切线方程为y=2ex+b，求a、b的值；（2）若[，e]是y=f（x）的一个单调递减区间，求a的取值范围．21．（14分）（2015秋•临沂期中）已知f（x）=x（x﹣a）．（1）当x∈[0，1]时，f（x）有最小值﹣3，求实数a的值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣lnx有零点，求a的最小值．22.（2016春•湖北月考）在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ=2，正三角形ABC的顶点都在C1上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为（2，0）．（1）求点B，C的直角坐标；（2）设P是圆C2：x2+（y+）2=1上的任意一点，求|PB2|+|PC|2的取值范围．2015-2016学年山东省临沂市高三（上）11月质检数学试卷（文科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A；2．D；3．C；4．D；5．C；6．C；7．B；8．D；9．A；10．C；二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.11．；12．（1，2）；13．1200；14．1；15．（-∞，1）；三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程.16．；17．；18．；19．；20．；21．；。
2016年广东深圳理科高三二模数学试卷-学生用卷
2016年广东深圳理科高三二模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第1题5分若复数满足（为虚数单位），则（）．A. B. C. D.2、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第2题5分2017~2018学年10月广东广州黄埔区广州市第二中学科学城校区高三上学期月考理科第2题5分2016年广东深圳高三二模文科第2题5分设，是两个集合，则“”是“”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第3题5分2016~2017学年广东深圳福田区深圳市高级中学高中部高二上学期期中理科第2题5分2019~2020学年广东汕头濠江区汕头市金山中学高一上学期期末第2题5分2019~2020学年9月广东深圳南山区深圳市南头中学高三上学期周测D卷理科第5题5分2017~2018学年广西南宁兴宁区广西南宁市第三中学高二下学期期中理科第9题5分若，则（）．A. B. C. D.4、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第4题5分若实数，满足约束条件则目标函数的最大值为（）．A. B. C. D.5、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第5题5分2016年广东深圳高三二模文科第7题5分在如图所示的流程图中，若输入，，的值分别为，，，则输出的（）．A. B. C. D.6、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第6题5分2017~2018学年10月广东广州黄埔区广州市第二中学科学城校区高三上学期月考理科第6题5分已知函数的图象是由函数的图象经过如下变换得到：先将的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数的图象的一条对称轴方程为（）．A.B.C.D.7、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第7题5分以直线为渐近线的双曲线的离心率为（）．A.B.C. 或D.8、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第8题5分2019~2020学年广东深圳福田区深圳市高级中学高中部高二下学期期中第10题5分2018~2019学年6月河北唐山路北区河北省唐山市开滦第二中学高二下学期月考理科第7题5分位男生和位女生共位同学站成一排，则位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（）．A. B. C. D.9、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第9题5分2018~2019学年广东佛山顺德区高一下学期期末第11题5分2018~2019学年北京东城区北京市东直门中学高一下学期期中第15题2019年陕西西安莲湖区西安远东教育集团第二中学高三四模理科第12题5分2019~2020学年9月湖北荆州荆州区荆州中学高二上学期月考第7题3分如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则（）．A. B. C. D.10、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第10题5分2019~2020学年9月广东深圳南山区深圳市南头中学高三上学期周测D卷理科第11题5分已知，则关于的不等式的解集为（）．A.B.C.D.11、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第11题5分2017年广西柳州高三一模理科第12题5分如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）．A. B. C. D.12、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第12题5分设定义在上的函数满足，，则（）．A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值，又有极小值D. 既无极大值，也无极小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第13题5分2019~2020学年上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高三上学期期中第4题4分高为，体积为的圆柱体的侧面展开图的周长为．14、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第14题5分2018~2019学年广东深圳盐田区深圳外国语学校高一下学期期末第15题4分2015~2016学年广东深圳福田区深圳市高级中学高中部高一下学期期末理科第7题5分2017~2018学年上海青浦区高二下学期期末第7题5分过点的直线与圆：相交于，两点，当弦的长取最小值时，直线的倾斜角等于．15、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第15题5分在的展开式中，项的系数为（结果用数值表示）．16、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第16题5分如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共60分）17、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第17题12分设数列的前项和为，是和的等差中项．(1) 求数列的通项公式．(2) 求数列的前项和．18、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第18题12分2018~2019学年5月广东广州荔湾区广州市真光中学高二下学期月考理科第18题12分某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于分为“优秀”，小于分为“不合格”，其它为“合格”．(1) 某校高一年级有男生人，女生人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如下表：根据表中统计的数据填写下面列联表，并判断是否有的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”？(2) 以（）中抽取的名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取人．参考公式：，其中．临界值表：①求所选人中恰有人综合素质评价为“优秀”的概率；②记表示这人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求的数学期望．19、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第19题12分2017年陕西宝鸡高三三模理科第19题12分2019年北京海淀区首都师范大学附属中学高三一模理科模拟第17题13分在三棱柱中，，侧面是边长为的正方形，点，分别在线段、上，且，，．(1) 证明：平面平面．(2) 若，求直线与平面所成角的正弦值．20、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第20题12分过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，且，两点的纵坐标之积为．(1) 求抛物线的方程．(2) 已知点的坐标为，若过和两点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线与轴交于一定点．21、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第21题12分已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．(1) 求实数的值．(2) 用表示，中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围．四、选做题 (本大题共3小题，选做1题，共10分)22、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第22题10分2017~2018学年江苏苏州高三上学期期中第21题2016年广东深圳高三二模文科第22题10分如图，为圆的直径，在圆上，于，点为线段上任意一点，延长交圆于，．(1) 求证：．(2) 若，求的值．23、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第23题10分2021年陕西高三二模文科第22题10分2021年陕西西安莲湖区高三一模文科第22题10分2021年陕西高三二模理科第22题10分已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中轴的正半轴重合，若曲线的参数方程为（是参数），直线的极坐标方程为．(1) 将曲线的参数方程化为极坐标方程．(2) 由直线上一点向曲线引切线，求切线长的最小值．24、【来源】 2016年广东深圳高三二模理科第24题10分已知关于的不等式有解，记实数的最大值为．(1) 求的值．(2) 正数，，满足，求证：．1 、【答案】 D;2 、【答案】 B;3 、【答案】 C;4 、【答案】 C;5 、【答案】 A;6 、【答案】 A;7 、【答案】 C;8 、【答案】 B;9 、【答案】 D;10 、【答案】 C;11 、【答案】 B;12 、【答案】 D;13 、【答案】;14 、【答案】;15 、【答案】;16 、【答案】;17 、【答案】 (1);(2);18 、【答案】 (1) 列联表为：没有的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”．;(2)①．②．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) ．;20 、【答案】 (1);(2) 证明见解析;21 、【答案】 (1);(2);22 、【答案】 (1) 证明见解析;(2) ．;23 、【答案】 (1) ．;(2) ．;24 、【答案】 (1) ．;(2) 证明见解析．;。
2016东城区届高三二模数学理试题及答案
