2014陕西省中考数学试卷

2014年陕西省中考数学试卷（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，计30分，在每小题只有一个选项是符合题意的．） 1．（2014陕西省，1，3分）4的算术平方根是（ ） A ．－2 B ． 2 C ．－12 D ．12【答案】B2．（2014陕西省，2，3分）下图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）【答案】A3．（2014陕西省，3，3分）若点A (-2，m )在正比例函数y = -12x 的图象上，则m 的值是（ ）A ． 14B ．－14C ． 1D ．－1【答案】C4．（2014陕西省，4，3分）小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开旅行箱的概率是（ ） A ．110 B ． 4．19 C ．16 D ．15【答案】A5．（2014陕西省，5，3分）把不等式组2130x x +>⎧⎨-≥⎩的解集表示在数轴上，正确的是（ ）【答案】DA ．B ．C ．D ．DCBA6．（2014陕西省，6，3分）某区10名学生参加实际汉字听写大赛，他们得分情况如下表：A ．85和82．5B ． 85．5和85C ． 85和85D ． 85．5和80 【答案】B 7．（2014陕西省，7，3分）如图，AB //CD ，∠A =45°，∠C =28°，则∠AEC 的大小为（ ） A ． 17° B ． 62° C ． 63° D ． 73° 【答案】D8．（2014陕西省，8，3分）若x = -2 是关于x 的一元二次方程x 2-52ax +a 2=0的一个根，则a的值为（ ）A ．1或4B ． -1或-4C ． -1或4D ．【答案】B 9．（2014陕西省，9，3分）如图，在菱形ABCD 中，AB =5，垂足为E ，则AE 的长为 （ ） A ．4 B ．125 C ．245D ．5 【答案】C10．（2014陕西省，10，3分）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中正确的是 （ ）A ．c > -1B ． b >0C ． 2a +b ≠0D ．9a 2+c 【答案】DED C B A第7题图 第10题图二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11．（2014陕西省，11，3分）计算（- 13）-2 = ．【答案】9 12．（2014陕西省，12，3分）因式分解：m (x -y )+n (x -y )= ． 【答案】(x-y)(m+n) 13．（2014陕西省，13，3分）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选做的第一题计分．（2014陕西省，13，3分）A ．一个正五边形的对称轴共有 条． 【答案】A ．5条；（2014陕西省，13，3分）B3tan56︒≈ ．(结果精确到0．01) 【答案】B ． 10．02 14．（2014陕西省，14，3分）如图，在正方形ABCD 中，AD =1，将△ABD 绕点B 顺时针旋转45°得到△A ′BD ′，此时A ′D ′与CD 交于点E ，则DE 的长度为 ．【答案】2 15．（2014陕西省，15，3分）已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是同一个反比例函数图象上的两点，若x 2=x 1+2，且211112y y =+，则这个反比例函数的表达式为 ． 【答案】y=4x16．（2014陕西省，16，3分）如图，⊙O 的半径是2，直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，M 、N 是⊙O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若∠AMB =45°，则四边形MANB 面积的最大值是 ．【答案】第10题图三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2014陕西省，17，5分） 先化简，再求值：22211x x x x --+，其中x= - 12． 【答案】解 原式=22211x xx x --+ =()221(1)(1)x x x x x --+-=()21(1)(1)x x x x x -++-=1x x - 当x= - 12，原式=12×23=1318．（2014陕西省，18，6分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，点D 在边AB 上，使DB =BC ，过点D 作EF ⊥AC ，分别交AC 于点E 、CB 的延长线于点F ． 求证：AB =BF【答案】证明：∵EF ⊥AC ，∴∠F +∠C =90°．