自考06268工程数学-线性代数部分自考复习资料

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自学考试专题：线性代数复习材料

02198线性代数一、线性代数的基础内容：1、行列式——行列式的定义及计算性质(7条)，克莱姆法则；2、矩阵——运算(包括相等、加法、数乘；转置，乘法，逆)；矩阵的行列式、伴随矩阵；初等变换(包括行、列变换及与矩阵乘法的关系，求逆等)；行等价标准形(行阶梯形、行简化阶梯形)及标准形；矩阵的秩；分块矩阵3、向量——线性组合、表示、相关性；秩及极大无关组特别的，除理解概念外，尽可能深刻的理解初等变换在解决矩阵相关问题中的作用；初等变换与矩阵乘积运算的关系；矩阵的秩与向量组的秩之间的关系；如何借助矩阵的初等行变换去求向量组的秩及其极大无关组二、线性代数的应用性内容 1、线性方程组求解：i)齐次的0Ax =，讨论有不全为零解的条件，解的性质和基础解系(不唯一)—格式化的求基础解系的步骤；ii)非齐次的Ax b =，讨论有解的条件(唯一解、无穷多解)，解的性质和结构—格式化的解题步骤2、向量空间：基、坐标、过渡矩阵、坐标变换公式；特殊的基，自然基和标准正交基及施密特正交化方法；正交矩阵3、特征值特征向量：i)特征值、特征向量——格式化的求解步骤，关键是在理解这组概念及其性质；ii)矩阵对角化：矩阵可对角化的条件；特征向量的性质；相似矩阵iii)实对称矩阵正交对角化：实对称矩阵特征值特征向量的性质(特征值都为实数，属于不同特征值的特征向量正交)——格式化的对角化步骤4、二次型：i)二次型与对称矩阵的关系ii) 利用正交变换的方法化二次型为标准型相当于实对称矩阵的正交对角化；配方法化二次型为标准形；合同矩阵(与等价、相似的关系) iii)二次型的规范形与惯性定理：正惯性指数与负惯性指数唯一确定iv)正定二次型与正定矩阵：如何判别？——四个等价的条件(正定；正惯性指数为n ；存在P 使TPP A =；所有特征值大于零)第一章行列式关键字：行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理克莱默法则一、1．行列式定义及相关概念：(这是行列式的递推法定义)由2n 个数(,1,2,,)ij a i j n =组成的n阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =是一个算式，特别当1n =时，定义1111||D a a ==；当2,n ≥时1111121211111nn n j j j D a A a A a A a A ==+++=∑，其中111(1)j j j A M +=-，1j M 是D 中去掉第1行第j 列全部元素后按照原顺序拍成的1n -阶行列式，称为元素1j a 的余子式，1j A 为元素1j a 的代数余子式。

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1.1.1二阶行列式与三阶行列式 >用加减消元法解二元一次方程组：心:。

