点估计量的性质
p 是母體的標準誤
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p 的抽樣分配
一般而言，我們使用標準誤來表示點估計量的 標準差，因此，也用比例的標準誤表示 p 的標 準差。 回到EAI的例子，以30位主管的簡單隨機樣本 ，求其樣本比例的標準誤。在EAI一例中，參 加管理課程的主管的比例為p＝0.60，由於n/N ＝ 30/2500＝0.012，故計算比例的標準誤時， 可忽略有限母體校正因子，若樣本數為30人， 則
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p 抽樣分配的形狀
當樣本數夠大時， p 的抽樣分配可近似為常態分配。
以常態分配求二項分配近似值的作法，其中，樣本大 小必須滿足以下2個條件 np ≥ 5 以及 n(1 – p) ≥ 5
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p 抽樣分配的形狀
當 np>5以及 n(1－p)>5， p 的抽樣分配可以利 用常態分配來近似。 在EAI一例中，有參加管理訓練課程的主管的 母體比例p＝0.60，樣本數為30，則np＝ 30(0.60)＝18且n(1－p)＝30(0.40)＝12，因此 p 抽樣分配可以趨近常態機率分配，如圖7.8所示 。
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點估計ide 17
點估計量的性質
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點估計量的性質
有效性
假定有n個元素的簡單隨機樣本可以提供同 一個母體參數兩個不偏估計量。此種情況下， 我們會使用標準差較小的點估計量，因為它可 以提供更接近母體參數的估計值。標準差較小 的點估計量相對於其他點估計量，有更高的相 對有效性(relative efficiency)。
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p 抽樣分配的實際值
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p 抽樣分配的實際值
如果我們增加樣本數到n＝100，則比例的標準誤變為
樣本大小為100的情況下，我們也可以計算樣本比例 p 值落在母體比例p值 ± 0.05的機率值。因抽樣分配近似 常態分配，且平均數為0.60，標準差為0.049，利用標 準常態分配表就可以計算所要的機率。 當 p ＝0.55時，z值 ＝(0.55－0.60)/0.049＝−1.02，查標 準常態分配表得知介於z＝−1.02到z＝0間的面積為 0.3461；同樣的，當 p ＝0.65時，介於z＝0到z＝1.02 間的面積也為0.3461，因此當樣本數由30增到100時， 樣本比例 值落在母體比例 p 值 ± 0.05的機率從0.4246 變為0.3461＋0.3461＝0.6922。
在7.1節中我們提到EAI母體的比例p＝0.60，此 p值為完成管理訓練課程的主管的比例，因此 EAI抽樣問題中， p 的期望值為0.60。
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p 的抽樣分配
p 的期望值
有限母體
p
p(1 p) N n n N 1
無限母體
p
p(1 p) n
從母體抽取 n 個元素 為一簡單隨機樣本
用 p值 推論 m 值
用樣本資料計算 母體比例 p
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p 的抽樣分配
p 的抽樣分配是所有樣本比例 p 值的
機率分配。
p 的期望值
E ( p) p
其中: p =母體比例
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p 的抽樣分配
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評註
我們在第3章說過，平均數與中位數都是集中 趨勢的量數。本章只討論平均數的理由是，常 態母體的母體平均數及母體中位數是相同的。 而自常態母體抽樣，中位數的標準誤比平均數 的標準誤大了25%。以EAI問題為例，n＝30， 樣本平均數的標準誤是σ ＝730.3，中位數的標 準誤則大概是1.25(730.3) ＝913。因此，樣本平 均數是更有效的，且有更大的機率更接近母體 平均數。
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點估計量的性質
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點估計量的性質
一致性
