《导数的概念与基本运算》教案1
《导数的概念》教案
《导数的概念》教案教案：导数的概念1.教学目标：1.1.知识目标：学生能够了解导数的概念及其基本性质。
1.2.能力目标：学生能够应用导数的概念解决实际问题。
1.3.情感目标：通过对导数的学习，培养学生的分析和解决问题的能力，并培养学生的兴趣和热爱数学的情感。
2.教学重点：2.1.导数的定义和概念。
2.2.导数的基本性质。
3.教学难点：3.1.导数的基本性质的理解和应用。
3.2.导数的计算和应用。
4.教学过程：4.1.导入（10分钟）：引入导数的概念，通过一个简单的例子说明导数的作用和意义。
4.2.导数的定义（20分钟）：4.2.1.简单介绍导数的定义和符号表示。
4.2.2.讲解导数的物理意义和几何意义。
4.2.3.通过实例和图像说明导数的计算。
4.3.导数的基本性质（30分钟）：4.3.1.导数的定义区间和存在性。
4.3.2.导数的唯一性和连续性。
4.3.3.导数的运算法则。
4.4.导数的应用（30分钟）：4.4.1.导数在函数图像的研究中的应用。
4.4.2.导数在最值问题中的应用。
4.4.3.导数在速度和加速度中的应用。
4.5.小结（10分钟）：对导数的概念及其应用进行总结，并布置相应的作业。
5.教学手段：5.1.板书与讲解相结合的教学方法。
5.2.生动形象的实例和图像辅助讲解。
5.3.教师提问和学生互动的教学方式。
6.教学资源：教材、黑板、彩色粉笔、投影仪等。
7.教学评价：7.1.反馈评价：学生在课堂上积极参与，课堂气氛活跃。
7.2.笔试评价：设计一套综合性的习题，考查学生对导数概念理解和应用的能力。
7.3.直观评价：观察学生在计算和解决实际问题时运用导数的能力和方法。
8.教学延伸：8.1.导数的计算和应用在微积分的后续学习中具有重要的作用，学生还需继续加深对导数概念和应用的理解。
8.2.练习不同类型的导数计算题目，提高运算能力和分析解决问题的能力。
8.3.进一步了解导数的发展与应用，拓宽数学知识的广度。
导数概念教案
导数概念教案教案标题：导数概念教案教学目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决实际问题。
教学准备：1. 教材：包含导数概念和计算方法的相关章节；2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔或马克笔、计算器；3. 学具：练习题集、实际问题案例。
教学过程：引入：1. 引导学生回顾函数的概念和图像特征；2. 提问学生是否知道如何描述函数在某一点的变化情况；3. 引出导数的概念，并解释导数是描述函数变化速率的工具。
讲解导数的定义：1. 介绍导数的定义：函数f(x)在点x处的导数表示函数在该点的变化率，记作f'(x)或dy/dx；2. 解释导数的几何意义：导数是函数曲线在某一点处的切线斜率；3. 通过几个示例图形化展示导数的概念。
计算导数的方法：1. 讲解导数的计算方法：使用极限的概念，计算函数在某一点的导数；2. 指导学生通过求导法则计算导数：常数法则、幂法则、和差法则、乘法法则和除法法则；3. 给予学生一些练习题，巩固导数计算方法。
应用导数解决问题：1. 引导学生思考导数在实际问题中的应用：如速度、加速度、最优化问题等；2. 通过实际问题案例，让学生应用导数解决相关问题；3. 强调导数在实际问题中的重要性和实用性。
总结：1. 总结导数的概念和意义；2. 强调导数的计算方法和应用；3. 鼓励学生继续练习和应用导数，提高数学问题解决能力。
教学延伸：1. 鼓励学生自主学习更多导数的性质和应用；2. 引导学生进一步探究导数的图像和曲线变化特征；3. 提供更多的实际问题案例，让学生应用导数解决更复杂的问题。
教学评估：1. 教师观察学生对导数概念的理解和计算方法的掌握情况；2. 课堂练习题的完成情况和准确度；3. 学生在实际问题解决中的应用能力。
导数的概念教案及说明
导数的概念教案及说明教学目标：1. 理解导数的定义和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决实际问题。
