4变形体力学概述
力学基础知识
工程单位制
大小
单位制
国际单位制
物理量
类别
量纲
英
制
基本量纲
导出量纲 量纲幂次式
常用量 速度，加速度 体积流量，质量流量 密度，重度 力，力矩 压强，压力，弹性模量
粘度，运动粘度
其他量 角速度，角加速度 应变率
第三节 变形体力学基础
一、材料力学的任务 二、关于变形固体及其基本假设 三、内力、截面法、轴力及轴力图
光滑辊轴而成． 约束力：构件受到垂直于光滑面的约束力．
5.平面固定端约束
=
=
≠
=
四.物体的受力分析和受力图
第二节 平面力系和平衡方程
一.平面力系的简化 二.平面力系的平衡方程
三.力学单位制与量纲 物理量的量纲
基本量纲dim m = M , dim l = L , dim t = T
导出量纲：用基本量纲的幂次表示。
二、关于变形固体及其基本假设
1.可变形固体
关于变形的基本概念和名词 弹性 ––– 物体在引起变形的外力被除去以后，
能即刻恢复它原有形状和尺寸的性质。
弹性变形 ––– 变形体在外力被除去后能 完全消失的变形。
塑性变形 ––– 变形体在外力被除去后不能 消失的变形。
2. 基本假设
• 连续性假设
认为组成物体的物质毫无空隙地充满了整个 物体的几何体积。
•小变形 假设物体产生的变形与整个物体的原始尺寸
相比是极其微小的。
PP
L
理论力学与材料力学的研究对象在模型上的区别。 理论力学：刚体 材料力学：变形固体完全弹性体
三.内力、截面法、轴力及轴力图
（一）内力的概念 它是由于外力的作用而使物体的各部分之间
土木工程力学(本).
土木工程力学（本）第四章静定结构的位移计算学习要求1. 理解变形体体系虚功原理的内容及其应用。
2. 理解并熟练掌握静定结构位移计算的一般公式。
3. 熟练掌握静定结构在荷载作用下的位移计算方法及图乘法。
4. 掌握支座位移和温度改变等因素作用下的位移计算方法。
5. 了解线弹性结构的互等定理。
6. 理解静定结构的基本力学特性。
学习重点1. 变形体体系的虚功原理及其应用。
2. 静定结构位移计算的一般公式和不同外因作用下的应用。
3. 图乘法计算荷载作用下静定梁和刚架等的位移。
4. 静定结构的基本力学特性。
常见问题解答1.什么是结构的变形和位移？变形，是指结构或构件的截面形状发生改变，而位移则是指结构各处位置的移动。
静定结构产生位移的原因有荷载作用、温度变化、支座位移、制造误差、材料收缩等。
荷载作用使静定结构产生内力，进而发生变形，导致结构产生位移。
温度变化时，静定结构产生位移，不产生内力。
支座位移（移动或转动）时，静定结构既无内力也无变形产生，只发生刚体位移。
2．静定结构位移计算时采用了什么假设条件？静定结构位移计算时，通常采用以下假设条件：（1）结构、构件的材料符合胡克定律，即应力应变成线性关系。
（2）结构、构件发生的变形与其几何尺寸相比极其微小，因此，可以认为结构或构件的几何形状和尺寸以及荷载的作用位置及方向在变形前后保持不变。
满足上述假设条件的结构体系称为线弹性结构。
线弹性结构中的结构体始终是连续的，位移与荷载之间成线性比例关系，卸载之后位移完全消失，所以计算位移时可以使用叠加原理。
3.什么是实功和虚功？力在其自身引起的位移上作功称为实功。
当作功所需两个因素中的力与其相应的位移彼此独立无关时，这种功称为虚功。
实功恒为正值，虚功可以是正值、负值和零。
实功不能应用叠加原理。
虚功可以应用叠加原理。
4．什么是变形体体系的虚功原理？变形体体系的虚功原理可以表述为：若变形体体系在力系作用下处于平衡状态，由其它原因产生的微小连续位移满足约束条件，则力状态中的外力在位移状态中相应位移上所作的虚功恒等于力状态中的内力在位移状态中相应变形上所做的虚功。
六、-动力学问题的有限元法
2) 结构动力学问题
❖ 该领域研究下列问题：弹性结构（系统）的自由振动 特性（频率和振型）分析；瞬态响应分析；频率响应 分析；响应谱分析等。
力学问题。对等效系统应用虚功原理：
V T dV V uT ( f u u)dV S uT T dS
