2 混凝土材料的本构关系解析
混凝土本构理论
1.结构的非线性内力和变形混凝土不是一种线弹性材料，其应力和应变的曲线关系已是不争的事实。
规范50010-2002中给出了混凝土应力-应变的唯一关系，即常值的弹性（变形）模量（Ec）。
它只能用以分析结构在弹性阶段的内力和变形。
但是，混凝土基本构件在荷载作用下相继发生的受拉区混凝土开裂、裂缝的扩张和延伸。
压区混凝土塑性变形、截面中和轴漂移、受压和受拉钢筋屈服、混凝土达到抗压强度后的应力下降、……等一系列现象所引发的构件非线性变形和各种损伤破坏过程，都无法由单一的弹性模量值求解。
超静定结构则因混凝土的塑性变形和受拉开裂，改变了构件的截面刚度而引发内力重分布；钢筋屈服后，构件的局部形成塑性铰、又产生更剧烈的内力重分布。
一些抗震和抗暴结构还需掌握结构达到最大承载力以后、变形继续增长时的残余承载力下降规律。
特别重要的二、三维结构，如核反应堆压力容器和高大水坝，只用线弹性分析其应力状态，尚不足充分保证其使用期限内的安全性和适用性，还需要了解混凝土的受压非弹性变形或受拉开裂后的内（应）力、变形和裂缝的状况。
所有这些混凝土结构的受力性能变化全过程，只有通过非线性方法的逐步分析才能获得。
为此要求建立多种准确、合理的非线性本构关系，包括混凝土的多轴应力－应变关系。
如今，混凝土结构的应用领域不断扩展，各种结构的体形和受力状况更加复杂，进行结构非线性分析的要求更为迫切。
2.本构关系的概念一切结构的力学分析，例如杆系结构的内力和变形分析，二、三维结构的应力和变形分析，以及构件的截面承载力和正常使用阶段性能的分析等，都必须使用和满足三类基本方程，即力学平衡式、变形协调条件和本构关系。
其中第一类方程，无论是结构的整体或局部、静力或动力荷载的作用、分析的准确解或近似解都必须满足。
第二类是几何或机动方程，可根据结构的变形特点、边界状况和要求的计算精度等，准确地或从宏观上近似地满足。
第三类则是联系前二者，即力和变形间的物理方程，例如材料的应力－应变（σ-ε、τ-ε）或构件截面的弯矩－曲率、轴力－伸长（缩短）、扭矩－转角，……之间的关系等，统称为本构关系。
混凝土随机损伤本构关系研究
混凝土随机损伤本构关系研究混凝土是一种常用的建筑材料，巩固和稳定的结构在很大程度上依赖于其强度和耐久性。
然而，混凝土在长期使用过程中可能会遭受各种损伤，例如裂缝、腐蚀和疲劳等。
因此，研究混凝土的随机损伤本构关系对于提高建筑结构的安全性和可靠性具有重要意义。
混凝土的本构关系是指材料在受力过程中的应变与应力之间的关系。
随机损伤本构关系则考虑了材料内部微观缺陷和非均匀性对应力应变行为的影响。
这种关系的研究需要考虑多种因素，如材料的各向同性、载荷的类型和大小、损伤过程的时间尺度等。
在研究中，通常使用试验和数值模拟相结合的方法来探索混凝土的随机损伤本构关系。
试验方面，通过施加不同类型和大小的载荷来观察混凝土的应力应变行为，以及随着损伤程度的增加，裂缝的形成和扩展过程。
数值模拟方面，通过建立合适的本构模型和使用适当的边界条件，模拟混凝土在实际工程应用中的损伤行为。
研究发现，混凝土的随机损伤本构关系具有很大的复杂性和非线性。
损伤的形成和扩展过程受到多种因素的影响，包括混凝土的材料特性、加载速率、温度和湿度等。
此外，混凝土的损伤通常是多尺度的，从微观孔隙和裂缝到宏观裂缝和脱落。
因此，在研究中需要考虑这些多尺度效应，以更好地理解和预测混凝土的损伤行为。
混凝土的随机损伤本构关系研究对于建筑结构的设计和评估有重要的指导意义。
通过深入理解混凝土的损伤机理和行为，可以设计出更安全可靠的结构。
例如，在结构设计中考虑混凝土的损伤过程和可修复性，可以延缓和减轻结构的损坏。
此外，通过建立准确的模型，可以预测混凝土在不同加载条件下的响应，从而指导结构的设计和维护。
总之，混凝土随机损伤本构关系的研究对于提高建筑结构的安全性和可靠性具有重要意义。
通过试验和数值模拟相结合的方法，可以深入理解混凝土的损伤行为，并为建筑结构的设计和评估提供指导。
未来的研究可以进一步探索混凝土的多尺度损伤机理，以在工程实践中更好地应用混凝土材料。
钢筋混凝土结构的本构关系及有限元模式共3篇
