中学数学 换元法处理分段函数的复合函数 练习题
2022年 浙江省杭州市学军中学高一上学期期初升高试数学模拟练习配套精选卷
2021学年学军高一上期中一、选择题：每题4分，共40分1设集合{}4,5,7,9=A ，{}3,4,7,8,9=B ，那么集合A B 中的元素共有〔 〕 A 3个 B 4个 C 5个 D 6个【答案】D 【解析】 【分析】根据集合并集运算和互异性，得到结果【详解】因为集合{}4,5,7,9=A ，{}3,4,7,8,9=B ， 所以{}=3,4,5,7,8,9A B ，共有6个元素， 应选：D【点睛】此题考查集合的并集运算和集合的互异性，属于简单题 2函数y =的定义域是A (3,)+∞B [3,)+∞C (,3)-∞D (,3]-∞【答案】A 【解析】要使函数有意义，需满足30x ->，解得3x >，即函数的定义域为()3,+∞，应选A 点睛：此题主要考查了具体函数的定义域问题，属于根底题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数局部大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Zππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集3以下函数中与y x =具有相同图象的一个函数是〔 〕．A 2y = B y =C 2x y x=D y =对于A ，2y =与函数()y x x R =∈的定义域不同，所以函数图像不同；对于B ，y ()y x x R =∈的对应关系不同，值域不同，所以函数图象不同；对于C ，()20x y x x=≠与函数()y x x R =∈的定义域不同，所以函数图像不同；对于D ，y =与函数()y x x R =∈的定义域相同，对应关系也相同，所以函数图象相同，应选D 点睛：此题主要考查了判断两个函数是否为同一函数，属于根底题；函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系均相同时才是同一函数，值得注意的是判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于定义域内任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同 4函数1,0()(2),0x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，那么(3)f 的值等于〔 〕．A 4B 2C 1D 0【答案】D 【解析】 【分析】将3x =代入函数第二段表达式，得到()1f ，再代入第二段表达式后得到()1f -，此时代入第一段就可以求得函数值【详解】依题意()()()()()3321121110f f f f f =-==-=-=-+=，应选D【点睛】本小题主要考查分段函数求值第一次代入后，还是无法求得函数值，要继续再代入两次才可以属于根底题5对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是 ABCD【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案【详解】由题意，假设01a <<，那么log a y x =在(0,)+∞上单调递减， 又由函数2(1)y a x x =--开口向下，其图象的对称轴12(1)x a =-在y 轴左侧，排除C ，D假设1a >，那么log a y x =在(0,)+∞上是增函数， 函数2(1)y a x x =--图象开口向上，且对称轴12(1)x a =-在y 轴右侧， 因此B 项不正确，只有选项A 满足【点睛】此题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于根底题 6函数()()22log 32f x x x =-+的单调递增区间是〔 〕 A 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ()2,+∞D (),1-∞【答案】C 【解析】 【分析】先得到函数()f x 的定义域，然后根据复合函数单调性，求出内层函数的单调递增区间，从而得到答案【详解】函数()()22log 32f x x x =-+，所以2320x x -+>，解得1x <或2x >， 所以()f x 定义域为()(),12,-∞⋃+∞又因函数()()22log 32f x x x =-+是复合函数， 其外层函数2log y t =为增函数，所以要使()f x 为增函数，那么内层232t x x =-+是增函数， 那么32x >所以可得()f x 单调增区间为()2,+∞ 应选：C【点睛】此题考查求复合函数的单调区间，属于简单题7函数()f x =〕A 奇函数B 偶函数C 非奇非偶函数D 既奇又偶函数【答案】B 【解析】 【分析】先求出()f x 的定义域，然后对()f x 进行化简，再判断()f x -与()f x 的关系，从而得到答案【详解】函数()f x =所以有290->x ，解得33x -<<， 所以()f x 定义域为()3,3- 此时40x -<恒成立，所以()f x ==()()f x f x -===，所以()f x 是偶函数， 应选：B【点睛】此题考查求函数的定义域，判断函数的奇偶性，属于简单题上的函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y xy x y R +=++∈,()13f =,那么()3f -等于 A 3 B 8 C 9 D 24【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用赋值法，依次求得()()()0,2,3f f f 的值，进而求得()3f -的值 【详解】依题意()()()()2,f x y f x f y xy x y R +=++∈令0x y ==，那么()()()0000200f f f +=++⨯⨯，得()00f = 令1x y ==，那么()()()1111211f f f +=++⨯⨯，得()28f = 令2,1x y ==，那么()()()2121221f f f +=++⨯⨯，得()315f = 令3,3x y ==-，那么()()()3333233f f f -=+--⨯⨯，得()33f -= 应选：A【点睛】本小题主要考查根据抽象函数关系式求函数值，属于根底题 9()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数,满足()()11.f x f x -=+假设()12f =,那么()()()()1232019f f f f +++⋯+=A 2B 0C 2-D 4【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，判断函数()f x 是周期为4的周期函数，根据周期性和奇偶性，求得所求表达式的值【详解】由于()()11f x f x -=+，所以函数()f x 图像关于直线1x =对称，由于函数()f x 为奇函数故函数关于原点()0,0对称，故函数()f x 是周期为4的周期函数由()12f =，()00f =，得()()()()2111100f f f f =+=-==，()()400f f == ，()()()()()31212112f f f f f =+=-=-=-=-，所以()()()()()123420200f f f f +++=++-+=， 所以()()()()1232019f f f f ++++=()()()50401232020f f f ⨯+++=+-=应选：B【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的对称性，考查函数的周期性，属于根底题〔〕=()()()22log x x 0(x 1)1x 0x 2x 1x 1⎧⎪⎪+-≤≤⎨⎪+⎪-+⎩＞＜，假设对任意给定的m ∈〔1，∞〕，都存在唯一的0∈R 满足f 〔f 〔0〕〕=2a 2m 2am ，那么正实数a 的取值范围为〔 〕 A 1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B 1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ()2,∞+D [)2,∞+【答案】A 【解析】 【分析】先画出函数f 〔〕图像，记t =f 〔0〕，存在唯一的0，所以必有t ＞1，所以f 〔t 〕=2a 2m 2am ＞1对任意给定的m ∈〔1，∞〕恒成立，因式分解得〔ma 1〕〔2ma －1〕＞0，因为ma 1＞0，所以2ma －1＞0恒成立，代入m =1即可【详解】解：作出函数f 〔〕的图象如图：由图象知当＞0时，f 〔〕=og 2的值域为R ，当－1≤≤0，f 〔〕的取值范围为[0，1]，当＜－1时，f〔〕的取值范围是〔－∞，1〕，即由图象知当f〔〕≤1时，的值不唯一，设t=f〔0〕，当＞0时，由f〔〕=og2≥1得≥2，那么方程f〔f〔0〕〕=2a2m2am，等价为f〔t〕=2a2m2am，因为2a2m2am＞0∈R满足f〔f〔0〕〕=2a2m2am，所以假设存在唯一的那么t＞1，即由f〔〕=og2＞1得＞2，即当＞2时，f〔f〔〕〕与存在一一对应的关系，那么此时必有f〔f〔〕〕＞1，即2a2m2am＞1，得〔ma1〕〔2ma－1〕＞0，因为ma1＞0，所以不等式等价为2ma－1＞0，设h〔m〕=2ma－1，因为m＞1，a＞0，，所以只要h〔1〕≥0即可，得2a－1≥0，得a≥12，∞〕．即实数a的取值范围是[12应选：A．【点睛】此题考查了复合函数与分段函数，函数的恒成立与能成立，综合性较强，分段函数常借助函数图像进行处理，复合函数一般采用换元法二、填空题：每题4分，共28分11设集合{}2S x x =>-，{}41T x x =-≤≤，那么()RS T =________．【答案】{}42x x -≤≤- 【解析】 【分析】根据集合的补集运算，得到S R，再由交集运算，得到答案【详解】因为集合{}2S x x =>-， 所以{}2RS x x =≤-，因为集合{}41T x x =-≤≤， 所以(){}42RS T x x ⋂=-≤≤-故答案为：{}42x x -≤≤-【点睛】此题考查集合的运算，属于简单题12函数1()2x f x a -=-〔0a >且1 a ≠〕的图象恒过定点____． 【答案】()1,1- 【解析】 【分析】根据指数函数x y a =的平移，得到1()2x f x a -=-，从而得到其图象恒过的点，得到答案【详解】将指数函数x y a =向右平移1个单位，再向下平移2个单位， 得到1()2x f x a -=-，而指数函数x y a =恒过点()0,1 所以函数1()2x f x a -=-恒过点()1,1-【点睛】此题考查指数函数平移后过定点问题，属于简单题 13实数x 满足2310x x -+=，那么22x x -+=________． 【答案】7【解析】 【分析】由2310x x -+=得13x x -+=，再平方化简后，得到答案 【详解】因为实数x 满足2310x x -+=， 那么213x x +=，即13x x -+= 两边平方，得2229x x -++= 所以227x x -+=， 故答案为：7【点睛】此题考查根据方程求值，指数根本运算，属于简单题2221x x y x ++=+．【答案】(][),22,-∞-+∞ 【解析】 【分析】 将函数2221x x y x ++=+进行化简，得到()()2111111x y x x x ++==++++，分别对10x +>和10x +<，利用根本不等式，得到答案【详解】函数2221x x y x ++=+()()2111111x x x x ++==++++， 当10x +>，由根本不等式得()1112y x x =+++≥， 当且仅当111x x +=+，即0x =时，等号成立， 当10x +<时，由根本不等式得()1112y x x ≤-=+++，当且仅当111x x +=+，即2x =-时，等号成立， 所以函数的值域为(][),22,-∞-+∞， 故答案为：(][),22,-∞-+∞【点睛】此题考查求具体函数的值域，属于简单题()()log 2a f x ax =-[]0,1的减函数，那么实数a 的取值范围是______．