高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第7节圆锥曲线的综合问题第二课时最值范围证明专题课件理
l 的方程为 y= 7 x-2 或 y=- 7 x-2.
2
2
反思归纳 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主 要有两种方法:一是利用几何方法,即通过利用曲线的定义、几何性质以 及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数方法,即把要求最 值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用 函数方法、不等式方法等进行求解.
则 8k2-1>0,即 k2> 1 , 8
所以 1 <k2< 1 .
8
5
由①得 t2=
36k 2
1 4k 2
=9-
9
1 4k 2
,
由②得 3<t2<4,
所以-2<t<-
3或
3 <t<2.
故实数 t 的取值范围为(-2,-
3
)∪(
② 3 ,2).
(教师备用)【即时训练】 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: x2 + y2
【即时训练】 已知椭圆 E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴,且抛物线
x2=-4 2y的焦点是它的一个焦点,又点A(1, 2)在该椭圆上. (1)求椭圆 E 的方程;
反思归纳 (1)基本不等式是几个正数和与积的转化的依据,不但可直接 解决和与积的不等问题,而且通过结合不等式性质、函数单调性等还可 解决其他形式的不等式.如:和与平方和、和与倒数和、和与根式和、和 与两数之积的和等. (2)分析问题中的数量关系,引入未知数,并用它表示其他的变量,把要求 最值的变量设为函数. (3)利用基本不等式求函数的最值时,关键在于将函数变形为两项和或积 的形式,然后用基本不等式求出最值.
3
3
3
令 f'(m)=9m2-10m+1=0,解得 m1= 1 ,m2=1, 9
(1)求 E 的方程; 可得 f(m)在(- 1 , 1 )上是增函数,在( 1 ,1)上是减函数,在(1, 4 )上是增函数,
39
9
3
又 f( 1 )= 256 >f( 4 ).所以,当 m= 1 时,f(m)取到最大值 256 ,此时 k=± 55 .
第二课时 最值、范围、证明专题
专题概述
圆锥曲线中的最值、范围问题是高考中的热点问题,常涉及不等式 恒成立,求函数的值域问题,综合性比较强,题型可以是选择题、填空 题和解答题的形式出现,而证明题多出现在解答题中,难度较大,分值 为13分左右,常作为压轴题出现.
方法一 建立目标函数求最值
【即时训练】 已知点 A(0,-2),椭圆 E: x2 + y2 =1(a>b>0)的离心率为 3 ,F
1
t 3k
2
,
所以 H(- 3kt , t ), 1 3k 2 1 3k 2
反思归纳 解决圆锥曲线中的取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取 值范围. (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个 参数之间的等量关系. (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围. (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围. (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域, 从而确定参数的取值范围.
故设椭圆方程为 y 2 + x2 =1(a> a2 a2 2
2 ).
将点 A(1,
2
)代入方程得
2 a2
+1 a2 2
=1,
整理得 a4-5a2+4=0,
解得 a2=4 或 a2=1(舍去),
故所求椭圆方程为 y 2 + x 2 =1. 42
(2)求 1 + 1 的最大值. FA FB
(2)若斜率为 2 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 B,C,当△ABC 的面积最大 时,求直线 l 的方程.
(x1+x2)=
24k 2 t(1 4k 2)
,
y= 1 (y1+y2)= 1 [k(x1+x2)-6k]=
t
t
6 k
.
t (1 4 k 2 )
由点 P 在椭圆上,得
(24k 2 )2
+
144k 2
=4,
பைடு நூலகம்
t 2 (1 4k 2 )2
t 2 (1 4k 2 )2
化简得 36k2=t2(1+4k2).
解：(2) 1 + 1 = 1 + 1 =
x1 x2 2
= 2(b 3) .
FA FB x1 1 x2 1 x1x2 ( x1 x2 ) 1 b2 2b 5
由Δ=16(b+1)>0 得 b>-1,因为 l 不过 P 点,所以 b≠3.
令 t=b+3,则 t>2 且 t≠6.
12
y2 4
1,
消去 y 得
y kx t,
(1+3k2)x2+6ktx+3t2-12=0,
由Δ>0 可得 t2<4+12k2,
①
设 P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ 中点 H(x0,y0),则
x0=
x1 x2 2
= 3kt 1 3k 2
,y0=kx0+t=
①
由|AB|=
1 k 2 |x1-x2|<
3,
得(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]<3,
将
x1+x2=
24k 2 1 4k 2
,x1x2=
36k 2 4 1 4k 2
,
代入得(1+k2)[
242 k 4
- 4(36k 2 4) ]<3,
(1 4k 2 )2
1 4k 2
因为△PAB 的重心的纵坐标为- 2 . 3
所以 y1+y2+yP=-2,所以 yP=2,所以 xP=1.所以 k1+k2
方法二 利用基本不等式求最值
= y1 2 + y2 2 = ( y1 2)( x2 1) ( y2 2)(x1 1) ,
x1 1 x2 1
( x1 1)( x2 1)
9
243
3
9
243
15
所以,△ABP 面积的最大值为 256 5 . 135
(2)求△ABP面积的最大值.
【例 1】(2014 高考浙江卷)已知△ABP 的三个顶点都在抛物线 C:x2=4y 上,F 为抛物线 C 的焦点,点 M 为 AB 的中点, PF =3 FM . (1)若|PF|=3,求点 M 的坐标;
2 x+m,
B,C 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
y
由
y2
4
2 x m,
x2 1
2
得 4x2+2
2 mx+m2-4=0,
则Δ=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0,
所以 0≤m2<8.
由 x1+x2=-
2 m,x1x2= m 2 4 ,
2
4
得|BC|=
3 |x1-x2|=
3
16 2m2 . 2
方法三 利用判别式构造不等关系求范围
解：(2)法一 因为点 A(2,m)在抛物线 E:y2=4x 上,所以 m=±2
由抛物线的对称性,不妨设 A(2,2 2 ). 由 A(2,2 2 ),F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y=2 2 (x-1).
a2 b2
=1(a>b≥1)的离心率 e= 3 ,且椭圆 C 上一点 N 到 Q(0,3) 距离的最大值为 4, 2
过点 M(3,0)的直线交椭圆 C 于 A,B. (1)求椭圆 C 的方程;
解：(2)由条件 D(0,-2),当 k=0 时,显然-2<t<2;
x2
当
k≠0
时,设
l:y=kx+t,
3
1 (1)
3
故 S =△ABC 1 |BC|·d= m2(162m2) ≤ 1 · 2m2 (16 2m2) = 2 ,
2
所以 kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,2 这表4 明4 2点 2F 到直线 GA,GB 的距离相等,
当且仅当 2m2=16-2m2,
故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切.
(2)设P为椭圆上一点,且满足OA+OB =t OP (O为坐标原点),当|AB|< 3 时, 求实数 t 的取值范围.
解: (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y), 直线 AB 的方程为 y=k(x-3),
y k(x 3),
由
x
2
4
y2 1,
所以 1 + 1 =
2t
= 2t
=
2
≤
FA FB (t 3)2 2(t 3) 5 t 2 4t 8 (t 8) 4
t
2
=
2 t8 4 t
2 1, 2
当 t= 8 ,即 t=2 2 时, 1 + 1 取最大值,为 2 1 .
