直角三角形的边角关系复习(一)优秀课件
C
D
60
o
课堂教学 （二）利用解直角三角形解决实际问题
挑战自我：重庆是一座美丽的山城，某中学依山而建，
校门A处，有一斜坡AB，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的
角∠CBF=53°，离B点4米远的E处有一花台，在E处仰望C的
仰角∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，
FD=5米．求DC的长． （参考数据：tan53°≈
5
则BC=
cosB= .
前置学习展示
1、（类型一：考察定义）
在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝8 ， sin B 4，
5
则BC=
cosB= .
前置学习展示
1、（类型一：考察定义）
在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝8 ， sin B 4，
5
则BC=
cosB= .
构造直角三角形，直接运用三角函数的定义求值 借助边的数量关系求值 根据三角函数关系求值．
cos∠BCD
。
课堂教学 （一）利用三角形来解一般三角形
问题1：如图△ABC中，∠B=45 ° ，∠C=30°， AB= ，求AC长。
课堂教学 （一）利用三角形来解一般三角形
问题2：如图在△ABC中，∠B=135°，∠C=30°，
BC=
,求AC长。
B
旋转
D
C
64o60650606060600 45 60
类型四（考察三角函数的增减性）
4、若锐角a满足cosa< ，tana< ，则a的取值范围是
前置学习展示
（类型五：转化思想）
5、如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC= ，BC=2，则
cos∠BCD
。
前置学习展示
（类型五：转化思想）
5、如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC= ，BC=2，则
交流感受
前置学习展示
2、（类型二：考察特殊三角函数值的准确记忆，与 中考题接轨）
3cos 600 5sin 300 1
+(tan 600 )0 +
- 1 -2 2
本题考查分母有理化、数的 0 次幂、负指数幂、特殊角的三角函数值．
前置学习展示
（类型三：由特殊函数值求角度）
3、若
，则∠a =
提示
前置学习展示
4 3
,tan63.4°≈2）
珠 穆 朗 玛 峰 ， 你 应 该 知 道 的 故 事 。
活学活用用 创新设计
归纳
当堂练习 <<天府前沿>>P24-25选做
课堂小结
1、 知识上 2、 思想方法上 3、学习习惯上 4、创新设计上 （珠峰高度的设计？）
观看视频
自我评价 如果这节课你给自己打分， 满分是10分的话，你会给 自己打多少分？
锐角三角 函数
解直角三 角形 相关定义
三角函数定义 特殊角的三角函数值 互余两角三角函数关系 同角三角函数关系 三角函数的增减性
两锐角之间的关系 三边之间的关系
定义 函数值 互余关系 函数关系
边角之间的关系
坡角、坡度（坡比）仰角、俯角、方位角
前置学习展示
1、（类型一：考察定义）
在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝8 ， sin B 4，
oo
平移
BDDDDDD
A
C
ooo
ooo o
D
45o
A
A
A
A
B
45o 60o
D
C
B
翻
AAAAA
ห้องสมุดไป่ตู้
转
B
B 45Do 45Bo 6C0B45ooC45oCCCCC45oo45o 5
45o
B BB
B
旋转
A
E
30o
45o
D
CB
30o
60o
D
C
在两个直角三角形中，关注特
B 殊角的边的关系，是解决几何
45
o
计算和实际问题的依据.
• 所以掌握好本单元的知识对今后进一步的学习是非常重要的。
教学目标
1、梳理并掌握直角三角形中边、角关系，及相关 概念，掌握解直角三角形及一般三角形的方法,理 解锐角三角函数本质.
2、能利用解直角三角形解决生活中的实际问 题，培养学生建模、识图、计算能力.
3、渗透转化与方程的思想方法。
知识梳理
解 直 角 三 角 形
九年级下册
《直角三角形的边角关系复习课》（一）
引入
• 在本章初，我就告诉过同学们生活中很多问题往往会归结为 直角三角形中边和角的数量关系来解决。
• 而随着科学技术的发展，今天在所有的领域里，特别是在航 海、航空、航天、测量、建筑、机械、电气等各种实用方面， 可以毫不夸张的说：“绝对没有不用到三角的问题。”
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《锐角三角函数》直角三角形的边角关系PPT课件(第1课时)教学课件
课堂探究
梯子在上升变陡过程中，倾斜角、铅直高度、水平 宽度是如何变化的？
铅
直
高
倾斜角
度
水平宽度
课堂探究
梯子在上升变陡过程中，倾斜角、铅直高度、水平 宽度是如何变化的？
铅
直
倾斜角
高 度
水平宽度
课堂探究
梯子在上升变陡过程中，倾斜角、铅直高度、水平 宽度是如何变化的？
铅
直
倾斜角
高 度
水平宽度
课堂探究
∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2
(2)B .1C1和 B2C2有什么 ? 关系相等
A1C A2C
A
（3）如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢?
