数据的离散程度、样本方差估计总体方差
方差、用样本方差估计总体方差 人教版数学八年级下册
典例精析 例 人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中， 班级平均分和方差如下：x甲 x乙 =80，s2甲=240，s2乙=180，则成绩较 为稳定的班级是( B ) A．甲班 B．乙班 C．两班成绩一样稳定 D．无法确定
解析：稳定性，也就是指成绩的波动．成绩波动越小，成绩越稳定．根 据“方差越大，数据的波动越大：方差越小，数据的波动越小，我们很 容易发现乙班的方差比甲班的小，所以乙班的成绩较稳定．
典例精析
在利用方差比较两组数据的波动情况时，一定要先计算两组数据的平均 数．一般说来，平均数可能反映数据的优劣程度，如果在平均数上已经能 够区分几组数据的优劣，那么就不用再考虑方差的大小了．但在实际的习 题中，往往都是平均值相同，那么此时就要考虑数据的方差情况了．由此 可得到：在解决问题时，要先算平均数，当平均值不同时，择优选取；当 平均数相同时，比较方差，选择波动较小的一组数据．
可以画出统计图如图所示：
甲种甜玉米的产量
乙种甜玉米的产量
合作探究
甲种甜玉米的产量
乙种甜玉米的产量
比较上面的两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大， 乙种甜玉米在各试验田的产量较集中地分布在平均产量附近.
从图中看出的结果能否用一个量来刻画呢？
新知小结
为了刻画一组数据波动的大小，可以采用很多方法. 统计中常采用下面
合作探究
问题 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产 量和产量的稳定性是农科院所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子 的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试 验田每公顷的产量 (单位：t) 如下表所示.
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
方差区间估计推导
方差区间估计推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：统计学中的方差是一种衡量数据散布程度的统计量，它用来描述一组数据的离散程度。
方差区间估计是一种统计方法，用于估计总体方差的范围。
在实际应用中，我们往往无法得到总体的所有数据，而只能通过样本来估计总体的参数。
方差区间估计就是借助样本数据来估计总体方差的一种方法。
方差区间估计的推导过程可以分为以下几个步骤：1. 确定总体方差的分布类型：在进行方差区间估计之前，首先需要明确总体方差的分布类型。
常见的总体方差分布有正态分布、均匀分布、指数分布等。
根据总体方差的分布类型，选择相应的统计方法进行推导。
2. 确定抽样分布类型：根据总体方差的分布类型，确定抽样分布的类型。
通常我们会利用中心极限定理来假设样本均值的抽样分布是正态分布。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
3. 计算样本方差：从总体中抽取样本数据，通过计算样本方差来估计总体方差。
样本方差是样本数据的离散程度的一种度量，它可以帮助我们估计总体方差的大小。
4. 计算置信区间：根据样本数据和样本方差的抽样分布，计算总体方差的置信区间，即估计总体方差的范围。
一般来说，方差的置信区间是基于样本方差和自由度的t 分布来计算的。
在计算置信区间时，我们需要确定置信水平和置信系数，以确保估计的准确性。
5. 判断总体方差的大小：根据计算得到的置信区间，判断总体方差的大小是否在该区间内。
如果总体方差的估计值在置信区间内，我们就可以认为我们对总体方差的估计是准确的；反之，如果估计值不在置信区间内，我们需要重新调整样本容量或考虑其他统计方法来提高估计的准确性。
方差区间估计是一种通过样本数据来估计总体方差的统计方法，它可以帮助我们了解总体数据的分布情况，并做出相应的推断和决策。
通过合理选择样本数据和统计方法，我们可以获得准确的总体方差估计值，从而为实际问题的解决提供有力支持。
在实际应用中，我们可以根据方差区间估计的结果，对数据进行分析和预测，从而更好地指导决策和实践。
统计分析的最基本方法
统计分析的最基本方法
统计分析的最基本方法是描述统计和推断统计。
描述统计是对数据进行整理、描述和总结的过程，常用的方法包括：
1. 集中趋势测度：平均数、中位数、众数等。
2. 离散程度测度：方差、标准差、极差等。
3. 分布形态测度：偏度、峰度等。
推断统计是根据从样本得到的信息推断总体的特征，常用的方法包括：
1. 参数估计：通过样本估计总体参数，例如估计总体平均数、总体方差等。