t
FA FB
2
解: (2)设直线 l 的方程为 y=
a2 b2
2
点 F(0,1)到直线 AB 的距离为 d= m 1 ,
1 k2
是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为 2 3 ,O 为坐标原点. 所以 S△ABP=4S△ABF=8|m-1|
2021-2022年高考数学一轮复习第九章解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题理
2021年高考数学一轮复习第九章解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题理题型一 范围问题例1 (xx·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解 (1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22， 解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM |＝ c ＋c2＋⎝⎛⎭⎪⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ， 得t ＝yx ＋1，即直线FP 的方程为y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t x ＋1，x 23＋y22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6，又由已知，得t ＝6－2x23x ＋12＞2，解得－32＜x ＜－1或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0，因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0. 因此m ＜0，于是m ＝－ 2x 2－23， 得m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．(xx·黄冈模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23－y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围． 解 (1)∵双曲线的离心率为233， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝32. 又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1， ∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k 2， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，故y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝k 2⇒－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0.由m ≠0得k 2＝14，解得k ＝±12.又由Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1) ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，得0<m 2<2，显然m 2≠1(否则x 1x 2＝0，x 1，x 2中至少有一个为0，直线OM ，ON 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．设原点O 到直线的距离为d ，则S △OMN ＝12|MN |d＝12·|m |1＋k 2·1＋k 2·|x 1－x 2| ＝12|m |x 1＋x 22－4x 1x 2＝－m 2－12＋1.故由m 的取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1)． 题型二 最值问题命题点1 利用三角函数有界性求最值例2 (xx·锦州模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是( ) A ．2 B. 2 C ．4 D ．2 2 答案 C解析 设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ，则|AF |·|BF |＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4. 命题点2 数形结合利用几何性质求最值例3 (xx·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________________________________________________________________________． 答案22解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋－12＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22. 命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值例4 (xx·山东)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k ′，证明k ′k为定值； ②求直线AB 的斜率的最小值． (1)解 设椭圆的半焦距为c . 由题意知2a ＝4,2c ＝2 2. 所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)． 由M (0，m )，可得P (x 0,2m )，Q (x 0，－2m )． 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝mx 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0.此时k ′k ＝－3.所以k ′k为定值－3. ②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 直线PA 的方程为y ＝kx ＋m . 直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2m 2－22k 2＋1x 0， 所以y 1＝kx 1＋m ＝2k m 2－22k 2＋1x 0＋m . 同理x 2＝2m 2－218k 2＋1x 0，y 2＝－6k m 2－218k 2＋1x 0＋m . 所以x 2－x 1＝2m 2－218k 2＋1x 0－2m 2－22k 2＋1x 0 ＝－32k2m 2－218k 2＋12k 2＋1x 0， y 2－y 1＝－6k m 2－218k 2＋1x 0＋m －2k m 2－22k 2＋1x 0－m＝－8k 6k 2＋1m 2－218k 2＋12k 2＋1x 0， 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫6k ＋1k ，由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”．因为P (x 0,2m )在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 0＝4－8m 2，故此时2m －m4－8m 2－0＝66， 即m ＝147，符合题意． 所以直线AB 的斜率的最小值为62. 思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．(xx·开封月考)已知圆(x －a )2＋(y ＋1－r )2＝r 2(r >0)过点F (0,1)，圆心M 的轨迹为C . (1)求轨迹C 的方程；(2)设P 为直线l ：x －y －2＝0上的点，过点P 作曲线C 的两条切线PA ，PB ，当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值． 解 (1)依题意，由圆过定点F 可知轨迹C 的方程为x 2＝4y . (2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(其中y 1＝x 214，y 2＝x 224)， 则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)， 即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0.因为切线PA ，PB 均过点P (x 0，y 0)， 所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解． 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， 所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0，由一元二次方程根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20， 所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2， 所以y 20＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2(y 0＋12)2＋92，所以当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.1．(xx·昆明两区七校调研)过抛物线y 2＝x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且直线l 的倾斜角θ≥π4，点A 在x 轴上方，则|FA |的取值范围是( )A ．(14，1]B ．(14，＋∞)C ．(12，＋∞)D ．(14，1＋22]答案 D解析 记点A 的横坐标是x 1，则有|AF |＝x 1＋14＝(14＋|AF |cos θ)＋14＝12＋|AF |cos θ，|AF |(1－cos θ)＝12，|AF |＝121－cos θ.由π4≤θ<π得－1<cos θ≤22，2－2≤2(1－cos θ)<4，14<121－cos θ≤12－2＝1＋22， 即|AF |的取值范围是(14，1＋22]．2．已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95 B.125 C ．4 D ．5 答案 B解析 由OM →·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3,0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，∴所求的距离d ＝125，故选B.3．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，对于左支上任意一点P 都有|PF 2|2＝8a |PF 1|(a 为实半轴长)，则此双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(2,3] C ．(1,3] D ．(1,2]答案 C解析 由P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义， 得|PF 2|＝2a ＋|PF 1|，所以|PF 2|2|PF 1|＝|PF 1|＋4a2|PF 1|＋4a ＝8a ，所以|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a ， 在△PF 1F 2中，|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|， 即2a ＋4a ≥2c ，所以e ＝ca≤3. 又e >1，所以1<e ≤3.故选C.4．(xx·成都质检)若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中点和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最小值为________． 答案 6解析 点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1,0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )， ∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234.∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254， ∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤22536， ∴6≤19·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12，即6≤OP →·FP →≤12.故最小值为6.5．(xx·郑州质检)已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n ＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 1的取值范围为________．答案 (22，1) 解析 ∵椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n＝1，∴a 21＝m ＋2，b 21＝－n ，c 21＝m ＋2＋n ，e 21＝m ＋2＋n m ＋2＝1＋n m ＋2. ∵双曲线C 2：x 2m ＋y 2n＝1，∴a 22＝m ，b 22＝－n ，c 22＝m －n ，∴由条件知m ＋2＋n ＝m －n ，则n ＝－1， ∴e 21＝1－1m ＋2. 由m >0得m ＋2>2，1m ＋2<12，－1m ＋2>－12， ∴1－1m ＋2>12，即e 21>12，而0<e 1<1， ∴22<e 1<1. 6．已知双曲线C 的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于2. (1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程；(3)已知定点G (1,2)，点D 是双曲线C 右支上的动点，求|DF 1|＋|DG |的最小值．解 (1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1， 半焦距c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3. 又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3.两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为M (2,1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0， 即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6， 故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)， 即6x －y －11＝0.(3)由已知，得|DF 1|－|DF 2|＝2， 即|DF 1|＝|DF 2|＋2，所以|DF 1|＋|DG |＝|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2， 当且仅当G ，D ，F 2三点共线时取等号， 因为|GF 2|＝1－22＋22＝5，所以|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2＝5＋2， 故|DF 1|＋|DG |的最小值为5＋2.7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2， 又a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1， 整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3k 2≠0，Δ＝12m 2＋1－3k 2>0，可得m 2>3k 2－1且k 2≠13，① 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k2， ∴y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k2. 由题意，AB ⊥MN ，∴k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2＝－1k(k ≠0，m ≠0)． 整理得3k 2＝4m ＋1，②将②代入①，得m 2－4m >0，∴m <0或m >4.又3k 2＝4m ＋1>0(k ≠0)，即m >－14. ∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0∪(4，＋∞)． 8．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值． 解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，2·b 2a ＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1.因此，所求的椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1. (2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′| x ＝t ＝2t .直线MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0， 即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.①因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.② 设线段MN 的中点的横坐标是x 3， 则x 3＝x 1＋x 22＝t t 2－h 21＋t2. 设线段PA 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12.由题意，得x 3＝x 4，即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1或h ≤－3. 当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0，则不等式②不成立，所以h ≥1.当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立．所以，h 的最小值为1. 9．如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且|F 2F 4|＝3－1.(1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．解 (1)因为e 1e 2＝32，所以 a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b,0)，F 4(3b,0)，于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2. 故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x 22－y 2＝1. (2)因为AB 不垂直于y 轴，且过点F 1(－1,0)，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 易知此方程的判别式大于0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. 因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2， 于是AB 的中点为M (－2m 2＋2，m m 2＋2)，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m2x ， 即mx ＋2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－m 2x ，x 22－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4， 所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 22－m 2， 从而|PQ |＝2x 2＋y 2＝2m 2＋42－m2. 设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4. 因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧， 所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝m 2＋2|y 1－y 2|m 2＋4. 又因为|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2 ＝22·1＋m 2m 2＋2， 所以2d ＝22·1＋m 2m 2＋4. 故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d ＝22·1＋m22－m2＝22·－1＋32－m 2. 而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.。
2023年高考数学(理科)一轮复习课件——圆锥曲线的综合问题 第二课时 定值问题
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(2)若直线 l 交椭圆 E 于 M，N 两点，直线 OM 的斜率为 k1，直线 ON 的斜率 为 k2，且 k1k2＝－19，证明：△OMN 的面积是定值，并求此定值.
证明 当直线l的斜率不存在时，
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答题模板
第一步 求圆锥曲线的方程 第二步 特殊情况分类讨论 第三步 联立直线和圆锥曲线的方程 第四步 应用根与系数的关系用参数表示点的坐标 第五步 根据相关条件计算推证 第六步 明确结论
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训练 2 (2021·大同调研)如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A，B，
已知|AB|＝4，且点e，345在椭圆上，其中 e 是椭圆的
离心率.
(1)求椭圆 C 的方程；
解 ∵|AB|＝4，∴2a＝4，即a＝2. 又点e，345在椭圆上，∴ae22＋1465b2＝1，即1c62 ＋1465b2＝1， 又b2＋c2＝a2＝4，联立方程解得b2＝3， ∴椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1.
