第21章 二次根式复习
21二次根式复习(上课)解析
x为何值时，下列各式在实数范围 内有意义.
(1) 1 3x
(3) ( x 5)
2
1 x 3
x为全体实数
3 (5) 2x 1
(2) x 1 x为全体实数 2 (4) x 0且x 1 1 x
2
0
1 x 2
(6) x 5 ( x 6)
x 5且x 6
二、二次根式的性质
(2)( 2 3 ) 2 3 6 2 2 2
12 4
例2、判断下列各式中哪些是最简二次根
式，哪些不是？为什么？(字母为正数)
(1 ) 3 a b (2) 1.5ab 最简二次根式的三个条件：
（ 1）被开方数中不含能开得尽方的因数或 思路启迪：根据最简二次根式的条件来判 2 2 (3 ) x y 因式； (4 ) a b 断，不满足其中任意一个条件的，都不是 （ 2）被开方数不含分母； 最简二次根式． （3）分母中不含有根号.
1、 ( a) a
2
(a 0)
aa 0
2、 a a
2
aa 0
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
1、 （ a )2 与
a 区别：
2
① 意义不同 （ a )2 表示a的算术平方根的平方， 2 a 表示a的平方的算术平方根． ② a的取值范围不同 2 （ a ) a (a≥o)； a 2 a (a为任意实数)．
(3) 无论x为何实数 . x 2,4x 0 x为全体实数
依据是: x ( 2 ) 3 x 0 x 0 ①被开方数为非负数； (5) x 2 0且2 x 0 2 ②分母不等于零。
若两个非负数的和为零， 则这两个数都为零。
21章 二次根式复习要点
第21章 二次根式1.二次根式概念理解：一个数可以进行平方运算，3的平方=9；反过来可以进行开平方运算,9开平方得±3，我们用式子表示为39±=±，它表示9的平方根是±3，这里我们引用了一个符号根号。
a 这个式子我们称为二次根式，a 叫被开方数。
因为只有非负数才有平方根，即非负数才能开方，所以0≥a 。
注意：被开方数既可以是单项式，也可以是多项式．．．。
a 表示非负数的算术平方根，则有0≥a若3)3(2-=-a a ，则a 的取值范围是3-a ≥0，解得a ≥3 2.二次根式的性质（用来对式子进行化简）：①一个非负数．．．先开方，再平方得本身()a a =2 ②一个数．先平方，再开方取绝对值a a =2 3.二次根式的乘法：①根号不变，被开方数相乘，再化简．．．。
不能被平方数整除，则不能化简。
如：22能分成2×11 但2和11都不是平方数。
6。
32分成16×2，不能分成4×8平方数的开方： 981416,39,24==== 非平方数的开方：5220,2318,3212===，被开方数能分成4的多少倍，结果2倍根号多少。
以此类推，如45，45分成9的5倍，得534.二次根式的除法:如5315315==，也可以5335315=⨯=（1）分母是平方数，分子分母分别开方，再化简。
3294=，5112511=，22422168== （2）分母不是平方数，先约分，再把分母变成最小平方数．．．．．。
分子分母分别开方。
642666767=⨯⨯=，410282585=⨯⨯=，2747814== ③分母中有根号的化简：先约分．．．，把分母根号里的数变成最小平方数．．．．．，再开方。
335333535=⨯⨯=，10625023503=⨯⨯=, 363332322416=⨯⨯== ()()()()()2532532525253253+=+=+-+=-6.二次根式的加减。
第21章二次根式复习
第21章 小结与复习
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最简二次根式
三个概念
同类二次根式
有理化因式 --不要求，只需了解
1、 ab a ba 0,b 0
二 次
两个性质
2、
a b
a b
(a 0,b 0)
根 式
1、 a 2 aa 0
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数学是一种理性的精神，使人类 的思维得以运用到最完善的程度。
——克莱因
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两个公式
aa 0
2、 a2 a aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
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二次根式的概念
１．二次根式的定义：形如 a（a 0）的式
子叫做二次根式
２．二次根式的识别：（１）被开方数 a 0
（２）根指数是２
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二次根式的加减
1、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如
果被开方数相同，这几个二次根就叫做同类二 次根式。 2、二次根式的加减 （1）先化简， （2）再合并。
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3、二次根式的乘法类似与多项式的乘法，
a
{a,a0 a,a0
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最简二次根式
抢答:判断下列二次根式是否 是最简二次根式,并说明理由。
(1) 50
(2) a2bc
21二次根式---复习
aa 0
aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
梳理一. 二次根定义
1. 一般地，我们把形如
的式子叫做二次根式，“ 根号。 二次根式
a（a≥0）
”称为二次
被开方数a≥0；
根指数为2.
