2014版高考一轮复习第3讲三角函数的图象与性质
高考数学总复习 第三章 第3讲 三角函数的图象与性质课件 理
考点2 三角函数的对称性
例2：(1)函数y＝cos2x＋π3图象的对称轴方程可能是(
)
A．x＝－π6
B．x＝－1π2
C．x＝6π
D．x＝1π2
解析：(1)令2x＋
π 3
＝kπ(k∈Z)，得x＝
kπ 2
－
π 6
(k∈Z)，令k＝
0，得该函数的一条对称轴为x＝－6π.
答案：A
(2)函数y＝sin3x－4π的图象的一ห้องสมุดไป่ตู้对称中心是(
(0,0)，π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0)． (2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1)．
2．三角函数的图象和性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
定义域
R
R
y＝tanx
x|
xk2,kZ
图象
值域
[－1,1]
2．使 cosx＝1－m 有意义的 m 值为( C )
A．m≥0
B．m≤0
C．0≤m≤2
D．－2≤m≤0
3．(2013 年上海)既是偶函数又在区间(0，π)上单调递减的
函数是( B )
A．y＝sinx
B．y＝cosx
C．y＝sin2x
D．y＝cos2x
4．函数 y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为( B )
【规律方法】本题主要考查函数 y＝Asin(wx＋φ)的图象特 征，正弦函数的值域与最值.解题关键在于将已知的函数表达式 化为三角函数模型，再根据此三角函数模型的图象与性质进行 解题即可.
【互动探究】 3．已知函数 f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.
高考数学一轮专项复习讲义(通用版)-三角函数的图象与性质(含解析)
三角函数的图象与性质复习要点1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]－π2，(如单调性、最值、图象与x 轴的交点等)．一“五点法”作图1．在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是(0,0)，(π，0)，(2π，0)．2．在余弦函数y ＝cos x，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是(0,1)，(π，－1)，(2π，1)．二正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质π1．若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．偶函数，则x ＝0时，有最值.奇函数，则x ＝0时，函数值为零．2．若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )．3．若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．1．判断下列结论是否正确．(1)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．()(2)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.()(3)y ＝sin|x |是偶函数．(√)(4)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．(√)2．(2024·四川成都石室中学模拟)已知函数f (x )＝ω>0)的最小正周期为π，则函数y ＝f (x )在区间0，π2上的最大值和最小值分别是()A ．2和－2B ．2和0C ．2和－1D ．32和－32解析：由题意，知T ＝2πω＝π，解得ω＝2，即函数y ＝f (x )＝x x ∈0，π2，∴2x －π6∈－π6，5π6，即x ∈－12，1，x [－1,2]，故函数f (x )的最大值为2，最小值为－1.答案：C3．(多选)对于函数f (x )＝(1＋cos 2x )sin 2x ，下列结论正确的是()A ．最小正周期为πB ．最小正周期为π2C ．是奇函数D ．是偶函数解析：f (x )＝(1＋cos 2x )sin 2x ＝2cos 2x sin 2x ＝12sin 22x ＝1－cos 4x 4，则f (x )的最小正周期为T＝2π4＝π2且为偶函数．答案：BD4．(1)已知函数f (x )＝2sin(3x ＋2φ)是奇函数，则φ＝________(写出一个值即可)．(2)函数y ＝tan ________．解析：(1)因为函数f (x )＝2sin(3x ＋2φ)是奇函数，所以2φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝k π2，k ∈Z .故φ可取π2(答案不唯一)．(2)由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π4<12x <k π＋34π(k ∈Z )．∴2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )．答案：(1)π2(答案不唯一，满足φ＝k π2，k ∈Z 即可)k π－π2，2k π＋32πk ∈Z )题型有关三角函数的定义域典例1(1)(2024·江苏南京模拟)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．由sin x≥cos x ⇔π42k π≤x≤5π4＋2k π，而sin x≤cos x ⇔－3π4＋2k π≤x≤π4＋2k π，如图所示：(2)函数f (x )＝sin x ＋116－x2的定义域为________．解析：(1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．故答案为2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．(2)因为f (x )＝sin x ＋116－x 2，x ≥0，－x 2>0，k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z ，4<x <4.对于2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z ，当k ＝0时，0≤x ≤π；当k ＝1时，2π≤x ≤3π；当k ＝－1时，－2π≤x ≤－π；当k ＝－2时，－4π≤x ≤－3π，所以－4<x ≤－π或0≤x ≤π，即f (x )的定义域为(－4，－π]∪[0，π]．故答案为(－4，－π]∪[0，π]．三角函数定义域的求法(1)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)．(2)求三角函数的定义域经常借助三角函数的图象，有时也利用数轴．(3)对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数的图象求交集．对点练1函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________．解析：2x >0，－x 2≥0，π<x <k π＋π2，k ∈Z ，3≤x ≤3，∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为－3答案：－3题型三角函数的周期性问题典例2求下列函数的最小正周期．(1)y ＝(2)y ＝|1＋2cos x |；此函数的周期没有改变．(3)y ＝|tan x |；周期的改变与加绝对值符号没有必然联系.如|sin x|和|cos x|周期为π，而|tan x|的周期没有改变．(4)y ＝tan x 1＋tan 2x.解：(1)∵y ＝∴T ＝2π23＝3π，即y＝2sin3π.(2)图象如下，根据图象可知，最小正周期为2π.(3)画出y ＝|tan x |的大致图象如图所示：由图象易知T ＝π.(4)由已知，得f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2xcos 2x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，化简后更易求周期．所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.若求最小正周期，可把所给三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)的形式，则最小正周期为T ＝2π|ω|；三角函数式y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω≠0)的最小正周期为T ＝π|ω|.求含有绝对值符号的三角函数的周期时，可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．对点练2(1)(2024·广东茂名模拟)下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是()A ．f (x )＝cos 2x ＋sin x cos xB ．f (x )＝1－cos 2x 2sin x cos xC．f (x )＝D．f (x )＝(2)若f (x )＝sin ωx (ω>0)在[0,1]上至少存在50个最小值点，则ω的取值范围是________．解析：(1)对于A ，f (x )＝1＋cos 2x2＋12sin 2x ＝22sin x ＋12，∴T 1＝π.对于B ，sin x ≠0且cos x ≠0，f (x )＝1－1－2sin 2x 2sin x cos x＝2sin 2x2sin x cos x＝tan x ，∴T 2＝π.