(1)求动点 M 的轨迹 E 的方程；
[规范解答]
解 设M(x，y)，P(x0，y0)， 由(1－ 3)O→Q＝O→P－ 3O→M， 得O→Q－O→P＝ 3O→Q－ 3O→M， 即P→Q＝ 3M→Q，2 分
索引
∴xy00＝＝x，3y，又点 P(x0，y0)在圆 O：x2＋y2＝6 上， ∴x20＋y20＝6，∴x2＋3y2＝6， ∴轨迹 E 的方程为x62＋y22＝1.4 分
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感悟提升
解此类题的要点有两个：一是计算面积，二是恒等变形.如本题，要求△OMN 的面积，则需要计算弦长|MN|和原点 O 到直线 l 的距离 d，然后由面积公式 表达出 S△OMN(如果是其他凸多边形，一般需要分割成三角形分别求解)，再 将由已知得到的变量之间的等量关系代入面积关系式中，进行恒等变形， 即得 S△OMN 为定值23.
高考数学一轮复习 第九章 专题研究二 圆锥曲线中的最值与范围课件 理
点O到直线l的距离为 23，求△AOB面积的最大值．
【解析】 (1)设椭圆的半焦距为c，依题意ac＝ 36， a＝ 3，
∴b＝1，∴所求椭圆方程为x32＋y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)①当AB⊥x轴时，|AB|＝ 3. 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m. 由已知 1|m＋| k2＝ 23，得m2＝34(k2＋1)．
【解析】 由题意知：B(c，ba2)， b2
∴k＝c＋a a＝a－a c＝1－e.又13<k<12，
∴13<1－e<12，解得12<e<23.
• (1)求抛物线C的方程； • (2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点，若直线AO，BO
分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．
【解析】 (1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝ 2py(p>0)，则p2＝1，所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1. 由yx＝2＝k4xy＋，1， 消去y，整理，得x2－4kx－4＝0. 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 从而|x1－x2|＝4 k2＋1.
＝3＋9k2＋12k12＋6(k≠0)
≤3＋2×132＋6＝4.
当且仅当9k2＝k12，即k＝± 33时等号成立． 当k＝0时，|AB|＝ 3，综上所述|AB|max＝2. ∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值
【S＝答12案×】|AB|m(a1x×)x32＋23＝y2＝231.
3 (2) 2
2019-2020年高考数学一轮复习第九章解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题理
2019-2020年高考数学一轮复习第九章解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题理题型一 范围问题例1 (2015·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解 (1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM |＝c ＋c2＋⎝⎛⎭⎪⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ， 得t ＝yx ＋1，即直线FP 的方程为y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t x ＋，x 23＋y22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6，又由已知，得t ＝6－2x2x ＋2＞2，解得－32＜x ＜－1或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0，因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0. 因此m ＜0，于是m ＝－ 2x 2－23， 得m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．(2016·黄冈模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23－y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围． 解 (1)∵双曲线的离心率为233， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝32. 又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝m 2－1＋4k 2， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，故y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝k 2⇒－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0.由m ≠0得k 2＝14，解得k ＝±12.又由Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1) ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，得0<m 2<2，显然m 2≠1(否则x 1x 2＝0，x 1，x 2中至少有一个为0，直线OM ，ON 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．设原点O 到直线的距离为d ， 则S △OMN ＝12|MN |d＝12·|m |1＋k 2·1＋k 2·|x 1－x 2| ＝12|m |x 1＋x 22－4x 1x 2＝－m 2－2＋1.故由m 的取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1)． 题型二 最值问题命题点1 利用三角函数有界性求最值例2 (2016·锦州模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是( )A ．2 B. 2 C ．4 D ．2 2 答案 C解析 设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ，则|AF |·|BF |＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4. 命题点2 数形结合利用几何性质求最值例3 (2015·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________________________________________________________________________． 答案22解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋－2＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22. 命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值例4 (2016·山东)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k ′，证明k ′k为定值； ②求直线AB 的斜率的最小值． (1)解 设椭圆的半焦距为c . 由题意知2a ＝4,2c ＝2 2. 所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)． 由M (0，m )，可得P (x 0,2m )，Q (x 0，－2m )． 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝mx 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3m x 0.此时k ′k ＝－3.所以k ′k为定值－3. ②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 直线PA 的方程为y ＝kx ＋m . 直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝m 2－k 2＋x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2km 2－k 2＋x 0＋m .同理x 2＝m 2－k 2＋x 0，y 2＝－6k m 2－k 2＋x 0＋m . 所以x2－x 1＝m 2－k 2＋x 0－m 2－k 2＋x 0＝－32k 2m 2－k 2＋k 2＋x 0，y 2－y 1＝－6k m 2－k 2＋x 0＋m －2k m 2－k 2＋x 0－m ＝－8kk 2＋m 2－k 2＋k 2＋x 0，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫6k ＋1k ，由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”．因为P (x 0,2m )在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 0＝4－8m 2，故此时2m －m4－8m 2－0＝66，即m ＝147，符合题意． 所以直线AB 的斜率的最小值为62. 思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．(2017·开封月考)已知圆(x －a )2＋(y ＋1－r )2＝r 2(r >0)过点F (0,1)，圆心M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设P 为直线l ：x －y －2＝0上的点，过点P 作曲线C 的两条切线PA ，PB ，当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值． 解 (1)依题意，由圆过定点F 可知轨迹C 的方程为x 2＝4y . (2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(其中y 1＝x 214，y 2＝x 224)， 则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)， 即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0. 因为切线PA ，PB 均过点P (x 0，y 0)， 所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解． 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， 所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0，由一元二次方程根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2， 所以y 20＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2(y 0＋12)2＋92，所以当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.1．(2016·昆明两区七校调研)过抛物线y 2＝x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且直线l 的倾斜角θ≥π4，点A 在x 轴上方，则|FA |的取值范围是( )A ．(14，1]B ．(14，＋∞)C ．(12，＋∞)D ．(14，1＋22]答案 D解析 记点A 的横坐标是x 1，则有|AF |＝x 1＋14＝(14＋|AF |cos θ)＋14＝12＋|AF |cos θ，|AF |(1－cos θ)＝12，|AF |＝1－cos θ.由π4≤θ<π得－1<cos θ≤22，2－2≤2(1－cos θ)<4，14<1－cos θ≤12－2＝1＋22， 即|AF |的取值范围是(14，1＋22]．2．已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95 B.125 C ．4 D ．5 答案 B解析 由OM →·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3,0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，∴所求的距离d ＝125，故选B.3．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，对于左支上任意一点P 都有|PF 2|2＝8a |PF 1|(a 为实半轴长)，则此双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(2,3] C ．(1,3] D ．(1,2]答案 C解析 由P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义， 得|PF 2|＝2a ＋|PF 1|，所以|PF 2|2|PF 1|＝|PF 1|＋4a2|PF 1|＋4a ＝8a ，所以|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a ， 在△PF 1F 2中，|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|， 即2a ＋4a ≥2c ，所以e ＝c a≤3. 又e >1，所以1<e ≤3.故选C.4．(2016·成都质检)若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中点和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最小值为________． 答案 6解析 点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1,0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )， ∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234. ∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254， ∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤22536， ∴6≤19·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12，即6≤OP →·FP →≤12.故最小值为6.5．(2017·郑州质检)已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 1的取值范围为________． 答案 (22，1) 解析 ∵椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n＝1，∴a 21＝m ＋2，b 21＝－n ，c 21＝m ＋2＋n ，e 21＝m ＋2＋n m ＋2＝1＋n m ＋2. ∵双曲线C 2：x 2m ＋y 2n＝1，∴a 22＝m ，b 22＝－n ，c 22＝m －n ，∴由条件知m ＋2＋n ＝m －n ，则n ＝－1， ∴e 21＝1－1m ＋2. 由m >0得m ＋2>2，1m ＋2<12，－1m ＋2>－12， ∴1－1m ＋2>12，即e 21>12，而0<e 1<1， ∴22<e 1<1. 6．已知双曲线C 的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于2. (1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程；(3)已知定点G (1,2)，点D 是双曲线C 右支上的动点，求|DF 1|＋|DG |的最小值． 解 (1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1， 半焦距c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3. 又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3.两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为M (2,1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0， 即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6， 故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)， 即6x －y －11＝0.(3)由已知，得|DF 1|－|DF 2|＝2， 即|DF 1|＝|DF 2|＋2，所以|DF 1|＋|DG |＝|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2， 当且仅当G ，D ，F 2三点共线时取等号， 因为|GF 2|＝－2＋22＝5，所以|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2＝5＋2， 故|DF 1|＋|DG |的最小值为5＋2.7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2， 又a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝m 2＋1－3k 2，可得m 2>3k 2－1且k 2≠13，①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k 2， ∴y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2. 由题意，AB ⊥MN ，∴k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2＝－1k(k ≠0，m ≠0)． 整理得3k 2＝4m ＋1，②将②代入①，得m 2－4m >0，∴m <0或m >4.又3k 2＝4m ＋1>0(k ≠0)，即m >－14. ∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0∪(4，＋∞)． 8．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值． 解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，2·b 2a ＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1.因此，所求的椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1. (2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′| x ＝t ＝2t .直线MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.①因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.② 设线段MN 的中点的横坐标是x 3， 则x 3＝x 1＋x 22＝t t 2－h ＋t 2. 设线段PA 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12.由题意，得x 3＝x 4，即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1或h ≤－3. 当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0，则不等式②不成立，所以h ≥1.当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立．所以，h 的最小值为1. 9．如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且|F 2F 4|＝3－1.(1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．解 (1)因为e 1e 2＝32，所以 a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b,0)，F 4(3b,0)，于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2. 故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x 22－y 2＝1. (2)因为AB 不垂直于y 轴，且过点F 1(－1,0)，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 易知此方程的判别式大于0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. 因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2， 于是AB 的中点为M (－2m 2＋2，m m 2＋2)，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m 2x ， 即mx ＋2y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－m 2x ，x 22－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4， 所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 22－m 2， 从而|PQ |＝2x 2＋y 2＝2m 2＋42－m2. 设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4. 因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧， 所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝m 2＋y 1－y 2|m 2＋4. 又因为|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2， 所以2d ＝22·1＋m 2m 2＋4. 故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d ＝22·1＋m22－m 2＝22·－1＋32－m 2. 而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.。
高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.8圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题课件文新人教版
例3 (2015·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支
上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c
2 的最大值为__2__. 答案 解析
几何画板展示
命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值 例4 (2016·山东)如图，已知椭圆C：ax22＋by22＝1 (a＞b＞0)的长轴长为4，焦距为2 2. (1)求椭圆C的方程； 解答
∴右顶点为(2,0)，即 a＝2，c＝ 3，b＝1，
∴椭圆方程为x42＋y2＝1.