B1
B2 B3
C3 C2
C1
∠A的大小确定, ∠A的对边与邻边的比值不变。与三角形的大小没有关系。
要点归纳
判断梯子是否更陡，有如下方法：
1.可以利用倾斜角的大小比较，倾斜角越大，梯 子越陡.
5
求:△ABC的周长.
B
5
B
┌
6
5 C
┐
C
A
小组展示 奇数组
争先恐后
偶数组
比一比
1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（ ）
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
B
2.已知∠A,∠B为锐角
(1)若∠A=∠B,则sinA sinB;
(2)若sinA=sinB,则∠A ∠B.
4 5
，则BC的长为__8___.
3.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10. 求sinB,cosB.
北师大版九年级数学下册 (三角函数的计算)直角三角形的边角关系教育教学课件
当堂练习
6.如图所示，电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼， 某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测 得塔顶B的仰角为39°.
(1)求大楼与电视塔之间的距离AC；
(2)求大楼的高度CD(精确到1米)．
当堂练习
解析 (1)利用△ABC是等腰直角三角形易得AC的长； (2)在Rt△BDE中，运用直角三角形的边角关系即 可求出BE的长，用AB的长减去BE的长度即可．
所以，塔高DE大约是81米．
讲授新课
方法总结
解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已 知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角 三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
当堂练习
1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
（1）sinA=0.627 5，sinB＝0.6175；
∠A≈38°51′57″ ∠B≈38°8′2″
情境引入
直角三角形的边角关系
三边的关系： a_2_+_b_2_=_c_2_.
两锐角的关系： _∠__A_+_∠__B_=__9.0
A
°
边与角的关系：锐角三角函数
B c
a
C b
sin A cos B a c
cos A sin B b c
tan A a b
新知讲解
合作学习
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=ABsin16°.
sin α
cos α
tan α
30°
1 2 3 2
3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2
3
导入新课
问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时， 它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角 为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？ （结果精确到0.01m） 在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，
北师大版数学九年级下册第一章直角三角形的边角关系锐角三角函数(一)课件
对点范例
C
典型例题
【例1】（课本P4随堂练习）如图X1-1-3，△ABC是等腰三角形， 你能根据图中所给数据求出tan C吗？
思路点拨：先.
举一反三
5. 如图X1-1-4，在等腰三角形ABC中，请根据图中所给数据求 出tan B.
第一章 直角三角形的边角关系
第1课时 锐角三角函数（一）
目录
01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例
04 典型例题 05 举一反三 06 创新设计
温故知新 （限时3分钟）
1.若一个直角三角形两直角边的比是3∶4，斜边长为20，则这个
三角形的较短直角边的长是( A )
A.12
B.16
C.20
D.15
D
知识重点
知识点一：正切的定义 如图X1-1-1，在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻 边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tan A,即 tan
A=__________=__________.
对点范例
D
知识重点
知识点二:坡度 坡面的____铅__直______高度与____水__平______宽度的比称为坡度(或 坡比).
典型例题
思路点拨：先根据直角三角形的边角关系求出AC，再根据勾股 定理求出AB.
举一反三
6. 如图X1-1-6，在△ABC中，AB＝10 cm，BC＝9 cm，△ABC的面 积为27 cm2.求tan B的值.
创新设计
谢谢
直角三角形的边角关系课件
相等
(3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢?
类似三角形的对应2 C1
思考：由此你得出什么结论?
直角三角形中，锐角大小确定后，对应的对边和邻边的比 值也就确定了
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的 比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即
解析：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶3，
BC 1 . AC 3
∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．
AB AC2 BC2 36 4 2 10.
