第六讲 非稳态导热分析解
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非稳态传热_传热学.最全PPT
二类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别 的三个不同阶段，而周期性非稳态导热不存在。
t
四、边界条件对温度分布的影响 tf
一大平壁置于高温环境中。
h
tf h
问题的分析： 存在两个传热环节：
0
x
1、 流体与物体表面的对流换热
2、 物体内部的导热
r
rh 1 h
rh
r
tf
tw
tm
t
存在3种情况：
Biv
Fov
Biv
h(V
A)
Bi h
Fov (V
A)2
/
a
换热时间 热扰动扩散到(V A)2面积所用的时间
t t
hA
e vc eBivFov
0 t0 t
瞬态热流量：
hA
h A h A0 e vc
0~ 内传给流
体的总热量：
Q
0
d
0
hA
hA0e vc d
一、无限大平板的分析解
1、问题描述
λ=const a=const
h=const
因两边对称，只研究半块平壁
2、数学模型
t 2t
tx,0at0x2
导热微分方程
初始条件
t x
|x0
0
边界条件
t x
|x
ht
,
t
引入过余温度 t t
x,0ax202 t0 t
x
|x0
0
x
| x
h ,
3、求解（用分离变量法）
假设 x, x
a
2
x 2
x d
d
a
d 2
dx2
t
四、边界条件对温度分布的影响 tf
一大平壁置于高温环境中。
h
tf h
问题的分析： 存在两个传热环节：
0
x
1、 流体与物体表面的对流换热
2、 物体内部的导热
r
rh 1 h
rh
r
tf
tw
tm
t
存在3种情况：
Biv
Fov
Biv
h(V
A)
Bi h
Fov (V
A)2
/
a
换热时间 热扰动扩散到(V A)2面积所用的时间
t t
hA
e vc eBivFov
0 t0 t
瞬态热流量：
hA
h A h A0 e vc
0~ 内传给流
体的总热量：
Q
0
d
0
hA
hA0e vc d
一、无限大平板的分析解
1、问题描述
λ=const a=const
h=const
因两边对称，只研究半块平壁
2、数学模型
t 2t
tx,0at0x2
导热微分方程
初始条件
t x
|x0
0
边界条件
t x
|x
ht
,
t
引入过余温度 t t
x,0ax202 t0 t
x
|x0
0
x
| x
h ,
3、求解（用分离变量法）
假设 x, x
a
2
x 2
x d
d
a
d 2
dx2
非稳态导热--讲义
非稳态导热
一、
二、 三、
非稳态导热基本概念
一维非稳态导热的解析解 半无限大物体的非稳态导热
一、
非稳态导热基本概念
1 2
非稳态导热的定义 . t f ( x, y, z, )
物体温度随时间变化的导热过程。
非稳态导热的分类
周期性非稳态导热 (定义及特点)
瞬态非稳态导热 (定义及特点)
物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。 物体的温度随时间而作周期性的变化。
erf ( x) 2
x v 2 e dv 0
x erf ( x) 1 x有限大小时， erf ( x) 1
令
x 4a
erf 0
( )
令 y x 4 a 若 y 2 erf ( 2 ) 0.9953 即 0 0.9953 可认为该处温度没有变化
Φ1－－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量
6 非稳态导热求解：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t f ( x, y, z, ) ;
Φ f(x, y, z, )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
t t t t c ( ) ( ) ( ) qv x x y y z z
0 x , 0
0
x0 x
用分离变量法可得其分析解为：
( x , ) 2 sin( n ) cos( n x ) e 0 n 1 n sin( n ) cos( n )
若令 n n 则上式可改写为：
2 1 0
三个变量，因此，需要分开来画 (2) 先画
一、
二、 三、
非稳态导热基本概念
一维非稳态导热的解析解 半无限大物体的非稳态导热
一、
非稳态导热基本概念
1 2
