2009年春季工学硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷
研究生《数值分析》试卷(带答案)
2009级研究生《数值分析》试卷一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xy y x y x u 223),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.解：)(23)(6)(),()(),()(222y x y x x x y xy y y y x u x x y x u u εεεεε⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂≈ 6.016.044.001.0)412(01.0)448(=+=⨯++⨯-= 0.010714566.03)()(22=≈+=xy y x u u r εε 二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .解：21142512)1()2(]2,1[,311401)0()1(]1,0[=-=--==-=--=f f f f f f9232102]1,0[]2,1[]2,1,0[=-=--=f f f ,0!4)(]4,3,2,1,0[)4(==ξff 三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度.解：记⎰=10)(dx x f I )]1(')0('[121)]1()0([21f f f f I n -++= 1)(=x f 时：1110==⎰dx I1]00[121]2[21=-+=n I x x f =)(时：2110==⎰xdx I 21]11[121]1[21=-+=n I2)(x x f =时：31102==⎰dx x I 31]20[121]1[21=-+=n I3)(x x f =时：41103==⎰dx x I 41]30[121]1[21=-+=n I 4)(x x f =时：51104==⎰dx x I 61]40[121]1[21=-+=n I求积公式)]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰具有3次代数精度. 四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ.解：0))(),(())(),((21))(),((1101101100=====⎰⎰--dx x x x x x dx x x ϕϕϕϕϕϕ32))(),(())(),(())(),((112110220====⎰-dx x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ0))(),(())(),((1131221===⎰-dx x x x x x ϕϕϕϕ 52))(),((11422==⎰-dx x x x ϕϕ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛154153234520320320320221a a a 得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛15161210a a a 则)(x f 的最佳平方逼近多项式为：1516)(2-+=x x x p 五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表((2) 分别求出满足条件22k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示. 解：12)12)(02()1)(0()20)(10()2)(1()(22+-=----+----=x x x x x x x L12)1)(0(1)0)(1(1)(22+-=--+--+=x x x x x x N 令)2)(1()(12)(24--+++-=x x x b ax x x x H则)2()()2)(1)(()2)(1(22)('4-++--++--+-=x x b ax x x b ax x x ax x x H)1()(-++x x b ax由 ⎩⎨⎧-=+=+⇒⎩⎨⎧=-++-=-=-++-=1220)12(2)2(24)2('2)21)((22)1('44b a b a b a H b a H ,解得 5,3=-=b a 因此1820143)2)(1()53(12)(23424++-+-=--+-++-=x x x x x x x x x x x H 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈110)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .解：过点（1，-1）和点（3，1）作直线得 y t x +=所以积分⎰⎰-+=11312dt t dx x由三次Legendre 多项式 )35(21)(33x x x p -=得得Gauss 点： ,515,0,515210==-=x x x再由代数精度得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==+-==++⎰⎰⎰---32535305155152111220112011210dt x A A dt x A A dt A A A即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=++9/10022020210A A A A A A A 解得 ,95,98,95210===A A A所以三点Gauss-Legendre 求积公式为：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈⎰-5159509851595)(11f f f dx x f 因此 79746.2515295298515295211=+++-≈+=⎰-dx t I七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ). 