優良點估計量的另一個特性是一致性 (consistency)。簡單來說，當樣本變大，點估 計量的數值變得更接近母體參數時，就稱點估 計量是一致的。換言之，大樣本比小樣本能提 供更好的點估計值。
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^
^
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點估計量的性質
良好點估計量的性質有：
不偏性
有效性
一致性
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點估計量的性質
不偏性
如果樣本統計量的期望值等於要估計的母 體參數之期望值，則此樣本統計量就是母體參 數的不偏估計量(unbiased estimator)。
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p 抽樣分配的形狀
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p 抽樣分配的實際值
假設人事經理想要知道樣本比例 p 值落在母體 比例 ± 0.05範圍內的機率；也就是樣本比例 值落在0.55到0.65間的機率。 圖7.9的陰影部分就是此機率。我們已知 p 抽樣 分配可以用常態分配來近似，平均數為0.60， 標準差σ＝0.0894，則 p ＝0.55所對應的標準常 態z值＝(0.55－0.60)/0.894＝−0.56，查標準常 態分配表可知介於z＝−0.56到 z＝0 間的面積為 p 0.65時，z＝0到z＝0.56 0.2123；同樣的在 ＝ p 間的面積為0.2123，因此樣本比例 值落在母 體比例p值 ± 0.05的機率為0.2123＋0.2123＝ 0.4246。
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7.7 點估計量的性質
注意： θ = 母體參數 θ =樣本統計量或 θ 的點估計量 θ 是希臘字母，發音是theta，θ 則唸做thetahat。 一般而言，θ 代表任何母體參數，例如母體平 ^ 均數、母體標準差及母體比例等等；θ 則代表 對應的樣本統計量，例如樣本平均數、樣本標 準差及樣本比例。
第7章
抽樣與抽樣分配 Part B (7.6-7.8)
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抽樣與抽樣分配 Part B
7.6
p 的抽樣分配
7.7 點估計量的性質 7.8 其他抽樣方法
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7.6 p 的抽樣分配
母體比例 p 統計推論的過程
母體比例 p=?
点估计的评价标准
例6.2.7 均匀总体U(0, )中 的极大似然估计是x(n) 由于 ，所以x(n)不是 的无偏估计，而是 的渐近无偏估计。经过修偏后可以得到 的一个无 偏估计： 。且
另一方面，由矩法我们可以得到 的另一个无偏 估计 ，且 由此，当n>1时， 比 有效。
6.2.4
均方误差
无偏估计不一定比有偏估计更优。 评价一个点估计的好坏一般可以用：点估计值 与参 数真值 的距离平方的期望，这就是下式给出的均方 误差
量序列,相合性就是 依概率收敛于,所以证明
估计的相合性可应用依概率收敛的性质及各种
大数定律。
在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。 定理6.2.1 设ˆn ˆn ( x1 , , x n ) 是 的一个估计量， ˆn ˆn ( x1 , , x n ) 若 lim E ˆn , lim Var ˆn 0,
由定理6.2.1可知，x(n)是 的相合估计。
由大数定律及定理6.2.2，我们可以看到： 矩估计一般都具有相合性。比如：
样本均值是总体均值的相合估计；
样本标准差是总体标准差的相合估计；
样本变异系数是总体变异系数的相合估计。
6.2.2
无偏性
定义6.2.2
设 ˆ ˆ ( x , , x ) 是 的一个估计， 1 n 的参数空间为Θ，若对任意的∈Θ，有
均方误差是评价点估计的最一般的标准。我们希望 估计的均方误差越小越好。
注意到
MSE ( ) Var( ) ( E )
ˆ )=Var( ˆ )+(E ˆ - )2 . MSE(
2
(1)
若 ˆ是 的 无 偏 估 计 , 则 M SE ((ˆ ) Var) (ˆ ), ) Var( ˆ M SE
点估计中两种方法的分析和比较
点估计中两种常用方法的比较与分析楚尚坤河南理工大学数学与信息科学学院信息与计算科学专业2005级3班摘要：本文首先介绍矩估计法和极大似然估计法，然后对于同一分布和同一参数，用这两种不同的方法求出矩估计量和极大似然估计量，利用估计量的三条评选标准：无偏性、有效性和一致性来判断哪个估计量在这种情况下与该参数的真实值更相近，从而选择相应的点估计法。