教学内容：第一章：导数的定义1.1 引入导数的概念1.2 导数的定义及其几何意义1.3 导数的计算法则第二章：导数的计算2.1 基本导数公式2.2 导数的四则运算2.3 高阶导数第三章：导数的应用3.1 函数的单调性3.2 函数的极值3.3 曲线的切线与法线第四章：导数与实际问题4.1 运动物体的瞬时速度与加速度4.2 函数的优化问题4.3 导数在经济学中的应用第五章：导数的进一步应用5.1 曲线的凹凸性与拐点5.2 函数的单调区间与最大值、最小值5.3 函数的渐近线教学步骤：1. 引入导数的概念：通过生活中的例子，如物体运动的瞬时速度，引出导数的定义。
2. 讲解导数的定义及其几何意义：解释导数的定义，并通过图形演示导数的几何意义。
3. 导数的计算法则：讲解基本导数公式，引导学生掌握导数的计算方法。
4. 导数的应用：通过实例讲解函数的单调性、极值等概念，并引导学生运用导数解决实际问题。
5. 总结与拓展：总结本章内容，提出进一步的学习要求和思考题。
教学评价：1. 课堂讲解：评价教师的讲解是否清晰、生动，能否引导学生理解和掌握导数的概念和计算方法。
2. 课堂练习：评价学生是否能够正确计算导数，并应用导数解决实际问题。
3. 课后作业：评价学生是否能够独立完成作业，并对导数的应用有深入的理解。
教学资源：1. 教案、PPT等教学资料；2. 数学软件或计算器；3. 实际问题案例。
教学建议：1. 注重引导学生从实际问题中抽象出导数的概念，提高学生的学习兴趣和积极性；2. 通过图形演示导数的几何意义，帮助学生直观理解导数的概念；3. 鼓励学生进行课堂练习和课后作业，及时巩固所学知识；4. 结合实际问题，引导学生运用导数解决实际问题，提高学生的应用能力。
第六章：导数与函数的单调性6.1 单调增函数与单调减函数6.2 利用导数判断函数的单调性6.3 单调性在实际问题中的应用第七章：函数的极值与导数7.1 极值的概念7.2 利用导数求函数的极值7.3 极值在实际问题中的应用第八章：曲线的切线与法线8.1 切线方程的求法8.2 法线方程的求法8.3 切线与法线在实际问题中的应用第九章：导数与函数的图像9.1 凹凸性的定义与判断9.2 拐点的定义与判断9.3 利用导数分析函数的图像特点第十章：导数在经济、物理等领域的应用10.1 导数在经济学中的应用10.2 导数在物理学中的应用10.3 导数在其他领域的应用案例分析教学步骤：6.1-6.3：通过具体例子讲解单调增函数与单调减函数的概念，引导学生利用导数判断函数的单调性，并应用于实际问题。
导数的概念教案
导数的概念教案教案标题：导数的概念教案教案目标：1. 理解导数的概念及其在数学中的作用；2. 能够计算简单函数的导数；3. 掌握导数的基本性质。
教案内容：引入导数的概念（10分钟）：1. 通过简单的例子引出导数的概念，如一个物体在一段时间内移动的速度；2. 引导学生思考物体移动速度的变化情况，并提问他们是否可以用数学的方式表示和计算物体的速度。
导数的定义（15分钟）：1. 介绍导数的定义：函数在某一点的导数是该点的切线斜率；2. 引导学生理解切线的概念，并通过具体函数的图形展示切线的斜率如何表示导数。
导数的计算（20分钟）：1. 通过具体函数的例子，逐步教授导数的计算方法，如用极限法求导、使用导数公式等；2. 练习不同类型函数的导数计算，包括多项式、指数、对数、三角等函数。
导数的基本性质（15分钟）：1. 介绍导数的基本性质，如常数函数的导数为0、导数的线性性质、导数的乘积法则和商法则等；2. 引导学生通过具体例子理解和应用导数的基本性质。
综合练习（20分钟）：1. 提供一些综合性的导数计算题目，并鼓励学生尝试自己解答；2. 老师对学生的解答进行点评和纠正，加深对导数概念和计算方法的理解。
总结和拓展（10分钟）：1. 总结导数的概念、计算方法和基本性质；2. 引导学生思考导数在实际生活和其他学科中的应用，并鼓励他们自主学习和探索更多有关导数的知识。
教学资源：1. 教学课件或投影仪；2. 教材、作业本和练习题。
评估方式：1. 教师通过课堂参与度、问题回答情况和练习题完成情况来评估学生的学习情况；2. 可以设计小组或个人综合性评估题目，考察学生对导数概念和计算方法的整体掌握情况。
教学反思：在教案中，关键是引导学生理解导数的概念及其作用，同时通过具体例子和计算方法让学生掌握导数的计算和基本性质。
在教学过程中，要注重与学生的互动和思维激发，鼓励学生积极参与问题解答和练习，加深对导数的理解。
另外，要结合实际生活和其他学科的应用，让学生认识到导数在数学中的重要性和广泛应用的价值。
数学高中导数定律教案
数学高中导数定律教案
教学目标：
1.理解导数的定义和意义。
2.掌握导数的基本运算法则。
3.掌握导数的常用定律。
教学重点：