解：令 2ln )(--=x x x f),1(,011)('∞∈>-=x xx f > 即)(x f 在区间 ),1(∞ 单调增又 04)(,02ln )2(22>-=<-=e e f f 所以 02ln =--x x 在区间 ),1(∞有一单根 ),1(20e x ∈ Newton 迭代公式为1ln 112ln 1-+=----=+k k k k kk k k k x x x x x x x x x令 20=x 计算得八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解. 解： 由计算公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-===+====-1,,2,,,2,,111111n i c n i b a c b i i ii i i i i i βααβγγβαα得 ,2,1,1,21,1,24321111======γγγββαα25211322212=⨯-=⇒=+ααβγb 52222222==⇒=αββαc c 53521133323=⨯-=⇒=+ααβγb 35333333==⇒=αββαc c37352144434-=⨯-=⇒=+ααβγb因此 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛135152121137253125121211113112即 LU A = 令 b Ly = 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-022137253125124321y y y y 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23753214321y y y y 令 y Ux =解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛237532113515212114321x x x x 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21104321x x x x九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .解：)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y )](')('[)(1-++=n n n x by x ay h x y])('''21)('')('[)(')(2++-++=n nn n n x y h x hy x y hb x hay x y ++-++=)('''21)('')(')()(32n n n n x by h x by h x y b a h x y对比 ++++=+)('''61)(''21)(')()(321n n n n n x y h x y h x hy x y x y得 ⎩⎨⎧==+2/11b b a ， 即 2/1==b a 时该计算格式具有二阶精度.。
05-09级数值分析试卷
的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分
I e dx
1
2
1 x
dy f ( x, y ) 八、 （14 分）对于下面求解常微分方程初值问题 dx 的单步法： y ( x0 ) y 0
1 1 y n 1 y n h( 2 k1 2 k 2 ) k1 f ( x n , y n ) k f ( x h, y hk ) n n 1 2
xi yi
-2 0
-1 1
0 2
1 1
2 0
试用二次多项式 p( x) ax 2 bx c 拟合这些数据。 四、 （14 分）已知 y f ( x) 的数据如下：
xi f ( xi ) f ( xi )
1 2
2 4 3
3 12
（1）求 f ( x) 的 Hermite 插值多项式 H 3 ( x) ； （2）为求 f ( x)dx 的值，采用算法： f ( x)dx H 3 ( x)dx R
武 汉 大 学
2005~2006 学年第一学期硕士研究生期末考试试题
科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、 （15 分）设求方程 12 3x 2 cos x 0 根的迭代法 2 xk 1 4 c o s xk 3 (1) 证明对 x0 R ,均有 lim xk x * ,其中 x * 为方程的根.
2 1 x1 7 1 1 x 2 3
（1） 用 Doolittle 分解法求解方程组； （2） 求矩阵 A 的条件数 Cond ( A) 二、 （12 分）设 A 为 n 阶对称正定矩阵，A 的 n 个特征值为 1 2 n ，为 求解方程组 Ax b ，建立迭代格式 x ( k 1) x ( k ) (b Ax ( k ) ) ，求出常数 的取 值范围，使迭代格式收敛。 三、 （12 分）已知数据
(完整版)2009研究生数值分析试题及答案-石家庄铁道大学,推荐文档
姓名学号评分时间120分钟石家庄铁道学院 2009 级硕士研究生考试试卷参考答案及评分标准课程名称 数值分析 任课教师 王亚红一.(1-6题 2分/空;7-10题 3分/空)1. 3，32. 43. -34. )()(max x P x f bx a -≤≤5. )2)(1(!4)(),2(2)4(2--+-x x x f x x ξ 6. 33,3321=-=x x 7. 21<a8.Λ,2,1,0,211721=--=+k x x x x kkk k 9. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=323/22/3212L 10.1,...,2,1,1--=⎩⎨⎧-==+n n k x d x d x k k k kn n β 二(16分).1. 