对于C ，f (x )＝12cos x －32sin x ＋12cos x ＋32sin x ＝cos x ，∴T 3＝2π.对于D ，f (x )＝12sin 2＝12sin x ∴T 4＝π.故选C ．(2)由f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象知一个周期内有一个最小值点，若在[0,1]上至少存在50个最小值点，则1≥49T ＋3T 4＝199T 4＝1994·2πω.解得ω≥199π2.所以ω的取值范围是199π2，＋答案：(1)C(2)199π2，＋题型三角函数奇偶性的判断典例3判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝2＋x )；(2)f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos 2x；(3)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．解：(1)f (x )＝2＋x )＝(－sin 2x )(－cos x )＝cos x sin 2x (x ∈R )．属于“偶×奇”＝奇函数．∵f (－x )＝cos(－x )sin(－2x )＝－cos x sin 2x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)由cos 2x ≠0得2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴f (x )的定义域为x |x ∈R ，且x ≠k π2＋π4，k ∈∴f (x )的定义域关于原点对称，奇偶性判断的第一道门坎：定义域应关于原点对称．且f (－x )＝6cos 4－x＋5sin 2－x－4cos －2x＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos 2x＝f (x )．分子为偶函数，分母也是偶函数，由运算判断奇偶性．∴f (x )是偶函数．(3)f (x )的定义域为R ，f (－x )＝lg[sin(－x )＋1＋sin 2－x]此函数是奇函数，g(x)＝lg (x ＋1＋x 2)构造而来的，本例设计精巧，好题！＝lg(－sin x ＋1＋sin 2x )，∵f (x )＋f (－x )＝lg[(sin x ＋1＋sin 2x )·(－sin x ＋1＋sin 2x )]＝lg 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )．∴函数f (x )是奇函数．三角函数奇偶性的判断除了可以借助定义外，还可以借助其图象的性质，对y ＝A sin(ωx ＋φ)，代入x ＝0，若y ＝0，则为奇函数；若y 为最大值或最小值，则为偶函数．对点练3(1)(2024·北京房山模拟)已知函数f (x )＝2cos 2(x ＋θ)－1，则“θ＝π4＋k π(k ∈Z )”是“f (x )为奇函数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2024·苏州八校联盟检测)已知f (x )＝sin x ＋cos x ，若y ＝f (x ＋θ)是偶函数，则cos θ＝________.解析：因为f (x )＝2cos 2(x ＋θ)－1＝cos(2x ＋2θ)，所以若函数f (x )为奇函数，则2θ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得θ＝π4＋k π2(k ∈Z )．因为{θ|θ＝π4＋k π2，k ∈{θ|θ＝π4＋k π，k ∈所以“θ＝π4＋k π(k ∈Z )”是“f (x )为奇函数”的充分不必要条件．故选A ．(2)f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin y ＝f (x ＋θ)是偶函数，得f (－x ＋θ)＝f (x ＋θ)，即2sin ＋π4－＝2sin ＋π4＋所以θ＋π4－x ＝θ＋π4＋x ＋2k π，k ∈Z 恒成立或θ＋π4－x ＋θ＋π4＋x ＝π＋2k π，k ∈Z 恒成立．显然θ＋π4－x ＝θ＋π4＋x ＋2k π，k ∈Z 不恒成立，故由θ＋π4－x ＋θ＋π4＋x ＝π＋2k π，k ∈Z ，得θ＝π4＋k π，k ∈Z ，当k ＝2n ，n ∈Z 时，cos θ＝2ncos π4＝22；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，cos θ＝cos π4＋2n ＋1π＝cos5π4＝－22，所以cos θ＝±22.答案：(1)A(2)±22题型三角函数的对称性问题典例4(1)函数f (x )＝x －π3＋1，φ∈(0，π)，且f (x )为偶函数，则φ＝利用奇偶性求参数φ的值．________，f (x )图象的对称中心为________．(2)设函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π6对称，求实数a 的值．(1)解析：若f (x )＝x －π3＋1为偶函数，则－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，整体赋值得到φ值的通项，当k ＝0时，满足条件．即φ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)，∴φ＝5π6.∴f (x )＝x1＝3cos 2x ＋1，由2x ＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π4＋k π2，k ∈Z ，k ∈Z .不可将对称中心纵坐标误以为是0.故答案为5π6＋k π2，k ∈Z .(2)解：方法一：因为y ＝sin 2x ＋a cos 2x ＝1＋a 2sin(2x ＋θ)，其中tan θ＝a .又图象关于直线x ＝－π6对称，故在x ＝－π6处，函数应取得最大或最小值．a sin x ＋b cos x 的最值为±a 2＋b 2，由此列出方程，求a 值.对称轴处三角函数取最值，这才是解题、列方程的关键．所以当x ＝－π6时，y ＝a ＝－32＋12a ＝±1＋a 2，解得a ＝－33.方法二：因为函数y ＝f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π6对称，所以f (x )的图象上到x ＝－π6的距离相等的x 值对应的函数值相等，即－π6＋f －π6－何值都成立．令x ＝π6，得代入对称的两个特殊点，由特殊值作为解题的突破口．所以0＋a ＝a 解得a ＝－33.方法三：因为函数图象关于直线x ＝－π6对称，所以－π6为函数的极值点，又y ′＝2cos 2x －2a sin 2x ，导数思想的应用，另辟蹊径，打开思路，从而有0，解方程求a.所以当x ＝－π6时，y ′＝0，所以a 0.所以a ＝－33.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题(1)y ＝sin x 图象的对称中心是(k π，0)，k ∈Z ，对于y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称中心，由方程ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 解出x 即可．(2)y ＝sin x 图象的对称轴是直线x ＝k π＋π2，k ∈Z ，对于y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴，由方程ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 解出x 即可．(3)注意y ＝tan x k ∈Z )．对点练4(1)(2023·全国乙卷，理)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)线x ＝π6和x ＝2π3为函数y ＝f (x )的图象的两条对称轴，则()A ．－32B ．－12C ．12D ．32(2)(2024·河南六市名校高三摸底)曲线f (x )＝sin x ＋cos x sin x －cos x(cos x ≠0)的一个对称中心为________．解析：(1)由题意，得2π3－π6＝T 2，1，所以T ＝π，即|ω|＝2πT ＝2，则ω＝2或－2.而1，即2×π6＋1或2×π6＋1，所以2×π6＋φ＝－π2＋2k π或－2×π6＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－5π6＋2k π或－π6＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝sin x f (x )＝2x －5π6－sin π3＝32或＝32，故选D ．(2)f (x )的定义域为{x |x ≠π4＋k π，k ∈当cos x ≠0，即x ≠π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝－1＋tan x 1－tan x＝－当x ＝π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝1，适合上式，所以f (x )＝－x ＋π4＝k π2，k ∈Z ，解得x ＝－π4＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )－π4＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝－π4，故其中一个对称中心为－π4，答案：(1)D－π4，答案不唯一)题型三角函数的单调性的多维研讨维度1求三角函数的单调区间典例5求函数属于复合函数：外层函数y ＝cos u ，内层函数：u ＝－2x ＋π3，因此将－2x ＋π3代入cos u 的单调递增区间，求x.