证明样本方差的期望值=总体的方差,即E(S2)=DX
D(期望方程公式
D(期望方程公式
数学期望ex方差dx公式：
D(X)=E[X-E(X)]^2=E{X^2-2XE(X)+[E(X)]^2}=E(X^2)-2[E(X)]^2+[E(X)]^2。
D（X）指方差，E（X）指期望。
方差是在概率论和统计方差衡量随机变量，或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
在概率论和统计学中，数学期望（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
D(X)指方差,E（x）指期望.
E(X)说简单点就是平均值,具体做法是求和然后除以数量.
D(X)就是个体偏离期望的差,再对这个差值进行的平方,最后求这些平
方的期望.具体操作是,（个体-期望）,然后平方,再对这些平方值求平
均值。
《概率论与数理统计》6,7,8章测验
样本, 6.设X1, X2, …，Xn是来自总体X样本, 则 ， 方差D( X ) = σ 2的无偏估计是( ) n−1 1 n−1 1 2 ( Xi − X )2 ∑ (A) ∑(Xi − X ) (B)
8.. 设总体 X ~ N(µ, σ 2 ) ,其中σ 2 已知, 若样本 已知, 容量n 和置信度 −α 均不变, 则对于不同 1 均不变, 的样本观察值, 的样本观察值, 总体均值 µ 的置信区间的 长度( 长度( )
1 2 s = ∑(Xi −X ) n −1 i=1 1 n 2 2 s3 = ∑(Xi −µ) n −1 i=1
2 1
1 2 s = ∑( Xi −X ) n i=1 1 n 2 2 s4 = ∑( Xi −µ) n i=1
2 2
则服从自由度为n –1的t分布的随机变量 1 是( ) X −µ X −µ (A) t = (B) t =
n −1 i=1 n i=1 n 1 n 2 1 2 (C) ∑(Xi − X ) (D) n −1∑(Xi − X ) i=1 n i=1 2 2 7. 设X 服从正态分布N(µ,σ ), 且 σ 未知, 则µ的置信度为0.95的置信区间 为( ) s σ (A) ( X ± t0.025 ) (B) ( X ± t0.025 ) n n s σ (C) ( X ± z0.025 ) (D) ( X ± z0.025 ) n n
4.设X1, X2, …，Xn是来自正态总体 N(0, 1) 4.设 ， 2 简单随机样本， 的简单随机样本，X 和 s 分别为样本均值 和样本方差 本方差， 和样本方差，则（ ） (B) nX ~ N(0, 1) (A) X ~ N(0, 1) n X 2 2 ~ t (n −1) (C) ∑Xi ~ χ (n −1) (D) s/ n i=1
《概率论与数理统计》考试题(含答案)
《概率论与数理统计》考试题一、填空题（每小题2分，共计60分）1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)A (p ==，则a ）、若B A ,互斥，则=)B -A (p 0.5 ;b ）若B A ,独立,则=)B A (p 0.65 ;c ）、若2.0)(=⋅B A p ,则=)B A (p 3/7 . 2、袋子中有大小相同的红球7只，黑球3只，(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 7/15 。
(2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/50 。
(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/55 . 3、设随机变量X 服从泊松分布}8{}7{),(===X P X p λπ，则{}=X E 8 .4、设随机变量X 服从B （2，0. 8）的二项分布,则{}==2X p 0.64 , Y 服从B （8，0. 8）的二项分布, 且X 与Y 相互独立，则}1{≥+Y X P =1- 0.210，=+)(Y X E 8 。
5 设某学校外语统考学生成绩X 服从正态分布N （75，25），则该学校学生的及格率为 0.9987 ，成绩超过85分的学生占比}85{≥X P 为 0.0228 。
其中标准正态分布函数值9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ. 6、设二维随机向量),(Y X 的分布律是有 则=a _0.1_，X的数学期望=)(X E ___0.4___，Y X 与的相关系数=xy ρ___-0.25______。
7、设161,...,X X 及81,...,Y Y 分别是总体)16,8(N 的容量为16，8的两个独立样本，Y X ,分别为样本均值，2221,S S 分别为样本方差。