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
（1）.表示a的算术平方根 （2）. a可以是数,也可以是式.
（2）． （3）．
a 0 （ａ 0）
( a) a
2
(a≥0, )
a ,a 0 a ,a 0
a a {
2
题型:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1. 当 X ≤3 _____时，
3 x
有意义。
2.(2006.青岛)
a 4 + 4 a 有意义的条件是 a=4
3.求下列二次根式中字母的取值范围 1 x 5 3 x 说明：二次根式被开方数
(1) 50与 0.5 √
(2) 12与 18 ×
2ab 2 (4) 与 ab × 3 3
如何判断？
(3) a b与2 b √
1 √ (5) a 与 a
3
2
18. 下列各式属于最简二次根式的是 (
A. 8 B.
x 1
2
B
)
C.
y
3
D.
1 2
19.若 a 2 ( a )2 则a的取值范围是（ A ）
(1) x 2
2
x ( 2) x 2 x 2
2 2
(2)2 x 2 3 y 2
2 2
( 2x) ( 3y) 2x 3y 2x 3 y
章复习 第21章 二次根式
章复习第21章二次根式一、二次根式1、二次根式的概念一般地，把形如______的式子叫做二次根式，“______”叫做二次根号，______叫做被开方数.注：被开方数a可以是数，也可以是代数式（整式、分式），但a必须____________.2、二次根式的意义与性质⑴意义：二次根式实际上就是指非负数a的____________．a≥是一个______数；②____________；③____________．(0)注：①2(0)=≥可逆用平方根定义得出；②注意0a aa<时，a-．二、二次根式的乘除1、二次根式的乘法规定：__________________即：____________________________________．注：①此规定可推广到多个二次根式的情况；②此规定是积的算术平方根的性质____________的逆用；③公式中的a，b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是______数，因为负数____________.2、二次根式的除法规定：__________________即：______________________________.注：①一般地，两个二次根式相除，如果被开方数不能恰好整除时，应将分母有理化.分母有理化的依据是分式的基本性质和2(0)=≥；②商的算术平方根的性质的限制条a a件“(00)，”与积的算术平方根的性质的限制条件类似，但也有区别，因为分母不能为零，a b≥>所以被除式a必须是非负数，除式b必须是正数，否则性质不成立.3、最简二次根式满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数不含______；②被开方数中不含____________的因数或因式.注：①判断最简二次根式，应紧紧抓住最简二次根式的定义；②如果被开方数是多项式时，应先因式分解，再来判断；③被开方数中每一个因式的指数都小于根指数2，即每个因式的指数都为1．三、二次根式的化简化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分数或分式的形式，然后利用分母有理化进行化简；②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．四、二次根式的加减1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．注：①几个根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，而与根号前面的“系数”无关；②判断几个二次根式是否是同类二次根式，应先化成最简二次根式，再进行判断．2、二次根式的加减二次根式的加减，就是合并同类二次根式，二次根式加减运算的一般步骤：①将每一个二次根式化为最简二次根式；②找出其中的同类二次根式，合并同类二次根式．注：合并同类二次根式的方法是，把根号外面的因式相加，根指数和被开方数不变，其理论依据是逆用乘法对加法的分配律． 如：.3473)412(34132=-=- 五、重难专攻 综合方法专攻1 二次根式的化简在二次根式的运算中，二次根式的化简是必不可少的步骤．