(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN， ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围. 解答
题型二 最值问题
命题点1 利用三角函数有界性求最值
例2 (2016·锦州模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B
§9.8 圆锥曲线的综合问题
第2课时 范围、最值问题
内容索引
题型分类 深度剖析 课时作业
题型分类 深度剖析
题型一 范围问题
例1 (2015·天津)已知椭圆 ax22＋by22 ＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，离
心率为
3 ，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝ 3
b2 4
5.(2017·郑州质检)已知椭圆 C1：m＋x2 2－yn2＝1 与双曲线 C2：xm2＋yn2＝1 有相同的焦点，则椭圆 C1 的离心率 e1 的取值范围为_(__22_，__1_)_.
答案 解析
1 2 3 4 5 6 7 89
6.已知双曲线C的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2,0)，双曲线C上一点 P到F1，F2的距离差的绝对值等于2. (1)求双曲线C的标准方程； 解答
高考数学一轮复习 第9章 解析几何 专题研究2 圆锥曲线中的最值与范围问题课件 理
令y＝0，可得x2－2ax＋4b－4＝0，∴x2－2ax＋a2－4＝0， 解得x＝a±2.
不妨设A(a－2，0)，B(a＋2，0)． ∴l1＝ （a－2）2＋4，l2＝ （a＋2）2＋4，
2py(p>0)上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知圆过定点D(0，2)，圆心M在抛物线C上运动，且圆
M与x轴交于A，B两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，求
l1 l2
＋
l2 l1
的最大
值．
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【解析】 (1)由题意可得此正三角形的另外两个顶点为 (±4 3 ，12)，代入抛物线方程可得(±4 3 )2＝2p×12，解得p＝ 2.∴抛物线方程为x2＝4y.
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∴|MN|＝|m－n|＝ （m＋n）2－4mn
＝ （x04－y021）2＋4（xx00－＋11）. ∵y02＝4x0，|y0|＝2 x0，
∴|MN|＝ （x10－6x10）2＋4（xx00－＋11）
＝2
x（02＋x0－4x10－）12 ，
(1)求椭圆 C 的方程； (2)若点 A，B 都在椭圆 C 上，且 AB 中点 M 在线段 OP(不包 括端点)上． ①求直线 AB 的斜率； ②求△AOB 面积的最大值．
第三页，共四十七页。
【解析】 (1)离心率e＝ca＝ 22，将P点坐标代入椭圆方程，
可得a42＋b12＝1，
北师大版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围最值问题教学案理
一、知识梳理１．直线与圆锥曲线的位置关系（１）从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．（２）从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f（x，y）＝0．由错误!消元（如消去y），得ax２＋bx＋c＝0．１若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行（或重合）；２若a≠0，Δ＝b２—４ac.Ａ．当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；Ｂ．当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；Ｃ．当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点．２．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题（１）斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P１（x１，y１），P２（x２，y２），则所得弦长：|P１P２|＝错误!＝错误!·|x１—x２|＝错误!＝错误!|y１—y２|．（２）斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算（利用两点间距离公式）．（３）直线l与曲线C相交于P，Q两点，联立直线方程与曲线方程，消去y得Ax２＋Bx＋C＝0，Δ＝B２—４AC>0，则|PQ|＝错误!.３．圆锥曲线的中点弦问题遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆错误!＋错误!＝１中，以P（x0，y0）为中点的弦所在直线的斜率k＝—错误!；在双曲线错误!—错误!＝１中，以P（x0，y0）为中点的弦所在直线的斜率k＝错误!；在抛物线y２＝２px（p＞0）中，以P（x0，y0）为中点的弦所在直线的斜率k＝错误!．在使用根与系数关系时，要注意前提条件是Δ≥0．常用结论过一点的直线与圆锥曲线的位置关系的特点（１）过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．（２）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．（３）过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、教材衍化１．过点（0，１）作直线，使它与抛物线y２＝４x仅有一个公共点，这样的直线有（）Ａ．１条Ｂ．２条Ｃ．３条Ｄ．４条解析：选Ｃ．过（0，１）与抛物线y２＝４x相切的直线有２条，过（0，１）与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．２．已知与向量v＝（１，0）平行的直线l与双曲线错误!—y２＝１相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．解析：由题意可设直线l的方程为y＝m，代入错误!—y２＝１得x２＝４（１＋m２），所以x１＝错误!＝２错误!，x２＝—２错误!，所以|AB|＝|x１—x２|＝４错误!≥４，即当m＝0时，|AB|有最小值４．答案：４一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）直线l与抛物线y２＝２px只有一个公共点，则l与抛物线相切．（）（２）直线y＝kx（k≠0）与双曲线x２—y２＝１一定相交．（）（３）与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．（）（４）直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．（）（５）过点（２，４）的直线与椭圆错误!＋y２＝１只有一条切线．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）×二、易错纠偏错误!错误!（１）没有发现直线过定点，导致运算量偏大；（２）不会用函数法解最值问题；（３）错用双曲线的几何性质．１．直线y＝kx—k＋１与椭圆错误!＋错误!＝１的位置关系为（）Ａ．相交Ｂ．相切Ｃ．相离Ｄ．不确定解析：选Ａ．直线y＝kx—k＋１＝k（x—１）＋１恒过定点（１，１），又点（１，１）在椭圆内部，故直线与椭圆相交．故选Ａ．２．如图，两条距离为４的直线都与y轴平行，它们与抛物线y２＝—２px（0＜p＜１４）和圆（x—４）２＋y２＝9分别交于A，B和C，D，且抛物线的准线与圆相切，则当|AB|·|CD|取得最大值时，直线AB的方程为________．解析：根据题意，由抛物线的准线与圆相切可得错误!＝１或7，又0＜p＜１４，故p＝２，设直线AB的方程为x＝—t（0＜t＜３），则直线CD的方程为x＝４—t，则|AB|·|CD|＝２错误!·２错误!＝8错误!（0＜t＜３），设f（t）＝t（9—t２）（0＜t＜３），则f′（t）＝9—３t２（0＜t＜３），令f′（t）＞0⇒0＜t＜错误!，令f′（t）＜0⇒错误!＜t＜３，故f（t）max＝f（错误!），此时直线AB的方程为x＝—错误!.答案：x＝—错误!３．已知点F１，F２分别是双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F１且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF２是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是________．解析：由题设条件可知△ABF２为等腰三角形，只要∠AF２B为钝角即可，所以有错误!＞２c，即b２＞２ac，所以c２—a２＞２ac，即e２—２e—１＞0，所以e＞１＋错误!.答案：（１＋错误!，＋∞）第１课时圆锥曲线中的范围、最值问题最值问题（多维探究）角度一数形结合利用几何性质求最值已知椭圆C：错误!＋错误!＝１的右焦点为F，P为椭圆C上一动点，定点A（２，４），则|PA|—|PF|的最小值为________．【解析】如图，设椭圆的左焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝４，所以|PF|＝４—|PF′|，所以|PA|—|PF|＝|PA|＋|PF′|—４．当且仅当P，A，F′三点共线时，|PA|＋|PF′|取最小值|AF′|＝错误!＝５，所以|PA|—|PF|的最小值为１．【答案】１角度二建立目标函数求最值如图，已知抛物线x２＝y，点A错误!，B错误!，抛物线上的点P（x，y）错误!.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.