上海市上海中学2019~2020学年高一下学期期中考试数学试卷及答案2020.4
上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一下学期期中数学试卷 (含解析)
C．kπ+ 与 2kπ±
D． 与 kπ±
15．已知函数 f（x）＝ sinωx+cosωx（ω＞0）在[0，π]上有两个零点，则 ω 的取值范围为 （）
A．（ ， ） B．[ ， ）
C．（ ， ）
D．[
）
16．有一个三人报数游戏：首先 A 报数字 1，然后 B 报下两个数字 2，3，接下来 C 报下三
．
【分析】由 sinα 的值，及 α 的范围，判断出 cosα 为负数，利用同角三角函数间基本关系 求出 cosα 的值即可．
解：∵sinα＝ ，α∈（ ，π），
∴cosα＜0，
则 cosα＝﹣
＝﹣ ，
故答案为：﹣
3．已知{an}是等比数列，首项为 3，公比为 ，则前 4 项的和为
．
【分析】利用等比数列前 n 项和公式能求出等比数列前 4 项的和．
3
上海市闵行区七宝中学 2019-2020 学年高一第二学期期中考试
数学试卷参考答案
一.填空题（共 12 小题）.
1．若 cosα＝﹣ ，则 cos2α＝
．
【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．
解：∵cosα＝﹣ ，
∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×
﹣1＝ ．
故答案为： ．
2．已知 sinα＝ ，α∈（ ，π），则 cosα＝ ﹣
故答案为： ．
5．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a4＝1，则 S7＝ 7 ． 【分析】先由等差数列的性质可得 a1+a7＝2a4，再根据等差数列的求和公式代入即可． 解：根据题意，等差数列{an}中，a1+a7＝2a4，
则 S7＝
四校八大名校卷 上海市上海中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
高一期中数学试卷一、填空题1．已知点A （2，﹣1）在角α的终边上，则sin α＝ ． 2．函数y ＝sin （πx +2）的最小正周期是 ．3．设扇形半径为2cm ，圆心角的弧度数为2，则扇形的面积为 ．4．已知函数f （x ）＝sin x （x ∈[0，π]）和函数g （x ）=12tan x 的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积为 ．5．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sin α=13，则cos （α﹣β）＝ ．6．已知sin （x −π4）=35，则sin2x 的值为 ． 7．设x ，y ∈（0，π），且满足sin 2x−cos 2x+cos 2xcos 2y−sin 2xsin 2ysin(x+y)=1，则x ﹣y ＝ ．8．我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S =√14[(ab)2−(a 2+b 2−c 22)2]．根据此公式若a cos B +（b +3c ）cos A ＝0，且a 2﹣b 2﹣c 2＝2，则△ABC 的面积为 ．9．若函数f(x)=2sin(2x +π6)+a −1(a ∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x 1，x 2，则x 1+x 2﹣a 的取值范围是 ． 10．已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减，则实数m 的取值范围是 ． 二、选择题11．已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈（π2，π），则sin （π+α）＝（ ）A ．−√1−k 2B ．√1−k 2C ．±√1−k 2D ．﹣k12．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（ ） A ．sin （α+β）＞sin α+sin β B ．sin （α+β）＞cos α+cos β C ．cos （α+β）＜sin α+sin βD ．cos （α+β）＜cos α+cos β13．设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2），为了得到f （x ）的图象，则只需将g （x ）＝cos2x 的图象（ ）A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π6个单位14．若涵数f （x ）＝sin （2x −π3）与 g （x ）＝cos x ﹣sin x 都在区间（a ，b ）（0＜a ＜b ＜π）上单调递减，则b ﹣a 的最大值为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π1215．已知α，β为锐角且α+β＞π2，x ∈R ，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|，下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）在定义域上为递增函数B ．f （x ）在定义域上为递减函数C ．f （x ）在（﹣∞，0]上为增函数，在（0，+∞）上为减函数D ．f （x ）在（﹣∞，0]上为减函数，在（0，+∞）上为增函数16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边的长，若a 2+b 2＝2020c 2，则2tanA⋅tanB tanC(tanA+tanB)的值为（ ） A ．1 B ．2018 C ．2019 D ．2020三、解答题17．化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．18．已知函数f(x)=√3cos2x −sin2x ．（1）用五点法作出f （x ）在一个周期内的图象，并写出f （x ）的值域，最小正周期，对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f （x ）的图象向左平移一个π4单位得到函数y ＝g （x ）的图象，求y ＝g （x ）的单调递增区间．19．如图，矩形ABCD 中，E ，F 两点分别在边AB ，BC 上，∠DEF ＝90°，设∠ADE ＝α，∠EDF＝β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4)，且sin（3π4+x）=513，cos（π4−y）=45，求cos（x﹣y）的值．20．某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB 所在的平面与道路走向垂，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC=23π，∠ACD=π3，路宽AD＝24米．设∠BAC＝θ(π12≤θ≤π6)（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）21．设函数f（x）＝5cosθsin x﹣5sin（x﹣θ）+（4tanθ﹣3）sin x﹣5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为﹣6，求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下，设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2)，其中λ＞0，ω＞0．已知y＝g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心，试求λ+ω的最小值．参考答案与试题解析一、填空题1．已知点A （2，﹣1）在角α的终边上，则sin α＝ −√55 ． 根据三角函数的坐标法定义，直接计算即可． 设O 为坐标原点，因为A （2，﹣1）． 由已知得|OA|=√22+(−1)2=√5， ∴sinα=−1|OA|=−√55． 故答案为：−√55．本题考查三角函数的坐标法定义，以及学生的运算能力，属于基础题． 2．函数y ＝sin （πx +2）的最小正周期是 2 ． 由题意利用正弦函数的周期性，得出结论． 函数y ＝sin （πx +2）的最小正周期是2ππ=2，故答案为：2．本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题．3．设扇形半径为2cm ，圆心角的弧度数为2，则扇形的面积为 4cm 2 ． 由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．由已知可得：半径r 为2cm ，圆心角α的弧度数为2， 则扇形的面积S =12r 2α=12×22×2=4cm 2． 故答案为：4cm 2．本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．4．已知函数f （x ）＝sin x （x ∈[0，π]）和函数g （x ）=12tan x 的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积为√3π4． 画出两个函数的图象，求出三个点的坐标，然后求解三角形面积．函数f （x ）＝sin x （x ∈[0，π]）和函数g （x ）=12tan x 的图象，可得A （0，0），B （π，0），令sin x =12tan x ，解得C （π3，√32），所以S △ABC =12×π×√32=√3π4．故答案为：√3π4．本题考查三角函数的图象以及三角形的面积的求法，考查转化思想以及计算能力． 5．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sin α=13，则cos （α﹣β）＝ −79．方法一：根据教的对称得到sin α＝sin β=13，cos α＝﹣cos β，以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， ∴sin α＝sin β=13，cos α＝﹣cos β，∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β＝﹣cos 2α+sin 2α＝2sin 2α﹣1=29−1=−79 方法二：∵sin α=13，当α在第一象限时，cos α=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=−2√23， ∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79：∵sin α=13，当α在第二象限时，cos α=−2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第一象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=2√23，∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79综上所述cos （α﹣β）=−79， 故答案为：−79本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题6．已知sin （x −π4）=35，则sin2x 的值为 725．利用二倍角的正弦可求得sin 2(x −π4)=1−sin2x 2=925，从而可得sin2x 的值． ∵sin （x −π4）=35，∴sin 2(x −π4)=1−cos[2(x−π4)]2=1−sin2x 2=925， ∴1﹣sin2x =1825， ∴sin2x =725． 故答案为：725．本题考查二倍角的正弦，考查诱导公式的应用，考查转化思想与运算能力，属于中档题． 7．设x ，y ∈（0，π），且满足sin 2x−cos 2x+cos 2xcos 2y−sin 2xsin 2ysin(x+y)=1，则x ﹣y ＝π2．结合已知条件，利用和差角公式，平方关系化简可得sin （x ﹣y ）＝1，进而得到答案． ∵x ，y ∈（0，π）， ∴sin 2x−cos 2x+cos 2xcos 2y−sin 2xsin 2ysin(x+y)=1⇒sin 2x(1−sin 2y)+cos 2x(cos 2y−1)sin(x+y)=1⇒sin 2xcos 2y−cos 2xsin 2y sin(x+y)=(sinxcosy+cosxsiny)(sinxcosy−cosxsiny)sin(x+y)=1⇒sin(x+y)sin(x−y)sin(x+y)=sin(x −y)=1⇒x −y =π2． 故答案为：π2．本题主要考查三角函数的化简求值，考查和差角公式以及同角三角函数基本关系的运用，考查运算能力，属于基础题．8．我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S =√14[(ab)2−(a 2+b 2−c 22)2]．根据此公式若a cos B +（b +3c ）cos A ＝0，且a 2﹣b 2﹣c 2＝2，则△ABC 的面积为 √2 ．直接利用三角函数关系式的恒等变换和余弦定理的应用求出结果． 由于a cos B +（b +3c ）cos A ＝0， 整理得：a cos B +b cos A ＝﹣3c cos A ， 所以c ＝﹣3c cos A ， 故cosA =−13．由余弦定理得：b 2+c 2﹣a 2＝2bc cos A ＝﹣2， 整理得bc ＝3，所以：S =√14[(bc)2−(b 2+c 2−a 22)2]=√2． 故答案为：√2本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．若函数f(x)=2sin(2x +π6)+a −1(a ∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x 1，x 2，则x 1+x 2﹣a 的取值范围是 [π3，π3+1) ．由题意将问题转化为y =2sin(2x +π6)与y ＝1﹣a 在区间[0，π2]上有两个不同的交点的问题，作出两个函数的图象，可求解．