解 :⎢⎢⎢⎣⎡221213112⎥⎥⎥⎦⎤ =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-32/12/1112132/112/31------8分解,b Ly =得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=304y解,y Ux =得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111x . -----------------------------------------------12分2.Jacobi 迭代法计算公式:初始向量)0(x⎪⎩⎪⎨⎧--=--=--=+++2/)25()236(2/)4()(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x , Λ,2,1,0=k ------------------------------16分-----------------------------------7分)2)(1)(1(245)1)(1(65)1(233))()(](,,,[))(](,,[)](,[)()(21032101021001003--+--++++-=---+--+-+=x x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N--------------------10分2.(10分)根据最小二乘原理∑=--=302))((i i i y b ax I 最小，----2分有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00aI bI即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑i i i ii i x y y a b xxx 24----------------------8分即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36915554a b ，解得b =1.2857，a =2.8286 拟合曲线2857.18286.2+=x y ----------------------10分 四(16分)解: 1．+----=))(())(()()(2010210x x x x x x x x x f x L ))(())(()(2101201x x x x x x x x x f ----+))(())(()(1202102x x x x x x x x x f ---- ------------------------------6分计算=)(0'x L ()()()()2104321x f x f x f h-+- ----------------9分 )()(0'0'x L x f ≈=()()()()2104321x f x f x f h-+- ------------------------------------------12分2．)()(),,(210x L x f x x x ≈∈,))()!1()(()()(1)1(2'++'='++x n f x L x f n n ωξ, x x n f n n 与ξωξ,))()!1()((1)1('+++有关, )()(),,(210x L x f x x x '≈'∈无法估计. )(,2x L x '不是插值节点时当的值不能作为)('x f 的近似值.-----------------16分 五. 解 1．(8分)Λ004.041.10=-I 21021-⨯≤------------------2分 2000011102110)~(10)1~10(110~-⨯⨯≤-=---=-I I I I I I ------------------------4分22111122102110)~(10)1~10(110~-⨯⨯≤-=---=-I I I I I I类推有 8210999910101021102110~10)1~10(110~--⨯=⨯⨯≤-=---=-I I I I I I-----------6分计算到10I 时，误差限为初始0I 的误差限的1010倍，每递推一次误差扩大10倍， 所以这个计算过程是不稳定的。
2009硕士生数值分析试题
2009年中南大学硕士研究生“数值分析”课程试题（闭卷，可自带计算器，120分钟）一、设分段多项式（8分）S(x)=⎩⎨⎧≤≤-++≤≤+21,1210,2323x cx bx x x x x是以x = 0，1，2为节点的三次样条函数，试确定系数b ，c 的值。
二、设)3()(2-+=Φx c x x ，问如何选取 c 能保证迭代法)(1k k x x Φ=+具有局部收敛性。
（8分）三、利用列主元素消去法解方程：（8分）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∙⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---453311294642321x x x四、求()xf x e =在[0，1]上的一次最佳平方逼近多项式。
（8分）五、已知函数表如下，试用抛物插值求125的近似值，估计截断误差。
（14分）利用Romberg 方法计算积分：dx xx⎰1sin （计算到第一个Romberg 值）。
七、利用改进的Euler 法求解如下初值问题：（14分）,1)0(6.00,2)('⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤-=y x y x y x y 取步长 h =0.3 。
八、利用反幂法和矩阵的LU 分解技术求下列矩阵A 接近于 p = -6.4 的特征值及其特征向量（保留3位小数迭代计算2次，分解后取1(1,1,1)T Uv =），-1212-4111-6A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
（14分）九、方程组AX=b ， 其中10101a A a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
试建立解线性方程组AX=b 的雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，并讨论a 取何值时迭代收敛。
