绳杆相关联物体的速度求解
高中物理专题关联速度
高中物理专题关联速度关联速度是指用绳、杆相连的物体，在运动过程中，其两个物体的速度通常不同，但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等，即连个物体有关联的速度。
解此类题的思路有两个：明确合运动即物体的实际运动速度和明确分运动，一般情况下，分运动表现在沿绳方向的伸长或收缩运动和垂直于绳方向的旋转运动。
解题的原则是速度的合成遵循平行四边形定则。
解题方法是把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解。
典例1描述了一个人以恒定速度v通过定滑轮竖直向下拉小车在水平面上运动的情形。
当细绳与水平面成60°角时，小车在水平面上做加速运动。
典例2描述了一个均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦。
当杆滑到某个位置时，B球水平速度为vB加速度为aB杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小。
根据公式，vAvBtanα，aAaBtanα。
专练提升中，问题1描述了一个人在岸上拉船的情形。
已知船的质量为m，水的阻力恒为Ff，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则人拉绳行走的速度为v/cosθ。
问题2描述了一个用一小车通过轻绳提升一货物的情形。
某一时刻，两段绳恰好垂直，且拴在小车一端的绳与水平方向的夹角为θ，此时货物的速度为v/sinθ。
问题3描述了两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上的情形。
若A车以速度v向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B车的速度为v(sinα+sinβ)。
最后一个问题描述了水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A。
另一竖直杆B以速度v水平向左匀速直线运动，则从两杆开始相交到最后分离的过程中，两杆交点P的速度方向和大小分别为沿A杆向上，大小为v/cosθ。
5.一根长度为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图4-7所示。
假设物块与地面的摩擦不计，求当物块以速度v向右运动时，小球A的线速度vA（此时杆与水平方向夹角为θ）。
关联速度的问题
关联速度的问题【专题概述】1、什么就是关联速度:用绳、杆相连的物体,在运动过程中,其两个物体的速度通常不同,但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等,即连个物体有关联的速度。
2、解此类题的思路:思路(1)明确合运动即物体的实际运动速度(2)明确分运动:一般情况下,分运动表现在:①沿绳方向的伸长或收缩运动;②垂直于绳方向的旋转运动。
解题的原则:速度的合成遵循平行四边形定则3、解题方法:把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)与平行于绳(杆)两个分量,根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。
常见的模型如图所示【典例精讲】1、绳关联物体速度的分解典例1(多选) 如图,一人以恒定速度v0通过定滑轮竖直向下拉小车在水平面上运动,当运动到如图位置时,细绳与水平成60°角,则此时( )A.小车运动的速度为v0B.小车运动的速度为2v0C.小车在水平面上做加速运动D.小车在水平面上做减速运动2、杆关联物体的速度的分解典例2如图所示,水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A.另一竖直杆B以速度v水平向左匀速直线运动,则从两杆开始相交到最后分离的过程中,两杆交点P的速度方向与大小分别为( )A. 水平向左,大小为vB. 