北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（二）数学 （理科） 2016.5学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1．集合{1234}A =，，，，{|3}B x R x =∈≤，则=A BA.{1234}，，， B. {123}，， C. {23}， D.{14}， 2．已知命题p ：∃x ∈R 有sinx ≥1，则﹁p 为A. sin 1x R x ∀∈≤，B.sin 1x R x ∃∈<，C. sin 1x R x ∀∈<，D.,sin 1x R x ∃∈≤3．如图，ABC 为正三角形，111////AA BB CC ，1CC ⊥底面ABC ，若1122BB AA ==，113AB CC AA ==，则多面体111ABC A B C -在平面11A ABB 上的投影的面积为A.274 B. 92 C. 9 D. 2724．若向量=(1,0)a ，=(2,1)b ，=(,1)x c 满足条件3a -b 与c 共线，则x 的值A. 1B. -3C. -2D. -15．成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后 成 为等比数列{}n b 中的b 、b 、b ，则数列{}n b 的通项公式为A. 12n n b -=B. 13n n b -=C. 22n n b -=D. 23n n b -=6．一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠劵，每张优惠券只能购买一件商品。
根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%； 优惠劵2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠劵3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%。
2016年天津市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年天津市高考数学二模试卷（理科）一、选择题1．（5分）若集合A＝{y|y＝2x}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，那么A∩（∁U B）＝（）A．（0，3]B．[﹣1，3]C．（3，+∞）D．（0，﹣1）∪（3，+∞）2．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝2x﹣y﹣1的最大值为（）A．5B．4C．D．﹣33．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）A．64B．73C．512D．5854．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4B．3C．2﹣2D．5．（5分）已知条件p：|x+1|＞2，条件q：|x|＞a，且￢p是￢q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．1≤a≤3C．a≤1D．a≥36．（5分）已知双曲线﹣＝1（a，b＞0）抛物线y2＝4x共焦点，双曲线与抛物线的一公共点到抛物线准线的距离为2，双曲线的离心率为e，则2e﹣b2的值是（）A．+1B．2﹣2C．4﹣2D．47．（5分）设a＞b＞0，a+b＝1且x＝（）b，y＝a，z＝a，则x，y，z的大小关系是（）A．y＜x＜z B．z＜y＜x C．y＜z＜x D．x＜y＜z8．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）二、填空题9．（5分）在复平面内，复数+（1+2i）2的共轭复数对应的点位于第象限．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是．11．（5分）如图，⊙O是以AB为直径的圆，点C在圆上，在△ABC和△ACD中，∠ADC ＝90°，∠BAC＝∠CAD，DC的延长线与AB的延长线交于点E．若EB＝6，EC＝6，则BC的长为．12．（5分）已知二项式（+）n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x的系数等于．13．（5分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝2c sin A，c＝，且△ABC的面积为，则a+b＝．14．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，P矩形内的一点，且AP＝，若＝λ+μ，（λ，μ∈R），則λ+μ的最大值为．三、解答题15．（13分）设f（x）＝sin（x﹣）﹣2cos2x+1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线x＝1对称，求当x∈[0，]时，y＝g（x）的最大值．16．（13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．17．（13分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．（1）求证AM∥平面BDE；（2）求二面角A﹣DF﹣B的大小；（3）试在线段AC上一点P，使得PF与CD所成的角是60°．18．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n＝﹣a n﹣（）n﹣1+2（n∈N*），数列{b n}满足b n＝2n a n．（Ⅰ）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝log2，数列{}的前n项和为T n，求满足T n（n∈N*）的n的最大值．19．（14分）椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且与椭圆x2+＝1有相同离心率，直线l：y＝kx+m与椭圆C交于不同的A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q，满足+＝λ，（O为坐标原点），求实数λ取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若a＝﹣1，证明：函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；（Ⅱ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y＝0平行，求a的值；（Ⅲ）若x＞0，证明：（其中e＝2.71828…是自然对数的底数）．2016年天津市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）若集合A＝{y|y＝2x}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，那么A∩（∁U B）＝（）A．（0，3]B．[﹣1，3]C．（3，+∞）D．（0，﹣1）∪（3，+∞）【解答】解：集合A＝{y|y＝2x}＝{y|y＞0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，∁U B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}＝{x|﹣1≤x≤3}，A∩（∁U B）＝（0，+∞）∩[﹣1，3]＝（0，3]．故选：A．2．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝2x﹣y﹣1的最大值为（）A．5B．4C．D．﹣3【解答】解：由约束条件作可行域如图，由z＝2x﹣y﹣1，得：y＝2x﹣z﹣1．要使z最大，则直线y＝2x﹣z﹣1在y轴上的截距最小，由图可知，当直线过可行域内的点C时在y轴上的截距最小．联立，解得C（2，﹣1）．∴目标函数z＝2x﹣y﹣1的最大值为2×2﹣（﹣1）+1＝4．故选：B．3．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）A．64B．73C．512D．585【解答】解：经过第一次循环得到S＝0+13，不满足S≥50，x＝2，执行第二次循环得到S＝13+23，不满足S≥50，x＝4，执行第三次循环得到S＝13+23+43＝73，满足判断框的条件，退出循环，执行“是”，输出S＝73．故选：B．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4B．3C．2﹣2D．【解答】解：∵a1＝1，a1、a3、a13 成等比数列，∴（1+2d）2＝1+12d．得d＝2或d＝0（舍去），∴a n＝2n﹣1，∴S n＝＝n2，∴＝．令t＝n+1，则＝t+﹣2≥6﹣2＝4当且仅当t＝3，即n＝2时，∴的最小值为4．故选：A．5．（5分）已知条件p：|x+1|＞2，条件q：|x|＞a，且￢p是￢q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．1≤a≤3C．a≤1D．a≥3【解答】解：由|x+1|＞2，得x+1＜﹣2或x+1＞2，解得x＜﹣3或x＞1；由|x|＞a，若a＜0，得x∈R，若a≥0，得x＜﹣a或x＞a．∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴不等式|x+1|＞2的解集为|x|＞a的解集的真子集，则当a＜0时，符合条件，当a≥0时，a≤1．∴a≤1．故选：C．6．（5分）已知双曲线﹣＝1（a，b＞0）抛物线y2＝4x共焦点，双曲线与抛物线的一公共点到抛物线准线的距离为2，双曲线的离心率为e，则2e﹣b2的值是（）A．+1B．2﹣2C．4﹣2D．4【解答】解：由抛物线y2＝4x可得焦点F（1，0），又双曲线﹣＝1（a，b＞0）与抛物线y2＝4x共焦点，∴a2+b2＝1．设双曲线与抛物线的一公共点为P（x0，y0）．（y0＞0）．∵点P到抛物线准线的距离为2，∴x0+1＝2，解得x0＝1，把x0＝1代入抛物线方程可得，解得y0＝2．把点P（1，2）代入双曲线方程可得．联立，解得．∴2e﹣b2＝＝4．故选：D．7．（5分）设a＞b＞0，a+b＝1且x＝（）b，y＝a，z＝a，则x，y，z的大小关系是（）A．y＜x＜z B．z＜y＜x C．y＜z＜x D．x＜y＜z【解答】解：∵a＞b＞0，a+b＝1，∴，∴y＝a＞z＝a，即y＞z．∵a＞b＞0，a+b＝1，∴，，0＜b＜a＜1．∴y＜0，＝1．∴x＞z．∴y＜z＜x．故选：B．8．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝x2，∴f（x）﹣x2 +f（﹣x）﹣x2 ＝0，令g（x）＝f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）＝f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2＝0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．∴x∈（0，+∞）时，g′（x）＝f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）＝0，可得g（x）在R上是增函数．f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，故选：B．二、填空题9．（5分）在复平面内，复数+（1+2i）2的共轭复数对应的点位于第三象限．【解答】解：由+（1+2i）2 ＝＝，∴复数+（1+2i）2的共轭复数为，对应的点的坐标为（），位于第三象限．故答案为：三．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是8+π．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆锥和四棱锥的组合体，四棱柱的底面面积为3×4＝12，半圆锥的底面面积为＝2π，两个锥体的高均侧视图的高，即2，故该组合体的体积V＝×（12+2π）×2＝8+π，故答案为：8+π11．（5分）如图，⊙O是以AB为直径的圆，点C在圆上，在△ABC和△ACD中，∠ADC ＝90°，∠BAC＝∠CAD，DC的延长线与AB的延长线交于点E．若EB＝6，EC＝6，则BC的长为2．