本例的解析过程，则是利用诱导公式，将x 的系数化为正值后，再求解．解：y ＝2x x 由2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．即所求的单调递减区间为k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：将比较复杂的三角函数解析式中含自变量的代数式(如ωx ＋φ)整体当作一个角，利用基本三角函数(y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x )的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的图象，利用图象求函数的单调区间．提醒：要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数，同时切莫忘记考虑函数自身的定义域．对点练5(2022·北京卷)已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x ，则()A ．f (x )－π2，－B ．f (x )－π4，C ．f (x )D ．f (x )解析：依题意可知f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x .对于A 选项，因为x －π2，－所以2x π函数f (x )＝cos 2x －π2，－上单调递增，所以A 选项不正确；对于B 选项，因为x －π4，所以2x －π2，f (x )＝cos 2x －π4，不单调，所以B 选项不正确；对于C 选项，因为x 2x f (x )＝cos 2x 减，所以C 选项正确；对于D 选项，因为x 2x f (x )＝cos 2x 调，所以D 选项不正确．故选C ．答案：C维度2根据三角函数的单调性求参数典例6(1)(2024·安徽示范高中皖北协作区模拟)已知f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)在区间π6，π4上单调递增，则ω的取值范围是()转化为π6，π4是单调递增区间的子集．A，23B ，23∪7，263C ．7，263∪503，19D ，23∪503，19(2)(2018·全国Ⅱ卷，理)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是()先求其含0的单调递减区间为－π4，3π4，再转化为[－a ，a]⊆－π4，3π4，从而求参.本例的关键隐含信息是此区间包含0.A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π解析：(1)f (x )＝sin ωx＋3cos ωx ＝ω>0)，由2k π－π2≤ωx ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－5π6ω≤x ≤2k π＋π6ω，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为2k π－5π6ω，2k π＋π6ω，k ∈Z .∵f (x )在区间π6，π4上单调递增，≥12k －5，≤8k ＋23，即12k －5≤ω≤8k ＋23，k ∈Z .对k 赋值，使得ω有解即可.高考近几年常会出现此类对k 赋值求参的题目．∵ω>0，∴当k ＝0时，－5≤ω≤23，即0<ω≤23；当k ＝1时，7≤ω≤263；当k ＝2时，19≤ω≤503，此时不成立．综上，ω，23∪7，263，故选B ．(2)方法一：f (x )＝cos x －sin x ＝2cosy ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]>－a ，a ≥－π4，≤3π4，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.方法二：因为f (x )＝cos x －sin x ，所以f ′(x )＝－sin x －cos x ，则由题意，知f ′(x )＝－sin x －cos x ≤0在[－a ，a ]上恒成立，即sin x ＋cos x ≥0.即2sin在[－a ，a ]上恒成立，结合这里x ∈[－a ，a]，则x ＋π4∈－a ＋π4，a ＋π4，此区间含有π4.而含π4且满足sin x≥0的最大区间为[0，π].解题应从题目中挖掘出隐含信息．函数y ＝2sin>－a ，a ＋π4≥0，＋π4≤π，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.故选A ．根据三角函数的单调性求参数的方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．(3)周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期，列不等式(组)求解.对点练6(1)(2024·江苏南京、盐城联考)设函数f (x )＝ω>0)，则使f (x )在－π2，ω的值可以为________．(写出一个值即可)(2)若函数f (x )＝2x ＋n cos x 在定义域R 上不单调，则正整数n 的最小值是________．解析：－π2ω＋π3≥－π2＋2k π，＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，即≤53－4k ，≤13＋4k ，k ∈Z ，令53－4k ＝13＋4k ，得k ＝16∉Z .当k ≤0，k ∈Z 时，53－4k >13＋4k ，则ω≤13＋4k ≤13.当k ≥1，k ∈Z 时，13＋4k >53－4k ，则ω≤53－4k ≤－73.∵ω>0，∴0<ω≤13.(2)当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )＝2x ±n ，不满足题意．当x ≠k π(k ∈Z )时，由题意，得f ′(x )＝2－n sin x ．令f ′(x )＝0，得n ＝2sin x.因为sin x ∈[－1,0)∪(0,1]，且n ∈N *，所以n ≥2.当n ＝2时，f ′(x )＝2－2sin x ≥0，则f (x )单调递增．当n ＞2时，由f ′(x )＝2－n sin x >0，得sin x <2n，由f ′(x )＝2－n sin x <0，得sin x >2n，此时f (x )不单调．所以正整数n 的最小值是3.答案：ω，13即可(2)3。
高三一轮复习《三角函数的图象与性质》
3
2
2
o 3 x
2
2
{ } x
|
x
2
k, k
Z
R
( )
2
k,
2
k
,k Z
7
一张图学透
必备知识 关键能力 限时规范训练
正切函数的图像与性质
-----------------
-----------------
-----------------
-----------------
y
. . . . . . . 3 2
必备知识 关键能力 限时规范训练
1．求三角函数单调区间的方法 求函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，可利用换元法转化为两个简单函数(t＝ωx＋φ 与 y＝Asin t)进行求解，应注意ω，A 的符号对复合函数单调性的影响，牢记基本法则—— 同增异减． 2．已知函数的单调性求参数 (1)明确一个不同：“函数 f(x)在区间 M 上单调”与“函数 f(x)的单调区间为 N”两者 的含义不同，显然 M 是 N 的子集； (2)抓住两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式 求解；二是利用导数，转化为导函数在区间 M 上的保号性，由此列不等式求解．
f
(x)在，32
上单调递减，故
C
不正确；
当32π<x<2π时，所以
f
(x)在
3
2
，2
上不单调，故
D
不正确．故选
A.
19
必备知识 关键能力 限时规范训练
题型三、三角函数的单调性
练习1．函数y＝1－2cos x的单调递减区间是________． 解析：函数 y＝1－2cos x 的单调递减区间
高三理科数学第一轮复习§3.3：三角函数的图象与性质
点拨
解析
第三章：三角函数与三角恒等变换 §3.3：三角函数的图象与性质
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第三章：三角函数与三角恒等变换 §3.3：三角函数的换 §3.3：三角函数的图象与性质
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高三数学一轮复习知识点讲解5-3三角函数的图象与性质
