总体方差
样本方差与总体方差
样本⽅差与总体⽅差⼀、⽅差（variance)：衡量随机变量或⼀组数据时离散程度的度量。
概率论中⽅差⽤来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的⽅差（样本⽅差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平⽅值的平均数。
概率论中的⽅差表⽰⽅法：样本⽅差，⽆偏估计、⽆偏⽅差（unbiased variance）。
对于⼀组随机变量，从中随机抽取N个样本，这组样本的⽅差就是Xi^2平⽅和除以N-1。
总体⽅差，也叫做有偏估计，其实就是我们从初⾼中就学到的那个标准定义的⽅差，除数是N。
统计中的⽅差表⽰⽅法：⼆、为什么样本⽅差的分母是n-1？为什么它⼜叫做⽆偏估计？简单的回答，是因为因为均值你已经⽤了n个数的平均来做估计在求⽅差时，只有(n-1)个数和均值信息是不相关的。
⽽你的第ｎ个数已经可以由前(n-1)个数和均值来唯⼀确定，实际上没有信息量。
所以在计算⽅差时，只除以(n-1)。
那么更严格的证明呢？样本⽅差计算公式⾥分母为n-1的⽬的是为了让⽅差的估计是⽆偏的。
⽆偏的估计(unbiased estimator)⽐有偏估计(biased estimator)更好是符合直觉的，尽管有的统计学家认为让mean square error即MSE最⼩才更有意义，这个问题我们不在这⾥探讨；不符合直觉的是，为什么分母必须得是n-1⽽不是n才能使得该估计⽆偏。
⾸先，我们假定随机变量的数学期望是已知的，然⽽⽅差未知。
在这个条件下，根据⽅差的定义我们有由此可得是⽅差的⼀个⽆偏估计，注意式中的分母不偏不倚正好是！这个结果符合直觉，并且在数学上也是显⽽易见的。
现在，我们考虑随机变量的数学期望是未知的情形。
这时，我们会倾向于⽆脑直接⽤样本均值替换掉上⾯式⼦中的。
这样做有什么后果呢？后果就是，如果直接使⽤作为估计，那么你会倾向于低估⽅差！这是因为：换⾔之，除⾮正好，否则我们⼀定有,⽽不等式右边的那位才是的对⽅差的“正确”估计！这个不等式说明了，为什么直接使⽤会导致对⽅差的低估。
总体方差(标准差)的估计
总体方差（标准差）的估计
教学要求：理解方差和标准差的意义，会求样本方差和标准差。
教学过程：
看一个问题：甲乙两个射击运动员在选拔赛中各射击20次，成绩如下：
一、方差和标准差计算公式： 样本方差：s 2=n
1〔（x 1—x ）２
+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2〕
样本标准差：s=
])()
()
[(n
12
2
22
1-
-
-
-++-+-x x x x x x n
方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数。
标准差大说明波动
大。
一般的计算器都有这个键。
例一、要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定程度。
为此对两人进行了15次比赛，得到如下数据：（单位：cm ）：
如何通过对上述数据的处理，来作出选人的决定呢？
x 甲
≈ x
乙
≈
s 甲≈ s 乙≈
说明：总体平均数描述一总体的平均水平，方差和标准差描述数据的波动情况或者叫稳定程度。
二、练习：
根据以上数据，说明哪个波动小？
根据上述样本估计，哪个总体的波动较小？
问谁射击的情况比较稳定？
三、作业：
哪种小麦长得比较整齐？
哪种水稻的产量比较稳定？。
总体标准差和方差的关系
总体标准差和方差的关系
总体标准差和方差之间的关系可以总结为：标准差是方差的算术平方根，而方差则是标准差的平方。
具体来说，总体标准差用于描述数据集中各数值与其算术平均数之间的平均离差。
它是一个反映数据分布离散程度的量，可以衡量数据集中数值的离散程度。
标准差越大，表示数据集中的数值越离散；标准差越小，表示数据集中的数值越集中。
而总体方差则是一组资料中各数值与其算术平均数离差平方和的平均数。
它也是一种衡量数据分散程度的量化指标，用于描述数据与其平均数的离散程度。
方差越大，表示数据与其平均数的离差越大，即数据越离散；方差越小，表示数据与其平均数的离差越小，即数据越集中。
由于标准差是方差的算术平方根，因此它们之间具有密切的关系。
在实际应用中，标准差通常更易于解释和使用，因为它具有与原始数据相同的单位。
而方差虽然也用于描述数据的离散程度，但其单位通常是原始数据单位的平方，不太易于解释。
因此，在实际应用中，我们更常使用标准差来描述数据的离散程度。
样本方差估计总体方差公式