竖直向上,大小为vtanθC. 沿A杆向上,大小为v/cosθD. 沿A杆向上,大小为vcosθ3、关联物体的动力学问题典例3 (多选)如图所示,轻质不可伸长的细绳绕过光滑定滑轮C与质量为m的物体A连接,A放在倾角为 的光滑斜面上,绳的另一端与套在固定竖直杆上的物体B连接.现BC连线恰沿水平方向,从当前位置开始B以速度v0匀速下滑.设绳子的张力为F T,在此后的运动过程中,下列说法正确的就是( )A. 物体A做加速运动B. 物体A做匀速运动C. F T可能小于mgsinθD. F T一定大于mgsinθ【总结提升】有关联速度的问题,我们在处理的时候主要区分清楚那个就是合速度,那个就是分速度,我们只要把握住把没有沿绳子方向的速度向绳方向与垂直于绳的方向分解就可以了,最长见的的有下面几种情况情况一:从运动情况来瞧:A的运动就是沿绳子方向的,所以不需要分解A的速度,但就是B运动的方向没有沿绳子,所以就需要分解B的速度,然后根据两者在绳子方向的速度相等来求解两者之间的速度关系。
运动的合成与分解——“关联”速度问题
运动的合成与分解——“关联”速度问题●问题概述：绳、杆等有长度的物体,在运动过程中,其两端点的速度通常是不一样的,但两端点的速度是有联系的,称之为“关联”速度。
关联速度的关系——沿杆(或绳)方向的速度分量大小相等。
●关键点：1.绳子末端运动速度的分解,应按运动的实际效果进行。
2.速度投影定理:不可伸长的杆(或绳),尽管各点速度不同,但各点速度沿绳方向的投影相同。
●例题：如图所示,人用绳子通过定滑轮拉物体A,当人以速度v0匀速前进时,物体A将做( )A.匀速运动B.加速运动B.C.匀加速运动 D.减速运动解题探究:①物体A的运动有两个运动效果,分别是什么?②将该物体的速度沿哪两个方向分解?●规律总结求解绳(杆)拉物体运动的合成与分解问题的思路和方法:①先明确合运动的方向：物体的实际运动方向②然后弄清运动的实际效果：沿绳或者杆的伸缩效果；使绳子或者杆转动的效果。
③再确定两个分运动的方向：沿着绳子（杆）、垂直于绳子（杆）●常见的模型●巩固练习1、如图所示，人以水平速度v跨过定滑轮匀速拉动绳子，当拉小车的绳子与水平地面的夹角为β时，小车沿水平地面运动的速度为( )A．V B.vcosβC.vsinβD．v cosβ2、如图所示，纤绳以恒定速率v1沿水平方向通过定滑轮牵引小船靠向岸边，设小船速度为v2，则小船靠岸过程的运动情况是( )A．加速靠岸，v2＞v1 B．加速靠岸，v2＜v1C．减速靠岸，v2＞v1 D．匀速靠岸，v2＜v13、两根光滑的杆互相垂直地固定在一起,上面分别穿有一个小球,小球a、b间用一细直棒相连,如图所示。
当细直棒与竖直杆夹角为θ时,两小球实际速度大小之比为( )A.sinθB.cosθC.tanθD.cotθ4、如图所示，物体A以速度v沿杆匀速下滑，A用细绳通过定滑轮拉物体B，当绳与水平夹角为θ时，B的速度为（）A．v cosθ B．v sinθC．v/cosθ D．v/sinθ5、（不定项）如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的小车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若小车和被吊的物体在同一时刻速度分别为1v 和2v ，绳子对物体的拉力为T ，物体所受重力为G ，则下面说法正确的是( )A ．物体做匀速运动，且v 1=v 2B ．B ．物体做加速运动，且v 1>v 2C ．物体做加速运动，且T>GD ．物体做匀速运动，且T ＝G6、如图所示，套在竖直细杆上的环A 由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B 相连。
用绳子或杆连接的两个物体的速度关系： Microsoft Office Word 文档
荥阳二高---陈玉东 要想弄明白这个问题，首先要清楚一个特点，即“高中物理中所讲到的绳（伸直状态下）或杆的长度是不会变化的”。
首先，我们看下面的三幅图。
在上面的三幅图中，箭头的方向即物体的运动方向。