【答案】()1,2 【解析】 【分析】首先保证真数位置20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立，得到a 的范围要求，再分01a <<和1a >进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于a 的不等式，得到答案【详解】函数()()log 2a f x ax =-，所以真数位置上的20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立， 由一次函数保号性可知，2a <，当01a <<时，外层函数log a y t =为减函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，那么2t ax =-为增函数， 所以0a ->，即0a <，所以a ∈∅， 当1a >时，外层函数log a y t =为增函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，那么2t ax =-为减函数， 所以0a -<，即0a >，所以1a >， 综上可得a 的范围为()1,2 故答案为：()1,2【点睛】此题考查由复合函数的单调性，求参数的范围，属于中档题 16函数()2xf x =，()22g x xx b =-++，假设[]12,1,3x x ∈，对任意的1x ，总存在2x ，使得()()12g x f x =，那么b 的取值范围是_______．【答案】[]5,7 【解析】 【分析】先分别求出()f x 和()g x 在[]1,3x ∈上的值域，再根据任意的1x ，总存在2x ，使得()()12g x f x =，得到它们值域的关系，从而得到关于b 的不等式，得到答案【详解】函数()2xf x =在[]1,3x ∈上单调递增，所以()f x 的值域为集合[]2,8A =， 函数()22g x xx b =-++，开口向下，对称轴为1x =，所以在[]1,3x ∈上单调递减，所以()g x 的值域为集合[]3,1B b b =-+因为任意的1x ，总存在2x ，使得()()12g x f x =， 所以可得B A ⊆，所以1832b b +≤⎧⎨-≥⎩，解得57b ≤≤故答案为：[]5,7【点睛】此题考查利用函数单调性求函数的值域，通过量词求参数的范围，属于中档题17定义在R 上的函数()f x 满足()00f =，()()11f x f x +-=，()152x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当1201x x ≤<≤时，()()12f x f x ≤，那么12019f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_______．【答案】132【解析】 【分析】 由()00f =，()()11f x f x +-=，可得()1111,22f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，根据()152x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭得()1111522f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，反复套用后得到1111250321532f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由1201x x ≤<≤时，()()12f x f x ≤，得到111321520191250<<，所以111321520191250f f f ≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而得到答案【详解】因为定义在R 上函数()f x 满足()00f =，()()11f x f x +-= 令1x =，得()11f =，令12x =，得1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 又因()152x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以()1111522f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2211115252f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，33211115252f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，44311115252f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，55411115252f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而2111152222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，321111522522f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4321111522522f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5431111522522f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()f x 满足当1201x x ≤<≤时，()()12f x f x ≤，所以根据111321520191250<<，有111321520191250f f f ≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以11132201932f ≤≤⎛⎫⎪⎝⎭， 所以11201932f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故答案为：132【点睛】此题考查抽象函数的性质，求抽象函数的函数值，属于中档题 三、解答题：5小题，共74分 18求值． 