∵∠A +∠C =90°，∴∠A=∠F ．又∵DB =DC ，∠FBD =∠ABC ， ∴△FBD ≌△ABC ，∴AB =BF ．19．（2014陕西省，19，7分）．根据《2013年陕西省国民经济和社会发展统计公报》提供的大气污染物（A —二氧化硫，B —氮氧化物，C —化学需氧量，D —氨氮）排放量的相关数据，我们将这些数据用条形统计图和扇形统计图统计如下：根据以上统计图提供的信息，解答下列问题： （1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；（2）国务院总理李克强在十二届全国人大二次会议的政府工作报告中强调，建设美好家园、加大节能减排力度，今年二氧化硫、化学需氧量的排放量在去年基础上要减少2%，第18题图按此指示精神，求出陕西省2014年二氧化硫、化学需氧量的排放量共需减少约多少万吨？（结果精确到0．1）陕西省2013年大气污染物排放量情况统计图【答案】解：(1)补全的条形统计图与扇形统计图如下图所示：陕西省2013年大气污染物排放量情况统计图（2）由题意，得（80．6+51．9）×2%≈2．7．∴陕西省2014年二氧化硫、化学需氧量的排放量共需减少约2．7万吨 20．（2014陕西省，20，8分）某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条和的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B (点B 与河对岸岸边上的一棵树的底部点D 所确定的直线垂直于河岸)．①小明在B 点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D 处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距离地面的距离AB =1．7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB 延长线上的点E 处，此时小亮测得BE =9．6米，小明的眼睛距地面的距离CB =1．2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD 是多少米？污染物 排放量20污染物排放量【答案】解：由题意，知∠BAD=∠BCE．∵∠ABD=∠ABD=90°，∴△BAD∽△BCD．∴BDBE=ABCB．∴BD9.6=1.71.2．∴BD=13．6．∴河流的宽BD是13．6米．21．（2014陕西省，21，8分）小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除了收取每次6元包装费外，樱桃不超过1kg收费22元，超过1kg，则超出部分每千克10元加收费用，设该公司从西安到南昌快寄樱桃的费用为y（元），所寄樱桃为x(kg)（1）求y与x之间的函数关系式；（2）已知小李给外婆快寄了2．5kg樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？【答案】解：（1）当0<x≤1时，y=22+6=28;当x>1时，y=28+10(x-1)=10x+18．∴y与x的函数关系式为y28(01) 1018(1)xx x<≤⎧⎨+>⎩(2) 当x=2．5时，y=10×2．5+18=43∴小李这次快寄的费用是43元．22．（2014陕西省，22，8分）小英与她的父亲、母亲计划外出旅游，初步选择了延安、西安、汉中、安康四个城市，由于时间仓促，他们只能去其中一个城市，到底去哪个城市三人意见不统一，在这种情况下，小英的父亲建议，用小英学过的摸球游戏来决定，规则如下：①在一个不透明的袋子中装一个红球（延安）、一个白球（西安）、一个黄球（汉中）和一个黑球（安康），这四个球除颜色不同外，其余完全相同；②小英父亲先将袋中球摇匀，让小英从袋中随机摸出一球，父亲记录下其颜色，并将这个球放回袋中摇匀；然后让小英母亲从袋中随机摸出一球，父亲记录下它的颜色；③若两人所摸出球的颜色相同，则去该球所表示的城市旅游，否则，前面的记录作废，按规则②重新摸球，直到两人所摸出球的颜色形同为止．按照上面的规则，请你解答下列问题：（1）已知小英的理想是旅游城市是西安，小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是多少？（2）已知小英母亲的理想旅游城市是汉中，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是多少？【答案】解：（1）由题意，共有16种等可能出现的结果，其中母女两都摸出白球的结果只有1种．∴母女两各摸一次球，都摸出白球的概率是116．7种．∴母女各摸一次球，至少有一人摸出黄球的概率是71623．（2014陕西省，23，8分）如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB=6．