由于连接AB 的绳子或杆的长度不会变化，所以在沿着绳子的方向上A 、B 两物体在任意时间内所运动的距离都相等，所以，V A ＝V B 。
在图４中，A 物体的速度方向与绳子在一条线上，但是，B 物体沿水平面运动时，它的速度方向与绳子就不在一条线上。
如果B 物体从１位置运动到２位置时，B 沿水平面运动的距离与绳子向左上方收缩的长度并不相等。
从图５中可以看得更清楚。
在图５中，AC̅̅̅̅的长度是物体在１位置时滑轮右侧的绳子长度，BC̅̅̅̅是物体在２位置时滑轮右侧的绳子长度。
若取CD ̅̅̅̅＝BC ̅̅̅̅，则AB̅̅̅̅的长度是物体B 沿水平面向左运动的距离，DA̅̅̅̅的长度为绳子向 左上方收缩的长度，也等于A 物体向左运动的距离。
如果我们研究的时间段无限短，则θ角将无限小，此时，∠CDB ＝∠ＣＢＤ≈９００，故∆ABD 可以视为直角三角形，∠A ＤB ＝９００，且AD ̅̅̅̅＝AB̅̅̅̅cos α， 在相同的时间内物体A 向左运动的距离在数值上等于AD̅̅̅̅。
由于ＶＡ＝ＡＤ̅̅̅̅̅̅ｔ ， V B ＝AB̅̅̅̅ｔ所以，V A ＝V B cos α。
简而言之：与B 物体相连的绳子既有沿绳向左上方收缩的效果，也有向左绕滑轮转运的效果。
所以，可以把B 物体的实际速度作为合速度进行分解，分别分解到沿着绳子和垂直于绳子两个方向上。
而且，沿着绳子方向的两个分速度是相等的。
例如，图７中A、B两个物体的速度均不沿绳子方向，我们就将两个物体的实际速度都按上面的方法进行分解。
分别是：沿着绳子方向和垂直于绳子方向(如图8)，根据沿绳子方向的分速度相等，即可得到如下关系：V A cosα=V B cosβ。
图9中用细杆连接的AB两球靠墙放置。
绳联物体速度分解问题(关联速度)
*
人在岸边通过定滑轮拉小船靠岸，
船靠岸的速度恒定大小是 ，当
拉船的绳子与水平面的夹角为 时，拉
绳子的速度v大小是多少？是匀速，加速，
还是减速？
所以
随着小船越来越靠近河岸 增大，
减小，所以人是减速拉绳子
*
如果人以速度v匀速拉绳子， 那么小船是匀速靠岸还是减速 还是加速？
因为
，所以
*
A
*一根光滑的杆上面穿有一个
小球A。小球A和物块B用一轻
绳绕过定滑轮相连如图。释
放物体B时，小球A沿杆Leabharlann 滑，设某一时刻细绳与水平方向
夹角为 ，小球的速度为 ,
B
求此时物块B的速度
因为
，所以
随着小船越来越靠近河岸 增大，
减小，所以 增大，小船加速靠岸
*
A物体带动B物体向右运动，那么任 意时刻 和 有什么关系？
B
A
因为
，所以
*
*两根光滑的杆互相垂直地固
定在一起。上面分别穿有一 个小球。小球a、b间用一细 直棒相连如图。当细直棒与 竖直杆夹角为α时，求两小球 实际速度之比va∶vb
*
*
人在岸边通过定滑轮拉小船靠岸，
船靠岸的速度恒定大小是 ，当
拉船的绳子与水平面的夹角为 时，拉
绳子的速度v大小是多少？是匀速、加速、 还是减速
“绳联物体”指物体拉绳（杆）或绳（杆）拉物体的问题，通过速度分解来解决。
注意：
1.物体的实际速度是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳（杆）方向和垂直 于绳（杆）方向。
“关联速度”模型-关联速度的三种模型
“关联速度”模型模型建构：【模型】绳子（或杆）牵连物体，研究关联速度【特点】力学问题中经常出现牵连运动:“两个物体用轻绳（或轻杆）相维系着向不同方向运动且速度不同，但在沿绳或杆方向上的速度分量却相同” 。
这种特殊的运动形式与一般意义的动力学连结体运动有很大的差别，通常不宜采用牛顿运动定律求解，大多可以通过“运动效果分解”或“功能关系分析（标量运算）”也可以用“微元法（借助三角函数）”来处理，准确地考察两物体之间的速度牵连关系（矢量运算）往往是求解这类问题的关键。
“绳子（杆）牵连物体”，求解关联速度的问题，是我们将要探究的重点。
由于两个物体相互关联，一般地我们都要按“运动效果”分解成：沿着绳子（或杆）的速度分量［改变绳子（或杆）速度的大小］和垂直于绳子（或杆）方向的速度分量［改变绳子（或杆）速度的方向］。