2. 假设检验：根据样本数据对总体参数进行假设检验，判断统计结论是否具有统计显著性。
3. 回归分析：研究自变量和因变量之间的关系，并通过回归模型进行预测。
此外，还有如相关分析、方差分析、时间序列分析等方法也是统计分析中常用的基本方法。
数据的离散程度、样本方差估计总体方差
20.2.2 数据的离散程度【教学目标】知识与技能1、掌握方差的概念，理解其统计意义，了解方差是刻画数据离散程度的一个统计量，并在具体情境中加以应用。
2、能够正确运用科学计算器进行方差计算。
数学思考1、通过实例，知道描述一组数据的分布时，除关心它的集中趋势外，还需要分析数据的波动大小。
2、经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性。
问题解决通过实践观察，掌握衡量一组数据波动大小的方法和规律，形成解决问题的一些基本策略和方法。
情感态度通过对数据的处理复杂问题的能力和统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度，认识数据处理的实际意义。
【教学重难点】重方差的含义及应用。
难方差的含义及应用。
【教学方法】小组合作式、精讲点拨【教学准备】PPT、计算器【教学设计】一、抛出问题【设计意图】通过问题引入，引起学生探究的欲望，激发学生的学习兴趣。
二、探究新知教师PPT展示：教师引导学生思考。
学生分析，得出以上结论：甲同学的成绩较稳定。
【设计意图】充分让学生思考交流，尊重学生的学习的主体性。
三、概念学习1、方差的定义提问：公式中的均值有何意义？为什么要平方?为什么平方后要求平均值？你还有其他办法来衡量一组数据的离散程度吗？学生思考回答，教师指导，让学生明确公式中每一个元素的意义。
指出：方差能够反映一组数据的波动大小的一个统计量，波动大小指的是与平均数之间的差异，那么用每个数据与平均值的差完全平方后便可以反映每个数据的波动大小，整体的波动大小可以通过对每个数据的波动大小平均值得到，从这个意义上看，方差是一个特殊的均值。
2、计算方差的步骤：先平均，后求差，平方后，再平均。
四、例题讲解【设计意图】通过笔算是学生快速熟悉公式的结构，掌握方差公式的计算步骤及要领。
五、练习巩固教材135页练习第1、2题六、问题解决七、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？（知识、生活上的启迪……）还有什么困惑？【设计意图】帮助学生形成知识体系，使学生对本节课所学的知识有一个系统的认识。
评价数据离散程度的指标
标准差标准差（Standard Deviation），也称均方差（mean square error），是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。
标准差是方差的算术平方根。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的，标准差未必相同。
标准差（Standard Deviation），在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion）上的测量。
标准差定义为方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度。
测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：为非负数值，与测量资料具有相同单位。
一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。
标准计算公式假设有一组数值X1,X2,X3,......Xn（皆为实数），其平均值为μ，公式如图1.图1标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如图2。
图2简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。
一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。
例如，两组数的集合{0, 5, 9, 14} 和{5, 6, 8, 9} 其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。
标准差可以当作不确定性的一种测量。
例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。
当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。