（12分）。
09下数值分析答案(A)
《数值分析》I课程试题参考答案及评分标准（中文试卷）( A卷)适用专业年级：信息与计算科学07级 考试时间: 100分钟命题人：吕勇一、解------------------------------------------------------5分则插值多项式。
---------------------------------------- -------10分二、 证明设，以为节点的Lagrange插值多项式为 --3分余项为-----------------------------------------------------6分由于为线性函数，当时，。
--------------------------------9分则：，所以结论得证-------------------------------------------------10分三、证明 ----------------------------------------------------5分-------------------------8分 ---------------------------------------------------10分四、证明设则根据插值多项式原理-------------------------------------------------------------------------------------6分两端在上积分-------------------------------------------------------------10分五、解设，。
--------------------------------------------------------------------3分，---------------------------------------------------------------6分，。
2009数值分析试卷A答案
南京工业大学 数值分析 试题（A ）答案2009--2010 学年第一学期 使用班级 信科0701应数0701一、填空题 （每小题3分，共30分）1．已知974997.999995≈，则≈-9995100 0.025003126 具有 8 位有效数字。
2．对f(x)=2x 4+x+1,差商f[0,1,2,3,4]= 2 ;f[0,1,2,3,4,5]= 0 。
3．设方程x=ϕ(x)有根x *,且设ϕ(x)在含x *的区间(a,b)内可导，设x 0∈(a,b)则迭代格式x k+1=ϕ(x k )收敛的充要条件为 1|)(|*<'x ϕ 。
4．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011001001001....A ,||A||∝= 2.01 ,cond(A)∝= 404.01 。
5．中矩形公式：)()2()(a b b a f dx x f ba -+=⎰的代数精度为 2 。
6．在区间[1，2]上满足插值条件⎩⎨⎧==1)2(2)1(P P 的一次多项式P(x)= 3-x 。
7．设∑==n k k k n x f A f I 0)()(是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式，则 ∑=n k k A0= a b - 。
8．梯形公式和改进的Euler 公式都是 2 阶的。
9．在区间[0，1]上，函数a x x +=)(1ϕ与函数22)(x x =ϕ正交，则a= -0.75 。
10．求解线性方程组Ax=b 的迭代格式x (k+1)=Jx (k)+f 收敛的充要条件为 1)(<J ρ 。
二、计算题 （每题8分，共48分）1．试用Gauss 消元法解下列方程组，计算过程按5位小数进行：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---08.255.190.05.11.40.10.15.26.15.05.12.3321x x x （写出详细过程！） 解：A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2524.01010.0001000.12500.12500.309000.05000.05000.12000.3 （4分） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2.5000 1.0000 0 0 1.3000 0 1.0000 0 0.5000 0 0 1.0000~ （3分）所以方程组的解为：5.2,3000.1,5000.0321===x x x （1分）2. 给出f(x)的函数表，（1）在表中填上指定阶的差商；（2）写出f(x)的2次牛顿插值多项式；解：（一）表如上 （3分）（二）)55.0x )(4.0x (28000.0)4.0x (116.141075.0)x (f --+-+≈ （3分）（三）截断误差)65.0x )(55.0x )(4.0x (6)(f R )3(---=ξ （2分）3.求解超定方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32121111121x x 的最小二乘解。
东南大学2009年研究生入学试题 数学分析