（１）求直线AP斜率的取值范围；（２）求|PA|·|PQ|的最大值．【解】（１）设直线AP的斜率为k，k＝错误!＝x—错误!，因为—错误!<x<错误!，所以直线AP斜率的取值范围是（—１，１）．（２）联立直线AP与BQ的方程错误!解得点Q的横坐标是x Q＝错误!.因为|PA|＝错误!错误!＝错误!（k＋１），|PQ|＝错误!（x Q—x）＝—错误!，所以|PA|·|PQ|＝—（k—１）（k＋１）３.令f（k）＝—（k—１）（k＋１）３，因为f′（k）＝—（４k—２）（k＋１）２，所以f（k）在区间错误!上是增加的，错误!上是减少的，因此当k＝错误!时，|PA|·|PQ|取得最大值错误!.角度三构造基本不等式求最值已知椭圆M：错误!＋错误!＝１（a>0）的一个焦点为F（—１，0），左、右顶点分别为A，B.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（１）当直线l的倾斜角为４５°时，求线段CD的长；（２）记△ABD与△ABC的面积分别为S１和S２，求|S１—S２|的最大值．【解】（１）由题意，c＝１，b２＝３，所以a２＝４，所以椭圆M的方程为错误!＋错误!＝１，易求直线方程为y＝x＋１，联立方程，得错误!消去y，得7x２＋8x—8＝0，Δ＝２88＞0，设C（x１，y１），D（x２，y２），x１＋x２＝—错误!，x１x２＝—错误!，所以|CD|＝错误!|x１—x２|＝错误!错误!＝错误!.（２）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝—１，此时△ABD与△ABC面积相等，|S１—S２|＝0；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k（x＋１）（k≠0），联立方程，得错误!消去y，得（３＋４k２）x２＋8k２x＋４k２—１２＝0，Δ>0，且x１＋x２＝—错误!，x１x２＝错误!，此时|S１—S２|＝２||y２|—|y１||＝２|y２＋y１|＝２|k（x２＋１）＋k（x１＋１）|＝２|k（x１＋x２）＋２k|＝错误!，因为k≠0，上式＝错误!≤错误!＝错误!＝错误!错误!，所以|S１—S２|的最大值为错误!.错误!圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．（２0２0·河北武邑中学模拟）抛物线y２＝４x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（１）O为坐标原点，求证：错误!·错误!＝—３；（２）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．解：（１）证明：依题意得F（１，0），且直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋１．联立错误!消去x得y２—４my—４＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则y１＋y２＝４m，y１y２＝—４．x１x２＝（my１＋１）（my２＋１）＝m２y１y２＋m（y１＋y２）＋１＝１，故错误!·错误!＝x１x２＋y１y２＝—３．（２）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于２S△AOB.由（１）知２S△AOB＝２×错误!|OF||y１—y２|＝错误!＝４错误!，所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是４．范围问题（多维探究）角度一求代数式的取值范围已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的离心率为错误!，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线x sin θ＋y cos θ—１＝0相切（θ为常数）．（１）求椭圆C的标准方程；（２）若椭圆C的左、右焦点分别为F１，F２，过F２作直线l与椭圆交于M，N两点，求错误!·错误!的取值范围．【解】（１）由题意，得错误!⇒错误!故椭圆C的标准方程为错误!＋y２＝１．（２）由（１）得F１（—１，0），F２（１，0）．１若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线l的方程为x＝１，不妨记M错误!，N错误!，所以错误!＝错误!，错误!＝错误!，故错误!·错误!＝错误!.２若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x—１），由错误!消去y得，（１＋２k２）x２—４k２x＋２k２—２＝0，设M（x１，y１），N（x２，y２），则x１＋x２＝错误!，x１x２＝错误!.错误!＝（x１＋１，y１），错误!＝（x２＋１，y２），则错误!·错误!＝（x１＋１）（x２＋１）＋y１y２＝（x１＋１）（x２＋１）＋k（x１—１）·k（x２—１）＝（１＋k２）·x１x２＋（１—k２）（x１＋x２）＋１＋k２，代入可得错误!·错误!＝错误!＋错误!＋１＋k２＝错误!＝错误!—错误!，由k２≥0可得错误!·错误!∈错误!.综上，错误!·错误!∈错误!.角度二求参数的取值范围已知椭圆C的两个焦点为F１（—１，0），F２（１，0），且经过点E错误!.（１）求椭圆C的方程；（２）过点F１的直线l与椭圆C交于A，B两点（点A位于x轴上方），若错误!＝λ错误!，且２≤λ＜３，求直线l的斜率k的取值范围．【解】（１）由错误!解得错误!所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．（２）由题意得直线l的方程为y＝k（x＋１）（k＞0），联立方程，得错误!整理得错误!y２—错误!y—9＝0，Δ＝错误!＋１４４＞0，设A（x１，y１），B（x２，y２），则y１＋y２＝错误!，y１y２＝错误!，又错误!＝λ错误!，所以y１＝—λy２，所以y１y２＝错误!（y１＋y２）２，则错误!＝错误!，λ＋错误!—２＝错误!，因为２≤λ＜３，所以错误!≤λ＋错误!—２＜错误!，即错误!≤错误!＜错误!，且k＞0，解得0＜k≤错误!.故直线l的斜率k的取值范围是错误!.错误!解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面（１）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．（２）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．（３）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．（４）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．（５）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．（２0２0·郑州模拟）已知椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）上的点到右焦点F（c，0）的最大距离是错误!＋１，且１，错误!a，４c成等比数列．（１）求椭圆的方程；（２）过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M （m，0），求实数m的取值范围．解：（１）由已知可得错误!解得错误!所以椭圆的方程为错误!＋y２＝１．（２）由题意得F（１，0），设直线AB的方程为y＝k（x—１）．与椭圆方程联立得错误!消去y可得（１＋２k２）x２—４k２x＋２k２—２＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝错误!，y１＋y２＝k（x１＋x２）—２k＝错误!.可得线段AB的中点为N错误!.当k＝0时，直线MN为y轴，此时m＝0．当k≠0时，直线MN的方程为y＋错误!＝—错误!错误!，化简得ky＋x—错误!＝0．令y＝0，得x＝错误!.所以m＝错误!＝错误!∈错误!.综上所述，实数m的取值范围为错误!.[基础题组练]１．（２0２0·河南新乡二模）如图，已知抛物线C１的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点（３，6），圆C２：x２＋y２—6x＋8＝0，过圆心C２的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则|PN|＋３|QM|的最小值为（）Ａ．１２＋４错误!Ｂ．１6＋４错误!Ｃ．１6＋6错误!Ｄ．２0＋6错误!解析：选Ｃ．设抛物线的方程为y２＝２px（p＞0），则３6＝２p×３，则２p＝１２，所以抛物线的方程为y２＝１２x，设抛物线的焦点为F，则F（３，0），准线方程为x＝—３，圆C２：x２＋y２—6x＋8＝0的圆心为（３，0），半径为１，由直线PQ过抛物线的焦点，则错误!＋错误!＝错误!＝错误!.|PN|＋３|QM|＝|PF|＋１＋３（|QF|＋１）＝|PF|＋３|QF|＋４＝３（|PF|＋３|QF|）错误!＋４＝３错误!＋４≥３（４＋２错误!）＋４＝１6＋6错误!错误!.故选Ｃ．２．如图，抛物线W：y２＝４x与圆C：（x—１）２＋y２＝２５交于A，B两点，点P为劣弧错误!上不同于A，B的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则△PQC的周长的取值范围是（）Ａ．（１0，１４）Ｂ．（１２，１４）Ｃ．（１0，１２）Ｄ．（9，１１）解析：选Ｃ．抛物线的准线l：x＝—１，焦点（１，0），由抛物线定义可得|QC|＝x Q＋１，圆（x—１）２＋y２＝２５的圆心为C（１，0），半径为５，可得△PQC的周长＝|QC|＋|PQ|＋|PC|＝x Q＋１＋（x P—x Q）＋５＝6＋x P，由抛物线y２＝４x及圆（x—１）２＋y２＝２５可得交点的横坐标为４，即有x P∈（４，6），可得6＋x P∈（１0，１２），故△PQC的周长的取值范围是（１0，１２）．故选Ｃ．３．（２0２0·湖南湘潭一模）已知F（错误!，0）是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的一个焦点，点M错误!在椭圆C上．