数列求和的3种方法——分组转化裂项相消和错位相减 ppt课件
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《数列求和裂项》课件
实例二：分式数列的求和
分式数列
(frac{1}{1} + frac{1}{2} + frac{1}{3} + ... + frac{1}{n})
裂项求和
利用分数的性质，将每一项拆分成更小的部分，然后进行求和。
具体操作
(frac{1}{1} + frac{1}{2} + frac{1}{3} + ... + frac{1}{n} = (1 - frac{1}{2} + frac{1}{2} - frac{1}{3} + ... + frac{1}{n - 1} - frac{1}{n}) + frac{1}{n})
裂项求和法的总结
裂项求和法是一种常用的数列求和方法，通过将数列的每一项拆分成易于求和的形式，简化求和过程 。
裂项求和法适用于多种类型的数列，如等差数列、等比数列等，能够有效地解决一些复杂的数列求和问 题。
在应用裂项求和法时，需要仔细分析数列的结构和特点，选择合适的拆分方式，以达到简化求和的目的 。
分式形式的裂项公式在处理具有分式规律的 数列时非常有效，可以大大简化计算过程，
提高解题效率。
几何级数的裂项公式
几何级数的裂项公式是指将数列中的每一项表示为几何级数的形式，然后通过化 简或分解因式，将原数列的求和问题转化为新数列的求和问题。例如，对于数列 $1, 2, 4, 8, ldots$，其裂项公式为$2^{n-1}$。
差分形式的裂项公式在解决数列求和问题中非常常见，尤其在处理等差数列、等比数列等具有明显规 律的数列时，可以大大简化计算过程。
指数形式的裂项公式
指数形式的裂项公式是指将数列中的每一项表示为指数形式，然后通过因式分解或化简，将原数列的求和问题转化为新数列 的求和问题。例如，对于数列$1, 2^2, 3^3, ldots, n^n$，其裂项公式为$frac{1}{2} times (1 + n^n)$。
错位相减-裂项相消-分组求和
一、错位相减法差比数列：错位相减较常用在数列的通项表现为一个等差数列与一个等比数列的乘积，设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法。
练习：2,n n n a n S =•求 练习：求数列}21{n n ⨯前n 项和 练习：(21)2n n a n =-⋅1、设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 2、已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1*(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈，求数列{}n b 的前n 项和n S3、设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b += （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 4、（本小题满分12分）等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值；（2）当b=2时，记 1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T 二、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： 常见的拆项公式有：练习：()()111141223341n S n n =+++--+⨯⨯⨯+练习：求和1111133557(21)(21)n n +++⨯⨯⨯-+ 练习：若数列{n a }的通项公式是11++=n n a n ，求数列{n a }的前n 项和；1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S .（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T . 2、已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。
高中数学必修5《数列求和-裂项相消法》PPT
常见的裂项公式：
（二）、典例：
谢谢大家！
二、教学重点和难点： 重点：裂项相消的方法和形式。能将一些特殊数
列的求和问题转化为裂项相消求和问题。 难点：用裂项相消的思维过程，不同的数列采用
不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问 题。
பைடு நூலகம்
三、教学过程： （一）复习：
常用求和方法： 1.错位相减法：
适用于一个等差数列和一个等比数列（公比不等于1）对应项相乘构成的数列求和. 2.分组求和法：
把一个数列分成几个可以直接求和的数列的和（差）的形式. 3.倒序相加法：
如果一个数列中，与首尾两端“距离”相等两项的和等于同一个常数，那么可用倒序相加求 和.
4.裂项相消法：
把一个数列的通项公式分成两项差的形式， 相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和.注意： 在抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵 消。
适用范围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标 经历数列裂项相消法求和的探究过程、深化过程和推广
过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会 知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。
3 情感与价值观目标 通过数列裂项相消求和法的推广应用，使学生认识到在
学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发 扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻 研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。
高中数学必修五 数列求和之裂项相消法
考纲要求
考纲研读
1.掌握等差数列、等比数列的 对等差、等比数列的求和以考
求和公式．
查公式为主，对非等差、非等
比数列的求和，主要考查分组
2.了解一般数列求和的几种方 求和、裂项相消、错位相减等
（二）、典例：
谢谢大家！
二、教学重点和难点： 重点：裂项相消的方法和形式。能将一些特殊数
列的求和问题转化为裂项相消求和问题。 难点：用裂项相消的思维过程，不同的数列采用
不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问 题。
பைடு நூலகம்
三、教学过程： （一）复习：
常用求和方法： 1.错位相减法：
适用于一个等差数列和一个等比数列（公比不等于1）对应项相乘构成的数列求和. 2.分组求和法：
把一个数列分成几个可以直接求和的数列的和（差）的形式. 3.倒序相加法：
如果一个数列中，与首尾两端“距离”相等两项的和等于同一个常数，那么可用倒序相加求 和.