1.导数的定义和基本运算法则。
2.导数的常用定律。
教学难点：
1.对导数的理解和应用。
2.导数的运算法则及定律的灵活运用。
教学准备：
1.教科书、教具、黑板、彩色粉笔。
2.学生练习本。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引导学生回顾导数的定义和意义，引出导数的运算法则和常用定律。
二、讲解导数的基本运算法则（10分钟）
1.导数的四则运算法则。
2.导数的复合函数法则。
三、讲解导数的常用定律（15分钟）
1.常数函数导数的定理。
2.幂函数导数的定理。
3.指数函数导数的定理。
4.对数函数导数的定理。
四、巩固练习（15分钟）
教师出示几道相关的练习题，让学生运用所学的导数定律进行练习，并进行讲解。
五、课堂小结（5分钟）
教师和学生一起回顾本节课的重点内容，并对导数的定律进行总结。
六、作业布置（5分钟）
布置相关的作业，要求学生运用导数的定律进行求解。
教学反思：
通过本节课的学习，学生能够掌握导数的基本运算法则和常用定律，并能够灵活运用导数
定律解决相关问题。
同时，教师也要引导学生多进行练习，加深对导数定律的理解和掌握。
导数公式和运算法则教案
导数公式和运算法则教案一、教学目标1.理解导数的定义和概念。
2.掌握导数的公式和运算法则。
3.能够灵活运用导数公式和运算法则解决实际问题。
二、教学准备1.教材：高中数学教材。
2.工具：黑板、彩色粉笔、教学PPT。
三、教学过程1.导入导数的定义和概念（15分钟）教师使用PPT展示导数的定义和概念，引导学生回顾导数的概念，并解释导数与函数的变化率之间的关系。
通过一些例题让学生感受导数的实际应用。
2.导数公式的介绍和讲解（30分钟）教师依次讲解常见函数的导数公式，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
对每个函数的导数公式进行逐一证明和解释，引导学生理解其中的推导过程。
3.导数的基本运算法则（30分钟）教师介绍导数的基本运算法则，包括常数规则、加减法则、乘法法则和除法法则。
通过实例演示，让学生理解和掌握这些运算法则的应用。
并提醒学生注意特殊情况和需要注意的问题。
4.实例演练与讨论（30分钟）教师提供一些实际问题，让学生利用导数公式和运算法则进行求解。
鼓励学生积极思考和参与讨论，提高他们的解题能力。
5.小结和课后作业（15分钟）教师对本节课的内容进行小结，并强调要求学生掌握导数的公式和运算法则。
布置相关的课后作业，巩固和深化学生的学习。
四、教学反思本节课通过对导数公式和运算法则的介绍和讲解，培养了学生对导数的理论和实际应用的理解能力，同时通过实例演练和讨论，培养了学生解决问题的能力和思维能力。
在教学过程中，教师注重直观性的解释和举例，并给予学生足够的练习机会，提高了学习效果。
同时，在教学过程中也注意对学生解题过程的引导和问题的提问，以激发学生的思考，提高他们的思维水平。
高中数学教案导数的基本概念与计算
高中数学教案导数的基本概念与计算高中数学教案——导数的基本概念与计算1. 概述高中数学中，导数是一个重要的概念，用于描述函数在某个点上的变化率。
在教学中，理解导数的基本概念以及掌握导数的计算方法是学生掌握微积分的关键。
本教案将通过引入导数的概念、导数的性质以及导数计算法则等内容，帮助学生深入理解导数的基本概念与计算方法。
2. 导数的概念导数可以看作是函数f(x)在某个点x=a的切线斜率，用f'(a)或者dy/dx|_(x=a)表示。
引导学生通过图像、实例等方式感受导数的概念，并了解导数的几何意义和物理意义。
3. 导数的性质在导数的教学中，应当重点突出导数的局部性和增加性。
局部性指导数只与某个特定点附近的函数值相关，而与其他地方无关；增加性表示函数单调递增时，导数的变化情况。
4. 导数计算法则4.1 基本导数法则介绍导数的基本运算法则，如常数倍法则、和差法则、积法则、商法则等。
通过实例演示和练习，使学生掌握这些基本法则的应用。
4.2 常见函数的导数引导学生熟悉常见函数的导数表达式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
重点讲解这些函数的导数推导过程，并通过例题演示如何计算导数。
4.3 链式法则链式法则用于计算复合函数的导数。
通过引入中间变量和链接函数的概念，帮助学生理解链式法则的运用，并通过练习加深对链式法则的掌握。