关键词：矩估计极大似然估计无偏性有效性一致性§ 1引言当我们碰到这样的问题：假设总体分布函数的形式已知（它可由理论分析和过去经验得到，或者从抽样数据的直方图和概率纸描点初步估计出），但它的一个或多个参数未知，借助于总体的一个样本值，构造适当的样本函数来估计总体未知参数的问题，我们称之为点估计问题。
点估计是数理统计学中内容很丰富的一个分支，其中两种最常用的构造的估计量的方法是矩估计法和极大似然估计法。
当对于同一分布和同一参数时，先用矩估计法和极大似然估计法分别求得矩估计量和极大似然估计量，然后用无偏性、有效性和一致性对这两个估计量进行衡量，当样本容量足够大时，从而选出一个估计量使得这个估计量既在未知参数的真实值附近，又与未知参数真实值的偏离程度很小，而且随着样本容量n的增大估计量与被估计参数的偏差越来越小，进而选择相应的点估计法。
§ 2相关概念2.1参数估计所谓参数估计，是指从样本（X l,X2，…，X n）中提取有关总体X的信息，即构造样本的函数一一统计量g（X l,X2，…，X n），然后用样本值代入，求出统计量的观测值g（X l, X2」I （ , X n），用该值来作为相应待估参数的值。
此时，把统计量g（X1,X2，…，XQ称为参数的估计量，把9（人也凡）称为参数的估计值。
2.2参数估计的类型参数估计问题常有两类：点估计和区间估计。
（1）点估计：指对总体分布中的参数r ,根据样本（X「X2，…,X n）及样本值（X1，X2，…,X n），构造一统计量g（X i,X2，…,X n），将9（旨公2,…儿）作为二的估计值，则称g （X「X2，…，X n）为二的点估计量，简称点估计，记为A"g（X1,X2, ,X n）。
常用的参数估计方法
常用的参数估计方法参数估计是统计分析中的一个重要概念，指的是通过已有的样本数据来估计未知的参数。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计两种。
下面将分别介绍这两种方法及其常见的应用。
一、点估计点估计是通过样本数据来估计总体参数的方法之一，通常用样本的统计量（如样本均值、样本方差等）作为总体参数的估计值。
点估计的特点是简单直观，易于计算。
但是点估计的精度不高，误差较大，因此一般用在总体分布已知的情况下，用于快速估计总体参数。
常见的点估计方法包括最大似然估计、矩估计和贝叶斯估计。
1.最大似然估计最大似然估计是目前最常用的点估计方法之一。
其基本思想是在已知的样本信息下，寻找一个未知参数的最大似然估计值，使得这个样本出现的概率最大。
最大似然估计的优点是可以利用样本数据来估计参数，估计量具有一定的无偏性和效率，并且通常具有渐进正常性。
常见的应用包括二项分布、正态分布、泊松分布等。
2.矩估计矩估计是另一种常用的点估计方法，其基本思想是利用样本矩（如一阶矩、二阶矩等）与相应的总体矩之间的关系，来进行未知参数的估计。
矩估计的优点是计算简单，适用范围广泛，并且具有一定的无偏性。
常见的应用包括指数分布、伽马分布、weibull分布等。
3.贝叶斯估计贝叶斯估计是另一种常用的点估计方法，其基本思想是先对未知参数进行一个先验分布假设，然后基于样本数据对先验分布进行修正，得到一个后验分布，再用后验分布来作为估计值。
贝叶斯估计的优点是能够有效处理小样本和先验信息问题，并且可以将先验偏好考虑进去。
常见的应用包括正态分布、伽马分布等。
二、区间估计区间估计是通过样本数据来构造总体参数的置信区间，从而给出总体参数的不确定性范围。
区间估计的特点是精度高，抗扰动性强，但是计算复杂度高，需要计算和估计的样本量都很大。
常见的区间估计方法包括正态分布区间估计、t分布区间估计、置信区间估计等。
1.正态分布区间估计正态分布区间估计是一种用于总体均值和总体方差的区间估计方法，其基本思想是在已知样本数据的均值和标准差的情况下，根据正态分布的性质得到总体均值和总体方差的置信区间。
参数的点估计
例2 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本 其中 >0,
求 的最大似然估计值. 解 似然函数为
对数似然函数为
对数似然函数为 求导并令其为0
=0
从中解得
即为 的最大似然估计值 .
=0
得 即为 p 的最大似然估计值 . 从而 p 的最大似然估计量为
求最大似然估计的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合分布律(或联 合密度);
(2) 把样本联合分布律 ( 或联合密度 ) 中自变 量看成已知常数,而把参数 看作自变量,得到似然 函数L( );
(3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化为 求ln L( )的最大值点) ，即 的最大似然估计;
达到最大值的
称 为 的最大似然估计值 . 而相应的统计量 称为 的最大似然估计量 .
