最新苏科版七年级上册数学 有理数单元测试题(Word版 含解析)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）
1．如图，在数轴上每相邻两点间的距离为一个单位长度，点、、、对应的数分别是，且 .
（1）那么 ________， ________：
（2）点以个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，秒后点以个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，当点到达点处立刻返回，与点在数轴的某点处相遇，求这个点对应的数；
（3）如果、两点以（2）中的速度同时向数轴的负方向运动，点从图上的位置出发
也向数轴的负方向运动，且始终保持，当点运动到时，点对应的数是多少？
【答案】（1）-6；-8
（2）解：由（1）可知：，，，，
点运动到点所花的时间为，
设运动的时间为秒，
则对应的数为，
对应的数为： .
当、两点相遇时，，，
∴ .
答：这个点对应的数为；
（3）解：设运动的时间为
对应的数为：
对应的数为：
∴
∵
∴
∵对应的数为
∴
①当，；
②当，，不符合实际情况，
∴
∴
答：点对应的数为
【解析】【解答】解：（1）由图可知：，
∵，
∴，
解得，
则；
【分析】（1）由a、d在数轴上的位置可得d=a+8，代入已知的等式可求得a的值，再根据数轴可确定原点的位置；
（2）根据相遇问题可求得相遇时间，然后结合题意可求解；
（3）根据AB=AC列方程，解含绝对值的方程可求解.
2．如图，数轴的单位长度为1.
（1）如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中点A、点D表示的数分别是________、________；
（2）当点B为原点时，在数轴上是否存在点M，使得点M到点A的距离是点M到点D 的距离的2倍，若存在，请求出此时点M所表示的数；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，点A、点C分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度同时向右运动，同时点P从原点出发以3个单位长度/秒的速度向左运动，当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？
【答案】（1）-4；2
（2）解：存在，如图：
当点M在A，D之间时，设M表示的数为x，则x﹣（﹣2）=2（4﹣x）
解得：x=2，当点M在A，D右侧时，则x﹣（﹣2）=2（x﹣4），解得：x=10，所以点M 所表示的数为2或10
（3）解：设当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，运动时间为t，A点运动到：﹣2+2t，C点运动到：3+0.5t，①﹣2+2t﹣（3+0.5t）=3，解得：t=6，所以P点对应运动的单位长度为：3×6=18，所以点P表示的数为﹣18.
②3+0.5t﹣（﹣2+2t）=3，解得：t= ，所以P点对应运动的单位长度为：3× =4，所以点P表示的数为﹣4.
答：点P表示的数为﹣18或﹣4.
【解析】【解答】解：（1）∵点B，D表示的数互为相反数，∴点B为﹣2，D为2，∴点A为﹣4，
故答案为：﹣4，2；
【分析】（1）由数轴上表示的互为相反数的两个数，分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等得出BD的中点就是原点，进而即可得出点A,C所表示的数；
（2）存在，如图：分类讨论：当点M在A，D之间时，设M表示的数为x ，则AM=x-（-2），DM=4-x，根据AM=2DM列出方程，求解即可；当点M在A，D右侧时，AM=x-（-2），DM=x-4，根据AM=2DM列出方程，求解即可；
（3）设当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，运动时间为t，A点运动到：﹣2+2t，C点运动到：3+0.5t，① 追击前根据两点间的距离公式列出方程3+0.5t﹣（﹣2+2t）=3 求解算出t的值，进而根据即可算出点P所表示的数；② 追击后根据两点间的距离公式列出方程﹣2+2t﹣（3+0.5t）=3求解算出t的值，进而根据即可算出点P所表示的数，综上所述即可得出答案。
3．已知，如图A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数为－20，点B对应的数为120.
（1）请写出线段AB的中点C对应的数.