】2兀2二?（］.］）得方程组的唯一解为：％讦上込巴込 X 尸上垃口込（°21.兀 1 + a 22x 2 —厂2 a ll a 22~a l2a21 a ll a 22~a 12a21>为了便于记忆方程组（1.1）的解，引入记号D 2= a J =ad-bc,称之为二阶行列式c d这样，二元一次方程组（1.1）的解可以用二阶行列式表示为> 在讨论三元一次方程组时，引入三阶行列式这一工具，三阶行列式定义为a ll a 12 a13 D3二 a 2i a 22 a23 二ana22a33+ai2a23a3i+ai3a2ia32・ai3a22a3i ・ai2a2ia33・aiia23a32a 31 a 32 a33特殊的行列式（称为三角行列式）引进如卞三个二阶行列式:记Aii=（-l >1 q Mii （i=l, 2, 3）,即Au=Mu, A2F-M21. A 3I =M 3I 称Mi 】为元素％在D3中的余子式,称Ai 】为元素a 订在03屮的代数余子式，由公式（1.2）可以知道三阶行列式的计算公式可以简写成D3 二口1』1厂421"121+^3』31二^11 Aii + ct21 人21 + 口3』31把它称为D3按其第一列的展开式，简写为D 3=Zf-i1.1.2 n 阶行列式定义1.1.1Dn=anA 11+ a 21A 21+...+ a nl A nl 此式称为D“按第一列的展开式，由余子式和代数余子式的关系可得 D n =aiiMu 321“21+...+ （~1） n a n jM n i> 上三角行列式和下三角行列式第一章行列式 1・1行列式的定义a * *a 0 0* * a0 0aOb*= * b 0 =abc* b 0 二Ob*0 0 c* * cc 0 0c * *=adbec dc d c abc二阶行列式和三阶行列式的关系:baca 0 a 00 db a 0 dX]= bi a 12 力2 a22«11 «12a 21 a22X 2= «11 b*a 21b 2 «11 «12a21 a 22M21=a12 a 13 a 32 a33a12 a13 a 22 a23a22 a 23\_ 1^12 a13a32 ^331 “2】1^32 ^33^31(1.2)a32 a33D n = (2)• • • • • •* * …a n1・2行列式按行（列）展开定理1・2・1 （行列式展开定理）1> D 按笫 i 行的展开式=3iiAji+aj2Aj2+...+3inAin =（-l ）'+1 3iiMji+（-l ）'+2 ai2Mj2+...+（-l ）'+n aj n Mj n （i=l,2z ...,n ） 2、D 按第 j 列的展开式=aijAij+a2jA2j+...+a n jA n j=（-l ）1+j aijMij+（-l ）2+j a2jM2j+…+（■!•）"町 a n jM n j （j=l,2/.../n ）1・3行列式的性质与计算1.3.1行列式的性质性质1行列式和它的转置行列式相等，即性质2用数k 乘行列式D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD,行列式可以按行和按列提出公因数注意必须按行或按列逐次提出公因数> 任意一个奇数阶反对称行列式必为0,反对称行列式指的是，其屮主对角线上的元素全为0,而以主对角线为轴，两边处于对称位置上的元素异号,即若D=|aij |n 是反对称行列式,则它满足条件a —ajj, i, j",2, n 性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号推论如果行列式中有两行（列）相同，则此行列式的值等于0性质4如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于0 性质5行列式可以按行（列）拆开（应当逐行、逐列拆开）=性质6把行列式D 的某一行（列）的所有元素都乘以一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D定理1・3・1 n 阶行列式D=|aij |n 的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于0 13.2行列式的计算1.4克拉默法则定理1.4.1> 含有n 个方程的n 元线性方程组的一般形式为«11^1 + 口12 尢 2 + …+ ot ln x n = 6 «21^1 + 口22%2 + …+ Q2nX n = b 2+ 冷2 尢 2 + …+ ^nn X n = b n(1.3)1、上三角行列式2、下三角行列式它的系数构成的n阶行列式all a 12 …aln ^21 a22 —a 2nD=•..• • • •••伉Ml ^n2定理142 (克拉默法则)如果n 个方程的n 元线性方程组(1.3)的系数行列式D 二心讥工0,则方程组(1.3)必有唯一解，Xj=牛，j=l,2, ・・・，n,其中Dj 是将系数行列式D 中第j 列元素aij, a 2j , a“j 对应地换为方程组的常数项bi ，b2，・・・，bn 得到的行列式。