东 南 大 学 二〇〇九年攻读硕士学位研究生入学考试试题试题编号：601 试题名称：数学分析一．判断题（判断下列命题正误,若正确请证明,否则请给出反例说明（本题共4小题,每题6分,满分24分）.1.[,]a b 上每个单调函数至多有可列个间断点.2.在有界闭区间[,]a b 上黎曼可积的函数必在[,]a b 上有原函数.3.若n a 非负、单调递减,且lim 0n n na →∞=,则级数1n n a ∞=∑收敛. 4.曲线221x y +=上每一点的某邻域内可确定隐函数()y y x =.二．计算题（本题共6小题,每题8分,满分48分）.5.求极限21lim[ln(1)]x x x x→∞+-. 6.求极限2222212lim (1)(1)(1)n n n n n n→∞+++ . 7.求幂级数143nn x n ∞=-∑的和函数(0)x ≥. 8.求曲线2226,0x y z x y z ++=++=在点(1,2,1)-处的切线方程.9.计算曲线积分22C ydx xdy I x y -=+⎰,其中C 为曲线33cos ,sin (0)2x t y t t π==≤≤的一段.10.计算曲面积分22(1)84x dydz xydzdx xzdxdy ∑-+-⎰⎰,其中∑是由曲线(0)y x e y a =≤≤绕x 轴旋转所成的旋转曲面,取外侧.三．解答题（本题共8小题,前6小题每题10分,后2小题每题9分,满分78分）.11.给定实数0x 及b ,01b <<,令1sin ,1,2,n n x a b x n -=+= ,证明：（1）极限lim n n x →∞存在,记为ξ； （2）ξ是开普勒方程sin x a b x =+的唯一解.12.一个函数f ：[,]a b → 称作上半连续的,假如对给定的[,]x a b ∈及0ε>,存在一个0δ>,使得若[,],y a b y x δ∈-<,则()()f y f x ε<+.证明：[,]a b 上的上半连续函数是上有界的,且在某个点[,]c a b ∈处达到最大值.13.设()f x 在开区间(,)I a =+∞内可导,且lim '()x f x →+∞=∞,证明()f x 在I 内必定是非一致连续的.若(,)I a b =是有限开区间,且lim '()x bf x -→=∞,问()f x 在I 内也必定是非一致连续的？14.设1111n nn I x dx +=+⎰,求证：（1）0,n I n →→∞；（2）极限lim n n nI →∞存在,并求出此极限值. 15.设()f x 在区间[0,1]上连续,在(0,1)内有二阶导数,且10(0)(1)0,''()0,()0f f f x f x dx ⋅>>=⎰. 证明：（1）函数()f x 在(0,1)内恰有两个零点；（2）至少存在一点(0,1)ξ∈,使得0'()()f f x dx ξξ=⎰. 16.设()f x 在0x =的某邻域内有二阶连续导数,且0()lim 0x f x x →=.证明：级数11()n n f n∞=∑绝对收敛. 17.设2222sin(),(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),x y xy x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩讨论f 在原点的连续性、可微性以及两个一阶偏导数在原点的连续性.18.证明反常积分20sin 1x px x +∞+⎰关于[,)p a ∈+∞一致收敛,其中0a >为常数.。
硕士研究生数值分析试卷
数值分析（研究生，2008-12-15）1.（10分）求函数⎩⎨⎧≤≤++<≤-+=10,101,1sin )(2x x x x x x f 在区间[-1，1]上的最佳平方逼近式x e a x a a x 210)(++=φ。
2．（15分）利用乘幂法计算下列矩阵的主特征值和相应的特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----110141012，初始向量为T x ]0,0,1[0=（要求结果有三位有效数字）。
同时计算该矩阵的1-条件数和谱条件数。
3.（15分）已知函数x x f sin )(=在36.0,34.0,32.0210===x x x 处的值分别为352274.0,333487.0,314567.0210===y y y 。
用Lagrange 插值多项式对3167.0=x 的函数值进行近似计算，并估计近似计算的误差界。
4.（15分）用Newton 迭代法求方程0ln 2=+x x 在区间（0，2π）内的解，选择你认为合适的初始点，计算方程的根，使得近似解具有四位有效数字。
请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。
5.（15分）用Gauss-Seidel 迭代法解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---542834*********x x x 取初始近似向量0[0,0,0]Tx =，估计达到4位有效数字需要的迭代次数，并实际计算之。
就该具体问题分析计算过程中总的乘除法计算量。
6. （10分）应用拟牛顿法解非线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.12,2322112221x x x x x x 取T x ]1,0[)0(= ，终止容限210-=ε。
7.（10分） 求解矛盾方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++232328.12221321321321321x x x x x x x x x x x x8. （10分）用复合Simpson 公式计算积分⎰=21sin )(xdx f I 讨论在误差要求不超过410-的条件下的步长。
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2009年春季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷
(总分：28.00，做题时间：90分钟)
一、填空题(总题数：6，分数：12.00)
1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。
（分数：
2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
2.已知x=0．045，y=2．013_____
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：0．902×10 -4)
解析：
3.已知矩阵1 =______，‖A‖ 2 =______．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：()
解析：