4.裂项相消法：
把一个数列的通项公式分成两项差的形式， 相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和.注意： 在抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵 消。
适用范围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标 经历数列裂项相消法求和的探究过程、深化过程和推广
过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会 知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。
3 情感与价值观目标 通过数列裂项相消求和法的推广应用，使学生认识到在
学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发 扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻 研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。
高中数学必修五 数列求和之裂项相消法
考纲要求
考纲研读
1.掌握等差数列、等比数列的 对等差、等比数列的求和以考
求和公式．
查公式为主，对非等差、非等
比数列的求和，主要考查分组
2.了解一般数列求和的几种方 求和、裂项相消、错位相减等
数列求和-裂项相消法-PPT课件
步骤： ①展开：将Sn展开
为等b比n 数列
②乘公比：等式两边乘以等比数列的公比
③错位：让次数相同的相对齐④相减⑤解出Sn
数列求和-裂项相消法
例题探究·提炼方法
(教材必修5习题2.3B组第四题)
解：
an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
Sn a1 a2 a3
an1 an
(1- 1）（1 - 1）（1 - 1） （ 1 1） (1 1 ) 2 2 3 3 4 n 1 n n n 1
1 (1 1 ) 3 3n 1
数列求和-裂项相消法
规律方法·反思提升
(1)an
1 n(n
k)
1 k
(
1 n
n
1
k
)
(2)bn
1 4n2 1
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
(
1 2n 1
1) 2n 1
(3)bn
9n2
1 3n
2
(3n
1 2)(3n
1)
1 3
(1 3n
2
1) 3n 1
数列求和-裂项相消法
1 n＋1＋
＝ n
n＋1－
n，
S2 016＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 016＝( 2－ 1)＋( 3－ 2)＋( 4－ 3) ＋…＋( 2 016－ 2 015)＋( 2 017－ 2 016)＝ 2 017－1. 答案：C
数列求和-裂项相消法
强化练习·扩展延伸
强化练习2
题型3：
2n
11
an (2n 1)(2n1 1) 2n 1 2n1 1
数列求和 数列求和的基本方法
知识回顾
为等b比n 数列
②乘公比：等式两边乘以等比数列的公比
③错位：让次数相同的相对齐④相减⑤解出Sn
数列求和-裂项相消法
例题探究·提炼方法
(教材必修5习题2.3B组第四题)
解：
an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
Sn a1 a2 a3
an1 an
(1- 1）（1 - 1）（1 - 1） （ 1 1） (1 1 ) 2 2 3 3 4 n 1 n n n 1
1 (1 1 ) 3 3n 1
数列求和-裂项相消法
规律方法·反思提升
(1)an
1 n(n
k)
1 k
(
1 n
n
1
k
)
(2)bn
1 4n2 1
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
(
1 2n 1
1) 2n 1
(3)bn
9n2
1 3n
2
(3n
1 2)(3n
1)
1 3
(1 3n
2
1) 3n 1
数列求和-裂项相消法
1 n＋1＋
＝ n
n＋1－
n，
S2 016＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 016＝( 2－ 1)＋( 3－ 2)＋( 4－ 3) ＋…＋( 2 016－ 2 015)＋( 2 017－ 2 016)＝ 2 017－1. 答案：C
数列求和-裂项相消法
强化练习·扩展延伸
强化练习2
题型3：
2n
11
an (2n 1)(2n1 1) 2n 1 2n1 1
数列求和 数列求和的基本方法
知识回顾
第四节 数列求和 课件(共48张PPT)
－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝
专题三 第2讲 数列求和及其综合应用
所以S100＝P107－Q7 ＝107×22＋214－21－－228＝11 302.
2 考点二 数列的综合问题
PART TWO
核心提炼
数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破 的关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前 n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩 进行不等式的证明.
(2)(2021·长春模拟)已知等比数列{an}满足：a1＋a2＝20，a2＋a3＝80.数
列{bn}满足bn＝log2an，其前n项和为Sn，若 6
Sn＋bn11≤λ恒成立，则λ的最小
值为__2_3__.
