(20、21)第四章 4.3 非稳态导热

1主要内容本节介绍非稳态导热的分析解法，最后简要介绍导热问题的数值解法。4.3 非稳态导热 4.3非稳态导热

：温度场随时间变化的导热过程。

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非稳态导热非稳态导热的类型：

（1）周期性非稳态导热：

（2）非周期性非稳态导热：在周期性变化边界条件下发生的导热过程，如内

燃机汽缸壁的导热、一年四季大地土壤的导热等。

在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程，例如

热处理工件的加热或冷却等。

讨论一维非周期性非稳态导热的分析解法及求解特殊非稳态导热问题的集总参数法。

了解和掌握非稳态导热过程中温度场的变化规律及换热量的计算方法。本节主要内容：主要目的： 1.一维非稳态导热问题的分析解3第三类边界条件下大平壁、长圆柱及球体的加热或冷却是工程上常见的一维非稳态导热问题。（1）无限大平壁冷却或加热问题的分析解简介

假设：厚度为δ、热导率λ、热扩散率a 为常数，无内热源，初始温度与两侧的流体相同并为t 0。两侧流体温度突然降低为t ∞，并保持不变，平壁表面与流体间对流换热表面传热系数h 为常数。

考虑温度场的对称性，选取

坐标系如图，仅需讨论半个平壁的导热问题。这是一维的非稳态导热问题。41)数学模型：（对称性）引进无量纲过余温度、无

量纲坐标，Fo 是无量纲特征数，称为傅里叶数称为毕渥数

令过余温度

5傅里叶数的物理意义：

Fo 为两个时间之比，是非

稳态导热过程的无量纲时间。毕渥数的物理意义：Bi 为物体内部的导热热阻与边界处的对流换热热阻之比。

由无量纲数学模型可知，Θ是Fo 、Bi 、X 三个无量纲参数的函数确定此函数关系是求解该非稳态导热问题的主要任务。2）求解结果：6解的函数形式为无穷级数，式中β1,β2,···，βn 是下面超越

方程

的根

根有无穷多个，是Bi 的函数。无论Bi 取任何值，β1,β2,···，βn 都是

正的递增数列，Θ的解是一个快速

收敛的无穷级数。

2y 由解的函数形式可以看出，Θ确实是Fo 、Bi 、X 三

个无量纲特征数的函数

7（2）分析解的讨论1）傅里叶数Fo 对温度分布的影响分析解的计算结果表明，当Fo ≥0.2时，可近似取级数的第一项，对工程计算已足够精确，即因为，所以将上式左、右两边取对数，可得

，m 为一与时间、地点无关的常数，只取决于第三类边界条件、平壁的物性与几何尺寸。式中式右边的第二项只与Bi 、x/δ有关，与时间τ无关。8

上式可改写为

该

式说明，当Fo ≥0.2时，即时，平壁内所有各点过余温度的对数都随时间线性变化，并且变化曲线的斜率都相等，这一温度变化阶段

称为非稳态导热的正规状况阶段。

上式两边求导，可得

m 的物理意义是过余温度对时间

的相对变化率，单位是

s －1，称为

冷却率（或

加热率）。

上式说明，当Fo ≥0.2，进入正规状况阶段后，所有各点的冷却率都相同，且不随时间而变化，其大小取决于物体的物性、几何形状与尺寸及表面传热系数。9对于平壁中心，上面两式之比

可见，当Fo ≥0.2，非稳态导热进入正规状况阶段以后，虽然θ与θm 都随时间变化，但它们的比值与时间无关，只取决于毕渥数Bi 与几何位置x/δ。认识正规状况阶段的温度变化规律具有重要的实际意义，因为工程技术中的非稳态导热过程绝大部分时间都处于正规状况阶段。10

2）毕渥数

Bi 对温度分布的影响

平壁非稳态导热第三类边界条件表达式上式的几何意义：在整个非稳态导热过程中平壁内过余温度分布曲线在边界处的切线都通

点,即，该点称为第三类边界条件的定向点。

11毕渥数Bi

对温度分布的影响分析

(a)

Bi →0:平壁的导热热阻趋于零，平壁内部各点温度在任一时刻都趋于一致，只随时间而变化，变化的快慢取决于平壁表面的对流换热强度。定向点在无穷远处。

工程上只要Bi ≤0.1，就可以近似地按这种情况处理，用集总参数法进行计算。

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对流换热热阻趋于零，非稳态导热一

开始平壁表面温度就立即变为流体温度，

相当于给定了壁面温度，即给定了第一类

边界条件，平壁内部的温度变化完全取决于平壁的导热热阻。定向点位于平壁表面上。当Bi >100时可近似按此处理。(b)Bi →∞:

(c )0

133）平壁与周围流体之间交换的热量

在0~τ时间内，微元薄层dx 单位面积放出的热量等于其热力学能的变化，在0~τ时间内，单位面积平壁放出的热量将Fo ≥0.2时无量纲过余温度的近似解代入上式，得？ττ=0x d x 0θ

θ0θδ14

（3）诺谟图1）152）

16

3）

17几点说明：(1)上述分析是针对平壁被冷却的情况进行的，但分析结果对平壁被加热的情况同样适用；(2)由于平壁温度场是对称的，所以分析时

只取半个平壁作为研究对象，这相当于一侧（中心面）绝热、另一侧具有第三类边界条件的情况，因此分析结果也适用于同样条件

的平壁；(3)线算图只适用于Fo ≥0.2的情况;0,

,r f Bi Fo R θθ⎛⎫= ⎪

⎝⎭2

,hR a Bi Fo R τ

λ==18

(4)对于圆柱体和球体在第三类边界条件下

的一维非稳态导热问题，分别在柱坐标系和球坐标系下进行分析，也可以求得温度分布的分析解，解的形式也是快速收敛的

无穷级数，并且是Bi 、Fo 和r/R 的函数,

(5)当Fo ≥0.2时，圆柱和球体的一维非稳态

导热过程也都进入正规状况阶段，分析解

可以近似地取无穷级数的第一项，近似结

果也被绘成了线算图。（P 221）