4.4 隐函数求导隐函数求导用于计算由给定方程所确定的函数的导数。
介绍利用隐函数求导公式和求导规则进行隐函数求导的方法，并通过实例演示求解过程。
5. 应用题与拓展在导数的教学中，应通过应用题和拓展知识的讲解，帮助学生将导数运用到实际问题中。
包括利用导数求函数的极值、函数的单调性、曲线的凹凸性等应用题的解答。
6. 总结与归纳对导数的基本概念与计算方法进行总结归纳，强调导数在高中数学中的重要性，并和以后学习微积分的知识做关联。
通过本教案的学习，相信学生能够全面理解导数的基本概念与计算方法，并能够熟练运用导数进行函数分析和问题求解。
导数的概念教案
导数的概念教案教案名称：导数的概念教案教学目标：1. 了解导数的概念及其意义；2. 理解导数的计算方法；3. 掌握导数的性质和应用；4. 能够应用导数解决实际问题。
教学准备：1. 打印教学材料，包括导数的定义和计算方法；2. 准备多个实例进行演示；3. 录制导数的演示视频或准备PPT。
教学流程：引入导数概念（10分钟）1. 显示导数的定义：导数是描述函数在某一点附近的变化率的量，也可看作是函数图像在某一点处的切线斜率。
2. 解释导数的意义：导数可以告诉我们函数在某点的瞬时变化速率。
比如，如果一个函数的导数为正，表示函数在该点上升；若导数为负，表示函数在该点下降；若导数为零，表示函数在该点处于极值。
3. 引导学生举例说明导数在实际生活中的应用场景，如速度为时间的导数，可以表示物体的加速度；收入为销售额的导数，可以表示销售额的增长速率等。
导数的计算方法（20分钟）1. 讲解导数的计算方法：导数的计算方法有多种，主要介绍以下几种：a. 使用定义计算导数：利用导数的定义公式，计算函数在某一点处的导数，即导数等于函数在该点的极限。
b. 使用公式计算导数：介绍常用函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数等。
c. 使用求导法则：介绍导数四则运算法则，如求和法则、差法则、积法则和商法则，以及复合函数求导法则等。
2. 举例演示导数的计算方法：通过几个具体的函数例子，进行导数的计算演示，包括使用定义计算导数、使用公式计算导数和使用求导法则计算导数。
导数的性质和应用（20分钟）1. 解释导数的性质：导数的性质有连续性、可导性和递增、递减性等，侧重讲解连续性和可导性的概念和性质。
2. 展示导数的应用：介绍导数在数学和实际问题中的应用，如极值问题、最优化问题、函数图像的绘制等。
解决实际问题（10分钟）1. 给学生提供几个实际问题，让他们应用导数求解，如最大值问题、最小值问题、最优化问题等。
2. 引导学生分析问题，提供解决问题的导数计算方法。
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导数的概念与基本运算1．导数的概念设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，自变量x 在点x 0有增量△x ，函数y ＝f (x )相应有增量△y ＝f (x 0＋△x )－f (x 0)，比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00是函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋△x 的平均变化率。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，则称函数y ＝f (x )在点x 0处有导数（又称可导），而这个极限值就叫做函数y ＝f (x )在点x 0处的导数（或变化率），记作f ' (x 0)或y'|0x x =，即)(x f '=x yx ∆∆→∆0lim＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000。
2．导数概念的某些实际背景瞬时速度是导数概念的一个物理背景，切线的斜率是导数概念的一个几何背景。
3．求导数的方法导数应用很广泛，经常需要求导，如果都用定义求一遍，不胜其烦，人们就用定义推导出一些常见函数的导函数，并作为公式加以应用。
教科书上只介绍了两个求导公式：C'=0，及()n x'=（n 为正整数）；两个法则：[f(x)±g(x)]'=f '(x)±g '(x)， [Cf（x ）]'=C f '(x) 。
