Kruskal算法
库鲁斯卡尔(Kruskal)算法
贪心策略是指从问题的初始状态出发，通过若干次的贪心选择而得出最优值(或较优解)的一种解题方法。
Ⅰ、库鲁斯卡尔（Kruskal）算法【定义4】设图G=（V，E）是一简单连通图，｜V｜ =n,｜E｜=m,每条边ei都给以权W ，W 假定是边e 的长度（其他的也可以），i=1，2，3，...，m。
求图G的总长度最短的树，这就是最短树问题。
kruskal算法的基本思想是：首先将赋权图G的边按权的升序排列，不失一般性为：e ,e ,......,e 。
其中W ≤W ，然后在不构成回路的条件下择优取进权最小的边。
其流程如下：（1）对属于E的边进行排序得e ≤e ≤...... ≤e 。
（2）初始化操作 w←0，T←ф，k←0，t←0；（3）若t=n-1，则转（6），否则转（4）（4）若T∪｛e ｝构成一回路，则作【k←k+1，转（4）】（5） T←T∪{ e }，w←w+ w ，t←t+1，k←k+1，转（3）（6）输出T，w，停止。
下面我们对这个算法的合理性进行证明。
设在最短树中，有边〈v ，v 〉，连接两顶点v ，v ，边〈v ，v 〉的权为wp，若〈v ，v 〉加入到树中不能保证树的总长度最短，那么一定有另一条边〈v ，v 〉或另两条边〈v ，v 〉、〈v ，v 〉，且w<vi，vj><wp或w<vi，vk>+w〈vk，vj〉<wp，因为〈v ，v 〉、〈v ，v 〉不在最短树中，可知当〈v ，v 〉、〈v ，v 〉加入到树中时已构成回路，此时程序终止。
因为〈v ，v 〉∈ T，〈v ，v 〉∈T且w〈vI，vk〉+w〈vk，vj〉<w p，与程序流程矛盾。
普林（Prim）算法：Kruskal算法采取在不构成回路的条件下，优先选择长度最短的边作为最短树的边，而Prim则是采取了另一种贪心策略。
已知图G=（V，E），V={v ，v ，v ，...， v }，D=（d ）是图G的矩阵，若〈v ，v 〉∈E，则令dij=∞，并假定dij=∞Prim算法的基本思想是：从某一顶点（设为v ）开始，令S←｛v ｝，求V/S中点与S中点v 距离最短的点，即从矩阵D的第一行元素中找到最小的元素，设为d ，则令S ←S∪ { v }，继续求V/S中点与S的距离最短的点，设为v ,则令S←S∪{ v }，继续以上的步骤，直到n个顶点用n-1条边连接起来为止。
kruskal算法
kruskal算法百科名片K r u s k a l算法每次选择n- 1条边，所使用的贪婪准则是：从剩下的边中选择一条不会产生环路的具有最小耗费的边加入已选择的边的集合中。
注意到所选取的边若产生环路则不可能形成一棵生成树。
K r u s k a l算法分e 步，其中e 是网络中边的数目。
按耗费递增的顺序来考虑这e 条边，每次考虑一条边。
当考虑某条边时，若将其加入到已选边的集合中会出现环路，则将其抛弃，否则，将它选入。
目录[隐藏]Kruskal算法普里姆算法（prim算法）Kruskal算法普里姆算法（prim算法）[编辑本段]Kruskal算法算法定义克鲁斯卡尔算法假设WN=(V,{E}) 是一个含有n 个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有n 棵树的一个森林。
之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。
依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有n-1条边为止。
举例描述初始时没有任何边被选择。
边（ 1 , 6）是最先选入的边，它被加入到欲构建的生成树中，得到图1 3 - 1 2 c。
下一步选择边（3，4）并将其加入树中（如图1 3 - 1 2 d所示）。
然后考虑边( 2，7 ，将它加入树中并不会产生环路，于是便得到图1 3 - 1 2 e。
下一步考虑边（2，3）并将其加入树中（如图1 3 - 1 2 f所示）。
在其余还未考虑的边中，（7，4）具有最小耗费，因此先考虑它，将它加入正在创建的树中会产生环路，所以将其丢弃。
此后将边（5，4）加入树中，得到的树如图13-12g 所示。
下一步考虑边（7，5），由于会产生环路，将其丢弃。
② kruskal最小生成树算法的定义和实现
Krskal最小生成树算法是一种用来解决图论中最小生成树问题的算法。
它采用了一种贪心的策略，即每一步都选择权值最小的边，并且保证选择的边不会构成环，直到生成一棵最小生成树为止。
1. 算法的定义kruskal最小生成树算法的定义如下：输入：一个连通无向图G=(V,E)，其中V是顶点集合，E是边的集合，每条边都有一个权值。
输出：G的最小生成树算法步骤：① 将图G的所有边按照权值从小到大进行排序。
② 初始化一个空的边集合T，该集合用来存放最小生成树的边。
③ 依次遍历排序后的边集合，对于每一条边e=(u,v)，如果将该边添加到T中不会构成环，则将其添加到T中。
④ 重复步骤③，直到T中的边数等于V-1为止，此时T就是G的最小生成树。