【解答】解：连接OC，在直角三角形ACB和ADC中，∠D＝∠ACB，∠CAB＝∠DAC，可得∠DCA＝∠CBA，又OB＝OC，即∠CBA＝∠BCO，又∠BCO+∠ACO＝90°，可得∠DCA+∠ACO＝90°，即有OC⊥DE，ED为圆O的切线，由圆的切割线定理，可得CE2＝BE•AE，即有（6）2＝6（6+AB），解得AB＝6，即圆的半径为3，由AD∥OC，可得＝，即为＝，即有CD＝2，又＝，即为＝，解得AD＝4，AC＝＝2，BC＝＝＝2．故答案为：2．12．（5分）已知二项式（+）n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x的系数等于135．【解答】解：令中x为1得各项系数和为4n又展开式的各项二项式系数和为2n∵各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64∴解得n＝6展开式的通项为T r+1＝3r C6r x3﹣r令3﹣r＝1得r＝2所以展开式中x的系数等于9C62＝135故答案为135．13．（5分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝2c sin A，c＝，且△ABC的面积为，则a+b＝5．【解答】解：∵a＝2c sin A，∴sin A＝2sin C sin A，∴sin C＝．∵S△ABC＝＝ab＝，∴ab＝6．∵△ABC是锐角三角形，∴cos C＝，由余弦定理得：cos C＝＝＝＝，解得a+b＝5．故答案为：5．14．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，P矩形内的一点，且AP＝，若＝λ+μ，（λ，μ∈R），則λ+μ的最大值为．【解答】解：如图所示，在图中，设P（x，y）．B（1，0），D（0，），C（1，），由AP＝，x2+y2＝，则点P满足的约束条件为，∵＝λ+μ，即（x，y）＝λ（1，0）+μ（0，），∴x＝λ，y＝μ，∴λ+＝x+y，由于x+y≤＝＝当且仅当x＝y时取等号．则λ+＝x+y的最大值为，故答案为：三、解答题15．（13分）设f（x）＝sin（x﹣）﹣2cos2x+1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线x＝1对称，求当x∈[0，]时，y＝g（x）的最大值．【解答】解：（1）f（x）＝sin x cos﹣cos x sin﹣cos x＝sin x﹣cos x ＝（sin x﹣cos x）＝sin（x﹣），∵ω＝，∴f（x）的最小正周期为T＝＝8；（2）在y＝g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x＝1的对称点（2﹣x，g（x）），由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y＝f（x）的图象上，从而g（x）＝f（2﹣x）＝sin[（2﹣x）﹣]＝sin[﹣x﹣]＝cos（x+），当0≤x≤时，≤x+≤，则y＝g（x）在区间[0，]上的最大值为g max＝cos＝．16．（13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．【解答】（1）依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为．设“这4个人中恰有2人去参加甲游戏”为事件A i（i＝0，1，2，3，4），P（A i）＝（）i（）4﹣i．这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）＝（）2（）2＝．（2）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ＝0）＝P（A2）＝，P（ξ＝2）＝P（A1）+P（A3）＝，P（ξ＝4）＝P（A0）+P（A4）＝，∴ξ的分布列是数学期望Eξ＝0×+2×+4×＝．17．（13分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．（1）求证AM∥平面BDE；（2）求二面角A﹣DF﹣B的大小；（3）试在线段AC上一点P，使得PF与CD所成的角是60°．【解答】证明：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系设AC∩BD＝N，连接NE，则点N、E的坐标分别是（、（0，0，1），∴＝（，又点A、M的坐标分别是（）、（∴＝（∴＝且NE与AM不共线，∴NE∥AM又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDF解：（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD＝A，∴AB⊥平面ADF∴为平面DAF的法向量∵＝•＝0，∴＝•（，，1）＝0得，∴NE为平面BDF 的法向量∴cos＜＞＝∴的夹角是60°即所求二面角A﹣DF﹣B的大小是60°（3）设P（x，x，0），，，则cos＝||，解得或（舍去）所以当点P为线段AC的中点时，直线PF与CD所成的角为60°．（12分）18．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n＝﹣a n﹣（）n﹣1+2（n∈N*），数列{b n}满足b n＝2n a n．（Ⅰ）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝log2，数列{}的前n项和为T n，求满足T n（n∈N*）的n的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：∵S n＝﹣a n﹣（）n﹣1+2（n∈N+），当n≥2时，S n﹣1＝﹣a n﹣1﹣（）n﹣2+2（n∈N+），∴a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣a n+a n﹣1+（）n﹣1，化为2n a n＝2n﹣1a n﹣1+1．∵b n＝2n a n．∴b n＝b n﹣1+1，即当n≥2时，b n﹣b n﹣1＝1．令n＝1，可得S1＝﹣a1﹣1+2＝a1，即a1＝．又b1＝2a1＝1，∴数列{b n}是首项和公差均为1的等差数列．于是b n＝1+（n﹣1）•1＝n＝2n a n，∴a n＝．（Ⅱ）解：∵c n＝log2＝n，∴＝﹣，∴T n＝（1﹣）+（﹣）+…（﹣）＝1+﹣﹣，由T n，得1+﹣﹣，即+＞，∵f（n）＝+单调递减，f（4）＝，f（5）＝，∴n的最大值为4．19．（14分）椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且与椭圆x2+＝1有相同离心率，直线l：y＝kx+m与椭圆C交于不同的A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q，满足+＝λ，（O为坐标原点），求实数λ取值范围．【解答】解：（I）由已知可解得，∴b＝1．所求椭圆C的方程．…（4分）（II）由得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，∴△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＝8（1+2k2﹣m2）．由直线直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，有△＞0，∴1+2k2＞m2．①设点A（x1，y1），B（x2，y2），则于是．…（8分）当m＝0时，易知点A，B关于原点对称，则λ＝0；当m≠0时，易知点A，B不关于原点对称，则λ≠0．由，得即．∵Q点在椭圆上，∴．化简得4m2（1+2k2）＝λ2（1+2k2）2．∵1+2k2≠0，∴4m2＝λ2（1+2k2）．②由①②两式可得λ2＜4，∴﹣2＜λ＜2且λ≠0．综上可得实数λ的取值范围是﹣2＜λ＜2．…（14分）20．（14分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若a＝﹣1，证明：函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；（Ⅱ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y＝0平行，求a的值；（Ⅲ）若x＞0，证明：（其中e＝2.71828…是自然对数的底数）．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣1时，f（x）＝，∴函数的定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞），∴f′（x）＝，设g（x）＝x﹣（x+1）ln（x+1），∴g′（x）＝1﹣[ln（x+1）+1]＝﹣ln（x+1），∴g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴g（x）在（0，+∞）上为减函数，∴g（x）＜g（0）＝0，∴f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．（Ⅱ）∵f′（x）＝，∴k＝f′（1）＝，∵y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y＝0平行∴＝1，即ln（1﹣a）＝，分别画出y＝ln（1﹣x）与y＝的图象，又图象可知交点为（0，0）∴解得a＝0．（Ⅲ）：∵＝＝，∴＝，由（Ⅰ）知，当a＝﹣1时，f（x）＝在（0，+∞）上为减函数，故要证原不等式成立，只需要证明：当x＞0时，x＜e x﹣1，令h（x）＝e x﹣1﹣x，则h′（x）＝e x﹣1＞0，∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，∴h（x）＞h（0）＝0，即x＜e x﹣1，∴f（x）＞f（e x﹣1）即．。
2016年天津市河北区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣3x＜0，x∈R}，B＝{x||x|＞2，x∈R}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．（﹣2，0）C．（﹣2，3）D．（0，2）2．（5分）若复数z＝是纯虚数（i是虚数单位），则实数a的值为（）A．B．﹣1C．1D．3．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+2πB．16+πC．8+2πD．8+π4．（5分）设a，b∈R，则“2a+2b＝2a+b”是“a+b≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y2﹣4y+3＝0相切，则此双曲线的离心率等于（）A．B．2C．D．6．（5分）实数x，y满足不等式组为常数），且x+3y的最大值为12，则实数k＝（）A．9B．﹣9C．﹣12D．127．（5分）已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，当x1，x2∈（0，+∞）时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＜0．设，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（c）＞f（b）＞f（a）8．（5分）若存在至少一个x（x≥0）使得关于x的不等式x2≤4﹣|2x﹣m|成立，则实数m 的取值范围为（）A．[﹣4，5]B．[﹣5，5]C．[4，5]D．[﹣5，4]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．10．（5分）如图，切线P A切圆O于点A，割线PBC与圆O交于点B，C，且PC＝2P A，D 为线段PC的中点，AD的延长线交圆O于点E．若PB＝，则AD•DE的值为．11．（5分）（x﹣）6的展开式中常数项为．12．（5分）由曲线y＝3x2与直线y＝3所围成的封闭图形的面积是．13．（5分）设x，y是正实数，且x+y＝1，则的最小值是．14．（5分）在△ABC中，||＝3，||＝5，M是BC的中点，＝λ（λ∈R），若＝+，则△ABC的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）＝4cosωx•sin（ωx+）+a（ω＞0）图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求a和ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．