英文学校17—18学年下学期高二期中考试数学(理)试题(附答案)

周口中英文学校2017-2018年下学期高二期中考试
数学试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
（理科）
一、选择题 (共12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的)
1．若复数z ＝a ＋i 的实部与虚部相等，则实数a ＝( )
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2
2．已知22123i 4(56)i z m m m z m =-+=++，，其中m 为实数，i 为虚数单位，若
120z z -=，则m 的值为 ( )
(A) 4
(B) 1-
(C) 6
(D) 0
3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )
A ．－e
B ．－1
C ．1
D ．e
4.由①y ＝2x ＋5是一次函数；②y ＝2x ＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )
A ．②①③
B ．③②①
C ．①②③
D ．③①② 5.曲线x y e =，x y e -= 和直线1x =围成的图形面积是 （ ） (A)1
e e -- (B) 1
e e -+ (C) 1
2e e --- (D) 1
2e e -+- 6.函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为 （ ） （A ）)3,3(- （B ）)11,4(- （C ） )3,3(-或)11,4(- （D ）不存在 7.若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0” 的 （ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）必要条件
8.已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，则( )
图1
A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点
B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点
C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点
D ．函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点
9.现有4种不同款式的上衣和3不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为（ ）。

A: 7 B: 12 C: 64 D: 81 10.函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( )
A ．a ≤0
B ．a <1
C ．a <2
D ．a ≤1
3
11.计算 C 34 + C 35 + C 36 +…+ C 32015 的值为（ ）
A. C 42016
B. C 52016
C. C 42016 -1
D. C 52016 -1
12．已知函数f (x )＝x 3－ln(x 2＋1－x )，则对于任意实数a ，b (a ＋b ≠0)，则f a ＋f b
a ＋
b 的
值为( )
A ．恒正
B ．恒等于0
C ．恒负
D ．不确定 二、填空题(共4小题，每小题5分,共20分) 13.定义运算
a b ad bc c d =-,若复数z 满足11
2z zi
-=,其中i 为虚数单位,则复数 z = ．
14．如图,数表满足:⑴第n 行首尾两数均为n ;⑵表中递推关系类似杨辉三角, 记第(1)n n >行第2个数为()f n .根据表中上下两行数据关系, 可以求得当2n …时,()f n = ．
15.已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________ . 16.设函数f (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f (x )在［0,1］上的最大值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17.已知函数f (x )＝x 3-3x (x ∈R)
1
2 2
3
4 3 4 7 7 4 … … …
(Ⅰ)求f (x )的单调区间;
(Ⅱ)当x ∈[-3,3]时,求f (x )的最大值与最小值.
18.（1）求定积分
1
22
2x dx --⎰
的值；
(2)若复数12()z a i a R =+∈，234z i =-，且1
2
z z 为纯虚数，求1z
19.已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；
(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围．
20.设数列{}n a 满足2
11123,,,,,n n n a a na n +=-+=
（1） 当12a =时，求234,,a a a ，并由此猜想出{}n a 的一个通项公式； （2） 当13a ≥时，证明对所有1n ≥，有
①2n a n ≥+
②
121111
1112
n a a a ++≤+++ 21.在一次数学竞赛中，某学校有十二人通过了初试，学校要从中选取5人参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？ 1. 任选5人
2. 甲乙丙三人必须参加
3. 甲乙丙三人不能参加
4. 甲乙丙三人只能有一人参加。

22.已知幂函数f (x )＝x 322
++-m m (m ∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)设函数g (x )＝14f (x )＋ax 3＋9
2x 2－b (x ∈R)，其中a ，b ∈R ，若函数g (x )仅在x ＝0处有
极值，求a 的取值范围.
高二期中(理)答案
1-5 :BBBDD 6-10:BAABA 11-12:CA
13:1-i 1422
2+-n n 15:11 16:2)
2(4++n n n
17. 1
18.
13+
（2）103
19. (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1，
f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.
令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.
当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1, 2＋1)上是减函数； 当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数． (2)由f (2)≥0，得a ≥－5
4.
当a ≥－5
4，x ∈(2，＋∞)时，
f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝⎛⎭⎫x 2－5
2x ＋1 ＝3⎝⎛⎭
⎫x －1
2(x －2)＞0， 所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0. 综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－5
4，＋∞. 20.
21.(1)有C512=792种不同的选法
(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中再选2人即可,共有C29=36种不同的选法
(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有C95=126种不同的选法
(4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选1人,有C13=3种选法,再从另外的9人中选4人有C49种选法.所以共有C13C49=378种选法
22.(1)因为f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，
所以－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，
所以－1<m<3，又m∈Z，所以m＝0,1,2.
而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，
f(x)＝x4是偶函数，
所以f(x)＝x4.
(2)由(1)知g (x )＝14x 4＋ax 3＋9
2
x 2－b ，
则g ′(x )＝x (x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根． 为使g (x )仅在x ＝0处有极值， 必须x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，
即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式得a ∈[－2,2]． 这时，g (0)＝－b 是唯一极值，所以a ∈[－2,2]．。