2. 算法的实现下面是kruskal最小生成树算法的具体实现过程：```pythonclass UnionFind:def __init__(self, n):self.parent = [i for i in range(n)]def find(self, x):if self.parent[x] != x:self.parent[x] = self.find(self.parent[x]) return self.parent[x]def union(self, x, y):root_x = self.find(x)root_y = self.find(y)if root_x != root_y:self.parent[root_x] = root_ydef kruskal(graph):edges = []for u in range(len(graph)):for v in range(u+1, len(graph)):if graph[u][v] != 0:edges.append((u, v, graph[u][v])) edges.sort(key=lambda x: x[2])n = len(graph)result = []uf = UnionFind(n)for edge in edges:u, v, weight = edgeif uf.find(u) != uf.find(v):uf.union(u, v)result.append((u, v, weight))if len(result) == n - 1:breakreturn result```以上代码实现了kruskal最小生成树算法，其中使用了UnionFind类来实现并查集的功能，以判断是否构成环。
kruskal函数的各个参数
Kruskal函数是一种用于解决最小生成树问题的算法。
它通常用于在图论中寻找连接所有节点的最小数量的边。
Kruskal函数通常需要以下参数：1. 输入数据：输入数据通常是一个图的数据结构，包括节点的集合和边的集合。
节点集合表示图中的节点，边集合表示节点之间的连接关系。
2. 节点集合：输入数据中的节点集合表示图中的节点，通常是一个整数数组或列表。
3. 边集合：输入数据中的边集合表示节点之间的连接关系，通常是一个包含边的列表或数组。
每个边由两个节点和一个权重组成，表示从第一个节点到第二个节点的边的权重。
4. 输出结果：Kruskal函数将返回一个最小生成树的结果，通常是一个包含所有边和权重的列表或数组。
以下是Kruskal函数各个参数的详细说明：* 输入数据：输入数据是图的数据结构，包括节点集合和边集合。
节点集合表示图中的节点，边集合表示节点之间的连接关系。
输入数据应该已经经过了适当的处理，例如去除重复的边和检查边的权重是否满足连通性要求等。
* 节点集合：节点集合是一个整数数组或列表，表示图中的节点。
在最小生成树问题中，每个节点都应该至少被包含在生成树中一次。
因此，节点集合应该只包含那些至少被一个边连接的节点。
* 边集合：边集合是一个包含边的列表或数组，表示节点之间的连接关系。
边的权重通常表示了连接的强度或距离。
在最小生成树问题中，边的权重应该被视为非负数，并且权重较小的边应该被优先选择。
Kruskal函数的核心思想是通过将边按照权重从小到大排序，并按照顺序依次选择边来构建生成树。
在选择每一条边时，需要检查它是否已经存在于生成树中，以及它是否会形成环路。
如果满足这两个条件，则可以选择这条边并将其添加到生成树中。
通过这种方式，Kruskal 函数可以逐步构建最小生成树，直到所有节点都被连接为止。
总之，Kruskal函数的各个参数包括输入数据、节点集合和边集合，以及输出结果。
输入数据应该是一个经过适当处理的数据结构，其中包含节点和边的信息。
Kruskal算法
1. Kruskal算法(1) 算法思想K r u s k a l算法每次选择n- 1条边，所使用的贪婪准则是：从剩下的边中选择一条不会产生环路的具有最小耗费的边加入已选择的边的集合中。
注意到所选取的边若产生环路则不可能形成一棵生成树。
K r u s k a l算法分e 步，其中e 是网络中边的数目。
按耗费递增的顺序来考虑这e 条边，每次考虑一条边。
当考虑某条边时，若将其加入到已选边的集合中会出现环路，则将其抛弃，否则，将它选入。
初始时没有任何边被选择。
边（ 1 , 6）是最先选入的边，它被加入到欲构建的生成树中，得到图1 3 - 1 2 c。
下一步选择边（ 3，4）并将其加入树中（如图1 3 - 1 2 d所示）。
然后考虑边( 2，7 ，将它加入树中并不会产生环路，于是便得到图1 3 - 1 2 e。
下一步考虑边（ 2，3）并将其加入树中（如图1 3 - 1 2 f所示）。
在其余还未考虑的边中，（7，4）具有最小耗费，因此先考虑它，将它加入正在创建的树中会产生环路，所以将其丢弃。
此后将边（ 5，4）加入树中，得到的树如图13-12g 所示。
下一步考虑边（ 7，5），由于会产生环路，将其丢弃。
最后考虑边（ 6，5）并将其加入树中，产生了一棵生成树，其耗费为9 9。
图1 - 1 3给出了K r u s k a l算法的伪代码。