若函数f(x)=2sin(2x +π6)+a −1(a ∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x 1，x 2， 即2sin(2x +π6)=1−a 在区间[0，π2]上有两个不同的零点x 1，x 2，也就是y =2sin(2x +π6)与y ＝1﹣a 区间[0，π2]上有两个不同的交点，横坐标分别为x 1，x 2，数形结合可知，x 1+x 22=π6，1−a ∈[1，2)，∴x 1+x 2=π3，−a ∈[0，1) ∴x 1+x 2−a ∈[π3，π3+1)． 故答案为：[π3，π3+1)．本题考查三角函数的图象与性质，以及利用数形结合思想解决问题的能力，同时考查了学生的运算能力，属于中档题．10．已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减，则实数m 的取值范围是 （﹣∞，1] ． 根据题意，任取0＜α＜β＜π2，由函数单调性的定义分析可得f （α）﹣f （β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0，据此变形可得m ＜1+tan α2tan β2tan α2+tan β2，分析1+tan α2tanβ2tan α2+tanβ2的最小值，即可得答案．根据题意，任取0＜α＜β＜π2， 若函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减，则有f （α）﹣f （β）＞0，即f （α）﹣f （β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0 则有m ⋅2sin α+β2⋅sin α−β2＞2sin α−β2cos α−β2 可得m ＜cos α−β2sin α+β2=cos α2cos β2+sin α2sin β2sin α2cos β2+cos α2sin β2=1+tan α2tan β2tan α2+tan β2，又由0＜α＜β＜π2，则0＜α2＜β2＜π4，0＜tan α2＜tan β2＜1从而1+tan α2tan β2−(tan α2+tan β2)=(1−tan α2)(1−tan β2)＞0，变形可得1+tan α2tanβ2tan α2+tanβ2＞1， 必有m ≤1，即m 的取值范围为（﹣∞，1]； 故答案为（﹣∞，1]．本题函数的单调性的性质，涉及三角函数的恒等变形以及和差公式的应用，属于基础题 二、选择题11．已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈（π2，π），则sin （π+α）＝（ ）A ．−√1−k 2B ．√1−k 2C ．±√1−k 2D ．﹣k由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sin α，从而由诱导公式即可得解． ∵cos α＝k ，k ∈R ，α∈（π2，π），∴sin α=√1−cos 2α=√1−k 2， ∴sin （π+α）＝﹣sin α=−√1−k 2． 故选：A ．本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．12．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（ ） A ．sin （α+β）＞sin α+sin β B ．sin （α+β）＞cos α+cos β C ．cos （α+β）＜sin α+sin βD ．cos （α+β）＜cos α+cos β对于A ，B 中的α，β可以分别令为30°，60°验证即可，对于C 中的α，β可以令他们都等于15°，验证即可，对于D 我们可以用放缩法给出证明co s （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β＜cos α×1+cos β×1＝cos α+cos β对于AB 中的α，β可以分别令为30°，60°则知道A ，B 均不成立 对于C 中的α，β可以令他们都等于15°，则知道C 不成立 cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β＜cos α×1+cos β×1＝cos α+cos β 故选：D ．本题考查了两角和与差的正余弦公式，同时也考查了放缩法对命题的证明，属于基础题． 13．设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2），为了得到f （x ）的图象，则只需将g （x ）＝cos2x 的图象（ ）A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π12个单位 D ．向左平移π6个单位由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再根据函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论．利用函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的图象， 可得A ＝1，14⋅2πω=π3−π12，∴ω＝2．再根据五点法作图，可得2×π12+φ=π2，∴φ=π3，故f （x ）＝sin （2x +π3）． 将g （x ）＝cos2x ＝sin （2x +π2）的图象向右平移π12个单位，可得y ＝sin （2x −π6+π2）＝sin （2x +π3）＝f （x ）的图象， 故选：A ．本题主要考查由函数y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，属于基础题．14．若涵数f （x ）＝sin （2x −π3）与 g （x ）＝cos x ﹣sin x 都在区间（a ，b ）（0＜a ＜b ＜π）上单调递减，则b ﹣a 的最大值为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π12求出涵数f （x ）、g （x ）在（0，π）上的单调递减区间，从而求得b ﹣a 的最大值．涵数f （x ）＝sin （2x −π3）在（0，5π12）上单调递增，在（5π12，11π12）上单调递减，在（11π12，π）上单调递减；函数g （x ）＝cos x ﹣sin x =√2cos （x +π4）在（0，3π4）上单调递减，在（3π4，π）上单调递增；∴f （x ）、g （x ）都在区间（5π12，3π4）上单调递减，∴b ﹣a 的最大值为3π4−5π12=π3．故选：B ．本题考查了三角函数在某一区间上的单调性问题，是中档题．15．已知α，β为锐角且α+β＞π2，x ∈R ，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|，下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）在定义域上为递增函数B ．f （x ）在定义域上为递减函数C ．f （x ）在（﹣∞，0]上为增函数，在（0，+∞）上为减函数D ．f （x ）在（﹣∞，0]上为减函数，在（0，+∞）上为增函数 先利用α，β为锐角且α+β＞π2结合三角函数的单调性得出cosαsinβ，cosβsinα的取值范围，再对x 的值分类讨论，结合指数函数的单调性即可得出答案．∵α，β为锐角且α+β＞π2，∴π2＞α＞π2−β＞0，∴cos α＜cos （π2−β），sin α＞sin （π2−β），即0＜cos α＜sin β，sin α＞cos β＞0， ∴0＜cosαsinβ＜1，0＜cosβsinα＜1．∴在（﹣∞，0]上，f(x)=(cosαsinβ)−x +(cosβsinα)−x 为增函数， 在（0，+∞）上，f(x)=(cosαsinβ)x +(cosβsinα)x为减函数． 故选：C ．本题主要考查了指数函数的单调性与特殊点，考查了三角函数的性质，属于基础题． 16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边的长，若a 2+b 2＝2020c 2，则2tanA⋅tanB tanC(tanA+tanB)的值为（ ） A ．1B ．2018C ．2019D ．2020直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理余弦定理的应用求出结果． 由于△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边的长，若a 2+b 2＝2020c 2，所以a 2+b 2﹣c 2＝2019c 2， 则：2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)=2sinA cosA ⋅sinBcosBsinC cosC (sinA cosA +sinB cosB)，=2sinAsinBcosC sinC(sinAcosB+cosAsinB)=2sinAsinBcosCsin 2C， =2abcosC c 2=a 2+b 2−c 2c 2=2019故选：C ．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 三、解答题17．化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．利用诱导公式化简要求的式子，再利用同角三角函数的基本关系化简到最简形式．f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)=(−sinα)(−cosα)sinα(−cosα)sinαtanα=−cosα．本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，要特别注意公式中的符号． 18．已知函数f(x)=√3cos2x −sin2x ．（1）用五点法作出f （x ）在一个周期内的图象，并写出f （x ）的值域，最小正周期，对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f （x ）的图象向左平移一个π4单位得到函数y ＝g （x ）的图象，求y ＝g （x ）的单调递增区间．（1）用五点作图法即可作出函数在一个周期上的图象，利用余弦函数的性质即可求解其值域，最小正周期，对称轴方程．（2）由条件利用y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律和正弦函数的图象和性质即可求解y ＝g （x ）的单调递增区间．（1）f(x)=√3cos2x −sin2x =2cos （2x +π6）， 列表如下：2x +π6 0 π2 π3π22πx−π12π65π122π311π12y20﹣202作图：可得：f（x）的值域为[﹣2，2]，最小正周期为π，对称轴方程为x=kπ2−π12，k∈Z．（2）将f（x）＝2cos（2x+π6）的图象向左平移一个π4单位得到函数y＝g（x）＝2cos（2x+π2+π6）＝﹣2sin（2x+π6）的图象，令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z，解得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z，可得函数的单调递增区间为：[kπ+π6，kπ+2π3]，k∈Z．本题主要考查用五点法作函数y＝A sin（ωx+φ）在一个周期上的图象，y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，考查正弦函数的性质，属于基础题．19．如图，矩形ABCD中，E，F两点分别在边AB，BC上，∠DEF＝90°，设∠ADE＝α，∠EDF＝β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4)，且sin（3π4+x）=513，cos（π4−y）=45，求cos（x﹣y）的值．（1）根据题意利用直角三角形的边角关系，即可证明cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β； （2）利用三角恒等变换化简求值即可． （1）由已知∠ADE ＝∠BEF ＝α， 所以cos （α+β）＝cos ∠DFC =CFDF =BC−CF DF =AD DE •DE DF −BF EF •EFDF＝cos αcos β﹣sin αsin β； （2）由已知3π4+x ∈(3π4，π)，π4−y ∈(−π2，0)，从而cos(3π4+x)=−√1−sin 2(3π4+x)=−1213， sin(π4−y)=−√1−cos 2(π4−y)=−35，所以cos(x −y)=−cos(x −y +π)=−cos[(3π4+x)+(π4−y)]=sin(3π4+x)sin(π4−y)−cos(3π4+x)cos(π4−y)=513⋅(−35)−(−1213)⋅45=3365． 本题考查了直角三角形边角关系应用问题，也考查了三角函数化简求值问题，是中档题． 20．某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在的平面与道路走向垂，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC 的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC =23π，∠ACD =π3，路宽AD ＝24米．设∠BAC ＝θ(π12≤θ≤π6)（1）求灯柱AB 的高h （用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB 与灯杆BC 所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）（1）在△ACD 中与在△ABC 中，分别利用正弦定理即可得出； （2）△ABC 中，利用正弦定理可得：BC ，再利用和差公式即可得出． （1）在△ACD 中，∠CDA =θ+π6，由ADsin∠ACD =ACsin∠CDA，得AC=AD⋅sin∠CDAsin∠ACD=16√3sin(θ+π6)，在△ABC中，∠ACB=π3−θ，由ABsin∠ACB =ACsin∠ABC，得ℎ=AC⋅sin∠ACBsin∠ABC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)(π12≤θ≤π6)．（2）△ABC中，由BCsin∠BAC =ACsin∠ABC，得BC=AC⋅sin∠BACsin∠ABC=32sin(θ+π6)sinθ，∴AB+BC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)+32sin(θ+π6)sinθ=16sin2θ+8√3，∵π12≤θ≤π6，∴π6≤2θ≤π3，∴当θ=π12时，AB+BC取得最小值8+8√3≈21.86．