浙教版九年级数学上册第一章二次函数单元测试卷含答案

第一章 二次函数单元测试卷（本试卷共三大题，26个小题 试卷分值：150分 考试时间：120分钟） 姓名： 班级： 得分：一、填空题（本题有10个小题，每小题4分，共40分） 1．抛物线2(1)3y x =-+的对称轴是（ ） A ．直线1x =B ．直线3x =C ．直线1x =-D ．直线3x =-2．用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为 （ ） A ．2(3)2y x =++ B ．2(3)2y x =-- C ．2(6)2y x =-- D ．2(3)2y x =-+3．若二次函数c x x y ++=22配方后为7)(2++=h x y ，则c 、h 的值分别为（ ） A ．8、－1 B ．8、1 C ．6、－1 D ．6、1 4．二次函数y =2(x －1)2+3的图像的顶点坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（－1，3）C ．（1，－3）D ．（－1，－3）5．已知二次函数2y 3=-+x x m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程230-+=x x m 的两实数根是（ ）A ．x 1=1,x 2=－2B ．x 1=1,x 2=2C ．x 1=1,x 2=0D ．x 1=1,x 2=3 6．二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（ ） A ．2-B ．2C ．1-D ．17．抛物线24y x x =-的对称轴是 ( ) A ．x ＝－2B ．x ＝4C ．x ＝2D ．x ＝－48．已知二次函数y ＝2(x －3)2＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝－3；③其图象顶点坐标为(3，－1)；④当x <3，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图，①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a +b ＞m （am +b ）（m ≠1），其中结论正确的有（ ）A ． ③④B ． ③⑤C ． ③④⑤D ． ②③④⑤ 10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则正比例函数y ＝(b ＋c )x 的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（ ）O O O O O y y yy y xxxxx－11A ．B ．C ．D ．二、认真填一填 (本题有8个小题, 每小题4分, 共32分) 11．抛物线22(1)2y x =-++的顶点的坐标是12．进价为30元/件的商品，当售价为40元/件时，每天可销售40件，售价每涨1元，每天少销售1件，当售价为 元时每天销售该商品获得利润最大，最大利润是 ___________元．13．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y (m )与水平距离x (m )之间的关系为y ＝－112(x －4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是________m .14．请你写出一个抛物线的表达式，此抛物线满足对称轴是y 轴，且在y 轴的左侧部分是上升的，那么这个抛物线表达式可以是 ．15．将抛物线y =(x +2)2－3的图像向上平移5个单位,得到函数解析式为 ．16．若函数y =a (x －h )2+k 的图象经过原点，最小值为8，且形状与抛物线y =－2x 2－2x +3相 同，则此函数关系式______.17．周长为16cm 的矩形的最大面积为____,此时矩形边长为____,实际上此时矩形是 18．如图，抛物线y =ax 2+1与双曲线y =xm的交点A 的横坐标是2，则关于x 的不等式xm+ax 2+1<0的解集是 ．三、解答题(本题有8个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．) 19．（6分）已知抛物线c bx x y ++=2经过点（1，－4）和（－1，2）.求抛物线解析式.20．（8分）如图，抛物线y =21x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点， 且A （一1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）若将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，请直接写出平移后的抛物线的解析式.21．（8分）某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价1元，其销量就减少20件。

（1）要使每天获得利润700元，请你帮忙确定售价；（2）问售价定在多少时能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。

22．（10分）已知二次函数y = x2 －4x＋3．（1）用配方法将y = x2 －4x＋3化成y = a(x－h) 2 ＋k的形式；（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）根据图象回答：当自变量x的取值范围满足什么条件时，y＜0？（第22题）23．（10分）已知二次函数的图象以A （1-，4）为顶点，且过B （2，5-） （1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A 、B 两点随图象移至点A '、B '， 求OA B ''∆的面积。

24．（10分）已知抛物线的解析式为22y x 2mx 4m =-++-（1）求证：不论m 为何值，此抛物线与x 轴必有两个交点，且两交点A 、B 之间的距离为定值；（2）设点P 为此抛物线上一点，若△P AB 的面积为8，求符合条件的点P 的坐标； （3）若（2）中△P AB 的面积为S （S >0），试根据面积S 值的变化情况，确定符合条件的点P 的个数（本小题直接写出结论，不要求写出计算、证明过程）.25．（12分）如图1，△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q，连结AP,BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系，请证明你的猜想；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为（1）中所猜想的BQ与AP的数量关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由；（3）若AC=BC=4，设△EFP平移的距离为x，当0≤x≤8时，△EFP与△ABC重叠部分的面积为S，请写出S与x之间的函数关系式，并求出最大值．26．（14分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△P AC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题（本题有10个小题，每小题4分，共40分） 1．抛物线2(1)3y x =-+的对称轴是（ ） A ．直线1x = B ．直线3x =C ．直线1x =-D ．直线3x =-【答案】A【解析】2()(0)y a x h k a =-+≠，对称轴是x h =，因此对称轴是直线1x =，故选A 。