说明： 求似然函数L( ) 的最大值点，可以应用 微积分中的技巧。由于ln(x)是 x 的增函数, lnL( ) 与L( )在 的同一值处达到它的最大值，假定 是一实数，且lnL( )是 的一个可微函数。通过 求解方程：
(4) 在最大值点的表达式中, 用样本值代入就 得参数的最大似然估计值 .
例6 设总体 X ~N( ) , 未知 . 是来自 X 的样本值 , 试求 的最大似然估计量 .
解 X 的概率密度为
似然函数为
于是
(2π)n 2(σ 2 )n 2 exp[ 1 n
2σ 2 i1
( xi μ)2]
LnL n ln(2π) n ln σ2 1
这里我们主要介绍前面两种方法 .
1. 矩估计法
矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊 最早提出来的 . 由辛钦大数定律 ,
若总体 的数学期望
第十章点估计
点分布 B1, ，参数空间 0,1，容易得到统计模型
n
xi
i1
1
n
, n xi i1
0,1
例２ 一批灯管寿命服从指数分布E(λ), λ>0 未知，从中
随机抽取n支， X1, X 2,为, X其n 寿命，则统计模型为
值；试估计参数 λ。
着火的次数 k
0 12 3456
发生k次着火天数 nk 75 90 54 22 6 2 1 250
解： EX
令 X ,
m1
1 n
n i 1
Xi
X
则 ˆ x 1 (0 75 1 90 6 1) 1.22
250
第二节 估计方法
二.极大似然估计法 特点：适用总体的分布类型已知的统计模型
n
f (x1; ) f (x2 ; ) f (xn ; ) f (xi ; ) i 1 n
仍称为似然函数，并记之为 L( ) L(x1, x2,, xn; ) f (xi; ) . i 1
第二节 估计方法
定义:设总体的分布类型已知,但含有未知参数θ. (1) 设 (x1, x2 ,, xn ) 为总体 X 的一个样本观察值，若似
第二节 估计方法
ˆ1 ˆ1( X1, X 2 ,...,X n ) ˆ 2 ˆ 2 ( X1, X 2 ,...,X n ) ................................... ˆ k ˆ k ( X1, X 2 ,...,X n )
用上面的解来估计参数θi就是矩法估计.
X
S2
1 2
2
2 1
12
2
第5章 参数估计及点估计
第5章参数估计及点估计5.1考点归纳一、点估计1．矩估计法（1）定义设X为连续型随机变量，其概率密度为，或X为离散型随机变量，其分布律为，其中为待估参数，，，，是来自X的样本，假设总体X的前k阶矩或（X离散型）存在，其中，＝1，2，…，k．一般来说，它们是的函数，基于样本矩依概率收敛于相应的总体矩（＝1，2，，k），样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数，我们就用样本矩作为相应的总体矩的估计量，而以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量，这种估计方法称为矩估计法．（2）矩估计法的具体做法设这是一个包含k个未知参数的联立方程组，一般来说，可以从中解出，得到以分别代替上式中的，i＝1，2，…，k，就以，i＝1，2，…，k，分别作为，＝1，2，…，k的估计量，这种估计量称为矩估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值．2．克拉默-拉奥（Cramer-Rao）不等式（1）克拉默一拉奥不等式克拉默一拉奥不等式设ξ1，ξ2，…，ξn为取自具有概率函数f（x；0），θ∈Θ={θ：a<0<b}的母体ξ的一个子样，a，b为已知常数，a可以取－∞，b可以取＋∞。