这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。
标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。
标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。
相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。
例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。
5,数据的离散趋势及描述
能不能说这名学生的学习成绩退步了呢?这是不能的。因为
两次考试试题内容及难度都不同，两个分数无法进行比较。 但换算成标准分，其进步还是退步就明白了。设期中成绩 67分换算成标准分为一0.12，期末成绩62分换算成标准分 为0.35，那么这位同学在前后两次考试中，标准分增长了 0.35-（-0.12)=0.47，说明这位同学的进步还是不小的。
3. 计算过程要取绝对值；
4. 有绝对值不利于统计的进一步计算（代数性质不是很
好）。
三、方差与标准差
方差是各个数据分别与其平均数之差的平方
的和的平均数，标准差是方差的算术平方根。方
差和标准差能较好地反映一个数据集的离散程度，
是最经常应用于描述次数分布离散程度的差异量
数。
总体方差与总体标准差
2
x
离散趋势的测度，在统计学中也称为标志变异指标， 是用来描述数列中指标值的离散趋势与离散程度的。常用 的标志变异指标有极差（全距）、平均差、方差、标准差 和百分位差等。
一、极差
又称全距、两极差，用符号R表示。 把一组数据从大到小排列起来，用最大值减去最小值，就得到极差。 计算公式：
R X max X min
举例
原始数据：1、2、3、4、5、6、7、8、9
样本：2、4、6、8
自由度
1. 一组数据中可以自由取值的数据的个数； 2. 当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后，只 有 n-1 个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能 自由取值； 3. 例如，样本有 3 个数值，即 x1=2 ， x2=4 ， x3=9 ，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由 取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3 则必然取2，而不能取其他值； 4. 样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从 实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计 总体方差σ 2时，它是σ 2的无偏估计量。
数理统计中的矩估计公式大揭秘
数理统计中的矩估计公式大揭秘矩估计是数理统计中一种常用的参数估计方法，其基本思想是通过样本矩来估计总体矩。
本文将揭示矩估计的原理，并介绍常见的矩估计公式及其应用。
一、矩估计的基本原理矩估计是以样本矩（原点矩、中心矩或非中心矩）为基础来估计总体矩的方法。
对于具有参数的总体分布，我们可以通过样本矩与总体矩之间的对应关系来确定未知参数的估计值。
二、原点矩估计原点矩是以原点为参考点计算的矩，它反映了总体数据的分布特征。
原点矩估计可以用于估计总体的位置参数。
常见的原点矩估计公式包括：1. 一阶原点矩估计：样本均值估计总体均值。
2. 二阶原点矩估计：样本方差估计总体方差。
三、中心矩估计中心矩是以总体均值为参考点计算的矩，它反映了总体数据的离散程度。
中心矩估计可以用于估计总体的离散度参数。
常见的中心矩估计公式包括：1. 一阶中心矩估计：样本均值估计总体均值。
2. 二阶中心矩估计：样本方差估计总体方差。
3. 三阶中心矩估计：样本偏度估计总体偏度。
4. 四阶中心矩估计：样本峰度估计总体峰度。
四、非中心矩估计非中心矩既不以原点为参考点，也不以总体均值为参考点，而是以其他统计量为参考点计算的矩。
常见的非中心矩估计公式包括：1. 样本上分位数估计总体上分位数。
2. 样本下分位数估计总体下分位数。
3. 样本百分位数估计总体百分位数。
五、矩估计的应用矩估计广泛应用于各个领域的数据分析中。
通过矩估计，我们可以估计总体的各种参数，例如均值、方差、偏度、峰度等，从而更好地了解总体分布的特征。
例如，在金融领域中，我们可以利用矩估计来估计股票收益率的均值和方差，以便制定合理的投资策略。
在生物统计学中，我们可以利用矩估计来估计某种基因的表达水平的分布特征，从而进一步研究基因的功能与疾病的关系。
总之，矩估计是数理统计中一种简单而有效的参数估计方法，通过对样本矩与总体矩的对应关系进行推断，可以得到对未知参数的估计值。