线性代数自考知识点汇总各章重点

行列式1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =.性质2 互换行列式的两行〔列〕，行列式变号.推论1 如果行列式有两行〔列〕的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.如a b ca b c 0a b c'''= 性质3 行列式的某一行〔列〕中全部的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行〔列〕元素成比例，则此行列式的值为零．如a b ca b c 0ka kb kc'''= 性质4 假设行列式的某一行〔列〕的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行〔列〕的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++2. 余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．如111213212223313233a a a a a a a a a ，元素23a 的余子式为1112233132a a M a a =，元素23a 的代数余子式为11122323233132a a A (1)M a a +=-=-.3. 行列式按行〔列〕展开法则定理1 行列式的值等于它的任一行〔列〕的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++如111213212223313233a a a a a a a a a 111112121313a A a A a A =++ 定理2 行列式任一行〔列〕的元素与另一行〔列〕的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++=或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠4. 行列式的计算〔1〕二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =- 〔2〕三阶行列式〔3〕对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212n n(1)λλλλλλ-=-〔4〕三角行列式1111121n 2122222n 1122nn n1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==〔5〕消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.〔6〕降阶法：利用行列式的性质，化某行〔列〕只有一个非零元素，再按该行〔列〕展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.〔7〕加边法：行列式每行〔列〕全部元素的和相等，将各行〔列〕元素加到第一列〔行〕，再提出公因式，进而求出行列式的值.矩阵1. 常见矩阵1〕对角矩阵：主对角线以外的元素全为0的方阵，称为对角矩阵.记作Λ. 2〕单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵，称为单位矩阵.记作 E.3〕上三角矩阵：对角线以下的元素全为0的方阵.如11121n 222n nn a a a a a a ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭4〕下三角矩阵：对角线以上的元素全为0的方阵.如112122n1n2nn a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭5〕对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵，假设T A A =，即ij ji a a =，则称A 为对称矩阵. 6〕反对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵，假设T A A =-，即ij ji a a =- ，则称A 为反对称矩阵. 7〕正交矩阵：设A 为ｎ阶方阵，如果T AA E =或T A A E =，则称A 为正交矩阵. 2. 矩阵的加法、数乘、乘法运算〔1〕矩阵的加法如a b c a b c a a b b c c d e f d e f d d e e f f ''''''+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⎪⎪⎪''''''+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭注：① 只有同型矩阵才能进行加减运算；② 矩阵相加减就是对应元素相加减. 〔2〕数乘矩阵如a b c ka kb kc k d e f kd ke kf ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素.〔3〕矩阵的乘法：设ij m ij n s s A (a ),B (b )⨯⨯==，规定ij m n AB C (c ),⨯== 其中sij i11j i22j is sj ik kj k 1c a b a b a b a b ==+++=∑(i 1,2,,m,j 1,2,,n.)==注：①左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数；②左矩阵A 的第i 行与右矩阵B 的第j 列对应元素乘积的和是矩阵乘积C 的元素ij c . ③左矩阵A 的行数为乘积C 的行数，右矩阵B 的列数为乘积C 的列数. 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵〔即一个数〕，即列矩阵乘行矩阵是s 阶方阵，即 3. 逆矩阵设n 阶方阵A 、B ，假设AB=E 或BA=E ，则A ，B 都可逆，且11AB,B A --==.〔1〕二阶方阵求逆，设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1*d b 11A A c a A ad bc --⎛⎫== ⎪--⎝⎭〔两调一除法〕.〔2〕对角矩阵的逆11111221n n a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111n 2121n1a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.〔3〕分块对角阵的逆11111221s s A A A A ;A A ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111s 2121s1A A A A A A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 〔4〕一般矩阵求逆，初等行变换的方法：()()ERT1A E E A -−−−→.4. 方阵的行列式由ｎ阶方阵A 的元素所构成的行列式〔各元素的位置不变〕叫做方阵A 的行列式.记作A 或det 〔A 〕. 5. 矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行〔列〕变换：〔1〕互换两行〔列〕；〔2〕数乘某行〔列〕；〔3〕某行〔列〕的倍数加到另一行〔列〕. 6. 初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.如001100100010,0k 0,010100001k 01⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭都是初等矩阵. 7. 矩阵的秩矩阵A 的非零子式的最高阶数，称为矩阵A 的秩.记作R 〔A 〕或r 〔A 〕. 求矩阵的秩的方法：〔1〕定义法：找出A 中最高阶的非零子式，它的阶数即为A 的秩.〔2〕初等行变换法：ERTA −−−→行阶梯形矩阵，R 〔A 〕=R 〔行阶梯形矩阵〕=非零行的行数. 8. 重要公式及结论〔1〕矩阵运算的公式及结论矩阵乘法不满足交换律，即一般地A B ≠AB;矩阵乘法不满足消去律，即一般地假设AB=AC ，无B=C ；只有当A 可逆时，有B=C.一般地假设AB=O ，则无A=O 或B=O.()222A B ?A 2AB B +++.〔2〕逆矩阵的公式及定理A 可逆⇔|A |≠0⇔A ～E 〔即A 与单位矩阵E 等价〕〔3〕矩阵秩的公式及结论R ( AB ) ≤R ( A ), R ( AB ) ≤R ( B ).特别地，当A 可逆时，R(AB)=R(B)；当B 可逆时，R(AB)=R(A).()()ET A B A ~B R A R B −−→⇔⇒= 即等价矩阵的秩相等或初等变换不改变矩阵的秩.9. 矩阵方程〔1〕设 A 为n 阶可逆矩阵，B 为n ×m 矩阵，则矩阵方程AX=B 的解为1X A B -=；解法：① 求出1A -，再计算1A B -； ② ()()ERTAB E X −−−→ .〔2〕设 A 为n 阶可逆矩阵，B 为m ×n 矩阵，则矩阵方程XA=B 的解为1X BA -=；解法：① 求出1A -，再计算1BA -； ② ECT A E B X ⎛⎫⎛⎫−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 10. 矩阵间的关系〔1〕等价矩阵：如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ，那么称矩阵A 与B 等价.即存在可逆矩阵P ，Q ，使得PAQ=B.性质：等价矩阵的秩相等.〔2〕相似矩阵：如果存在可逆矩阵P ，使得1P AP B -=,那么称A 与B 相似. 性质：相似矩阵有相同的特征多项式，相同的特征值，相同的行列式，相同的迹. 〔3〕合约矩阵：如果存在可逆矩阵P ，使得T P AP B =，那么称A 与B 合约. 性质：合约矩阵的秩相等.向量空间1. 线性组合〔1〕假设α＝k β，则称向量α与β成比例．〔2〕零向量Ｏ是任一向量组的线性组合．〔3〕向量组中每一向量都可由该向量组线性表示． 2. 线性相关与线性无关〔1〕单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量．〔2〕单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量．〔3〕两向量线性相关当且仅当两向量对应成比例.〔4〕两向量线性无关当且仅当两向量不对应成比例. 〔5〕含有Ｏ向量的向量组肯定线性相关．〔6〕向量组12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是① 齐次线性方程组22m m 11k k 0k ααα+++=有非零解.② 以向量组为列作的矩阵()12m ,,,ααα的秩<向量的个数m.〔7〕n 个n 维向量12n ,,,ααα线性相关的充分必要条件是以向量组为列作的行列式的值()12n ,,,ααα=0.〔8〕向量组12m ,,,ααα线性无关的充分必要条件是① 齐次线性方程组22m m 11k k 0k ααα+++=只有零解.② 以向量组为列作的矩阵()12m ,,,ααα的秩=向量的个数m.〔9〕 n 个n 维向量12n ,,,ααα线性无关的充分必要条件是以向量组为列作的行列式的值()12n ,,,ααα≠0.〔10〕当m>n 时，m 个n 维向量肯定线性相关.定理1：向量组 a 1 , a 2 ,……, a m 〔m ≥2〕线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示．定理2：如果向量组A ：a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关，而向量组 a 1 , a 2 ,……, a r ，α线性相关，则α可由A 线性表示，且表示式唯一.定理3：设向量组2r 1A :,,,ααα，12r r 1m B :,,,,,,ααααα+假设A 线性相关，则向量组B 也线性相关；反之，假设向量组B 线性无关，则向量组A 也线性无关.〔即局部相关，则整体相关；整体无关，则局部无关〕. 定理4：无关组的截短组无关，相关组的接长组相关. 3. 极大无关组与向量组的秩定义1 如果在向量组 T 中有 r 个向量 a 1 , a 2 ,……, a r ，满足条件： ⑴ 向量组 a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关， ⑵ T α∀∈，2r 1,,,,αααα线性相关.那么称向量 a 1 , a 2 ,……, a r 是向量组 T 的一个极大无关组.定义2 向量组的极大无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩.定义3 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。