则：~X N(8,1) ，~Y X - N(0,1.5) ，{}5.12>-Y X p = 0.0456 ，~161521S )15(2χ，~2221S S F(15,7) 。
方差区间估计推导
方差区间估计推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：统计学中的方差是一种衡量数据散布程度的统计量，它用来描述一组数据的离散程度。
方差区间估计是一种统计方法，用于估计总体方差的范围。
在实际应用中，我们往往无法得到总体的所有数据，而只能通过样本来估计总体的参数。
方差区间估计就是借助样本数据来估计总体方差的一种方法。
方差区间估计的推导过程可以分为以下几个步骤：1. 确定总体方差的分布类型：在进行方差区间估计之前，首先需要明确总体方差的分布类型。
常见的总体方差分布有正态分布、均匀分布、指数分布等。
根据总体方差的分布类型，选择相应的统计方法进行推导。
2. 确定抽样分布类型：根据总体方差的分布类型，确定抽样分布的类型。
通常我们会利用中心极限定理来假设样本均值的抽样分布是正态分布。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
3. 计算样本方差：从总体中抽取样本数据，通过计算样本方差来估计总体方差。
样本方差是样本数据的离散程度的一种度量，它可以帮助我们估计总体方差的大小。
4. 计算置信区间：根据样本数据和样本方差的抽样分布，计算总体方差的置信区间，即估计总体方差的范围。
一般来说，方差的置信区间是基于样本方差和自由度的t 分布来计算的。
在计算置信区间时，我们需要确定置信水平和置信系数，以确保估计的准确性。
5. 判断总体方差的大小：根据计算得到的置信区间，判断总体方差的大小是否在该区间内。
如果总体方差的估计值在置信区间内，我们就可以认为我们对总体方差的估计是准确的；反之，如果估计值不在置信区间内，我们需要重新调整样本容量或考虑其他统计方法来提高估计的准确性。
方差区间估计是一种通过样本数据来估计总体方差的统计方法，它可以帮助我们了解总体数据的分布情况，并做出相应的推断和决策。
通过合理选择样本数据和统计方法，我们可以获得准确的总体方差估计值，从而为实际问题的解决提供有力支持。
在实际应用中，我们可以根据方差区间估计的结果，对数据进行分析和预测，从而更好地指导决策和实践。
完全随机设计的方差分析(1)
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21
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方差分析(Analysis of variance，ANOVA)
方差分析的定义
又叫变量分析，是英国著名统计学家R . A . Fisher于20世纪提出的。它是用以检验两个或多个 均数间差异的假设检验方法。它是一类特定情况下 的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验 的一种引伸。为纪念Fisher，以F命名，故方差分析 又称F检验 。
1.特点 单因素方差分析是按照完全随机设计的原则将处理 因素分为若干个不同的水平，每个水平代表一个样本，只 能分析一个因素对试验结果的影响及作用。其设计简单， 计算方便，应用广泛，是一种常用的分析方法，但其效率 相对较低。该设计中的总变异可以分出两个部分，
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即SS总＝SS组间＋SS组内。
2.常用符号及其意义
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29
end
第一节 完全随机设计资料的方差分析
完全随机设计：(completely random design)是采
用完全随机化的分组方法，将全部试验对象分配到g个
处理组（水平组），各组分别接受不同的处理，试验 结束后比较各组均数之间的差别有无统计学意义，推 论处理因素的效应。
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30
end
第一节 完全随机设计资料的方差分析
离均差平方和 X2
总体方差 样本方差
2 X 2
N
S2XX2X2X2/n
n1
n1
方差—随机变量离散的重要衡量方法
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13
试验指标（experimental index）： 为衡量试验