化二次根式为最简二次根式的方法：(1)如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用00)a b =≥>，把它写成分数或分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．(2)如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽的因数或因式开出来．专攻2 二次根式的运算技巧(1)巧移因式，避繁就简【例1】计算：⋅-+)3418)(4823( 解：原式=)3418)(4823(22⨯-+⨯)4818)(4818(-+=304818-=-=(2)巧换元，干净利索【例2】计算：n n n n n n n n n (424242422222-++--++--+-++>2)． 【解】设42,4222--+=-++=n n y n n x ，则原式=(3)巧用因式分解，手到擒来【例3】化简：622633++++【解】原式=⋅==++++2623)312(2)213(3另外，还有配方、整体代入、拆项等方法，进行二次根式运算时，要灵活应用这些方法，以达到事半功倍的目的．六、中考能力提升重要例题分类解析题例1 二次根式【例1】【解】3．【点拨】考查二次根式运算，同时考查平方与开方的互逆关系．【例2】 （上海中考）计算：【例3】 （广东中考）化简：【分析【分析【解题蜘2二次根式的乘除.171-.3)3(2=J .177777777-=-=- =-777 =2)3(题刨±∝=R 、3的加R【例4】 （重庆中考）计算^／8=∞-/2A ．6B ．厢C ．2D ．厄【解】D ．简再计算，【分析】.33312,3212-=-∴=【解】一万．【点拨中考最新动析置击1化简探讨题【例1】 （镇江中考）若为( )．A ．o 万B ．口 ~-b-b a C -.b a D --.P 、1．（襄樊中考）与怕是A.~/8B.√27C. 2√S212.-A2.±B2.C4.DrH r*.(3Λ 中考．2009）下面计算正确的是( )．3333.=+A3327.=÷B532.=⋅C 24.±=D的取值范围是( )．3.-≥x A 3.->x B 3.-≤x C 3.-<x D )%(5Lhs Φ=⋅ 下列计算正确的是( )．A ．√822=- 14931227.=-=-B1)52)(52(=+-⋅C 23226.=-D、-填空6．（上海中考）函数≡⨯-=R hR x y 、27．（芜湖中考）式子≡-=≡+hhL N TKRL r a 128．（曲靖中考）9．（湘西10．（温州【分析ab b a b a ab ∴><∴><,0,0,0,012 .b a -=【解】C ．【点拨】渎探究题【例观察下列各式：=+=+=+513,413412,312311.,514请你将发现自然数n(n≥1)的等式【分析】比较等式的左边及右边， ⋅++=++21)1(21n n n n 【解】⋅++=++21)1(21n n n n 【点拨】11.（内江中考）化简：.45sin 2321+- 12.（江西中考）已知：以0凡是整数， 数n 为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 且、-F 放j 宋ji 毯z .(/13阳+-=++-=++-=+3431,32321,21211 ,20022001200220011,,4.+-=+.20032002200320021+-=+ +++++++++200220011431321211( ⋅+⨯+)20031()200320021题14．（内江中考）实数上的位置如图kk ,110-=-+-22)2()1(P P110-ru k ML L *、)(15*≡≡-Φ-⋅⋅先化n JN x J x x x ∏≡⋅-=Φ±---~22/,.,,2007,91:)96 学做题时把“,,2007-=x 错抄成了“≡=HTk x 1,,,2007的计算结果也是正确的，。
第21章二次根式小结与复习课件
式子有意义的条件是：
x2
（1）被开方数大于或等于0。
（2）分母不能为0。
变式训练：
1、若代数式 m 2 是二次根式，则m的取
值范围是
。
2、如果式子 m 1 有意义，则坐标系中
mn
点P（m，n)的位置在第（ ）象限。
第21章二次根式小结与复习课件
3. 当 - 2≤x＜1.5 时，有 x2 12x意义。
第21章二次根式小结与复习课件
变式练习： 3、能使二次根式 (x2)2有意义的实数x的值有（ B ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个