自考试题线性代数题库及答案

自考试题线性代数题库及答案线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。

以下是一套自考试题线性代数题库及答案，供学习者参考。

一、选择题1. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)B. \( B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)C. \( C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)D. \( D = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \)答案： C2. 设 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 矩阵，\( I \) 是 \( n\times n \) 的单位矩阵，若 \( A^2 = I \)，则 \( A \) 称为：A. 正交矩阵B. 反对称矩阵C. 正交变换矩阵D. 反射变换矩阵答案： D二、填空题1. 设向量 \( \mathbf{v} = (1, 2, 3) \)，向量 \( \mathbf{w} =(4, 5, 6) \)，这两个向量的点积为 __________。

答案： 322. 若 \( A \) 是一个 \( m \times n \) 矩阵，\( B \) 是一个\( n \times p \) 矩阵，则 \( AB \) 的行列数为 __________。

答案： \( m \times p \)三、解答题1. 证明：若 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 矩阵，且 \( A^n =I \)，则 \( A \) 必定可逆。

解答：由于 \( A^n = I \)，我们可以得出 \( A \) 的 \( n \) 次幂是单位矩阵。

自考线性代数试题及答案

自考线性代数试题及答案线性代数是数学中的一个重要分支，其应用广泛而深入。

对于参加自考线性代数考试的考生来说，熟悉并掌握相关的试题及答案是非常重要的。

本文将为大家提供一些常见的自考线性代数试题及答案，希望能对广大考生有所帮助。

第一部分：选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 向量B. 矩阵C. 整数D. 行列式答案：C2. 在矩阵运算中，AB≠BA时，那么A和B一定是什么关系？A. 逆矩阵关系B. 对称矩阵关系C. 反对称矩阵关系D. 非方阵关系答案：D3. 线性方程组Ax=b，若有解，则必须满足下列哪个条件？A. 矩阵A可逆B. 矩阵A不可逆C. 矩阵A是对称阵D. 矩阵A的秩为0答案：A第二部分：填空题1. 设A为3×3矩阵，|A|=-2，那么A的行列式展开式中，元素a11、a12、a13分别是多少？答案：a11=-2，a12=0，a13=02. 矩阵的秩与其行数、列数之间有何关系？答案：矩阵的秩小于等于其行数和列数的最小值。

3. 矩阵的转置运算满足什么性质？答案：(AB)ᵀ = BᵀAᵀ第三部分：计算题1. 计算矩阵乘法：A = 2 1 3B = 0 -10 1 2 2 1-1 0 1 1 2答案：AB = (2*0 + 1*2 + 3*1) (2*-1 + 1*1 + 3*2)(0*0 + 1*2 + 2*1) (0*-1 + 1*1 + 2*2)(-1*0 + 0*2 + 1*1) (-1*-1 + 0*1 + 1*2)= 7 64 31 3第四部分：解答题1. 证明以下等式成立：(A + B)C = AC + BC证明：设A、B、C都是m×n的矩阵，按矩阵乘法的定义，左边的矩阵乘积为：(A + B)C = [(a11 + b11)*c11 + (a12 + b12)*c21 + ... + (a1n + b1n)*cn1][(a21 + b21)*c12 + (a22 + b22)*c22 + ... + (a2n + b2n)*cn2] ...[(am1 + bm1)*c1n + (am2 + bm2)*c2n + ... + (amn + bmn)*cnn]右边的矩阵乘积为：AC + BC = [a11*c11 + a12*c21 + ... + a1n*cn1] + [b11*c11 + b12*c21 + ... + b1n*cn1][a21*c12 + a22*c22 + ... + a2n*cn2] + [b21*c12 + b22*c22+ ... + b2n*cn2]...[am1*c1n + am2*c2n + ... + amn*cnn] + [bm1*c1n + bm2*c2n + ... + bmn*cnn]可以观察到左右两边的每一项是相等的，因此左边的矩阵乘积等于右边的矩阵乘积，得证。

