2013到2015四川卷 简易逻辑、导数圆锥曲线真题
2013年高考试题四川卷(理科数学)试题及每个题的详细解答学生版
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（四川卷）第I卷一、选择题1. 设集合A= {x|x+ 2= 0}，集合B={x|x2—4= 0}，贝V AH B 等于（）A . { —2}B . {2}C . { —2,2}D . ?2. 如图，在复平面内，点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点（）A . A B. BC . CD . D3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A B C D4.设x€Z,集合A是奇•数集，集合B是偶数集.若命题p: ? x € A,2x € B，贝U（）A .p ? x€ A,2x€ B B . - p: ? x?A,2x?BC . 一p：? x?A,2x€ BD . - p：? x€ A,2x?Bn n1E视图侧视图俯视阳5.函数f（x）= 2sin（3x+$）（3>0, —的部分图象如图所示，贝U co, $的值分别是（）n nA. 2,—3B. 2,—6nnC . 4，— 6D . 4, 36.抛物线y 2 = 4x 的焦点到双曲线2x 2—豊=1的渐近线的距离是（）A.1 C . 1 D. 32X7.函数y = 3x — 1的图象大致是(3 I&从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a , b ,共可得到lg a — lg b 的 不同值的个数是（ ） A . 9 B . 10 C . 18 D . 20 9•节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且 都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生， 然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩 灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2秒的概率是（ ） A.4 B.2 C.4 D.f10.设函数 f(x) = ：J e x + x - a(a € R , 使得f(f(y °)) = y °,贝V a 的取值范围是A . [1 , e]B . [e -1-1,1]C . [1 , e + 1]D . [e — 1, e + 1] e 为自然对数的底数），若曲线y = sin x 上存在点（x °, y °）第二卷 二、填空题 11.二项式（x + y ）3的展开式中，含x 2y ： 3的项的系数是.（用数字作答） 12. 在平行四边形 ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O , AB + AD = A O ，贝V 入= A 、13. ___________________________________________________ 设 sin 2 a=— sin a, a€ 运， n 丿，贝U tan 2 a 的值是 ______________________________ . 14.已知f （x ）是定义域为 R 的偶函数，当x > 0时，f （x ） = x 2— 4x ,那么，不等式f （x + 2）<5的 解集是 ___________ . 15.设P i,P 2,…，P n 为平面a 内的n 个点，在平面a 内的所有点中，若点P 到点P^P ?,…, P n 的距离之和最小，则称点 P 为点P 1, P 2,…，P n 的一个“中位点”.例如，线段 AB 上 的任意点都是端点 A 、B 的中位点.现有下列命题: ①若三个点 A , B , C 共线，C 在线段AB 上，贝U C 是A , B , C 的中位点; ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点;③若四个点A，B，C，D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________ ．（写出所有真命题的序号）三、解答题16. 在等差数列｛a n｝中，a i + a3 = 8,且a4为a?和a?的等比中项，求数列｛a“｝的首项、公差及前n 项和．2A —B17. 在△ ABC 中，角A, B, C 的对边分别为a, b, c,且2cos—2 cos B—sin(A —B)sin B3+ cos(A+ C)=—二5(1) 求cos A的值；⑵若a = 4 2, b= 5,求向量BA在BC方向上的投影.18. 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3,…，24这24个整数中等可能随机产生.(1) 分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i= 1,2,3);(2) 甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i = 1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.甲的频数统计表(部分)运行输出y的值输出y的值输出y的值次数n为1的频数为2的频数为3的频数30146102 100 1 027376697乙的频数统计表(部分)运行输出》的值输出y的值输出了的值次数“为1的频数为2的频数为3的频数3012117« « A■ ■ ■■ • •* * *2 100 1 051696353当n= 2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i = 1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；(3) 将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数E的分布列及数学期望.19. 如图，在三棱柱ABCA i B i C i中，侧棱AA i丄底面ABC, AB= AC = 2AA i,/ BAC D, D i 分别是线段BC, B i C i的中点，P是线段AD的中点.(i)在平面ABC内，试作出过点P与平面A i BC平行的直线I，说明理由，并证明直线面ADDi A i；⑵设⑴中的直线I交AB于点M，交AC于点N，求二面角AA i MN的余弦值. 解i20°I丄平2 2X y20. 已知椭圆C: 2+詁=1(a>b>0)的两个焦点分别为F i(—1,0), F2(1,0)，且椭圆C经过点a b(1)求椭圆C的离心率；2 1⑵设过点A(0,2)的直线I与椭圆C交于M , N两点，点Q是线段MN上的点，且|AQ|2 = |^祈1+ 兩2，求点Q的轨迹方程.X2+ 2x+ a, x<0,其中a是实数，设A(x i, f(x i)), B(x2, f(X2))为该函21. 已知函数f(x) =|ln x, x>0,数图象上的两点，且X i<X2.(1)指出函数f(x)的单调区间；⑵若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2<0，求X2—X i的最小值;⑶若函数f(x)的图象在点A, B处的切线重合，求a的取值范围.。
2013-高考真题-圆锥曲线