钢筋混凝土结构的本构关系及有限元模式共3篇钢筋混凝土结构的本构关系及有限元模式1钢筋混凝土结构的本构关系及有限元模式钢筋混凝土是建筑结构中广泛使用的材料之一。
在结构设计与分析过程中，了解钢筋混凝土的本构关系和有限元模式是十分重要的。
本文将从理论和实践两个层面介绍钢筋混凝土结构的本构关系及有限元模式。
一、理论基础1.1 本构关系本构关系是描述材料应力和应变之间关系的数学模型。
对于钢筋混凝土结构来说，其本构关系可以分为弹性和塑性两个阶段。
如图1所示，该曲线表现了材料的应变和应力之间的关系。
在开始阶段，钢筋混凝土材料表现出弹性行为，即在一定范围内，应变和应力呈线性关系，在这个范围内，应力的变化只取决于外力的变化。
当荷载增加时，材料进入塑性阶段，即出现残余变形，弹性不再适用。
此时，应变和应力的关系呈现非线性态势，应力会逐渐增大，直至材料失效。
图1 钢筋混凝土的本构关系曲线1.2 有限元分析有限元分析是一种近似解微分方程的数值分析方法。
该方法将问题分解成一个有限数量的小区域，在每个小区域内建立数学模型，通过连接小区域，组成总体的数学模型。
对于钢筋混凝土结构的有限元分析，可以采用三维有限元模型或二维\轴对称有限元模型等。
二、实践操作2.1 有限元模型的建立在进行有限元分析前，需要建立合适的有限元模型。
在钢筋混凝土结构的有限元分析中，通常采用ABAQUS、ANSYS软件进行模拟。
有限元模型的建立需要考虑结构的几何形状、材料特性、加载条件等，在模型建立的过程中需要进行模型分析和后处理，如应力监测、应变监测、变形量分析等。
2.2 本构关系的采用在建立有限元模型时需要设置材料弹性模量、泊松比、破坏应力等本构关系参数，这些参数可以通过试验数据和经验公式进行估算。
同时，基于实际结构的材料本身的特性和结构内力状态等影响因素，还需要考虑材料的非线性效应，包括弹塑性分析和的动力分析等。
三、应用现状在实际的建筑结构设计和分析中，钢筋混凝土结构的有限元分析被广泛采用，可以帮助工程师更加准确地预测材料的行为，并定位结构的破坏点及应急防御措施。
混凝土本构关系总结
作业1：总结典型的混凝土本构模型类型，并就每种类型给出有代表性的几个模型按照力学理论基础的不同，已有的本构模型大致分为以下几种类型：以弹性理论为基础的线弹性和非线性弹性本构模型；以经典塑性理论为基础的弹全塑性和弹塑性硬化本构模型；用内时理论描述的混凝土本构模型等。
1、 混凝土单轴受力应力—应变关系1.1 混凝土单向受压应力—应变关系 1、 saenz 等人的表达式saenz 等人（1964年）所提出的应力—应变关系为0230000=1(2)(21)()()S E E E εσεεεαααεεε++---+图1 混凝土单轴受压应力--应变关系2、 Hognestad 的表达式Hognestad 建议的模型，其应力—应变曲线的上升段为二次抛物线，下降段为斜直线，如图2所示，表达式为2000=[2()]εεσσεε- 0εε≤ 000=[1-0.15()]cu εεσσεε-- 0cu εεε≤≤图2 Hognestand 建议的应力--应变关系3、 GB50010—2002建议公式我国《混凝土结构设计规范》所推荐的混凝土轴心受压应力—应变关系为01εε≤（上升段）3000[(32)(2)()]aa a εεσααασεε=+-+- 01εε>（下降段） 00200/(-+c εεσσεεαεε=1）式中，a α表示应力—应变曲线的上升段参数；c α为下降段参数。
4、 CEB —FIP 建议公式CEB —FIP 模式规范建议的单轴受压应力—应变关系为20000(/)(/)1(2)(/)k k εεεεσσεε-=+-式中，k 为系数，00(1.1)(/)C k E εσ=,C E 为混凝土纵向弹性模量。
2、混凝土非线性弹性本构模型1、 混凝土非线性弹性全量型本构模型当材料刚度矩阵[]D 用材料弹性模量E 和泊松比ν表达，则为全量E-ν型；如果材料的刚度矩阵[]D 用材料模量K 和剪变模量G 表达，则为全量K —G 型。
混凝土材料结构与一维受力本构关系
式中，峰值应变随抗拉强度而增大，经验回归关系是
t , p 65 106 ft 0.54
参数 t 亦随混凝土抗拉强度而增大
t 0.312 ft 2
2012年新版混凝土规范GB50010-2010 ，采用了2002