2018年4月高等教育自学考试《工程数学》试题06268

2018年4月高等教育自学考试《工程数学》试题课程代码：06268一、单项选择题1．设A 、B 是n 阶方阵，则下列命题中一定成立的是（D ）A ．AB=BAB ．(A+B )2=A 2+2AB +B 2C ．22))((B A B A B A -=-+D ．AB A B A A +=+2)(2．设D 是行列式，ij A 是元素ij a 的代数余子式，下列等式中正确的是（B ）A ．∑==n k ik ik A a 10B ．∑==nk ik ik D A a 1C ．∑=≠=n k ik ik j iD A a 1)( D ．∑=+=n k k i ik D A a 1,13．设向量组)2,3,1(),3,,1(),,3,1(),1,2,1(121====βαααk k ，若β不能由321,,ααα线性表示，则=k （D ）A ．0≠kB ．3≠kC ．0=kD ．0=k 或3=k4．A ,B 均为n 阶方阵，满足0=AB 且2)(-=n A R ，则必有（C ）A ．2)(=B R B ．2)(<B RC ．2)(≤B RD ．1)(≥B R5．设n 元齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵A 的秩5)(-=n A R ，则0=AX 的基础解系中含有的向量个数是（C ）A ．nB ．5-nC ．5D ．16．设A 、B 、C 是任意三个随机事件，则以下命题中正确的是（A ）A ．B A B B A -=-)( B ．A B B A =)(C ．)()(C B A C B A -=-D ．B A B A B A =)(7．袋中装有4只球，其中2只红球，2只白球，从中取两球，两球都是白球的概率是（B ）A ．41B ．61C ．161D ．81 8．箱中5件产品中有3件正品，2件次品。

今从中依次取两件产品(不放回)，则在第一次取到次品的条件下，第二次取到正品的概率是（D ）A ．21B ．51C ．53D ．43 9．下列命题中不正确的是（C ）A ．)(1)(A P A P -=B ．0)(=ϕP （ϕ是不可能事件）C ．)()()(B P A P B A P -=+D ．若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-10．设X 服从两点分布，且q p X P p X P =-====1}0{,}1{，则下列等式中不正确的是（C ）A ．p X E =)(B ．p X E =)(2C ．22)(p X E =D ．pq X D =)(11．设A ,B ,C 为随机事件，则下列等式中不正确的是（D ）A ．AB B A = B ．BA AB =C ．)()(C B A C B A =D ．B A B A =12．一个盒子中装有10个完全相同的球，分别标有号码1，2，…，10，从中任取三球，其中一个球的号码小于5，一个等于5，一个大于5的概率是（A ）A ．61B ．21C ．31D ．51 13．下列命题中，正确的是（C ）A ．0)(=A P ，则A 是不可能事件B ．)()()(Y D X D Y X D +=+C ．)()()(B P A P B A P += ，则0)(=AB PD ．1)()(=-AB P B A P ，则1)()(=+B P A P14．方差0)(=X D 的充分必要条件是（A ）A ．1)}({==X E X PB ．C X =C ．)(X E X =D ．C XE X =-)(15．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，则对Y=4X 的分布函数)(y G ，结论正确的是（B ）A ．)4()(y F y G =B ．)4()(y F y G =C ．)(4)(y F y G =D ．)(41)(y F y G =二、填空题 16． =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0123)4321( 10 。

线性代数自考试题及答案

线性代数自考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）A. 可逆B. 不可逆C. 行等价于零矩阵D. 列等价于零矩阵答案：B2. 若矩阵A的秩为r，则矩阵A的齐次线性方程组的解空间的维数为（）A. rB. r-1C. n-rD. n+r答案：C3. 向量组α1，α2，…，αs线性无关，则（）A. 向量组α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs线性无关B. 向量组kα1，kα2，…，kαs线性无关，其中k为非零常数C. 向量组α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs，αs线性无关D. 向量组kα1，kα2，…，kαs线性相关，其中k为非零常数答案：B4. 设A为n阶方阵，且|A|≠0，则下列命题中正确的是（）A. A与A*的秩相等B. A*与A^(-1)的秩相等C. A与A^(-1)的秩相等D. A与A*的秩不相等答案：C5. 矩阵A=（）A. 行最简形矩阵B. 行阶梯形矩阵C. 行等价于单位矩阵的矩阵D. 行等价于零矩阵的矩阵答案：C6. 设A为3×3矩阵，且|A|=2，则|2A|=（）A. 4B. 8C. 16D. 32答案：C7. 设A为n阶方阵，且A^2=0，则（）A. A=0B. |A|=0C. A可逆D. A不可逆答案：D8. 设A为n阶方阵，且A^2=E，则（）A. A=0B. |A|=0C. A可逆D. A不可逆答案：C9. 设A为n阶方阵，且A^T=A，则（）A. A为对称矩阵B. A为反对称矩阵C. A为正交矩阵D. A为斜对称矩阵答案：A10. 设A为n阶方阵，且|A|=1，则|A^(-1)|=（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 若A为n阶方阵，且|A|=-3，则|-2A|=______。