结果的好坏和处理效应的高低，在实验中具体 测定的性状或观测的项目称为试验指标。常用 的试验指标有：身高、体重、日增重、酶活性、 DNA含量等等。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷22(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷22(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设X1，…，Xn为相互独立的随机变量，Sn=X1+…+Xn，则根据列维一林德贝格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，…XnA．有相同的数学期望；B．有相同的方差；C．服从同一指数分布；D．服从同一离散型分布．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计2．设总体X～N(μ，σ2)．从中抽得简单样本X1，X2，…，Xn．记则Y1～χ2(n)，Y2～χ2(n-1)且A．Y1、Y2均与独立．B．Y1、Y2均与不独立．C．Y1与独立，而Y2未必．D．Y2与独立，而Y1未必．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计填空题3．对随机变量X，Y，已知3X+5Y=11，则X和Y的相关系数为_____．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计4．设总体X～N(μ，σ2)，从X中抽得容量为16的简单样本，S2为样本方差，则D(S2)=________．正确答案：χ涉及知识点：概率论与数理统计5．设X～F(n，n)，且P(|X|＜A)=0．3，则=______．(其中A为一常数)．正确答案：0.7 涉及知识点：概率论与数理统计6．设X1，…，Xn是来自总体N(μ，σ2)的简单样本，其中μ、σ2均未知．记，则假设H0：μ=0的t检验使用的统计量t=______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
7．对随机变量X和Y，已知EX=3，EY=一2，DX=9，DY=2，E(XY)=一5．设U=2X—Y一4，求EU，DU．正确答案：EU=2EX—EY-4=2×3+2—4=4，DU=D(2X—Y一4)=4DX+DY一4cov(X，Y)=4×9+2—4EE(XY)一EX.EY]=36+2—4(一5+3×2)=34．涉及知识点：概率论与数理统计8．对随机变量X，Y，已知EX2和EY2存在，证明：[E(XY)]2≤E(X2).E(Y2)．正确答案：t∈R1，有0≤E(X+tY)2=E(X2)+2tE(XY)+t2E(Y2)，故此二次型(变量为t)无实根或有重根，所以其判别式△≤0，而△=4[E(XY)]2一4EX2.EY2，即得[E(XY)]2≤E(X2)．E(Y2)．涉及知识点：概率论与数理统计9．设X1，X2，…，Xn是同分布的随机变量，且EX1=0，DX1=1．不失一般性地设X1为连续型随机变量．证明：对任意的常数λ＞0，有．(不熟者可对n=2证明)正确答案：由已知可知：E(Xi2)=DXi+(EXi)2=1，i=1，…，n．设(X1，…，Xn)的概率密度为f(x1，x2，…，xn) 涉及知识点：概率论与数理统计10．两家影院竞争1 000名观众，每位观众随机地选择影院且互不影响．试用中心极限定理近似计算：每家影院最少应设多少个座位才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过1％?(φ(2．328)=0．990 0)正确答案：设甲影院(乙影院完全同理)应设N个座位才符合要求，而这1 000名观众中有X名选择甲影院，则X～B由题意有：P(X≤N)≥0．99．而由中心极限定理知：涉及知识点：概率论与数理统计11．(1)设系统由100个相互独立的部件组成．运行期间每个部件损坏的概率为0．1．至少有85个部件是完好时系统才能正常工作，求系统正常工作的概率．=0．952 2．(2)如果上述系统由n个部件组成，至少有80%的部件完好时系统才能正常工作．问n至少多大才能使系统正常工作的概率不小于0．95?φ(1．645)=0．95．正确答案：(1)设有X个部件完好，则X～B(100，0．9)∴EX=90，DX=9，∴P{系统正常工作}=P{X≥85}=(2)设有Y个部件完好，则Y～B(n，0．9)，∴EX=0．9n，DX=0．09n∴P{X≥0．8n}=得n≥24．35即n≥25．涉及知识点：概率论与数理统计12．对随机变量X，已知EekX存在(k＞0常数)，证明：正确答案：不失一般性，设X为连续型随机变量，概率密度为f(x)，则EekX=∫-∞+∞ekx.f(x)dx，而P{x≥ε}= 涉及知识点：概率论与数理统计13．