样本方差估计总体方差公式
在统计学中，样本方差是用来估计总体方差的一种常用方法。
总体方差是指在整个总体中，每个数据点与总体均值的差异程度的平方的平均值。
样本方差的计算公式是通过对样本数据与样本均值的差异程度进行平方求和，并除以样本容量减1来得到的。
这样做的原因是为了纠正样本容量带来的偏差。
样本方差的计算公式为：
s^2 = Σ(x - x) / (n - 1)
其中，s^2表示样本方差，Σ表示求和符号，x表示第i个样本数据点，x表示样本均值，n表示样本容量。
样本方差的计算公式中，分子部分是对每个样本数据点与样本均值的差异程度的平方进行求和。
这样可以消除正负差异的影响，并且突出了数据点与均值之间的离散程度。
分母部分的(n - 1)是对样本容量进行减1的操作。
这是为了纠正样本容量带来的偏差。
当样本容量较大时，分母中的(n - 1)可以近似
为n，因此在大样本情况下，样本方差的计算会比较接近总体方差。
样本方差的估计可以用来推断总体方差的大小。
通过对样本数据进行抽样，并计算样本方差，可以得到一个对总体方差的估计值。
这对于进行假设检验、构建置信区间等统计推断是非常重要的。
需要注意的是，样本方差只是对总体方差的估计，它并不能完全准确地反映总体的真实方差。
因此，在进行统计推断时，需要考虑样本容量、抽样方式等因素，以及使用适当的统计方法来进行推断。
总体方差计算公式
总体方差计算公式总体方差计算公式是统计数据分析中的一种重要的工具，它的正确使用可以帮助我们计算出总体数据的变异程度。
总体方差计算公式是统计学家用来研究特定总体中不同变量之间关系及变量取值范围的一种抽象数学方法。
在实际应用中，我们可以使用总体方差计算公式来分析某一群体中不同类别的数据，以及它们的平均值、分位数、标准差等，从而更加直观地获取信息。
本文将介绍总体方差计算公式的原理、公式以及应用实例，以便读者可以更好地理解总体方差计算公式的作用以及如何使用它。
首先，我们来了解总体方差计算公式的原理。
首先，根据概率论和统计学的思想，我们可以知道每一个总体数据集合都有一个确定的平均值，这个平均值代表数据集合的“中心”，它反映了数据集合中数据分布的中心趋向。
然而，即使是同一个总体，不同时期数据的分布中心也可能会有差异，从而反映出在不同时期数据中存在某种程度的变异。
为此，凭借Math-B-Net统计软件的协助，我们可以使用总体方差计算公式来测量数据集合中数据变异的程度。
总体方差计算公式一般被表示为：σ2 =(x -)2/n其中，x代表该数据集合中的每一个数据，μ表示数据集合的平均值，n代表数据集合中数据的个数，σ2表示总体方差。
总体方差计算公式可以帮助我们快速计算出总体数据集合中数据变异的程度，从而反映出数据集合中取值范围的分布。
举个例子，我们可以使用Math-B-Net统计软件测量出一个月的某个股票的收盘价的总体方差。
将每天收盘价作为x，一个月的收盘价的平均值作为μ，一个月的交易日数作为n，将每天收盘价和其对应的一个月的收盘价的平均值做差，并将差值相加，最后将其总和除以一个月的交易日数，就可以得出某个月收盘价总体方差。
此外，总体方差计算公式还可用于分析不同类别的数据，从而更加直观地获取信息。
例如，我们可以使用Math-B-Net统计软件来测量出一个月某个股票的涨幅的总体方差。
根据总体方差计算公式，我们可以将每天涨幅作为x，一个月的涨幅的平均值作为μ，一个月的交易日数作为n，然后将每天涨幅和每个月涨幅的平均值做差，并将差值相加，最后将其总和除以一个月的交易日数，就可以得出某个月涨幅的总体方差。
总体样本方差公式
总体样本方差公式总体样本方差是统计学中用来衡量数据离散程度的一个重要指标。
它的计算方法是通过求取各个数据与其均值之差的平方和的平均值来得到。
假设我们有n个观测值，分别记为x1，x2，...，xn，它们的均值记为x̄。
那么总体样本方差的计算公式为：σ² = ∑(xi - x̄)² / n其中，σ²表示总体样本方差，xi表示第i个观测值，x̄表示观测值的均值。
在实际应用中，总体样本方差是一个重要的统计量。
它可以帮助我们了解数据的离散程度。
当总体样本方差较大时，说明数据点相对于其均值而言较为分散，即数据的离散程度较高；而当总体样本方差较小时，说明数据点相对于其均值而言较为集中，即数据的离散程度较低。
总体样本方差的计算步骤如下：1. 计算观测值的均值x̄。
将所有观测值相加，再除以观测值的个数n，即可得到均值x̄。
2. 计算每个观测值与均值之差的平方。
将每个观测值与均值之差进行平方运算，得到每个观测值与均值之差的平方。
3. 求取平方和。
将每个观测值与均值之差的平方相加，得到平方和。
