矩阵n次方地几种求法地归纳
矩阵n次方的几种求法的归纳
矩阵n 次方的几种求法1.利用定义法()(),,ij kj s nn mA aB b ⨯⨯==则(),ij s mC c ⨯=其1122...ij i j i j in nj c a b a b a b =+++1nik kj k a b ==∑称为A 与B 的乘积，记为C=AB ，则由定义可以看出矩阵A与B 的乘积C 的第i 行第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和，且由定义知：第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数要相[]1同。
例1:已知矩阵34125310210134A ⨯⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，445130621034510200B ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，求AB解：设C AB ==()34ij c ⨯，其中1,2,3i =；1,2,3,4j =由矩阵乘积的定义知：111526533032c =⨯+⨯+⨯+⨯=121122543231c =⨯+⨯+⨯+⨯= 131321553030c =⨯+⨯+⨯+⨯=14102051305c =⨯+⨯+⨯+⨯=21150623101c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 22110224129c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 23130125107c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 24100021102c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 310516334015c =⨯+⨯+⨯+⨯= 320112344222c =⨯+⨯+⨯+⨯= 330311354016c =⨯+⨯+⨯+⨯= 34001031403c =⨯+⨯+⨯+⨯=将这些值代入矩阵C 中得：C AB ==34323130519721522163⨯⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则矩阵A 的n 次方也可利用定义的方法来求解。
2.利用矩阵的分块来求解这类方法主要是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成，就如矩阵由数组成的一样在运算中将这些小矩阵当做数一样来处理，再由矩阵乘法的定义来求解这些小矩阵的乘积所构成的矩阵。
求矩阵的n次幂有如下几个常用方法
求矩阵的n次幂有如下几个常用方法1、求矩阵的n次幂的矩阵乘法法：求矩阵的n次幂的矩阵乘法法是用矩阵的乘法来求n次幂的一种方法，假设n>1。
令A为一个n阶矩阵，将A^n表示为A•A•…•A(n个A表示n次乘积)，这样就可以用矩阵的乘法运算，把矩阵的n次幂表示出来。
这种方法适合任意阶数的矩阵，但是运算量大，一般在n大于4时会给计算机造成较大压力。
快速乘法法是将连乘拆成若干小段，用平方法计算这些小段，最后把平方结果合成出原来的积，这样就可以利用矩阵的平方法降低运算的复杂度，近似时间复杂度仅为O(logn)。
遗传算法(GA)是一种模拟自然辅助搜索算法，其可利用遗传运算(Genetic Operation)求解难以用传统算法求解的复杂问题，也可用来求矩阵的n次幂。
此方法通过使用遗传运算对n次幂矩阵A求解，其中有“选择(selection)”、“交叉(crossover)”、“变异(mutation)”等随机算法组成，在一定时间内，做出一定代数运算就能求出矩阵的n次幂，这种方法的效率取决于遗传算子的设计，但是因为这种方法涉及较少的运算，所以可能运算效率会很高。
线性矩阵分解法是把矩阵A事先分解成正交矩阵和对角矩阵的向量形式，将n次幂矩阵A^n分解成m分，从而减少计算量，缩短计算时间。
这种方法可以有效减少计算过程的数量，但对于大矩阵来说，可能由于分解矩阵的复杂度过高而无法令效率上升。
树结构法是一种求解n次方矩阵A的技术，它是建立树，由树的叶节点求出矩阵A的n次方。
由于每一层都有一个乘积，树结构法可以有效减少计算次数，较为高效。
通常来说，这种方法的复杂度降低到O(logn)。
总之，上面提到的几种方法都可以用来求矩阵的n次幂，根据矩阵的阶数和n的大小，可以合理选择合适的算法，从而提高求解效率。
矩阵n次方的几种求法的归纳
矩阵n 次方的几种求法1.利用定义法()(),,ij kj s nn mA aB b ⨯⨯==则(),ij s mC c ⨯=其1122...ij i j i j in nj c a b a b a b =+++1nik kj k a b ==∑称为A 与B 的乘积，记为C=AB ，则由定义可以看出矩阵A 与B 的乘积C 的第i 行第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和，且由定义知：第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数要相[]1同。
例1:已知矩阵34125310210134A ⨯⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，445130621034510200B ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，求AB解：设C AB ==()34ij c ⨯，其中1,2,3i =；1,2,3,4j =由矩阵乘积的定义知：111526533032c =⨯+⨯+⨯+⨯=121122543231c =⨯+⨯+⨯+⨯= 131321553030c =⨯+⨯+⨯+⨯=14102051305c =⨯+⨯+⨯+⨯=21150623101c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 22110224129c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 23130125107c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 24100021102c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 310516334015c =⨯+⨯+⨯+⨯= 320112344222c =⨯+⨯+⨯+⨯= 330311354016c =⨯+⨯+⨯+⨯= 34001031403c =⨯+⨯+⨯+⨯=将这些值代入矩阵C 中得：C AB ==34323130519721522163⨯⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则矩阵A 的n 次方也可利用定义的方法来求解。