模型典案：【典案1】如图1所示，汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达图示位置时，绳子与水平方向的夹角是θ，此时物体M 的上升速度大小为多少？（结果用v 和θ表示） 〖解析〗解法一：运动效果分解法物体M 与右段绳子上升的速率相同，而右段绳子上升的速率与左段绳子在沿绳长方向运动的速率v 1是相等的。
与车相连的端点的实际运动速度就是合速度，且与汽车速度v 相同。
分析左段绳子的运动可知，它其实同时参与了两个分运动，即沿绳长方向运动和绕滑轮边缘顺时针转动。
将车速v 分解为沿绳方向的速度v 1和垂直绳子方向的速度v 2，如图2所示。
根据平行四边形定则可得v 1＝v cos θ。
所以，物体M 上升速度的大小为 v ’＝v cos θ。
【点评】这是我们处理这类问题常用的方法。
物理意义很明显。
这种方法说明了：①物体的运动一定是合运动；②物体的运动才能分解成沿绳子（或杆）——改变绳子速度大小的分量与垂直于绳子（或杆）——改变绳子（或杆）运动方向的分量；③改变物体运动方向的分量是圆周运动向心力的本质。
解法二：位移微元法如图3所示，假设端点A 水平向左匀速移动微小位移△s 至B ，此过程中左段绳子长度增大了△s 1（过A 向OB 作垂线AP ，因顶角很小，故OP ≈OA ），即物体上升了△s 1，显然，△s 1＝△s·cos θθcos 1ts t s ∆∆=∆∆ 由于△s 很小、△t 很小，由速度的定义ts v ∆∆=可得v 1＝v cos θ。
关联速度问题
关联速度问题关联速度分解问题指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题：(1)物体的实际速度一定是合速度.(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量大小相等. (3)常见的速度分解模型 情景图示(注：A 沿斜面下滑) 分解图示定量结论 v B ＝v A cos θ v A cos θ＝v 0 v A cos α＝v B cos β v B sin α＝v A cos α 基本思路 确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解阻力恒为F f ，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v ，人的拉力大小为F ，则此时( )A.人拉绳行走的速度大小为v cos θB.人拉绳行走的速度大小为v cos θC.船的加速度大小为F cos θ－F f mD.船的加速度大小为F －F f m【题型2】如图所示， 一根长直轻杆AB 在墙角沿竖直墙和水平地面滑动.当AB 杆和墙的夹角为θ时，杆的A 端沿墙下滑的速度大小为v 1，B 端沿地面滑动的速度大小为v 2，则v 1、v 2的关系是( )A.v 1＝v 2B.v 1＝v 2cos θC.v 1＝v 2tan θD.v 1＝v 2sin θ【题型3】人用绳子通过光滑轻质定滑轮拉物体A ，A 穿在光滑的竖直杆上，当以速度v 0匀速地拉绳使物体A 到达如图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A 实际运动的速度大小是( )A.v 0sin θB.v 0 sin θC.v 0cos θD.v 0 cos θ【题型4】如图所示，一根长为L 的轻杆OA ，O 端用铰链固定，轻杆靠在一个高为h 的物块上，某时杆与水平方向的夹角为θ，物块向右运动的速度为v ，则此时A 点速度为( )A.Lv sin θhB.Lv cos θhC.Lv sin 2θhD.Lv cos 2θh【题型5】如图所示，长为L 的直棒一端可绕固定轴O 转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v 匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为( )A.v sin αLB.v L sin αC.v cos αLD.v L cos α针对训练1.如图所示，有人在河面上方20 m 的岸上用跨过定滑轮的长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°.