矩估计在实际应用中具有广泛的应用领域，能够帮助研究者更好地了解总体分布的特征，从而做出更科学的决策。
2017-2018学年北师大版八年级数学上册教师用书(pdf版)：6.4数据的离散程度
㊀ ( 其中 ｘ １ ᶄꎬ ｘ ２ ᶄꎬ ｘ ３ ᶄꎬ������ꎬ ｘ ｎ ᶄ 分别等于 ｘ １ － ａꎬ ｘ ２ － ａꎬ ｘ ３ － ａꎬ ２. 标准差:方差的算术平方根. ������ꎬｘ ｎ － ａꎬｘᶄ是数据组 ｘ １ ᶄꎬｘ ２ ᶄꎬｘ ３ ᶄꎬ������ꎬｘ ｎ ᶄ的平均数)
３. 方差( 标准差 ) 的意义: 方差 ( 标准差 ) 越大ꎬ 数据的波 齐. 差) 越小ꎬ数据的波动就 ㊀ 越小 ㊀ ꎬ 数据就越稳定ꎬ 越整 才利用方差来判断它们的波动情况. 动就㊀ 越大㊀ ꎬ数据就越不稳定ꎬ 越不整齐ꎻ 方差 ( 标准
归纳:
ｋｘ １ ꎬｋｘ ２ ꎬ������ꎬｋｘ ｎ ｋｘ １ ＋ ａꎬｋｘ ２ ＋ ａꎬ������ꎬｋｘ ｎ ＋ ａ
样本 ｘ １ ꎬｘ ２ ꎬ������ꎬｘ ｎ ｘ １ ＋ ａꎬｘ ２ ＋ ａꎬ������ꎬｘ ｎ ＋ ａ
平均数 ｘ ｘ ＋ａFra bibliotek方差 ｓ
２
ȵ
ｓ２ ｋ ｓ
２ ２
ｋｘ ｋ ｘ ＋ａ
６＋６.５ ２５ ＝ ꎻ (３) 第四次调价后ꎬ对于 Ａ 产品ꎬ这四次单价的中位数为 ２ ４ 对于 Ｂ 产品ꎬȵ ｍ >０ꎬʑ 第四次单价大于 ３ꎬ ȵ ３. ５＋４ １３ ２５ ˑ２－１ ＝ > ꎬʑ 第四次单价小于 ４ꎬ ２ ２ ４ ３( １＋ｍ％ ) ＋３. ５ ２５ ˑ２－１ ＝ ꎬʑ ｍ ＝ ２５. ʑ ２ ４
１ ４３ < ꎬʑ Ｂ 产品的方差小ꎬʑ Ｂ 产品的单价波动小ꎻ ６ １５０
１ １ [( ３. ５－３. ５) ２ ＋( ４－３. ５) ２ ＋( ３－３. ５) ２ ] ＝ ꎬ ３ ６
ｋ２ ｓ２
方差在实际问题中的评价作用 ʌ 例 ２ɔ (２０１５ 河北 ) 某厂生产 ＡꎬＢ 两种产品ꎬ 其单价随 市场变化而做相应调整. 营销人员根据前三次单价变化 的情况ꎬ绘制了如下统计表及不完整的折线图. ＡꎬＢ 产品单价变化统计表 第一次 ３.５ ６ 第二次 ５.２ ４
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知识方法小结：
2.补全条形统计图的方法： (1)未知组频数=样本容量-已知组频数之和 (2)未知组频数=样本容量X该组所占样本百分比
4.样本估计总体： 总体中某组个数=总体X样本百分比(或频率)
同步练习
（2018•梧州，10，3分）九年级一班同学根据兴 趣分成A、B、C、D、E五个小组，把各小组人数分 布绘制成如图所示的不完整统计图．则D小组的人 数是（ C ）
随机选择一种，则甲、乙两人恰好选择同一种交通工具 上班的概率是多少?请用画树状图或列表法求解。
(3)画树状图得：
谢谢大家莅临指导
8.（2017•南宁，23）为调查广西北部湾四市市民上班时
最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进 行调查，要求被调查者从“A:自行车，B:电动车，C:公交 车，D:家庭汽车，E:其他”五个选项中选择最常用的一项，
将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图 和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题： (1)在这次调查中,一共调查了_2_0_0名0 市民,扇形统 计图中,C组对应的扇形圆心角是_10_8_∘； (2)请补全条形统计图； (3)若甲、乙两人上班时从A. B. C. D四种交通工具中
2.（2017•柳州，16，3分）某校为了了解本届初三学生体质健康情 况，从全校初三学生中随机抽取46名学生进行调查，上述抽取的 样本容量为 __4_6__。
考点二、 数据的处理
3.若一组数据分别为：7， 2，5，4，7，则由这组数
据得到：
(1)平均数为___5___
(2)中位数为__5____
(3)众数为 ___7___
（集中趋势 ）
中位数：将一组数据按大小顺序排列
（中间值）
（1）数据个数是奇数时，处于最中间位置的一个数据
（2）数据个数是偶数时，处于最中间位置的两个数据的
平均数 2.平均数：
（总体趋势）
3.极差：最大数—最小数
4.方差： 每个数据与平均数的差的平方的平均数
（波动大小）
5.频数：某个数据出现的次数
6.频率：频数与容量之比
(1)在扇形统计图中，D项的百分率是多少? (2)在扇形统计图中，C项的圆心角的度数是多少? (3)请补充完整条形统计图； (4)若该校九年级有500名学生，那么九年级参加演讲和 唱歌比赛的学生共有多少人?