16．（13分）已知盒中有4个红球，4个黄球，4个白球，且每种颜色的四个球均按A，B，C，D编号．现从中摸出4个球（除颜色与编号外球没有区别）．（Ⅰ）求恰好包含字母A，B，C，D的概率；（Ⅱ）设摸出的4个球中出现的颜色种数为X，求随机变量X的分布列和期望E（X）．17．（13分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：平面SAC⊥平面AMN；（Ⅲ）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．18．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n+1＝λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和．19．（14分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）椭圆C的右焦点为F，过F点的两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x＝4交于T点．（i）求证：线段PQ的中点在直线OT上；（ii）求的取值范围．20．（14分）已知关于x函数g（x）＝﹣alnx（a∈R），f（x）＝x2+g（x）（Ⅰ）试求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，1）内有极值，试求a的取值范围；（Ⅲ）a＞0时，若f（x）有唯一的零点x0，试求[x0]．（注：[x]为取整函数，表示不超过x的最大整数，如[0.3]＝0，[2.6]＝2[﹣1.4]＝﹣2；以下数据供参考：ln2＝0.6931，ln3＝1.099，ln5＝1.609，ln7＝1.946）2016年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣3x＜0，x∈R}，B＝{x||x|＞2，x∈R}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．（﹣2，0）C．（﹣2，3）D．（0，2）【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣3）＜0，解得：0＜x＜3，即A＝（0，3），由B中不等式解得：x＞2或x＜﹣2，即B＝（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），则A∩B＝（2，3），故选：A．2．（5分）若复数z＝是纯虚数（i是虚数单位），则实数a的值为（）A．B．﹣1C．1D．【解答】解：∵z＝＝是纯虚数，∴，解得：a＝﹣1．故选：B．3．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+2πB．16+πC．8+2πD．8+π【解答】解：由三视图可知几何体由一个长方体和两个半圆柱组成．长方体的棱长分别为4，2，1，半圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V＝4×2×1+π×12×2＝8+2π．故选：C．4．（5分）设a，b∈R，则“2a+2b＝2a+b”是“a+b≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a＝0，b＝3，满足a+b≥2但2a+2b＝1+8＝9，2a+b＝8，则2a+2b＝2a+b不成立，若2a+2b＝2a+b，则2a+b＝2a+2b，即（2a+b）2≥4（2a+b），解得2a+b≥4或2a+b≤0（舍去），即a+b≥2成立，即“2a+2b＝2a+b”是“a+b≥2”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y2﹣4y+3＝0相切，则此双曲线的离心率等于（）A．B．2C．D．【解答】解：取双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线y＝x，即bx﹣ay＝0．由圆x2+y2﹣4y+3＝0化为x2+（y﹣2）2＝1．圆心（0，2），半径r＝1．∵渐近线与圆x2+y2﹣4y+3＝0相切，∴＝1化为3a2＝b2．∴该双曲线的离心率e＝＝＝2．故选：B．6．（5分）实数x，y满足不等式组为常数），且x+3y的最大值为12，则实数k＝（）A．9B．﹣9C．﹣12D．12【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：设z＝x+3y，则z的最大值为12，即x+3y＝12，且y＝，则直线y＝的截距最大时，z也取得最大值，则不等式组对应的平面区域在直线y＝的下方，由，解得，即A（3，3），此时A也在直线2x+y+k＝0上，即6+3+k＝0，解得k＝﹣9，故选：B．7．（5分）已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，当x1，x2∈（0，+∞）时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＜0．设，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（c）＞f（b）＞f（a）【解答】解：根据已知条件便知f（x）在（0，+∞）上是减函数；且f（a）＝f（|a|），f（b）＝f（|b|），f（c）＝f（|c|）；|a|＝lnπ＞1，b＝（lnπ）2＞|a|，c＝；∴f（c）＞f（a）＞f（b）．故选：C．8．（5分）若存在至少一个x（x≥0）使得关于x的不等式x2≤4﹣|2x﹣m|成立，则实数m 的取值范围为（）A．[﹣4，5]B．[﹣5，5]C．[4，5]D．[﹣5，4]【解答】解：不等式x2≤4﹣|2x﹣m|可化为|2x﹣m|≤﹣x2+4；若对任意x≥0，都有|2x﹣m|＞﹣x2+4，作函数y＝|2x﹣m|与y＝﹣x2+4的图象如下，结合图象可知，当m＞5或m＜﹣4时，对任意x≥0，都有|2x﹣m|＞﹣x2+4；故实数m的取值范围为[﹣4，5]；故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是20．【解答】解：执行程序框图，有a＝1，b＝1，s＝2c＝2，s＝4不满足条件c＞5，a＝1，b＝2，c＝3，s＝7不满足条件c＞5，a＝2，b＝3，c＝5，s＝12不满足条件c＞5，a＝3，b＝5，c＝8，s＝20满足条件c＞5，退出循环，输出s的值为20．故答案为：20．10．（5分）如图，切线P A切圆O于点A，割线PBC与圆O交于点B，C，且PC＝2P A，D为线段PC的中点，AD的延长线交圆O于点E．若PB＝，则AD•DE的值为．【解答】解：∵P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴P A2＝PB•PC，∵PC＝2P A，PB＝，∴P A2＝•2P A，∴P A＝．∵P A2＝PB•PC，PC＝2P A，∴P A＝2PB，∴PD＝2PB，∴PB＝BD＝，∴BD•DC＝PB•2PB，∵AD•DE＝BD•DC，∴AD•DE＝2PB2＝．故答案为：．11．（5分）（x﹣）6的展开式中常数项为﹣．【解答】解：展开式的通项公式为T r+1＝（﹣）r C6r x6﹣2r，令6﹣2r＝0得r＝3，得常数项为C63（﹣）3＝﹣．故答案为：﹣．12．（5分）由曲线y＝3x2与直线y＝3所围成的封闭图形的面积是4．【解答】解：联立，解得x＝±1．曲线y＝3x2与直线y＝3所围成的封闭图形的面积S＝＝＝4．故答案为：4．13．（5分）设x，y是正实数，且x+y＝1，则的最小值是．【解答】解：设x+2＝s，y+1＝t，则s+t＝x+y+3＝4，所以＝＝．因为所以．故答案为：．14．（5分）在△ABC中，||＝3，||＝5，M是BC的中点，＝λ（λ∈R），若＝+，则△ABC的面积为．【解答】解：如图所示，过A作边BC的垂线，垂足为O，则：cos B＝，cos C＝；∴；根据题意知λ≠0；∴；∴；∴；即O是边BC的中点，M与O重合；∴在Rt△ABM中，；∴；∴．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）＝4cosωx•sin（ωx+）+a（ω＞0）图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求a和ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）＝＝．当时，f（x）取得最大值2+1+a＝3+a又f（x）最高点的纵坐标为2，∴3+a＝2，即a＝﹣1．又f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f（x）的最小正周期为T＝π故，ω＝1（Ⅱ）由（Ⅰ）得由．得．令k＝0，得：．故函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间为16．（13分）已知盒中有4个红球，4个黄球，4个白球，且每种颜色的四个球均按A，B，C，D编号．现从中摸出4个球（除颜色与编号外球没有区别）．（Ⅰ）求恰好包含字母A，B，C，D的概率；（Ⅱ）设摸出的4个球中出现的颜色种数为X，求随机变量X的分布列和期望E（X）．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件“恰好包含字母A，B，C，D”为E，则P（E）＝＝．…（4分）（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3．…（5分）∵P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，…（10分）∴随机变量X的分布列为：…（11分）∴EX＝1×＝．…（13分）17．（13分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：平面SAC⊥平面AMN；（Ⅲ）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．【解答】（选修2一1第109页例4改编）（Ⅰ）证明：连结BD交AC于E，连结ME，∵ABCD是正方形，∴E是BD的中点．∵M是SD的中点，∴ME是△DSB的中位线．∴ME∥SB．…（2分）又ME⊂平面ACM，SB⊄平面ACM，∴SB∥平面ACM．…（4分）（Ⅱ）证法一：由条件有DC⊥SA，DC⊥DA，∴DC⊥平面SAD，且AM⊂平面SAD，∴AM⊥DC．又∵SA＝AD，M是SD的中点，∴AM⊥SD．∴AM⊥平面SDC．SC⊂平面SDC，∴SC⊥AM．…（6分）由已知SC⊥AN，∴SC⊥平面AMN．又SC⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面AMN．…（8分）（Ⅱ）证法二：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，由SA＝AB，可设AB＝AD＝AS＝1，则．∵，，∴，∴，即有SC⊥AM…（6分）又SC⊥AN且AN∩AM＝A．∴SC⊥平面AMN．又SC⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面AMN．…（8分）（Ⅲ）解法一：取AD中点F，则MF∥SA．作FQ⊥AC于Q，连结MQ．∵SA⊥底面ABCD，∴MF⊥底面ABCD．∴FQ为MQ在平面ABCD内的射影．∵FQ⊥AC，∴MQ⊥AC．∴∠FQM为二面角D﹣AC﹣M的平面角．…（10分）设SA＝AB＝a，在Rt△MFQ中，，∴．∴二面角D﹣AC﹣M的余弦值为．…（12分）（Ⅲ）解法二：∵SA⊥底面ABCD，∴是平面ABCD的一个法向量，．设平面ACM的法向量为，，则即，∴令x＝﹣1，则．…（10分），由作图可知二面角D﹣AC﹣M为锐二面角∴二面角D﹣AC﹣M的余弦值为．…（12分）18．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n+1＝λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和．