规范公式的基本形式。但引入了损伤变量表达。
(1 dt ) Ec
拉伸链条
固定弹簧
底座
单轴拉伸试件破坏形态 单轴拉伸加载示意图
（1966年，英国的Hughes和Chapman首次报导了单轴受拉应力—应 变全曲线的试验结果。）
（2）全过程描述
ft
t, p
在初始受拉阶段，应力应变基本服从按线性增长的关系，在 应力达到抗拉强度的40%-60%时，变形增长逐渐加快，应力应 变关系逐渐偏离线性关系，呈现非线性的特点。到达峰值应力 6 10－ 时，相应的应变约为（70～140） 。随后，名义应力水平很快下 降，形成下降段曲线。当平均应变达 2t , p 时，可在受拉构件表 面观察到细小的横向裂缝，缝宽约为0.04-0.08mm，此时，试 件残余应力约为 (0.2 ~ 0.3) f ，此后，裂缝迅速延伸、发展，最终 裂缝贯穿全截面，试件断为两截。
一组特殊的实验：在这一组试验中，采用了理想化的圆形骨 料，并采用X光摄像技术观测到了混凝土单轴受压的裂缝过
程，如图所示：多数混凝土初始裂缝产生于骨料与水泥砂浆
的结合部。在同一研究中，也研究了普通骨料形成的混凝土 试件，其观测结果与圆形骨料大体相同
（3）混凝单轴受压试验的数值模拟
（4）混凝土力学行为的随机性
1 t 1.2 0.2 x5 dt t 1 1.7 ( x 1) x t
ft ,r x , t t ,r Ec t ,r
混凝土正截面承载力本构关系
混凝土正截面承载力本构关系混凝土正截面承载力本构关系，这听起来有点高大上，可咱要是把它当成一个人的能力和性格特点来理解，就没那么难了。
咱们先说说混凝土这东西，就像一个坚强的战士，在建筑里承担着巨大的压力。
混凝土正截面承载力呢，就好比这个战士能承受多重的打击。
这承载力可不是随便来的，它跟混凝土内部的一些关系可紧密了，这就是本构关系。
混凝土里有水泥、沙子、石子这些东西，就像一个团队里不同的成员。
水泥就像是队长，把大家团结在一起。
沙子和石子呢，就像是队员，各自发挥着作用。
它们组合起来的方式、比例，就会影响到混凝土这个整体的能力，就像一个团队的配合好坏会影响到整个团队的战斗力一样。
从力学的角度看，正截面承载力本构关系涉及到混凝土在受力时的应力和应变的关系。
应力呢，你可以想象成是别人给混凝土施加的压力或者拉力，应变就是混凝土在这个压力或者拉力下的变形。
这就好比你推一个弹簧，你用的力气就是应力，弹簧被你推得缩短或者拉长的量就是应变。
混凝土可不像弹簧那么简单，它在受力的时候，内部结构会发生复杂的变化。
当给混凝土施加的力比较小的时候，混凝土就像一个很有韧性的人，它能够承受这个力，而且变形也比较小。
这个时候应力和应变的关系是比较简单的线性关系，就像你在平坦的路上走路，一步一步很稳当。
可是当力不断增大，超过了一定的限度，混凝土就开始有点吃不消了，就像一个人背负了太重的东西，开始摇摇晃晃。
这时候应力和应变的关系就不再是简单的线性关系了，它变得复杂起来。
在正截面承载力本构关系里，有一个很重要的点就是混凝土的极限承载力。
这就好比一个人的极限能力。
混凝土在达到这个极限承载力的时候，就像一个人累到了极点，不能再承受更多的压力了。
这个极限承载力跟混凝土的材料特性、构件的尺寸形状都有关系。
比如说，一个粗大的混凝土柱子肯定比一个细小的柱子能承受更多的压力，这就像一个强壮的人比一个瘦弱的人能背更重的东西一样。
混凝土正截面承载力本构关系还受到很多其他因素的影响。
混凝土的本构关系
以主应力和主应变表示
则为:
式中切线弹性模量 和 ，泊松比 随应力状态和数值的变 化按下述方法确定。
§7.1.4 混凝土的本构关系
2、混凝土非线弹性本构模型____Darwin-Pecknold 本构模型
材料在双轴受压
应变为：
• 等效单轴应力-应变关系
§7.1.4 混凝土的本构关系
2、混凝土非线弹性本构模型____Darwin-Pecknold 本构模型
2、混凝土非线弹性本构模型____Ottosen本构模型
定义一非线性指标 ，表示当前应力状态
至混凝土
破坏（包络面）的距离，也即塑性变形发展的程度。假定
保持不变，压应力 增大至 时混凝土破坏，则
混凝土的多轴应力应变关系采用Sargin的单轴受压方程，即