高三数学一轮复习知识点讲解专题5.3 三角函数的图象与性质【考纲解读与核心素养】1. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.2．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 3.高考预测：（1） “五点法”作图； （2）三角函数的性质；（3）往往将三角恒等变换与三角函数图象、性质结合考查. 4.备考重点：（1）掌握正弦、余弦、正切函数的图象；（2）掌握三角函数的周期性、单调性、对称性以及最值.【知识清单】知识点1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质 性质sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1- []1,1-R知识点2．“五点法”做函数()sin y A x h ωϕ=++的图象 “五点法”作图：先列表，令30,,,,222x ππωϕππ+=，求出对应的五个x 的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到()sin y A x h ωϕ=++在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数()sin y A x h ωϕ=++的图象.【典例剖析】高频考点一 三角函数的定义域和值域 【典例1】（2020·山东高一期末）函数tan2xy =的定义域为_____．【答案】{}2,x x k k Z ππ≠+∈ 【解析】 解不等式()22x k k Z ππ≠+∈，可得()2x k k Z ππ≠+∈， 因此，函数tan2xy =的定义域为{}2,x x k k Z ππ≠+∈. 故答案为：{}2,x x k k Z ππ≠+∈.【典例2】（2017新课标2）函数（）的最大值是__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则，由可得，当时，函数取得最大值1．【规律方法】1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域． 【变式探究】1.（2020·上海高三专题练习）函数sin y m x n =+的最大值为2，最小值为4-，则m =_________，n =_________.【答案】3± 1- 【解析】由已知得24m n m n ⎧+=⎪⎨-+=-⎪⎩，解得31m n =±⎧⎨=-⎩. 故答案为：3±；1-.2.（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域. （1）y =（2）sin cos tan x xy x+=.【答案】（1）{|22,}x k x k k Z πππ≤≤+∈；（2）|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭【解析】（1）要使函数有意义，必须使sin 0x ≥.由正弦的定义知，sin 0x ≥就是角x 的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数. ∴角x 的终边应在x 轴或其上方区域， ∴22,k x k k Z πππ≤≤+∈.∴函数y ={|22,}x k x k k Z πππ≤≤+∈.（2）要使函数有意义，必须使tan x 有意义，且tan 0x ≠.∴,()2x k k Z x k πππ⎧≠+⎪∈⎨⎪≠⎩ ∴,2kx k Z π≠∈. ∴函数sin cos tan x x y x +=的定义域为|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭.【总结提升】在使用开平方关系sin α＝±1－cos 2α和cos α＝±1－sin 2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论． 高频考点二 三角函数的单调性【典例3】（2020·海南枫叶国际学校高一期中）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈D ．13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D 【解析】由五点作图知，1+42{53+42πωϕπωϕ==，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.【典例4】（2020·河南洛阳�高一期末（理））已知sin33a =︒，cos55b =︒，tan35c =︒则a ，b ，c ，的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】因为cos55sin35sin33b a ==>=，且sin 35tan 35sin 35cos35c ==>，所以c b a >>. 故选：A .【典例5】（2020·浙江柯城�衢州二中高三其他）已知函数()()2sin 0f x x ωω=>，则()f x 的最大值为________，若()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围是________. 【答案】2 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()()2sin 0f x x ωω=>， 所以()[]2sin 2,2ω=∈-f x x ， 所以()f x 的最大值为2， 因为()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以,,4322πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以4232πωππωπ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：(1). 2 (2). 30,2⎛⎤⎥⎝⎦【规律方法】1.求形如()sin y A x ωϕ=+或()cos y A x ωϕ=+ (其中A ≠0，0ω>)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“x ωϕ+ (0ω>)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与sin y x = (x R ∈)，cos y x = (x R ∈)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．2.当0ω<时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递增区间之内.3．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． (2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解. 【变式探究】1.（2020·河北路北�开滦第一中学高一期末）在ABC 中，A B C >>，且2C π≠，则下列结论中正确的是（ ） A ．tan tan A C < B ．tan tan A C >C ．sin sin <A CD ．sin sin A C >【答案】D 【解析】若543,,12123124A B C πππππ=====，由于02C A π<<<,则tan tan A C >，所以A 选项错误. 若74,,1212312A B C ππππ====，则tan 0tan A C <<， 75sin sin sin sin sin 121212A C πππ==>=，所以BC 选项错误.在三角形ABC 中，大角对大边，由于A C >，所以a c >，由正弦定理得2sin 2sin R A R B >①，R 是三角形ABC 外接圆的半径.由①得sin sin A C >.所以D 选项正确. 故选：D2.（2020·河南林州一中高一月考）π()sin()(0,),2f x x ωϕωϕ=+>≤若π8x =-是函数()f x 的零点，π8x =是函数()f x 的对称轴，()f x 在区间ππ(,)54上单调，则ω的最大值是 ( ) A ．14 B ．18C ．20D ．22【答案】A 【解析】因为π8x =-是函数()f x 的零点，π8x =是函数()f x 的对称轴， 所以2144n T n N ，π+=∈，即21244n ππω+=, n N ∈，即42,?n n N ω=+∈，即ω为正偶数. 因为()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ππ45202T π-=≤，即210T ππω=≥. 20ω≤. 当18ω=时，ππ sin 18088f ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得9 ,4k k Z πϕπ-+=∈，9 ,?4k k Z πϕπ=+∈,π 2ϕ≤，所以π4ϕ=，()πsin 184f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,54x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，π779518,42020x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，其中，901202f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上不单调； 当14ω=时，ππ sin 14088f ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得7 ,4k k Z πϕπ-+=∈，7 ,?4k k Z πϕπ=+∈,π 2ϕ≤，所以π4ϕ=-，()πsin 144f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ,54x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，π516514,42020x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，满足()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上不单调. 故ω的最大值是14. 故选A.3.（2019·涡阳县第九中学高一期末（文））已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．求()f x 的单调增区间； 【答案】5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】因为sin y x =在区间2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以()f x 的单调增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【总结提升】1.