2.利用矩阵的分块来求解这类方法主要是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成，就如矩阵由数组成的一样在运算中将这些小矩阵当做数一样来处理，再由矩阵乘法的定义来求解这些小矩阵的乘积所构成的矩阵。
求矩阵的n次方的方法
求矩阵的n次方的方法简介矩阵的n次方是指将一个矩阵连乘n次的结果。
求矩阵的n次方是在很多数学和工程问题中都会遇到的核心计算任务之一。
本文将介绍几种常见的求矩阵的n次方的方法，包括矩阵乘法运算的定义、直接求解法、分治法以及特征分解法等。
不同的方法有不同的适用场景和时间复杂度，我们将对每种方法进行详细的探讨。
1. 矩阵乘法运算的定义在开始讨论求矩阵的n次方之前，我们首先需要了解矩阵乘法运算的定义。
给定两个矩阵A和B，它们的乘积AB定义为：这里的AB是一个n行p列的矩阵，其中第i行第j列的元素可以通过矩阵A的第i行和矩阵B的第j列的对应元素相乘并求和得到。
2. 直接求解法直接求解法是最直观也最容易理解的一种方法。
我们可以通过连乘n次矩阵A自身来求得矩阵的n次方，即。
具体的求解步骤如下： 1. 初始化一个单位矩阵I，它的大小与矩阵A相同。
2. 循环进行n次矩阵乘法运算，每次将结果保存在I中。
3. 当循环结束后，I即为矩阵A的n次方。
以下是使用直接求解法求解矩阵的n次方的示例代码：def matrix_power(A, n):I = [[1 if i == j else 0 for j in range(len(A))] for i in range(len(A))]for _ in range(n):I = matrix_multiply(I, A)return Idef matrix_multiply(A, B):n, m, p = len(A), len(A[0]), len(B[0])result = [[0 for _ in range(p)] for _ in range(n)]for i in range(n):for j in range(p):for k in range(m):result[i][j] += A[i][k] * B[k][j]return result直接求解法的时间复杂度为O(n^3)。
矩阵n次方的几种求法的归纳复习过程
矩阵n次方的几种求法的归纳收集于网络，如有侵权请联系管理员删除矩阵n 次方的几种求法1.利用定义法()(),,ij kj s nn mA aB b ⨯⨯==则(),ij s mC c ⨯=其1122...ij i j i j in nj c a b a b a b =+++1nik kj k a b ==∑称为A 与B 的乘积，记为，则由定义可以看出矩阵A 与B 的乘积C 的第i 行第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和，且由定义知：第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数要相[]1同。
例1:已知矩阵34125310210134A ⨯⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，445130621034510200B ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，求解：设C AB ==()34ij c ⨯，其中1,2,3i =；1,2,3,4j = 由矩阵乘积的定义知：111526533032c =⨯+⨯+⨯+⨯=121122543231c =⨯+⨯+⨯+⨯= 131321553030c =⨯+⨯+⨯+⨯=14102051305c =⨯+⨯+⨯+⨯= 21150623101c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 22110224129c =-⨯+⨯+⨯+⨯=收集于网络，如有侵权请联系管理员删除23130125107c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 24100021102c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 310516334015c =⨯+⨯+⨯+⨯= 320112344222c =⨯+⨯+⨯+⨯=330311354016c =⨯+⨯+⨯+⨯= 34001031403c =⨯+⨯+⨯+⨯=将这些值代入矩阵C 中得：C AB ==34323130519721522163⨯⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ 则矩阵A 的n 次方也可利用定义的方法来求解。
2.利用矩阵的分块来求解这类方法主要是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成，就如矩阵由数组成的一样在运算中将这些小矩阵当做数一样来处理，再由矩阵乘法的定义来求解这些小矩阵的乘积所构成的矩阵。
矩阵n次方通用解法
矩阵n次方通用解法介绍矩阵的n次方运算是矩阵乘法的重要应用之一，它在数学、计算机科学和工程领域都有广泛的应用。
本文将深入探讨矩阵n次方的通用解法，包括计算过程、优化方法以及一些应用案例。
矩阵乘法回顾在进一步探讨矩阵n次方之前，我们先回顾一下矩阵乘法。
对于两个矩阵A和B，它们的乘积C可以通过以下公式计算：C = A * B其中，A是一个m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，C是一个m行p列的矩阵。
矩阵乘法的计算规则是，C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j 列对应元素的乘积之和。