2．用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为 （ ） A ．2(3)2y x =++ B ．2(3)2y x =-- C ．2(6)2y x =-- D ．2(3)2y x =-+ 【答案】D【解析】分析：由于二次项系数是1，利用配方法直接加上一次项系数一半的平方来凑完全平方式，可把一般式转化为顶点式．解答：解：y =x 2－6x +11，=x 2－6x +9+2，=（x －3）2+2．故选D ．点评：二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）； （2）顶点式：y =a （x －h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y =a （x －x 1）（x －x 2）． 3．若二次函数c x x y ++=22配方后为7)(2++=h x y ，则c 、h 的值分别为（ ） A ．8、－1 B ．8、1 C ．6、－1 D ．6、1 【答案】B .【解析】试题分析：把y =（x +h ）2+7化成一般形式，然后和y =x 2+2x +c 的对应项的系数相同，据此即可求解．y =(x +h )2+7=x 2+2hx +h 2+7则2h =2，h 2+7=c 因此：h =1，c =8 故选B . 考点：求根公式.4．二次函数y =2(x －1)2+3的图像的顶点坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（－1，3）C ．（1，－3）D ．（－1，－3） 【答案】A【解析】因为y =（x －1）2+3是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标． 解答：解：∵抛物线解析式为y =（x －1）2+3， ∴二次函数图象的顶点坐标是（1，3）． 故选A ．5．已知二次函数2y 3=-+x x m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程230-+=x x m 的两实数根是（ ）A ．x 1=1,x 2=－2B ．x 1=1,x 2=2C ．x 1=1,x 2=0D ．x 1=1,x 2=3 【答案】B . 【解析】试题分析：∵二次函数2y x 3x m -+＝（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，∴213m 0m 2-+=⇒=.∴2212x 3x m 0x 3x 20x 1x 2-+=⇒-+=⇒==，.故选B .考点：二次函数与二元一次方程的关系.6．二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（ ） A ．2-B ．2C ．1-D ．1【答案】B【解析】考查对二次函数顶点式的理解．抛物线y =（x －1）2+2开口向上，有最小值，顶点坐标为（1，2），顶点的纵坐标2即为函数的最小值．解：根据二次函数的性质，当x =1时，二次函数y =（x －1）2+2的最小值是2．故 选B ．点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．7．抛物线24y x x =-的对称轴是 ( ) A ．x ＝－2 B ．x ＝4 C ．x ＝2 D ．x ＝－4【答案】C【解析】通过配方成顶点式，24y x x =-=4)2(2--x ，所以对称轴为x =2，故选C .8．已知二次函数y ＝2(x －3)2＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝－3；③其图象顶点坐标为(3，－1)；④当x <3，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A【解析】①∵2>0，∴图象的开口向上，故本项错误；②图象的对称轴为x ＝3，故本项错误；③其图象顶点坐标为(3，1)，故本项错误；④当x <3时，y 随x 的增大而减小，正确． 9．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图，①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a +b ＞m （am +b ）（m ≠1），其中结论正确的有（ ）A ． ③④B ． ③⑤C ． ③④⑤D ． ②③④⑤ 【答案】C .【解析】试题分析：利用二次函数图象的开口方向，对称轴，与x 、y 轴的交点，以及特殊的x =1、﹣1、2或﹣2的特殊值，进行判定退出即可． 开口向下，所以a ＜0， 对称轴为x =﹣2ba=1，所以b =﹣2a ＞0， 因为当x =0，y =c ，从图上看出抛物线与y 轴交点（0，c ）的纵坐标c ＞0， 所以abc ＜0，①错；当x =﹣1时，y =a ﹣b +c ＜0，所以b ＞a +c ，②错； 当x =2时，y =4a +2b +c ＞0，所以③正确；因为a =﹣12b ，又a ﹣b +c ＜0，所以2c ＜3b ，④正确； 因为当m =1时，有最大值，所以当m 不等于1时，有am 2+bm +c ＜a +b +c ， 所以a +b ＞m ﹙am +b ﹚，⑤正确．综上所知③④⑤正确． 故选：C ． 考点: 二次函数图象与系数的关系.10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则正比例函数y ＝(b ＋c )x的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（ ）O O O O O y y yy y xxx－11A ．B ．C ．D ．【答案】A二、认真填一填 (本题有8个小题, 每小题4分, 共32分) 11．抛物线22(1)2y x =-++的顶点的坐标是【答案】(－1,2)【解析】抛物线22(1)2y x =-++的顶点的坐标是（－1,2）12．