【解答】解：（1）∵a n+1＝λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），∴当n≥2时，a n＝λS n﹣1+1，∴a n+1﹣a n＝λa n，即a n+1＝（1+λ）a n，又a1＝1，a2＝λa1+1＝λ+1，∴数列{a n}为以1为首项，公比为λ+1的等比数列，∴a3＝（λ+1）2，∵a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．∴4（λ+1）＝1+（λ+1）2+3，整理得（λ﹣1）2＝0，解得λ＝1．∴a n＝2n﹣1，b n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2．（2）a n b n＝（3n﹣2）•2n﹣1，∴数列{a n b n}的前n项和T n＝1+4×2+7×22+…+（3n﹣2）•2n﹣1，2T n＝2+4×22+7×23+…+（3n﹣5）×2n﹣1+（3n﹣2）×2n，∴﹣T n＝1+3×2+3×22+…+3×2n﹣1﹣（3n﹣2）×2n＝﹣（3n﹣2）×2n＝（5﹣3n）×2n﹣5，∴T n＝（3n﹣5）×2n+5．19．（14分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）椭圆C的右焦点为F，过F点的两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x＝4交于T点．（i）求证：线段PQ的中点在直线OT上；（ii）求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆得，解得a＝2，c＝1，b＝，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）（i）设直线PQ的方程为：x＝my+1，代入椭圆方程得（3m2+4）y2+6my ﹣9＝0，则判别式△＝36m2+4×9（3m2+4）＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点G（x0，y0），则y1+y2＝，y1y2＝，则y0＝（y1+y2）＝，x0＝my0+1＝，即G（，），k OG＝＝﹣，设直线FT的方程为：y＝﹣m（x﹣1），得T点坐标为（4，﹣3m），∵k OT＝﹣，∴k OG＝k OT，即线段PQ的中点在直线OT上；（ii）当m＝0时，PQ的中点为F，T（4，0），则|TF|＝3，|PQ|＝，，当m≠0时，|TF|＝＝，|PQ|＝＝＝＝12，则＝＝（3+），设t＝，则t＞1，则y＝3+＝3t+＝3（t+）在（1，+∞）为增函数，则y＞3+1＝4，则（3+），综上≥1，故求的取值范围是[1，+∞）．20．（14分）已知关于x函数g（x）＝﹣alnx（a∈R），f（x）＝x2+g（x）（Ⅰ）试求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，1）内有极值，试求a的取值范围；（Ⅲ）a＞0时，若f（x）有唯一的零点x0，试求[x0]．（注：[x]为取整函数，表示不超过x的最大整数，如[0.3]＝0，[2.6]＝2[﹣1.4]＝﹣2；以下数据供参考：ln2＝0.6931，ln3＝1.099，ln5＝1.609，ln7＝1.946）【解答】解：（I）g（x）＝﹣alnx（x＞0），g′（x）＝＝﹣，（i）当a≥0时，g′（x）＜0，∴（0，+∞）为函数g（x）的单调递减区间；（ii）当a＜0时，由g′（x）＝0，解得x＝﹣．当x∈时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减；当x∈时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．（II）f（x）＝x2+g（x），其定义域为（0，+∞）．f′（x）＝2x+g′（x）＝，令h（x）＝2x3﹣ax﹣2，x∈[0，+∞），h′（x）＝6x2﹣a，当a＜0时，h′（x）≥0恒成立，∴h（x）为（0，+∞）上的增函数，又h（0）＝﹣2＜0，h（1）＝﹣a＞0，∴函数h（x）在（0，1）内至少存在一个变号零点x0，且x0也是f′（x）的变号零点，此时f（x）在区间（0，1）内有极值．当a≥0时，h（x）＝2（x3﹣1）﹣ax＜0，即x∈（0，1）时，f′（x）＜0恒成立，函数f （x）无极值．综上可得：f（x）在区间（0，1）内有极值的a的取值范围是（﹣∞，0）．（III）∵a＞0时，由（II）可知：f（1）＝3知x∈（0，1）时，f（x）＞0，∴x0＞1．又f′（x）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x1，且x∈（1，x1）时，函数f（x）单调递减，x∈（x1，+∞）时，函数f（x）单调递增，由题意可知：x1即为x0．∴，∴，消去a可得：，a＞0，令t1（x）＝2lnx（x＞1），，则在区间（1，+∞）上t1（x）单调递增，t2（x）单调递减．t1（2）＝2ln2＜2×0.7＝＝t2（2），t1（3）＝2ln3＞2＞＝t2（3）．∴2＜x0＜3，∴[x0]＝2．。
2016年全国普通高等学校高考数学二模试卷(理科)(衡水金卷)(解析版)解析
2016年全国普通高等学校高考数学二模试卷（理科）（衡水金卷）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在下列每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A={x|y=，集合B={y|y=（）x，x∈A}，则（∁U A）∩B等于（）A．[﹣1，0] B．（﹣1，0）C．[1，2]D．（1，2）2．已知i为虚数单位，若+a=1+bi（a，b∈R），则a+b等于（）A．﹣4 B．6 C．﹣6 D．43．在2015年夏天，一个销售西瓜的个体户为了了解气温与西瓜销售之间的关系，随机统计由表中数据得到线性回归方程=12x+，当气温为35℃时，预测销售额约为（）A．400元B．420元C．448元D．459元4．已知F为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，且双曲线C的焦距为2c，定点G（0，c），若双曲线C上存在点P满足|PF|=|PG|，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（1，）C．[，+∞）D．（1，）5．将一个球体截掉后，所得几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为（）A． B．C．D．6．某程序框图如图所示，若输出S=1，则判断框中M为（）A ．k ＜3？B ．k ≤3？C ．k ≤4？D ．k ＞4？7．在数列{a n }中， +=，且++=12，则+=（ ）A ．12B ．24C ．8D ．168．函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象如图所示，若•=﹣8，则函数f （x ）的解析式为（ ）A ．f （x ）=2sin （3x ﹣）B ．f （x ）=2sin （3x +）C ．f （x ）=2sin （2x +）D ．f （x ）=2sin （2x ﹣）9．已知（m +x ）7=a 0+a 1（1﹣x ）+a 2（1﹣x ）2+…+a 7（1﹣x ）7，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…﹣a 7=37，则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|=（ ） A ．1 B ．2187 C ．2188 D ．﹣2187 10．设直线y=k （x ﹣2）（k ＞0）与抛物线C ：y 2=16x 交于A 、B 两点，点F 为直线与x 轴的交点，且=2，则k 的值为（ ）A ．B ．8C ．D ．411．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：①图象关于点（1，0）对称；②f （x ）关于x=﹣1对称；③当∈[﹣1，1]时，f （x ）=，则函数y=f （x ）﹣（）|x|在区间[﹣3，3]内的零点个数为（ ）A．3 B．4 C．5 D．612．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），，若a3=4，则m的所有可能取值为（）A．{6， } B．{6，， }C．{6，， }D．{6， }二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f（x）=x++2a﹣1为奇函数，则a=______．14．若函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx+（x∈R，ω＞0）的最小正周期为，则ω等于______．15．如图，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC=2，E为BC边上一点，=3，F为线段AE的中点，则•=______．16．若a∈（，4），将函数f（x）=2x﹣的图象向右平移2个单位后得曲线C1，将函数y=g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线C2，C1与C2关于x轴对称，若F（x）=g（x）的最小值为m，且m＞2+，则实数a的取值范围是______．三.解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，已知a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足=﹣．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求b+c的取值范围．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E、F、G分别为线段BC、PA、AB上的点，H为△PCD的重心，PA=AB=3，FA=BG=CE=1．（1）求证：BF∥平面PDE；（2）求异面直线GH与PE所成角的余弦值．19．广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，是精神文明建设成果的一个重要指标和象征．2015年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者，将他们年龄分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]，得到如图的频率分布直方图．（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数；（2）求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值；（3）若从年龄在[20，40）中的广场舞者中任取2名，①求这2名广场舞者年龄不都在[20，30）的概率；②求这两名广场舞者中年龄在[30，40）的人数X的分布列及其数学期望．20．已知椭圆E： +=1（a＞0），P（，﹣）是椭圆E上的一点．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l与椭圆相交于B、C两点，且满足k OB•k OC=﹣，O为坐标原点，求证：△OBC的面积为定值．21．已知函数f（x）=e x﹣ax+a，其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）讨论函数f（x）的单调性，并写出对应的单调区间；（2）设b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．请考生在22.23.24题三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是的⊙O直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F．（Ⅰ）求证：C、D、G、E四点共圆．（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，EG=1，GA=3，求线段CE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆锥曲线C的极坐标方程为ρ2=．