高数(一)微积分第1章

第一章函数及其图形
1.1 预备知识
一、基本概念
1.集合
具有某种特定性质的事物的总体。

组成这个集合的事物称为该集合的元素。

2.包含关系
集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A。

若X A，则必x B，就说A是B的子集，记作A B
数集分类：
N----自然数集
Z----整数集
Q----有理数集
R----实数集
数集间的关系：
N Z,Z Q,Q R.
3.相等关系
若A B，且B A，就称集合A与B相等。

记作（A＝B）
例1 则A＝C.
4.空集
不含任何元素的集合称为空集（记作）。

规定空集为任何集合的子集。

例2
5.集合之间的运算
1)并：由中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A B
例3
例4
2）交：由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为A B
例5
例6
3）差：由A中不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记为A-B
例7
二、绝对值
1.绝对值的定义：
2.绝对值的性质：
（1），当且仅当a＝0时，
（2）
（3）
（4）
3.绝对值的几何意义：
（1）表示数轴上的点x与原点之间的距离为a。

（2）表示数轴上的两点x与y之间的距离为a。

4.绝对值不等式：
k>0时，则有
k>0时，则有
例8 ，求x的值。

答案：x=±5
5.绝对值的运算性质：
例9 化去下列各式绝对值的符号：
（1）
（2）
（3）
（4）
例10 解下列含有绝对值符号的不等式：
（1）
（2）
（3）
三、区间
是指介于某两个实数之间的全体实数，这两个实数叫做区间的端点。

以上区间都叫有限区间
这两种形式的区间叫无限区间
区间长度的定义：
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
四、邻域
设a与是两个实数，且>0，数集称为点a的邻域，记作U(a)。

点a叫做这个邻域的中心，叫做这个邻域的半径。

点a的去心邻域，记作。

区间与邻域的关系：
例11 解不等式并用区间表示不等式的解集：
（1）
（2）
1.2 函数
一、函数的概念
1.定义
设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于每个x∈D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作
数集D叫做这个函数的定义域，当时，称为函数在点处的函数值。

函数值全体组成的数集
称为函数的值域。

2.函数的两要素：定义域与对应法则。

约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。

例1、
例2、
例3、判断下列两个函数是否相等
例4、求函数的定义域
例5、符号函数
3.分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数。

例6、
例7、求下面分段函数定义域并画出图形。

例8、将下面函数化为分段函数
二、函数的表示法
1.图象法
2.表格法
3.解析法
1.3 函数的特性
一、函数的有界性
若有成立，则称函数f（x）在X上有界，否则称无界。

例9、判断下面函数在其定义域是否有界
（1）符号函数y＝sgnx
（2）y＝x2
2.函数的单调性：
设函数f（x）的定义域为D，区间I∈D，
如果对于区间I上任意两点及当时，
恒有则称函数f（x）在区间I上是单调增加的；
设函数f（x）的定义域为D，区间I∈D,如果对于区间I上任意两点及，当
时，恒有则称函数f（x）在区间I上是单调减少的。

例10、求y＝x2的单调性
例11、求y＝sinx的单调性
3.函数的奇偶性：
设D关于原点对称，对于，有称f（x）为偶函数；
设D关于原点对称，对于，有f（-x）=-f（x）称f（x）为奇函数。

4.函数的周期性：
设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一
则称f（x）为周期函数，l称为f（x）的周期，且恒成立（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）。

例12、判断下列函数是否有界
（1）
（2）y＝cosx
例13、判断下面函数的奇偶性
（1）
（2）
例14、判断函数是否是周期函数，如果是，则求出最小正周期。

1.4 反函数
直接函数与反函数的图形关于直线y=x对称。

1.5 复合函数
1．复合函数
定义：设函数y=f（u）的定义域D f, 而函数的值域为, 若, 则
称函数为x的复合函数。

x←自变量，u←中间变量，y←因变量；
注意:
1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的；
例如：
不能符合成
2.复合函数可以由两个及以上的函数经过复合构成。

例如：
这个函数是由复合而成。

例1.分解复合函数（1）
（2）
例2.复合函数的计算（1）
（2）
（3）
（4）
1.6 初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算和函数的复合运算所得到的函数,称为初等函数。

基本初等函数：常值函数、指数函数、三角函数、幂函数、反三角函数、对数函数（1）常值函数
如果当自变量在函数定义域中任意变化时，函数值f（x）恒等于一个常数C，即
f（x）= C，x∈D(f)，则称这个函数为常值函数。

（2）指数函数
形如f(x)=αx (-∞＜x＜+∞)的函数称为指数函数。

其中底数α＞0，α≠1
性质：
①当α＞1时，函数y=a x单调增加；
②当0＜α＜1时，函数y=a x单调减少；
③指数函数经过点（0，1），指数函数值大于0；
④对于a＞0,x,y为实数，
我们规定：
运算法则：
要求：指数函数通过掌握的图形，掌握指数函数的性质。

（3）三角函数
有sinx,cosx,tanx,cotx,secx和cscx，它们都是周期函数。

① 正弦函数y=sinx
图1.32
② 余弦函数y=cosx
图1.33
③ 正切函数y=tanx
图1.34
④ 余切函数y=cotx
图1.35
要求：周期性、奇偶性、三角公式、特殊角的三角函数值。

同角三角函数基本关系式
①倒数关系：
②商的关系
③平方关系
两角和的正弦、余弦、正切公式
两角差的正弦、余弦、正切公式
倍角公式
降幂公式
积化和差公式
例3：利用降幂公式，将下列各式变形
（1）
（2）
（3）
特殊角的三角函数值
例1.已知一个三角函数值，求其他的三角函数值。

（1）已知tanx=3求其他的三角函数值
（2）已知secx=5，求其他的三角函数值。

（4）幂函数
形如f(x)=xα的函数为幂函数，其中α为任意常数。

要求：掌握常用的幂函数：y=x；y=x2；y=x3；的图形，性质。

性质：
α为正整数时，幂函数的定义域是（-∞，+∞）；
α为负整数时，幂函数的定义域是（-∞0）∪（0，+∞）；对任意实数α，曲线y=xα都通过平面上的点（1，1）；
α为偶数时，f(x)=xα为偶函数；
α为奇数时，f(x)=xα为奇函数；
α＞0时，f(x)=xα在（0，+∞）单调增加；
α＜0时，f(x)=xα在（0，+∞）单调减少。

幂函数：y=xμ（μ是常数）
（5）反三角函数
①反正弦函数：y=arcsinx，x∈[-1,1]
②反余弦函数：y=arccosx x∈[-1,1]
③反正切函数：y=arctαnx x∈（-∞，+∞）
要求：明白反三角函数的三个含义及定义域。

它是一个角。

范围。

满足什么样的性质？有一个值求出一个角
例2.计算
（1）；
答案：
（2）；
答案：
（3）；
（4）；
（5）
例3.已知，求x的取值范围。

（6）对数函数：
对数函数的定义域是（0，+∞）；
常见的对数函数y=lg x及y=ln x
当α＞1时，y=logαx在定义域内是单调增加的；
当0＜α＜1时，y=logαx在定义域内是单调减少的。

对数函数
对数函数有下列性质：设a,b,c,x,y为任意正数，（α≠1，c≠1），α为任意实数
①；
②；
③；
④；⑤。

（7）幂指函数。