矩阵的1次方和0次方矩阵的1次方就是矩阵本身，即：A^1 = A。
矩阵的0次方定义为单位矩阵，即：A^0 = I。
矩阵的n次方对于一个矩阵A，它的n次方可以通过连续进行n次矩阵乘法来计算，即：A^n = A * A * A * … * A然而，直接按照这种方法计算矩阵的n次方在效率上并不高。
接下来，我们将介绍一个通用解法，可以更高效地计算矩阵的n次方。
矩阵的n次方通用解法为了高效计算矩阵的n次方，我们可以利用矩阵乘法的性质。
假设我们要计算矩阵A的2n次方，即A(2^n)。
我们可以通过以下步骤来逐步计算：1.计算 A2、A4、A^8、…，直到 A(2n)。
–这可以通过每次将矩阵平方来实现，即 A(2i) = (A(2(i-1)))^2，其中i从1递增到n。
2.根据 A(2n) 的定义，将其展开为累积乘积的形式，即：–A(2n) = A(2(n-1)) * A(2(n-1)) * … * A(2(n-1))，总共有 2^(n-1) 个 A(2(n-1))。
通过以上步骤，我们可以高效地计算矩阵的n次方。
下面是一个具体的计算演示：以计算矩阵A的8次方为例，即 A^8。
根据通用解法，我们先计算出 A2、A4 和 A^8，然后根据 A^8 的定义展开累积乘积。
具体计算过程如下：1.计算 A^2：–A^2 = A * A2.计算 A^4：–A^4 = (A^2) * (A^2)3.计算 A^8：–A^8 = (A^4) * (A^4)4.展开 A^8 的累积乘积：–A^8 = A^4 * A^4–A^8 = (A^2 * A^2) * (A^2 * A^2)–A^8 = (A * A) * (A * A) * (A * A) * (A * A)通过以上计算，我们可以得到矩阵A的8次方。
矩阵n次方的几种求法的归纳
1
32 31 30 5
C
AB
=
1
9
7
2
15 22 16 3 34
则矩阵 A 的 n 次方也可利用定义的方法来求解。
2.利用矩阵的分块来求解
这类方法主要是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成，就如矩阵
由数组成的一样在运算中将这些小矩阵当做数一样来处理，再由矩阵
乘法的定义来求解这些小矩阵的乘积所构成的矩阵。即设
sin
sin cos
3
cos
sin
sin 2 cos
cos
sin
sin
cos
cos cos
2 2
cos sin
sin 2 sin 2
sin cos
cos 2 sin sin 2 cos
cos 2 cos sin 2 sin
cos 3 sin 3
sin 3
B11 B21
，其中
E11
1 0 0
0 1 0
0
0 1
0 6 0 6
2 5
1 2
A12
1
2
3
，
A22
0
8
6
，
B11
4
1
5 0
，
B21
4 0
2
6
由矩阵乘积法则知：
AB=
B11 A12 B21 A21B11 A22 B21
42
由矩阵加法和乘积法则 知1 ：
4 2 0 6 52
1 0 0 2 5 1 0 0 2 5
解：将
A
0 0
1 0
0 1
0
0
0
1
3
求矩阵a的n次方的方法
求矩阵a的n次方的方法求矩阵a的n次方是一个非常常见的线性代数问题，在很多数学和工程领域都有广泛的应用。
矩阵的n次方表示将矩阵自乘n次，即a * a * a * ... * a。
本文将一步一步地回答如何求解矩阵的n次方，以及该方法的应用。
一、矩阵的乘法在介绍求解矩阵的n次方之前，让我们先回顾一下矩阵的乘法。
对于两个相容的矩阵A和B，它们的乘积AB的定义如下：[AB]ij = Σ(Aik * Bkj)，其中k为1到n的取值范围。
简而言之，AB的第i行第j列的元素等于A的第i行的元素与B的第j列的元素逐一相乘后再求和。
二、矩阵的平方在求解矩阵的n次方之前，我们先看一个特殊情况：矩阵的平方。
矩阵的平方是将矩阵自身乘以自己，即A的平方为A * A。
算法如下：1. 建立一个与A维度相同的零矩阵C；2. 对于C的第i行第j列的元素，将A的第i行与A的第j列进行乘法运算，得到C的第i行第j列的元素；3. 返回矩阵C，即A的平方。
三、任意正整数次方的求解接下来是核心部分：求解任意正整数次方的矩阵。
我们可以利用矩阵的平方来递归求解。
算法如下：1. 如果n等于1，直接返回矩阵A；2. 如果n是偶数，将n除以2，得到商为m，然后计算A的平方的m次方，即A的2^m次方；3. 如果n是奇数，将n减1变成偶数，并继续计算A的n-1次方；4. 将A的2^m次方乘以A的n-1次方，得到A的n次方。
这个算法利用了二分法，将n的复杂度从n降低到了对数级别。
通过递归地求解A的平方的平方，可以大幅度减小计算量，并且提高了效率。
四、应用举例矩阵的n次方的求解方法在数值计算、线性回归分析、图像处理等领域有广泛的应用。
下面举例说明其中两个应用。
1. 图像处理在图像处理中，矩阵通常被用来表示像素值。
通过将像素矩阵与特定的变换矩阵相乘，可以实现图像的旋转、缩放、平移等操作。
这里的变换矩阵就是原始像素矩阵的n次方。
通过求解原始像素矩阵的n次方，可以实现对图像的高效处理。
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矩阵n 次方的几种求法1.利用定义法()(),,ij kj s nn mA aB b ⨯⨯==则(),ij s mC c ⨯=其1122...ij i j i j in nj c a b a b a b =+++1nik kj k a b ==∑称为A 与B 的乘积，记为C=AB ，则由定义可以看出矩阵A 与B 的乘积C 的第i 行第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和，且由定义知：第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数要相[]1同。