（1）求圆锥曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）若直线l交圆锥曲线C于M，N两点，求|MN|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|x﹣3|，g（x）=．（1）m＞﹣3时，若不等式f（x）≥8的解集为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞），求实数m的值：（2）若存在实数x0，使得g（x0）＞log（3t+1）成立，求实数t的取值范围．2016年全国普通高等学校高考数学二模试卷（理科）（衡水金卷）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在下列每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A={x|y=，集合B={y|y=（）x，x∈A}，则（∁U A）∩B等于（）A．[﹣1，0] B．（﹣1，0）C．[1，2]D．（1，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到﹣x2﹣x≥0，即x（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤0，即A=[﹣1，0]，∴∁U A=（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），由B中y=（）x，x∈A，得到y∈[1，2]，则（∁U A）∩B=[1，2]，故选：C．2．已知i为虚数单位，若+a=1+bi（a，b∈R），则a+b等于（）A．﹣4 B．6 C．﹣6 D．4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简+a，再由复数相等的充要条件即可求出a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵+a==1+bi，∴a=1，b=﹣5．则a+b=﹣4．故选：A．3．在2015年夏天，一个销售西瓜的个体户为了了解气温与西瓜销售之间的关系，随机统计由表中数据得到线性回归方程=12x+，当气温为35℃时，预测销售额约为（）A．400元B．420元C．448元D．459元【考点】线性回归方程．【分析】求出数据样本中心点（，），代入回归方程得出a，再利用回归方程进行数值估计．【解答】解：由==36，==471，由线性回归方程=12x+，过样本中心点（，），∴=﹣12=39，故线性回归方程为：=12x+5，∴当x=35时，y=459，故答案选：D．4．已知F为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，且双曲线C的焦距为2c，定点G（0，c），若双曲线C上存在点P满足|PF|=|PG|，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（1，）C．[，+∞）D．（1，）【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出F的坐标，FG的中点和斜率，可得线段FG的垂直平分线方程，由题意可得FG的垂直平分线与双曲线有交点，运用渐近线的斜率可得﹣1＞﹣，再由离心率公式计算即可得到所求范围．【解答】解：由题意可得F（﹣c，0），FG的中点为（﹣，），直线FG的斜率为=1，可得FG的垂直平分线的斜率为﹣1，即有线段FG的垂直平分线方程为y﹣c=﹣（x+c），即为y=﹣x．由双曲线C上存在点P满足|PF|=|PG|，可得FG的垂直平分线与双曲线有交点，由双曲线的渐近线方程为y=±，即有﹣1＞﹣，即a＜b，可得a2＜b2=c2﹣a2，可得e=＞，故选：A．5．将一个球体截掉后，所得几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为（）A． B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】从正视图和俯视图分析，得出球体截掉后的位置应该在的方位，即可得出结论．【解答】解：由俯视图与侧视图可知球体截掉后在原球的前右下方，故几何体的侧视图：D；故选：D6．某程序框图如图所示，若输出S=1，则判断框中M为（）A．k＜3？B．k≤3？C．k≤4？D．k＞4？【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，k=1S=，满足条件，k=2，S=+，满足条件，k=3，S=++=（﹣1）+（﹣）+（﹣）=2﹣1=1，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为1， 则判断框中应该为k ＜3？ 故选：A ．7．在数列{a n }中， +=，且++=12，则+=（ ）A ．12B ．24C ．8D ．16【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式可得a 6的值，再由等差数列的性质求得+的值．【解答】解：由+=，可得，即数列{}是等差数列，又++=12，∴，即，则，∴+=．故选：C ．8．函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象如图所示，若•=﹣8，则函数f （x ）的解析式为（ ）A ．f （x ）=2sin （3x ﹣）B ．f （x ）=2sin （3x +）C ．f （x ）=2sin （2x +）D ．f （x ）=2sin （2x ﹣）【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数f （x ）的图象得出A 的值，设点P （a ，0），由此表示出、，列出方程求出a 的值，再求函数的最小正周期T 与ω、φ的值即可．【解答】解：根据函数f （x ）的图象知，A=2，设P （a ，0），且a ＜0；则Q （，2），S （﹣2a ，﹣2）；∴=（﹣a ，2），=（﹣2a ，﹣4）；又•=﹣8，∴（﹣a ）（﹣2a ）﹣8=﹣8，解得a=﹣或a=（不合题意，舍去）；当a=﹣时， T=﹣（﹣）=，解得T=π，∴ω=2，此时φ=；∴函数f （x ）=2sin （2x +）．故选：C ．9．已知（m +x ）7=a 0+a 1（1﹣x ）+a 2（1﹣x ）2+…+a 7（1﹣x ）7，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…﹣a 7=37，则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|=（ ） A ．1 B ．2187 C ．2188 D ．﹣2187 【考点】二项式系数的性质．【分析】由于（m +x ）7=a 0+a 1（1﹣x ）+a 2（1﹣x ）2+…+a 7（1﹣x ）7，令x=2可得：（m +2）7=a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…﹣a 7=37，于是m=1．进而得到|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|=a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…﹣a 7=37．【解答】解：∵（m +x ）7=a 0+a 1（1﹣x ）+a 2（1﹣x ）2+…+a 7（1﹣x ）7， ∴令x=2可得：（m +2）7=a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…﹣a 7=37，∴m=1．∴（1+x ）7=[2﹣（1﹣x ）]7=++…﹣，∴|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|=a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…﹣a 7=37=2187．故选：B ．10．设直线y=k （x ﹣2）（k ＞0）与抛物线C ：y 2=16x 交于A 、B 两点，点F 为直线与x 轴的交点，且=2，则k 的值为（ ）A ．B ．8C ．D ．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设点A ，B 的坐标，将直线方程与抛物线方程联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，运用韦达定理，再根据向量的有关知识得到坐标的关系，进而代入抛物线的方程中解方程即可得到k 的值．【解答】解：直线y=k （x ﹣2）与抛物线C ：y 2=16x 联立， 可得k 2（x ﹣2）2﹣16x=0，即为k 2x 2﹣（4k 2+16）x +4k 2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），F（2，0），可得x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2﹣4）=k（﹣4）=，①即有=（2﹣x1，﹣y1），=（x2﹣2，y2），由=2，可得，即，②①②联立可得，x2=，y2=﹣，代入抛物线方程y2=16x可得=16•，化简可得2k2=32，由k＞0可得k=4．故选：D．11．已知定义在R上的函数f（x）满足：①图象关于点（1，0）对称；②f（x）关于x=﹣1对称；③当∈[﹣1，1]时，f（x）=，则函数y=f（x）﹣（）|x|在区间[﹣3，3]内的零点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数零点的判定定理．【分析】由①可得f（x）+f（2﹣x）=0，求得x在[1，3]上的f（x）的解析式；再由②求得x在[﹣3，﹣1]上的解析式，画出f（x）和y═（）|x|在[﹣3，3]的图象，通过图象观察，可得它们有5个交点，即可得到零点的个数．【解答】解：由题意可得f（x）+f（2﹣x）=0，当1≤x≤2时，0≤2﹣x≤1，f（2﹣x）=cos（2﹣x）=﹣cos x，则f（x）=﹣f（2﹣x）=cos x；当2＜x≤3时，﹣1≤x＜0，f（2﹣x）=1﹣（2﹣x）2，则f（x）=﹣f（2﹣x）=（2﹣x）2﹣1．由②f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），即为f（x）=f（﹣x﹣2），当﹣3≤x≤﹣2时，0≤﹣2﹣x≤1，f（﹣2﹣x）=cos（﹣2﹣x）=﹣cos x，则f（x）=﹣f（﹣2﹣x）=﹣cos x；当﹣2＜x≤﹣1时，﹣1≤﹣2﹣x＜0，f（﹣2﹣x）=1﹣（﹣2﹣x）2，则f（x）=f（﹣2﹣x）=1﹣（﹣2﹣x）2．y=f（x）﹣（）|x|在区间[﹣3，3]上的零点即为y=f（x）和y=（）|x|在[﹣3，3]的交点个数．作出y=f（x）和y═（）|x|在[﹣3，3]的图象，通过图象观察，可得它们有5个交点，即有5个零点．故选：C．12．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），，若a3=4，则m的所有可能取值为（）A．{6， } B．{6，， }C．{6，， }D．{6， }【考点】数列递推式．【分析】对m分类讨论，利用递推关系即可得出．【解答】解：数列{a n}满足a1=m（m＞0），，a3=4，①若m＞2，则a2=m﹣1＞1，∴a3=m﹣2=4，解得m=6．②若m=2，则a2=m﹣1=1，∴a3==1≠4，舍去．③若1＜m＜2，则a2=m﹣1∈（0，1），∴a3==4，解得m=．④若m=1，则a2==1，∴a3=≠4，舍去．⑤若0＜m＜1，则a2==＞1，∴a3=a2﹣1=﹣1=4，解得m=．综上可得：m∈．故选：C．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f（x）=x++2a﹣1为奇函数，则a=．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】令f（﹣1）=f（1）列方程即可解出a．【解答】解：∵函数f（x）=x++2a﹣1为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．∴﹣1﹣1+2a﹣1=﹣（1+1+2a﹣1），即2a﹣3=﹣1﹣2a，解得a=．故答案为：．14．若函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx+（x∈R，ω＞0）的最小正周期为，则ω等于2．