对正弦函数、余弦函数单调性的两点说明(1)正弦函数、余弦函数在定义域R 上均不是单调函数，但存在单调区间．(2)由正弦函数、余弦函数的最小正周期为2π，所以任给一个正弦函数、余弦函数的单调区间，加上2k π，(k ∈Z)后，仍是单调区间，且单调性相同． 2．对正弦函数、余弦函数最值的三点说明(1)明确正、余弦函数的有界性，即|sin x |≤1，|cos x |≤1．(2)函数y ＝sin x ，x ∈D ，(y ＝cos x ，x ∈D )的最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域D 来决定． (3)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令ωx ＋φ＝Z ，将函数转化为y ＝A sin Z 的形式求最值．3.正切函数单调性的三个关注点 (1)正切函数在定义域上不具有单调性．(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－π2，π2)，(π2，32π)，…上都是增函数．(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－π2，π2)∪(π2，3π2)∪…上是增函数．高频考点三 三角函数的周期性 【典例6】（2018年全国卷Ⅲ文）函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 由已知得的最小正周期故选C. 【规律方法】1.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=，()tan()f x A x ωϕ=+的周期为T πω=.要特别注意两个公式不要弄混； (3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变.2.使用周期公式，必须先将解析式化为sin()y A x h ωϕ=++或cos()y A x h ωϕ=++的形式；正弦余弦函数的最小正周期是2T πϖ=，正切函数的最小正周期公式是T πϖ=；注意一定要注意加绝对值.3.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期. 【变式探究】已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |．(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． 【答案】（1）见解析；（2）是，2π. 【解析】(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]k ∈Z ，0，x ∈[2k π－π，2k πk ∈Z . 函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π． 【特别提醒】最小正周期是指使函数重复出现的自变量x 要加上的最小正数，是对x 而言，而不是对ωx 而言．. 高频考点四 三角函数的奇偶性【典例7】（2018届辽宁省丹东市测试（二））设，若，则函数A. 是奇函数B. 的图象关于点对称C. 是偶函数D. 的图象关于直线对称【答案】C 【解析】 由题意得，∴．∴，∴函数为偶函数．故选C ． 【规律方法】1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2. 如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下：(1)若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；(2)若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2k k Z πϕπ=+∈；(3)若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈. 【变式探究】（浙江省2019届高考模拟卷（二)）函数的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 由题意得函数的定义域为，∵，∴函数为偶函数，∴函数图象关于y 轴对称，故排除C,D ． 又当时，，因此可排除B ． 故选A ． 【特别提醒】利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看f(x)的定义域是否关于原点对称，然后再判断f(－x)与f(x)的关系． 高频考点五 三角函数的对称性 【典例8】（2018年江苏卷）已知函数的图象关于直线对称，则的值是________． 【答案】【解析】 由题意可得，所以，因为，所以【规律方法】函数的对称性问题，往往先将函数化成sin )y A x B ωϕ=++（的形式，其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心． 【变式探究】（2021·广西钦州一中高三开学考试（理））关于函数()1cos cos f x x x=+有如下四个命题： ①()f x 的图像关于y 轴对称. ②()f x 的图像关于原点对称. ③()f x 的图像关于直线2x π=对称.④()f x 的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 其中所有真命题的序号是__________. 【答案】①④ 【解析】对于①，()f x 定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，显然关于原点对称， 且()()()()11cos cos cos cos x x x f x f x x=-=-++=-，所以()f x 的图象关于y 轴对称，命题①正确；对于②，532f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，532f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于原点对称，命题②错误； 对③，532f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2532f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则233f f ππ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于2x π=对称，命题③错误； 对④，1sin 2sin f x x x π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，1sin 2sin f x x x π⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， 则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，命题④正确. 故答案为：①④.【特别提醒】1.求y ＝Asin(ωx ＋φ)或y ＝Acos(ωx ＋φ)函数的对称轴或对称中心时，应把ωx ＋φ作为整体，代入相应的公式中，解出x 的值，最后写出结果．2.正切函数图象的对称中心是(k π2，0)而非(k π，0)(k ∈Z )．高频考点六 三角函数的图象和性质的应用 【典例9】（2018年理北京卷】设函数f （x ）=，若对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】 【解析】 因为对任意的实数x 都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，ω取最小值为.【典例10】（2020·上海高三专题练习）函数3sin 1()sin 2x f x x -=+的最大值是____，最小值是_________.【答案】234- 【解析】3(sin 2)77()3sin 2sin 2x f x x x +-==-++ sin [1,1]x[]sin 21,3x ∴+∈11,1sin 23x ⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦777,sin 23x ⎡⎤∴-∈--⎢⎥+⎣⎦7234,sin 23x ⎡⎤∴-∈-⎢⎥+⎣⎦即max 2()3f x =，min ()4f x =- 故答案为：23；4- 【典例11】（2020·陕西省汉中中学（理））已知函数()2sin()1(0)6f x x πωω=-->的周期是π.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在[0,]2π上的最值及其对应的x 的值.【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当0x =时，()min 2f x =-；当3x π=时，()max 1f x =.