解析 设等比数列{an}的公比为 q，由题意可得aa11＋q＋a1aq1＝q2＝208，0， 解得a1＝4，q＝4， 故{an}的通项公式为an＝4n，n∈N*. bn＝log2an＝log24n＝2n， Sn＝2n＋12n(n－1)·2＝n2＋n，
例4 (1)(2021·淄博模拟)已知在等比数列{an}中，首项a1＝2，公比q>1，
a2，a3是函数f(x)＝13 x3－6x2＋32x的两个极值点，则数列{an}的前9项和 是__1_0_2_2__.
解析 由 f(x)＝13x3－6x2＋32x，得 f′(x)＝x2－12x＋32， 又因为 a2，a3 是函数 f(x)＝13x3－6x2＋32x 的两个极值点， 所以a2，a3是函数f′(x)＝x2－12x＋32的两个零点， 故aa22＋ ·a3a＝3＝321，2，
专题三 数 列
考情分析
KAO QING FEN XI
1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法. 2.数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不
2 考点二 数列的综合问题
PART TWO
核心提炼
数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破 的关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前 n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩 进行不等式的证明.
(2)(2021·长春模拟)已知等比数列{an}满足：a1＋a2＝20，a2＋a3＝80.数
列{bn}满足bn＝log2an，其前n项和为Sn，若 6
Sn＋bn11≤λ恒成立，则λ的最小
值为__2_3__.
解析 设等比数列{an}的公比为 q，由题意可得aa11＋q＋a1aq1＝q2＝208，0， 解得a1＝4，q＝4， 故{an}的通项公式为an＝4n，n∈N*. bn＝log2an＝log24n＝2n， Sn＝2n＋12n(n－1)·2＝n2＋n，
例4 (1)(2021·淄博模拟)已知在等比数列{an}中，首项a1＝2，公比q>1，
a2，a3是函数f(x)＝13 x3－6x2＋32x的两个极值点，则数列{an}的前9项和 是__1_0_2_2__.
解析 由 f(x)＝13x3－6x2＋32x，得 f′(x)＝x2－12x＋32， 又因为 a2，a3 是函数 f(x)＝13x3－6x2＋32x 的两个极值点， 所以a2，a3是函数f′(x)＝x2－12x＋32的两个零点， 故aa22＋ ·a3a＝3＝321，2，
专题三 数 列
考情分析
KAO QING FEN XI
1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法. 2.数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不
数列求和复习PPT课件
一、基本方法 1．（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和。
公比含字母是一定要讨论
ห้องสมุดไป่ตู้
（2）利用公式法求和
2006.9
洞口一中
2．错位相减法求和： 如：
3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其 转化为等差或等比数列，再求和。
4．合并求和： 如：
2006.9 洞口一中
求的和
5 ．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项 之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项：
2006.9
洞口一中
6．倒序相加法求和
7.其它求和法：如：归纳猜想法，奇偶法等
2006.9
洞口一中
1．用公式求和 例1．求和： ①
② 求 数 列 1· 2· 3+2· 3· 4+3· 4· 5+…+n （ n+1)(n+2 ） 前n项和 ③ (4) 1+(1+a)+(1+a+a2)+…+(1+a+a2+…+an-1) 对于不同的类别，可采用分组求和的方法
2006.9 洞口一中
2．错位相减法求和 例2．已知数列
求前n项和。 练习:求
2006.9
洞口一中
3.裂项相消法求和 例3 (1)求和
(2)求和
2006.9
洞口一中
4.倒序相加法求和 例4 求证：
2006.9
洞口一中
5．其它求和方法 还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。 例5.(1)已知数列
2006.9
洞口一中
解(1)：
若
若
2006.9
洞口一中
三、小结 1．掌握各种求和基本方法； 2．利用等比数列求和公式时注意 分 讨论。
公比含字母是一定要讨论
ห้องสมุดไป่ตู้
（2）利用公式法求和
2006.9
洞口一中
2．错位相减法求和： 如：
3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其 转化为等差或等比数列，再求和。
4．合并求和： 如：
2006.9 洞口一中
求的和
5 ．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项 之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项：
2006.9
洞口一中
6．倒序相加法求和
7.其它求和法：如：归纳猜想法，奇偶法等
2006.9
洞口一中
1．用公式求和 例1．求和： ①
② 求 数 列 1· 2· 3+2· 3· 4+3· 4· 5+…+n （ n+1)(n+2 ） 前n项和 ③ (4) 1+(1+a)+(1+a+a2)+…+(1+a+a2+…+an-1) 对于不同的类别，可采用分组求和的方法
2006.9 洞口一中
2．错位相减法求和 例2．已知数列
求前n项和。 练习:求
2006.9
洞口一中
3.裂项相消法求和 例3 (1)求和
(2)求和
2006.9
洞口一中
4.倒序相加法求和 例4 求证：
2006.9
洞口一中
5．其它求和方法 还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。 例5.(1)已知数列
2006.9
洞口一中
解(1)：
若
若
2006.9
洞口一中
三、小结 1．掌握各种求和基本方法； 2．利用等比数列求和公式时注意 分 讨论。
裂项相消法求数列的前n项和ppt课件
13
课后作业
2．已知{an}为单调递增数列，Sn 为其前 n 项和，2Sn＝ a2n＋n. (Ⅰ)求{an}的通项公式； (Ⅱ)若 bn＝2n＋a1na＋n2an＋1，Tn 为数列{bn}的前 n 项和，证 明：Tn＜12.