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，利用三角函数周期公式即可计算得解．【解答】解：∵f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx+=sin2ωx﹣•+=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2ωx﹣），∴函数f（x）的最小正周期为T==，可得：ω=2．故答案为：2．15．如图，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC=2，E为BC边上一点，=3，F为线段AE的中点，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】取AB的中点G，连接DG，CG，利用向量相等将，分别用向量，表示，然后进行向量的乘法运算即可．【解答】解：取AB的中点G，连接DG，CG，如图则DG∥BC，所以，所以==，所以=，所以==；故答案为：．16．若a∈（，4），将函数f（x）=2x﹣的图象向右平移2个单位后得曲线C1，将函数y=g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线C2，C1与C2关于x轴对称，若F（x）=g（x）的最小值为m，且m＞2+，则实数a的取值范围是（，2）．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据C1推出C2，由C2推出g（x），再算出=（﹣）•2x++2，利用基本不等式即可求出实数a的取值范围．【解答】解：∵将的图象向右平移2个单位后得曲线C1，∴曲线C1：p（x）=2x﹣2﹣，∵曲线C2，C1与C2关于x轴对称，∴曲线C2：q（x）=﹣2x﹣2，∵将函数y=g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线C2，∴g（x）=﹣2x﹣2+2，∴F（x）=+g（x）=﹣+﹣2x﹣2+2=（﹣）•2x++2，∴﹣＞0，4a﹣1＞0，∵2x＞0，∴F（x）≥2+2，∵F（x）最小值为m且m＞2+，∴m=2+2＞2+，解得：＜a＜2．综上所述：实数a的取值范围为（，2）．故答案为：（，2）．三.解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，已知a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足=﹣．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求b+c的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）根据正弦定理进行化简即可求角A的大小；（2）由正弦定理可得=，可得b+c=（sinB+sinC）=sin（+C），再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵=﹣，∴=﹣=﹣，即2sinBcosA+cosAsinC=﹣sinAcosC，即2sinBcosA=﹣（sinAcosC+cosAsinC）=﹣sin（A+C）=﹣sinB，∵sinB≠0，∴cosA=﹣，即A=；（2）由正弦定理可得=．∴b+c=（sinB+sinC）= [sin（﹣C）+sinC]=sin（+C），∴＜C +＜，∴＜sin （C +）≤1，∴2＜sin （+C ）≤，故b +c 的取值范围为：（2，]．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 、F 、G 分别为线段BC 、PA 、AB 上的点，H 为△PCD 的重心，PA=AB=3，FA=BG=CE=1． （1）求证：BF ∥平面PDE ；（2）求异面直线GH 与PE 所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BF ∥平面PDE ．（2）求出，，利用向量法能求出异面直线GH 与PE 所成角的余弦值． 【解答】证明：（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，B （3，0，0），F （0，0，1），P （0，0，3），E （3，2，0），D （0，3，0），=（﹣3，0，1），=（0，3，﹣3），=（3，2，﹣3），设平面PDE 的法向量为=（x ，y ，z ），则，取y=3，得=（1，3，3），∵=﹣3+0+3=0，BF ⊄平面PDE ，∴BF ∥平面PDE ．（2）C （3，3，0），G （2，0，0），CD 中点M （，3，0），=（），∴==（1，2，﹣2），∴H （1，2，1），=（﹣1，2，1），=（3，2，﹣3）， 设异面直线GH 与PE 所成角为θ，则cos θ===．∴异面直线GH与PE所成角的余弦值为．19．广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，是精神文明建设成果的一个重要指标和象征．2015年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者，将他们年龄分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]，得到如图的频率分布直方图．（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数；（2）求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值；（3）若从年龄在[20，40）中的广场舞者中任取2名，①求这2名广场舞者年龄不都在[20，30）的概率；②求这两名广场舞者中年龄在[30，40）的人数X的分布列及其数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图求出年龄分布在[40，70）的频率，由此能求出估计在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数．（2）设40名广场舞者年龄的中位数为x，则0.005×10+0.010×10+0.020×10+0.030×（x ﹣50）=0.5，由此能求出中位数的估计值为55．利用频率分布直方图能求出40名广场舞者年龄的平均数的估计值．（3）①由频率分布直方图求出年龄在[20，30）的广场舞者有2人，年龄在[30，40）的广场舞者有4人，从年龄在[20，40）中的广场舞者中任取2名，由此能求出这2名广场舞者年龄不都在[20，30）的概率．②这两名广场舞者中年龄在[30，40）的人数X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及其数学期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图得到年龄分布在[40，70）的频率为：（0.020+0.030+0.025）×10=0.75，∴估计在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数为：40×0.75=30（名）．（2）设40名广场舞者年龄的中位数为x，则0.005×10+0.010×10+0.020×10+0.030×（x﹣50）=0.5，解得x=55，即中位数的估计值为55．40名广场舞者年龄的平均数的估计值：=0.005×10×25+0.010×10×35+0.020×10×45+0.030×10×55+0.025×10×65+0.010×10×75=54．（3）①由频率分布直方图得年龄在[20，30）的广场舞者有0.005×10×40=2人，年龄在[30，40）的广场舞者有0.01×10×40=4人，从年龄在[20，40）中的广场舞者中任取2名，基本事件总数n==15，这2名广场舞者年龄不都在[20，30）包含的基本事件个数m==8，∴这2名广场舞者年龄不都在[20，30）的概率p==．②这两名广场舞者中年龄在[30，40）的人数X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴EX==．20．已知椭圆E： +=1（a＞0），P（，﹣）是椭圆E上的一点．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l与椭圆相交于B、C两点，且满足k OB•k OC=﹣，O为坐标原点，求证：△OBC的面积为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）利用P （，﹣）是椭圆E 上的一点，代入椭圆方程，解出a ，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线l 的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由斜率的公式，化简可得t 2=2+4k 2，再由点到直线的距离公式，即可得到△OBC 的面积为定值．【解答】（1）解：∵P （，﹣）是椭圆E 上的一点，∴+=1，∴a=2，∴椭圆E 的方程为+=1；（2）证明：当直线l 的斜率不存在，令x=m ，代入椭圆方程，可得y=±2，由k OB •k OC =﹣，可得=﹣，解得m=±2，交点为（2，±）或（﹣2，±），即有△OBC 的面积为×2×2=2；当斜率存在时，设直线l 的方程为y=kx +t ，代入椭圆方程x 2+2y 2=8， 可得（1+2k 2）x 2+4ktx +2t 2﹣8=0，设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，|x 1﹣x 2|==，由k OB •k OC =﹣，可得x 1x 2+2y 1y 2=0，由y 1=kx 1+t ，y 2=kx 2+t ， 可得（1+2k 2）x 1x 2+2kt （x 1+x 2）+2t 2=0，即有（1+2k 2）•+2kt （﹣）+2t 2=0，化简可得，t 2=2+4k 2，即有|x 1﹣x 2|=，原点到直线y=kx +t 的距离为d=，可得△OBC 的面积为S=d |BC |=••=2．总是可得△OBC 的面积为定值2．21．已知函数f （x ）=e x ﹣ax +a ，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． （1）讨论函数f （x ）的单调性，并写出对应的单调区间；（2）设b ∈R ，若函数f （x ）≥b 对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（1）通过函数f （x ），得f ′（x ），然后结合f ′（x ）与0的关系对a 的正负进行讨论即可；（2）对a 的正负进行讨论：当a ＜0时，f （x ）≥b 不可能恒成立；当a=0时，此时ab=0； 当a ＞0时，由题结合（1）得ab ≤2a 2﹣a 2lna ，设g （a ）=2a 2﹣a 2lna （a ＞0），问题转化为求g （a ）的最大值，利用导函数即可． 【解答】解：（1）由函数f （x ）=e x ﹣ax +a ，可知f ′（x ）=e x ﹣a ， ①当a ≤0时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在R 上单调递增； ②当a ＞0时，令f ′（x ）=e x ﹣a=0，得x=lna ，故当x ∈（﹣∞，lna ）时，f ′（x ）＜0，此时f （x ）单调递减； 当x ∈（lna ，+∞）时，f ′（x ）＞0，此时f （x ）单调递增．综上所述，当a ≤0时，函数f （x ）在单调递增区间为（﹣∞，+∞）； 当a ＞0时，函数f （x ）的单调递减区间为（﹣∞，lna ），单调递增区间为（lna ，+∞）； （2）由（1）知，当a ＜0时，函数f （x ）在R 上单调递增且当x →﹣∞时，f （x ）→﹣∞，∴f （x ）≥b 不可能恒成立； 当a=0时，此时ab=0；当a ＞0时，由函数f （x ）≥b 对任意x ∈R 都成立，可得b ≤f min （x ）， ∵f min （x ）=2a ﹣alna ，∴b ≤2a ﹣alna ，∴ab ≤2a 2﹣a 2lna ， 设g （a ）=2a 2﹣a 2lna （a ＞0），则g ′（a ）=4a ﹣（2alna +a ）=3a ﹣2alna ，由于a ＞0，令g ′（a ）=0，得，故，当时，g ′（a ）＞0，g （a ）单调递增；当时，g ′（a ）＜0，g （a ）单调递减．