典例精析
例4.如图，李佳怡和王慧珍将两根木棒分别斜靠在墙上，其中 AB=10 cm，CD=6 cm，BE=6 cm，DE=2 cm，你能判断出哪根木棒 更陡吗？说明理由.
A
E
B
C
F
D
问题2 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
乙 甲
问题3 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡 E A
6m 4m
B 2m C
F
3m D
问题4 你有几种方法比较梯子AB和EF哪个更陡？ 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 倾斜角越大，梯子越陡.
A1
B2
生活中的梯子
梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角. 斜边
A 从梯子的顶端A到墙角 铅 C的距离，称为梯子的 直 高 铅直高度. 度
B 水平宽度 C 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度.
1 正切的定义 —
问题1 梯子AB和CD哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断
直角三角形复习课件
面积的多种计算方法
除了基本的面积公式外，还可以通过分割法、补形法等技巧来计算 面积。
利用相似三角形进行计算
在某些情况下，可以利用相似三角形的性质来简化计算过程。
05
直角三角形在实际生活中的应用
测量中的应用
确定物体的高度
通过测量影子的长度，利用相似三角 形的性质，可以计算出物体的高度。
计算距离
在航海、航空和地形测量中，利用直 角三角形可以计算出两点之间的距离 。
THANKS
感谢观看
建筑中的应用
建筑设计
在建筑设计中，直角三角形常被用于确定建筑物的比例和稳定性。
结构分析
在建筑结构分析中，利用直角三角形可以计算出结构的承载能力和稳定性。
其他应用
机械制造
在机械制造中，直角三角形被广泛应用 于各种机构的设计和制造中，如齿轮、 链条等。
VS
物理学
在物理学中，直角三角形被广泛应用于力 的合成与分解、速度和加速度的计算等。
毕达哥拉斯定理
在直角三角形中，斜边的 平方等于两直角边的平方 和。
角平分线定理
在直角三角形中，角平分 线将直角分为两个相等的 角。
射影定理
在直角三角形中，直角边 的长度等于斜边与其上高 线的乘积。
判定依据
根据定义
根据角边角法
如果一个三角形有一个角为90度，则 它是直角三角形。
如果两个角和它们所对的边分别相等 ，则它是直角三角形。
03
直角三角形的判定
判定方法
01
02
03
定义法
根据直角三角形的定义， 一个三角形如果有一个角 为90度，则它是直角三角 形。
勾股定理法
如果一个三角形的三边满 足勾股定理，即最长边的 平方等于其他两边的平方 和，则它是直角三角形。
除了基本的面积公式外，还可以通过分割法、补形法等技巧来计算 面积。
利用相似三角形进行计算
在某些情况下，可以利用相似三角形的性质来简化计算过程。
05
直角三角形在实际生活中的应用
测量中的应用
确定物体的高度
通过测量影子的长度，利用相似三角 形的性质，可以计算出物体的高度。
计算距离
在航海、航空和地形测量中，利用直 角三角形可以计算出两点之间的距离 。
THANKS
感谢观看
建筑中的应用
建筑设计
在建筑设计中，直角三角形常被用于确定建筑物的比例和稳定性。
结构分析
在建筑结构分析中，利用直角三角形可以计算出结构的承载能力和稳定性。
其他应用
机械制造
在机械制造中，直角三角形被广泛应用 于各种机构的设计和制造中，如齿轮、 链条等。
VS
物理学
在物理学中，直角三角形被广泛应用于力 的合成与分解、速度和加速度的计算等。
毕达哥拉斯定理
在直角三角形中，斜边的 平方等于两直角边的平方 和。
角平分线定理
在直角三角形中，角平分 线将直角分为两个相等的 角。
射影定理
在直角三角形中，直角边 的长度等于斜边与其上高 线的乘积。
判定依据
根据定义
根据角边角法
如果一个三角形有一个角为90度，则 它是直角三角形。
如果两个角和它们所对的边分别相等 ，则它是直角三角形。
03
直角三角形的判定
判定方法
01
02
03
定义法
根据直角三角形的定义， 一个三角形如果有一个角 为90度，则它是直角三角 形。
勾股定理法
如果一个三角形的三边满 足勾股定理，即最长边的 平方等于其他两边的平方 和，则它是直角三角形。
直角三角形的边角关系课件1
精选教课课件设计| Excellent teaching plan直角三角形的边角关系讲义第 1 节从梯子的倾斜程度谈起本节内容：正切的定义坡度的定义及表示（难点）正弦、余弦的定义三角函数的定义（要点）1、正切的定义在确立，那么 A 的对边与邻边的比便随之确立，这个比叫做∠ A 的正切，记作tanA 。
A 的对边 a即 tanA=A的邻边 b例 1 如图，△ ABC是等腰直角三角形，求tanC.例2 如图，已知在 Rt △ ABC中，∠ C=90°， CD⊥ AB，AD=8， BD=4，求 tanA 的值。