• 将前面位移空间离散表达式和单元的几何方程、物理方 程代入上式虚功方程，并考虑到变分的任意性，得到离 散系统控制方程——结构有限元动力学方程：
M a(t) C a(t) K a(t) Q(t)
❖ 就结构的瞬态响应分析而言，典型的有结构在冲击载 荷下的响应问题。结构动力学中这类问题的特点是， 载荷作用前沿时间与构件的自振基频周期相近，远大 于应力波在构件中的传播时间。或者构件上长时间作 用随时间剧烈变化的载荷。
❖ 结构动力学问题在工程中具有普遍性。
3) 弹塑性动力学问题
❖ 这是连续介质变形体动力学问题的另一个重要领域。 涉及许多科学和工程领域，如高速碰撞，爆炸冲击， 人工地震勘探，无损探伤等。
❖ 大多数显式方法是条件稳定的：当时间步长大于结构 最小周期的一定比例时，计算得到的位移和速度将发 散或得到不正确的结果；
❖ 隐式方法往往是无条件稳定的，步长取决于精度，而 不是稳定性方面的考虑。
❖ 典型的显式方法是所谓的“中心差分法”，其基本思 想如下。
• 中心差分法 ❖ 将某时刻的加速度和速度用中心差分表示：
• 对于3节点三角形单元，按上述公式计算得到的一致质量 矩阵为：
• 该单元的集中质量矩阵为：
• 实际应用中，两种质量矩阵都有应用，得到的计算结果 相差不多。采用集中质量矩阵可以使计算得到简化，提 高计算效率，由此得到的自振频率常低于精确解。
变形体静力学基础绪论
内力和应力
一、内力与截面法：
1 、内力的定义： 在外力作用下，构件内部各部分之间因相 对位置改变而引起的附加的相互作用力——附加内力。 2 、内力的特点： ①连续分布于截面上各处； ②随外力的变化而变化。 3 、截面法： 用以显示和求解内力的方法，其步骤为：
①截开：在待求内力的截面处假想地将构件截 分为两部分， 取其中一部分为研究对象
2
小变形前提条件的作用
2、小变形前提允许以变形前的受力分析代替变形后的受力分析
因构件在外力作用下发生的变形与原尺寸相比非常小， 在计算构件所受的力时，可按构件原始尺寸计算。
B
1 2 l
δ
1
A A1 δ C
Hale Waihona Puke FN 1 FN 22
A F
l
F
F
求FN1、 FN2 时，仍可 按构件原始尺寸计算。
1、 正应变是无量纲量 2、 过同一点不同方位的正应变一般不同
11
二、切应变定义
微体相邻棱边所夹直角的 改变量 g ，称为切应变
切应变量纲与单位 切应变为无量纲量 切应变单位为 弧度（rad）
12
三、应力应变之间的相互关系
一点的应力与一点的应变之间存在对应的关系
实验结果表明：在弹性范围内加载，正应力与 正应变存在线性关系 ： E ——胡克定律 E 称为材料的弹性模量或杨氏模量
变形固体的物性假设
小变形前提
一、变形固体： 在外力作用下可发生变形的固体。 二、变形固体的基本假设： 1、连续性假设：认为变形固体整个体积内都被物质连续 地充满，没有空隙和裂缝。 2、均匀性假设： 认为变形固体整个体积内各点处的力学 性质相同。 3、各向同性假设： 认为变形固体沿各个方向的力学性质 相同（不适合所有的材料）。 假设2和3表示材料的力学性能与坐标、方向无关
第四章 变形体静力学基础b
截面法求解内力的步骤为：
求 约 束 反 力 截 取 研 究 对 象 受力 图， 内力 按正 向假 设。 列 平 衡 方 程 求内 力， 内力 方程 内力图： FN、FQ、 M图
2
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4.4 杆件的基本变形
杆件：某一方向尺寸远大于其它 方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。
y
Fy
1
F My
解：画轴力图。 有： DD=DlAD=DlAB+DlBD =FNABl /E(2A)+FNBDl /EA 即： DD=(F1-F2)l /E(2A)+F1l /EA=0 解得： F2=3F1
D l A B
F1 -F2
l
l
F2
C
F1
F1
注意： 固定端A处位 移为零。
9