4.已x知 、 y是实 ,且 数 y x24 4x2 1 x2
求 3x4y的.值
第21章二次根式小结与复习课件
知识点3、二次根式的性质
1.( a)2 a (a 0)
8 22
5
3
93
mn n 5
第21章二次根式小结与复习课件
1、计算： 1 2 8 2 48 6
2、化简 (1) (16)(81) (2) 40
(3)3 1 3
(4) 4 1 9
(5) 0.2
变式训练：已知b＞0,化简 a3b 的结果是（ ）
A.a ab B.a ab C.a ab D.a ab
二次根式的化简，最终要化为最简二次根式。
回顾：什么叫最简二次根式？
第21章二次根式小结与复习课件
5、已知 a,b,c为△ AB的 C 三边, 长
化简(abc)2 (bac)2
6.化简
1
1 -
2
3
2 - 2 32
3
2
3- 7 2
2
2
7 5 2 7
4
第21章 二次根式 复习课件
1．二次根式的概念 一般地，形如
a
(a≥0)的式子叫做二次根式；
(1)对于二次根式的理解：①带有根号；②被开方数是非负数． (2) a是非负数，即 a≥0. [易错点] (1)二次根式中， 被开方数一定是非负数， 否则就没有 意义； (2) 9是二次根式，虽然 9＝3，但 3 不是二次根式．因此二次 根式指的是某种式子的“外在形态”．
a a>0， 0 a＝0， -a a<0.
(a≥0，b>0)．
4.二次根式的非负性
二次根式 a的两个非负特性： ① a 0 ；② a 0
方法技巧
初中阶
若干个非负数的和为 0， 那么这若干个非负数都必为 0.即由 a≥0， b≥0，c≥0 且 a＋b＋c＝0，一定得到 a＝b＝c＝0，这是求一个 方程中含有多个未知数的有效方法之一．
2．最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)被开方数不含 分母 (2)被开方数中不含能 3．二次根式的性质 ；
开得尽方
的因数或因式．
( a)2＝
a
a· b＝
ab
2 (a≥0) ； a ＝a＝ a a (a≥0，b≥0)； = b b
5．二次根式的运算 二次根式加减时，可以先将二次根式化成 最简二次根式 ， 再将
被开方数相同
的二次根式进行合并．
课堂小结
【针对训练 】
1．若 a、b 为实数，且满足│a－2│＋ －b2＝0，则 b－a 的值 为( C ) A．2 C．－2 B．0 D．± 2
0 2．化简： x－2－ 2－x＝________.
6．化简： 1－ 2 .
2
7．计算：
第21章《二次根式》复习课课件
时，x的取值范围是___________
知识点4：二次根的乘除
1、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0, b 0)
反过来：
ab a b (a 0, b 0)
2、二次根式的除法法则
a a (a 0, b 0) b b
反过来：
a a (a 0, b 0) b b
a 3 a 2 4a 4
2、式子
0
1
2 a3
1 (a 1) 2 a 成立的条件是（ D ）
A.a 1 B.a 1 C .a 1
D.a 1
3、 已知a, b, c为△ABC的三边长, 化简 (a b c) (b a c)
2 2
4、当
(6 x)( x 3) (3 x) 6 x
1、下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
1 4 2 x 3 2 4 √ √
x 2 5 6a 6 3
2
2
√
二次根式必须具备以下2个条件： （1）必须有二次根号； （2）被开方数必须保证大于或等于0。
√
2、x取什么实数时，下列式子有意义？
1
2 x 2
括号前面是负号，去括号时每一项要改变符号。
例7：计算
解：原式=
6 ( 2 3)
6 2 6 3 3 2
错误原因：没有按运算顺序
运算技巧 1 、 已知x
2
2 7 3
,y
2
2 7 3
,
求x xy y 的值。
2、计算 ( x 2 xy y) ( x
1、计算： 2、化简
1
2 8
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第二十一章 二次根式复习
知识点1．二次根式的定义：形如a (0≥a )的式子为二次根式
1、下列式子中二次根式的个数有（ ）
⑴
1)x > A ：2个 B ：3个 C ：4个 D ：5个
判断的条件：1
、含“”，2、被开方数0≥a
2、 下列各式一定是二次根式的是（ ）
A.