根据定义不难证明上述两个法则：[f(x)±g(x)]'=== ±=()f x '()g x '±；()Cf x '⎡⎤⎣⎦0lim x C ∆→==()Cf x '。
有了这些工具，我们就能求出一切多项式函数的导数了。
另外，∵=≈，∴当△x 很小时，可把它作为一个简单易记的近似计算公式。
（1）几种常用函数的导数公式如下：C ′=0（C 为常数）； (x m )′=mx m-1(m ∈Q)； (sin x )′=cos x ； (cos x )′= -sin x ； (e x )′= e x ； (a x )′= a xln a (ln x )′=x 1； (log a x )′=x1log a e （2）两个函数四则运算的导数(u +v )′=u ′+v ′； (uv )′=v u v u '+'； )0()(2≠'-'='v v v u v u v u 。
注意事项1．在导数的定义中，应注意：⑴当△x →0时，xy∆∆有极限是函数y ＝f (x )在点x 0处有导数的前提，不可忽视。
⑵函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，是借助于函数的极限来定义的，这时△x 是自变量，x 0是事先固定好的，是常量，而xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00是△x 的函数，导数f ' (x 0)就是自变量△x 无限趋近于0时，函数xy∆∆的极限。
（3）要注意函数的变化（增量），变化率（增量之比），局部变化率（求增量比的极限）的区别。
2．导数的另一个定义式令x ＝x 0＋△x ，得△x ＝x －x 0，于是f ' (x 0)＝00)()(limx x x f x f x x --→，它与f ' (x 0)＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000是一个意思。
3．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ' (x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点M(x 0，f (x 0))处的切线的斜率。
4．导函数与在一点处的导数的区别与联系在点x 处求得的函数f ' (x )是随着点x 而变的，所以f ' (x )又可以看成x 的一个新的函数，称为原来的函数y ＝f (x )的导函数，简称导数。
函数f (x )的导数仍然是一个函数，而函数f (x )在定点x 0的导数则是一个常数。
f (x )在点x 0处的导数就是导函数f ' (x )在点x 0处的函数值。
导函数简称导数，如不特别指明求某一点处的导数，求导数就是指求导函数。
5．函数的可导性与连续性的关系函数y ＝f (x )在点x 0处可导，则函数在该点必连续，但反之未必。
即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。
因此若函数f (x )在点x 0处不连续，则f (x )在点x 0处必不可导。
典型例题讲评例1．n ∈N * ，求函数y=x —n （x≠0）的导函数 分析：我们现在除了两个基本公式和两个法则之外，只有定义可用，本题应用导数定义无疑。
解： y'====－=－=－ .说明：这与n 为正整数时(x n )'= 法则相合（即以－n 代n ，即得上式），这会使我们猜测α∈R 时，=α，这个猜测正确与否还需进一步证明，且证明方法肯定与上面的方程不同（不能再用二项式定理了）.例2．求证：若函数f (x )在点x 0处可导，则f (x )在点x 0处连续。
分析：运用可导和连续的概念。
解：设x =x 0+△x ，当0x x →时，0→∆x 。
∵函数f (x )在点x 0处可导，∴)(x f '＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000，∴[])()()(lim )(lim )(lim 0000000x f x f x x f x x f x f x x x +-∆+=∆+=→∆→∆→∆ =)]()()([lim 0000x f x xx f x x f x +∆⋅∆-∆+→∆ =)(lim )()(lim 00000x f x xx f x x f x x +∆⋅∆-∆+→∆→∆=)(0)(00x f x f +⋅'=f （x 0）。
∴)()(lim 00x f x f x x =→，即f (x )在点x 0处连续。