§7.1.4 混凝土的本构关系
2、混凝土非线弹性本构模型____Ottosen本构模型
式中参数以多轴应力状态的相应值代替：
代入得一元二次方程，解之得到割线模量：
§7.1.4 混凝土的本构关系
2、混凝土非线弹性本构模型____Ottosen本构模型
混凝土的泊松比很难从试验中精确测定。Ottosen本构模型取割 线泊松比 随 的变化如图，计算式为：
式中可取：
§7.1.4 混凝土的本构关系
2、混凝土非线弹性本构模型____Ottosen本构模型
单轴受压应力-应变
多轴应力-应变
Ottosen本构模型
泊松比
§7.1.4 混凝土的本构关系
2、混凝土非线弹性本构模型____Ottosen本构模型 非线性指标
• 根据非线性指标 的定义， 值计算要通过破坏包络
面先求 ，在一般情况下需要经过多次迭代方能求出；
简析混凝土本构关系
简析混凝土本构关系作者：***来源：《价值工程》2019年第27期摘要：混凝土由于复杂的自身材料，制作工艺和周围环境的不同，使得就力学特性而言十分复杂。
而混凝土的本构关系又是有限元分析的误差主要来源。
本文概述了混凝土常见的本构关系，即：弹性模型、塑性模型、非线弹性模型和其他弹性模型，阐述了不同模型的基本概念，为计算提供了理论支撑。
Abstract： Due to the complexity of its own materials， the difference of manufacturing process and the surrounding environment， concrete is very complicated in terms of mechanical properties. The constitutive relationship of concrete is the main source of error in finite element analysis. This paper outlines the common constitutive relationships of concrete， namely： elastic models， plastic models， nonlinear elastic models and other elastic models. The basic concepts of different models are described to provide theoretical support for the calculation.关键词：应力应变;本构关系;模型;混凝土Key words： stress and strain;constitutive relations;models;concrete中图分类号：TU528 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;文献标识码：A ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;文章编号：1006-4311（2019）27-0197-020 ;引言混凝土是一种人工混合材料。
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流变学理论
三种基本元件：
• 理想弹性元件（Hook体、弹簧体） E 也可表示剪应力与剪应变关系
• 粘性元件（Newton体、阻尼体）
• 理想塑性元件（St.Venant体、滑块体）
f
f
0
某值
流变学理论
两元件的组合单元之一： 麦克斯韦（Maxwell）模型 变形协调方程： 1 2 元件力－变形关系： E 组合元本构方程：
非线性弹性本构关系－增量型
全量型：按比例一次加载，与加载路径无关 增量型：逐级加载/非比例加载 建立应力增量与应变增量的关系
非线性弹性本构关系－全量型
如果将材料常数E、v或K、G不取常数，而是随应力 状态变化的参数，则得到材料非线性弹性关系
方法一：试验直接确定 材料材料参数 方法二：利用一维试验结 果，给出算法，得到不同 应力状态下的材料参数 方法评价 形式二：增量型
形式一：全量型
以后介绍
非线性弹性本构关系－全量型