非稳态导热的定义 . t f ( x, y, z, )
物体温度随时间变化的导热过程。
非稳态导热的分类
周期性非稳态导热 (定义及特点)
瞬态非稳态导热 (定义及特点)
物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。 物体的温度随时间而作周期性的变化。
erf ( x) 2
x v 2 e dv 0
x erf ( x) 1 x有限大小时， erf ( x) 1
令
x 4a
erf 0
( )
令 y x 4 a 若 y 2 erf ( 2 ) 0.9953 即 0 0.9953 可认为该处温度没有变化
Φ1－－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量
6 非稳态导热求解：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t f ( x, y, z, ) ;
Φ f(x, y, z, )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
t t t t c ( ) ( ) ( ) qv x x y y z z
0 x , 0
0
x0 x
用分离变量法可得其分析解为：
( x , ) 2 sin( n ) cos( n x ) e 0 n 1 n sin( n ) cos( n )
若令 n n 则上式可改写为：
2 1 0
三个变量，因此，需要分开来画 (2) 先画
课件：非稳态导热问题的数值解法
允许的最大迭代次数
第四章 导热问题的数值解法
24
开始
输入M，N，EPS，K，TTB，TLB，TRB，TBB
ti 1 TBB ti,M 1 TTB ti,j TLB tN 1,j TRB
迭代次数IT＝0
TTi,j Tij
Ti ,j
1 4
(Ti
1,j
Ti 1,j
Ti,j 1 Ti,j 1 )
也可以写出其隐式差分格式即
1
t k 1 1 2
t2k 1 x 3
h4(tfk 1
t1k 1)
ec
x
2
tk 1 1
t1k
xt
x
h(t tf)
X
O
x
第四章 导热问题的数值解法
18
整理上式，得
t2k 1
t1k 1
hx
(
t
k f
1
t1k 1
)
ecx2 2
( t1k 1
t1k
)
令 Bi
h x
i-1
(m,i-1)
0 x
m-1, m, m+1 Mx
时间步长：从一个时层到下一个时层的间隔 称为时间步长
i 表示形式
第四章 导热问题的数值解法
3
一维、有内热源、常物性的非稳态导热问题离散方程 的建立过程——热平衡法建立内部节点的离散方程
考察(m,i)点，则扩散项可直接写出：
z
tm(i)1 tm(i) x
tk 1
tk 2
x
h(tfk
tk 1
)
c
x
2
t k 1 1
tk 1
边界的热容项
第四章 导热问题的数值解法
非稳态导热——精选推荐
∞ t
tw＝ tf
τ3
τ1 τ2
t0
τ3 τ4 τ1 τ2
∞
x
x a有限厚物体
∞ b半无限厚物体
图 有限厚与无限厚物体
§11.2 集总参数法的简化分析
1 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的
分析方法。此时， Bi → 0 ，温度分布只与时间有
关，即 t = f (τ ) ，与空间位置无关，因此，也称为
当 Bi → 0时，⇒ rλ << rα，因此，可以忽略导热热阻(薄材)
物体内有均匀的温度分布
第一类边界条件（流体温 度等于壁面温度）
0 < Bi < ∞
14
（4） 薄材的判断方法
Bi
=
αδ λ
≤ 0.1
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%
对厚为2δ的无限大平板; 对半径为δ的无限长圆柱
零维问题(薄材)，薄材的温度分布可用常微分方程描述。
α tf
2 温度分布
Q
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
τ = 0时，t = t 0
将其突然置于温度恒为 t f 的流 体中。
宗燕兵
20
当物体被冷却时（t>tf）,由能量守恒可知
常
Aα
(t
−
t
f
)
=
-
ρVc
dt
dτ
(τ = 0，t = t0 )
如上述，Bi小物体内外温度差就小。极端而言，
Bi →0，可理解为物体热导率λ→∞；
也可理解为h→0；
或者材料的厚度δ →0。 这时，物体内外温差也趋近于零。在实际上λ→∞或h→0