人以恒定的速率v ＝3 m/s 拉绳，使小船靠岸，那么( )A.5 s 时绳与水面的夹角为60°B.5 s 时小船前进了15 mC.5 s 时小船的速率为5 m/sD.5 s 时小船到岸边距离为10 m2.一轻杆两端分别固定质量为m A 和m B 的两个小球A 和B (可视为质点)，将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时，球A 与球形容器球心等高，其速度大小为v 1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，球B 的速度大小为v 2，则( )A ．v 2＝12v 1 B ．v 2＝2v 1 C ．v 2＝v 1 D ．v 2＝3v 13.如图所示，人用轻绳通过定滑轮拉穿在光滑竖直杆上的物块A ，人以速度v 0向左匀速拉绳，某一时刻，绳与竖直杆的夹角为θ，与水平面的夹角为α，此时物块A 的速度v 1为( )A.v 1＝v 0sin αcos θB.v 1＝v 0sin αsin θC.v 1＝v 0cos αcos θD.v 1＝v 0cos αcos θ4.一探照灯照射在云层底面上，云层底面是与地面平行的平面，如图所示，云层底面距地面高h ，探照灯以恒定角速度ω在竖直平面内转动，当光束转到与竖直方向夹角为θ时，云层底面上光点的移动速度是( )A ．hω B.θωcos h C. θω2cos h D ．Hωtan θ5.如图所示，水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A ．另一竖直杆B 以速度v 水平向左匀速直线运动，则从两杆开始相交到最后分离的过程中，两杆交点P 的速度方向和大小分别为( )A ．水平向左，大小为vB ．竖直向上，大小为vtanθC ．沿A 杆向上，大小为v/cosθD ．沿A 杆向上，大小为vcosθ6.如图所示，细绳一端固定在天花板上的O 点，另一端穿过一张CD 光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD 光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v 匀速移动，移动过程中，CD 光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为( )A ．v sin θB ．v cos θC ．v cos θD ．v sin θ关联速度问题参考答案【题型1】【答案】 AC【解析】 船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使滑轮与船间的绳偏转，因此将船的速度按如图所示(沿绳方向与垂直于绳方向)方式进行分解，人拉绳行走的速度大小v 人＝v ∥＝v cos θ，选项A 正确，B 错误；绳对船的拉力大小等于人拉绳的力的大小，即绳的拉力大小为F ，与水平方向成θ角，因此F cos θ－F f ＝ma ，解得a ＝F cos θ－F f m，选项C 正确，D 错误.【题型2】【答案】C【解析】将A 端的速度沿杆方向和垂直于杆的方向分解，沿杆方向的分速度为v 1∥＝v 1cos θ，将B 端的速度沿杆方向和垂直于杆方向分解，沿杆方向的分速度v 2∥＝v 2sin θ.由于v 1∥＝v 2∥.所以v 1＝v 2tan θ，故C 正确，A 、B 、D 错误.【题型3】【答案】D【解析】由运动的合成与分解可知，物体A 参与两个分运动：一个是沿着与它相连接的绳子的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动.而物体A 的实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的，这一轨迹所对应的运动就是物体A 的合运动，它们之间的关系如图所示.由几何关系可得v ＝v 0 cos θ，所以D 正确.【题型4】【答案】 C【解析】 根据运动的效果可知物块向右运动的速度，如图所示．沿杆和垂直于杆的方向分解成1v 和2v ，根据平行四边形定则可得θθcos cos 1v v v B ==，θθsin sin 2v v v B ==，根据几何关系可得θsin h OB =，由于B 点的线速度为ωθ⋅==OB v v sin 2，所以h v OB v θθω2sin sin ==，所以A 点的线速度hLv L v A θω2sin ==，故C 正确。