例3．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离S=12gt 2其中t 为经历的时间，g=9.8m/s 2， 若V==g=9.8m/s ，则下列说法正确的是（ ）（A ）0～1s 时间段内的速率为9.8m/s. （B ）在1～1+△ts 时间段内的速率为9.8m/s. （C ）在1s 末的速率为9.8m/s（D ）若△t ＞0，则9.8m/s 是1～1+△ts 时段的速率. 若△t ＜0，则9.8m/s 是1+△ts ～1时段的速率.分析：本题旨在强化对导数意义的理解，无论是从极限的本质，还是从导数的物理意义考虑，都应选（C ），但值得指出的是：中的△t 可正可负.答案：（C ）例4。
求下列函数的导数：（1）y =(1-x )(1-2x )； （2）y=(5x -4)3；（3）y =4x+ x 4-ln4； （4）y =ln(21x +-x )。
分析：根据函数的四则运算求导法则和复合函数求导法则进行求导。
解：（1）y ′=-(1-2x )-2(1-x )= 4x -3。
说明：也可以先将表达式化为y =1-3x +2x 2，再求导。
（2）y ′=3(5x -4)2·5=15(5x -4)2。
（3）y ′=4x ln4 + 4x 3-0=4x ln4+ 4x 3。
（4）y ′=xx -+211·(1211212-⋅+x x )=-211x+。
例5．定义在（α、β）上的函数f(x)满足f(1)=2，f ' (1)=3. （α＜1＜β）.（1）求 的值;（2）求 的值分析：本题无具体的函数解析式，但所求两极限的形式很象导数的定义，故应该往导数定义的形式上去凑，这就需要设法把x→1转化为△x→0的形式.解：（1） ＝＝ （f(x)+2）f '(1)0lim x ∆→ [f(1+△x)+2]= f '(1)·(f(1)+2)=3·(2+2)＝12；（2）＝()1x +f '(1)0lim x ∆→ (1+1)=6.例6．已知f(x)=(x －a)(x －b)，g(x)=cx+d.（a 、b 、c 、d 为常数），G(x)=f(x)g(x). 求证：G'x=f'xg(x)+f(x)g'(x) 解：f(x)=x 2－(a+b)x+ab ()f x '=2x －(a+b). ()g x '=c∴()f x 'g(x)+f(x) ()g x '=[2x －(a+b)](cx+d)+c(x 2－(a+b)x+ab)=3cx 2+2(d －ac －bc)x+abc －ad －bd.又G(x)=[x 2－(a+b)x+ab](d+cx)=cx 3+(d －ac －bc)x 2+(abc －ab －bd)x+abd. ∴G'(x)=3cx 2+2(d －ac －bc)x+abc －ad －bd ∴G'(x)= ()f x 'g(x)+f(x) ()g x '.例7．（1）（1982年·全国高考试题）求y=cos 23x的导数；（2）（1987年·全国高考附加题）设y = x ln(1+x 2)，求y ′。
分析：（1）根据复合函数求导法则进行求导。
解：（1）y'=2cos3x ·(cos 3x )′=-2 cos 3x sin 3x ·(3x )′=-32 os 3x sin 3x =-32sin 31x。
（2）y'=ln(1+x 2)+2212x x +。
例8．（1）已知函数y =xx x x x 4323--+，求1|='x y（2）设f (x ) =x x )11(+，求)21(f '。
分析：（1）先将函数化为几个指数函数的和，再求导；（2）先将f (x )化为以e 为底的复合指数函数，再求)(x f '，最后求值。
解：（1）∵y = 2312123432-----+xx xx ，∴y ′=2522321)23(4)1()21(3232----⋅----⋅+⋅x x x x =25223216233---++-x x x x 。
∴1|='x y =252232116112313---⋅++⋅-⋅=217；(2)∵f (x )= )11ln(xx e+，∴)(x f '=)11ln(xx e +[)11ln(x x +]′=x x )11(+[)11ln(x++xx x 1112+-⋅]=x x )11(+[)11ln(x +-11+x ]。
∴)323(ln 3)21(-='f 。
说明：第（1）题如果直接用四则运算求导法则求导，将增加运算量。