（１）求椭圆C的方程；（２）若直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且k OA＋k OB＝—错误!（O为坐标原点），求直线l 的斜率的取值范围．解：（１）由题意知，椭圆的另一个焦点为（—错误!，0），所以点M到两焦点的距离之和为错误!＋错误!＝４．所以a＝２．又因为c＝错误!，所以b＝１，所以椭圆C的方程为错误!＋y２＝１．（２）当直线l的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，k OA＋k OB＝0，不符合题意．故设直线l的方程为y＝kx＋m（k≠0），A（x１，y１），B（x２，y２），联立错误!可得（４k２＋１）x２＋8kmx＋４（m２—１）＝0．则x１＋x２＝错误!，x１x２＝错误!.而k OA＋k OB＝错误!＋错误!＝错误!＝２k＋错误!＝２k＋错误!＝错误!.由k OA＋k OB＝—错误!，可得m２＝４k＋１，所以k≥—错误!.又由Δ＞0，得１6（４k２—m２＋１）＞0，所以４k２—４k＞0，解得k＜0或k＞１，综上，直线l的斜率的取值范围为错误!∪（１，＋∞）．４．（２0２0·银川模拟）椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的焦点分别为F１（—１，0），F２（１，0），直线l：x＝a２交x轴于点A，且错误!＝２错误!.（１）试求椭圆的方程；（２）过点F１，F２分别作互相垂直的两条直线与椭圆分别交于D，E，M，N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值和最小值．解：（１）由题意知，|F１F２|＝２c＝２，A（a２，0），因为错误!＝２错误!，所以F２为线段AF１的中点，则a２＝３，b２＝２，所以椭圆方程为错误!＋错误!＝１．（２）当直线DE与x轴垂直时，|DE|＝错误!＝错误!，此时|MN|＝２a＝２错误!，四边形DMEN的面积S＝错误!＝４．同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积S＝错误!＝４．当直线DE，MN与x轴均不垂直时，设直线DE：y＝k（x＋１）（k≠１），D（x１，y１），E（x２，y２），代入椭圆方程，消去y可得（２＋３k２）x２＋6k２x＋３k２—6＝0，则x１＋x２＝错误!，x１x２＝错误!，所以|x１—x２|＝错误!，所以|DE|＝错误!|x１—x２|＝错误!.同理|MN|＝错误!＝错误!，所以四边形DMEN的面积S＝错误!＝错误!×错误!×错误!＝错误!，令u＝k２＋错误!，则S＝４—错误!.因为u＝k２＋错误!≥２，当k＝±１时，u＝２，S＝错误!，且S是以u为自变量的增函数，则错误!≤S＜４．综上可知，错误!≤S≤４，故四边形DMEN面积的最大值为４，最小值为错误!.[综合题组练]１．已知椭圆E的中心在原点，焦点F１，F２在y轴上，离心率等于错误!，P是椭圆E上的点．以线段PF１为直径的圆经过F２，且9错误!·错误!＝１．（１）求椭圆E的方程；（２）作直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N.如果线段MN被直线２x＋１＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围．解：（１）依题意，设椭圆E的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），半焦距为c.因为椭圆E的离心率等于错误!，所以c＝错误!a，b２＝a２—c２＝错误!.因为以线段PF１为直径的圆经过F２，所以PF２⊥F１F２.所以|PF２|＝错误!.因为9错误!·错误!＝１，所以9|错误!|２＝错误!＝１．由错误!，得错误!，所以椭圆E的方程为错误!＋x２＝１．（２）因为直线x＝—错误!与x轴垂直，且由已知得直线l与直线x＝—错误!相交，所以直线l不可能与x轴垂直，所以设直线l的方程为y＝kx＋m.由错误!，得（k２＋9）x２＋２kmx＋m２—9＝0．因为直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N，所以Δ＝４k２m２—４（k２＋9）（m２—9）>0，即m２—k２—9<0．设M（x１，y１），N（x２，y２），则x１＋x２＝错误!.因为线段MN被直线２x＋１＝0平分，所以２×错误!＋１＝0，即错误!＋１＝0．由错误!，得错误!错误!—（k２＋9）<0．因为k２＋9>0，所以错误!—１<0，所以k２>３，解得k>错误!或k<—错误!.所以直线l的倾斜角的取值范围为错误!∪错误!.２．（２0１9·高考全国卷Ⅱ）已知点A（—２，0），B（２，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为—错误!.记M的轨迹为曲线C.（１）求C的方程，并说明C是什么曲线；（２）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.（ⅰ）证明：△PQG是直角三角形；（ⅱ）求△PQG面积的最大值．解：（１）由题设得错误!·错误!＝—错误!，化简得错误!＋错误!＝１（|x|≠２），所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．（２）（ⅰ）证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx（k>0）．由错误!得x＝±错误! .记u＝错误!，则P（u，uk），Q（—u，—uk），E（u，0）．于是直线QG的斜率为错误!，方程为y＝错误!（x—u）．由错误!得（２＋k２）x２—２uk２x＋k２u２—8＝0．１设G（x G，y G），则—u和x G是方程１的解，故x G＝错误!，由此得y G＝错误!.从而直线PG的斜率为错误!＝—错误!.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．（ⅱ）由（ⅰ）得|PQ|＝２u错误!，|PG|＝错误!，所以△PQG的面积S＝错误!|PQ||PG|＝错误!＝错误!.设t＝k＋错误!，则由k>0得t≥２，当且仅当k＝１时取等号．因为S＝错误!在[２，＋∞）单调递减，所以当t＝２，即k＝１时，S取得最大值，最大值为错误!.因此，△PQG面积的最大值为错误!.。
新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的证明范围最值问题教案文
一、知识梳理１．直线与圆锥曲线的位置关系的判定（１）代数法：把圆锥曲线方程C１与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax２＋bx＋c＝0．方程ax２＋bx＋c＝0的解l与C１的交点a＝0b＝0无解（含l是双曲线的渐近线）无公共点b≠0有一解（含l与抛物线的对称轴平行（重合）或与双曲线的渐近线平行）一个交点a≠0Δ＞0两个不相等的解两个交点Δ＝0两个相等的解一个交点Δ＜0无实数解无交点位置关系．２．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k（k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A（x１，y１），B（x２，y２），则|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!错误!＝错误!|y１—y２|＝错误!错误!.常用结论圆锥曲线以P（x0，y0）（y0≠0）为中点的弦所在直线的斜率如下表：圆锥曲线方程直线斜率椭圆：错误!＋错误!＝１（a>b>0）k＝—错误!双曲线：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）k＝错误!抛物线：y２＝２px（p>0）k＝错误!二、习题改编（选修１１P6２例５改编）过点（0，１）作直线，使它与抛物线y２＝４x仅有一个公共点，这样的直线有（）Ａ．１条Ｂ．２条C．３条Ｄ．４条解析：选Ｃ．结合图形分析可知，满足题意的直线共有３条：直线x＝0，过点（0，１）且平行于x 轴的直线以及过点（0，１）且与抛物线相切的直线（非直线x＝0）．一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）直线l与抛物线y２＝２px只有一个公共点，则l与抛物线相切．（）（２）直线y＝kx（k≠0）与双曲线x２—y２＝１一定相交．（）（３）与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．（）（４）直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．（）（５）过点（２，４）的直线与椭圆错误!＋y２＝１只有一条切线．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）×二、易错纠偏错误!（１）没有发现直线过定点，导致运算量偏大；（２）不会用函数法解最值问题．１．直线y＝kx—k＋１与椭圆错误!＋错误!＝１的位置关系为（）Ａ．相交Ｂ．相切Ｃ．相离Ｄ．不确定解析：选Ａ．直线y＝kx—k＋１＝k（x—１）＋１恒过定点（１，１），又点（１，１）在椭圆内部，故直线与椭圆相交．２．抛物线y＝x２上的点到直线x—y—２＝0的最短距离为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!C．２错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．设抛物线上一点的坐标为（x，y），则d＝错误!＝错误!＝错误!，所以x＝错误!时，d min＝错误!.第１课时圆锥曲线中的证明、范围（最值）问题证明问题（师生共研）（２0１8·高考全国卷Ⅲ节选）已知斜率为k的直线l与椭圆C：错误!＋错误!＝１交于A，B 两点，线段AB的中点为M（１，m）（m>0）．（１）证明：k<—错误!；（２）设F为C的右焦点，P为C上的点，且错误!＋错误!＋错误!＝0.证明：|错误!|，|错误!|，|错误! |成等差数列．【证明】（１）设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!＋错误!＝１，错误!