难点解析丨实际运动中的关联速度问题
难点解析丨实际运动中的关联速度问题关联速度问题一般是指物拉绳（或杆）和绳（或杆）拉物问题．高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变．01速度规律绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度．02解决关联速度问题的一般步骤第一步：先确定合运动，即物体的实际运动．第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳（或杆）方向的平动效果，这个效果改变速度的大小；二是沿垂直于绳（或杆）方向的转动效果，这个效果改变速度的方向．即将实际速度分解为垂直于绳（或杆）和平行于绳（或杆）方向的两个分量．第三步：按平行四边形定则进行分解，作出运动矢量图．第四步：根据沿绳（或杆）方向的速度相等列方程求解．03常见的模型（1）车拉船模型问题：车拉船运动，车匀速前进，速度为v，当绳与水平方向成α角时，船速v′是多少？分析：绳与船接触的点M是个特殊的点，此点既在绳上又在船上．在船上，是实际运动（合运动）．在绳上，同时参与两个分运动．点M从A到B的运动情况比较复杂，为了便于理解和观察，把运动过程等效分解为两个独立的运动过程．一个是绕滑轮做的圆周运动，这个运动不改变绳长，每一时刻的速度方向都垂直于绳的方向．另一个是沿着绳的方向做的直线运动，这个运动是由于车拉动绳向O点收缩引起的．所以点M的速度每时每刻都可以分解为两个速度．一个是垂直于绳的方向的v1．另一个是沿着绳的方向的v2．则有：v1=v′sin αv2=v′cos α车和船都在同一根绳上，由于绳的长度不会改变，所以车和船的实际速度沿绳方向的分速度大小相同．解决：车在绳上的分速度等于船在绳上的分速度．即v=v2v=v′sin α所以v′=v/sin α绳子的“关联”速度问题（2）其他模型（1）两个物体的绳子末端速度的分解如下图所示，两个物体的速度都需要分解，其中两个物体的速度沿着绳子方向的分速度是相等的，即vA∥=vB∥．（2）两个物体的硬杆末端速度的分解如下图所示，a、b沿杆的方向上各点的速度大小相等．vacos θ=vbcos αva：vb=cos α：cos θ杆以及相互接触物体的“关联”速度问题;【示范例题】例题1.（单选题）固定在竖直平面内的半圆形刚性铁环，半径为R，铁环上穿着小球，铁环圆心O的正上方固定一个小定滑轮．用一条不可伸长的细绳，通过定滑轮以一定速度拉着小球从A点开始沿铁环运动，某时刻小球运动至如下图所示位置，若绳末端的速度为v，则小球此时的速度为（）【答案】A【解析】小球的速度方向沿铁环的切线方向，将小球的速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向的分量，沿绳方向的速度为v，则v′cos 30°＝v，选项A正确．点拨:找准合运动，分解合运动，不能分解分运动．例题2.（单选题）如下图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（均可视为质点）．将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成α角时，B球沿槽上滑的速度为vB，则此时A球的速度vA的大小为（）【答案】D【解析】根据题意，将A球的速度分解成沿杆方向与垂直于杆方向的分量，同时B球的速度也分解成沿杆方向与垂直于杆方向的分量．则对A球，有v＝vcos α，对B球，有v＝vBsin α，则vAcos α＝vBsin α，所以vA＝vBtan α，选项D正确．点拨:对于杆模型（杆连接着物体相互作用的问题），杆端速度通常分解的一般原则为将实际速度（合运动的速度）分解为两个分速度，一个沿杆方向，一个垂直于杆方向．。