全量K－G型（方法一）
非线性弹性本构关系－全量型
全量E 型 （Ottosen模型，方法二）
非线性指标
的确定：
fc
单向应力状态： 双向应力状态：
0 1
2 1 OP 2 f 1 f OF
三轴应力状态： Ottosen法
J2
法
非线性弹性本构关系－全量型
全量E 型 （Ottosen模型，方法二）
max 3
max (1 2 ) b2 a
a
max
材料必然破坏？
断裂力学理论
三种裂缝类型：
张开型(Ⅰ类)、滑开型(Ⅱ类)、撕开型(Ⅲ类)
KI
应力强度因子，常数
K I K IC
断裂韧度
a
总体上反映应力场奇异性
损伤力学理论
损伤因子D：表征材料内部缺陷的物理量
引入非线性指标概念，基于一维应力－应变关 系表达式，求出即时的 Es 和 s ，进而得到材 料非线性本构矩阵 步骤：1. 已知材料
f c E0 0
F ( ij ) 0
J3
2. 求主应力，或不变量 I 1 J 2
3. 求非线性指标
4. 求出即时的 Es 和 s 5. 得到材料非线性本构矩阵
混凝土材料的本构关系
• 弹性理论 • 弹塑性理论 • 粘弹性理论 • 粘塑性理论 • 断裂力学理论 • 损伤力学理论 • 内时理论
E
d E( )d Et d
• 非线性弹性理论 E( ) 各种模型 流变学理论
弹塑性理论
塑性变形：卸载后产生不可恢复的变形 • 加载模型 理想弹塑性模型 强化弹塑性模型 刚塑性模型 一般弹塑性模型 • 卸载模型 • 反向加载（强化）模型 等强强化模型 随动强化模型 软化如何考虑？ 弹性段： E 塑性段： E[1 ( )]
0 D 1
材料单轴受力：
An D 1 A
E En (1 D)
En (1 D)
构件： 结构：
非线性弹性本构关系－全量型
线弹性本构关系
D
也可用体积弹性模量K和剪切弹性模量G表示
非线性弹性本构关系－全量型
线弹性本构关系
D
E t
麦克斯韦模型与混凝土徐变/松驰的差异：趋于某一限值
流变学理论
两元件的组合单元之二： 开尔文（Klevin）模型 力平衡方程： 1 1 2 元件力－变形关系： E
组合元本构方程： E
引入中间变量t，考察 t 关系 徐变：
E
引入中间变量t，考察 t 关系 徐变： t 0
0
E
0
0 t
卸载：恢复弹性变形，保留徐变
流变学理论
两元件的组合单元之一： 麦克斯韦（Maxwell）模型 0 松弛： t 0
t 任意 0
0e
弹性卸载
适合混凝土吗？
弹塑性理论
等强强化模型与随动强化模型 适用于混凝土材料吗？
流变学理论
弹性理论：仅与应力状态有关 塑性理论：与应力状态、加载历史、加载路径有关
流变学理论：除上述外，还与时间有关
应变徐变、应力松弛．．．
三种基本元件：
• 理想弹性元件（Hook体、弹簧体） • 粘性元件（Newton体、阻尼体） • 理想塑性元件（St.Venant体、滑块体）
Ks ab oct c d K0
Gs pq oct m s oct t G0
K 0 ：初始体积模量
G0
：初始剪切模量
oct
：八面体正应变
oct ：八面体剪应变
非线性弹性本构关系－全量型
全量K－G型（方法一）
非线性弹性本构关系－全量型
全量E 型 （Ottosen模型，方法二）
( D 1)( ) 2 c c Sargin应力－应变表达式： fc 1 ( A 2) D( ) 2 c c E 将 和 s 带入上式得：
A
fc
即时的 Es和 s 的确定
1 1 1 1 E s E 0 ( E 0 E c ) E 0 ( E 0 E f ) E c2 D(1 ) 1 2 2 2 2
2
E f：三轴应力状态下混凝土破坏时的割线弹性模量 其中，
Ottosen建议取值，王传志建议取值等
非线性弹性本构关系－全量型
全量E 型 （Ottosen模型，方法二）
即时的 s 的确定
s 的变化特点
Ottosen公式 Elwid公式
江见鲸公式
t0
E
0
(1 e
E t
0
E
)
卸载： 应变逐渐消失 松弛
与混凝土相符吗？
非松弛体
流变学理论
三元件的组合单元之一：
流变学理论
三元件的组合单元之二：
略!
柏格斯模型
流变学理论
三元件的组合单元之三： 粘塑性模型
塑性元件 粘性元件
徐变
松弛
断裂力学理论
研究固体材料中裂缝的扩散规律和断裂条件