（2）点P从点B出发，以3个单位/秒的速度向左运动，同时点Q从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，当点P、Q重合时对应的数是多少？
（3）在(2)的条件下，P、Q两点运动多长时间相距50个单位长度？
【答案】（1）解：AB=120-（-20）=140，则BC=70
C点对应的数是50.
（2）解：设P、Q运动时间为t，则BP=3t，AQ=2t
当点P、Q重合时，则BP+AQ=140
即：3t+2t=140，解得：t=28
所以AP=56
点P、Q重合时对应的数为56-20=36
（3）解：分两种情况，①当P、Q相遇之前，BP+AQ=140-50，
即3t+2t=140-50，解得：t=18
②当P、Q相遇之后，BP+AQ=140+50，
即3t+2t=140+50，解得：t=38
当P、Q两点运动18秒或38秒时，P、Q相距50个单位长度.
【解析】【分析】（1）先求出AB的长度，即可求出线段BC，再确定C在数轴上表示的数即可；（2）设P、Q运动时间为t，则BP=3t，AQ=2t，根据题意可知BP+AQ=140，即3t+2t=140，进而求得t的值，即可表示P、Q重合点的对应数.（3）分两种情况，①当P、Q相遇之前，BP+AQ=140-50；②当P、Q相遇之后，BP+AQ=140+50，
分别求出t的值，即可解决问题.
4．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且表示数a的点，数b的点与原点的距离相等。
（1）用“>”“<”或”=”填空：b________0，a+b________0，a-c________0 ，b-c________0 （2）|b-1|+|a-1|=________；
（3）化简：|a+b|+|a-c|-|b|+|b-c|。
【答案】（1）<；=；>；<
（2）a-b
（3）解：∵a+b=0，a＞c，b＜c，
∴原式=0+a-c-（-b）+c-b
=a.
【解析】【解答】解：（1）b＜0
∵表示数a的点，数b的点与原点的距离相等，
∴a+b=0；
∵a＞c，
∴a-c＞0；
∵b＜c，
∴b-c＜0.
故答案为：＜、=、＞、＜.
（2）∵b＜1，a＞1
∴b-1＜0，a-1＞0，
∴|b-1|+|a-1|=1-b+a-1=a-b；
故答案为：a-b；
【分析】（1）观察数轴可知b＜0，a与b互为相反数，a＞c，b＜c，由此可得答案。（2）观察数轴可知b＜1，a＞1，从而可判断出b-1，a-1的符号，然后化简绝对值，合并即可。
（3）由a+b=0，a＞c，b＜c，再化简绝对值，然后合并同类项。
5．点P，Q在数轴上分别表示的数分别为p，q，我们把p，q之差的绝对值叫做点P，Q之间的距离，即．如图，在数轴上，点A，B，O，C，D的位
置如图所示，则；；
．请探索下列问题：
（1）计算 ________，它表示哪两个点之间的距离？ ________
（2）点M为数轴上一点，它所表示的数为x，用含x的式子表示PB=________；当PB=2时，x=________；当x=________时，|x+4|+|x-1|+|x-3|的值最小．
（3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2018|+|x-2019|的最小值为________．
【答案】（1）5；A与C
（2）x+2
；-4或0
；1
（3）1019090
【解析】【解答】解：（1）|1?（?4）|＝|1＋4|＝|5|＝5，|1?（?4）|表示点A与C之间的距离，
故答案为：5，点A与C；（2）∵点P为数轴上一点，它所表示的数为x，点B表示的数为?2，
∴PB＝|x?（?2）|＝|x＋2|，
当PB＝2时，|x＋2|＝2，得x＝0或x＝?4，
当x≤?4时，|x＋4|＋|x?1|＋|x?3|＝?x?4＋1?x＋3?x＝?x≥4；
当?4＜x＜1时，|x＋4|＋|x?1|＋|x?3|＝x＋4＋1?x＋3?x＝8?x，
当1≤x≤3时，|x＋4|＋|x?1|＋|x?3|＝x＋4＋x?1＋3?x＝6＋x，
当x＞3时，|x＋4|＋|x?1|＋|x?3|＝x＋4＋x?1＋x?3＝3x＞9，
∴当x＝1时，|x＋4|＋|x?1|＋|x?3|有最小值；
故答案为：|x＋2|；?4或0；1（3）|x?1|＋|x?2019|≥|1?2019|＝2018，