2013-高考真题-圆锥曲线2013 圆锥曲线一、选择题1 ．（2013年高考湖北卷（文））已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的（ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【答案】D【解析】本题考查双曲线的方程以及,,a b c 的计算。
双曲线1C 中，2222sin ,cos a b θθ==，所以21c=，离心率为221sin eθ=。
2C 中，2222cos ,sin a b θθ==，所以21c=。
所以两个双曲线有相同的焦距，选D.2 ．（2013年高考四川卷（文9））从椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是（ ）A B ．12C D【答案】C【解析】由已知得，点),(y c P -在椭圆上，代入椭圆的方程，得),(2ab c P -，因为AB ∥OP ，所以OPABk k=，acb a b 2-=-，c b =，所以21222222=-==c b c a c e ，22=e ，选C.3 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文10））设抛物线2:4C yx=的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点。
若||3||AF BF =，则l 的方程为（ ）（A ）1y x =-或1y x =-+ （B ）1)y x =-或(1)3y x =--（C ）1)y x =-或1)y x =- （D ）(1)2y x =-或1)2y x =--【答案】C【解析】抛物线y 2=4x 的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则因为|AF|=3|BF|，所以x 1+1=3（x 2+1），所以x 1=3x 2+2。
高考数学2013年高考四川卷(文)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学（文史类）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则AB =（ ）（A ）∅ （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）{2,1,2,3}- 2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）（A ）棱柱 （B ）棱台 （C ）圆柱 （D ）圆台3．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）（A ）A （B ）B （C ）C （D ）D4．设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈ （B ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （D ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉5．抛物线28y x =的焦点到直线0x -=的距离是（ ）（A ） （B ）2 （C （D ）1 6．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）（A ）2,3π-（B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π7．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是（ ）(B)(A)(C)(D)8．若变量,x y满足约束条件8,24,0,0,x yy xxy+≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z yx=-的最大值为a，最小值为b，则a b-的值是（）（A）48（B）30（C）24（D）169．从椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点1F，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且//AB OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）（A）4（B）12（C）2（D）2 10．设函数()f x=（a R∈，e为自然对数的底数）．若存在[0,1]b∈使(())f f b b=成立，则a的取值范围是（）（A）[1,]e（B）[1,1]e+（C）[,1]e e+（D）[0,1]第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共25分．11．____ _．12．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ=___ __ _．13．已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =___ ___． 14．设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α的值是________． 15．在平面直角坐标系内，到点(1,2)A ，(1,5)B ，(3,6)C ，(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 在等比数列{}n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和．17．(本小题满分12分) 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos()cos sin()sin()5A B B A B A c ---+=-．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若a =，5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影．18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在24,,3,2,1 这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =； （Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．当2100n =时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，122AB AC AA ===，120BAC ∠=，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．（Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥11A QC D -的体积．（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）20．(本小题满分13分)已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=，点O 是坐标原点．直线:l y kx =与圆C 交于,M N 两点．