非稳态导热分析解法课件
复杂边界条件和几何形状
非稳态导热问题常常涉及到复杂的边界条件和几何形状，给分析带来很大挑战。未来发展需要研究更高效的数值方法 ，以处理更复杂的导热问题。
多物理场耦合
许多实际导热问题涉及到多物理场的耦合，如热-力、热-流体等。未来发展需要研究多物理场耦合的非稳态导热问题 ，以提高对复杂系统的理解和预测能力。
高效能材料和新能源技术
随着高效能材料和新能源技术的发展，非稳态导热问题将更加复杂和多样化。未来发展需要加强与相关 领域的交叉融合，以应对不断出现的新的挑战和机遇。
核能利用
在核能利用中，非稳态导热分析可用于研究反应堆的冷却系统、核废料的处理和存储等。 通过优化导热性能，可以提高核能系统的安全性和稳定性。
风能利用
在风能利用中，非稳态导热分析可用于研究风力发电机的散热性能和风能转换效率。通过 改进导热设计，可以提高风能发电的经济性和可靠性。
非稳态导热面临的挑战和未来发展方向
物理模拟实验
物理模拟实验是通过模拟实际系统的物理过程来研究其行为的方法。
在非稳态导热分析中，物理模拟实验通常采用加热棒、散热片等模拟导热过程，通 过测量温度场、热流密度等参数来研究非稳态导热规律。
物理模拟实验具有直观、可重复性高等优点，但实验条件和操作难度较高，且难以 模拟复杂实际系统的非稳态导热过程。
有限体积法
有限体积法是一种将连续的求解域离散化为 有限个小的体积，通过求解每个体积的近似 解来逼近原问题的数值解法。
有限体积法的基本思想是将导热问题分解为 若干个小的体积，每个体积具有简单的几何 形状和边界条件，然后通过求解每个体积的 近似解来逼近原问题的解。这种方法在处理 复杂的几何形状和边界条件时具有较高的精
度和可靠性。
CHAPTER
非稳态导热问题常常涉及到复杂的边界条件和几何形状，给分析带来很大挑战。未来发展需要研究更高效的数值方法 ，以处理更复杂的导热问题。
多物理场耦合
许多实际导热问题涉及到多物理场的耦合，如热-力、热-流体等。未来发展需要研究多物理场耦合的非稳态导热问题 ，以提高对复杂系统的理解和预测能力。
高效能材料和新能源技术
随着高效能材料和新能源技术的发展，非稳态导热问题将更加复杂和多样化。未来发展需要加强与相关 领域的交叉融合，以应对不断出现的新的挑战和机遇。
核能利用
在核能利用中，非稳态导热分析可用于研究反应堆的冷却系统、核废料的处理和存储等。 通过优化导热性能，可以提高核能系统的安全性和稳定性。
风能利用
在风能利用中，非稳态导热分析可用于研究风力发电机的散热性能和风能转换效率。通过 改进导热设计，可以提高风能发电的经济性和可靠性。
非稳态导热面临的挑战和未来发展方向
物理模拟实验
物理模拟实验是通过模拟实际系统的物理过程来研究其行为的方法。
在非稳态导热分析中，物理模拟实验通常采用加热棒、散热片等模拟导热过程，通 过测量温度场、热流密度等参数来研究非稳态导热规律。
物理模拟实验具有直观、可重复性高等优点，但实验条件和操作难度较高，且难以 模拟复杂实际系统的非稳态导热过程。
有限体积法
有限体积法是一种将连续的求解域离散化为 有限个小的体积，通过求解每个体积的近似 解来逼近原问题的数值解法。
有限体积法的基本思想是将导热问题分解为 若干个小的体积，每个体积具有简单的几何 形状和边界条件，然后通过求解每个体积的 近似解来逼近原问题的解。这种方法在处理 复杂的几何形状和边界条件时具有较高的精
度和可靠性。
CHAPTER
非稳态热传导课件
要点二
详细描述
三维非稳态热传导问题可以用三维非稳态热传导方程描述 ，考虑热量在空间内的扩散和热源的影响。通过求解方程 ，可以得到温度分布随时间的变化规律。
05
非稳态热传导的工程应用
建筑物的温度控制
总结词
非稳态热传导在建筑物的温度控制中有着广泛的应用，通过合理的设计和控制，可以保 持建筑物内部的舒适温度，提高居住和工作环境的品质。
多物理场耦合的非稳态热传导问题
总结词
多物理场耦合的非稳态热传导问题在许多工程领域中具有重要应用，是未来研究 的热点和难点。
详细描述
这类问题涉及到多个物理场的相互作用，如热-力、热-流、热-化学等，其求解需 要综合考虑不同物理场的耦合效应。未来需要深入研究这类问题的数学模型、数 值解法和实际应用，以推动相关领域的发展。
详细描述
随着电子技术的不断发展，电子设备的功能越来越强大 ，但同时也伴随着大量的热量产生。非稳态热传导理论 被广泛应用于电子设备的散热设计，通过合理设计散热 器、散热风道和散热材料等，有效降低电子设备的工作 温度，提高其稳定性和寿命。
工业过程的热量传递