例1:已知矩阵34125310210134A ⨯⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，445130621034510200B ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，求AB解：设C AB ==()34ij c ⨯，其中1,2,3i =；1,2,3,4j =由矩阵乘积的定义知：111526533032c =⨯+⨯+⨯+⨯=121122543231c =⨯+⨯+⨯+⨯= 131321553030c =⨯+⨯+⨯+⨯=14102051305c =⨯+⨯+⨯+⨯=21150623101c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 22110224129c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 23130125107c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 24100021102c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 310516334015c =⨯+⨯+⨯+⨯= 320112344222c =⨯+⨯+⨯+⨯= 330311354016c =⨯+⨯+⨯+⨯= 34001031403c =⨯+⨯+⨯+⨯=将这些值代入矩阵C 中得：C AB ==34323130519721522163⨯⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则矩阵A 的n 次方也可利用定义的方法来求解。
2.利用矩阵的分块来求解这类方法主要是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成，就如矩阵由数组成的一样在运算中将这些小矩阵当做数一样来处理，再由矩阵乘法的定义来求解这些小矩阵的乘积所构成的矩阵。
即设()(),,ij kj s nn mA aB b ⨯⨯==把A ，B 分解成一些小矩阵：1111l t tl A A A A A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，1111r l lr B B B B B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中ij A 是i j s n ⨯小矩阵且1,2...i t =，1,2...j l =，且12...t s s s s +++= ，12...l n n n n +++=；ij B 是j k n m ⨯小矩阵且1,2...j l =，1,2...k r =；且12...l n n n n +++=，12...r m m m m +++=；令C AB ==1111r t tr C C C C ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中ij C 是i j s m ⨯小矩阵且1,2...i t =，1,2,...,j r =，且12...t s s s s +++=，12...r m m m m +++=；其中1122...ij i j i j il lj C A B A B A B =+++。
这里我们应注意：矩阵A 列的分法必须与矩阵B 行的分法一[]1致。
例2：已知矩阵4510025010130012800006A ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，521245104206B ⨯⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求AB 解：将45451002510025010130101300128001280000600006A ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭11122122EA A A ⎛⎫⎪⎝⎭写成 12124545101042420606B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1121B B ⎛⎫ ⎪⎝⎭写成，其中11100010001E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 12251328A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()2206A =，11124510B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，214206B ⎛⎫= ⎪⎝⎭由矩阵乘积法则知：AB=1112212111222142B A B A B A B ⨯+⎛⎫⎪+⎝⎭由矩阵加法和乘积法则[]1知：42936825AB 952036⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则矩阵A 的n 次方的求解也可利用以上方法来求解。
3．利用数学归纳法求解这种方法与矩阵定[]1义和数学归纳[]3法相结合，从而找出规律再求解，但是这种方法比较适合低阶且有规律的方阵n 次方的运[]2算。
例3：已知A=cos sin sin cos θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭，求nA 解：当2n =时2cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222cos 2sin 2cos sin 2cos sin sin 2cos 22cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ-⎛⎫--⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 当3n =时32cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos 2cos sin 2sin cos 2sin sin 2cos cos 2sin sin 2cos cos 2cos sin 2sin θθθθθθθθθθθθθθθθ---⎛⎫=⎪+-⎝⎭cos3sin 3sin 3cos3θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭所以假设n A =cos sin sin cos n n n n θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭当1k =时成立，假设当1k n =-时成立；则当k n =时1cos sin cos sin sin cos sin cos n n A θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()cos 1sin 1cos sin sin 1cos 1sin cos n n n n θθθθθθθθ---⎛⎫-⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭由矩阵乘法定及三角函数知：n A =cos sin sin cos n n n n θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭则假设成立。
