6数学发展的新时期

变量数学与近代数学时期三阶段
１、１７世纪——数学与自然科学的崭新结
合 ２、１８世纪到１９世纪２０年代——变量 数学各分支的基本形成 ３、 １９世纪２０年代到２０世纪４０年 代——变量数学各分支的完善与近代数学的 发展
§１、１７世纪——数学与自然科学
的崭新结合

西欧资本主义发展所带来的生产力的迅 速提高，使生产实践提出了诸如瞬时速度、 加速度、切线斜率、最大值、最小值、曲线 形面积、曲面体积等常量数学所不能解决的 问题，这些首先是自然科学所遇到的新问题， 数学作为自然科学的工具，必然要以新的内 容相适应，从而形成１７世纪数学与自然科 学的崭新结合,其产物就是变量数学的萌芽与 发展。

17世纪，对数学发展起了重大作用 的天文、物理学家
伽利略（1564---1642，意大利） 开普勒（1571---1630，德） 托里拆（1608---1647，意大利）
惠更斯（1629---1695，荷兰）
17世纪对于数学具有重大意义的事件
首先是伽利略的实验数学方法的出现，它表
第二篇 变量数学与近代数学 时期
第五章 发展的新时期数学
历史背景
14世纪---16世纪西欧封建社会解体，资本主义萌 芽 希腊文化 意大利 “文艺复兴”----资产阶级文 化的兴起 资本主义的发展，极大地解放了生产力，推动 了生产的迅猛发展。生产的发展促进了数学的兴旺 发达，在西欧“文艺复兴”时期及其以后，常量数 学已远远不能满足生产发展的需要，大量的变量数 学问题提到数学工作者的议事日程上，变量数学也 就应运而生。
１９世纪到２０世纪４０年代数学领 域持续繁荣
数学人才济济，这一时期，除上一世纪延 续下来的数学家外，对数学有巨大贡献的还 有： 泊松（1781---1840，法）； 波尔查诺（1781---1848，捷克）； 哥西（1789---1857，法）； 彭色列（ 1789---1867，法）； 罗巴切夫斯基（1792---1856，俄）；（5）

9、19世纪最独特的创造是复变函数，这个
新的数学分支统治了19世纪，曾被称为这 个世纪的数学享受，是抽象科学中最和谐 的理论之一—— 哥西、黎曼、维尔斯特拉 斯 10、函数论的继续发展是实变函数论—— 斯蒂吉斯、勒贝格、波雷尔 11、射影几何面貌焕然一新 12、非欧几何创建 13、微分几何得到进一步发展
（36）
数学各学科持续繁荣
1、微积分已成为相当完美的科学 2、变分法在内容和理论上已初具规模，自成体系 3、数论成果突出 4、常微分方程有很大进展 5、偏微分方程得到充分发展 6、积分方程也做出了有意义的工作 7、线性代数得到进一步发展 8、群、环、域、格等代数体系与结构，形成了近 世代数（抽象代数）的主要内容；
维尔斯特拉斯（1815---1897，德）； 斯托克斯（1819---1903，英）； 黎曼（1826---1866，德）；（10）
戴德金（1831---1916，德）；
李（S.lie，1842---1890，挪威）；
达布（1842---1917，法）； 康托（1845---1918，德）； 克莱因（1849---1925，德）； 庞加莱