【解析】 （1）解：∵2T ππω==,∴2ω=,又∵0>ω,∴2ω=,∴()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, ∵222262k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,∴222233k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, ∴63k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,∴()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）解：∵02x π≤≤,∴02x ≤≤π,∴52666x πππ-≤-≤,∴1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭, ∴12sin 226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,∴22sin 2116x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭, 当0x =时,()min 2f x =-, 当226x ππ-=,即3x π=时,()max 1f x = 【规律方法】1．求形如y ＝a sin x ＋b 的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sin x ≤1)求解．2．对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (Aω≠0)的函数，当定义域为R 时，值域为[－|A |＋k ，|A |＋k ]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx ＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．3．求形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ，a ≠0，x ∈R 的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t ＝sin x ，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性．4．求形如y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d ，ac ≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y 的不等式反解出y ．综上可知，求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于sin x 的二次函数求解．注意求三角函数的最值对应的自变量x 的值时，要考虑三角函数的周期性． 【变式探究】1.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则（ ） A ．(2)(0)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭B ．(0)(2)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭C ．(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭D ．(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】由题意，函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π， 可得w ππ=，解得1w =，即()tan()4f x x π=+，令,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈，即3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈， 当1k =时，544x ππ<<，即函数()f x 在5(,)44ππ上单调递增， 又由4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=， 又由425ππ>>，所以(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭. 故选：C.2.（2020·陕西新城�西安中学高三月考（文））设0a <，若不等式22cos (1)cos 0x a x a -+-+≥对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________． 【答案】2a ≤- 【解析】令cos [1,1]t x =∈- ，则不等式22()(1)0f t t a t a =---≤ 对[1,1]t ∈- 恒成立，因此22(1)00,02(1)020f a a a a f a a -≤⎧-≤⎧⇒<∴≤-⎨⎨≤--≤⎩⎩ 3.（浙江省绍兴市第一中学2019届高三上期末）设函数(1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，的最大值为，求的值【答案】(1) 最小正周期,为的单调递增区间；(2) .【解析】 （1）则的最小正周期当时，单调递增即的单调递增区间为：(2)当时，当，即时，所以【总结提升】比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．。
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《三角函数的图象与性质》理 新人教B版
[第19讲 三角函数的图象与性质](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2013·石家庄质检] 下列函数中，周期是π，又是偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin2x D ．y ＝cos2x2．[2013·唐山模拟] 函数f (x )＝3sin2x ＋cos2x ( )A ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－π6单调递减B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3单调递增C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0单调递减D ．在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6单调递增3．函数f (x )＝cos2x ＋2sin x 的最小值和最大值分别为( ) A ．－3，1 B ．－2，2C ．－3，32D ．－2，324．[2013·太原外国语学校模拟] 下列函数中，以π为最小正周期的偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为减函数的是( ) A ．y ＝sin2x ＋cos2xB ．y ＝|sin x |C ．y ＝cos 2x D ．y ＝tan x能力提升5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π26．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上( )A ．单调递增且有最大值B ．单调递增但无最大值C ．单调递减且有最大值D ．单调递减但无最大值7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx （0≤x ≤1），log 2 012x （x >1），若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(2，2 013)B ．(2，2 014)C ．(3，2 013)D ．(3，2 014)8．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C ．π D.4π39．[2013·唐山模拟] 若x ＝π6是函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx 图象的一条对称轴，当ω取最小正数时( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－π6单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3单调递增C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0单调递减D ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6单调递增10．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________．11．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3有最小值，无最大值，则ω＝________．12．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈[0，2π]的单调递减区间是________．13．[2013·泉州四校联考] 设f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ，其中a ，b ∈R .若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12<⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5； ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )； ⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．14．(10分)[2013·山西五校调研] 设函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32.