(2)C代码/* Kruskal.cCopyright (c) 2002, 2006 by ctu_85All Rights Reserved.*//* I am sorry to say that the situation of unconnected graph is not concerned */#include "stdio.h"#define maxver 10#define maxright 100int G[maxver][maxver],record=0,touched[maxver][maxver];int circle=0;int FindCircle(int,int,int,int);int main(){int path[maxver][2],used[maxver][maxver];int i,j,k,t,min=maxright,exsit=0;int v1,v2,num,temp,status=0;restart:printf("Please enter the number of vertex(s) in the graph:\n"); scanf("%d",&num);if(num>maxver||num<0){printf("Error!Please reinput!\n");goto restart;}for(j=0;j<num;j++)for(k=0;k<num;k++){if(j==k){G[j][k]=maxright;used[j][k]=1;touched[j][k]=0;}elseif(j<k){re:printf("Please input the right between vertex %d and vertex %d,if no edge exists please input -1:\n",j+1,k+1);scanf("%d",&temp);if(temp>=maxright||temp<-1){printf("Invalid input!\n");goto re;}if(temp==-1)temp=maxright;G[j][k]=G[k][j]=temp;used[j][k]=used[k][j]=0;touched[j][k]=touched[k][j]=0;}}for(j=0;j<num;j++){path[j][0]=0;path[j][1]=0;}for(j=0;j<num;j++){status=0;for(k=0;k<num;k++)if(G[j][k]<maxright){status=1;break;}if(status==0)break;}for(i=0;i<num-1&&status;i++){for(j=0;j<num;j++)for(k=0;k<num;k++)if(G[j][k]<min&&!used[j][k]){v1=j;v2=k;min=G[j][k];}if(!used[v1][v2]){used[v1][v2]=1;used[v2][v1]=1;touched[v1][v2]=1;touched[v2][v1]=1;path[0]=v1;path[1]=v2;for(t=0;t<record;t++)FindCircle(path[t][0],path[t][0],num,path[t][0]);if(circle){/*if a circle exsits,roll back*/circle=0;i--;exsit=0;touched[v1][v2]=0;touched[v2][v1]=0;min=maxright;}else{record++;min=maxright;}}}if(!status)printf("We cannot deal with it because the graph is not connected!\n"); else{for(i=0;i<num-1;i++)printf("Path %d:vertex %d to vertex %d\n",i+1,path[0]+1,path[1]+1); }return 1;}int FindCircle(int start,int begin,int times,int pre){ /* to judge whether a circle is produced*/int i;for(i=0;i<times;i++)if(touched[begin]==1){if(i==start&&pre!=start){circle=1;return 1;break;}elseif(pre!=i)FindCircle(start,i,times,begin);elsecontinue;}return 1;}。
库鲁斯卡尔(Kruskal)算法
贪心策略是指从问题的初始状态出发，通过若干次的贪心选择而得出最优值(或较优解)的一种解题方法。
Ⅰ、库鲁斯卡尔（Kruskal）算法【定义4】设图G=（V，E）是一简单连通图，｜V｜ =n,｜E｜=m,每条边ei都给以权W ，W 假定是边e 的长度（其他的也可以），i=1，2，3，...，m。
求图G的总长度最短的树，这就是最短树问题。
kruskal算法的基本思想是：首先将赋权图G的边按权的升序排列，不失一般性为：e ,e ,......,e 。
其中W ≤W ，然后在不构成回路的条件下择优取进权最小的边。
其流程如下：（1）对属于E的边进行排序得e ≤e ≤...... ≤e 。
（2）初始化操作 w←0，T←ф，k←0，t←0；（3）若t=n-1，则转（6），否则转（4）（4）若T∪｛e ｝构成一回路，则作【k←k+1，转（4）】（5） T←T∪{ e }，w←w+ w ，t←t+1，k←k+1，转（3）（6）输出T，w，停止。