＋错误!＝１．两式相减，并由错误!＝k得错误!＋错误!·k＝0．由题设知错误!＝１，错误!＝m，于是k＝—错误!.由题设得0<m<错误!，故k<—错误!.（２）由题意得F（１，0）．设P（x３，y３），则（x３—１，y３）＋（x１—１，y１）＋（x２—１，y２）＝（0，0）．由（１）及题设得x３＝３—（x１＋x２）＝１，y３＝—（y１＋y２）＝—２m<0．又点P在C上，所以m＝错误!，从而P错误!，|错误!|＝错误!.于是|错误!|＝错误!＝错误!＝２—错误!.同理|错误!|＝２—错误!.所以|错误!|＋|错误!|＝４—错误!（x１＋x２）＝３．故２|错误!|＝|错误!|＋|错误!|，即|错误!|，|错误!|，|错误!|成等差数列．错误!圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广，但无论证明什么，其常用方法有直接法和转化法，对于转化法，先是对已知条件进行化简，根据化简后的情况，将证明的问题转化为另一问题．（２0２0·江西七校第一次联考）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）经过点M错误!，其离心率为错误!，设直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点．（１）求椭圆C的方程；（２）已知直线l与圆x２＋y２＝错误!相切，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．解：（１）因为e＝错误!＝错误!，a２＝b２＋c２，所以a２＝２b２，所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．因为错误!在椭圆上，所以错误!＋错误!＝１，b２＝１，a２＝２，所以椭圆C的方程为错误!＋y２＝１．（２）证明：因为直线l与圆x２＋y２＝错误!相切，所以错误!＝错误!，即３m２—２k２—２＝0，由错误!得（１＋２k２）x２＋４kmx＋２m２—２＝0，Δ＝１6k２m２—４（１＋２k２）（２m２—２）>0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝—错误!，x１x２＝错误!，所以y１y２＝（kx１＋m）（kx２＋m）＝k２x１x２＋km（x１＋x２）＋m２＝错误!，所以错误!·错误!＝x１x２＋y１y２＝错误!＋错误!＝错误!＝0，所以OA⊥OB.范围问题（师生共研）已知曲线M由抛物线x２＝—y及抛物线x２＝４y组成，直线l：y＝kx—３（k>0）与曲线M 有m（m∈N）个共同点．（１）若m≥３，求k的最小值；（２）若m＝４，自上而下记这４个交点分别为A，B，C，D，求错误!的取值范围．【解】（１）联立x２＝—y与y＝kx—３，得x２＋kx—３＝0，因为Δ１＝k２＋１２>0，所以l与抛物线x２＝—y恒有两个交点．联立x２＝４y与y＝kx—３，得x２—４kx＋１２＝0．因为m≥３，所以Δ２＝１6k２—４8≥0．因为k>0，所以k≥错误!，所以k的最小值为错误!.（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），C（x３，y３），D（x４，y４），则A，B两点在抛物线x２＝４y上，C，D两点在抛物线x２＝—y上，因为x１＋x２＝４k，x１x２＝１２，x３＋x４＝—k，x３x４＝—３，且Δ２＝１6k２—４8>0，k>0，所以k>错误!.所以|AB|＝错误!·错误!，|CD|＝错误!·错误!，所以错误!＝错误!＝４错误!＝４错误!.所以k>错误!，所以0<错误!<１，所以错误!∈（0，４）．错误!求解圆锥曲线中有关参数的取值范围问题，关键是构建与参数有关的不等关系，主要方法有：（１）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；（２）建立已知参数与未知参数之间的等量关系，利用已知参数的范围，求新参数的范围；（３）利用隐含的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；（４）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等式，从而确定参数的取值范围；（５）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．若直线l与椭圆错误!＋x２＝１交于不同的两点M，N，如果线段MN被直线２x＋１＝0平分，求直线l的斜率的取值范围．解：因为直线x＝—错误!与x轴垂直，且由已知得直线l与直线x＝—错误!相交，所以直线l不可能与x轴垂直．设直线l的方程为y＝kx＋m，由错误!得（k２＋9）x２＋２kmx＋m２—9＝0．Δ＝４k２m２—４（k２＋9）（m２—9）>0，即m２—k２—9<0，设M（x１，y１），N（x２，y２），则x１＋x２＝错误!.因为线段MN被直线２x＋１＝0平分，所以２×错误!＋１＝0，即错误!＋１＝0．由错误!得错误!错误!—（k２＋9）<0，因为k２＋9>0，所以错误!—１<0，即k２>３，解得k>错误!或k<—错误!.所以直线l的斜率的取值范围为（—∞，—错误!）∪（错误!，＋∞）．最值问题（师生共研）已知椭圆M：错误!＋错误!＝１（a>0）的一个焦点为F（—１，0），左、右顶点分别为A，B.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（１）当直线l的倾斜角为４５°时，求线段CD的长；（２）记△ABD与△ABC的面积分别为S１和S２，求|S１—S２|的最大值．【解】（１）由题意，c＝１，b２＝３，所以a２＝４，所以椭圆M的方程为错误!＋错误!＝１，易求直线方程为y＝x＋１，联立方程，得错误!消去y，得7x２＋8x—8＝0，Δ＝２88＞0，设C（x１，y１），D（x２，y２），x１＋x２＝—错误!，x１x２＝—错误!，所以|CD|＝错误!|x１—x２|＝错误!错误!＝错误!.（２）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝—１，此时△ABD与△ABC面积相等，|S１—S２|＝0；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k（x＋１）（k≠0），联立方程，得错误!消去y，得（３＋４k２）x２＋8k２x＋４k２—１２＝0，Δ>0，且x１＋x２＝—错误!，x１x２＝错误!，此时|S１—S２|＝２||y２|—|y１||＝２|y２＋y１|＝２|k（x２＋１）＋k（x１＋１）|＝２|k（x１＋x２）＋２k|＝错误!，因为k≠0，上式＝错误!≤错误!＝错误!＝错误!错误!，所以|S１—S２|的最大值为错误!.错误!圆锥曲线中的最值问题常涉及不等式、函数的值域问题，总体上主要有两种方法：（１）几何法利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解．（２）代数法把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数解析式，然后利用函数的思想、不等式的思想等进行求解．（２0２0·河北省九校第二次联考）已知抛物线C：y２＝２px（p>0）的焦点为F，若过点F且斜率为１的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8．（１）求抛物线C的方程；（２）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求错误!·错误!的最小值．解：（１）由题意可知F错误!，则直线MN的方程为y＝x—错误!，代入y２＝２px（p>0）得x２—３px＋错误!＝0，设M（x１，y１），N（x２，y２），则x１＋x２＝３p，因为|MN|＝8，所以x１＋x２＋p＝8，即３p＋p＝8，解得p＝２，所以抛物线C的方程为y２＝４x.（２）设直线l的方程为y＝x＋b，代入y２＝４x，得x２＋（２b—４）x＋b２＝0，因为直线l为抛物线C的切线，所以Δ＝0，解得b＝１，所以l为y＝x＋１．由（１）可知，x１＋x２＝6，x１x２＝１，设P（m，m＋１），则错误!＝（x１—m，y１—（m＋１）），错误!＝（x２—m，y２—（m＋１）），所以错误!·错误!＝（x１—m）（x２—m）＋[y１—（m＋１）][y２—（m＋１）]＝x１x２—m（x１＋x）＋m２＋y１y２—（m＋１）（y１＋y２）＋（m＋１）２，（y１y２）２＝１6x１x２＝１6，２所以y１y２＝—４，y错误!—y错误!＝４（x１—x２），所以y１＋y２＝４×错误!＝４，错误!·错误!＝１—6m＋m２—４—４（m＋１）＋（m＋１）２＝２（m２—４m—３）＝２[（m—２）２—7]≥—１４，当且仅当m＝２，即点P的坐标为（２，３）时，错误!·错误!取得最小值为—１４．[基础题组练]１．过椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的右顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为左焦点F，若错误!<k<错误!，则椭圆离心率的取值范围为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．由题意知B错误!，所以k＝错误!＝错误!＝１—e.又错误!<k<错误!，所以错误!<１—e<错误!，解得错误!<e<错误!.２．已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0），斜率为１的直线与C交于两点A，B，若线段AB的中点为（４，１），则双曲线C的渐近线方程是（）Ａ．２x±y＝0 Ｂ．x±２y＝0Ｃ．错误!x±y＝0 Ｄ．x±错误!y＝0解析：选Ｂ．设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!—错误!＝１１，错误!—错误!＝１２，由１—２得错误!＝错误!，结合题意化简得错误!＝１，即错误!＝错误!，所以双曲线C的渐近线方程为x±２y＝0．３．抛物线C：y２＝２px（p>0）的准线与x轴的交点为M，过点M作C的两条切线，切点分别为P，Q，则∠PMQ＝．解析：由题意得M错误!，设过点M的切线方程为x＝my—错误!