故制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值约为21.86米．本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．设函数f（x）＝5cosθsin x﹣5sin（x﹣θ）+（4tanθ﹣3）sin x﹣5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为﹣6，求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下，设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2)，其中λ＞0，ω＞0．已知y＝g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心，试求λ+ω的最小值．（1）利用三角函数关系式的恒等变换和函数的性质的应用求出结果．（2）利用函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用求出结果．（3）利用分类讨论思想的应用和关系式的变换的应用求出参数的值．（1）f（x）＝5cos x sinθ+（4tanθ﹣3）sin x﹣5sinθ，f（x）是偶函数，∴（4tanθ﹣3）sin x＝0对一切x∈R恒成立，∴tanθ=3 4（2）f（x）＝5sinθ（cos x﹣1），其最小值为﹣6，此时sinθ=35，cosx=−1，∴f（x）＝3（cos x﹣1），从而f（x）的最大值为0，此时x的取值为x＝2kπ，k∈Z；（3）g(x)=λf(ωx)−f(ωx +π2)=3λcosωx −3λ−3cos(ωx +π2)+3=3λcos ωx ﹣3λ+3sin ωx +3由g （x ）在x =π6处取最小值，知g （x ）的图象关于x =π6对称， 有g(−π3)=g(2π3)=3−3λ 故3λcos(−ωπ3)+3sin(−ωπ3)=0， 且3λcos 2ωπ3+3sin 2ωπ3=0，从而λ=tan ωπ3=−tan 2ωπ3=tan(kπ−2ωπ3)， 则ωπ3=kπ−2ωπ3，即ω＝k （k ∈Z ）又ω＞0，则ω是正整数，∵λ＞0，ω是正整数， ∴ω=3l −2(l ∈N ∗)，λ=√3，当ω＝1时，g(x)=3√3cosx +3sinx +3−3√3显然，g （x ）在x =π6处有最大值，而不是最小值，矛盾．当ω＝4时，g(x)=3√3cos4x +3sin4x +3−3√3，显然，g （x ）在x =π6处有最大值，而不是最小值，矛盾．当ω＝7时，g(x)=3√3cos7x +3sin7x +3−3√3，显然，g （x ）g （x ）在x =π6处有最小值，且y ＝g （x ）的图象关于点(2π3，3−3√3)中心对称，∴λ+ω的最小值为√3+7．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，分类讨论思想的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.“sinx=0”是“cosx=−1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,−π<φ<0)的部分图象如图所示，则下列判断错误的是()A. 函数f(x)的最小正周期为2B. 函数f(x)的值域为[一4，4]C. 函数f(x)的图象关于(103，0)对称D. 函数f(x)的图象向左平移π3个单位后得到y=Asinωx的图象3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列判断错误的是()A. f(π3)=1B. 函数f(x)的图象关于x=7π6对称C. 函数f(x)的图象关于(−11π2,0)对称D. 函数f(x)的图象向右平移π12个单位后得到y=Asinωx的图象4.若f(x)=sinx+cosx在[0,a]上是增函数，则a的最大值是()A. πB. 3π4C. π4D. π2二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 将函数y =3sin(2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是__________．6. 设函数y =f(x)的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D 且x 1+x 2=2a ，恒有f(x 1)+f(x 2)=2b ，则称点(a,b)为函数y =f(x)图象的对称中心．研究并利用函数f(x)=x 3−3x 2−sin(πx)的对称中心，计算S =f(12015)+f(22015)+⋯+f(40282015)+f(40292015)的值______ ． 7. 角α终边上有一点P(1,1)，则sinα的值为______ ． 8. cos27°cos18°−sin27°sin18°=______．9. 已知函数f(x)={cos π2x,0≤x ≤4−x +5,x >4，若实数a 、b 、c 互不相等，且满足f(a)=f(b)=f(c)，则a +b +c 的取值范围是______ ．10. 已知函数f(x)={−12x +14,x ∈[0,12]2x 2x+2,x ∈(12,1],g(x)=asin(π3x +32π)−2a +2(a >0)，给出下列结论： ①函数f(x)的值域为[0,23]； ②函数g(x)在[0,1]上是增函数；③对任意a >0，方程f(x)=g(x)在区间[0,1]内恒有解；④若存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则实数a 的取值范围是49≤a ≤45， 其中所有正确结论的序号为______ ．11. 已知α为第二象限角，cosα=−35，则sin2α=______．12. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a =2，b =3，c =4，则cosA =______． 13. 函数f(x)=sin(2x −π4)的最小正周期是______．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知bcosB =ccosC ，则该三角形的形状是______.(不要使用“△”符号表示三角形) 15. 以下有四种说法：①“a >b ”是“a 2>b 2”的充要条件；②“A ∩B =B ”是“B =⌀”的必要不充分条件； ③“x =3”的必要不充分条件是“x 2−2x −3=0”； ④“m 是实数”的充分不必要条件是“m 是有理数”． 其中正确说法的序号是______ ．16.函数f(x)=cos2x+sin2x图象向左平移m(m>0)个单位，所得函数图象关于原点对称，则m的最小值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.在中，已知角，，，解此三角形。
上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题含解析
上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期高一数学期中考试试卷（满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分） 1.若52arcsin(2),43x π-=则x =____.【答案】2 【解析】 【分析】由反三角函数的定义得5sin (2)64x π=-，即可求解x . 【详解】由题意，52arcsin(2)43x π-=，所以5arcsin(2)46x π-=，由反三角函数的定义，5sin 264x π=-，即15224x =-，解得2x =. 故答案为：2【点睛】本题主要考查反三角函数的应用，属于基础题. 2.在公差d 不为零的等差数列{}n a 中，617,a =且31143,,a a a 成等比数列，则d =____【答案】3 【解析】 【分析】由数列{}n a 是等差数列得61517a a d =+=，由31143,,a a a 成等比数列，所以234311a a a =，联立两式求出1a 和d 即可.【详解】由题意，数列{}n a 是等差数列，所以61517a a d =+=①， 又31143,,a a a 成等比数列，所以234311a a a =，即()()()211124210a d a d a d ++=+②， 联立①②式，解得，12a =，3d =. 故答案为：3【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和等比中项的应用，考查学生计算能力，属于基础题.3.已知等比数列{}n a 中，160,4,n a a a >=则22232425log log log log a a a a +++=____【答案】4 【解析】 【分析】由对数的运算性质，()2223242522345log log log log log a a a a a a a a +++=，再由等比数列的下标性质，1623454a a a a a a ===，即可得到答案.【详解】由对数的运算性质，()2223242522345log log log log log a a a a a a a a +++=， 由等比数列下标性质，1623454a a a a a a ===， 所以()222425234lo log g 4log 24a a a a ===，即22232425log log log log 4a a a a +++=. 故答案为：4【点睛】本题主要考查等比数列的性质和对数的运算性质，属于基础题. 4.前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是______. 【答案】765 【解析】 【分析】前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列，利用求和公式即可得出.【详解】解：前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列.令()100271n =+-，解得15n =.∴前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和为()1521007652⨯+=.故答案为：765.【点睛】本题考查了等差数列的求和，重点考查了等差数列的定义，属基础题.5.在ABC ∆中，2220a b mc +-=（m 为常数），且cos cos cos sin sin sin A B CA B C+=，则m 的值是______. 【答案】3 【解析】 【分析】由已知等式可得2sin sin sin cos C A B C =，再由正弦定理将角化边得到2cos c ab C =，最后由余弦定理求出cos C 代入化简，即可求出参数的值. 【详解】解：cos cos cos sin sin sin A B CA B C+= ()cos sin cos sin sin sin sin cos A B B A C A B C ∴+= ()sin sin sin sin cos A B C A B C ∴+=2sin sin sin cos C A B C ∴=由正弦定理可得2cos c ab C =①根据余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=②由①②得2223a b c += 又因为2220a b mc +-= 所以3m = 故答案为：3【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于基础题. 6.已知等比数列{}n a 的各项都是正数，n S 为其前n 项和，若488,24,S S ==则16S =___【答案】120 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，利用等比数列求和公式分别表示出4S 和8S ，再计算16S 即可.【详解】由题意，设等比数列{}n a 的公比为()0q q >且1q ≠，则()441811a q S q--==，()8814112a q Sq-=-=，所以48413S q S =+=，解得42q =， 又()41118a q q--=，所以181a q=--， ()()16141618121201a q S q-==-⨯-=-.故答案为：120【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查学生的计算能力，属于基础题. 7.已知函数()3sin 4cos f x x x =+，[]12,0,x x ∈π，则()()12f x f x -的最大值是________． 【答案】9 【解析】 【分析】先将函数()f x 转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数()f x 在区间[]0,π上的最大值和最小值，从而得出结果．【详解】由题意可得：()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．由[0,]x π∈，[,]x ϕϕπϕ+∈+，3,2ππϕπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 4()5sin()5sin 545min f x πϕϕ∴=+=-=-⨯=-，()5sin 52max f x π==， 当12,[0,]x x π∈时，()()()12()5)49(max min f x f x f x f x -=-=--=． 故答案为：9【点睛】本题考查了三角函数的恒等变化，以及正弦函数图象的性质，正弦函数的最值，把函数化简()()5sin f x x ϕ=+是解题的关键，属于中档题．8.