总结词
非稳态热传导在工业过程中具有广泛的应用，涉及到 各种热工设备和工艺过程的热量传递问题。通过非稳 态热传导理论的应用，可以提高工业过程的效率和经 济性。
总结词
二维非稳态热传导问题涉及平面或薄层内的 热量传递，常见于平板、薄壳等二维形状。
详细描述
二维非稳态热传导问题可以用二维非稳态热 传导方程描述，考虑热量在平面或薄层内的 扩散和热源的影响。通过求解方程，可以得
到温度分布随时间的变化规律。
三维非稳态热传导问题
要点一
总结词
三维非稳态热传导问题涉及空间内的热量传递，常见于三 维物体或复杂几何形状。
非稳态导热的分析计算(最全版)PTT文档
W (4-2) 当τ＝4τc= 4ρcV／（αA)时，则：
时间常数关系到测温仪表的响应时间。 被周围温度为tf的流体冷却
令过余温度θ＝t－tf ，则dt＝dθ，代入上式得： 由能量平衡，散热量＝△导热体本身内能，即： * 对物体加热或冷却一定时间后，确定物体内部的温度分布和温度场随时间的变化率 被周围温度为tf的流体冷却
由式(4-1)可得
A
A
dt d ' d (e cV ) '( A )(e cV )
d d d
cV
所以导热体在单位时间内传递给流体的热量为
A
Q cV dt 'Ae cV d
W (4-2)
因导热体被冷却，故dt／dτ＜0，加负号以使Q
为正值。
利用上式，可得导热体在τ＝0到τ＝τ时
d A d cV
当V、A、α、ρ、c等为已知定值时，对上式积
分得：
d A d cV
'
d
A cV
0 d
ln
'
A cV
'
ttf t' t f
A cV
e
上式是采用集总参数法求解非稳态导热问题的 基本公式，可用于已知温度求时间，或反之。
当时间τ＝ρcV／(αA)
t tf ' t' tf
一、基本计算公式
初始温度为t' 被周围温度为tf的流体冷却 换热系数α为定值 导热体的平均温度t
经dτ时间后，由于散热，温度下降dt。
由能量平衡，散热量＝△导热体本身内能，即：
A(t
θt
f
)
cV
dθt
d
(散热)
A(t f
t)
时间常数关系到测温仪表的响应时间。 被周围温度为tf的流体冷却
令过余温度θ＝t－tf ，则dt＝dθ，代入上式得： 由能量平衡，散热量＝△导热体本身内能，即： * 对物体加热或冷却一定时间后，确定物体内部的温度分布和温度场随时间的变化率 被周围温度为tf的流体冷却
由式(4-1)可得
A
A
dt d ' d (e cV ) '( A )(e cV )
d d d
cV
所以导热体在单位时间内传递给流体的热量为
A
Q cV dt 'Ae cV d
W (4-2)
因导热体被冷却，故dt／dτ＜0，加负号以使Q
为正值。
利用上式，可得导热体在τ＝0到τ＝τ时
d A d cV
当V、A、α、ρ、c等为已知定值时，对上式积
分得：
d A d cV
'
d
A cV
0 d
ln
'
A cV
'
ttf t' t f
A cV
e
上式是采用集总参数法求解非稳态导热问题的 基本公式，可用于已知温度求时间，或反之。
当时间τ＝ρcV／(αA)
t tf ' t' tf
一、基本计算公式
初始温度为t' 被周围温度为tf的流体冷却 换热系数α为定值 导热体的平均温度t
经dτ时间后，由于散热，温度下降dt。
由能量平衡，散热量＝△导热体本身内能，即：
A(t
θt
f
)
cV
dθt
d
(散热)
A(t f
t)
第三章_非稳态导热问题的分析解
ρ C pV
初始条件为 令θ =
dT = q vV − σ XS (T 4 − T w4 ) dτ
（a） （b）
T = T0 τ = 0，
qv L σ XT 03 L aτ T V 4 +θw ， Fo = 2 ， M o = ，N = ，其中， L = 为 4 T0 λ S σ XT 0 L
dθ + M o (θ 4 − N 4 ) = 0 dFo
薄壁物体的温度响应在非稳态导热过程中如果物体内的温度始终是均匀一致的如导热系数很高的薄壁物体或者说当一个物体与周围环境进行热交换时若认为物体内部的温度分布并不重要而只是关心物体的总体温度随着时间的变化如用热电偶测量气流的温度我们常常只关心整个热电偶结点的温度随时间的变化而对于结点内部的温度分布并不重要
∞
r
r
∞
0
0
Bi =
αL λ
L
（3—2）
其中，α 是对流换热系数； L 是物体的特性尺寸，对于平板，即是厚度，对于圆柱体和球， 即是半径； λ 是物体的导热系数。实际上，Biot 数是物体的导热热阻（ 换热热阻（
λ
）与表面的对流
1
α