BDC A精选教课课件设计| Excellent teaching plan2、坡度的定义及表示（难点我们往常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）。
坡度常用字母i 表示。
斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：h tan al注意：（ 1）坡度一般写成 1： m的形式（比率的前项为1，后项能够是小数）；（ 2）若坡角为 a，坡度为htana，坡度越大，则a角越大，坡面越陡。
il例 3 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽 BC 为 6m，坝高为 3.2m，为了提升水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m，而且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD? 的坡度不变，但是背水坡的坡度由本来的i ＝ 1： 2 变为 i ′＝ 1： 2.5，（相关数据在图上已注明）．?求加高后的坝底 HD 的长为多少？3、正弦、余弦的定义在 Rt 中，锐角∠ A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记作sinA 。
A 的对边 a即 sinA=斜边 c∠ A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦，记作cosA。
A 的邻边 b即 cosA=斜边 c例4在△ ABC中，∠ C=90°， BC=1， AC=2，求 sinA 、 sinB 、cosA、 cosB 的值。
经过计算你有什么发现？请加以证明。
精选教课课件设计| Excellent teaching plan4、三角函数的定义（要点）锐角 A 的正弦、余弦和正切都是∠ A 的三角函数。
《三角函数的计算》直角三角形的边角关系PPT课件
5.一个人由山底爬到山顶，需先爬坡角为40°的山坡300 m，
再爬坡角为30°的山 坡100 m，求山高（结果精确到0.1m).
解：如图，过点C作CE⊥AE于点E，
过点B作BF⊥AE于点F，
过点B作BD⊥CE于点D，则BF＝DE.
在Rt△ABF中，BF＝AB sin 40°；
在Rt△CDB中，CD＝BC sin 30°.
BC 10 1
如图，在Rt△ABC中，sinA=
，
AC 40 4
那么∠A是多少度呢?
要解决这个问题，我们可以借助科学计算器.
已知三角函数值求角度，要用到
“sin”、“cos”、“tan”键
的第二功能“sin־¹，cos־¹，
tan־¹ ”和2ndf 键。
以“度”为单位
按键顺序
sinA=0.9816
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
议一议
当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D
的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°
，由此你还能计算什么?
想一想
为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端
修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?
故选A．
)
2.下列各式中一定成立的是（ A ）
A.tan75°﹥tan48°﹥tan15°
B. tan75°﹤tan48°﹤tan15°
C. cos75°﹥cos48°﹥cos15°
D. sin75°﹤sin48°<sin15°
3．某款国产手机上有科学计算器，依次按键： = ，显示
合作学习
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
北师大版九年级数学下册第一章《 直角三角形的边角关系》公开课课件
若将△ACB绕着点A逆时针旋转 得到△AC′B′，则tanB′的 值为_______
1
3
（2014白银中考）5.△ABC中， ∠A、∠B都是锐角，
若sinA= ，cosB= ，
则∠C= 60˚ ．
•1、使教育过程成为一种艺术的事业。 •2、教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。2021/10/242021/10/242021/10/2410/24/2021 5:37:09 AM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/242021/10/242021/10/2410/24/2021
2
cos45°= 2
2
tan45°= 1
做一做
B
2
3
60°
A
C
1
sin60°= 3
2
cos60°= 1 2
tan60°= 3
填一填 记一记
角α
三角函数
sinα
cosα
tanα
30°
1 2
3 2
3
3
45°
2
2
2
2
1
60°
3 2
1 2
3