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设(,)Q m n 是线段MN 上的点，且222211||||||OQ OM ON =+．请将n 表示为m 的函数．21．(本小题满分14分)已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，其中a 是实数．设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <．（Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，证明：211x x -≥； （Ⅲ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围．参考答案一、选择题 1．B 2．D 3．B 4．C 5．D 6．A 7．A 8．C 9．C 10．A 11．1 12．2 13．36 14．3 15．（2,4） 16．解：设{}n a 的公比为q ．由已知可得211=-a q a ，211134q a a q a +=，所以2)1(1=-q a ，0342=+-q q ，解得 3=q 或 1=q ，由于2)1(1=-q a 。
2013年四川省高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本答题共有10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．22．（5分）（2013•四川）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）3．（5分）（2013•四川）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）B4．（5分）（2013•四川）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，5．（5分）（2013•四川）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）BT=时取得最大值，得到+．由此即可得到本题的答案．时取得最大值，x==﹣==x=+，可得+=﹣6．（5分）（2013•四川）抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）B±，化成一般式得：，可得=1又∵双曲线的方程为b=±±x．d=7．（5分）（2013•四川）函数的图象大致是（）B8．（5分）（2013•四川）从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，，所以从，种排法，，9．（5分）（2013•四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔B=10．（5分）（2013•四川）设函数（a∈R，e为自然对数的底数），若曲时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究是一个增函数，可得出＞时，此函数是一个增函数，=0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2013•四川）二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是10（用数字作答）．x的项的系数是=1012．（5分）（2013•四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ=2．依题意，+，而=2，从而可得答案．+==2+=2+λ，13．（5分）（2013•四川）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．，，=，，=故答案为：14．（5分）（2013•四川）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．15．（5分）（2013•四川）设P1，P2，…P n为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…P n的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…P n的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是①④（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（12分）（2013•四川）在等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项，公差及前n项和．=17．（12分）（2013•四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB ﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．，，（Ⅱ）由正弦定理，，所以，B=在方向上的投影：．18．（12分）（2013•四川）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率p i（i=1，2，3）；（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．=；===的概率为的概率为，输出的；输出y值为1的频率输出y值为2的频率输出====，，0 2 3=19．（12分）（2013•四川）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．（Ⅰ）在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．AP=，====，可得=的余弦值等于20．（13分）（2013•四川）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率：（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．的坐标表示出：（．=2e==…的方程为，设点）=…①中，得（＞=，＞＜（﹣，[，（﹣，（21．（14分）（2013•四川）已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．时，∵，即时，∵，即．处的切线重合的充要条件是得．∵函数在。