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，∠ABC =90°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且22,BD =则a +4c 的最小值为____【答案】18 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式找到a 和c 的关系，再结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】根据题意，90ABC ∠=，所以12ABC S ac =△， 因为BD 是ABC ∠的平分线，所以45ABD CBD ∠=∠=， 由三角形面积公式，112sin 22222ABDSBD c ABD c c =⨯⨯⨯∠=⨯⨯=， 112sin 22222CBDSBD a CBD c a =⨯⨯⨯∠=⨯⨯=， 因为ABCABD CBD S SS=+，所以12ac a c =+， 化简得，221a c+=， 所以()222828*********a c a c a c a c a c c a c a ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当28a cc a=，即2a c =，即6a =，3c =时，等号成立， 故答案为：18【点睛】本题主要考查三角形面积公式的应用和基本不等式求最值的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.9.已知数列{}n a 的前n 项和2212,n S n n =-数列{||}n a 的前n 项和,n T 则nT n的最小值____ 【答案】5 【解析】由n S 和1n S -的关系求出数列{}n a 的通项公式，再根据正负表示出数列{||}n a 的通项公式为144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，求出n T ，并表示出n T n ，再分别求出13n ≤≤和4n ≥时的最小值，即可判断nT n的最小值. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和2212n S n n =-()n N*∈，所以1121210a S ==-=-，当2n ≥时，()()12221221121414n n n n n n n S n a S -⎡⎤-----=-⎣⎦=-=，当1n =时，1411410a ⨯-=-=， 所以414n a n =-，当13n ≤≤时，0n a <，当4n ≥时，0n a >，所以144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，数列{||}n a 的前n 项和n T ，所以22212,1321236,4n n n n T n n n ⎧-+≤≤=⎨-+≥⎩，当13n ≤≤时，212n T n n =-+，当3n =时，n Tn 的最小值为6； 当4n ≥时，36212n n T n n=+-， 由对勾函数的性质，当4n =时，n Tn有最小值5；综上所述，n Tn的最小值为5故答案为：5【点睛】本题主要考查由n S 求数列通项公式的求法、等差数列前n 项和公式、对勾函数的应用，是一道综合性很强的题目，考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题. 10.在等差数列{}n a 中，若10100110100,910,S S S ===___【答案】990【分析】由等差数列前n 项和公式，利用1a 、d 来表示10S 和100S ，求出1a 和d ，再计算110S 即可. 【详解】由题意，设数列{}n a 公差为d ， 由等差数列前n 项和公式，101109101002S a d ⨯=+=， 1100109099100021a S d ⨯==+，解得，11009100a =，150d =-，所以11010091101091110990100250S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭. 故答案为：990【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，考查学生计算能力，属于基础题.11.设函数sin ,0(),2,0x x x f x x ⎧<=⎨≥⎩函数2lg(),0(),0x x g x x x -<⎧=⎨≥⎩则方程f （x ）=g （x ）根的数量为___个. 【答案】7 【解析】 【分析】作函数()f x 和()g x 的图象，利用数形结合的方法求解即可.【详解】由题意，作函数sin ,0()2,0x x x f x x ⎧<=⎨≥⎩和2lg(),0(),0x x g x x x -<⎧=⎨≥⎩的图象，当0x <时，0sin 1x ≤≤，()lg 101--=⎡⎤⎣⎦，所以10x <-时，()f x 和()g x 没有交点，100x -<<时，结合图像，()f x 和()g x 有5个交点；当0x ≥时，()2x f x =和2()g x x =有两个交点，分别为()2,4和()4,16；所以()()f x g x =根的数量为7个. 故答案为：7【点睛】本题主要考查方程的根的求法，涉及分段函数的表示，考查学生数形结合的能力，属于中档题.12.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和,n T 且736,2n n S n T n +=+则使得2k ka b 为整数的正整数k 有_____个. 【答案】3 【解析】 【分析】由等差数列前n 项和公式和7362n n S n T n +=+，设出n S ，求出n a ，设出n T ，求出n b ，再得到2k ka b 的表达式，即可求出2kka b 为整数的正整数k 的个数.【详解】由7362n n S n T n +=+，设()736n S mn n =+， 当1n =时，1143S a m ==，当2n ≥时，()11429n n n a S S m n -=-=+，1143S a m ==符合上式，所以()11429n n n a S S m n -=-=+；设()2n T mn n =+， 当1n =时，113T b m ==，当2n ≥时，()121n n n b T T m n -=-=+，113T b m ==符合上式，所以()121n n n b T T m n -=-=+；则()()2282915142121k k m k a b m k k +==+++， 当1,2,7k =时，2k ka b 为整数，所以使得2kka b 为整数的正整数k 有3个.故答案为：3【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.13.设等差数列{}n a 的各项都是正数，公差为d ，前n 项和为,n S若数列也是公差为d 的等差数列，则{}n a 的前6项和为_____ 【答案】9 【解析】 【分析】由题意，等差数列的前n 项和公式()112n n n S na d -=+，由数列为等差数列，表示出数列()1n d =-，联立两式求解出1a 和d ，即可计算{}n a 的前6项和.【详解】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和公式()112n n n S na d -=+，又数列()1n d =-，所以)()22111n S a n d n d =+-+-，所以)()()22111112n n a n d n d na d -+-+-=+， 解得，()2112na n d d =-+-， 当2n =时，21a d d =+-，当3n =时，21322a d d =+-，联立两式，解得114a =，12d =， 所以{}n a 的前6项和6165169422S ⨯=⨯+⨯= 故答案为：9【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的应用和前n 项和公式，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.14.若等差数列{}n a 满足22120110,a a +≤则201202203401M a a a a =++++的最大值为_____【答案】1000 【解析】 【分析】由题意，()221120010a a d ++≤，令1x a =，1200y a d =+，则公差200y xd -=，再由等差数列前n 项和公式得301200a M =，则3011322a x y =-+，当301a 取最大值时，直线301320x y a -+=与圆相切，由点到直线的距离公式求出301a 的最大值，即可求出M 的最大值.【详解】由题意，22120110a a +≤，即()221120010a a d ++≤，令1x a =，1200y a d =+，则等差数列{}n a 的公差200y xd -=， 则()2014012012022301034012002002a a M a a a a a+⨯===++++，30111330030020022y x a a d x x y -=+=+⨯=-+，即301320x y a -+=， ()221120010a a d ++≤为半径的圆内（包含圆周）， 所以301a 取最大值时，直线301320x y a -+=与圆相切，=301a 的最大值为5，所以max 20051000M =⨯=. 故答案为：1000【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和公式的应用、直线与圆的位置关系，考查学生分析转化能力，综合性较强，属于难题.二、选择题（本大题共20题，每题3分，满分60分）15.已知数列{}n a 为等差数列，若1598a a a ++=π，则()28cos a a +的值为（ ） A. -12B. C.12【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可知,1952a a a += ,求出5a ,再由2852a a a +=即可求解. 【详解】∵数列{}n a 为等差数列，1598a a a ++=π， ∴由等差数列的性质可得,1952a a a +=， 所以538a π=，即583a π=, 因为2852a a a +=,所以28163a a π+=， ∴281621cos()cos cos 332a a ππ+===-. 故选：A【点睛】本题考查等差数列的性质和三角函数的诱导公式;属于基础题. 16.ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c若6,a b ==，,,B A C 成等差数列，则B =（ ） A.6πB.56πC.6π或56π D.23π【答案】A 【解析】 【分析】B ，A ，C 成等差数列，可得2A ＝B +C ＝π﹣A ，解得A ．利用正弦定理可得sin B bsinAa=，即可得出．【详解】∵B ，A ，C 成等差数列，∴2A ＝B +C ＝π﹣A ， 解得A 3π=．则sinB1332sinbsinAaπ===， 又a ＞b ，∴B 为锐角． ∴B 6π=．故选：A ．【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数求值、等差数列的性质、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.若等差数列{}n a 和{}n b 的公差均为()0d d ≠，则下列数列中不为等差数列的是（ ） A. {}n a λ（λ为常数） B. {}n n a b + C. {}22n n a b - D. {}n n a b ⋅【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的定义对选项逐一进行判断，可得出正确的选项. 【详解】数列{}n a 和{}n b 是公差均为()0d d ≠的等差数列，则()11n a a n d +-=，()11n b b n d =+-，11n n a b a b ∴-=-.对于A 选项，()11n n n n a a a a d λλλλ++-=-=，数列{}n a λ（λ为常数）是等差数列； 对于B 选项，()()()()11112n n n n n n n n a b a b a a b b d +++++-+=-+-=，数列{}n n a b +是等差数列； 对于C 选项，()()()()222222221111n n n n n n n n ab a b a a b b ++++---=---()()()()()()111111112n n n n n n n n n n n n a a a a b b b b d a b a b d a b ++++++=-+--+=-+-=-，所以，数列{}22n n a b -是等差数列；对于D 选项，()()()211n n n n n n n n n n a b a b a d b d a b d d a b ++-=++-=++，不是常数，所以，数列{}n n a b 不是等差数列. 故选：D .【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式，注意等差数列定义的应用，考查推理能力，属于中等题.18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若15a =，24b =，60A =︒，则这样的三角形解的个数为（ ） A. 1B. 2C. 0D. 不确定【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理求出sin B 即可判断出解的个数 【详解】因为15a =，24b =，60A =︒所以由正弦定理得：sin sin a b A B= 即1524sin 60sin B=︒解得sin 1B =>，故无解 故选：C【点睛】本题考查的是正弦定理的运用，较简单. 19.已知函数()2tan 23f x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭.下列说法中错误的是（ ）A. 函数()f x 的定义域是12,3x x k k Z ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.B. 函数()f x 图象与直线12,3x k k Z =+∈没有交点C. 函数()f x 的单调增区间是5232,3,1k k k Z ⎛⎫-++∈⎪⎝⎭D. 函数()f x 的周期是2 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的性质逐个判定即可. 【详解】对A,()2tan 23f x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域满足122323x k x k ππππ+≠+⇒≠+,k Z ∈. 故A 正确.对B,由A 可知B 正确. 