）的比。一般情况下，当 Bi < 0.1 时，导热物体可近似为薄壁。
−
（e）
θ = C 1e
αS τ ρ C pV
（f）
取（d）的特解为 θ = 1 ，所以方程（d）的一般解为
θ = 1 + C 1e
−
αS τ ρ C pV
（g）
根据初始条件（c） ，求得 C1 = −1 ，因此，终解即热电偶结点的温度变化规律为
3
θ = 1 − exp( −
θ
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( x, ) x cos( 1 ) m ( )
2 1 0
2 1 0
与时间无关
平板中任意处与平板中心处过于温度之比
考察热量的传递
Q0 cV (t0 t )
Q0 --非稳态导热所能传递的最大热量
若令Q为
[ 0 , ] 内所传递热量
Q c V [t0 t ( x, )]dV 1 Q0 cV (t0 t ) 0
其中
x
t ( x, ) t f t0 t f
其中
y
t ( y , ) t f t0 t f
即证明了 ( x, ) ( y,是无限长方柱体导热微分方程的解， ) 这样便可用一维无限大平壁公式、诺谟图或拟合函数求 解二维导热问题
( x, y, ) ( x, )P1 ( y, )P 2
似公式；
3、若上述方法都不行则采用数值解。 4、最终确定温度分布、加热或冷却时间、热量。
诺谟（Heisler）图是将前述分析解绘制成图线供确定温度 分布时查取。该方法的基本步骤如图所示。
例
题
例题 一初温为20℃、厚10cm的钢板，密度为
7800kg/m3，比热容为460.5J/（· ℃），导热系数
dy erf ( x
4 a )
误差函数：
erf ( x)
无量纲 坐标
2
x v 2 e dv 0
x erf ( x) 1 x有限大小时， erf ( x) 1
令
x 4a
erf ( ) 0
说明：(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 有关 (2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的 时间无论x有多么大，该处总能感受到温度的变化。？ (3) 但解释Fo,a 时，仍说热量是以一定速度传播的，这 是因为，当温度变化很小时，我们就认为没有变化。
８如何用查图法计算无限大平板非稳态导热正规状况 阶段的换热问题? ９如何用近似拟合公式法计算无限大平板非稳态导热 问题? 10半无限大平板非稳态导热的计算方法。
2 1 F0
(0, ) m ( ) 2 sin 1 e 0 0 1 sin 1 cos 1
2 1 F0
( x, ) 2 sin 1 x F cos(1 ) e 0 1 sin 1 cos 1
(0, ) m ( ) 2 sin 1 F e 0 0 1 sin 1 cos 1
（2） 两侧均为一类
（3） 初始温度分布必须为常数
§3-5 半无限大的物体
半无限大物体的概念
t 2t a x 2 t tw x 0 t t0
t
tw
t0
x
0
引入过余温度 问题的解为
t tw 2 0
误差函数 无量纲变量
x 4 a
0
e
y2
(3) 于是，平板中任一点的温度为
m 0 m 0
同理，非稳态换热过程所交换的热量也可以利用 （3－31）-（3－33）绘制出。 解的应用范围 书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第 三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却 过程，并且F0>0.2
五、非稳态导热求解方法
求解非稳态导热问题的一般步骤： 1、先校核Bi是否满足集总参数法条件，若满足，则优先考 虑集总参数法； 2、如不能用集总参数法，则尝试用诺谟（Heisler）图或近
吸热系数
思考题： １非稳态导热的分类及各类型的特点。 ２Bi 准则数, Fo准则数的定义及物理意义。 ３Bi0 和Bi 各代表什么样的换热条件? ４集总参数法的物理意义及应用条件。 ５使用集总参数法，物体内部温度变化及换热量的计算方 法。时间常数的定义及物理意义. ６非稳态导热的正规状况阶段的物理意义及数学计算上的特 点。 ７非稳态导热的正规状况阶段的判断条件。 ８无限大平板和半无限大平板的物理概念。半无限大平板的 概念如何应用在实际工程问题中。
2 sin 1 x x F ( x, ) 0 e cos(1 ) f ( Fo, Bi, ) 1 sin 1 cos 1
2 1 0