4.6 一点的应力和应变(一般讨论)
y
D'
D dy A' A dx C B' B C'
切应变：过A点直角形状的改变。
= dx lim ( 0
dy 0
2
BAD)
x
线应变、切应变分别与、的作用相对应。
16
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4.7 变形体静力学分析
FB
B
FCy
45 C FCx l=3m D
再论利用力的平衡、变形几 何协调及力与变形间的关系， 分析变形体静力学问题的基本方法。
F1 = 3F
6 FE2 A2 FAy = 2F 4 E2 A2 + E1 A1
FAy
1
2
F1
F2 l
B
6FE2 A2 12FE2 A2 ; F2 = 4E2 A2 + E1 A1 4E2 A2 + E1 A1
（整理）弹性力学第四章应力和应变关系
（整理）弹性⼒学第四章应⼒和应变关系第四章应⼒和应变关系知识点应变能原理应⼒应变关系的⼀般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式⼴义胡克定理⼀个弹性对称⾯的弹性体本构关系各向同性弹性体的应⼒和应变关系应变表⽰的各向同性本构关系⼀、内容介绍前两章分别从静⼒学和运动学的⾓度推导了静⼒平衡⽅程，⼏何⽅程和变形协调⽅程。
由于弹性体的静⼒平衡和⼏何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建⽴了材料的应⼒和应变的内在联系。
应⼒和应变是相辅相成的，有应⼒就有应变；反之，有应变则必有应⼒。
对于每⼀种材料，在⼀定的温度下，应⼒和应变之间有着完全确定的关系。
这是材料的固有特性，因此称为物理⽅程或者本构关系。
对于复杂应⼒状态，应⼒应变关系的实验测试是有困难的，因此本章⾸先通过能量法讨论本构关系的⼀般形式。
分别讨论⼴义胡克定理；具有⼀个和两个弹性对称⾯的本构关系⼀般表达式；各向同性材料的本构关系等。
本章的任务就是建⽴弹性变形阶段的应⼒应变关系。
⼆、重点1、应变能函数和格林公式；2、⼴义胡克定律的⼀般表达式；3、具有⼀个和两个弹性对称⾯的本构关系；4、各向同性材料的本构关系；5、材料的弹性常数。
§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外⼒作⽤下产⽣变形，因此外⼒在变形过程中作功。
同时，弹性体内部的能量也要相应的发⽣变化。
借助于能量关系，可以使得弹性⼒学问题的求解⽅法和思路简化，因此能量原理是⼀个有效的分析⼯具。
本节根据热⼒学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建⽴应变能函数表达的材料本构⽅程。
根据能量关系，容易得到由于变形⽽存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。
探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应⼒应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐⼆次函数。
因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到⽤应变或者应⼒表⽰的应变能函数。
材料力学知识点
第六章弯曲变形知识要点1、弯曲变形的概念1）、挠曲线弯曲变形后梁的轴线变为挠曲线。
平面弯曲时，挠曲线为外力作用平面内的平面曲线。
2）、平面弯曲时的变形在小变形情况下，梁的任意二横截面绕各自的中性轴作相对转动，杆件的轴线变为平面曲线，其变形程度以挠曲线的曲率来度量。
1》纯弯曲时，弯矩—曲率的关系（由上式看出，若弯曲刚度EI为常数则曲率为常数，即挠曲线为圆弧线）2》横力弯曲时，弯矩—曲率的关系3）、平面弯曲时的位移1》挠度——横截面形心在垂直于梁轴线方向上的线位移，以表示。
2》转角——横截面绕其中性轴旋转的角位移，以表示。
挠度和转角的正负号由所选坐标系的正方向来确定。