2013年高考理科数学四川卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共28页）数学试卷 第2页（共28页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学(理工类)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共4页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时,须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|20}A x x =+=,集合2{|40}B x x =-=,则A B =( )A .{2}-B .{2}C .{2,2}-D .∅2.如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( )A .AB .BC .CD .D3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( )A .B .C .D .4.设x ∈Z ,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则 ( )A .,2p x A xB ∈⌝∀∉： B .,2p x A x B ∉⌝∀∉：C .,2p x A x B ∉⌝∃∈：D .,2p x A x B ∈⌝∃∉：5.函数ππ()2sin()(0,)22f x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图象 如图所示,则,ωϕ的值分别是( )A .π2,3-B .π2,6- C .π4,6-D .π4,36.抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是( )A .12B .32C .1D .3 7.函数231x x y =-的图象大致是( )A .B .C .D .8.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数是( )A .9B .10C .18D .209.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是 ( )A .14B .12C .34D .7810.设函数()e x f x x a =+-(a ∈R ,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在点00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( )A .[1,e]B .1[e1,1]-－C .[1,e 1]+D .1[e 1,e 1]-+－-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第3页（共28页）数学试卷 第4页（共28页）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色 墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是 （用数字作答）. 12.在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ= . 13.设sin 2sin αα=-,π(,π)2α∈,则tan 2α的值是 .14.已知()f x 是定义域为R 的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,那么,不等式(2)5f x +<的解集是 . 15.设12,,,n P P P 为平面α内的n 个点,在平面α内的所有点中,若点P 到点12,,,n P P P 的距离之和最小,则称点P 为点12,,,n P P P 的一个“中位点”.例如,线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点.现有下列命题：①若三个点,,A B C 共线,C 在线段AB 上,则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线,则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)在等差数列{}n a 中,138a a +=,且4a 为2a 和9a 的等比中项,求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和.17.(本小题满分12分)在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且22cos cos sin()sin 2A BB A B B ---3cos()5A C +=-＋.（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若42a =,5b =,求向量BA 在BC 方向上的 投影.18.(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x 在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生. （Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n 次后,统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.甲的频数统计表（部分）乙的频数统计表（部分）运行 次数n 输出y 的值 为1的频数 输出y 的值 为2的频数 输出y 的值 为3的频数 30 14 6 10 2 100 1 027 376 697运行次数n 输出y 的值 为1的频数 输出y 的值 为2的频数 输出y 的值 为3的频数30 12 11 7 2 1001 051 696 353当2100n =时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率（用分数表示）,并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大； （Ⅲ）将按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.19.(本小题满分12分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,12AB AC AA ==,120BAC ∠=,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线段AD 的中点.（Ⅰ）在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线 l ,说明理由,并证明直线l ⊥平面11ADD A ；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AB 于点M ,交AC 于点N ,求二面角1A A M N--的余弦值.20.(本小题满分13分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.21.(本小题满分14分)已知函数22,0()ln ,,,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩其中a 是实数.设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <. （Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,求21x x -的最小值； （Ⅲ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围.3 / 142013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A 【解析】{+2=0}A x x =，{2}A ∴=-，2{40}B x x =-=，{2,2}B ∴=-，{2}A B ∴=-.【提示】分别求出集合A 和集合B 的解集，即可求交集. 【考点】集合的基本运算 2.