三个变量，因此，需要分开来画 (1)先画
m f ( Fo, Bi) 0
(2) 再根据公式(3-28)
绘制其线算图
( x, ) x x cos(1 ) f ( Bi, ) m ( )
热扩散率为
例
题
查图得：
，
则钢板中心的相对过余温度为
，
例 题
钢板的中心温度为
⑵两面加热。 此时，引用尺寸l e=0.05m
仍需要采用诺谟（Heisler）图方法。
例 题
中心处相对过余温度
由
和
，查图得
两面加热时中心处达970℃所需时间为
§3-4 二维及三维问题的求解
在多维导热问题中，几种简单几何形状物
此处
无限大平板
y x
Bi h Bi hR
F0 az F0 az
2
R2
长圆柱体及球 y x R
此处的A，B及函数 f ( 1y ) 见P127表3-1
3 正规热状况的实用计算方法－拟合公式法 对上述公式中的A，B，μ 1，J0 可用下式拟合
b 1 (a ) Bi
注意：特征值 n
ห้องสมุดไป่ตู้
特征数（准则数） 区别
2. 非稳态导热的正规状况 对无限大平板
F0 a 2
当 F0 0.2 取级数的首项，板中心温度， 误差小于1%
( x, ) 2 sin 1 x cos(1 ) e 0 1 sin 1 cos 1
令
yx
4 a
可认为该处温度没有变化
若 即
y 2 erf ( 2 ) 0.9953 0 0.9953
erf ( y )
y
x 4 a
两个重要参数: ① 几何位置 若
y2 x 4 a
对一原为2δ 的平板，若
4 a 即可作为半无限大物体来处理
②
x2 y2 2 若 16 a 对于有限大的实际物体，半无限大物体的概
2 1
A a b( 1 e cBi ) a cBi B 1 bBi J 0 ( x ) a` b` x c` x 2 d` x 3
式中常数a ,b ,c ,d 见P128表3-2 a`,b`,c`,d`见P128表3-3
3 正规热状况的实用计算方法－线算图法 诺谟图 以无限大平板为例，F0>0.2 时，取其级数首项即可
0
x0 x
用分离变量法可得其分析解为：
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) e 0 n 1 n sin( n ) cos( n )
此处Bn为离散面(特征值)
若令
2 n a
n n
2 n
则上式可改写为：
第六讲 非稳态导热的分析解
§3-3 一维非稳态导热的分析解
1.无限大的平板的分析解
λ =const
a=const
h=const
因两边对称，只研究半块平壁
§3-3 一维非稳态导热的分析解
此半块平板的数学描写： 导热微分方程
2 t t a 2 x
( 0 x , 0 )
( x, y, ) ( x, ) ( y, )
2 x a x 2 0 x ( x ,0) 1 ( x, ) 及 x0 x 0 0 x ( x, ) x 2 h( , ) x
2 y a y 2 0 y ( y , 0) 1 ( y , ) y0 y 0 0 y ( y , ) y 2 h( 2 , ) y
初始条件
t t0
t 0 x
0
x 0
(对称性)
边界条件
t h( t t ) x
x
§3-3 一维非稳态导热的分析解
引入变量－－过余温度
令 上式化为：
( x , ) t( x , ) t
2 a 2 x 0 0 x h x 0 x , 0
2 sin n ( x , ) x cos( n ) e 0 n 1 n sin n cos n
a
2
μ n为下面超越方程的根
h
n ctg n h
为毕渥准则数，用符号 Bi 表示
一些Bi数值下的μi
Bi 0.0 0.0 0.1 0.5 1.0 5.0 10 1 5 50 100 ∞
( x, y, z, ) ( x, )P1 ( y, )P 2 ( z, )P 3
R
( v , ) 0 ( x , ) 0
2 2
2 1
2l
2 3
( x, y, ) ( x, )P ( y, )c
限制条件： （1） 一侧绝热，另一侧三类
2 n a
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) ( ) e 0 n 1 n sin( n ) cos( n )
n
2
a
2
x ( x , ) 因此 是F0, Bi 和 函数，即 0
( x , ) x f ( F0 , Bi , ) 0
为53.5W/(m· ℃)，放入1200℃的加热炉中加热，