(1)求函数f (x )的最小正周期T ，并求出函数f (x )的单调递增区间； (2)求在[0，3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和．15．(13分)[2013·黄冈模拟] 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π.(1)求f (x )的解析式；(2)若α∈－π3，π2，f α＋π3＝13，求sin2α＋2π3的值．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域．课时作业(十九)【基础热身】1．D [解析] 周期是π的函数是y ＝sin2x 和y ＝cos2x ，其中y ＝cos2x 是偶函数．2．D [解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin2x ＋12cos2x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2x cos π6＋cos2x sin π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，知f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z ， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6单调递增．3．C [解析] ∵f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32，∴当sin x ＝12时，f (x )max ＝32，当sin x ＝－1时，f (x )min ＝－3；故选C.4．B [解析] 由函数为偶函数，排除A ，D ；由在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为减函数，排除C ，故选B.【能力提升】5．A [解析] 选项C ，D 中函数周期为2π，所以错误，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，2x ＋π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2， 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2为减函数， 而函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2为增函数，所以选A. 6．A [解析] 由－π2≤x －π4≤π2，得－π4≤x ≤3π4，则函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上是增函数，又⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，且有最大值22，故选A.7．A [解析] 数形结合法，画出函数f (x )的简图，作直线y ＝h ，移动此直线观察直线y ＝h 与函数f (x )的图象有三个交点的情形，不妨设a ＜b ＜c ，则a ＋b 2＝12，1＜c ＜2 012，∴2＜a ＋b ＋c ＜2 013.8．A [解析] 画出函数y ＝sin x 的简图，要使函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋13π6，k ∈Z 或其子集，又定义域为[a ，b ]，则a ，b 在同一个k 所对应的区间内，且[a ，b ]必须含2k π＋3π2，还有2k π＋5π6、2k π＋13π6之一，知b －a的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，故选A.9．D [解析] f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，由π6ω＋π6＝k π＋π2得ω＝6k ＋2，取最小正数为2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6单调递增． 10．π [解析] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，故最小正周期为π. 11.143 [解析] 依题f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3有最小值，无最大值，∴区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3为f (x )的一个半周期的子区间，且知f (x )的图象关于x ＝π6＋π32＝π4对称，∴π4·ω＋π3＝2k π＋3π2，k ∈Z ，取k ＝0得ω＝143.12.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2 [解析] 本题主要考查两角和与差的正弦和余弦公式，y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调性．属于基础知识、基本运算的考查．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin x cos π3＋cos x sin π3－3cos x cos π3－sin x sin π3＝2sin x ，∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈[0，2π]的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2.13．①②③ [解析] 因为f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋θ)，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立，θ＝π6，f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝0正确；②⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12<⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5正确；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数正确；④错误，⑤错误． 14．解：(1)f (x )＝32(cos2x ＋1)＋12sin2x －32＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故T ＝π.由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－512π≤x ≤k π＋π12，所以f (x )单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－512π，k π＋π12(k ∈Z )． (2)令f (x )＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，则2x ＋π3＝2k π＋π2(k ∈Z )．于是x ＝k π＋π12(k ∈Z )，∵0≤x <3π，且k ∈Z ，∴k ＝0，1，2，则π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π12＝13π4.∴在[0，3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和为134π.15．解：(1)因为周期为2π，所以ω＝1，又因为0≤φ≤π，f (x )为偶函数，所以φ＝π2，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .(2)因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝13，又α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π6，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝223， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3 ＝2×223×13＝429.【难点突破】16．解：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∴周期T ＝2π2＝π.对称轴方程为2x －π6＝π2＋k π，即x ＝π3＋k π2，k ∈Z .(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6，∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上单调递增， 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减， ∴当x ＝π3时，f (x )取最大值1.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12， ∴当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.。
高考第一轮复习数学三角函数的图象与性质三
9.已知P1,cosx,Qcosx,1,x∈－ , .
1求向量 和 的夹角θ的余弦用x表示的函数fx；
2求θ的最值.
解：1∵ · =2cosx,
| |·| |=1+cos2x,
∴fx=cosθ= .
2cosθ= = ,
x∈－ , ,cosx∈ ,1.