下面我们对这个算法的合理性进行证明。
设在最短树中，有边〈v ，v 〉，连接两顶点v ，v ，边〈v ，v 〉的权为wp，若〈v ，v 〉加入到树中不能保证树的总长度最短，那么一定有另一条边〈v ，v 〉或另两条边〈v ，v 〉、〈v ，v 〉，且w<vi，vj><wp或w<vi，vk>+w〈vk，vj〉<wp，因为〈v ，v 〉、〈v ，v 〉不在最短树中，可知当〈v ，v 〉、〈v ，v 〉加入到树中时已构成回路，此时程序终止。
因为〈v ，v 〉∈ T，〈v ，v 〉∈T且w〈vI，vk〉+w〈vk，vj〉<w p，与程序流程矛盾。
普林（Prim）算法：Kruskal算法采取在不构成回路的条件下，优先选择长度最短的边作为最短树的边，而Prim则是采取了另一种贪心策略。
已知图G=（V，E），V={v ，v ，v ，...， v }，D=（d ）是图G的矩阵，若〈v ，v 〉∈E，则令dij=∞，并假定dij=∞Prim算法的基本思想是：从某一顶点（设为v ）开始，令S←｛v ｝，求V/S中点与S中点v 距离最短的点，即从矩阵D的第一行元素中找到最小的元素，设为d ，则令S ←S∪ { v }，继续求V/S中点与S的距离最短的点，设为v ,则令S←S∪{ v }，继续以上的步骤，直到n个顶点用n-1条边连接起来为止。
kruskal算法回环判断方法
kruskal算法回环判断方法（原创实用版4篇）《kruskal算法回环判断方法》篇1Kruskal 算法是一种用于寻找最小生成树的算法。
在Kruskal 算法中，边按照权重从小到大排序，然后依次将边加入到图中，但要避免形成环。
为了判断是否形成环，Kruskal 算法使用了一种称为“回环判断方法”的技术。
具体来说，在加入一条边之前，需要检查这条边是否与已加入的边形成环。
如果形成环，则这条边不能加入到图中。
回环判断方法的实现可以通过使用并查集数据结构来实现。
具体来说，对于每一条边，都使用一个并查集来记录这条边所连接的顶点属于哪个连通分量。
在加入一条边之前，需要检查这条边的两个端点是否属于同一个连通分量。
如果属于同一个连通分量，则说明加入这条边会形成环，不能加入。
《kruskal算法回环判断方法》篇2Kruskal 算法是一种用于寻找最小生成树的算法。
在寻找最小生成树时，需要判断一个树是否是一个回环。
回环是指一个节点通过一条边连接到自己，形成一个环。
Kruskal 算法使用并查集数据结构来维护边集，并使用disjoint sets data structure 来判断是否存在回环。
在disjoint sets data structure 中，每个节点代表一个连通分量(也可以理解为森林中的一个组成部分),每个节点的父节点是指向它的连通分量的根节点。
当加入一条新边时，需要将这条边的两个端点的节点合并到同一个连通分量中。
如果这条边的两个端点已经在同一个连通分量中，那么就说明存在回环。
具体实现时，可以使用一个数组来记录每个节点的父节点，当加入一条新边时，需要遍历这条边的两个端点的父节点，如果它们相同，就说明存在回环。
以下是一个示例代码:``` pythonclass DisjointSet:def __init__(self):self.size = 0self.parent = [None] * (100000 + 1)def find(self, x):if self.parent[x] is None:return xelse:return self.find(self.parent[x])def union(self, x, y):x_root = self.find(x)y_root = self.find(y)if x_root == y_root:#存在回环returnelse:if self.size[x_root] < self.size[y_root]:self.size[x_root] += self.size[y_root]self.parent[x_root] = x_rootelse:self.size[y_root] += self.size[x_root]self.parent[y_root] = x_root```在以上代码中，`self.size[i]` 表示连通分量i 的大小，`self.parent[i]` 表示连通分量i 的根节点。
求无向图的最小生成树算法——Prim与Kruskal
1.算法思想
对于图G=(V,E)，用Prim算法求最小生成树T=(S,TE)的流程如下
① 初始化：设S、TE为空集，任选节点K加入S。
② 选取一条权值最小的边（X,Y），其中X∈S，且not (Y∈S） 即，选取一条权值最小的、连接着S中一点与S外一点的边。
以上操作重复|V|-1次结束。由于每次加入S的点i都在当时取到了符合流程②的边min{lowcost}，而lowcost[i]=w(i,closest[i])，所以此时的最小生成树的各边就是(i,closest[i])，i∈V且not (i=x)【需要注意的是出发点x的closest[x]还是x，所以应忽略，实际取到x-1条边】。把i从1取到|V|，便得到最小生成树T的每条边。