当且仅当1≤x≤2019时，|x?1|＋|x?2019|＝2018，
当且仅当2≤x≤2018时，|x?2|＋|x?2018|≥|2?2018|＝2016，
…
同理，当且仅当1009≤x≤1011时，|x?1009|＋|x?1011|≥|1009?1011|＝2，
|x?1010|≥0，当x＝1010时，|x?1010|＝0，
∴|x?1|＋|x?2|＋|x?3|＋…＋|x?2018|＋|x?2019|≥0＋2＋4＋…＋2018＝1019090，
∴|x?1|＋|x?2|＋|x?3|＋…＋|x?2018|＋|x?2019|的最小值为1019090；
故答案为1019090．
【分析】（1）由所给信息，结合绝对值的性质可求；（2）由绝对值的性质，分段去掉绝对值符号，在不同的x范围内确定|x＋4|＋|x?1|＋|x?3|的最小值；（3）由所给式子的对称性，结合绝对值的性质，将所求绝对值式子转化为求0＋2＋4＋…＋2018的和．
6．已知多项式，次数是b，3a与b互为相反数，在数轴上，点A
表示数a，点B表示数b.
（1）数轴上A、B之间的距离记作，定义：设点C在数轴上对应的数为x，当时，直接写出x的值.
（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度按照如此规律不断地左右运动，当运动了2019次时，求点P所对应的有理数.
（3）若小蚂蚁甲从点A处以1个单位长度秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以2单位长度秒的速度也向左运动，一同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t. 【答案】（1）解：由多项式的次数是6可知，又3a和b互为相反数，故 .
当C在A左侧时，，
，；
在A和B之间时，，
点C不存在；
点C在B点右侧时，，
，
；
故答案为：或8.
（2）解：依题意得：
.
点P对应的有理数为 .
（3）解：甲、乙两小蚂蚁均向左运动，即时，此时，，
，
解得，；
甲向左运动，乙向右运动时，即时，
此时，，
依题意得，，
解得， .
答：甲、乙两小蚂蚁到原点的距离相等时经历的时间是秒或8秒
【解析】【分析】（1）根据题意可得a＝?2，b＝6；然后分当C在A左侧时，在A和B之间时，点C在B点右侧时，三种情况用x表示出|CA|和|CB|的长度，利用“|CA|＋|CB|＝12”列出方程即可求出答案；
（2）向左运动记为负，向右运动记为正，由点P所表示的数依次加上每次运动的距离列出算式，进而根据有理数加减法法则算出答案；
（3）分甲、乙两小蚂蚁均向左运动，即时，甲向左运动，乙向右运动时，即时两种情况，根据到原点距离相等列出方程求解即可．
7．如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A表示的数为－12，点B表示的数为8，点C为线段AB的中点．
（1）数轴上点C表示的数是________；
（2）点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当P、Q相遇时，两点都停止运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
①当t为何值时，点O恰好是PQ的中点；
②当t为何值时，点P、Q、C三个点中恰好有一个点是以另外两个点为端点的线段的三等分点（三等分点是把一条线段平均分成三等分的点）．（直接写出结果）
【答案】（1）-2
（2）解：①设t秒后点O恰好是PQ的中点．
根据题意t秒后，点
由题意，得-12+2t=-（8-t）
解得，t=4；
即4秒时，点O恰好是PQ的中点．
②当点C为PQ的三等分点时PC=2QC或QC=2PC，
∵PC=10-2t，QC=10-t，
所以10-2t=2（10-t）或10-t=2（10-2t）
解得t= ；
当点P为CQ的三等分点时（t＞4）PC=2QP或QP=2PC
∵PC=-10+2t，PQ=20-3t
∴-10+2t=2（20-3t）或20-3t=2（-10+2t）
解得t= 或t= ；
当点Q为CP的三等分点时PQ=2CQ或QC=2PQ
∵当P、Q相遇时，两点都停止运动
∴此情况不成立．
综上，t= 秒时，三个点中恰好有一个点是以另外两个点为端点的线段的三等分点【解析】【解答】（1）解：∵点A表示的数为－12，点B表示的数为8，点C为线段AB 的中点．