〔1〕0110.753210.064160.014-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭； 〔2〕14lg23lg5lg 5+-．【答案】〔1〕485；〔2〕4【解析】分析】〔1〕根据指数运算的规那么，对式子进行整理化简后，再进行计算，得到答案；〔2〕根据对数运算的规那么，对式子进行整理化简后，再进行计算，得到答案 【详解】〔1〕0110.753210.064160.014-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭1133246411161000100-⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1133244100011264100⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5118210=-++485=； 〔2〕14lg23lg5lg 5+- 4lg 23lg5lg5=++()4lg2lg54=+=【点睛】此题考查指数运算和对数运算，属于简单题19集合{}2135A x a x a =+≤<+，{}332B x x =≤≤，假设A A B =，求a 的取值范围． 【答案】(][],41,9-∞- 【解析】 【分析】由A A B =，得到A B ⊆，从而分为A =∅和A ≠∅两种情况进行讨论，分别得到关于a 的不等式，求出a 的范围，得到答案 【详解】因为A A B =，所以得到A B ⊆， 当A =∅时，2135a a +≥+，解得4a ≤- 当A ≠∅时，2133532a a +≥⎧⎨+≤⎩，解得19a ≤≤，综上所述，a 的取值范围为(][],41,9-∞-【点睛】此题考查根据集合的包含关系求参数的范围，属于简单题2021x39.x ≤≤1求x 的取值范围；2求函数22(log 1)(log 3)y x x =-+的值域． 【答案】1 122x ≤≤ 2 [4,0]- 【解析】试题分析：〔1〕先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数的单调性解不等式；〔2〕令2log t x =，那么函数转化为关于t 的二次函数，再根据对称轴与定义区间的位置关系确定最值，得到值域 试题解析：39x ≤≤，122333x ∴≤≤ ，由于指数函数3x y =在R 上单调递增，122x ∴≤≤ 2 由〔1〕得122x ≤≤，21log 1x ∴-≤≤令2log t x =，那么()()21323y t t t t =-+=+-，其中[]1,1t ∈-∵函数223y t t =+-的图象开口向上，且对称轴为1t =- ，∴函数223y t t =+-在[]1,1t ∈-上单调递增，∴当1t =时，y 取得最大值，为0；当1t =-时，y 取得最小值，为4- ∴函数()()22log 1log 3y x x =-+的值域为[]4,0-21函数1()421x x f x a +=-⋅+．〔1〕假设函数()f x 在[]0,2x ∈上有最大值8-，求实数a 的值； 〔2〕假设方程()0f x =在[]1,2x ∈-上有解，求实数a 的取值范围． 【答案】〔1〕5；〔2〕1718a ≤≤【解析】 【分析】〔1〕令[]21,4x t =∈，那么函数()221f t t at =-+，然后根据对称轴与区间中点的大小进行分类，分别得到相应的a 的值，得到答案；〔2〕令12,42xm ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，那么函数()221f m m am =-+，令()0f m =，再进行参变别离，得到12a m m=+，再根据1y m m =+的值域，得到2a 的范围，从而得到答案【详解】〔1〕因为[]0,2x ∈，所以令[]21,4xt =∈，所以得到函数()221f t t at =-+，开口向上，对称轴为t a =，当52a ≤时，那么在4t =时，()f t 取最大值，即()()max 48f t f ==-， 所以16818a -+=-，解得258a =，不满足52a ≤，所以舍去，当52a >时，那么1t =时，()f t 取最大值，即()()max 18f t f ==-，所以1218a -+=-，解得5a =，满足52a >，综上，a 的值为5〔2〕因[]1,2x ∈-，所以令12,42xm ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦， 所以得到函数()221f m m am =-+令()0f m =，得2210m am -+=，即12a m m=+， 所以要使()0f m =有解， 那么函数2y a =与函数1y m m=+有交点， 而函数1y m m =+，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,4上单调递增， 故在1x =时，有min 2y =，在4x =时，有max 174y =， 所以可得21724a ≤≤， 所以a 的范围为1718a ≤≤【点睛】此题考查动轴定区间方法解决由二次函数最值求参数的值，函数与方程的方法解决方程有解的问题，属于中档题()f x -1,1]上的奇函数，且(1)1f =，假设任意的[1,1]a b ∈-、，当0a b +≠时，总有()()0f a f b a b+>+．〔1〕判断函数()f x 在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论； 〔2〕解不等式：1(1)()1f x f x +<-； 〔3〕假设2()21f x m pm ≤-+对所有的[1,1]x ∈-恒成立，其中[1,1]p ∈-〔p 是常数〕，求实数m 的取值范围．【答案】〔1〕见解析；〔2〕{|2x x -≤<．〔3〕见解析【解析】 【分析】〔1〕任取1、2两数使1、2∈[-1，1]，且1＜2，进而根据函数为奇函数推知f 〔1〕-f 〔2〕=f 〔1〕f 〔-2〕，让f 〔1〕f 〔-2〕除以1-2再乘以1-2配出()()f a f b a b++形式，然后进而判定。
专题06 函数：解析式归类高一数学热点培优练(人教A版2019必修第一册)(原卷版)
2
x
1
,
x
1
，若
f
a
f
a 1 ，则
f
(4a)