沿y轴正方向的挠度为正。
转角的正负号判定规则为，将x轴绕原点旋转90°而与y轴重合，若转角与它的转向相同，则为正，反之为负。
4）、挠曲线近似微分方程5）、受弯曲构件的刚度条件，2、积分法求梁的挠度和转角由积分常数C、D由边界条件和连续性条件确定。
对于梁上有突变载荷（集中力、集中力偶、间断性分布力）的情况，梁的弯矩M(x)不是光滑连续函数，应用上式时，应分段积分，每分一段就多出现两个积分常数。
因此除了用边界条件外，还要用连续性条件确定所有的积分常数。
边界条件：支座对梁的位移（挠度和转角）的约束条件。
连续条件：挠曲线的光滑连续条件。
悬臂梁边界条件：固定端挠度为0，转角为0连续条件：在载荷分界处（控制截面处）左右两边挠度相等，转角相等简支梁边界条件：固定绞支座或滑动绞支座处挠度为0连续条件：在载荷分界处（控制截面处）左右两边挠度相等，转角相等连接铰链处，左右两端挠度相等，转角不等3、叠加原理求梁的挠度和转角1）、叠加原理各载荷同时作用下梁任一截面的挠度和转角等于各个载荷单独作用时同一截面挠度和转角的代数和。
2）、叠加原理的限制叠加原理要求梁某个截面的挠度和转角与该截面的弯矩成线性关系，因此要求：1》弯矩M和曲率成线性关系，这就要求材料是线弹性材料2》曲率与挠度成线性关系，这就要求梁变形为小变形4、弯曲时的超静定问题——超静定梁1）、超静定梁约束反力数目多于可应用的独立的静力平衡方程数的梁称为超静定梁，它的未知力不能用静力平衡方程完全确定，必须由变形相容条件和力与变形间的物理关系建立补充方程，然后联立静力平衡方程与补充方程，求解所有的未知数。
工程力学-变形体基本假设及基本概念
工 程 x 力 学
单向应力状态
x
dx
x
du
x
du x dx
纯剪切状态
a
( 直角改变量 )
a + b
b
24
※.变形固体基本假设、构件承载能力
应力与应变的关系
对于常用的工程材料，大量实验表明： σx
工 程 力 学
x E x ,
O
x
x
E
εx
胡克定律
τ
G ,
F1
F3
假想截面
Fn
F
2
F
3
Fn
20
※.变形固体基本假设、构件承载能力
内力与应力 F1 F2
内力—
必须截开物体，内力才能显示。
工 程 力 学
F3 F1 F1
Fn FR
O
F
3
F3
21
M
※.变形固体基本假设、构件承载能力
内力与应力
•
上述用假想截面将物体截开，揭示并由平衡方程确定截面上 内力的方法,称为截面法。
存在很大差异。
16
※.变形固体基本假设、构件承载能力
变形固体的四个基本假设 （4）小变形假设 含义：认为相对于原有尺寸而言，变形后尺寸改变的影响可以忽
工 程 力 学
略不计。
作用：1、小变形前提保证构件处于纯弹性变形范围
2、小变形前提允许以变形前的受力分析代替变形后的受力 分析 3、小变形前提保证叠加法成立
工 程 力 学
•
截面法求解内力的步骤为：
截取研 究对象 受力 分析 列平衡 方程 求解 内力
注意：所讨论的是变形体，故在截取研究对象之前，力和力 偶都不可像讨论刚体时那样随意移动。
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说明：
1.三方面要求不一定同时都要满足，对具体 的构件一般以一方面为主要条件。
2.有些要求相反。 煤气罐
1 设计 安全销
（要求是相反的）
2 有些构件要求产生较大的弹性变形，如 跳水员跳板，轿车弹簧等。
4.2 变形固体的基本假设
构件 可变形固体 各种材料 在研究中可能以整体,部分,微块为对
象,在方法上要用到数学中的微积分,所 以首先要对可变形固体进行一定的假设
南京长江二桥 （斜拉桥，628米）
江阴长江大桥 （悬索桥，1385米）
美国金门大桥 （悬索桥，1280米）
加拿大魁北克大桥
彩虹桥事件
1999年1月4日，我国重庆市綦江县 彩虹桥发生垮塌，造成：
40人死亡； 14人受伤； 直接经济损失631万元。
垮塌前的彩虹桥
垮塌后的彩虹桥
矛盾：安全----经济
二.应变
线应变
一点处沿某一方向长度的
改变程度.