14
课后作业
3.正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n) ＝0. (1)求数列{an}的通项公式 an；
两式相减得：an＝32an－32an－1＋1，即 an＝3an－1－2
法一（构造法）：∴an－1＝3(an－1－1) 5 又当 n＝1 时，S1＝32a1－2，则 a1＝4
应用感悟
【例 1】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 满足：Sn＝32an＋n－ 3． （1）求证：数列{an－1}是等比数列； （2）令 cn＝log3(a1－1)＋log3(a2－1)＋…＋log3(an－1)，令 dn ＝c1n，求数列{dn}的前 n 项和 Tn.
11
归纳总结
看
2裂
验
12
消
课后作业
1．已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 2a2＝S2＋12， a3＝2. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若 bn＝log2an＋3，数列bnb1n＋1的前 n 项和为 Tn，求满 足 Tn＞13的正整数 n 的最小值.
an＝
1 n＋
n＋1
＝
n＋1－
n
an＝
1 n＋
n＋k
＝1k(
n＋1－
n)
4
应用感悟
【例 1】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 满足：Sn＝32an＋n－ 3． （1）求证：数列{an－1}是等比数列； （2）令 cn＝log3(a1－1)＋log3(a2－1)＋…＋log3(an－1)，令 dn ＝c1n，求数列{dn}的前 n 项和 Tn. 解：（1）∵ ∴S当n＝n≥32a2n＋时n，－S3n－1＝32an－1＋n－4
课后作业
2．已知{an}为单调递增数列，Sn 为其前 n 项和，2Sn＝ a2n＋n. (Ⅰ)求{an}的通项公式； (Ⅱ)若 bn＝2n＋a1na＋n2an＋1，Tn 为数列{bn}的前 n 项和，证 明：Tn＜12.
14
课后作业
3.正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n) ＝0. (1)求数列{an}的通项公式 an；
两式相减得：an＝32an－32an－1＋1，即 an＝3an－1－2
法一（构造法）：∴an－1＝3(an－1－1) 5 又当 n＝1 时，S1＝32a1－2，则 a1＝4
应用感悟
【例 1】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 满足：Sn＝32an＋n－ 3． （1）求证：数列{an－1}是等比数列； （2）令 cn＝log3(a1－1)＋log3(a2－1)＋…＋log3(an－1)，令 dn ＝c1n，求数列{dn}的前 n 项和 Tn.
11
归纳总结
看
2裂
验
12
消
课后作业
1．已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 2a2＝S2＋12， a3＝2. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若 bn＝log2an＋3，数列bnb1n＋1的前 n 项和为 Tn，求满 足 Tn＞13的正整数 n 的最小值.
an＝
1 n＋
n＋1
＝
n＋1－
n
an＝
1 n＋
n＋k
＝1k(
n＋1－
n)
4
应用感悟
【例 1】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 满足：Sn＝32an＋n－ 3． （1）求证：数列{an－1}是等比数列； （2）令 cn＝log3(a1－1)＋log3(a2－1)＋…＋log3(an－1)，令 dn ＝c1n，求数列{dn}的前 n 项和 Tn. 解：（1）∵ ∴S当n＝n≥32a2n＋时n，－S3n－1＝32an－1＋n－4
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[解] (1)由题意知数列{an}是首项 a1＝1，公比 q＝2 的等比数列， 所以 an＝2n－1；因为 b1－a1＝2，b2－a2＝4， 所以数列{bn－an}的公差 d＝2， 所以 bn－an＝(b1－a1)＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n，所以 bn＝2n＋2n－1. (2)Tn＝b1＋b
6)2＝(a1＋2)·(a1＋14)，解得a1＝2.所以Sn＝na1＋
nn－1 2
d＝n(n
＋1)．故选A.