_____.
2.（2020·黑龙江·大庆四中高一阶段练习（文））函数
f (x)
x2 x, 0 x 2 2x 8, x 2 ，若
f (a)
f (a 2) ，则
f 2a __________.
3.．设函数
f
(x)
2x ,
x 2
,
x1 ，则满足
【题型二】分段函数代入计算
【典例分析】
（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习（理））函数
f
x
x x 1, x 0 x x 1, x 0 ，
g(x)
f
(x
2)
1，
若 g(a) 3 ，则 g(4 a) ________．
【提分秘籍】
基本规律
在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键在计算时要对自变 量的取值范围进行分类讨论，并根据内层函数的值域选择合适的解析式进行计算，
D． f (x) 2x 3
2.（2023·全国·高一专题练习）若 f x 是 R 上单调递减的一次函数，若 f f x 4 x 1，则 f x __．
3.（2021·江西省靖安中学高一阶段练习）已知一次函数 y f (x) 满足 3 f (1 x) 2 f (1 x) 4x 3 ，则 f (x) ＝ ________.
专题 6 函数：解析式归类
目录 【题型一】 直接代入 .................................................................................................................................................. 1 【题型二】分段函数代入计算 .................................................................................................................................... 2 【题型三】 代入求参（解方程） .............................................................................................................................. 2 【题型四】 分段函数分类讨论解方程 ......................................................................................................................3 【题型五】复合函数求值 ............................................................................................................................................ 4 【题型六】求解析式 1：一元一次待定系数 .............................................................................................................4 【题型七】求解析式 2：一元二次待定系数 .............................................................................................................5 【题型八】求解析式 3：反比例函数 ......................................................................................................................... 6 【题型九】求解析式 4：换元法 ................................................................................................................................. 6 【题型十】求解析式 5：指数和对数换元型 .............................................................................................................7 【题型十一】求解析式 6：凑配型 ............................................................................................................................. 8 【题型十二】求解析式 7：函数方程型 .....................................................................................................................8 【题型十三】复合型换元计算（难点） ....................................................................................................................9 培优第一阶——基础过关练 ........................................................................................................................................ 9 培优第二阶——能力提升练 ...................................................................................................................................... 10 培优第三阶——培优拔尖练 ...................................................................................................................................... 11
2024届首都师范大学附属中学高三年级第二学期期末数学试题
2024届首都师范大学附属中学高三年级第二学期期末数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数13log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)(0,1)-∞ B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,1)(1,)⋃+∞2．已知(1,3),(2,2),(,1)a b c n ===-，若()a c b -⊥，则n 等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．94．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则()A B ⋂=R （ ）.A ．(,1)[3,)-∞+∞ B ．(,1][3,)-∞+∞ C ．(,1)(3,)-∞+∞D ．(1,3)5．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ）A ．14B ．13C ．532D ．3166．定义两种运算“★”与“◆”，对任意N n *∈，满足下列运算性质：①2★2018=1，2018◆11=；②（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，则（2018◆2020）（2020★2018）的值为( ) A ．10112B ．10102C ．10092D ．10082 7．已知函数2,0()4,0x x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩，若()02f x <，则0x 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,0]- C ．(1,)-+∞ D ．(,0)-∞8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．83B ．163C ．43D ．89．函数()2ln x f x x x=-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．10．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）A ．48B ．60C ．72D ．12011．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．y x =±12．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（ ）A ．10B ．23C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届高考数学一轮第二篇函数及其性质专题.函数的概念练习