答案：1212. 设A为n阶方阵，且A^2=0，则矩阵A的秩r(A)满足______。

学历类《自考》自考公共课《工程数学-线性代数》考试试题及答案解析

学历类《自考》自考公共课《工程数学-线性代数》考试试题及答案解析姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分评卷人得分1、设v(x,y)在区域D内为u(x,y)的共轭调和函数，则下列函数中为内解析函数的是A、v(x,y)+iu(x,y)B、v(x,y)-iu(x,y)C、u(x,y)-iv(x,y)D、正确答案：B答案解析：暂无解析2、下列命题中，正确的是A、设v1,v2在区域D内均为u的共轭调和函数，则必有v1v2B、解析函数的实部是虚部的共轭调和函数C、若f(z)=u+iv在区域D内解析，则xu为D内的调和函数D、以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数正确答案：C答案解析：暂无解析3、设c为任意实常数，那么由调和函数u=x²-y²确定的解析函数f(z)=u+iv是A、iz²+cB、iz²+icC、z²+cD、z²+ic正确答案：D答案解析：暂无解析4、设f(z)在单连通域B内处处解析且不为零，c为B内任何一条简单闭曲线，则积分A、等于2πiB、等于-2πiC、等于0D、不能确定正确答案：C答案解析：暂无解析5、设c为正向圆周|z|1/2，则A、2π（3cos1-sin1）B、0C、6πicos1D、-2πsin1正确答案：B答案解析：暂无解析6、设c为正向圆周|z|=1/2，则A、2π（3cos-sin1）B、0C、6paiicos1D、-2πsin1正确答案：B答案解析：暂无解析7、设c为正向圆周|z|=2，则A、-sin1B、sin1C、-2πisin1D、2πisin1正确答案：C答案解析：暂无解析8、设:c1：|z|为负向，c2:|z|3正向，则A、-2πiB、0C、2πiD、4πi正确答案：B答案解析：暂无解析9、设c为不经过点1与1的正向简单闭曲线，则A、B、C、0D、(A)(B)(C)都有可能正确答案：D答案解析：暂无解析10、设c为从原点沿y²=x至1+i的弧段，则A、B、C、D、正确答案：D答案解析：暂无解析11、设X为随机变量，其方差存在，c为任意非零常数，则下列等式中正确的是A、D(X+c)=D(X)B、D(X+c)=D(X)+cC、D(X-c)=D(X)-cD、D(cX)=cD(X)正确答案：A答案解析：暂无解析12、设随机变量X～N(u,4²),Y～N(u,5²),P1=P{X≤u-4},P2=P{Y≥u+5},则有A、对于任意的u,P1=P2B、对于任意的u,P1P2正确答案：A答案解析：暂无解析13、下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是A、B、C、D、正确答案：D答案解析：暂无解析14、对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有A、X和Y独立B、X和Y不独立C、D(X+Y)=D(X)+D(Y)D、D(XY)=D(X)D(Y)正确答案：C答案解析：暂无解析15、某人打靶3发，事件Ai表示“击中i发”，i=0,1,2,3.那么事件A=A1∪A2∪A3表示A、全部击中B、至少有一发击中C、必然击中D、击中3发正确答案：B答案解析：暂无解析16、某人打靶3发，事件Ai表示“击中i发”，i=0,1,2,3.那么事件A=A1∪A2∪A3表示A、全部击中B、至少有一发击中C、必然击中D、击中3发正确答案：B答案解析：暂无解析17、对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有A、X和Y独立B、X和Y不独立C、D(X+Y)=D(X)+D(Y)D、D(XY)=D(X)D(Y)正确答案：C答案解析：暂无解析18、下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是A、B、C、D、正确答案：D答案解析：暂无解析19、设随机变量X～N(u,4²),Y～N(u,5²),P1=P{X≤u-4},P2=P{Y≥u+5},则有A、对于任意的u,P1=P2B、对于任意的u,P1P2正确答案：A答案解析：暂无解析20、设X为随机变量，其方差存在，c为任意非零常数，则下列等式中正确的是A、D(X+c)=D(X)B、D(X+c)=D(X)+cC、D(X-c)=D(X)-cD、D(cX)=cD(X)正确答案：A答案解析：暂无解析21、设3阶矩阵A的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*，则|A*+3A–2E|=正确答案：9答案解析：暂无解析22、设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P，则该系统正常工作的概率为正确答案：1–(1–P)³答案解析：暂无解析23、设随机变量X的概率密度函数为f(x)=2x0xA,f(x)=0, 则概率正确答案：3/4答案解析：暂无解析24、设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为，则系数k=正确答案：12答案解析：暂无解析25、设c为正向圆周|z|=3，则正确答案：6πi答案解析：暂无解析26、解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的正确答案：平均值答案解析：暂无解析27、设u(x,y)的共轭调和函数为v(x,y)，那么v(x,y)的共轭调和函数为正确答案：-u（x，y）答案解析：暂无解析28、发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“1”和“0”。