答案：A
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
分组转化求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的 数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． [典例] 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an，数列{bn}满足 b1＝3， b2＝6，且{bn－an}为等差数列． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
[方法技巧]
2．常见式的裂项
数列(n为正整数)
裂项方法
1 nn＋k
(k为非零常数)
nn1＋k＝1kn1－n＋1 k
1 4n2－1
4n21－1＝122n1－1－2n1＋1
1
n＋
n＋1
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n
loga1＋n1 (a>0，a≠1) loga1＋n1＝loga(n＋1)－logan
anan＋1 danan＋1 danan＋1 1d·a1n－an1＋1.
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
[方法技巧]
1．用裂项法求和的裂项原则及规律 (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直 到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项， 前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
[方法技巧]
用错位相减法求和的3个注意事项 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为 负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两 式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表 达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比 为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
高考研究课（三 数列求和的 3 种方法——分组转化、裂项相消和错位相减
非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想： 1转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数 列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成. 2不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相 消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.
法求{cn}的前 n 项和．
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减
裂项相消求和法
结束
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以 相互抵消，从而求得其和．
在相加抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵消， 特别是间隔抵消时要注意规律性．
一般地，若{an}为等差数列，则求数列ana1n＋1的前 n 项和 可 尝 试 此 方 法 ， 事 实 上 ， 1 ＝ d ＝ an＋1－an ＝
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
1．(2014·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为2，若 a2，a4，a8 成等
比数列，则{an}的前n项和Sn ＝
()
A．n(n＋1)
B． n(n－1)
nn＋1
C.
2
D．nn2－1
解析：因为a2，a4，a8成等比数列，所以a
2 4
＝a2·a8，所以(a1＋
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
错位相减求和法 如果一个数列的各项由一个等差数列的各项和一个等 比数列对应项乘积组成，那么这个数列的前n项和可用此法 来求．即求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等 差数列和等比数列． [典例] (2016·山东高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝ 3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令cn＝abn＋n＋12n＋n 1，求数列{cn}的前n项和Tn.
精品资料
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
[方法技巧]
(1)若数列{cn}的通项公式为 cn＝an±bn，且{an}，{bn} 为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前 n 项和．
(2)若数列{cn}的通项公式为
cn＝
an，n为奇数， bn，n为偶数，
其
中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和
6)2＝(a1＋2)·(a1＋14)，解得a1＝2.所以Sn＝na1＋
nn－1 2
d＝n(n
＋1)．故选A.
答案：A
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
分组转化求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的 数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． [典例] 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an，数列{bn}满足 b1＝3， b2＝6，且{bn－an}为等差数列． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
[方法技巧]
2．常见式的裂项
数列(n为正整数)
裂项方法
1 nn＋k
(k为非零常数)
nn1＋k＝1kn1－n＋1 k
1 4n2－1
4n21－1＝122n1－1－2n1＋1
1
n＋
n＋1
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n
loga1＋n1 (a>0，a≠1) loga1＋n1＝loga(n＋1)－logan
anan＋1 danan＋1 danan＋1 1d·a1n－an1＋1.
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
[方法技巧]
1．用裂项法求和的裂项原则及规律 (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直 到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项， 前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
[方法技巧]
用错位相减法求和的3个注意事项 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为 负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两 式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表 达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比 为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
高考研究课（三 数列求和的 3 种方法——分组转化、裂项相消和错位相减
非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想： 1转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数 列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成. 2不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相 消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.
法求{cn}的前 n 项和．
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减
裂项相消求和法
结束
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以 相互抵消，从而求得其和．
在相加抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵消， 特别是间隔抵消时要注意规律性．
一般地，若{an}为等差数列，则求数列ana1n＋1的前 n 项和 可 尝 试 此 方 法 ， 事 实 上 ， 1 ＝ d ＝ an＋1－an ＝
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
1．(2014·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为2，若 a2，a4，a8 成等
比数列，则{an}的前n项和Sn ＝
()
A．n(n＋1)
B． n(n－1)
nn＋1
C.
2
D．nn2－1
解析：因为a2，a4，a8成等比数列，所以a
2 4
＝a2·a8，所以(a1＋
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
错位相减求和法 如果一个数列的各项由一个等差数列的各项和一个等 比数列对应项乘积组成，那么这个数列的前n项和可用此法 来求．即求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等 差数列和等比数列． [典例] (2016·山东高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝ 3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令cn＝abn＋n＋12n＋n 1，求数列{cn}的前n项和Tn.
精品资料
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
[方法技巧]
(1)若数列{cn}的通项公式为 cn＝an±bn，且{an}，{bn} 为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前 n 项和．
(2)若数列{cn}的通项公式为
cn＝
an，n为奇数， bn，n为偶数，
其
中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和