所以n A =cos sin sin cos n n n n θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭4．利用分拆法求解这类方法主要是将一个矩阵分解成一个单位矩阵和另外一个矩阵之和再求[]1解，且另外这个矩阵的n 次方计算起来比较简[]2单。
例4：已知A=110011001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，求n A解：A E B =+，其中010001000B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵E 为单位阵且2E E =EB BE B ==；故 n A =()122+C C C nn nn n n E B E B B B +=+++由2010010001001001000000000000B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23010010001010001001000001000000000000B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭000000000⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则3n ≥时，n B =0。
故122n nn A E C B C B =++由矩阵加法运算法则[]1知：n A =211011001n n C n ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭5．利用相似矩阵求解（利用对角矩阵来求）定义：设矩阵A ，B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆阵X ，使得矩阵1B X AX -=，就说A 与B 相[]1似。
如果矩阵A 或B 有一个可以化成对角矩阵则计算比较简便。
而判断矩阵A 可对角化的条件[]1有：1)矩阵A 可对角化的必要条件是矩阵A 有n 个不同的特征值2)矩阵A 可对角化的充要条件是矩阵A 有个n 线性无关的特征向量 3)在复数域上矩阵A 没有重根而求矩阵A 的特征值和特征向量的方法[]1有：1)求矩阵A 特征多项式E A λ-在数域P 中的全部根，这些根是矩阵A 的全部特征值。
把这些所求的特征值逐个的代入方程组()0E A X λ-=中，对于每一个特征值，解方程组()0E A X λ-=，求出一组基础解系，那么这个基础解系就是属于这个特征值的特征向量。
再利用判别法判断矩阵A 是否可对角化。
例5：已知矩阵33122212221A ⨯⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,求n A解：易知矩阵的A 特征多项式E A λ-=122212221λλλ------由行列式计算方法知：E A λ-=()()()()()213113λλλλλ--=-+-所以矩阵A 的特征值为1,1,3-。
当特征值为1时，解方程()0E A X -=，由齐次线性方程组的计算方法知：()0E A X -=的基础解系为1a =()111'-；所以矩阵A 属于特征值1的全部特征向量为()1111k '-,其中1k ≠0。
当特征值为1-时，解方程()0E A X --=，由齐次线性方程组的计算方法知：()0E A X --=的基础解系为2a =()110'-；所以矩阵A 属于特征值1-的全部特征向量为()2110k '-，其中2k ≠0。
当特征值为3时，解方程()30E A X -=，由齐次线性方程组的计算方法知：()30E A X -=的基础解系为3a =()011'-，所以矩阵A 属于特征值3的全部特征向量为()3011k '-，其中3k ≠0。
则由矩阵A 可对角化的条件知：矩阵A 可对角化且对角阵为B =100010003⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭令123C a a a →→→'⎛⎫= ⎪⎝⎭=33110111101⨯⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭，由求逆矩阵的方法知：1111011110C -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭因为线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的知：1C AC B -= 所以()11nn n C AC C A C B --==，则()333310010001001000303nnn n B ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由1n n A CB C -=,由矩阵的乘法运算法则知：()()()()3311111311311113131nnn n nn nn n A ⨯⎛⎫---- ⎪ ⎪=--+--- ⎪-- ⎪⎝⎭2)对方阵A ，设()()1F E A λλ'=-，对()()1n F E λ做初等变换，化成()()()D P λλ其中()D λ为上三角阵，则矩阵()D λ主对角线上元素乘积的λ的多项式的根即为A 的特征根i λ。
对矩阵A 的任一特征根i λ，代入()()()D P λλ中，若()i D λ中非零向量构成一满秩矩阵，则()i D λ行向量所对应的()i P λ中的行向量i ξ即为i λ的特征向量；否则，继续施行初等行变换，使得()i D λ中非零向量构成一满秩矩阵，则()i D λ中零向量所对应的()i P λ中的行向量i ξ即为i λ的特征向[]8量。