知识点2．二次根式的性质
（1）a ≥0（0≥a ）具有双重非负性；
题型1：利用 0≥a 考查有无意义
3、（1）当x
时， 在实数范围内有意义。
（
2）当x 时，在实数范围内有意义。
4、函数y=x
x -+21中，自变量x 的取值范围是（ ） A 、x ≥－1 B 、－1≤x ≤2 C 、－1≤x ＜2 D 、x ＜2
5．已知，求x y 的值．
题型2：利用 a ≥0 考查非负性
6．若，求a 2012+b 2013= ．
7.若2440y y -+=，求x y =
8.当x= 时，二次根式1+x 取最小值，其最小值为 .
（2） ()()02≥=a a a ；
题型1：计算2=__________ 2)32(=_________ 题型2：反向)0()(2≥=a a a 分解因数
9、 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。
题型3：比较大小
10、比较大小：--（填“＞”“＜”或“=” ）
x
o
a （3│a │=(0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩
； 或│a │=⎩⎨⎧≤-≥)0()0(a a a a 题型1：化简
11、 化简：)1x 的结果是 。
12、当15x
≤ 5_____________x -=。
A. 52a -
B. 12a -
C. 25a -
D. 21a -
13、如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│
a －
b │ 的
结果等于（ ） A ．－2b B ．2b C ．－2a D ．2a
题型2：条件的利用
14、
已知2x =-，则x 的取值范围是 。
15、如2m =4
，则m=_________
（4
）积的算术平方根的性质：
a ≥0，
b ≥0）
题型1：化简
16、化简=⨯04.0225_________，=-22
108117())10,0a b ≥≥=
17、若n 243是一个整数，则整数n 的最小值是 。
题型2：利用条件a ≥0，b ≥0
18、
使等式
=成立的条件是 。
题型3：根号外移到根号里去
19
、 把 。
（5
）商的算术平方根的性质：=（b ≥0，a>0）利用条件b ≥0，a>0 20
、
能使等式=成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥
知识点3：二次根式的几个概念
（二）最简二次根式
21（y>0）化为最简二次根式结果是（ ）．
A （y>0）
B y>0）
C （y>0）
D ．以上都不对 22、在5a ，8b ，
m 4 ，22b a +，3a 中，是最简二次根式的有（ ）个 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
（三）同类二次根式
23、下列各组二次根式化简后，被开方数相同的一组是（ ）
((A)93和 (B)3
13和 (C)318和 (D)2412和
24、若最简二次根式
n m 、n 的值． （四） “分母有理化”与“有理化因式”
25、________；_________．
26、观察下列分母有理化的计算：
===从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：
1)
+=_____________ 27、232
31
+-与的关系是 。
28、把ab a
123分母有理化后得 （ ）
A ．b 4
B ．b 2
C ．
b 21 D ． b b 2 知识点4：四则计算
29、xy 2 ，=⋅2712 .
30
=___________
31、计算36a ÷2
a 的结果是____________
32、计算：=___________；
33．计算
（1） (23-32)2 （2）3)154276485(÷+- （3）4838
14
122-+
（4
）0(π1)+- （5）)622554(83--⨯
知识点5：综合运用
34、 比较下列数值的大小。
35、已知111-的整数部分为a ，小数部分为b ，试求()
()111++b a 的值
36、计算：20062007)56()56(-⨯+.
37、若x ，y 是实数，且2111+
-+-<x x y ，求1|1|--y y 的值。
38、观察分析，探求出规律，然后填空：
2，2，6，22，10， ，…， （第n 个数） 39、如图，数轴上B 表示的数是2，A 点与B 点关于“1”对称，则A 点所表示的数是（ ）
A 、2－2
B 、2－2
C 、2－1
D 、1－2
40、已知a －b=23－1，ab=3,则（a+1)(b-1)的值为（ ）
A 、－3
B 、33
C 、33－2
D 、3－1
41、函数y=mx+n 的图像如图3所示，化简∣m －n ∣－
m 2＝ 。
42、已知a x x =+
1
，则x x 1+的值为( )。