对C, ()2tan 23f x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递增区间即tan 23x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭的单调递减区间.即3,2232k x k k Z ππππππ+<+<+∈,化简得1722,33k x k k Z +<<+∈.故C 错误. 对D, ()f x 的周期是22ππ= ,故D 正确.故选：C【点睛】本题主要考查了正切型函数的性质判定.属于基础题.20.函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为（ ）. A. []0,1 B. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B 【解析】 【分析】 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到42333x πππ≤+≤，现利用余弦函数的的图象和性质求解. 【详解】因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以42333x πππ≤+≤所以11cos 232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ 所以cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域是11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B【点睛】本题主要考查了余弦函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21.函数y =sinx ，3[,]22x ππ∈的反函数是（ ）A. y =arcsinx ，x ∈[-1，1]B. y =-arcsinx ，x ∈[-1，1]C. y =π+arcsinx ，x ∈[-1，1]D. y =π-arcsinx ，x ∈[-1，1]【答案】D 【解析】 【分析】先由诱导公式得到()sin ,,22y x x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，再根据反函数的定义求解即可. 【详解】由题意，3sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则[]1,1y ∈- 所以()sin ,,22y x x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以arcsin x y π-=，[]1,1y ∈-， 所以arcsin x y π=-，[]1,1y ∈-，即3sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的反函数是arcsin y x π=-，[]1,1x ∈- 故选：D【点睛】本题主要考查反函数的求法，属于基础题.22.在ABC 中，若ABC 的面积为S ，且2244,2S b c a =+-=，则ABC 的外接圆的面积为（ ）A.4π B.2π C. 2πD. 4π【答案】C 【解析】 【分析】利用2244,2S b c a =+-=求得A ，由此利用正弦定理求得ABC ∆外接圆的半径，进而求得外接圆的面积. 【详解】由2244,2S b c a =+-=得2222sin bc A b c a ⋅=+-，所以222sin cos 2b c a A A bc+-==，由于A 是三角形的内角，所以π4A =.设三角形ABC 外接圆半径为r，由正弦定理得2sin a r r A ====，所以外接圆的面积为2π2πr ⋅=. 故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.23.已知曲线122:cos ,:sin(2),3C y x C y x π==+则下面结论正确的是（ ） A. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位，得到曲线2CB. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位，得到曲线2CC. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1,2纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位，得到曲线2CD. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1,2纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位，得到曲线2C 【答案】D【解析】 【分析】由诱导公式将cos y x =化为sin 2y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据图像变换规律，即可得到答案. 【详解】由题意，1C ：cos sin 2y x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭， 故将1C 上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 再把得到的曲线向左平移12π个单位，得到2sin 2sin 21223y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即曲线2C 的图像. 故选：B【点睛】本题主要考查诱导公式的应用和三角函数图像变换规律，属于基础题. 24.已知()()2sin (0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象关于直线6x π=对称，若存在12,x x R ∈，使得对于任意的x 都有()()()12f x f x f x ≤≤，且12x x -的最小值为2π，则ϕ等于（ ） A.12π B.6π C.4π D.3π 【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 的最大值和最小值对应的横坐标的距离，求得()f x 的半周期，由此求得ω的值，结合根据()f x 的对称轴列方程，求得ϕ的值.【详解】依题意存在12,x x R ∈，使得对于任意的x 都有()()()12f x f x f x ≤≤，所以()()12,f x f x 分别是()f x 的最小值和最大值，而12x x -的最小值为2π，所以π,π22T T ==，由()2ππ0T ωω==>解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+.由于()f x 的图象关于直线6x π=对称，所以ππ2sin 63f ϕ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为2或2-，即πsin 3ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为1或1-，由于ππ50,2336ππϕϕ<<<+<，所以πππ,326ϕϕ+==. 故选：B【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性和对称性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.25.若等比数列{}n a 的前n 项和3(2),n n S m =+则22212n a a a +++=（ ）A.413n - B. 4n -1C. 3(41)n-D. 无法确定【答案】C 【解析】 【分析】利用1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-，以及数列{}n a 为等比数列求出m 的值，再得到数列2{}n a 是等比数列，再由等比数列前n 项和公式求解即可.【详解】当1n =时，1113(2)63m m a S =⨯+=+=，当2n ≥时，1113(2)3(2)32n n n n n n m S S m a ---+-+⨯-===，因为数列{}n a 为等比数列，所以当1n =时，13632n m -⨯+=，解得1m =-， 所以数列{}n a 是以3为首项，2为公比的等比数列，当2n ≥时，()()212222132432n n n n aa---⨯==⨯，数列2{}n a 是以239=为首项，4为公比的等比数列， 所以()()2221291434114n n n a a a ⨯-+++==--.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的定义、通项公式和前n 项和公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.26.已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为4，其前n 项和为n S ，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A. 2(1)n n +B. 12(1)n n +C. 2(1)n n +D.21nn + 【答案】A 【解析】 【分析】由题得出数列前n 项和n S ，再用裂项相消法即可求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【详解】等差数列前n 项和公式为()112n n n S na d -=+，又14a =，4d =，所以()242122=+-=+n n n n n S n ，所以()2111111=22212+1⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n n n n n n S n ，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()111111111+12122312121⎛⎫⎛⎫=--++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭n nT n n n n . 故选：A【点睛】本题主要考查求数列前n 项和，解题的关键是会用裂项相消求数列前n 项和. 27.已知函数f （x ）是定义在R 上的单调递减函数，且f （x ）为奇函数，数列{}n a 是等差数列，1580,a >则123313314315()()()()()()f a f a f a f a f a f a ++++++的值（ ）A. 恒为负数B. 恒为正数C. 恒为0D. 可正可负【答案】A 【解析】 【分析】函数f （x ）是定义在R 上的单调递减函数，且f （x ）为奇函数，所以(0)0f =，当0x >时，()0f x <，所以可得158()0a f <，由等差数列{}n a 的性质可得131515820a a a +=>，即1315()()0f a f a +<，同理可以得到2314()()0f a f a +<，3313()()0f a f a +<，⋅⋅⋅，进而可以得到所求式子的符号.【详解】由题意，函数f （x ）是定义在R 上的单调递减函数，且f （x ）为奇函数， 所以(0)0f =，当0x >时，()0f x <；因为数列{}n a 是等差数列，且1580a >，所以158()0a f <， 又131515820a a a +=>，所以1315()()0f a f a +<， 同理，2314()()0f a f a +<，3313()()0f a f a +<，⋅⋅⋅， 所以123313314315()()()()()()0f a f a f a f a f a f a ++++++<故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的性质，函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于中档题. 28.已知函数f （x ）=asinx +cosx 的一条对称轴为,11x π=则函数g （x ）=sinx -acosx 的一条对称轴可以为（ ） A. 922x π=B. 1322x π=C. 1011x π=D. 1311x π=【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式化简()()f x x α=+，其中1tan aα=，由()f x 的一条对称轴是11x π=求出α，再根据辅助角公式化简()()g x x β=-，其中tan a β=，利用tan tan 1αβ⋅=，求出α和β的关系，即可求出()g x 的一条对称轴.【详解】由题意，()()sin cos f x a x x x α=+=+，其中1tan aα=， 因为()f x 的一条对称轴是11x π=，所以1,112ππαπ+=+∈k k Z ，解得119,22αππ=+∈k k Z ，函数()()sin cos g x x a x x β=-=-，其中tan a β=， 所以()g x 的对称轴是22,2πβπ=++∈x k k Z ，因为1tan tan 1a aαβ⋅=⋅=，所以sin sin 1cos cos αβαβ=， 即()cos cos sin sin cos 0αβαβαβ-=+=， 所以33,2παβπ+=+∈k k Z ，所以()()33131,211ππβπαπ=+-=+--∈k k k k k Z ，所以()g x 的一条对称轴()()3123121313,2112222πππππππ=++-+=+-+=+∈x k k k k k k k k Z ， 当0k =时，1322x π=. 故选：B【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，两角和差的余弦公式和三角函数的性质，考查学生的分析转化能力，属于中档题.29.《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A. 一尺五寸 B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸【答案】B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解.【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。
上海高一数学下期中试卷及详解(20200509131252).pdf
期中考试高一数学试题
姓名
学号
成绩 2013.4.