过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C．(1)求证：AD平分∠BAC;(2)求AC的长．【答案】证明：（1）连接OD．∵BD是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥BC．∵AC ⊥BD ， ∴OD //AC ． ∴∠1=∠3， ∴∠1=∠2．∴AD 平分∠BAC ． （2）解：∵OD //AC ， ∴OD AC = BOBA∴4AC = 610，∴AC =20324．（2014陕西省，24，10分）已知抛物线C ：y = -x 2+b x+c ，经过A (-3，0)和B (0，3)两点，将这条抛物线的顶点记为M ，它的对称轴与x 轴的交点记为N ． (1)求抛物线C 的表达式； (2)求点M 的坐标；(3)将抛物线C 平移到抛物线C ＇，抛物线Ｃ＇的顶点记为Ｍ＇、它的对称轴与x 轴的交点记为N ＇，如果以点M 、N 、Ｍ＇、N ＇为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C 怎样平移？为什么？ 【答案】解：（1）根据题意，得9303b c c --+=⎧⎨=⎩解之，得23b c =-⎧⎨=⎩∵∠BAM =15o∴y= - x 2-2x+3（2）∵x= -b2a = - －2－2=1 ∴M (-1，4)（3）由题意，以上M 、N 、Ｍ＇、N ＇为顶点的平行四边形的边MN 的对边只能是M ＇N ＇．∴MN // M ＇N ＇，且MN = M ＇N ＇ ∴MN ·NN ＇＝16 ∴NN ＇＝4 ①当以M 、N 、M ＇、N ＇为顶点的平行四边形是 MNN ＇M ＇时，将抛物线C 向左或向右平移4个单位可得到符合条件的抛物线C ＇． ②当以M 、N 、M ＇、N ＇为顶点的平行四边形是 MNM ＇N ＇时，将抛物线C 先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得到符合条件的抛物线C ＇．∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C ＇． 25．（2014陕西省，25，12分） 问题探究（1）如图①，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．如果BC 边上存在点P ，使△APD 为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰△APD ，并求出此时BP 的长；（2）如图②，在△ABC 中，∠ABC =60°，BC =12，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别为边AB 、AC 的中点，当AD =6时，BC 边上存在一点Q ，使∠EQF =90°，求此时BQ 的长；问题解决（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE ，山庄保卫人员项在线段CD 上选一点M 安装监控装置，用来监视边AB ．现在要使∠AMB 大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳．已知∠A =∠E =∠D =90°，AB =270m ，ED =285m ，CD =340m ，问在线段CD 上是否存在点M ，使∠AMB =60°?若存在，请求出符合条件的DM 的长；若不存在，请说明理由．【答案】解：（BP 2=2，BP 3D C B A 图①F E D C B A 图② E D CB A 图③（2）∵E 、F 分别为AB 、AC 中点， ∴EF //BC ，EF =12BC =6．∵AD =6，AD ⊥BC ，∴EF 与BC 间的距离为3．∴BC 上符合条件的点Q 只有一个．如图②，⊙O 与BC 的切点记为Q ，连接OQ ， 过点E 作EG ⊥BC ，垂足为G ， ∴EG =3．∴四边形EOQG 为正方形． 在Rt △EBG 中，∠B =60°，EG =3， ∴BG =3． ∴BQ =3+3．（3）在CD 上存在符合题意得点M ． 理由如下:如图，构造等边△ABG ，作GP ⊥AB 于点P ，AK ⊥BG 于点K ，AK 与GP 交于点O ，以O 为圆心OA 长为半径画圆，则⊙O 为△ABG 的外接圆，作OH ⊥CD 于点H ． 在Rt △AOP 中，AP =12AB =135，OA =903，OP =453，又知OH =285-2702=150．而903>150，∴⊙O 与CD 相交．记⊙O 与CD 的交点为M ，连接OM 、MA 、MB ， 则∠AMB =∠AGB =60°． ∵在Rt △OHM 中，HM=∴DM=400-，或DM=400-舍去) ∴CD 上符合题意得点M 只有一个． ∴点M 就是符合要求点．故DM=400-．63m ．ABC。