4. 求取平均值。
将平方和除以观测值的个数n，得到平均值。
总体样本方差的计算过程可以简单地通过Excel等软件来完成。
首先将观测值输入到一个数据表格中，然后使用相应的函数来计算均值和平方和，最后将平方和除以观测值的个数即可得到总体样本方差。
总体样本方差的应用非常广泛。
在统计学中，它经常被用来衡量数据的离散程度，从而了解数据的分布情况。
在实际应用中，例如财务分析、风险评估等领域，总体样本方差也有着重要的作用。
通过计算总体样本方差，我们可以更好地理解数据的变化情况，从而为决策提供更准确的依据。
总体样本方差是统计学中的一个重要概念，它能够帮助我们了解数据的离散程度以及数据的分布情况。
通过计算总体样本方差，我们可以更好地理解数据，从而做出更准确的决策。
因此，掌握总体样本方差的计算方法以及应用场景对于统计学的学习和实际应用都具有重要意义。
商务与经济统计：总体方差
运算最终得到：
( n 1) s 2
/2
2
2
( n 1) s 2
2 (1 / 2 )
2的区间估计
总体方差的区间估计
( n 1) s 2
/2
2
2
( n 1) s 2
2 (1 / 2 )
值基于自由度为n - 1的卡方分布， 1 - 是置信水平.
2
( n 1) s2
2 0
单一总体方差的假设检验
左侧检验 •拒绝规则 临界值方法: P 值方法:
2 Reject H0 if 2 (1 )
Reject H0 if p-value <
2 (1 ) 基于自由度为 n - 1 的卡方分布.
单一总体方差的假设检验
2的区间估计
例: 恒温控制器
用以下10个度数计算在95% 的置信水平下的总体方差的置信区间。
恒温控制器 度数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
67.4 67.8 68.2 69.3 69.5 67.0 68.1 68.6 67.9 67.2
2的区间估计
自由度 n - 1 = 10 - 1 = 9， = .05
.025 12.832 14.449 16.013 17.535 19.023
.01 15.086 16.812 18.475 20.090 21.666
2.558 3.247 3.940 4.865 15.987 18.307 20.483 23.209
value
2 Our .025
2的区间估计
样本总体的方差公式
样本总体的方差公式是统计学中用于描述数据离散程度的重要工具。
方差，用符号σ²或Var(X)表示，衡量了数据集中各个数据点与其均值（即数学期望）之间的偏离程度。
通过计算方差，我们可以了解数据分布的宽度或广度，以及数据的波动情况。
方差公式的定义如下：
Var(X) = Σ[(xi - μ)²] / N
其中，xi表示数据集中的每一个数据点，μ表示数据的均值（即所有数据点的总和除以数据点的数量），Σ表示求和符号，N表示数据点的数量。
这个公式告诉我们如何计算方差：首先，我们需要找出数据集的均值μ；然后，对于数据集中的每一个数据点xi，计算它与均值μ的差的平方；最后，将所有差的平方相加，并除以数据点的数量N，得到的就是方差。
方差公式在统计学和数据分析中有广泛的应用。
例如，在质量控制中，通过计算生产过程的方差，可以评估产品质量的稳定性；在投资领域，方差可以用来衡量投资组合的风险水平，帮助投资者做出更明智的决策。
此外，方差与其他统计量如标准差、协方差等密切相关。
标准差是方差的平方根，用于衡量数据点与均值的平均偏离程度；协方差则用于描述两个变量之间的线性关系强度和方向。
总之，样本总体的方差公式是描述数据离散程度的重要工具。
通过计算方差，我们可以了解数据分布的宽度、广度以及数据的波动情况，为决策和分析提供有力支持。
在实际应用中，我们需要根据具体的数据集选择合适的统计方法和工具，以便更好地理解和利用数据。
总体方差(或标准差)
总体方差的平方根，计算公式为 $sigma = sqrt{frac{1}{N} sum_{i=1}^{N}(x_i - mu)^2}$。
目的和意义
描述数据分布的离散程度
总体方差和标准差用于描述数据分布 的离散程度，即数据点与均值之间的 差异程度。
比较不同数据的离散程度
决策依据
在统计学中，总体方差和标准差是重 要的参数，用于估计样本方差、进行 假设检验、回归分析等，是决策的重 要依据。
随着统计学理论的不断发展，总体方差的计算方法和应用 范围也将不断丰富和完善，为解决实际问题提供更多有效 的工具。
随着数据科学和人工智能的不断发展，总体方差在数据建 模和预测中的作用将更加重要，其在人工智能、机器学习 等领域的应用也将得到更深入的研究和应用。