又η=u（ξ1，ξ2，…，ξn）是g（θ）的一个无偏估计，且满足正则条件：①集合{x：f（x；0）>0}与0无关；②与存在，且对一切θ∈Θ，；③令称为信息量，则等式成立的充要条件为存在一个不依赖于但可能依赖于θ的K，使得等式依概率1成立。
特别当g（θ）=θ时，上式可化为：称它为克拉默—拉奥不等式。
也称为信息不等式。
（2）重要性质及定义①性质：若则②定义a．若θ的一个无偏估计使克拉默一拉奥不等式中等式：成立，则称的有效估计。
b．若的一个无偏估计，且克拉默一拉奥不等式下界存在，则称下界与的比为估计的有效率，这里。
c．若当时，一个估计的有效率则称为参数的渐近有效估计。
3．拉奥-勃拉克维尔（Rao-Blackwell）定理（1）拉奥-勃拉克维尔定理设ξ与η是两个随机变量，且Eη＝μ，Dη＞0．设ξ＝x条件下叼的条件期望，则（2）相关定理设ξ1，ξ2，…，ξn是取自一个母体ξ的子样，ξ有概率函数，且是θ的一个充分统计量，不仅是η的函数，且Eη2＝θ，则是θ的充分统计量的函数，其均值＝0，方差。
现代心理与教育统计学的复习重点
一二章、绪论现代统计学之父:皮尔逊描述统计与推断统计描述统计主要研究如何整理、描述数据的特征。
推断统计主要研究如何通过局部数据所提供的信息推论总体特征。
变量类型定类变量：如，性别、学号、颜色类别、教学方法。
特征：没有绝对零点，没有测量单位。
变量值之间有“相等"和“不等”的关系,但没有大小之分，不能比较大小，更不能进行加、减、乘、除四则运算。
定序变量：程度、等级和水平。
如，比赛名次、品质等级、喜爱程度特征：既无零点、又无测量单位。
变量的值之间具有“等于”或“不等于”关系、序关系(优于、先于、劣于、后于等），四则运算没有意义.定比变量:除了可以说出名称和排出大小,还能算出差异大小量的变量。
如温度、测验成绩、智商。
特征：有相等的测量单位，无绝对零点。
考试成绩为零不表示没有一点知识。
可进行加减运算，乘除运算则无意义。
定距变量:如身高、重量、学生人数。
既有测量单位，又有绝对零点，可进行计算。
降低偏差:利用随机抽样降低变异性：用大一点的样本三、描述统计一、频数：某一事件在某一类别中出现的次数。
频数分布类型：正态,正（负）偏态，正（反)J形，U形分布。
分布性质;集中(分散）程度,偏度和峰度不同。
偏态系数：数据的对称性峰态系数：数据的峰度二、集中量数:包括算术平均数、中位数、众数（用众数代表一组数据，可靠性较差，不过，众数不受极端数据的影响，并且求法简便）、加权平均数、几何平均数、调和平均数。
组数据中有少数数据偏大或偏小，数据的分布呈偏态时,应用几何平均数。
算数平均数的性质（算法必须会)：（1)每一个变量加减或乘除一个数之后，均值也相应增加。
（2）变量值与均值的离均差之和为零.（3)变量值与均值的离均差平方和为最小值.三、离散量数：全距R、四分位差Q、平均差A。
D、方差（样本统计量总体参数）、标准差（s或者SD）、百分位差全距：全部数据中的最大值与最小值的差，描述了数据分布的范围。
四分位差(Q)：样本中间50%的人的全距的一半。
参数估计
第九章参数估计抽样的真正目的在于根据已知的统计量来估计总体参数。
检验特定假设有一定用处，但估计方法的用处更大。
基本上有两种估计，即点估计和区间估计。
第一节点估计点估计也即点值估计，是以一个最适当的样本统计值来代表总体参数值。
为了确定每一种估计究竟如何，就必须掌握某种标准。
估计量如果具有无偏性、一致性和有效性这三个要求或标准，就可以认为这种统计量是总体参数的合理估计或最佳估计。
1．无偏性如果统计量的抽样分布的均值恰好等于被估计的参数之值，那么这一估计便可以认为是无偏估计。
换句话说，从最终的结果来看，估计量的期望值就是参数本身。
2．一致性虽然随机样本和总体之间存在一定的误差，但当样本容量逐渐增加时，统计量越来越接近总体参数，满足这种情况，我们就说该统计量对总体参数是一个一致的估计量。
3．有效性估计量的有效性指统计量的抽样分布集中在真实参数周围的程度。
总而言之，如果一个估计量满足无偏性、一致性和有效性这三条准则，就可称其为最佳估计量。