所以，即当，时，ab 的最大值为．请考生在22.23.24题三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB 是的⊙O 直径，CB 与⊙O 相切于B ，E 为线段CB 上一点，连接AC 、AE 分别交⊙O 于D 、G 两点，连接DG 交CB 于点F ． （Ⅰ）求证：C 、D 、G 、E 四点共圆．（Ⅱ）若F 为EB 的三等分点且靠近E ，EG=1，GA=3，求线段CE 的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接BD，由题设条件结合圆的性质能求出∠C=∠AGD，从而得到∠C+∠DGE=180°，由此能证明C，E，G，D四点共圆．（Ⅱ）由切割线定理推导出EB=2，由此能求出CE的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD，则∠AGD=∠ABD，∵∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90°∴∠C=∠AGD，∴∠C+∠DGE=180°，∴C，E，G，D四点共圆．…..（Ⅱ）解：∵EG•EA=EB2，EG=1，GA=3，∴EB=2，又∵F为EB的三等分点且靠近E，∴，，又∵FG•FD=FE•FC=FB2，∴，CE=2．…．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆锥曲线C的极坐标方程为ρ2=．（1）求圆锥曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）若直线l交圆锥曲线C于M，N两点，求|MN|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）直线l的参数方程为，（t为参数），消去参数化为普通方程．圆锥曲线C的极坐标方程为ρ2=，化为3ρ2+（ρsinθ）2=12，利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．（2）把直线l的参数方程代入椭圆的直角坐标方程可得：13t2﹣12t﹣36=0，利用|MN|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：（1）直线l的参数方程为，（t为参数），消去参数化为：x﹣y+1=0．圆锥曲线C的极坐标方程为ρ2=，化为3ρ2+（ρsinθ）2=12，可得直角坐标方程：3x2+4y2=12，即+=1．（2）把直线l的参数方程代入椭圆的直角坐标方程可得：13t2﹣12t﹣36=0，∴t1+t2=，t1t2=．由于直线经过焦点（﹣1，0）．∴|MN|=|t1﹣t2|===．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|x﹣3|，g（x）=．（1）m＞﹣3时，若不等式f（x）≥8的解集为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞），求实数m的值：（2）若存在实数x0，使得g（x0）＞log（3t+1）成立，求实数t的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）由题意可得当x=﹣3时，f（x）=8，且x=5时，f（x）=8，从而求得实数m 的值．（2）由题意可得，函数g（x）=＞log（3t+1）在[﹣2，6]上有解，利用两个向量的数量积公式，两个向量共线的性质求得g（x）的最大值为8，可得8＞log（3t+1），由此求得t的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|x+m|+|x﹣3|，当m＞﹣3时，不等式f（x）≥8的解集为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞），∴当x=﹣3时，f（x）=8，且x=5时，f（x）=8，即|﹣3+m|+6=8，且|5+m|+2=8，∴m=1．（2）∵g（x）=的定义域为[﹣2，6]，存在实数x0，使得g（x0）＞log（3t+1）成立，则g（x）=＞log（3t+1）在[﹣2，6]上有解．∵g（x）==（，）•（，1）≤•=8，当且仅当=时，即x=5时，等号成立，故g（x）=的最大值为8，∴8＞log（3t+1），∴0＜3t+1＜=16，∴﹣＜t＜5．2016年9月19日。
北京市海淀区2016届高三二模数学理试题(WORD版含官方参考答案及评分标准)
北京市海淀区高三年级二模数学（理科）2016.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知全集=U R ，{|1},{|2},M x x P x x则()U M P e A.{|12}x x B.{|1}x xC.{|2}x xD.{|12}x xx或2.在数列{}n a 中，12a ，且1(1)nn n a na ，则3a 的值为A.5B.6 C.7 D.83. 若点(2,4)P 在直线1,:3x t l y at（t 为参数）上，则a 的值为A.3B.2C.1 D.14.在ABC 中，34cos ,cos ,55A B 则sin()A B A.725B.725C.925D.9255.在5()xa (其中0a)的展开式中，2x 的系数与3x 的系数相同，则a 的值为A.2 B.1 C. 1 D.26.函数()ln 1f x xx的零点个数是A.1个B.2个C.3个 D.4个7. 如图，在等腰梯形ABCD 中，8,4,4ABBC CD. 点P 在线段AD 上运动，则||PA PB 的取值范围是A.[6,443]B.[42,8]C.[43,8]D.[6,12]8.直线1:10l axy a与,x y 轴的交点分别为,A B , 直线l 与圆22:1O xy的交点为,C D .给出下面三个结论：①11,2AOBa S；②1,||||a AB CD ；③11,2CODa SDCABP则所有正确结论的序号是 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 已知21i, ia其中i 为虚数单位，aR ，则a__.10.某校为了解全校高中同学五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名同学，统计他们假期参加实践活动的时间, 绘成频率分布直方图（如图）. 则这100名同学中参加实践活动时间在6~10小时内的人数为 ___ .11. 如图，,,A B C 是O 上的三点，点D 是劣弧?B C 的中点，过点B 的切线交弦CD的延长线交BE 于点E . 若∠80BAC ，则__.BED 12. 若点(,)P a b 在不等式组20,20,1xy x y x所表示的平面区域内，则原点O 到直线10ax by 距离的取值范围是__.13.已知点π3ππ(,),(,1),(,0)6242A B C ，若这三个点中有且仅有两个点在函数()sin f x x 的图象上，则正．数．的最小值为___.14.正方体1111A B C DA B C D 的棱长为1，点P QR ，，分别是棱11111A A A B A D ，，的中点，以PQR 为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高__h.0.040.05小时108642120.12ab频率组距R QPD 1C 1B 1BCDA 1AEODACB三、解答题共6小题，共80分。
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2016届高三二模预测卷(3)
一、 填空题
1. 设集合1,Aa，Ba，若BA，则实数a的值为 ．
2. 已知复数1iz（i为虚数单位），计算：zzzz ．
3. 已知抛物线y=ax2的准线方程为y=－1，则a的值为 ．
4. 根据右图所示的算法，可知输出的结果为 ．
5. 已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲
线的离心率的值为
6. 甲、乙两人从{0,1,2,3,4,5}中各取一个数a,b，则恰有“a+b≤3”的概率= ．
7. 函数22()log(4)fxx的值域为 ．
8. 函数2)1(cos2cos)(xxxf的最小正周期为
9. 已知函数f (x)=x3+3mx2+nx+m2在x=－1时有极值0 ，则m+n = ．
10. 已知向量a，b满足22,4ab，38,16ab，则向量a，b的夹角的大小
为 ．
11. 已知,为两个不同的平面，,mn为两条不同的直线，下列命题：
① 若//,//mnn，则//m； ② 若,mm，则//；
③ 若,//,//nmm，则//mn； ④ 若,,mn，则mn．
其中是真命题的有 ．（填写所有正确命题的序号）
12. 定义()fx是R上的奇函数，且当0x≥时，2()fxx. 若对任意的[,2]xaa均有
()2()fxafx
≥
，则实数a的取值范围为 ．
13. 设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列．若12aa，12bb，且2(1,2,3)iibai，
则数列{bn}的公比为 ．
14. 定义域为[a,b]的函数()yfx图像的两个端点为A、B，M（x,y）是()fx图象上任意一点，
其中(1)[,]xabab,已知向量(1)ONOAOB，若不等式||MNk恒
成立，则称函数f (x)在[a,b]上“k阶线性近似”.若函数1yxx在[1，2]上“k阶线性近
似”，则实数k的取值范围为 ．
0102321PrintnSnWhileSSSnnEndWhilen ≤ ←
←0
←
←
4(第题)
二、解答题
15．设aR，2cossincoscos2fxxaxxx满足03ff，
⑴ 求函数)(xf的单调递增区间；
⑵ 设ABC三内角CBA,,所对边分别为cba,,且caccbabca2222222，求)(xf在
B,0
上的值域．
16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PBPD．
（1）求证：BDPC；
（2）若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：//BCl．
(第16题图)
P
B C
A
D
A
P
M
N
B
C
(第17题图)
17．（本小题满分14分）
如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一
工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：
千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．
18． 如图，在平面直角坐标系xoy中，已知12,FF分别是椭圆E:22221(0)xyabab的左、
右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且2250AFBF.
（1）求椭圆E的离心率；
（2）已知点1,0D为线段2OF的中点，M 为椭圆E上的动点
（异于点A、B），连接1MF并延长交椭圆E于点N，连接MD、
ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN
、
PQ
的斜率存在且分别为1k、2k，试问是否存在常数，使得
12
0kk
恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19．已知数列}{na的na，1na是关于x的方程*)(022Nnbxxnn的两根，且11a.
（1）求证：数列}231{nna是等比数列；
（2）设nS是数列}{na的前n项和，问是否存在常数，使得0nnSb对任意*Nn都成
立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
20． 设函数2()lnfxxax与1()gxxxa的图象分别交直线1x于点,AB，且曲线
()yfx在点A处的切线与曲线()ygx
在点B处的切线的斜率相等．
（1）求函数()fx,()gx的表达式；
（2）当1a时，求函数()()()hxfxgx的最小值；
（3）当1a时，不等式()()fxmgx≥在11,42x上恒成立，求实数m的取值范围．