专题2.1 函数的概念【考试要求】1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用；3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.【知识梳理】1.函数的概念设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【微点提醒】1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.( )(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )(3)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数.( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 【解析】(1)错误.函数y ＝1的定义域为R ，而y ＝x 0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数. (2)错误.值域C ⊆B ，不一定有C ＝B. (3)错误.f(x)＝x －3＋2－x 中x 不存在.(4)错误.若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数. 【教材衍化】2.(必修1P25B2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】 B【解析】 A 中函数定义域不是[－2，2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0，2]. 3.(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( )A.y ＝(x ＋1)2B.y ＝3x 3＋1 C.y ＝x 2x＋1D.y ＝x 2＋1【答案】 B【解析】 对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应法则分别对应相同，是相等函数；对于C.函数y ＝x 2x＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域x ∈R 不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数.【真题体验】4.(2019·北京海淀区期中)已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)＝( ) A.15lg 2 B.12lg 5 C.13lg 2 D.12lg 3 【答案】 A【解析】 令x 5＝2，则x ＝215，∴f (2)＝lg 215＝15lg 2.5.(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数f (x )＝4－4x＋ln(x ＋4)的定义域为________. 【答案】 (－4，1]【解析】 f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－4x≥0，x ＋4>0，解得－4<x ≤1.6.(2019·济南检测)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________. 【答案】 －2【解析】 由题意知点(－1，4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2. 【考点聚焦】考点一 求函数的定义域【例1】 (1)函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)的定义域为________； (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________. 【答案】 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1 (2)[0，1) 【解析】 (1)要使函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)有意义，则1－x 2≥0，tan x －1>0，且x ≠k π＋π2(k∈Z ).∴－1≤x ≤1且π4＋k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，可得π4<x ≤1.则函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1. (2)因为y ＝f (x )的定义域为[0，2]，所以要使g (x )有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1.所以g (x )的定义域是[0，1).【规律方法】 1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ≤g (x )≤b 求出.(2)若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域. 【训练1】 (1)(2019·深圳模拟)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A.(－2，1)B.[－2，1]C.(0，1)D.(0，1](2)(2019·山西名校联考)设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( ) A.(－9，＋∞) B.(－9，1) C.[－9，＋∞)D.[－9，1)【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0，ln x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，x >0且x ≠1.∴函数的定义域是(0，1).(2)易知f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg （1－x ）>0，解得－9<x <1.故f [f (x )]的定义域为(－9，1). 考点二 求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________；(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，则f (x )＝________.【答案】 (1)lg2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13【解析】 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1). (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝2ax ＋a ＋b ＝x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1中，将x 换成1x ，则1x换成x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.【规律方法】 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x ).【训练2】 (1)(2019·杭州检测)已知函数f (x )＝ax －b (a >0)，且f [f (x )]＝4x －3，则f (2)＝________； (2)若f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，则f (x )＝________. 【答案】 (1)3 (2)3x【解析】 (1)易知f [f (x )]＝a (ax －b )－b ＝a 2x －ab －b ， ∴a 2x －ab －b ＝4x －3(a >0)，因此⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 所以f (x )＝2x －1，则f (2)＝3. (2)因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，② 由①②解得f (x )＝3x . 考点三 分段函数 角度1 分段函数求值【例3－1】 (2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________.【答案】22【解析】 因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，所以f (15)＝f (－1)＝12，因此f [f (15)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22. 角度2 分段函数与方程、不等式问题【例3－2】 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A.1B.78C.34D.12(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________.【答案】 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞【解析】 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ， 若52－b <1，即b >32时， 则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4， 解得b ＝78，不合题意舍去.若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b＝4，解得b ＝12. (2)当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x ＋32>1，解得－14<x ≤0，当0<x ≤12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x＋x ＋12>1，该式恒成立，当x >12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋2x －12，又x >12时，2x＋2x －12>212＋20＝1＋2>1恒成立， 综上可知，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.【规律方法】 1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 【提醒】 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.