一 . 填空题 （本题满分 44 分 , 每小题 4 分）
1. 化简 1 2sin2cos2 的结果是
。
2. 如果 tan sin 0,且 0 sin cos 1, 那么 的终边在第
象限。
3. 若
k 360o 30o, k Z ，则其中在 720o : 720o之间的角有
AM 2 AN 2 2AM AN cos( 1 1 ) .
方案二：①需要测量的数据有：
7
1
，则
sin 2x
1，
2
6
66
2
6
2a 2asin 2x
a，
6
3a b 1
由题意得
2a 2a b 5
a 2, b 5.
当 a 0时，有 a 2asin 2x 6
2a ，
3a b 5
由题意得
2a 2a b 1
a 2, b 1.
（ 2）当 x
时, f x 取得最大值 .
12
(3) 当 a 0 时， f x
A . 充分条件但非必要条件
B . 必要条件但非充分条件
C . 充分必要条件
D . 既非充分条件又非必要条件
三、解答题 ( 本题满分 44 分)
D. ab 2
（）
（
）
16. （本题满分 8 分）已知一扇形的圆心角是
，所在的圆的半径为 r 。
（ 1）若 60 ,r 10cm ，求扇形的弧长；
（ 2）若扇形的周长是一定值 c c 0 ，当扇形的圆心角为多少时，该扇形的面积最大。
（ 2）若 sin
5 ，求 cos 的值。
2019-2020学年上海市上海师范大学附属中学2019级高一下学期期中考试数学试卷及答案
2019-2020学年上海师范大学附属中学2019级高一下学期期中考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)2020.06一. 填空题1. 已知集合{1,3,5,7,9}A =,{0,3,6,9,12}B =,则A B =2. 函数0()(2)f x x =-的定义域为3. 已知函数11()31x f x x x +>=-+≤⎪⎩,则[(5)]f f -= 4.“24x >”是“2x >”的 条件5. 不等式11x≤的解集是 6. 已知1x >,则41x x +-的取值范围是 7. 不等式22(1)2(1)10a x a x ----<的解集为R ,则实数a 的取值范围为8. 已知{(,)|1}M x y y x =≠+,{(,)|}N x y y x =≠-,{(,)|,}U x y x y =∈∈R R ,则()U M N =9. 已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,()22x f x x m =++（m 为常数）, 则()f m 的值为10. 设集合A 、B 是R 中两个子集,对于x ∈R ,定义01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩,01x B n x B∉⎧=⎨∈⎩,① 若A B ⊆,则对任意x ∈R ,(1)0m n -=；② 若对任意x ∈R ,0mn =,则A B ==∅；③ 若对任意x ∈R ,1m n +=,则A 、B 的关系为A B =R ；上述命题正确的序号是 （请填写所有正确命题的序号）11. 设a ∈R ,若0x >时,均有2[(1)1](1)0a x x ax ----≥,则a =12. 设关于x 的不等式222222(22)470(45)47x a x a a x a a x a a ++-+-<++--+-的解集是一些区间的并集,且这些区间的长度和（规定：(,)a b 的长度为b a -）不小于12,则a 的取值范围为 二. 选择题13. A 、B 、C 三个学生参加了一次考试,已知命题p ：若及格分高于70分,则A 、B 、C 都没有及格,则下列四个命题中为p 的逆否命题的是（ ）A. 若及格分不高于70分,则A 、B 、C 都及格B. 若A 、B 、C 都及格,则及格分不高于70分C. 若A 、B 、C 至少有一人及格,则及格分不高于70分D. 若A 、B 、C 至少有一人及格,则及格分高于70分14. 下列各组不等式中解集相同的是（ ）A. 22311x x x x -<--与223x x -<B. (3)(1)01x x x -+>+与30x ->C. 5x <与221153232x x x x x +<+-+-+D. (3)(1)03x x x -+>-与10x +> 15. 观察下列四个函数的图像,其中值域为[0,4]的函数是（ ）A. B. C. D.16. 已知非空集合A 、B 满足以下两个条件：（1）{1,2,3,4,5,6}A B =,A B =∅；（2）A 中的元素个数不是A 中的元素,B 中的元素个数不是B 中的元素； 则有序集合对(,)A B 的个数是（ ）A. 10B. 12C. 14D. 16三. 解答题17. 已知集合2{|514}A x y x x =--,集合2{|7120}B x x x =--->,集合{|121}C x m x m =+≤≤-.（1）求A B ；。
上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年下学期高一期中数学试题 含答案
上海市交大附中2019-2020学年下学期高一期中考试数学试卷2020.05一. 填空题 1. 41lim 1x n n n →∞+−=+ 2. 函数()2sin sin()2f x x x π=+的最小正周期 3. 三角方程tan23x =在(0,)3π的解x = 4. 用数学归纳法证明22n n >对任意n k ≥，*,n k ∈N 自然数都成立，则k 的最小值为5. 已知数列{}n a ，11a =且满足1211n n a a a a +++⋅⋅⋅+=−，则n a =6. 已知12lim()n x x x→∞−存在，则x 的取值范围是 7. 已知无穷等比数列各项的和等于2，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是8. 已知函数11()|sin cos |(sin cos )22f x x x x x =+−−，则()f x 的值域是 9. 将函数sin (0)y x ωω=>的图像向左平移6π个单位， 平移后的图像如图所示，则平移后的图像所对应函数的解析式是y =10. 在等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，都满足12313()32n n a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯−，则2222123lim()n x a a a a →∞+++⋅⋅⋅+= 11. 已知正数数列{}n a 满足132n n a a +≥+，且13n n a +<对*n ∈N 恒成立，则1a 的范围为12. 我们规定：对于任意实数A ，若存在数列{}n a 和实数x （0x ≠），使得 1A a =+2123n n a x a x a x −++⋅⋅⋅+，则称数A 可以表示成x 进制形式，简记为 123~()()()()n A x a a a a =⋅⋅⋅，如：2~(1)(3)(2)(1)A =−−则表示A 是一个2进制形式 的数，且23132(2)2125A =−+⨯+−⨯+⨯=，若数列{}n a 满足12a =，111k ka a +=−， *k ∈N ，123323133~()()()()()(n n n nb a a a a a a −−=⋅⋅⋅），*n ∈N 且n b 是一个等比数列的前n 项和，则这个等比数列的公比为二. 选择题13. 明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯 三百八十一，请问尖头几盏灯？”你的答案是（ ）A. 2盏B. 3盏C. 4盏D. 7盏14. 已知△ABC ，且222a b c =+，则△ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定15. 函数()sin(2))f x x x θθ=++的图像关于原点对称，且在[0,]4π上是减函 数，则θ的取值可以是（ ） A. 3π B. 23π C. 53π D. π 16. 已知等差数列{}n a ，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a 、4a 、8a 成等比数列， 则（ ）A. 10a d >，50dS >B. 10a d >，50dS <C. 10a d <，50dS <D. 10a d <，50dS >三. 解答题17. 已知等差数列{}n a 满足：311a =，798S =.（1）求数列{}n a 的通项公式n a 以及前n 项和n S ；（2）若从数列{}n a 中依次取出第2,4,8,,2,n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项，按原来的顺序构成一个新数列 {}n b ，试求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 已知函数2()2sin (0)2xf x x ωωω=−>的最小正周期为3π.（1）求函数()f x 在区间[]3,4ππ−上的最大值和最小值； （2）若函数()y f x =满足方程()(01)f x k k =<<，求此方程在[70,]2π内所有实数根之和的取值范围.19. 某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图 所示，已知已有两面墙的夹角为3π（即3ACB π∠=），墙AB 的长度为6米（已有两面墙 的可利用长度足够大），记ABC θ∠=.（1）若4πθ=，求△ABC 的周长（结果精确到0.01米）； （2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积即△ABC 的面积尽可能大，问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积.20. 设函数()sin()f x mx =，x ∈R .（1）若1(,1)2m ∈，且函数()f x 与lg y x =图像有正格点（横、纵坐标均为正整数）交点， 求m 的值；（2）已知882()33n n a nf =−（*n ∈N ），对于满足（1）中条件的m 的值，求数列{}n a 的 前2020项和2020S ；（3）若正实数m 使得()sin()f x mx =的图像关于直线4x π=对称，所有满足条件的m 构成 的数列记为{}n b ，且{}n b 单调递增，求12233411111lim()x n n b b b b b b b b →∞++++⋅⋅⋅+的值.21. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n ∈N ，都有(1)4(0)n n n m S ma m −=−+>.（1）若4m =，求证：数列1{}4n n a −是等差数列，并求此时数列{}n a 的通项公式； （2）若4m =，是否存在正整数p 、q （1p q <<），使得1a 、p a 、q a 成等差数列？ 