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工程数学复习资料2020.7线性代数部分一、单选题1. 下列各式正确的是（）。

A 、a b cd d c b a =B 、cda b d c b a =C 、ba d c dc b a =D 、db ac dc b a =2. 行列式=987654321（）。

A 、-1B 、0C 、1D 、23. =k h g f e d c b a λλλλλλλλλ（）khg f ed c b a 。

A 、0λ B 、1λ C 、2λ D 、3λ4. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，=*A （）。

A 、-1B 、1C 、-2D 、25. 若行列式010143≠-a aa ，则（）。

A 、1≠aB 、3≠aC 、4≠aD 、1≠a 且3≠a6. 若行列式nnn n nna a a a a a a a a D 212222111211=，ij A 为元素ij a 的代数余子式，下列各式正确的是（）。

A 、kj nj ijA aD ∑==1 ，k i ≠ B 、kj nj ij A a D ∑==1 ，k i =C 、jk nj jiA aD ∑==1，k i ≠ D 、jk nj ji A a ∑==10 ，k i =7. =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛87654321（）。

A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛41026 B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12381C 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛121021 D 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛121086 8. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a λλλλλλλλλ=（）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a 。

A 、0λ B 、1λ C 、2λ D 、3λ9. n⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011 =（）。

A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛101n B 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛101n C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 011 D 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111n10. n⎪⎪⎭⎫⎝⎛1101 =（）。

A 、 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛101n B 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛110n C 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 101 D 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛111n 11. 10110-⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =（）。

A 、 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001 B 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100 B 、 C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0011 D 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011012. B A ,为方阵，()=kAB （）。

A 、k kB A B 、k k A BC 、()B AB A k 1- D 、()A BAB k 1-13. A 为n 阶方阵，=*A （）。

A 、AB 、1C 、0D 、1-n A14. 设A 、B 为可逆矩阵，则分块矩阵⎝⎛0A ⎪⎪⎭⎫B 0的逆矩阵是（）。

A 、 ⎝⎛-10A ⎪⎪⎭⎫-01B B 、⎝⎛-10B ⎪⎪⎭⎫-0A 1 C 、 ⎝⎛-0A 1 ⎪⎪⎭⎫-1B 0 D 、⎝⎛-0B 1 ⎪⎪⎭⎫-1A 0 15. 设A 、B 为可逆矩阵，则分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛00B A 的逆矩阵是（）。

A 、 ⎝⎛-10A ⎪⎪⎭⎫-01B B 、⎝⎛-10B ⎪⎪⎭⎫-0A 1 C 、 ⎝⎛-0A 1 ⎪⎪⎭⎫-1B 0 D 、⎝⎛-0B 1 ⎪⎪⎭⎫-1A 016. 设所有的运算均可行，则在一般情况下，下列命题中正确的是（）A 、BA AB = B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、AB A B A A +=+2)( 17. 设Ｄ是行列式，ijA 是元素ija 的代数余子式，下列等式中正确的是（）A 、01=∑=ik nk ikA aB 、 DA aik nk ik=∑=1C 、 )(,1j i D A ajk nk ik≠=∑= D 、 DA ak i nk ik=+=∑,1118. 设向量组),2,3,1(),3,,1(),,3,1(),1,2,1(121====βααααα，当α满足（）时，β不能由321,,ααα线性表示。

A 、0≠αB 、3≠αC 、0=αD 、0=α或3=α19. B A ,均为n 阶方阵，满足0=AB 且2)(-=n A R ，则必有（）A.2)(=B R B 、2)(<B R C 、2)(≤B R D 、1)(≥B R20. 设n 元齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵Ａ的秩,5)(-=n A R 则0=AX 的基础解系中含有（）个向量。