∴点C表示的数为：
故答案为：-2
【分析】（1）利用中点公式计算即可；（2）①用t表示OP，OQ，根据OP=OQ列方程求解；②分别以P、Q、C为三等分点，分类讨论．
8．如图，在数轴上A点表示的数是-8，B点表示的数是2。动线段CD=4（点D在点C的右侧），从点C与点A重合的位置出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t 秒。
（1）①已知点C表示的数是-6，试求点D表示的数；
②用含有t的代数式表示点D表示的数。
（2）当AC=2BD时，求t的值。
（3）试问当线段CD在什么位置时，AD+BC或AD-BC的值始终保持不变?请求出它的值并说明此时线段CD的位置。
【答案】（1）解：①∵点C表示的数是-6，CD=4且点C在点A的右边
∴点D表示的数为-6+4=-2；
②∵从点C与点A重合的位置出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t秒。∴点C表示的数为-8+2t，
∵CD=4
∴点D表示的数为：-8+2t+4=-4+2t;
（2）解：∵运动t秒后，点C表示的数为-8+2t，点D对应的数为-4+2t，
∵AC=2BD，点B表示的数为2，点A表示的数为-8
∴-8+2t-（-8）=2|-4+2t-2|
∴t=-6+2t或t=6-2t
解之：t=6或2；
（3）解：①当线段CD在线段AB上时(图1)或当点B在线段CD内时(图2)
AD+BC的值保持不变，且AD+BC=AB+CD=14
②当线段CD在点B的右侧时(图3)
ADBC的值保持不变，且ADBC=AC+CDBC=AB+CD=14
【解析】【分析】（1）①由点C表示的数及CD的长及点C在点A的右边，就可求出点D 表示的数；②根据线段的运动方向及运动速度，可得到点C表示的数为-8+2t，再由CD的
长，就可用含t的代数式表示出点D表示的数。
（2）求出运动t秒后点C和点D表示的数，再根据AC=2BD，建立关于t的方程，解方程求出t的值。
（3）分情况讨论：当线段CD在线段AB上时(图1)或当点B在线段CD内时(图2) ；当线段CD在点B的右侧时(图3)，分别利用绝对值的性质及两点间的距离公式就可求出AB+CD的值。
9．（1）阅读下面材料：
点、在数轴上分别表示实数，，、两点之间的距高表示为
当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，
；
当、都不在原点时，
①如图2，点、都在原点的右侧，
；
②如图3，点、都在原点的左侧，
；
③如图4，点、在原点的两侧，
；
（1）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点间的距离是________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________；
②数轴上表示和-1的两点和之间的距离是________，如果，那么为________；
③当代数式取最小值时，相应的的取值范围是________；
④求的最小值，提示：
.
【答案】（1）3；3；4；；1或-3；-1≤x≤2；解：④.④由③可知，要使
最小，则在1和2015之间即可，要使最小，则在2和2014之间即可…… 以此类推，要使最小，则在1007和1009之间即可，最后还剩余最小时，取即可，当时，原式
【解析】【解答】解：①表示2和5的两点间的距离为，
表示-2和-5的两点之间的距离为，
表示1和-3的两点之间的距离为；
②表示和-1的两点和之间的距离为，
若，则，∴，∴或
③ ，是到的距离，表示到的距离，当在
和2之间时，距离之和最小，∴取最小值时，相应的的取值范围是
【分析】①根据（1）中的两点间距离公式可求答案；②根据（1）中的两点间距离公式列出方程求解；③根据线段上的点到两端的距离之和最小可得结果；④根据线段上的点到两端的距离之和最小列出算式计算即可；
10．同学们都知道，|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值,实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离.试探索：
（1）求|5－(－2)|=________.