【训练3】 (1)(2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f [f (1)]＝( )A.－12B.2C.4D.11(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 【解析】 (1)由题意知f (1)＝12＋2＝3， 因此f [f (1)]＝f (3)＝3＋13－2＝4.(2)当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a <12.【反思与感悟】1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法. 【易错防范】1.复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不要和f (x )的定义域相混.2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为( )A.[0，2)B.(2，＋∞)C.[0，2)∪(2，＋∞)D.(－∞，2)∪(2，＋∞)【答案】 C【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x－1≥0，x －2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≠2，所以函数的定义域为[0，2)∪(2，＋∞). 2.(2019·郑州调研)如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )【答案】 D【解析】 由y 与x 的关系知，在中间时间段y 值不变，只有D 符合题意. 3.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A.y ＝xB.y ＝lg xC.y ＝2xD.y ＝1x【答案】 D 【解析】 函数y ＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ；D 中y ＝1x 的定义域、值域均为(0，＋∞).4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A.3B.6C.9D.12【答案】 C【解析】 根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1， ∴f (log 212)＝2(log 212)－1＝2log 26＝6，因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.5.(2019·西安联考)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－1，2]C.[－1，2]D.[2，5]【答案】 C【解析】 f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4. 当x ＝2时，f (2)＝4.由f (x )＝－x 2＋4x ＝－5，得x ＝5或x ＝－1.∴要使f (x )在[m ，5]上的值域是[－5，4]，则－1≤m ≤2.6.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510【答案】 B【解析】 代表人数与该班人数的关系是除以10的余数大于6，即大于等于7时要增加一名，故y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310.7.(2017·山东卷)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.2B.4C.6D.8【答案】 C【解析】 由已知得0<a <1，则f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2a ， 所以a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝f (4)＝2(4－1)＝6. 8.(2019·上饶质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为( )A.(1，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)【答案】 D【解析】 当a ＝0时，显然不成立.当a >0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0等价于a 2－2a >0，解得a >2. 当a <0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0等价于a 2＋2a >0，解得a <－2.综上所述，a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞). 二、填空题9.函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________.【答案】 (0，1]【解析】 要使函数f (x )有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.∴f (x )的定义域为(0，1].10.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋1xf (－x )＝2x (x ≠0)，则f (－2)＝________.【答案】 72【解析】 令x ＝2，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (－2)＝4，①令x ＝－12，可得f (－2)－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1② 联立①②解得f (－2)＝72.11.下列四个结论中，正确的命题序号是________.①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0，表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.【答案】 ②③【解析】 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，若x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数的定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域和对应关系均分别对应相同，所以f (x )与g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1.12.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22 【解析】 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1； 若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12. 故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝ln 1－x 1＋x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1. 其中满足“倒负”变换的函数是( )A.①②B.①③C.②③D.①【答案】 B【解析】 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f (x )＝ln 1－x 1＋x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足； 对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x ). 所以满足“倒负”变换的函数是①③.14.(2019·河南八市联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋λ，x <1（λ∈R ），2x ，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f [f (a )]＝2f (a )成立，则λ的取值范围是( ) A.(0，2]B.[0，2]C.[2，＋∞)D.(－∞，2) 【答案】 C【解析】 当a ≥1时，2a ≥2.∴f [f (a )]＝f (2a )＝22a ＝2f (a )恒成立.当a <1时，f [f (a )]＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立，由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2，综上，λ的取值范围是[2，＋∞).15.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________. 【答案】 f (x )＝－log 2 x【解析】 根据题意知x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x . 16.(2019·绍兴调研)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3（x 2－1），x ≥2，则f (f (1))＝________；不等式f (x )＞2的解集为________.【答案】 1 (1，2)∪(10，＋∞)【解析】 f (1)＝2e 0＝2，f (f (1))＝f (2)＝log 3(4－1)＝1.当x ＜2时，f (x )＞2即ex －1＞1＝e 0，∴x ＞1，∴1＜x ＜2.当x ≥2时，f (x )＞2即为log 3(x 2－1)＞2＝log 332，∴x 2＞10，即x ＞10或x ＜－10，∴x ＞10.【新高考创新预测】17.(多选题)已知定义域内的函数f (x )满足：f (f (x ))－x >0恒成立，则f (x )的解析式不可能是( )A.f (x )＝2 019xB.f (x )＝e xC.f (x )＝x 2D.f (x )＝lg 1＋x 2 【答案】 ACD【解析】A 中，f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 109x ＝x (x ≠0)恒成立， 所以f (f (x ))－x >0不恒成立，A 正确；B 中，因为e x >x ，所以ee x >e x >x ，所以f (f (x ))＝ee x>x 恒成立，B 错误；C 中，f (f (x ))＝x 4＝x ，此方程有x ＝0或x ＝1两个根，所以f (f (x ))－x >0不恒成立，C 正确；D 中，x ＝0时，f (f (x ))＝x 成立，所以f (f (x ))－x >0不恒成立，D 正确.。