A 、 nB 、 5-nC 、 5D 、１21. 设n 阶方阵C B A ,,可逆且满足E ABC =，则必有（）A 、E ACB = B 、E CBA =C 、E BAC =D 、E BCA =22. 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++02020321321321x x x ax x x x x x 有非零解的充分必要条件是常数=a （）A 、１B 、２C 、３D 、４23. 设Ａ.Ｂ为可逆矩阵，则分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛00B A 的逆矩阵是（）A 、 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0011B A B 、 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0011A BC 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1100B A D 、 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1100A B24. 设Ａ为n m ⨯矩阵,),,(b A B =则方程组b AX =有无穷多解的充要条件是（）A 、)()(B R A R < B 、 )()(B R A R >C 、n B R A R ==)()(D 、 n B R A R <=)()(25. 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3500030000200041A ，则A 的特征值是（）A 、2,2,1,1 B 、3,2,1,1 C 、1,2,3,3 D 、3,2,2,1 26. 设C B A ,,均为n 阶方阵，则下列命题不正确的是（）A 、 )()(CB AC B A ++=++ B 、 )()(BC A C AB = C 、 BA AB =D 、 AC AB C B A +=+)(27. 排列（１，８，２，７，３，６，４，５）的逆序数为（）A 、10B 、 12C 、 11D 、 928. 下列向量组中，线性无关的向量组是（）A 、)0,23,21(),0,3,1(-- B 、)0,1(),0,2( C 、)6,2,2(),0,1,1(),5,4,2(),3,1,1(- D 、)11,3,7(),2,1,2(),9,2,5(29. 设B A ,均为n 阶方阵且可逆，A 为A 的行列式，则下列命题中不正确的是（）A 、CB A X 11--= B 、11--=B CA X C 、11--=CB A X D 、11--=CA B X30. 设[]y x ,表示两向量y x ,的内积，y x ,为非零向量，下列命题中不正确的是（）A 、[][]x y y x ,,=B 、[]y x y x ,0,⇔=正交C 、[][]y x y x ,,λλλ=D 、[][][]z y z x z y x ,,,+=+31. 设B A ,均为n 阶方阵，则下列命题不正确的是（）A 、 lk lkAA A +=⋅B 、 kll k A A =)(C 、 k k k B A AB =)(D 、B BA A AB k k 1)()(-= 32.=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1520)4321(（）A 、)23(B 、23C 、 1231D 、23-33. 排列（２，４，５，３，１，８，７，６）的逆序数为（）A 、 9B 、 10C 、 12D 、 834.),1,3,1,2(),1,0,1,1(),1,0,0,0(321===ααα),1,0,1,1(4=α)1,1,1,0(5--=α的最大无关组是（）A 、321,,ααα B 、 521,,ααα C 、 5431,,,αααα D 、 4321,,,αααα35. 下列命题中正确的是（）A.若r 21,,,ααα 是一组线性相关的n 维向量，则对于任意不全为0的数r k k k 21,，均有0r 2211=+++r k k k αααB.若r 21,,,ααα 是一组线性无关的n 维向量，则对于任意不全为0的数r k k k 21,，均有0r 2211≠+++r k k k αααC.如果向量组)2(,,,r 21≥r ααα 中任取个m 向量)(r m <所组成的部分向量组都线性无关，则这个向量组本身也是线性无关的D.若)2(,,,r 21≥r ααα 线性相关，则其中任何一个向量均可由其余向量线性表示36. 设Ａ.Ｂ为可逆矩阵，则分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 00的逆矩阵是（） A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0011B A B 、 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0011A B C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1100B A D 、 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1100A B37. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=22111212112a a A 使3)(=A R ，则a 的值（） A 、2,1-==a a B 、2,1-=≠a a C 、2,1-≠=a a D 、2,1-≠≠a a38. 下列命题中正确的是（）A. 设21,ηη==x x 是b AX =的解，则21ηη+=x 是b AX =的解B. 设21,ηη==x x 是b AX =的解，则21ηη-=x 是b AX =的解C. 设21,ηη==x x 是b AX =的解，则21ηη+=x 是0=AX 的解D. 设21,ηη==x x 是b AX =的解，则21ηη-=x 是0=AX 的解 39. 设Ｐ是正交矩阵，则下列命题中不正确的是（）A.T P P=-1B 、 E PP T =C.Ｐ的列向量是两两正交的向量 D 、Ｐ的行向量都是单位向量且两两相交40. 已知n 阶方阵A 适合022=++n I A A ，则必有（）A 、=A B 、0=+n I AC 、A 可逆D 、1-=A41. TA 表示A 的转置距阵，则下列命题不正确的是（）A.A A T T =)( B 、T T T B A B A +=+)( C 、 T T A A λλ=)( D 、TT T B A AB =)(42. 排列（1，8，2，7，3，6，4，5）是（）A 、奇排列B 、偶排列C 、非奇非偶D 、以上都不对43. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则下列命题正确的是（）A 、41433221,,,αααααααα++++线性无关B 、14433221,,,αααααααα----线性无关C 、14433221,,,αααααααα-+++线性无关D 、14433221,,,αααααααα--++线性无关44. 设Ａ为n 阶方阵，若,2)(-=n A R 则0=AX 的基础解系所含向量个数是（）A 、零个（即不存在）B 、１个C 、２个D 、 n 个 45. 下列命题中不正确的是（）A. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的B. 属于同一特征值的特征向量只有一个C. 两个相似矩阵的特征值相同D. 对称矩阵对应于两个不同特征值的特征向量是正交的46. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111111111A 的秩为（）。