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7这样的整数是________.
（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x－3|+|x－6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由.
【答案】（1）7
（2）-5，-4，-3，-2，-1, 0, 1, 2
（3）解：|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3.理由如下：
当x＞6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3；
当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3；
当x＜3时，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3.
故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3
【解析】【解答】（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7.
故答案为：7；（2）当x＞2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得：x＝2与x＞2矛盾，故此种情况不存在；
当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，故﹣5≤x≤2时，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，故使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整数是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；
当x＜﹣5时，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x+3＝7，得x＝﹣5与x＜﹣5矛盾，故此种情况不存在.
故答案为：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；
【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值可以解答本题；（2）利用分类讨论的数学思想可以解答本题；（3）根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题.
11．如图，点、、是数轴上三点，点表示的数为，， .
（1）写出数轴上点、表示的数：________，________.
（2）动点，同时从，出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以个单位长度的速度沿数向左匀速运动，设运动时间为秒.
①求数轴上点，表示的数（用含的式子表示）；
② 为何值时，点，相距个单位长度.
【答案】（1）2
；-10
（2）解：①根据题意得，点表示的数为，点表示的数为 .
②当点、相距个单位长度时，
若P在Q的左侧，则，解得；
若P在Q的右侧，则，解得，
所以的值为或
【解析】【解答】（）因为，所以表示的数为，
因为，所以表示的数为 .
【分析】（1）根据BC，AB的长和点B，A在数轴上的位置，可得到点B，A表示的数；（2）①点P表示的数比-10大4t，点Q表示的数比C小2t；②需要分两种情况讨论：若P在Q的左侧，PQ=6；若P在Q的右侧，PQ=6.
12．大家知道，它在数轴上表示5的点与原点(即表示0的点)之间的距离.又如式子 ,它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离.即点A、B在数轴上分别表示数a、b,则A、B两点的距离可表示为:|AB|= .根据
以上信息，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________.
（2）点A、B在数轴上分别表示实数x和-1.
①用代数式表示A、B两点之间的距；
②如果 ,求x的值.
（3）直接写出代数式的最小值.
【答案】（1）3；3
（2）解：①|AB|＝|x－(－1)|＝|x＋1|，②如果|AB|＝2,则|x＋1|＝2,x＋1＝2或x＋1＝－2,解得x＝1或x＝－3.
（3）解：∵代数式|x＋1|＋|x－4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和－1所对应的两点距离之和,∴当－1≤x≤4时，代数式|x＋1|＋|x－4|的最小值是:|4－(－1)|＝5.
【解析】【解答】解：(1)数轴.上表示2和5的两点之间的距离是:|5－2|＝3;数轴_上表示－2和－5的两点之间的距离是:｜(－2)－(－5)｜＝|－2＋5|＝ |3|＝3.
【分析】(1)根据题意，可得数轴上表示2和5的两点之间的距离是:|5－2|＝3 ;数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是:|(－2)－(－5)|＝3；(2)①根据点A、B在数轴上分别表示实数x和－1,可得表示A、B两点之间的距离是：|x－(－1)|＝|x＋1|；②如果|AB|＝2,则|x＋1|＝2 ,据此求出x的值是多少即可.(3)根据题意,可得代数式|x＋1|＋|x－4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和－1所对应的两点距离之和，所以当－1≤x≤4时，代数式|x＋1|＋|x－4|的最小值是表示4的点与表示－1的点之间的距离,即代数式|x＋1|＋|x－4|的最小值是5.