第二节区间估计如果总体均值正好就是样本的均值，这当然非常好。
但如果两者不尽相同，点估计往往会造成一些不必要的误解。
在许多场合，人们宁愿在原来点估计值两边加一个区间，使得我们对参数在预料之中有相当把握。
因此在推论统计中我们更多采用的是区间估计的方法。
所谓区间估计，就是在一定的抽样平均误差内设一个可置信的区间，然后联系到这个区间的精度，将样本的统计值推断为总体的参数值。
1.精确性和可靠性区间估计的任务是，在点估计值的两侧设置一个区间，使得总体参数被估计到的概率大大增加。
当然，设置一个区间是很容易的，当我们对参数被估计到的信心不足时，我们总可以放宽区间。
如果这个区间的大小不受限制，我们就可以把参数被估计到的信心提高到任何水平。
但是区间加大，估计的效度随之降低。
当我们的信心提高到绝对时，估计的价值也随之丧失贻尽。
这就是说，还存在需要考虑的另一方面——区间估计的精确性问题。
这样一来，我们又宁愿估计区间要尽量小一点，最好就是点估计。
《点估计与区间估计》课件
目录 CONTENTS
• 点估计概述 • 点估计方法 • 区间估计概述 • 区间估计方法 • 点估计与区间估计的比较
01
点估计概述
点估计的定义
点估计
用样本统计量来估计未知的参数，如均值、方差等。
样本统计量
样本均值、样本中位数等。
参数
总体均值、总体方差等。
点估计的分类
有效性
在所有无偏估计中，有效估计应具有最小 的方差。
充分性
如果一个统计量是参数的函数，并且与该 参数的所有其他函数不相关，则称该统计 量为参数的充分统计量。
一致性
当样本容量趋于无穷大时，点估计量的分 布应趋于正态分布。
02
点估计方法
矩估计法
基于样本矩来估计未知参数的方法
矩估计法是一种常用的点估计方法，它通过使用样本矩来估计总体矩，进而求解未知参数。这种方法基于大数定律和中心极 限定理，具有简单、直观和易于计算的特点。
03
区间估计概述
区间估计的定义
区间估计的定义
区间估计是一种统计推断方法，它利用样本 统计量来估计未知参数的可能取值范围。具 体来说，它是以一定的可信度（或置信水平 ）来估计未知参数的取值范围。
区间估计的原理
区间估计基于大数定律和中心极限定理，通 过样本统计量来推断总体参数的可能取值范 围。它利用样本数据的分布特性，结合样本 数量ຫໍສະໝຸດ 置信水平，来计算未知参数的置信区 间。
置信区间法
适用场景
适用于样本量较大、分布较稳定的情况。
注意事项
需要合理选择置信水平和样本量，以确保估计的准确性和可靠性。
预测区间法
总结词
基于回归分析，通过建立自变量与因变量的关系来预 测因变量的取值范围。
第4章 参数估计与假设检验
2 2Leabharlann y 14.36, n2 2000, 2 1.16
, 2 （2 ）
2 1
2
2 2 2 未知但 1 2
（2） 2 未知
S S 或 X t S f＝n－1 , X t 2 X t 2 2 n n n
X ~ t (n 1) 选取样本函数 t S n P t t P t t 1 2 2 X P t 1 2 S n 得 的置信度为 1 的置信区间为
23.67,62.27
此题因为是大样本，故用两种方法计算结果相同， 而公式**较简便。如果是小样本，只能按小样本的 公式*计算。若按大样本公式计算，结果误差偏大。
（2 ） , 2 未知且
2 1 2
2 1
2
2
若为小样本，取样本函数 t
2 1 2
X Y 1 2
n
2
n
2
n
0 5 1.960 u 0.0 1 2.576 u0.1 1.645 u0.2 2
例2 伤寒论用桂枝39张处方,桂枝用量服从σ=3g的正 态分布,根据样本均数8.14g,显著水平0.05,估计桂枝用 量μ的置信区间 解：μ 的置信度0.95的置信区间为
3 8.14 1.96 ＝(7.1984，9.0816)g 39
2 x （1 ） 已知 2 e X u ~ N 0,1 2 / n
2