矩阵n次方地几种求法地归纳
矩阵n 次方的几种求法
1.利用定义法
()
()
,,ij kj s n
n m
A a
B b ??==则()
,ij s m
C c ?=其1122...ij i j i j in nj c a b a b a b =+++
1
n
ik kj k a b ==∑称为A 与B 的乘积，记为C=AB ，则由定义可以看出矩阵A 与
B 的乘积
C 的第i 行第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和，且由定义知：第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数要相[]1
同。
例1:已知矩阵34
125310210134A ??? ?=- ? ???，44
5
130621034510200B ???
?
?
= ?
?
??，求AB
解：设C AB ==()
34
ij c ?，其中1,2,3i =；1,2,3,4j =
由矩阵乘积的定义知：
111526533032c =?+?+?+?=121122543231c =?+?+?+?= 131321553030
c =?+?+?+?=14102051305
c =?+?+?+?=
21150623101c =-?+?+?+?= 22110224129c =-?+?+?+?= 23130125107c =-?+?+?+?= 24100021102c =-?+?+?+?= 310516334015c =?+?+?+?= 320112344222c =?+?+?+?= 330311354016c =?+?+?+?= 34001031403c =?+?+?+?=
将这些值代入矩阵C 中得：
C AB ==34
323130519721522163??? ?
? ???
则矩阵A 的n 次方也可利用定义的方法来求解。
2.利用矩阵的分块来求解
这类方法主要是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成，就如矩阵
由数组成的一样在运算中将这些小矩阵当做数一样来处理，再由矩阵乘法的定义来求解这些小矩阵的乘积所构成的矩阵。即设
()
()
,,ij kj s n
n m
A a
B b ??==把A ，B 分解成一些小矩阵：
1111
l t tl A A A A A ?? ?=
? ???，11
11
r l lr B B B B B ??
?
= ? ???
，其中ij A 是i j s n ?小矩阵且1,2...i t =，1,2...j l =，且12...t s s s s +++= ，12...l n n n n +++=；ij B 是j k n m ?小矩阵且1,2...j l =，1,2...k r =；且12...l n n n n +++=，
12...r m m m m +++=；令C AB ==11
11r t tr C C C C ??
?
? ???
，其中ij C 是i j s m ?小矩阵且1,2...i t =，1,2,...,j r =，且12...t s s s s +++=，12...r m m m m +++=；其中1122...ij i j i j il lj C A B A B A B =+++。这里我们应注意：矩阵A 列的分法必须与矩阵B 行的分法一[]1
致。
例2：已知矩阵45
100250
1013001280
0006A ??? ?
?
= ? ???，52
1
2451
04206B ???
? ?
?=
? ? ???，求AB 解：将4545
100251
0025010130
10130012800128
000060
0006A ????
??
?
? ?
?== ? ? ?
?
?????11
1221
22E
A A A ??
???
写成 121245451
010424
20606B ????
? ? ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ?????
1121B B ?? ???写成，其中11100010001E ??
?
= ? ??? 12251328A ?? ?= ? ???，()2206A =，11124510B ??
?
= ? ?
??
，214206B ??= ???
由矩阵乘积法则知：
AB=1112212111222142
B A B A B A B ?+??
?+??
由矩阵加法和乘积法则[]1
知：
42
9368
25AB 952036??? ?
?
= ? ???
则矩阵A 的n 次方的求解也可利用以上方法来求解。
3．利用数学归纳法求解
这种方法与矩阵定[]1
义和数学归纳[]3
法相结合，从而找出规律再求
解，但是这种方法比较适合低阶且有规律的方阵n 次方的运[]2
算。
例3：已知A=cos sin sin cos θ
θθθ-??
?
??
，求n
A 解：当2n =时
2
cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos θθθ
θθ
θθ
θθθθθ---??????
= ? ?????????
2222
cos 2sin 2cos sin 2cos sin sin 2cos 22cos sin cos sin θ
θθθθθθ
θθθ
θθ-??--??
==
? ?-??
?? 当3n =时
3
2
cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos θ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θ---??????
=
? ? ???????
cos 2cos sin 2sin cos 2sin sin 2cos cos 2sin sin 2cos cos 2cos sin 2sin θθθθθθθθθθθθ
θθθθ---??
=
?
+-??
cos3sin 3sin 3cos3θθθ
θ-??
=
???
所以假设n A =cos sin sin cos n n n n θ
θθ
θ-??
???
当1k =时成立，假设当1k n =-时成立；则当k n =时
1
cos sin cos sin sin cos sin cos n n A θ
θθθθ
θθ
θ---??
??
=
? ???
??
()()()()cos 1sin 1cos sin sin 1cos 1sin cos n n n n θθθ
θθθθ
θ---??-??
=
?
?--??
??
由矩阵乘法定及三角函数知：n A =cos sin sin cos n n n n θ
θθ
θ-??
???
则假设成立。
所以n A =cos sin sin cos n n n n θ
θθ
θ-??
???
4．利用分拆法求解
这类方法主要是将一个矩阵分解成一个单位矩阵和另外一个矩阵之和再求[]1
解，且另外这个矩阵的n 次方计算起来比较简[]2
单。
例4：已知A=110011001?? ?
? ???
，求n A
解：A E B =+，其中010001000B ??
?
= ? ???
，矩阵E 为单位阵且2E E =
EB BE B ==；故 n A =()122
+C C C n
n n
n n n E B E B B B +=++
+
由2010010001001001000000000000B ??????
??? ?
== ??? ? ??? ???????
2
3010010001010001001000001000000000000B ????????
? ? ???== ? ? ??? ? ? ???????????
000000000??
?= ? ???
则3n ≥时，n B =0。故122
n n
n A E C B C B =++
由矩阵加法运算法则[]1
知：
n A =2
11011001n n C n ??+ ?
+ ? ???
5．利用相似矩阵求解（利用对角矩阵来求）
定义：设矩阵A ，B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆阵X ，使得矩阵1B X AX -=，就说A 与B 相[]1
似。如果矩
阵A 或B 有一个可以化成对角矩阵则计算比较简便。而判断矩阵A 可对角化的条件[]1
有：
1)矩阵A 可对角化的必要条件是矩阵A 有n 个不同的特征值
2)矩阵A 可对角化的充要条件是矩阵A 有个n 线性无关的特征向量 3)在复数域上矩阵A 没有重根
而求矩阵A 的特征值和特征向量的方法[]1
有：
1)求矩阵A 特征多项式E A λ-在数域P 中的全部根，这些根是矩阵A 的全部特征值。把这些所求的特征值逐个的代入方程组
()0E A X λ-=中，对于每一个特征值，解方程组()0E A X λ-=，求出
一组基础解系，那么这个基础解系就是属于这个特征值的特征向量。 再利用判别法判断矩阵A 是否可对角化。
例5：已知矩阵33
122212221A ??? ?
=- ? ?--??,求n A
解：易知矩阵的A 特征多项式E A λ-=1
222
1
2
2
2
1
λλλ------