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绳、杆相关联物体的速度求解
江苏省新沂市第一中学张统勋
绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，如果两端点的速度方向不在绳、杆所在直线上，两端的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，称之为“关联”速度。
“关联速度”问题特点：沿杆或绳方向的速度分量大小相等。
绳或杆连体速度关系：①由于绳或杆具有不可伸缩的特点，则拉动绳或杆的速度等于绳或杆拉物的速度。
②在绳或杆连体中，物体实际运动方向就是合速度的方向。
③当物体实际运动方向与绳或杆成一定夹角时，可将合速度分解为沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向的两个分速度。
常用的解题思路和方法：先确定合运动的方向，即物体实际运动的方向，然后分析这个合运动所产生的实际效果，即一方面使绳或杆伸缩的效果；另一方面使绳或杆转动的效果。
以确定两个分速度的方向，沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同。
一、绳相关联问题
1．一绳一物题型
⑴所拉的物体匀速运动
【例1】如图1所示, 人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为T，则此时
A．人拉绳行走的速度为v cosθ
B．人拉绳行走的速度为v/cosθ
C．船的加速度为
D．船的加速度为
解析：船的速度产生了两个效果: 一是滑轮与船间的绳缩短, 二是绳绕滑轮顺时针转动, 因此将船的速度进行分解如图所示, 人拉绳行走的速度v人=v cosθ, A对, B错；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为T，与水平方向成θ角，因此T cosθ-f＝ma，解得：
，C正确，D错误。
答案：AC。
点评：人拉绳行走的速度即绳的速度，易错误地采用力的分解法则，将人拉绳行走的速度。
即若按图3所示进行分解，则水平分速度为船的速度，得人拉绳行走的速度为v/cosθ，会错选B选项。
⑵匀速拉动物体
【例2】如图4所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳的速度为v，当拉船头的绳索与水平面的夹角为α时，船的速度是多少？
解析：方法1——微元分析法
取小量θ，如图5所示，设角度变化θ所需的时间为Δt，取CD=CB，在Δt时间内船的位移为AB，绳子端点C的位移大小为绳子缩短的长度AD。
由于θ→0°，所以∠BDA→90°。
所以AD=ABcosα①
又AD=vΔt②
AB=v船Δt③
由上述三式可得：v船=v/cosα
方法2——运动等效法
因为定滑轮右边的绳子既要缩短又要偏转，所以定滑轮右边绳上的A点的运动情况可以等效为：先以滑轮为圆心，以AC为半径做圆周运动到达B，再沿BC直线运动到D。
做圆周运动就有垂直绳子方向的线速度，做直线运动就有沿着绳子方向的速度，也就是说船的速度(即绳上A点的速度)的两个分速度方向是：一个沿绳缩短的方向，另一个垂直绳的方向。
作矢量三角形如图6所示，v船＝v/cosα。
点拨：方法1利用几何知识构建三角形，找出在Δt时间内绳与船的位移关系，进而确定速度关系；方法2利用了实际运动为合运动，按效果对船的速度进行分解。
2．两绳一物题型
【例3】如图7所示，两绳通过等高的定滑轮共同对称地系住一个物体A，两边以v速度匀速地向下拉绳。
当两根细绳与竖直方向的夹角都为60°时，物体A上升的速度多大？
解析：以右边绳子为研究对象，应用绳连体模型的结论，当绳端物体A在做既不沿绳方向，又不垂直于绳方向运动时，一般要将绳物体A的真实运动分解到沿绳收缩方向和垂直于绳子方向的两个分运动。
其运动效果一是沿绳方向的直线运动，这使得绳变短，二是以定滑轮为圆心的圆周运动，这使得绳转过了一个小角度，即A的运动就是这两个分运动的