，代入y２＝２px得y２—２pmy ＋p２＝0，所以Δ＝４p２m２—４p２＝0，所以m＝±１，则切线斜率k＝±１，所以MQ⊥MP，因此∠PMQ ＝错误!.答案：错误!４．已知椭圆C：错误!＋错误!＝１的右焦点为F，P为椭圆C上一动点，定点A（２，４），则|PA|—|PF|的最小值为．解析：如图，设椭圆的左焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝４，所以|PF|＝４—|PF′|，所以|PA|—|PF|＝|PA|＋|PF′|—４．当且仅当P，A，F′三点共线时，|PA|＋|PF′|取最小值|AF′|＝错误!＝５，所以|PA|—|PF|的最小值为１．答案：１５．（２0２0·长春市质量监测（二））已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F１，F２，设P是椭圆C上一点，满足PF２⊥x轴，|PF２|＝错误!，椭圆C的离心率为错误!.（１）求椭圆C的标准方程；（２）过椭圆C的左焦点且倾斜角为４５°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积．解：（１）由题意知，离心率e＝错误!＝错误!，|PF２|＝错误!＝错误!，得a＝２，b＝１，所以椭圆C的标准方程为错误!＋y２＝１．（２）由条件可知F１（—错误!，0），直线l：y＝x＋错误!，联立直线l和椭圆C的方程，得错误!消去y得５x２＋8错误!x＋8＝0，设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝—错误!，x１·x２＝错误!，所以|y１—y２|＝|x１—x２|＝错误!＝错误!，所以S△AOB＝错误!·|y１—y２|·|OF１|＝错误!.6．设椭圆E的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B 的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|＝２|MA|，直线OM的斜率为错误!.（１）求E的离心率e；（２）设点C的坐标为（0，—b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.解：（１）由题设条件知，点M的坐标为错误!，又k OM＝错误!，从而错误!＝错误!.进而a＝错误!b，c＝错误!＝２b，故e＝错误!＝错误!.（２）证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为错误!，可得错误!＝错误!.又AB＝（—a，b），从而有错误!·错误!＝—错误!a２＋错误!b２＝错误!（５b２—a２）．由（１）的计算结果可知a２＝５b２，所以错误!·错误!＝0，故MN⊥AB.[综合题组练]１．（２0２0·河南阶段性测试）已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）上的点到右焦点F（c，0）的最大距离是错误!＋１，且１，错误!a，４c成等比数列．（１）求椭圆的方程；（２）过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M （m，0），求实数m的取值范围．解：（１）由已知可得错误!解得错误!所以椭圆的方程为错误!＋y２＝１．（２）由题意得F（１，0），设直线AB的方程为y＝k（x—１）．与椭圆方程联立得错误!消去y可得（１＋２k２）x２—４k２x＋２k２—２＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝错误!，y１＋y２＝k（x１＋x２）—２k＝错误!.可得线段AB的中点为N错误!.当k＝0时，直线MN为y轴，此时m＝0．当k≠0时，直线MN的方程为y＋错误!＝—错误!错误!，化简得ky＋x—错误!＝0．令y＝0，得m＝错误!.所以m＝错误!＝错误!∈错误!.综上所述，m的取值范围为错误!.２．（２0２0·广州市综合检测（一））已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y＝错误!x 与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F２，椭圆C的另一个焦点是F１，且错误!·错误!＝错误!.（１）求椭圆C的方程；（２）若直线l过点（—１，0），且与椭圆C交于P，Q两点，求△F２PQ的内切圆面积的最大值．解：（１）设椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），因为点M在直线y＝错误!x上，且点M 在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F２（c，0），所以点M错误!.因为错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!，所以c＝１．所以错误!解得错误!所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．（２）由（１）知，F１（—１，0），过点F１（—１，0）的直线与椭圆C交于P，Q两点，则△F２PQ的周长为４a＝8，又S△F２PQ＝错误!·４a·r（r为△F２PQ的内切圆半径），所以当△F２PQ的面积最大时，其内切圆面积最大．设直线l的方程为x＝ky—１，P（x１，y１），Q（x２，y２），则错误!消去x得（４＋３k２）y２—6ky—9＝0，所以错误!所以S△F２PQ＝错误!·|F１F２|·|y１—y２|＝错误!.令错误!＝t，则t≥１，所以S△F２PQ＝错误!，令f（t）＝３t＋错误!，则f′（t）＝３—错误!，当t∈[１，＋∞）时，f′（t）>0，f（t）＝３t＋错误!在[１，＋∞）上单调递增，所以S△F２PQ＝错误!≤３，当t＝１时取等号，即当k＝0时，△F２PQ的面积取得最大值３，结合S△F２PQ＝错误!·４a·r，得r的最大值为错误!，所以△F２PQ的内切圆面积的最大值为错误!π.。
2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 课时2 范围、最值问题课件 理
课时2 范围、最值问题
内容 索引
题型一 范围问题 题型二 最值问题 思想方法 感悟提高 练出高分
题型一 范围问题
题型一
范围问题
x2 y2 (2015· 天津)已知椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F(－c,0)， 离
例1
2 3 b 心率为 3 ， 点 M 在椭圆上且位于第一象限， 直线 FM 被圆 x2＋y2＝ 4 截
2.圆锥曲线中常见最值问题及解题方法 (1)两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题； ②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相 关的一些问题. (2)两种常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征 及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论 能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的 最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.
2 2
由 FM＝
c＋c
2
x y 解得 c＝1，所以椭圆的方程为 3 ＋ 2 ＝1.
解析答案
2 3 4 3 2 ＋ c－0 ＝ 3 . 3 2 2
思维升华
解析答案
跟踪训练1
解
x2 y2 设双曲线 C 的方程为a2－b2＝1(a>0，b>0).
x2 2 ∴双曲线 C 的方程为 3 －y ＝1.
解析答案
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失误与防范
1.求范围问题要注意变量自身的范围. 2.利用几何意义求最值时，要注意“ 相切”与 “公共点唯一 ”的不等价 关系.注意特殊关系，特殊位置的应用.
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练出高分
1
2
3
4
5
高考数学一轮复习 第9章 解析几何 专题研究2 圆锥曲线中的最值与范围问题课件 理
故(y0－m)2＋(x0＋1)2＝(y0－m)2＋2m(y0－m)(x0＋1)＋m2(x0 ＋1)2.
易知x0>1，上式化简得，(x0－1)m2＋2y0m－(x0＋1)＝0. 同理，有(x0－1)n2＋2y0n－(x0＋1)＝0. ∴m，n是关于t的方程(x0－1)t2＋2y0t－(x0＋1)＝0的两根． ∴m＋n＝－x0－2y10，mn＝－（x0x－0＋11）.
相减可得(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0， 由题意可得kOM＝kOP＝12，即为yx11＋＋yx22＝12， 可得直线AB的斜率yx11－－yx22＝－2（xy11＋＋xy22）＝－12×2＝－1.
12/11/2021
②设直线 AB 的方程为 y＝－x＋t，代入椭圆方程可得 3x2－
(1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 P 作互相垂直的两条直线 l1，l2，且 l1 交椭圆 C 于 A， B 两点，直线 l2 交圆 Q 于 C，D 两点，且 M 为 CD 的中点，求△MAB 的面积的取值范围．
12/11/2021
【解析】 (1)因为椭圆 C 的右焦点 F(c，0)，|PF|＝ 6， ∴c＝2， 圆 Q：(x－2)2＋(y－ 2)2＝2 的圆心(2， 2)， ∴(2， 2)在椭圆 C 上，代入椭圆xa22＋yb22＝1， ∴a42＋b22＝1， 由 a2－b2＝4，解得 a2＝8，b2＝4， 所以椭圆 C 的方程为x82＋y42＝1.
l1 l2
＋
l2 l1
的最大
值．
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【解析】 (1)由题意可得此正三角形的另外两个顶点为 (±4 3 ，12)，代入抛物线方程可得(±4 3 )2＝2p×12，解得p＝ 2.∴抛物线方程为x2＝4y.