若存在，求出所有p 、q 的值；若不存在，请说明理由；（3）设4n n na b =（*n ∈N ），若||2n b ≤，求实数m 的取值范围.上海市交大附中2019-2020学年下学期高一期中考试数学试卷参考答案一. 填空题1. 12. π3. 6π4. 55. 12n −6. 1[,1)37. (0,2)(2,4)8. [2 9. sin(2)3x π+10. 3 11. (0,8] 12. 27二. 选择题 13. B 14. A 15. B 16. D三. 解答题17.（1）32n a n =+，2372n n n S +=；（2）322n n b =⋅+，6262n n T n =⋅−+. 18.（1）2()2sin()136f x x π=+−，最大值为1，最小值为3−；（2）9(4,)2ππ. 19.（1）周长为617.6+≈米；（2）当θ为60°时，该活动室面积最大，最大面积为.20.（1）4π；（2）−；（3）42n b n =−，122311111lim()8x n n b b b b b b →∞+++⋅⋅⋅+=. 21.（1）11434n n n a a −−=+⋅，数列1{}4n n a −公差为3，1(31)4n n a n −=+⋅； （2）114(31)424(31)q p q p −−++=⋅+，即142(31)4(31)4q p p p q −−=+−+，左边为正，右边为负（或者左边非偶，右边为偶），等式不成立，即不存在；（3）11b =，11333()44444n n n n m m b b b b m m −−=+⇒+=+−−，113()444n n m m b m m −−=−−−. ∴014m <<，由||2n b ≤，可知3224m −≤−≤−，∴502m <≤。
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一第二学期期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．若cosα＝﹣，则cos2α＝．2．已知sinα＝，α∈（，π），则cosα＝．3．已知{a n}是等比数列，首项为3，公比为，则前4项的和为．4．若tanα＝3，则sin2α＝．5．等差数列{a n}的前n项和为S n，a4＝1，则S7＝．6．已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积S＝．7．在数列{a n}中，a2＝5，a n+1﹣a n＝2n（n∈N*），则数列{a n}的通项a n＝．8．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝，若c2sin A＝4sin C，B＝，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．9．函数的图象向右平移个单位后与函数f（x）的图象重合，则下列结论中正确的是．①f（x）的一个周期为﹣2π；②f（x）的图象关于x＝﹣对称；③x＝是f（x）的一个零点；④f（x）在单调递减．10．已知函数f（x）＝3sin x+4cos x，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）﹣f（x2）的最大值是．11．在锐角△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c．若a2+b（b﹣a）＝1，c ＝1，则a﹣b的取值范围为．12．已知数列{a n}满足a1＝4，a n＝2a n﹣1+2n（n≥2，n∈N*），若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．二.选择题13．函数y＝2sin，x∈R的最小正周期为（）A．12B．6C．D．14．已知k∈Z，下列各组角中，终边相同的是（）A．2kπ与kπB．2kπ+π与4kπ±πC．kπ+与2kπ±D．与kπ±15．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[）16．有一个三人报数游戏：首先A报数字1，然后B报下两个数字2，3，接下来C报下三个数字4，5，6，然后轮到A报下四个数字7，8，9，10，依次循环，直到报出10000，则A报出的第2020个数字为（）A．5979B．5980C．5981D．以上都不对三.解答题17．在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2+c2﹣b2＝ac．（1）求B；（2）若a+c＝6，三角形的面积S△ABC＝2，求b．18．已知S n为{a n}的前n项和，{b n}是等比数列且各项均为正数，且S n＝n，b1＝2，b2+b3＝．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．19．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON＝，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧上，且线段AB平行于线段MN．（1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB＝θ，求A在上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？20．设正项数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，q为非零正常数，数列{lg（a n）}是公差为lgq的等差数列．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）求证：数列是递增数列；（3）是否存在正常数c，使得{lg（c﹣S n）}为等差数列？若存在，求出c的值和此时q 的取值范围；若不存在，说明理由．21．数列{a n}满足a n a n+1a n+2＝a n+a n+1+a n+2（a n a n+1≠1，n∈N*），且a1＝1，a2＝2，若a n＝A sin（ωx+φ）+c（A≠0，ω＞0，|φ|＜）的形式表示．（1）求a3的值；（2）证明3为数列{a n}的一个周期，并用正整数k表示ω；（3）求{a n}的通项公式．参考答案一.填空题（共12小题）.1．若cosα＝﹣，则cos2α＝．【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．解：∵cosα＝﹣，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×﹣1＝．故答案为：．2．已知sinα＝，α∈（，π），则cosα＝﹣．【分析】由sinα的值，及α的范围，判断出cosα为负数，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值即可．解：∵sinα＝，α∈（，π），∴cosα＜0，则cosα＝﹣＝﹣，故答案为：﹣3．已知{a n}是等比数列，首项为3，公比为，则前4项的和为．【分析】利用等比数列前n项和公式能求出等比数列前4项的和．解：{a n}是等比数列，首项为3，公比为，则前4项的和为S4＝＝．故答案为：．4．若tanα＝3，则sin2α＝．【分析】利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式，把要求的式子化为，把已知条件代入运算求得结果．解：∵tanα＝3，∴sin2α＝2sinαcosα＝＝＝＝．故答案为：．5．等差数列{a n}的前n项和为S n，a4＝1，则S7＝7．【分析】先由等差数列的性质可得a1+a7＝2a4，再根据等差数列的求和公式代入即可．解：根据题意，等差数列{a n}中，a1+a7＝2a4，则S7＝×7＝7a4＝7，故答案为7．6．已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积S＝．【分析】利用S＝，即可求得结论．解：∵扇形的圆心角为，半径为5，∴S＝＝＝故答案为：7．在数列{a n}中，a2＝5，a n+1﹣a n＝2n（n∈N*），则数列{a n}的通项a n＝2n+1．【分析】直接利用递推关系式和累加法求出数列的通项公式．解：由题意可得：，利用累加法，得：，a1＝3，于是：．故答案为：2n+18．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝，若c2sin A＝4sin C，B＝，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．【分析】根据已知利用正弦定理可得ac＝4，根据余弦定理可得a2+c2﹣b2＝4，利用三斜公式即可求解．解：根据正弦定理，由c2sin A＝4sin C，得ac＝4，则由B＝，得：a2+c2﹣b2＝4，则△ABC的面积S＝＝．故答案为：．9．函数的图象向右平移个单位后与函数f（x）的图象重合，则下列结论中正确的是①②③．①f（x）的一个周期为﹣2π；②f（x）的图象关于x＝﹣对称；③x＝是f（x）的一个零点；④f（x）在单调递减．【分析】推导出f（x）＝sin[2（x﹣）+]＝sin（2x﹣），由此能求出结果．解：∵函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位后与函数f（x）的图象重合，∴f（x）＝sin[2（x﹣）+]＝sin（2x﹣），∴f（x）的一个周期为﹣2π，故①正确；y＝f（x）的对称轴满足：2x﹣＝kπ+，k∈Z，∴当k＝﹣2时，y＝f（x）的图象关于x＝﹣对称，故②正确；由f（x）＝sin（2x﹣）＝0，得x＝+，∴x＝是f（x）的一个零点，故③正确；当x∈（﹣，）时，2x﹣∈（﹣，），∴f（x）在（﹣，）上单调递增，故④错误．故答案为：①②③．10．已知函数f（x）＝3sin x+4cos x，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）﹣f（x2）的最大值是9．【分析】本题先将函数f（x）转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值，从而得出结果．解：由题意，可知：f（x）＝3sin x+4cos x＝5•（sin x+cos x）＝5sin（x+θ），其中sinθ＝，cosθ＝．∵sinθ＝，可知sin＝，∴对于函数f（x）＝5sin（x+θ），可知：sin x向左平移θ个单位得到sin（x+θ），再将sin（x+θ）的图象沿y轴伸长到原来的5倍得到5sin（x+θ）．由题意，可知求f（x1）﹣f（x2）的最大值就是求函数f（x）＝5sin（x+θ）在区间[0，π]上的最大值与最小值之差．又函数f（x）＝5sin（x+θ）在区间[0，π]上的图象如下：由图象可知，在区间[0，π]上，当x＝时，f（x）取最大值5，当x＝π时，f（x）取最小值5sin（π+θ）＝﹣5sinθ＝﹣4．∴在区间[0，π]上，f（x1）﹣f（x2）的最大值是5﹣（﹣4）＝9．故答案为：9．11．