当掷一枚均匀硬币时，问至少应掷多少次才能保证正面出现的频率在0.4至0．6之间的概率不小于0．9?试用切比雪夫不等式和中心极限定理来分别求解．正确答案：没抛掷n次硬币，正面出现X次，则X～B(n，0．5)．现要求．即P(0．4n＜X＜0．6n)≥0．9．(1)用切比雪夫不等式：P(0．4n＜X＜0．6n)=P(|X 一0．5n|＜0．1n)≥得n≥250；(2)用中心极限定理：P(0．4n＜X＜0．6n)=∴n ≥67．65即n≥68．涉及知识点：概率论与数理统计14．利用中心极限定理证明：正确答案：引随机变量Xk～π(1)(参数为1的泊松分布)，k=1，2，…，且{Xk}相互独立．由泊松分布的再生性知涉及知识点：概率论与数理统计15．设总体X具有概率密度：f(x)=从此总体中抽得简单样本X1，X2，X3，X4，求T=正确答案：T的分布函数为FT(t)=P(T≤t)==P(X1≤t，…，X4≤t)=[P(X1≤t)]4= 涉及知识点：概率论与数理统计16．设总体X～N(μ，σ2)，X1，…，Xn为取自X的简单样本，记|Xi一μ|，求E(d)，D(d)．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计17．设总体X～N(72，100)，为使样本均值大于70的概率不小于0．95，样本容量n至少应取多大?φ(1．645)=0．95正确答案：由题意知：∴n≥67．65，即n≥68 涉及知识点：概率论与数理统计18．从一正态总体中抽取容量为10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上的概率为0．02，求总体的标准差(φ(2．33)=0．99)．正确答案：设总体X～N(μ，σ2)，则，由题意得：涉及知识点：概率论与数理统计19．设总体X～N(μ，σ2)，从X中抽得样本X1，…，Xn，Xn+1，记试求的分布．正确答案：相互独立，故涉及知识点：概率论与数理统计20．设k个总体N(μi，σ2)(i=1，…，k)相互独立，从第i个总体中抽得简单样本：Xi1,Xi2…，Xin，记正确答案：由～χ2(ni一1)，i=1，2，…，k．且χ12，…，χk2相互独立，∴即T～χ2(n一k) 涉及知识点：概率论与数理统计21．从总体X～N(0，σ2)中抽得简单样本X1，…，Xn+m，求正确答案：，i=1，…，n+m，且诸Xi相互独立，故：又∵相互独立，故涉及知识点：概率论与数理统计22．设总体的密度为：其中θ＞0，而θ和μ为未知参数．从X中抽得简单样本X1，X2，…，Xn．试求θ和μ的矩估计和最大似然估计．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计23．设总体X在区间(μ一ρ，μ+ρ)上服从均匀分布，从X中抽得简单样本X1，…，Xn，求μ和ρ(均为未知参数)的矩估计，并问它们是否有一致性．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计24．设总体X在区间[0，θ]上服从均匀分布，其中θ＞0为未知参数，而X1，…，Xn为从X中抽得的简单样本，试求θ的矩估计和最大似然估计，并问它们是否是θ的无偏估计?正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计25．设Y=lnX～N(μ，σ2)，而X1，…，Xn为取自总体的X的简单样本，试求EX的最大似然估计．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计26．从均值为μ，方差为σ2＞0的总体中分别抽取容量为n1和n2的两个独立样本，样本均值分别记为X1和X2．试证：对任意满足a+b=1的常数a、b，都是μ的无偏估计．并确定a、b，使D(T)达到最小．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计27．总体X～N(2，σ2)，从X中抽得简单样本X1，…，Xn．试推导σ2的置信度为1一α的置信区间．若样本值为：1．8，2．1，2．0，1．9，2．2，1．8．求出σ2的置信度为0．95的置信区间．(χ0.9752(6)=14．449，χ0.0252(6)=1．237．下侧分位数．)正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计28．为了研究施肥和不施肥对某种农作物产量的影响独立地，选了13个小区在其他条件相同的情况下进行对比试验，得收获量如下表：设小区的农作物产量均服从正态分布且方差相等，求施肥与未施肥平均产量之差的置信度为0．95的置信区间(t0.975(11)=2．201，下侧分位数)．