y
例：
x=
Lim x 0
u x
=
du dx
z
伸长 缩短
x x u
切应变
互相正交的任意两条线 段夹角的改变量 y
直角变大
直角变小
z
. 均为无量纲的量。 x
2
4.5 构件的分类 杆件变形的基本形 构件外形：杆 板` 壳 `块。`
一．主要研究对象
方法: 截面法
截 取 代平
平衡方程
Fx 0 Mx 0 Fy 0 My 0
Fz 0 Mz 0
特点：外力增大,内力增大,但有限度。
注意区别于静力学中的内力
二. 应力
F
定义：内力的集度
p
A
全应力
p=
lim
A0
F A
应力分解
垂直截面的正应力 与截面相切的切应力
----拉为正，压为负。
----对体内任一点取矩，顺时针为正
变形量 << 原始尺寸
L
L <<L, a<<a
a F
应用Байду номын сангаас应用小变形条件,在利用静力平衡方 程求解反力的时候,按原始尺寸(未变形前) 来计算.即完全按理论力学的方法求解.
LL
L aa L aF
LL
aa
F
aa
F
4.3 内力§ 应§ 力的概念
一.内力
定义：在外力作用下，物体内部相互作用力
的变化量（附加内力）。
1.连续性 2.均匀性 3.各向同性
小变形条件 原始尺寸原理
在静力学中,建立平衡方程,运动方程,动力方
程,都是把物体抽象为刚体来进行的
在变形体力学中,不能再把物体看作刚
体.变形是客观存在的,当结构的支反力没有
求出时,变形是无法求解的,为了应用静力平
衡方程,求出支反力,引入小变形原理(原始尺
寸原理)
杆-----纵向尺寸>>横向尺寸，如柱 `轴 `梁。 直杆-----轴线为直线，横截面与轴线垂直。
二. 杆件变形的基本形式
工程中的构件往往受载都比较复杂,我们 先抓住主要的作用,将构件的受力进行抽象,基 本变形可分为四种。
1. 拉，压
2.剪切
3.扭转 4.弯曲
1. 拉，压
受力简图： 外力作用特点：通过轴线。
二.任务
保证构件具有足够的承载能力的前提 下，以最经济的代价；
选择适宜的材料； 为构件 确定合理的截面形状和尺寸；
提供必要的理论基础和计算方法。
三．研究的内容和方法
１．外力 变形的规律
内容
破坏的规律 ２．材料的力学性质
３．截面形状和尺寸与承载关系
１．实验手段 方法
２．理论分析
几何方面 物理方面
静力方面
零件 构件 (可变形固体)
?
要求:构件具有足够的承载能力
构件的承载 能力包括
1.强度
2.刚度 3.稳定性
?
问题: 1.什么叫构件的强度 `刚度 `稳定性? 2.什么叫构件具有足够的强度 刚度 `` 稳定性?
强度 ----构件抵抗 破坏的能力 刚度 ----构件抵抗变形的能力 稳定性 ----维持原有平衡状态的能力
“破坏” 失效
变形 弹性变形---去掉载荷能恢复的变形 塑性变形---去掉载荷不能恢复的变形 （永久变形，残余变形）
足够的强度----构件在规定的载荷作用下不发
生破坏
足够的刚度----构件在规定的载荷作用下不发
生过大的弹性变形
足够的稳定性----构件在规定的载荷作用下
不失稳
香 港 青 马 大 桥
刚体 运动（平衡） 力 物体 变形
破坏
可变形固体
第二篇 构件的承载能力
第4章 变形体力学概述
4.1 变形体力学的任务 4.2 变形固体的基本假设 4.3 内力、截面法和应力的概念 4.4 变形与应变的概念 4.5 构件的分类、 杆件变形的基本形式
4.1 变形体力学的任务
一.工程要求
设 机械 计 结构
应力单位 1N/m 2=1Pa 1MPa=10 6Pa
1GPa=109Pa
4.4 变形 位移 应变的概念
一.变形 位移
构件在外力作用下要产生变形。
变形：构件在外力作用下尺寸 和形状的改变 。
位移：构件在变形的同时，其 上始的位点置的`线变`面化相。对于初
变形可表现为任一点的线位移 和任一横截面的角位移。
2. 剪切
受力简图：
外力作用特点 ：一对力，大小相等， 方向相反，相距很近。
3. 扭转
4. 弯曲
特点：
特点：
力偶作用面垂直轴线。
力垂直轴线。 力偶作用面通过轴线。