认真观察一下特殊角三角函数值 表格你能发现什么规律？
很重要吆
做一做
•7、风声雨声读书声，声声入耳；家事国事天下事，事事关心。2021/10/242021/10/24October 24, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/242021/10/242021/10/242021/10/24
1
3
（2014白银中考）5.△ABC中， ∠A、∠B都是锐角，
若sinA= ，cosB= ，
则∠C= 60˚ ．
•1、使教育过程成为一种艺术的事业。 •2、教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。2021/10/242021/10/242021/10/2410/24/2021 5:37:09 AM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/242021/10/242021/10/2410/24/2021
2
cos45°= 2
2
tan45°= 1
做一做
B
2
3
60°
A
C
1
sin60°= 3
2
cos60°= 1 2
tan60°= 3
填一填 记一记
角α
三角函数
sinα
cosα
tanα
30°
1 2
3 2
3
3
45°
2
2
2
2
1
60°
3 2
1 2
3
认真观察一下特殊角三角函数值 表格你能发现什么规律？
很重要吆
做一做
•7、风声雨声读书声，声声入耳；家事国事天下事，事事关心。2021/10/242021/10/24October 24, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/242021/10/242021/10/242021/10/24
直角三角形的边角关系复习北师大版数学课件
【解析】设小正方形的边长为1，
则tan∠BAC=
3 答案： 2
DE 3 . AE 2
7.(2010·中山中考)如图，已知Rt△ABC中，斜边AB上的高 CD=4，cosB=
4 ，则AC=___________. 5 4 ， 5
【解析】由题意可知，∠B=∠ACD， 所以,cos∠ACD=cosB=
【解析】由作法可知OA=OB=AB,
所以∠AOB=60°，所以cos∠AOB= .
1 答案： 2 1 2
8.(2010·江西中考)计算：sin30°·cos30°-tan30°
=_______(结果保留根号).
【解析】原式=
1 2 3 3 3 3 3 . 2 3 4 3 12
3
【解析】选C.由三角函数的定义知cos30°= 3 .
2
6.(2011·枣庄中考)将一副三角尺如图 所示叠放在一起，若AB＝14 cm,则阴影
部分的面积是______cm2.
【解析】在Rt△ABC中，AC=ABsin30°=14× 1 =7(cm).
2
因为∠ACB=∠AED=90°,所以CB∥ED,
比例，涉及的知识点不多，是解决与直角三角形有关的实际 问题的基础. 复习的重点是锐角三角函数的概念，30°、45°、60° 角的三角函数值，用计算器求锐角三角函数值，注意三角函 数值与角的度数之间的相互转化，难点是灵活运用三角函数 的概念解决问题.
易混点：直角三角形中，三角函数是哪两条边的比值， 容易混淆.30°、45°、60°角的三角函数值记忆不准确，常 有混淆.
sin32 0.5
∵∠FAD=90°-∠BAE,∠α=90°-∠BAE, ∴∠FAD=∠α=32°. 在Rt△AFD中，cosFAD AF ,
北师大版 九下第一章直角三角形的边角关系 锐角三角函数(正弦)优质课件
5
A
E
B
D
C
与斜边的比值是定值
2.探究问题:
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°,
∠A=40°，则 ∠A的对边
B
斜边
=？
C
40° A
结论：直角三角形中，40°角的对边 与斜边的比值是定值
在Rt△ABC中， ∠ C=90°，∠A的 值确定后，∠A的对边与斜边的比值 是一个定值吗？ 规律一： 当∠A的大小相等时，比值也相等
(4)SinB=0.8 （√ ）
2)如图，sinA=
BC（ ×）
AB
练一练
4.如图 A 300
B 3 C
7
则 sinA=___12___ .
5.△ABC中，AB=8，BC=6,△ABC 的面积是12，求sinB的值.
【变一变】
已知△ABC中， AB=8，BC=6，sinA
=
5
A
试求△ABC的面积. 6
Ｃ
Ａ
sin A = = ,
AB 13
AC AB2 BC2 132 - 52 12,
sin B AC 12 . AB 13
练一练
2、在Rt△ＡＢＣ中， ∠Ｃ＝９0°， 求sinA和sinB的值。
B
3
A4
C
3∠、C填=9空0°已，知s：in如A=图，23，在△ABC中，
(1)BC=2，则AB= 3 ;
规律二： 当∠A的大小变化时，比值也变化
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦 ,
记作 sinA 。
在Rt△ABC中，∠C=90°
sinA=
∠A的对边 斜边
B
a =c