恩格斯说：“社会上一旦有技术上的需要， 则这种需要就会比10所大学更能把科学推向 前进。” 文艺复兴时期，数学的中心在意大利；17 世纪英国的资产阶级革命，把查理一世送上 了断头台，牛顿的微积分思想随即诞生在英 伦三岛之上；18世纪资本主义的生产方式带 来了法国的大革命，数学的中心也移到了法 国；当19世纪德国资本主义迅猛发展，法国 在数学上的垄断地位不得不结束，而德国的 数学开始蓬勃发展。这些都是历史的见证。
（1854---1912，法）； 斯蒂吉斯（1856---1894，荷兰）； 李雅普诺夫（1857---1918，俄）； 希尔伯特（1862---1943，德）； 阿达玛（1865---1963，法）； 埃.嘉当（1871---1956，法）；（11）
波雷尔（1871---1956，法）； 罗素（1872---1970，英）； 勒贝格（1875---1941，法）；
1705年，英国物理学家纽可门制成了第一 台能供实用的蒸汽机。1768年，他的同胞瓦 特制成了近代蒸汽机，由此引起的工业革命， 大大改变了人类生产的面貌。工业革命促进 了生产的蓬勃发展，生产的发展促进了数学 的前进，从而形成了18世纪数学的大繁荣。 18世纪中，除了上一世纪延续下来的几位数 学家外，对数学的大繁荣做出重要贡献的还 有许多。
§３、 １９世纪２０年代到２０世 纪４０年代——变量数学各分支的 完善与近代数学的发展
18世纪数学的大繁荣，使数学产生了一 系列令人眼花缭乱的漂亮成果。但是到了末 期，数学却产生了一种“世纪末”的悲观情 绪。认为在这一世纪内，数学的主要问题已 由欧拉、达朗贝尔、拉格朗日等人解决了， 数学这一领域似乎已经“穷竭” ，甚至拉 格朗日也向达朗贝尔提出了这样的疑问： “难道你不觉得崇高的几何学（当时数学的 泛称）有进入衰落的趋势吗？”
14、拓扑学俗称“橡皮几何学”，基本上
是20世纪的产物。系统的拓扑学研究开始 于庞加莱，康托、豪斯道夫、布劳威尔、 埃.嘉当、惠特尼等为建立拓扑学做出了卓 越贡献。 15、泛函分析是在20世纪初发端，于20年 代---30年代完成的。产生泛函分析的背景 是变分法、集合论、积分方程的发展；其 特点是微积分课题、代数方法、几何观点 的广泛应用。弗雷歇、施密特、黎兹、巴 拿赫的工作使这门最具有综合性的数学基 础学科基本确立。
16、古老的概率论经过一段停滞之后，在
20 世纪上半叶由于科学技术的发展，再度 活跃起来，马尔柯夫（1856---1922，俄）、 辛钦（1894---1959，俄）、伯恩斯坦 （1880---1968，俄）、伊藤清（1915--日本）、卡尔门（---1950，美）、柯尔莫 哥洛夫（1903---1987，俄）为现代概率论 的发展贡献了力量。
作业
1、简述伽利略的实验数学方法。
2、17世纪对数学发展有重大意义的事件有哪
些？ 3、简述18世纪到19世纪20年代——变量数 学各分支的形成。 4、简述19世纪20年代到20世纪40年代—— 变量数学各分支的完善与近代数学的发展。
伽利略的实验数学方法
4、进行实验，观测---改变条件---再观测，并
把观测结果尽可能地用数值表示出来； 5、以实验结果肯定或否定所提假说； 6、以肯定的假说为起点，提出新假说，再度 使新假说接受检验。 伽利略运用实验数学的方法得到了许多重 要的结论。
§２、１８世纪到１９世纪２０年 代——变量数学各分支的基本形成
格林（1793---1841，英）； 阿贝尔（1802---1829，挪威）； 约翰.鲍耶（1802---1899，匈牙利）； 雅可比（1804---1851，德）； 狄里赫利（1805---1859，德）；
哈密顿（1805---1865，英）；
伽罗华（1811---1832，法）；

数学的大繁荣
1、18世纪，微积分在17世纪基础上进一步
拓广与加深，并创立了一些新的分支。函数 概念更加全面与精确，椭圆积分、特殊函数 （ --函数、--函数）、多元函数微积分、无穷 级数、变分法竞相发展 2、常微分方程迅速发展 3、偏微分方程建立 4、18世纪解析几何进一步完善
5、微分几何开始启动
6、方程理论在多元方向的扩展，行列式、矩
阵等工具的使用，空间概念的扩张形成了线性 代数的基础 7、产生于17世纪的概率，在18世纪得到进一 步发展 8、18世纪，科学院发起并支持数学研究，科 学院还办杂志 18世纪，欧洲各国在数学成果的多寡方面相 差很大。领先的是法国，其次是瑞士，德国相 对来说不太活跃，特别是英国，没有什么活力。
17世纪，对数学发展做出重大贡献数 学家
笛卡儿（1596---1650,法） 卡瓦列里(1598---1647,意大利) 费马(1601---1665,法) 巴斯卡(1623---1662,法) 牛顿(1643---1727,英) 莱布尼茨(1646---1716,德) 詹姆士.伯努利(1654---1705,瑞士) 约翰.伯努利(1667---1748,瑞士) 洛必达(1661---1704,法)
哈代（1877---1947，英）；
弗雷歇（1878---1973，法）； 黎兹（1880---1956，匈牙利）； 伯克霍夫（1884---1944，美）； H.韦尔（1885---1955，德）；
柯朗（1888---1945，波兰）。（10）
对数学的大繁荣做出重要贡献的数学 家
丹尼尔.伯努利(1700---1782,瑞士); 欧拉(1707---1783,瑞士); 克莱罗(1713---1765,法); 达朗贝尔(1717---1783,法); 拉格朗日(1736---1813,法); 蒙日(1746---1818,法); 拉普拉斯(1749---1827,法); 勒让德(1752---1833,法); 傅立叶(1768---1830,法); 高斯(1777---1855,德).
明数学与自然科学的一种崭新结合 另一件是笛卡儿的解析几何（坐标几何）的 产生。对解析几何的建立有重大贡献的另一 位数学家是费马 第三件大事是微积分的建立。 另外，在17世纪，概率论与射影几何学已开 始萌芽。
伽利略的实验数学方法
伽利略将数学方法用到量的变化规律上去。 其具体方法是： 1、从所要研究的现象中，选择出若干可以用数 量表示出来的特点； 2、提出一个数学化的假说，它包含所观察各量 之间的数学关系式； 3、从这个假说推出某些能够实际验证的结果；