(2)根据题意得：360∘×(1−26%−50%−4%)=72∘. 则参加书法比赛的C项所在的扇形圆心角的度数是72∘ (3)参加书法的人数为50−(13+25+2)=10，补全图象 如下：
统计（复习课）
岑溪市水汶华侨中学 黄杏燕
考点透视
考点一、 数据的收集 1.调查方式：全面调查和抽样调查 2.总体：是所考查的对象的全体 个体： 总体中每一个考查对象叫做个体 样本：是指从总体中抽出的部分个体 样本容量：样本中个体的数目（没有单位）
考点二、 数据的处理 1.众数：出现次数最多的数据
众数是5，则这组数据的方差是（ C ）
A．2 B．2.4
ห้องสมุดไป่ตู้
C．2.8
D．3
考点三、 统计图表
6.(2017•贵港，22，8分）某校在“校艺术节”期间,举 办了A演讲,B唱歌,C书法,D绘画共四个项目的比赛,要求 每位同学必须参加且限报一项,以九年(二)班为样本进行
统计，并将统计结果绘制如下尚不完整的条形和扇形统 计图，请根据统计图解答下列问题：
A．10人 B．11人 C．12人 D．15人
考点解读：
本节知识考查主要有三大块，都是热门考点，几乎 每年都考，而且难度不大，容易拿分，主要考查学生利 用统计思想来解决问题的能力，选择题、填空题、或解 答题都有可能出现，数据的收集和数据的处理（ 众数、 中位数、平均数 ）涉及的命题点比较多，尤其是方差 的计算公式较容易遗漏的知识点，统计图表主要考查识 图能力，及各图表之间内在联系的理解能力。
考点三、 统计图表
条形图：能显示每组中的具体数据；
扇形图：能显示部分在总体中所占百分比； 折线图：能显示数据的变化趋势；
联系
直方图：能显示数据的分布情况。
考查识图能力， 及各图表之间内在联系的理解能力
考点精讲：
考点一、 数据的收集
1.（2017•河池，7，3分）要调查河池市中学生了解禁毒知识 的情况,下列调查方式最适合的是( D ) A. 在某中学抽取200名女生 B. 在某中学抽取200名男生 C. 在某中学抽取200名学生 D. 在河池市中学生中随机抽取200名学生
达标检测
1.（2018•重庆，5）下列调查中，最适合采用全面调查 （普查）的是（ D）
A.对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查 B.对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查 C.对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查 D.对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查 2.（2015•梧州，9）为了了解某校学生对篮球、足球、羽
毛球、乒乓球、网球等五类的喜爱，小李采用了抽样调
查，在绘制扇形图时，由于时间仓促，还有足球、网球
等信息还没有绘制完成，如图所示，根据图中的信息， 这批被抽样调查的学生最喜欢足球的人数不可能是
（D）
A．100人 B．200人 C．260人 D．400人
3.（2017•梧州，4）一组数据：6，3，4，5，7的平均
门课。小黄同学统计了本班50名同学的选课情况,并将
结果绘制成条形统计图(如图,不完全),则选书法课的人
数有 ( A ) A. 12名 B. 13名 C. 15名 D. 50名
6.(2018•贵港，4）已知一组数据：4，X，5，Y，7，9的 平均数为6，中位数5，则这组数据的中位数是
__5_.5______. 7.（2018•南宁，13）甲、乙两同学参加学校运动员铅 球项目选拔赛，各投掷6次，记录成绩，计算平均数和 方差的结果为：x甲=10.5，x乙=10.5，S2甲=0.61，S2乙 =0.50，则成绩较稳定乙的是______(填“甲”或“乙”).
(4)方差为___3_.6__
4.（2017•梧州，4，3分）一组数据：6，3，4，5，7的
平均数和中位数分别是（ A ）
A.5，5 B.5，6 C.6，5
D.6，6
5.（2018•南宁，15，3分）已知一组数据6，X，3，3，5，
1的众数是3和5，则这组数据的中位数是___4____。
6.（2018•梧州，8，3分）一组数据：3，4，5，x，8的
数和中位数分别是（ A ）
A.5，5 B.5，6 C.6，5
D.6，6
4.（2018•梧州，8）一组数据：3，4，5，x，8的众数
是5，则这组数据的方差是（ C ）
A．2 B．2.4
C．2.8
D．3
5. (2018•百色，7）某校开设了艺术、体育、劳技、书
法四门拓展性课程,要求每一位学生都要选且只能选一