在锐角△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c．若a2+b（b﹣a）＝1，c ＝1，则a﹣b的取值范围为（1，）．【分析】先根据余弦定理求得角C，结合正弦定理把a﹣b转化为2（sin A﹣sin B），再结合AB之间的关系求出角A的范围，与正弦函数相结合即可求得结论．解：因为在锐角△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c．∵a2+b（b﹣a）＝1，c＝1⇒a2+b2﹣ab＝c2⇒2cos C＝⇒cos C＝⇒C＝30°，∴＝＝＝＝2；∴a＝2sin A，b＝2sin B；∴a﹣b＝2（sin A﹣sin B）＝2[sin A﹣sin（150°﹣A）]＝2[sin A﹣（cos A+sin A）]＝2（sin A﹣cos A）＝2sin（A﹣30°）；∵0°＜A＜90°，0°＜B＜90°，A+B＝150°；∴60°＜A＜90°；∴30°＜A﹣30°＜60°⇒2sin（A﹣30°）∈（1，）；故a﹣b∈（1，）；故答案为：（1，）．12．已知数列{a n}满足a1＝4，a n＝2a n﹣1+2n（n≥2，n∈N*），若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．【分析】首先利用构造新数列法的应用求出数列的通项公式，进一步利用函数的恒成立问题的应用和函数的导数的应用求出结果．解：数列{a n}满足a1＝4，a n＝2a n﹣1+2n（n≥2，n∈N*），则：（常数），所以数列{}是以为首项，1为公差的等差数列．所以，整理得，不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n对任意n∈N*恒成立，所以＝，所以对任意的n∈N*恒成立，所以设f（n）＝，故，当n＝1，2时，f′（n）＞0，当n≥3时，f′（n）＜0，所以f（2）＝，f（3）＝．所以．故答案为：（﹣）．二.选择题13．函数y＝2sin，x∈R的最小正周期为（）A．12B．6C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的周期为，得出结论．解：函数y＝2sin，x∈R的最小正周期为＝12，故选：A．14．已知k∈Z，下列各组角中，终边相同的是（）A．2kπ与kπB．2kπ+π与4kπ±πC．kπ+与2kπ±D．与kπ±【分析】分别写出选项中所表示的终边所在的角的集合，逐一核对即可．解：2kπ（k∈Z）表示终边在x轴非负半轴上的角的集合，kπ（k∈Z）表示终边在x轴上的角的集合，两组角终边不同；2kπ+π与4kπ±π（k∈Z）都表示终边在x轴非正半轴上的角的集合，两组角终边相同；kπ+（k∈Z）表示终边与和终边相同的角的集合，2kπ±（k∈Z）表示终边与和﹣终边相同的角的集合，两组角终边不同；（k∈Z）表示终边在坐标轴上的角的集合，kπ±（k∈Z）表示终边在y轴上的角的集合，两组角终边不同；故选：B．15．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[）【分析】利用辅助角公式化积，由x的范围得到∈[，]，再由函数f（x）在[0，π]上有两个零点，可得2π≤ωπ+＜3π，由此求得ω的取值范围．解：f（x）＝sinωx+cosωx＝，∵x∈[0，π]，∴∈[，]，要使函数f（x）在[0，π]上有两个零点，则2π≤ωπ+＜3π，解得：≤ω＜．∴ω的取值范围为[，）．故选：B．16．有一个三人报数游戏：首先A报数字1，然后B报下两个数字2，3，接下来C报下三个数字4，5，6，然后轮到A报下四个数字7，8，9，10，依次循环，直到报出10000，则A报出的第2020个数字为（）A．5979B．5980C．5981D．以上都不对【分析】首先分析出A第n次报数的个数为3n﹣2，进一步求出3人以公报的次数，进一步利用前n项和公式的应用求出结果．解：由题意可得：A第n次报数的个数为3n﹣2，则A第n次报完数后共报的个数为．再代入正整数n，使得T n≥2020，解得：n的最小值为37，得T37＝2035．而A第37次报时，3人总共报了36×3+1＝109次，当A第109次报完数3人总的报数个数为．即A报出的第2035个数字为5995，故A报出的第2020个数字为5980．故选：B．三.解答题17．在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2+c2﹣b2＝ac．（1）求B；（2）若a+c＝6，三角形的面积S△ABC＝2，求b．【分析】（1）由已知结合余弦定理可求cos B，进而可求B；（2）由已知结合三角形的面积公式可求ac，进而可求．解：（1）因为a2+c2﹣b2＝ac．由余弦定理可得，cos B＝＝，因为B为三角形的内角，所以；（2）∵a+c＝6，三角形的面积S△ABC＝＝＝2，∴ac＝8，∵a2+c2﹣b2＝ac，∴（a+c）2﹣b2＝3ac，∴36﹣b2＝24，∴b＝218．已知S n为{a n}的前n项和，{b n}是等比数列且各项均为正数，且S n＝n，b1＝2，b2+b3＝．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）先由a n＝S n﹣S n﹣1求得a n，再检验n＝1时是否适合，从而求得a n．设等比数列{b n}的公比为q，由题意列出q的方程，求得q，进而求得b n；（2）由（1）求得c n，再利用错位相减法求其前n项和T n．解：（1）∵S n＝n，∴当n≥2时，有a n＝S n﹣S n﹣1＝n﹣＝3n﹣1，又当n＝1时，有S1＝＝2＝a1也适合，∴a n＝3n ﹣1．设等比数列{b n}的公比为q，由题意得：，解得q＝，故；（2）由（1）得c n＝（3n﹣1）•（）n﹣2，∴T n＝2×（）﹣1+5×（）0+8×（）1+…+（3n﹣1）×（）n﹣2①，又＝2×（）0+5×（）1+8×（）2+…+（3n﹣1）×（）n﹣1②，由①﹣②得：＝4+3[1++（）2+…+（）n﹣2]﹣（3n﹣1）×（）n﹣1＝4+3×+（1﹣3n）×（）n﹣1＝10﹣（3n+5）•（）n﹣1∴．19．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON＝，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧上，且线段AB平行于线段MN．（1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB＝θ，求A在上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【分析】（1）作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB＝θ（0＜θ＜），求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值．解：（1）如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，∴∠AOB＝，∴AB＝2R sin，OH＝R cos，OE＝DE＝AB＝R sin，∴EH＝OH﹣OE＝R（cos﹣sin），S＝AB•EH＝2R2（sin cos﹣sin2）＝，（2）设∠AOB＝θ（0＜θ＜），则AB＝2R sin，OH＝R cos，oe＝AB＝R cos，OE＝AB＝R sin，∴EH＝OH﹣OE＝R（cos﹣sin），S＝AB•EH＝R2（2sin cos﹣2sin2）＝R2（sinθ+cosθ﹣1）＝R2[sin（θ+）﹣1]，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴θ+＝即θ＝时，S max＝（﹣1）R2，此时A在弧MN的四等分点处．答：当A在弧MN的四等分点处时，S max＝（﹣1）R2．20．设正项数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，q为非零正常数，数列{lg（a n）}是公差为lgq的等差数列．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）求证：数列是递增数列；（3）是否存在正常数c，使得{lg（c﹣S n）}为等差数列？若存在，求出c的值和此时q 的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据题意得a1＝1，根据题意可得lg（a n）＝lg（a1）+（n﹣1）lgq＝lg1+（n﹣1）lgq＝lgq n﹣1，即a n＝q n﹣1，分当q＝1时，当q≠1时，两种情况写出S n（2）当q＝1时，S n＝n，＝1﹣随着n的增大而增大，当q＞0，q≠1时，﹣＝﹣＝＜0，可得数列是递增数列；（3）假设存在正常数c使得{lg（c﹣S n）}为等差数列，若{lg（c﹣S n）}为等差数列，可得q≠1，lg（c﹣+）＝lg＝nlgq﹣lg（1﹣q）为等差数列，即可求出c＝（0＜q＜1）．解：（1）根据题意得a1＝1，因为数列{lg（a n）}是公差为lgq的等差数列，所以lg（a n）＝lg（a1）+（n﹣1）lgq＝lg1+（n﹣1）lgq＝lgq n﹣1，所以a n＝q n﹣1，当q＝1时，S n＝n，当q≠1时，S n＝＝，所以．（2）证明：当q＝1时，S n＝n，所以＝＝1﹣随着n的增大而增大，当q＞0，q≠1时，S n＝，＝，由﹣＝﹣＝＜0，可得数列是递增数列；（3）假设存在正常数c使得{lg（c﹣S n）}为等差数列，当q＝1时，S n＝n，q≠1，S n＝，{lg（c﹣S n）}为等差数列，可得q≠1，lg（c﹣+）＝lg＝nlgq﹣lg（1﹣q）为等差数列，则有c＝（0＜q＜1）．21．数列{a n}满足a n a n+1a n+2＝a n+a n+1+a n+2（a n a n+1≠1，n∈N*），且a1＝1，a2＝2，若a n＝A sin（ωx+φ）+c（A≠0，ω＞0，|φ|＜）的形式表示．（1）求a3的值；（2）证明3为数列{a n}的一个周期，并用正整数k表示ω；（3）求{a n}的通项公式．【分析】（1）代值计算即可，（2）分别令n＝1，2，3，即可证明，根据周期公式即可求出，（3）分别由a1＝1，a2＝2，a3＝3，可得1＝A sin（+φ）+c，2＝﹣A sin（+φ）+c，3＝A sinφ+c，解得即可求出．解：（1）当a1＝1，a2＝2，a1a2a3＝a1+a2+a3，解得a3＝3；（2）当n＝2时，6a4＝2+3+a4，解得a4＝1，当n＝3时，3a5＝1+3+a5，解得a5＝2，…，可得a n+3＝a n，当a1＝1，a2＝2，a3＝3；故3为数列{a n}的一个周期，则＝3，k∈N*，则；（3）由（2）可得a n＝A sin（n+φ）+c，则1＝A sin（+φ）+c，2＝﹣A sin（+φ）+c，3＝A sinφ+c，即1＝A•cosφ﹣A•sinφ+c，①2＝﹣A•cosφ﹣A•sinφ+c，②由①+②，可得3＝﹣A sinφ+2c，∴c＝2，A sinφ＝1，①﹣②，可得﹣1＝A•cosφ，则tanφ＝﹣，∵|φ|＜，∴φ＝﹣，∴A＝﹣，故．。