进价为30元/件的商品，当售价为40元/件时，每天可销售40件，售价每涨1元，每天少销售1件，当售价为 元时每天销售该商品获得利润最大，最大利润是 元． 【答案】55，625． 【解析】试题分析：设售价为x 元，总利润为w 元，则2(30)[401(40)](55)625w x x x =--⨯-=--+，∴55x =时，获得最大利润为625元.故答案为：55，625．考点：1．二次函数的性质；2．二次函数的应用．13．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y (m )与水平距离x (m )之间的关系为y ＝－112(x －4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是________m .【答案】10【解析】令函数式y ＝－112(x －4)2＋3中，y ＝0， 0＝－112(x －4)2＋3， 解得x 1＝10，x 2＝－2(舍去)， 即铅球推出的距离是10 m .14．请你写出一个抛物线的表达式，此抛物线满足对称轴是y 轴，且在y 轴的左侧部分是上升的，那么这个抛物线表达式可以是 ． 【答案】22=-+y x 【解析】试题分析：根据对称轴是y 轴可得0=b ，再由在y 轴的左侧部分是上升的可判断0<a . 答案不唯一，如22=-+y x . 考点：二次函数的性质点评：解题的关键熟练掌握当抛物线的对称轴是y 轴时，一次项系数.0=b15．将抛物线y =(x +2)2－3的图像向上平移5个单位,得到函数解析式为 ． 【答案】y =(x +2)2+2． 【解析】试题分析：根据二次函数变化规律：左加右减,上加下减, 抛物线y =(x +2)2－3的图像向上平移5个单位,y =(x +2)2－3+5,即：y =(x +2)2+2． 故答案是y =(x +2)2+2．考点：二次函数图象与几何变换．16．若函数y =a (x －h )2+k 的图象经过原点，最小值为8，且形状与抛物线y =－2x 2－2x +3相同，则此函数关系式______. 【答案】y =－2x 2+8x 或y =－2x 2－8x【解析】函数图象经过原点，可得等式ah 2+k =0；已知最小值8，可得k =8；根据抛物线形状相同可知a =－2，从而可求h ．解：∵函数y =a （x －h ）2+k 的图象经过原点，把（0，0）代入解析式，得：ah 2+k =0， ∵最大值为8，即函数的开口向下，a ＜0，顶点的纵坐标k =8， 又∵形状与抛物线y =－2x 2－2x +3相同， ∴二次项系数a =－2，把a =－2，k =8代入ah 2+k =0中，得h =±2，∴函数解析式是：y =－2（x －2）2+8或y =－2（x +2）2+8， 即：y =－2x 2+8x 或y =－2x 2－8x ．17．周长为16cm 的矩形的最大面积为____,此时矩形边长为____,实际上此时矩形是______.【答案】１６ｃｍ２４ｃｍ 正方形 【解析】考点：二次函数的应用．分析：先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可．解答：解：设矩形的一边长为xcm ，所以另一边长为（8－x ）cm ， 其面积为s =x （8－x ）=2x +8x =－（x －4）2+16， ∵a =－1,抛物线开口向下，函数有最大值 ∴当x =4时，s 有最大值为16 8－x =4,所以此时是正方形所以答案为：１６ｃｍ２４ｃｍ 正方形点评：此题考查的是二次函数在实际生活中的应用及求二次函数的最大（小）值有三种方法：第一种可由图象直接得出；第二种是配方法；第三种是公式法．常用的是后两种方法，当二次系数a 的绝对值是较小的整数时，用配方法较好． 18．如图，抛物线y =ax 2+1与双曲线y =xm的交点A 的横坐标是2，则关于x 的不等式xm+ax 2+1<0的解集是 ．【答案】-2<x <0三、解答题(本题有8个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．) 19．（6分）已知抛物线c bx x y ++=2经过点（1，－4）和（－1，2）.求抛物线解析式. 【答案】解：设抛物线解析式为：()02≠+=a bx ax y由题意知：⎩⎨⎧=--=+24b a b a解得：⎩⎨⎧-=-=31b a∴抛物线解析式为x x y 32--= 20．（8分）如图，抛物线y =21x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点， 且A （一1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）若将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，请直接写出平移后的抛物线的解析式. 【答案】（1）213y=222x x --，D 325(,)28-；（2）.849)27(212--=x y【解析】试题分析：（1）（1）把A 点坐标代入抛物线方程中即可得到抛物线的解析式，再配方为顶点式即可得到顶点D 的坐标；（2）根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得到结果.（1）把A 点坐标代入抛物线方程中得：0=21－b －2，解得b =3-2所有抛物线的解析式为：213y=222x x -- 由213y=222x x --825)23(212--=x 得顶点D 的坐标为325(,)28-；（2）把825)23(212--=x y 先向下平移3个单位，再向右平移2个单位得.849)27(212--=x y考点：待定系数法求函数关系式，抛物线的平移规律点评：二次函数的性质是初中数学的重点，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握. 21．（8分）某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价1元，其销量就减少20件。