正确答案：设施肥与不施肥的农作物产量分别为总体X与Y，X～N(μ1，σ2)，Y～N(μ2，σ2)，本题中n=6,=4，1一α=0．95，故μ1一μ2的置信下限为涉及知识点：概率论与数理统计29．某种清漆的9个样品的干燥时间(小时)为：6．5，5．8，7，6．5，7，6．3，5．6，6．1，5．设干燥时间X～N(μ，σ2)，求μ的置信度为0．95的置信区间．在(1)σ=0．6(小时)；(2)σ未知．两种情况下作．(u0.975=1．96，t0.975(8)=2．306 0，下侧分位数)正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计30．随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差S=11．设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为0．95的置信区间．正确答案：设炮口速度为总体X，X～N(μ，σ2)，而n=9，α=0．05．∴α的置信下限为，σ的置信上限为涉及知识点：概率论与数理统计31．一个罐子里装有黑球和白球．黑、白球数之比为R：1，现有放回地一个接一个地抽球，直到抽到黑球为止，记X为所抽的白球数．这样做了n次以后，我们获得一组样本：X1，X2，…，Xn．基于此，求R的最大似然估计．正确答案：由题意，总体X的分布律为：P{X=k}=，k=0，1，2，…似然函数为L= 涉及知识点：概率论与数理统计32．用过去的铸造方法，零件强度的标准差是1．6 kg／mm2．为了降低成本，改变了铸造方法，测得用新方法铸出的零件强度如下：52，53，53，54，54，54，54，51，52．设零件强度服从正态分布，取显著性水平α=0．05，问改变方法后零件强度的方差是否发生了变化?(χ0.9752(8)=17．535，χ0.0252(8)=2．180，下侧分位数)正确答案：设零件强度为总体X，则X～N(μ，σ2)，检验H0：σ2=1．62．拒绝域为．故接受H0．涉及知识点：概率论与数理统计33．一批矿砂的4个样品中镍含量测定为(％)：3．25，3．26，3．24，3．25．设测定值总体服从正态分布，问在α=0．01下能否接受假设：这批矿砂镍含量的均值为3．26．(t0.99(3)=5．840 9，下侧分位数)．正确答案：设这批矿砂的镍含量为总体X，则X～N(μ，σ2)．检验H0：μ=μ0．这儿μ0=3．26，n=4，拒绝域为：涉及知识点：概率论与数理统计34．测得两批电子器材的部分电阻值为：A批：140，138，143，142，144，139；B批：135，140，142，136，135，140．设两批电子器材的电阻均服从正态分布，试在α=0．05下检验这两批电子器材的平均电阻有无显著差异．(t0.975(10)=2．2281，F0.975(5，5)=7．15，下侧分位数．提示：先检验方差相等)正确答案：设A、B批电子器材的电阻值分别为总体X和Y，则X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ2，σ22)．①先检验H0：σ12= 涉及知识点：概率论与数理统计。
考研数学一(概率统计)-试卷14
考研数学一（概率统计）-试卷14(总分：92.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设X 1，X 2，…，X n，…相互独立，则X 1，X 2，…，X n，…满足辛钦大数定律的条件是( )．（分数：2.00）A.X 1，X 2，…，X n，…同分布且有相同的数学期望与方差B.X 1，X 2，…，X n，…同分布且有相同的数学期望√C.X 1，X 2，…，X n，…为同分布的离散型随机变量D.X 1，X 2，…，X n…为同分布的连续型随机变量解析：3.设(X 1，X 2，X 3 )为来自总体X的简单随机样本，则下列不是统计量的是( )．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：因为统计量为样本的无参函数，故选(B)．4.设(X 1，X 2，…，X n)(n≥2)为标准正态总体X的简单随机样本，则( )．（分数：2.00）A.B.C.D. √5.设x～t(2)( )．（分数：2.00）A.χ2 (2)B.F(1，2)C.F(2，1) √D.χ2 (4)6.设随机变量X～F(m，n)，令P{X＞F a (m，n)}=a(0＜a＜1)，若P(X＜k)=a，则k等于( )．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：根据左右分位点的定义，选(B)．7.设X，Y都服从标准正态分布，则( )．