4.设函数f(x)=2x 3 -x+1，则f(x)以x 0 =-1，x 1 =0，x 2 =1为插值节点的二次插值多项式为______．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：x+1)
解析：
5.设函数f(x)∈C 2 [x 0 -h，x 0 +h]，h＞0，则
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：()
解析：
6.______，该公式的代数精度为_____．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：()
解析：
二、计算题(总题数：2，分数：4.00)
7.(0，+∞)内实根的分布情况，并用迭代法求出该方程在(0，+∞)内的全部实根，精确至3位有效数字．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设，显然f(x)=0在(2，+∞)内无根．在(0，2]内，f"(x)=cosx-
，当时，f"(x)=0．又注意到f(0)=0，故在内，f"(x)＞0，函数单凋递增，f(0)=0，
因此方程无根；在内，f"(x)＜0，函数单调递减，f(2)＜0，有唯一根．所以方程sinx-
=0在(0，+∞)内有唯一根x *∈ 求解该方程的Newton迭代格式为x k+1 =x k k=0,1,2…)解析：
8.给定方程组Ax=b，其中x，b∈R 3，ω∈R．试确定ω的取值范围，使求解该方程组的Jacobi 迭代格式和Gauss—Seidel迭代格式都收敛．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：Jacobi迭代矩阵的特征方程为即λ3—4ω2λ=0，求得λ1=0，λ2=2ω，λ3=-2ω，当且仅当｜2ω｜＜1，即｜ω｜＜时，Jacobi格式收敛．Gauss—Seidel迭代格式迭
代矩阵的特征方程为即λ3—4λ2ω2 =0，求得λ1,2 =0，λ3 =4ω<)
解析：
三、综合题(总题数：6，分数：12.00)
9.已知函数f(x)在区间[x 0，x 2 ]上有定义，且x 1f(x)的三次插值多项式p(x)，使之满足p(x 0 )=f(x 0 )，p"(x 1 )=0，p"(x 1 )=0，p(x 2 )=f(x 2 )．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：方法1：由于p"(x 1)=0，P"(x 1)=0，可设p"(x)=A(x—x 1) 2，两边积分得p(x)=
(x—x 0 ) 3 +B．由p(x 0 )=f(x 0 )得(x 0 -x 1 ) 3 +B=f(x 0 )，由p(x 2 )=f(x )
解析：
10.求函数[0，1]上的一次最佳平方逼近多项式P 1 (x)=a+bx．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设φ0 (x)=1，φ1 (x)=x，则(φ0 ,φ0)=∫ 01 1dx,(φ0 ,φ1)=∫ 01 xdx=
，(φ1 ,φ1)=∫ 01 x 2,(φ0 ,f)=)
解析：
11.已知函数f(x)∈C 4 [-a，a]，I(f)= ． 1)试确定求积公式=A 0 f(-a)+A 1 f(0)+A 2 f(a)中的参数A 0，A 1，A 2，使的代数精度达到最高，并指出此时该求积公式的代数精度次数； 2)
求I(f)- 形如的截断误差表达式．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)由代数精度定义有求得当f(x)=x 3时，有当f(x)=x 4时，
有故该公式有3次代数精度． 2)以H(-a)=f(-a)，H(0)=f(0)，H(a)=f(a)，H"(0)=f"(0)为插值条
件作3次插值多项式H(x)，则有f(x)-H(x)= (x+a)(x-a)x 2，而=A 0H(-a)+A 1H(0)+A 2H(a)=
,且)
解析：
12.给定常微分方程初值问题取n为整数；x i=a+ih，1≤i≤n．记y i≈y(x i)，1≤i≤n；y 0 =y(a)． 1)求参数α，使求解上述初值问题的数值求解公式y i +1=y i +h[αf(x i，y i )+(1-α)f(x i+1，y i+1 )]局部截断误差阶达到最高； 2)应用Euler公式与1)中求得的公式构造预测-校正公式，并求出该预测-校正公式的局部截断误差表达式．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)局部截断误差R i+1 =y(x i+1 )-y(x i )-h[αf(x i，y(x i ))+(1-α)f(x i+1，
y(x i+1 ))]=y(x i )+hy"(x i )+ y"(x i y""(x i )+O(h 4 )-y(x i )[*)
解析：
13.对于定解问题取正整数M，N，令x i=ih,i=0,1,…,M; t k=kt,k=0,1,…,N 1)构造求解该初边值问题的隐式差分格式，并给出其截断误差表达式； 2)取应用1)中构造的求解公式
计算以及的近似值
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)在节点(x i，t k )处考虑微分方程由Taylor展开得x i-1＜ξi ＜x i+1将上面两式代入方程得略去截断误差并令u i k≈u(x i，t k)得2)取
要求的即为第一层的近似值．由差分格式整理得(1+2γ-τ)u i k)
解析：
14.已知A，B∈R n×n，其中A非奇异，B为奇异矩阵，试证明
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因B是奇异阵，A非奇异，则A -1B奇异，故必存在x∈R n且x≠0使A -1Bx=0．因此(I-A -1B)x=x．两边取范数得‖x‖=‖(I—A -1B)x‖≤‖(I—A -1B)‖．‖x‖．因为‖x‖≠0，所以‖I-A -1B)‖≥1，从而有1≤‖I—A -1B)‖=‖A -1 (A—B)‖≤‖(A—B)‖.‖A -)
解析：。