合成。
如图8所示，有，则。
点评：本题是一道绳连体的速度问题，有部分学生认为物体A参与两边绳子的分运动，物体A上升的速度为合速度，容易错解成，等同于力的合成与分解。
3．一绳两物题型
⑴水平方向情况分析
【例4】A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图9所示。
物体B的运动速度v B为（绳始终有拉力）
A．B．C． D．
解析：A、B两物体通过绳相连接，且两物体都是运动的，物体的实际运动速度是合速度，物体的速度都产生了沿绳方向和垂直于绳方向两个作用效果。
设物体B的运动速度为v B，此速度为物体B合运动的速度，根据它的实际运动效果，两分运动分别为：沿绳收缩方向的分运动，设其速度为v绳B；垂直绳方向的圆周运动，速度分解如图10所示，则有v B＝
①
物体A的合运动对应的速度为v1，它也产生两个分运动效果，分别是：沿绳伸长方向的分运动，设其速度为v绳A；垂直绳方向的圆周运动，它的速度分解如图11所示，则有v =v1cosα②由于对应同一根绳，其长度不变，故v绳B=v绳A③
绳A
根据三式解得：v B＝。
选项ABC错误D正确。
答案：D
点评：此题涉及多个物体的速度分解，应用隔离法将每个物体的速度进行分解，再通过关联速度进行求解。
⑵竖直方向情况分析
【例5】如图12所示，竖直平面内放置一直角杆AOB，杆的水平部分粗糙，竖直部分光滑，两部分各有质量相等的小球A和B套在杆上，A、B间用轻绳相连，以下说法中正确的是
A．若用水平拉力向右缓慢地拉A，则拉动过程中A受到的摩擦力不变
B．若以一较明显的速度向右匀速地拉A，则拉动过程中A受到的摩擦力不变
C．若以一较明显的速度向右匀速地拉A，则过程中A受到的摩擦力比静止时的摩擦力要大
D．若以一较明显的速度向下匀速地拉B，则过程中A受到的摩擦力与静止时的摩擦力相等
解析：当A滑动时，A受到的摩擦力是滑动摩擦力，在动摩擦因数不变的情况下，其大小只与正压力有关。
若用水平拉力向右缓慢地拉A，两小球都处于平衡状态，选取两球组成的系统为研究对象，该系统在竖直方向上受到总重力和水平杆对A球竖直向上的支持力N
的作用，二力平衡，所以，可见，支持力N不变，又因为A受到的摩擦力
，所以不变，选项A正确。
若用水平拉力向右以一较明显的速度向右匀速地拉A，则两球实际运动的速度可以看作合速度，它们均可以分解为沿绳方向的分速度和垂直绳方向的分速度，并且两球沿绳方向的分速度大小相等，设A球匀速运动的速度为v，轻绳AB与水平杆间的夹角为，如图13所示，则，，，所以，可见，当A球向右运动时，变大，也变大，即B球在竖
直方向上做加速运动，所以轻绳对B球拉力的竖直向上的分量大于G B，根据牛顿第三定律，轻绳对A球竖直向下的拉力分量也大于G B，所以N=G A＋G B，A受到的摩擦力
>，选项B错误，C正确；若以一较明显的速度向下匀速地拉B，那
么由两球组成的系统在竖直方向上受力平衡，则水平杆对A球的弹力N=G A＋G B＋F，其中F 为拉力，可见N比静止时要大，所以该过程中A受到的摩擦力经静止时大，选项D错误。
答案：AC
点评：竖直方向的物体分析，涉及到超、失重情况，分析时应加以注意，否则易出现错误。
二、杆相关联问题
【例6】如图14所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动，当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2。
则v1、v2的关系是()
A．v1＝v2 B．v1＝v2cosθ
C．v1＝v2tanθ D．v1＝v2sinθ
解析：如图15所示，轻杆A端下滑速度v1可分解为沿杆方向的速度v1′和垂直于杆的方向速度v1″，B端水平速度v2可分解为沿杆方向的速度v2′和垂直于杆的方向速度v2″，由于沿杆方向的速度相等v1′＝v2′，由数学知识可知，v1′＝v1cosθ，v2′＝v2sinθ，v1＝v2tanθ。
故C 项正确。
答案：C
点评：对于直杆的运动，一般将其两端的运动速度沿杆和垂直于杆的两个方向分解，两端速度沿杆的分量相等。