表面换热系数为407W/（m2· ℃）。问单面加热 30min时的中心温度为多少？如两面加热，要达到 相同的中心温度需多少时间？
例
题
解：⑴单面加热。 毕渥数为， 可知，本题不能用集总参数法简化分析，需要 采用诺谟图方法。 给钢板单面加热，相当于一块厚2le=20cm的钢板 两面对称加热，le=δ=0.1m。
2 1 0
2 1 0
与时间无关
平板中任意处与平板中心处过于温度之比
考察热量的传递
Q0 cV (t0 t )
Q0 --非稳态导热所能传递的最大热量
若令Q为
[ 0 , ] 内所传递热量
Q c V [t0 t ( x, )]dV 1 Q0 cV (t0 t ) 0
其中
x
t ( x, ) t f t0 t f
其中
y
t ( y , ) t f t0 t f
即证明了 ( x, ) ( y,是无限长方柱体导热微分方程的解， ) 这样便可用一维无限大平壁公式、诺谟图或拟合函数求 解二维导热问题
( x, y, ) ( x, )P1 ( y, )P 2
似公式；
3、若上述方法都不行则采用数值解。 4、最终确定温度分布、加热或冷却时间、热量。
诺谟（Heisler）图是将前述分析解绘制成图线供确定温度 分布时查取。该方法的基本步骤如图所示。
例
题
例题 一初温为20℃、厚10cm的钢板，密度为
7800kg/m3，比热容为460.5J/（· ℃），导热系数
dy erf ( x
4 a )
误差函数：
erf ( x)
无量纲 坐标
2
x v 2 e dv 0
x erf ( x) 1 x有限大小时， erf ( x) 1
令
x 4a
erf ( ) 0
说明：(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 有关 (2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的 时间无论x有多么大，该处总能感受到温度的变化。？ (3) 但解释Fo,a 时，仍说热量是以一定速度传播的，这 是因为，当温度变化很小时，我们就认为没有变化。
８如何用查图法计算无限大平板非稳态导热正规状况 阶段的换热问题? ９如何用近似拟合公式法计算无限大平板非稳态导热 问题? 10半无限大平板非稳态导热的计算方法。
2 1 F0
(0, ) m ( ) 2 sin 1 e 0 0 1 sin 1 cos 1
2 1 F0
( x, ) 2 sin 1 x F cos(1 ) e 0 1 sin 1 cos 1
(0, ) m ( ) 2 sin 1 F e 0 0 1 sin 1 cos 1
（2） 两侧均为一类
（3） 初始温度分布必须为常数
§3-5 半无限大的物体
半无限大物体的概念
t 2t a x 2 t tw x 0 t t0
t
tw
t0
x
0
引入过余温度 问题的解为
t tw 2 0
误差函数 无量纲变量
x 4 a
0
e
y2
(3) 于是，平板中任一点的温度为
m 0 m 0
同理，非稳态换热过程所交换的热量也可以利用 （3－31）-（3－33）绘制出。 解的应用范围 书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第 三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却 过程，并且F0>0.2
五、非稳态导热求解方法
求解非稳态导热问题的一般步骤： 1、先校核Bi是否满足集总参数法条件，若满足，则优先考 虑集总参数法； 2、如不能用集总参数法，则尝试用诺谟（Heisler）图或近
吸热系数
思考题： １非稳态导热的分类及各类型的特点。 ２Bi 准则数, Fo准则数的定义及物理意义。 ３Bi0 和Bi 各代表什么样的换热条件? ４集总参数法的物理意义及应用条件。 ５使用集总参数法，物体内部温度变化及换热量的计算方 法。时间常数的定义及物理意义. ６非稳态导热的正规状况阶段的物理意义及数学计算上的特 点。 ７非稳态导热的正规状况阶段的判断条件。 ８无限大平板和半无限大平板的物理概念。半无限大平板的 概念如何应用在实际工程问题中。
2 sin 1 x x F ( x, ) 0 e cos(1 ) f ( Fo, Bi, ) 1 sin 1 cos 1
2 1 0
三个变量，因此，需要分开来画 (1)先画
m f ( Fo, Bi) 0
(2) 再根据公式(3-28)
绘制其线算图
( x, ) x x cos(1 ) f ( Bi, ) m ( )
热扩散率为
例
题
查图得：
，
则钢板中心的相对过余温度为