（分数：2.00）A.X+Y服从正态分布B.X 2 +Y 2服从χ2分布C.X 2，Y 2都服从χ2分布√D.X 2／Y 2服从F分布解析：解析：因为X，Y不一定相互独立，所以X+Y不一定服从正态分布，同理(B)，(D)也不对，选(C)．8.设随机变量X～F(m，m)，令P=P(X≤1)，q=P(X≥1)，则( )．（分数：2.00）A.p＜qB.p＞qC.P=q √D.p，q的大小与自由度m有关9.总体X～N(μ，5 2 )，则总体参数μ的置信度为1-a的置信区间的长度( )．（分数：2.00）A.与a无关B.随a的增加而增加C.随a的增大而减少√D.与a有关但与a的增减性无关解析：解析：总体方差已知，参数μ的置信度为1-a的置信区间为，其中n为样本容量，长度为，因为a越大，所以置信区间的长度随口增大而减少，选(C)．10.在假设检验中，H 0为原假设，下列选项中犯第一类错误(弃真)的是( )．（分数：2.00）A.H 0为假，接受H 0B.H 0为真，拒绝H 0√C.H 0为假，拒绝H 0D.H 0为真，接受H 0解析：二、填空题(总题数：16，分数：32.00)11.设随机变量X方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{｜X-E(X)｜≥2)≤ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）12.若随机变量X 1，X 2，…，X n相互独立同分布于N(μ，2 2)，则根据切比雪夫不等式得1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）（分数：2.00）填空项1:__________________解析：14.设X 为总体，E(X)=μ，D(X)=σ 2 ，X 1 ，X 2 ，…，X n 为来自总体的简单随机样本，S 2则E(S 2)= 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：σ 2）15.设总体X ～N(μ，σ 2)，X 1 ，X 2 ，…，X 10 为总体的简单样本，S 2为样本方差，则D(S 2)= 1。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X～N(0，1)，y～N(1，4)，且相关系数ρXY＝1，则A．P{Y＝－2X－1}＝1B．P{Y＝2X－1}＝1C．P{Y＝－2X＋1}＝1D．P{Y＝2X＋1}＝1正确答案：D解析：如果选项A或C成立，则应ρXY＝1，矛盾；如果选项B成立，那么EY＝2EX－1＝－1，与本题中EY＝1矛盾．只有选项D成立时，ρXY＝1，EY＝2EX＋1＝1，DY＝4DX＝4，符合题意，故选D．知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)＝A．6．B．8．C．14．D．15．正确答案：C解析：由题意知：EX＝1，DX＝2，EY＝1，DY＝4，于是E(X2)＝DX＋(EX)2＝2＋12＝3，E(Y2)＝DY＋(EY)2＝4＋12＝5，注意到X2与y2是独立的，于是D(XY)＝E(XY)2－E[(XY)]2 ＝E(X2Y2)－[EX.EY]2 ＝E(X2).EY2－(EX)2(EY)2 ＝3×5－12×12＝14 故选C．知识模块：概率论与数理统计3．设”个随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，DX1＝σ2，，则A．S是σ的无偏估计量．B．S是σ的最大似然估计量．C．S是σ的相合估计量(即一致估计量)．D．S与相互独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计4．设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均未知．现从中随机抽取16个零件，测得样本均值＝20(cm)，样本标准差s＝1(cm)，则μ的置信度为0．90的置信区间是A．(20－t0．05(16)，20＋t0．05(16))B．(20－t0．1(16)，20＋t0．1(16))C．(20－t0．05(15)，20＋t0．05(15))D．(20－t0．1(15)，20＋t0．1(15))正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计填空题5．设随机变量X的概率分布为P{X＝－2}＝，P{X＝1}＝a，P(X＝3}＝b．若EX＝0，则DX＝_______．正确答案：解析：由题知：＋a＋b＝1，0＝EX＝(－2)×＋1×a＋3×b＝a＋3b－1 联立得a＝b＝所以DX＝E(X2)－(EX)2＝E(X2)＝(－2)2×．知识模块：概率论与数理统计6．设X为随机变量且EX＝μ，DX＝σ2．则由切比雪夫不等式，有P{｜X－μ｜≥3σ}≤_______．