2021高考数学一轮习题：专题6+第49练+数列小题综合练

1
1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1an＝an＋(－1)n(n∈N*)，则
a
4

a
2

的值为()

A.1615B.43C.13D.
8
3

2．(2019·广东联考)在等比数列{an}中，a5a7＝6，a2＋a10＝5，则
a
18

a
10

等于()

A．－23或－32B.
2
3

C.32D.
23或3
2

3．已知等差数列{an}(n∈N*)的公差为d，前n项和为Sn，若a1>0，d<0，S3＝S9，则当S
n
取

得最大值时，n等于()
A．4B．5C．6D．7
4．已知数列{an}为等差数列，且a8＝1，则2|a9|＋|a10|的最小值为()
A．3B．2C．1D．0

5．已知等差数列{a
n}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，(n＋1)Sn＝(6n＋18)Tn
.若

a
n

b
n

∈Z，则n

的取值集合为()
A．{1,2,3}B．{1,2,3,4}
C．{1,2,3,5}D．{1,2,3,6}
6．(2020·济南质检)已知函数f(x)＝x
2

＋2bx的图象在点A(0，f(0))处的切线l与直线x＋y＋3

＝0垂直，若数列
1
fn
的前n项和为Sn，则S
2020
的值为()

A.20222021B.20192020C.20212020D.
2020
2021

7．(多选)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，S50＝0.设bn＝anan＋1an＋2(n∈N*)，则当数列
{b
n}的前n项和Tn
取得最大值时，n的值可以为()

A．22B．23C．24D．25
8．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数y＝3×2
x

的图象上，等

比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝a
n(n∈N*)，其前n项和为Tn

，则下列结论错误的是()

A．S
n＝2TnB．Tn＝2bn
＋1

C．T
n>anD．Tn＋
1
2

9．记数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝3an＋2n－3，则a1＝________，数列{a
n
}的通项公式

为a
n

＝________.

10．已知an＝n1－b＋3b－2bn－1(b>1，n≥2)，若对不小于4的自然数n，恒有不等式a
n＋1>an
成

立，则实数b的取值范围是______________．

11．(2020·石家庄调研)设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x，y，都有f(x＋y)
＝f(x)f(y)，若a1＝12，a
n＝f(n)(n∈N*)，数列{an}的前n项和Sn组成数列{Sn

}，则有()

A．数列{S
n
}递增，最大值为1

B．数列{S
n
}递减，最小值为

1

2

C．数列{S
n
}递增，最小值为

1

2

D．数列{S
n
}递减，最大值为1

12．已知an＝f(0)＋f1n＋f2n＋…＋fn－1n＋f(1)(n∈N*)，又函数f(x)＝fx＋12－1是R上
的奇函数，则数列{a
n

}的通项公式为()

A．a
n＝nB．an
＝2n

C．a
n＝n＋1D．an
＝n

2

－2n＋3

13．已知函数f(x)＝x2＋2x(x>0)，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N*，则f2019(x)在[1,2]上
的最大值是()
A．4
2018－1B．42019

－1

C．9
2019－1D．322019

－1

14．(2019·安徽六安一中期末)已知数列{an}满足a1＝1，an∈Z，且an＋1－an－1<3n＋12，an＋2－

an>3
n

＋
1

－12，则a

2019

等于()

A.32021－18B.
3
2020

－1

8

C.32019－18D.
3
2018

－1

8

15．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起到了重要的作
用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，….即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，
此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数
构成一个新的数列{b
n}，又记数列{cn}满足c1＝b1，c2＝b2，cn＝bn－bn
－
1

(n≥3，n∈N*)，则
3

c
1＋c2＋c3＋…＋c2019
的值为________．

16．已知数列{a
n}的前n项和为Sn，且2Sn＝3n＋1－3，若(2λ－1)an
>36(n－3)对一切n∈N

*

恒

成立，则实数λ的取值范围是______________．
4
答案精析

1．B2.D3.C4.C5.D6.D7.BD
8．ABC9.122－32n10.(3，＋∞)
11．C

12．C[f(x)＝fx＋12－1在R上为奇函数，
故F(－x)＝－f(x)，代入得

f
12－x＋f1
2
＋x
＝2，x∈R，

当x＝0时，f12＝1，令t＝12－x，则12＋x＝1－t，上式即为f(t)＋f(1－t)＝2，
当n为偶数时，a
n

＝f(0)＋f1n＋f2n＋…＋fn－1n＋f(1)

＝[f(0)＋f(1)]＋f1n＋fn－1n＋…＋f12n－1n＋f12n＋1n＋f
1
2

＝2×n2＋1＝n＋1，

当n为奇数时，a
n

＝f(0)＋f1n＋f2n＋…＋fn－1n＋f(1)

＝[f(0)＋f(1)]＋f1n＋fn－1n＋…＋
fn－12n＋f
n＋1
2
n

＝2×n＋12＝n＋1，综上所述，a
n

＝n＋1.]

13．D[∵f(x)＝x
2＋2x＝(x＋1)2

－1在(0，＋∞)上为增函数，且f(x)>0，

∴f
1

(x)＝f(x)＝x
2

＋2x在[1,2]上为增函数，

即f1(x)max＝8＝32－1，且f
1

(x)>0，

同理f2(x)max＝f(f1(x)max)＝f(32－1＋1)2－1＝34－1＝322－1，且f
2

(x)>0，

同理f3(x)max＝f(f2(x)max)＝f(34－1＋1)2－1＝38－1＝323－1，且f
3

(x)>0，

依此类推f2019(x)max＝f(f2018(x)max)＝322019－1.]
14．B[∵a
n＋1－an
－
1

<3n＋12，

∴a
n＋2－an

<3
n

＋
1

＋12，
5

又∵an＋2－an>3n＋1－12，
∴3
n＋1－12＋
1

＋12，

∵a
n∈Z，∴an＋2－an

∈Z，

则an＋2－an＝3n＋1，
于是得到
a
3－a1＝32，a5－a3＝34，…，a2019－a2017
＝3
2018

，

上述所有等式全部相加得a2019－a1＝32＋34＋…＋32018＝321－910091－9＝32020－98，

因此，a2019＝a1＋32020－98＝1＋32020－98＝
3
2020

－1

8
.]

15．3
16.
13
18
，＋∞

解析∵2S
n

＝3
n

＋
1

－3，∴2a

1＝9－3＝6，a1

＝3，

当n>1时，2an＝2Sn－2Sn－1＝3n＋1－3n＝2×3n，a
n

＝3
n
.

又31＝a1且(2λ－1)an>36(n－3)，∴2λ－1>36n－33n，得λ>12＋18n－33n，

因为18n－23n＋1－18n－33n＝187－2n3n＋1，
所以当n＝4时，12＋18n－33n取得最大值，最大值为12＋184－334＝1318，λ>
13
18
.