，
例 题
钢板的中心温度为
⑵两面加热。 此时，引用尺寸l e=0.05m
仍需要采用诺谟（Heisler）图方法。
例 题
中心处相对过余温度
由
和
，查图得
两面加热时中心处达970℃所需时间为
§3-4 二维及三维问题的求解
在多维导热问题中，几种简单几何形状物
此处
无限大平板
y x
Bi h Bi hR
F0 az F0 az
2
R2
长圆柱体及球 y x R
此处的A，B及函数 f ( 1y ) 见P127表3-1
3 正规热状况的实用计算方法－拟合公式法 对上述公式中的A，B，μ 1，J0 可用下式拟合
b 1 (a ) Bi
注意：特征值 n
ห้องสมุดไป่ตู้
特征数（准则数） 区别
2. 非稳态导热的正规状况 对无限大平板
F0 a 2
当 F0 0.2 取级数的首项，板中心温度， 误差小于1%
( x, ) 2 sin 1 x cos(1 ) e 0 1 sin 1 cos 1
令
yx
4 a
可认为该处温度没有变化
若 即
y 2 erf ( 2 ) 0.9953 0 0.9953
erf ( y )
y
x 4 a
两个重要参数: ① 几何位置 若
y2 x 4 a
对一原为2δ 的平板，若
4 a 即可作为半无限大物体来处理
②
x2 y2 2 若 16 a 对于有限大的实际物体，半无限大物体的概
2 1
A a b( 1 e cBi ) a cBi B 1 bBi J 0 ( x ) a` b` x c` x 2 d` x 3
式中常数a ,b ,c ,d 见P128表3-2 a`,b`,c`,d`见P128表3-3
3 正规热状况的实用计算方法－线算图法 诺谟图 以无限大平板为例，F0>0.2 时，取其级数首项即可
0
x0 x
用分离变量法可得其分析解为：
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) e 0 n 1 n sin( n ) cos( n )
此处Bn为离散面(特征值)
若令
2 n a
n n
2 n
则上式可改写为：
第六讲 非稳态导热的分析解
§3-3 一维非稳态导热的分析解
1.无限大的平板的分析解
λ =const
a=const
h=const
因两边对称，只研究半块平壁
§3-3 一维非稳态导热的分析解
此半块平板的数学描写： 导热微分方程
2 t t a 2 x
( 0 x , 0 )
( x, y, ) ( x, ) ( y, )
2 x a x 2 0 x ( x ,0) 1 ( x, ) 及 x0 x 0 0 x ( x, ) x 2 h( , ) x
2 y a y 2 0 y ( y , 0) 1 ( y , ) y0 y 0 0 y ( y , ) y 2 h( 2 , ) y
初始条件
t t0
t 0 x
0
x 0
(对称性)
边界条件
t h( t t ) x
x
§3-3 一维非稳态导热的分析解
引入变量－－过余温度
令 上式化为：
( x , ) t( x , ) t
2 a 2 x 0 0 x h x 0 x , 0
2 sin n ( x , ) x cos( n ) e 0 n 1 n sin n cos n
a
2
μ n为下面超越方程的根
h
n ctg n h
为毕渥准则数，用符号 Bi 表示
一些Bi数值下的μi
Bi 0.0 0.0 0.1 0.5 1.0 5.0 10 1 5 50 100 ∞
( x, y, z, ) ( x, )P1 ( y, )P 2 ( z, )P 3
R
( v , ) 0 ( x , ) 0
2 2
2 1
2l
2 3
( x, y, ) ( x, )P ( y, )c
限制条件： （1） 一侧绝热，另一侧三类
2 n a
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) ( ) e 0 n 1 n sin( n ) cos( n )
n
2
a
2
x ( x , ) 因此 是F0, Bi 和 函数，即 0
( x , ) x f ( F0 , Bi , ) 0
为53.5W/(m· ℃)，放入1200℃的加热炉中加热，
表面换热系数为407W/（m2· ℃）。问单面加热 30min时的中心温度为多少？如两面加热，要达到 相同的中心温度需多少时间？
例
题
解：⑴单面加热。 毕渥数为， 可知，本题不能用集总参数法简化分析，需要 采用诺谟图方法。 给钢板单面加热，相当于一块厚2le=20cm的钢板 两面对称加热，le=δ=0.1m。