为了比较快速地选边，我们用两个数组lowcost、closest动态地维护每一个点到S的最短距离。在某一状态下，lowcost[i]表示所有与i相连且另一端点在S中的边中的权值最小值，closest[i]表示在S中且与i相连的点中与i之间距离最小的点。显然，lowcost[i]=w(i,closest[i])。需要注意的是两个数组记录的都是边而不是路径。若i没有边直接连向S，则lowcost[i]=∞。另外，若i已在S中，则lowcost[i]=0。
lowcost[j] = w[k][j];
closest[j] = k;
} //由新加入S中的k点使某些点到S的距离缩短，所以更新各点的lowcost和close= 1; i <= n; i++)
if(i != closest[i]){
设出发点为x。初始时对于任意k∈V，closest[k]=x，lowcost[k]=w（k,x）【w（i，j）表示i、j间的距离。初始化时，若两点间没有边则w（i，j）赋为一个足够大的整数（如maxint），并且所有点到自身的距离赋为0，即w（i，i）=0】
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最小生成树的Kruskal算法
Kruskal算法基本思想：
每次选不属于同一连通分量(保证不生成圈)且边权值最小的顶点，将边加入MST，并将所在的2个连通分量合并，直到只剩一个连通分量排序使用Quicksort(O(eloge))
检查是否在同一连通分量用Union-Find，每次Find和union运算近似常数
Union-Find使用rank启发式合并和路径压缩
总复杂度O(eloge)=O(elogv) (因为e<n(n-1)/2)
}
const
maxn=100;
maxe=maxn*maxn;
type
edge=record
a,b :integer; //边的2个顶点
len :integer; //边的长度
end;
var
edges :array[0..maxe]of edge; //保存所有边的信息
p,r :array[0..maxn]of integer; //p保存i的父亲节点，r用来实现Union-Find的rank启发式
n,e :integer; //n为顶点数，e为边数
procedure swap(a,b:integer); //交换
begin
edges[0]:=edges[a];
edges[a]:=edges[b];
edges[b]:=edges[0];
end;
procedure quicksort(l,r:integer); //快速排序
var
x,i,j :integer;
begin
x:=edges[random(r-l+1)+l].len;
i:=l;j:=r;
repeat
while edges[i].len<x do inc(i);
while edges[j].len>x do dec(j);
if i<=j then
begin
swap(i,j);
inc(i);dec(j);
end
until i>j;
if l<j then quicksort(l,j);
if i<r then quicksort(i,r);
end;
procedure init;
var
i :integer;
begin
assign(input,'g.in');reset(input);
readln(n,e);
for i:=1 to e do readln(edges[i].a,edges[i].b,edges[i].len); //从文件读入图的信息
for i:=1 to n do p[i]:=i; //初始化并查集
randomize;
quicksort(1,e); //使用快速排序将边按权值从小到大排列
end;
function find(x:integer):integer; //并查集的Find，用来判断2个顶点是否属于一个连通分量
begin
if x<>p[x] then p[x]:=find(p[x]);
find:=p[x]
end;
procedure union(a,b:integer); //如果不属于且权值最小则将2个顶点合并到一个连通分量
var
t :integer;
begin
a:=find(a);b:=find(b);
if r[a]>r[b] then begin t:=a;a:=b;b:=t end;
if r[a]=r[b]then inc(r[a]);
p[a]:=b;
end;
procedure kruskal; //主过程
var
en :integer; //en为当前边的编号
count :integer; //统计进行了几次合并。
n-1次合并后就得到最小生成树
tot :integer; //统计最小生成树的边权总和
begin
count:=0;en:=0; tot:=0;
while count<n-1 do
begin
inc(en);
with edges[en] do
begin
if find(a)<>find(b) then
begin
union(a,b);
writeln(a,'--',b,':',len);
inc(tot,len);
inc(count);
end;
end;
end;
writeln('Total Length=',tot)
end;
{===========main==========}
begin
init;
kruskal;
end.。