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统计学
假设检验
在统计学中，方差分析（ANOVA）是一种常用的统计方法，用于比较不同组数据的离散程度。通过比较 不同组的总体方差，可以检验各组数据是否来自具有相同方差分布的总体。
回归分析
在回归分析中，解释变量和响应变量之间的关系可以通过回归模型来描述。总体方差可以用来衡量响 应变量的变异程度，帮助确定回归模型的稳定性。
金融领域
风险评估
在金融领域，资产收益率的稳定性是一 个重要的考量因素。通过计算资产的总 体方差，投资者可以了解该资产的风险 水平，从而做出更明智的投资决策。
VS
投资组合优化
投资者可以通过计算不同资产类别的总体 方差，评估各类资产对投资组合的风险贡 献。在此基础上，投资者可以构建出风险 水平与预期收益相匹配的投资组合。
缺点
01
对异常值敏感
方差对异常值比较敏感，一个或少数几个异常值可能会显著影响方差的
样本方差与总体方差的关系
样本方差与总体方差的关系在统计学的广袤天地中，样本方差和总体方差是两个极其重要的概念。
理解它们之间的关系，对于我们正确地分析数据、做出合理的推断和决策，具有举足轻重的意义。
让我们先从最基础的开始，什么是总体方差呢？总体方差，简单来说，就是反映整个总体中各个数据与总体均值之间的离散程度。
假如我们有一个全体人群的身高数据，这个全体人群的身高数据的离散程度，就由总体方差来描述。
那样本方差又是什么呢？样本方差则是基于从总体中抽取的一部分样本数据计算出来的。
比如说，我们不可能去测量全体人群的身高，只能抽取一部分人的身高作为样本，通过这些样本数据计算出来的方差就是样本方差。
那这两者之间到底有着怎样的关系呢？首先，从计算方法上来看，总体方差的计算公式是：＼＼sigma^2 ＝＼frac{＼sum_{i=1}＾｛N} （X_i ＼mu)＾2}｛N}＼其中，＼（X_i\）表示总体中的第\（i\）个数据，＼（＼mu\）是总体均值，＼（N\）是总体的数量。
而样本方差的计算公式是：＼s^2 ＝＼frac{＼sum_{i=1}＾｛n} （x_i ＼overline{x}）＾2}｛n 1}＼这里，＼（x_i\）表示样本中的第\（i\）个数据，＼（＼overline{x}＼）是样本均值，＼（n\）是样本的数量。
可以看到，两者在形式上非常相似，但样本方差的分母是\（n 1\），而不是\（n\）。
这是为什么呢？这其实是为了对样本方差进行一个“修正”，以使得样本方差能够更好地估计总体方差。
想象一下，如果我们直接用样本数据按照总体方差的计算方法来计算，得到的结果往往会低估总体方差。
因为样本只是总体的一部分，它的离散程度通常会小于总体的真实离散程度。
通过将分母变为\（n1\），可以在一定程度上“弥补”这种低估，使得样本方差成为总体方差的一个更合理的估计。
再从实际应用的角度来看，总体方差通常是难以直接获得的。
因为要获取总体的所有数据，在很多情况下是不现实甚至是不可能的。
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总体方差（标准差）的估计
教学要求：理解方差和标准差的意义，会求样本方差和标准差。
教学过程：
看一个问题：甲乙两个射击运动员在选拔赛中各射击20次，成绩如下：
一、方差和标准差计算公式： 样本方差：s 2=n
1〔（x 1—x ）２
+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2〕
样本标准差：s=
])()()[(n
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221----++-+-x x x x x x n Λ 方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数。
标准差大说明波动大。
一般的计算器都有这个键。
例一、要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定程度。
为此对两人进行了15次比赛，得到如下数据：（单位：cm ）：
如何通过对上述数据的处理，来作出选人的决定呢？
x 甲≈ x 乙≈
s 甲≈ s 乙≈
说明：总体平均数描述一总体的平均水平，方差和标准差描述数据的波动情况或者叫稳定程度。
二、练习：
根据以上数据，说明哪个波动小？
根据上述样本估计，哪个总体的波动较小？
问谁射击的情况比较稳定？
三、作业：
哪种小麦长得比较整齐？
哪种水稻的产量比较稳定？。