∴2≤cosx+ ≤ , ≤fx≤1,即 ≤cosθ≤1.
解：定义域为R,又fx+f－x=lg1=0,
即f－x=－fx,∴fx为奇函数.
评述：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.
例2求下列函数的单调区间：
1y= sin － ；2y=－｜sinx+ ｜.
剖析：1要将原函数化为y=－ sin x－ 再求之.2可画出y=－|sinx+ |的图象.
3.判断y=－Asinωx+ ω＞0的单调区间,只需求y=Asinωx+ 的相反区间即可,一般常用数形结合.而求y=Asin－ωx+ －ω＜0单调区间时,则需要先将x的系数变为正的,再设法求之.读者考虑为什么
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教学点睛
本节是图象和性质的综合应用的内容,例题讲解要突出数形结合思想、化归转化思想、分类讨论等数学思想方法,并注意三角知识的载体作用,注意和其他知识间的关联.
解析：显然fx为偶函数,结论①错.
对于结论②,当x=1000π时,x＞2003,sin21000π=0,∴f1000π= － 1000π＜ ,因此结论②错.
又fx= － |x|+ =1－ cos2x－ |x|,－1≤cos2x≤1,
∴－ ≤1－ cos2x≤ .
故1－ cos2x－ |x|＜ ,即结论③错.
高考数学一轮复习 第3章《三角函数》三角函数的图象课件
∴φ=-ωx0=-
2
(3
2)=
3
.
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解法四：（平移法）
由图象知，将y=5sin
2 3
x的图象沿x轴向左平移
2
个单
位，就得到本题图象.故所求函数解析式为
y=5sin〔 2 ( x+ )〕=5sin( 2 x+ ).
3
2
33
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考点三 三角函数图象的对称性
已知函数y=sin2x+acos2x= 1 a2 sin(2x+φ)(其中
3
(2)由此题两种解法可见,在由图象求解析式时，
“第一个零点”的确定是重要的，应尽量使A取正值.
(3)已知函数图象求函数
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式时,常用的解题 方法是待定系数法,由图中的最大值或最小值确定A,由 周期确定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由
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图象求得的y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式一般不唯 一,只有限定φ的取值范围,才能得出唯一解,否则φ的值不 确定,解析式也就不唯一.
学案3 三角函数的图象
考点分析
1. “五点法”作y=Asin(ωx+φ)(A＞00,,ω,＞,30)的,2简图
五点的取法是：设X=ωx+φ，由X取 2 2 来求相应的x值，及对应的y值，再描点作图.
2.变换作图法作y=Asin(ωx+φ)（A＞0,ω＞0）的 图象
(1)振幅变换：y=sinx→y=Asinx 返回目录
以“五点法”中的第一零点(
,0)作为突破口，要从图
象的升降情况找准第一零点的位置.要善于抓住特殊量和特
2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)3.3三角函数图象和性质课件 新人教A版
a， c 的大小关系是 b，
(
)
A．a<b<c C．b<a<c
B．c<a<b D．b<c<a
解析： (1)作出 y＝|tan x|的图象， 观察图象可知， y＝|tan x|
π 的增区间是kπ，kπ＋2 ，k∈Z. π (2)f(x)＝sin x＋ 3cos x＝2sin x＋3 ，因为函数
3 答案：5 π＋2kπ，k∈Z 4
1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y
＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调
区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应在 函数的定义域内．注意区分下列两种形式的函数单调 性的不同：
π π (1)y＝sinωx－4 ；(2)y＝sin4 －ωx.
1 cos x－ 的定义域为________． 2 (2)函数 y＝sin2x＋sin x－1 的值域为
(
)
A．[－1,1]
5 C.－4，1
5 B.－4，－1 5 D.－1，4
sin x>0， [自主解答] (1)要使函数有意义必须有 1 cos x－2≥0， sin x>0， 即 1 cos x≥2， 2kπ<x<π＋2kπ， 解得 π (k∈Z)， π －3＋2kπ≤x≤3＋2kπ
π ＋kπ，0 2
y＝tan x 奇函数
kπ ，0 2 (k∈Z)
(kπ，0)
∈Z)
(k∈Z)
函数 对称轴 方程 周期
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
π x＝ ＋kπ 2 (k∈Z) x＝kπ (k∈Z)
高考数学一轮专项复习ppt课件(新高考用)-三角函数的图象与性质
−
中心为(
，)．
−
，即对称
知识梳理·基础回归
解题方法总结
（5）求函数 = ( + ) + ( ≠ )的对称轴的方法；令 + = ( ∈ )
得 =
+−
+−
，即对称中心为(
, )( ∈ )
2、与三角函数）请将上表数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；
π
2
（2）当 ∈ − , 0 时，求不等式 ≥ 0的解集．
【解析】（1）由表可知 = 5, 2 =
所以 =
又2 ×
π
3
2π
5π
π
−
6
3
π
= π，所以 = 2，
π
+ = ，所以
2
高考数学
一轮复习讲练测
三角函数的图象与性质
目录
C O N T E N T S
01
考情透视·目标导航
02
知识导图·思维引航
03
考点突破·题型探究
04
真题练习·命题洞见
05
课本典例·高考素材
06
易错分析·答题模板
01
考点要求
考题统计
（1）正弦函数、余弦函数
2024年天津卷第7题，5分
和正切函数的图像性质
位后，所得图象关于坐标原点对称，则的值可以为（
A．
2π
3
B．
π
3
C．
π
6
D．
π
3
的图象向右平移 > 0 个单
）
π
4