高一数学函数的定义域与值域的常用方法
高一数学求函数的定义域与值域的常用法一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。
例1. 已知2211()x x x f x x +++=，试求()f x 。
解：设1x t x +=，则11x t =-，代入条件式可得：2()1f t t t =-+，t ≠1。
故得：2()1,1f x x x x =-+≠。
说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。
2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。
例2. （1）已知21()2()345f x f x x x +=++，试求()f x ；（2）已知2()2()345f x f x x x +-=++，试求()f x ； 解：（1）由条件式，以1x 代x ，则得2111()2()345f f x x x x +=++，与条件式联立，消去1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则得：()222845333x f x x x x =+--+。
（2）由条件式，以－x 代x 则得：2()2()345f x f x x x -+=-+，与条件式联立，消去()f x -，则得：()2543f x x x =-+。
说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。
例4. 求下列函数的解析式：（1）已知)(x f 是二次函数，且1)()1(,2)0(-=-+=x x f x f f ，求)(x f ；（2）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ，)1(+x f ，)(2x f ；（3）已知x xx x x f 11)1(22++=+，求)(x f ； （4）已知3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f 。
【题意分析】（1）由已知)(x f 是二次函数，所以可设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，设法求出c b a ,,即可。
山东省滕州实验中学2024年高三第二学期第二次综合练习数学试题理试卷
山东省滕州实验中学2024年高三第二学期第二次综合练习数学试题理试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ） A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭D ．,6π⎛⎫π⎪⎝⎭2．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2x y =±D ．2y x =±3．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ）A ．32B ．1C ．-1D ．04．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ） A ．2B ．2iC ．4D ．4i5．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭6．设a 、b R +∈，数列{}n a 满足12a =，21n n a a a b +=⋅+，n *∈N ，则（ ）A ．对于任意a ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立B ．对于任意b ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立C ．对于任意()24,b a ∈-+∞，都存在实数M ，使得n a M <恒成立D ．对于任意()0,24b a ∈-，都存在实数M ，使得n a M <恒成立 7．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )A ．1B ．2CD8．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（ ）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭9．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．210．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i11．在ABC 中，12BD DC =，则AD =（ ） A ．1344+AB AC B ．21+33AB ACC ．12+33AB ACD ．1233AB AC -12．已知函数21()log 1||f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭(lg )3f x >的解集为（ ）A ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,10)D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高中数学必修1(人教B版)第二章函数2.1知识点总结含同步练习题及答案
描述：高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 函数 2.1 函数一、学习任务1. 通过同一过程中的变量关系理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的定义域和值域；初步掌握换元法的简单应用．2. 了解映射的概念，能判断一些简单的对应是不是映射．3. 理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象．4. 理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大（小）值的概念及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．二、知识清单函数的相关概念函数的表示方法 映射函数的定义域的概念与求法函数的值域的概念与求法 函数的解析式的概念与求法分段函数复合函数 函数的单调性函数的最大（小）值 函数的奇偶性三、知识讲解1.函数的相关概念函数的概念设 ， 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数(function)．记作：其中， 叫做自变量，自变量取值的范围（数集 ）叫做这个函数的定义域． 叫做因变量，与 的值相对应的 值叫做函数在 处的函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域．相同函数的概念A B f Ax B f (x )f :A →B A By =f (x ),x ∈A .x A y x y x {y | y =f (x ),x ∈A }N集合 的函数关系的有（ ）012．数轴表示为（2）{x | 2⩽x⩽8 且8]（3）函数 的图象是由 t 的映射的是（ ）N（2）函数图象如图所示：y的距离 与点y=f(x)如图为函数 的图象，试写出函数解： [1,2]2（5）（图象法）画出。
分段函数与复合函数
分段函数1.已知函数f （x ）＝232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ 2 .解析：f （0）=2，f （f （0））=f(2)=4+2a=4a ，所以a=22. 已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =A.4B.14C.-4 D-14【答案】B【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294f f f -=-==，所以B 正确.3.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 2【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C. 4.设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（A ）9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。
依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ⎧-++<-⎪⎨--≥-⎪⎩，222,12()2,12x x x f x x x x ⎧+<->⎪⎨---≤≤⎪⎩或5.若函数f(x)=212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是（A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1） 【答案】C【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。