正确答案：解析：由题意及切比雪夫不等式，得：P{｜X－μ｜≥3σ}≤．知识模块：概率论与数理统计7．在天平上重复称量一重为a的物品．假设各次称量结果相互独立且服从正态分布N(a，0，2*)．若以表示n次称量结果的算术平均值，则为使n的最小值应不小于自然数_______．P{｜－a｜＜0．1}≥0．95正确答案：16解析：设第i次称量结果为Xi，i＝1，2，…，n．由题意：，且X1，…，Xn独立同分布，X1～N(a，0．22)．由题意得2Ф()－1≥0．95，∴Ф()≥0．075 查表得≥1．96，∴n≥4×(1．96)2＝15．36 故n的最小值应不小于自然数16．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X和Y的数学期望分别为一2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0．5，则根据切比雪夫不等式有P{｜X＋Y｜≥6}≤_______．正确答案：解析：若记ξ＝X＋Y，则Eξ＝EX＋EY＝－2＋2＝0，而Dξ＝D(X ×Y)＝DX＋DY＋2cov(X，Y)＝DX＋DY＋2.ρ(χ，y) ＝1＋4＋2×(－0．5).＝3 其中ρ(χ，y) 知识模块：概率论与数理统计9．设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5．则X的数学期望的置信度近似等于0．95的置信区间为________．正确答案：(4．804，5．196) 涉及知识点：概率论与数理统计10．设由来自正恣总体X～N(μ，0．92)容量为9的简单随机样本，得样本均值＝5．则未知参数μ的置信度为0．95的置信区间是_______．正确答案：(4．412，5．588) 涉及知识点：概率论与数理统计11．设总体X的概率密度为而X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为_______．正确答案：Xi－1－1解析：知识模块：概率论与数理统计12．设总体X的概率密度为f(χ)＝e－｜χ｜(－∞＜χ＜＋∞)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES2_______．正确答案：2解析：EX＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ＝∫－∞＋∞χ.e｜－χ｜dχ＝0 DX ＝E(X2)－(EX)2＝E(X2)＝∫－∞＋∞χ2f(χ)dχ＝∫－∞＋∞χ2.e｜－χ｜d χ＝∫0＋∞χ2e－χdχ＝2 而E(S2)＝DX，故ES2＝2．知识模块：概率论与数理统计13．设X1，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其中参数μ，σ2未知．记则假设H0：μ＝0的t检验使用的统计量t＝_______．正确答案：解析：由题意可得：又有～χ2(n－1)，且Q2与相互独立，故由t分布的构成得：当H0成立(即μ＝0)时，成舍～t(n－1)．故填知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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证明样本方差的期望值＝总体的方差，即E(S2)=DX
设总体为X，抽取n个i.i.d.的样本X1,X2,...,Xn,其样本均值为
Y = (X1+X2+...+Xn)/n
其样本方差为
S =( (Y-X1)^2 + (Y-X2)^2 + ... + (Y-Xn)^2 ) / (n-1)
为了记号方便，我们只看S的分子部分，设为A
则 E A =E( n * Y^2 - 2 * Y * (X1+X2+...+Xn) + (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2))
=E( (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2) - n * Y^2 )
注意 EX1 = EX2 = ... = EXn = EY = EX;
VarX1 = VarX2 = ... = VarXn = VarX = E(X^2) - (EX)^2
VarY = VarX / n (这条不是明显的，但是可以展开后很容易地证出来，而且也算是一个
常识性的结论）
所以E A = n(VarX + (EX)^2) - n * (VarY + (EY)^2)
= n(VarX + (EX)^2) - n * (VarX/n + (EX)^2)
= (n-1) VarX
所以 E S = VarX;得证。