【答案】B【解析】设+i(,)z a b a b =∈R ，且0a <，0b >，则z 的共轭复数为i a b -，其中0a <，0b -<. 【提示】复数z 表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称. 【考点】复平面 3.【答案】D【解析】由俯视图的圆环可排除A ，B ，进一步将已知三视图还原为几何体. 【提示】由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体. 【考点】平图形的直观图，三视图 4.【答案】D【解析】命题p 是全称命题：,2x A x B ∀∈∈，则p ⌝是特称命题：,2x A x B ∃∉∉. 【提示】全称命题的否定，将∀改为∃，将2x B ∈改为2x B ∈. 【考点】全称量词，存在量词 5.【答案】A 【解析】35π3ππ41234T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，πT ∴=，2ππω∴=，2ω∴=.由图象知当5π12x =时， 5π2π+=2π+()122k k ϕ⨯∈Z ，即π2π()3k k ϕ=-∈Z ，π3ϕ∴=-. 【提示】由图象可得35π3ππ41234T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得πT =，求得ω的值，由图象知当5π12x =时，5π2π+=2π+()122k k ϕ⨯∈Z ，即可求ϕ的值. 【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其变化数学试卷 第7页（共28页）6.【答案】B【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，则焦点到渐近线的距离122|310|32(3)(1)d ⨯-==+-或22|310|32(3)1d ⨯+==+. 【提示】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离.【考点】双曲线，抛物线的基本性质 7.【答案】C【解析】由310x-≠得0x ≠，所以函数331x x y =-的定义域{0}x x ≠，可排除A ；当1x =-时，1301213y -==>-，可排除B ；当2x =时，1y =，当4x =时，6480y =，但从选项D 的函数图象可以看出函数在(0,)+∞上是单调增函数，两者矛盾，故选C .【提示】由函数解析式可得该函数定义域；取1x =-代入函数，与图象比较；取两点代入函数，观察函数单调性，与图象相比较即可得出答案. 【考点】函数图象的判断 8.【答案】C【解析】从1，3，5，7，9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数2520A =，但lg1lg3lg3lg9-=-，lg3lg1lg9lg3-=-，所以不同值的个数为20218-=.【提示】从1，3，5，7，9五个数中每次取出两个不同数的排列个数2520A =，相同值的个数为2个，即可求不同值的个数.【考点】排列组合及其应用 9.【答案】C【解析】设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则04x ≤≤，04y ≤≤，而事件发生的概率为||2x y -≤，可行域如图阴影部分所示，由几何概型得22142(22)3244P -⨯⨯⨯==.5 / 14【提示】设第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，由题意可知x ，y 的取值范围，而事件发生的概率为||2x y -≤，画出可行域，可求概率. 【考点】几何概型 10.【答案】A【解析】由已知点00(,)x y 在曲线sin y x =上，得000sin ,[0,1]y x y =∈，即存在0[0,1]y ∈使00(())f f y y =成立，则点00(,())A y f y ，00((),)A f y y '都在的图象上，又()e x f x x a =+-在[0,1]上单调递增，所以()()0A A A A x x y y ''--≥，0000[()][()]0f y y y f y ∴--≥，200[()]0f y y ∴-≤，∴00()f y y =，所以()f x x=在[0,1]上有解，2e ,[0,1]x a x x x ∴=+-∈，令2()e ,[0,1]x x x x x ϕ=+-∈，()x ϕ在[0,1]上单调递增，又(0)1ϕ=，(1)e ϕ=，()[1,e]x ϕ∴∈即[1,e]a ∈.【提示】由题意得得000sin ,[0,1]y x y =∈，即存在0[0,1]y ∈使00(())f f y y =成立，则点00(,())A y f y ，00((),)A f y y '都在的图象上，又()e x f x x a =+-在[0,1]上单调递增，所以()f x x =在[0,1]上有解，令2()e ,[0,1]x x x x x ϕ=+-∈，根据()x ϕ的单调性，即可求a 的范围.【考点】函数零点的应用第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】10【解析】323234510T C x y x y ==，故填10.【提示】由二项式展开式的通项公式或直接展开可得. 【考点】二项式展开式 12.【答案】2【解析】由向量加法的平行四边形法则，得AB AD AC +=又O 是AC 的中点，2AC AO ∴=，2AC AO ∴=，AB AD AO λ∴+=，2λ∴=.【提示】由向量加法的平行四边形法则得AB AD AC +=，由中点向量公式得2AC AO =，即可求λ的值. 【考点】平面向量的四则运算数学试卷 第11页（共28页）13.【答案】3【解析】由题意得1cos 2α=-而π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2π3α∴=，4πtan2tan πtan 333α∴===.【提示】由题意可得1cos 2α=-，根据α的取值范围可求出α的值，利用二倍角正切公式可求. 【考点】二倍角公式 14.【答案】73x -<<【解析】设0x <，则0x ->，当0x ≥时，2()4f x x x =-，2()4f x x x ∴-=-，故()f x 为在定义域上的偶函数，224,0()+4,0x x x f x x x x ⎧-≥∴=⎨<⎩，由()5f x =得5x =或5x =-，所以()5f x <得55x -<<，由(2)5f x +<得73x -<<，所以不等式的解集为73x -<<.【提示】由()f x 为在定义域上的偶函数得出函数解析式，令()5f x =得到x 的取值范围，根据偶函数性质即可求出(2)5f x +<的解集. 【考点】解不等式 15.【答案】①④【解析】||+||||CA CB AB =当且仅当点C 在线段AB 上等号成立，所以点C 是中位点，故①为真命题；②③为假命题；若P 为点A ，C ，则点P 在线段AC 上，若点P 是B ，D 的中位点，则点P 在线段BD 上，所以若点P 是A ，B ，C ，D 的中位点，则P 是AC ，BD 的交点.所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题.【提示】由“中位点”可知，若C 在线段AB 上，则线段AB 上任一点都为“中位点”，C 也不例外；若P 为点A ，C ，则点P 在线段AC 上，若点P 是B ，D 的中位点，则点P 在线段BD 上，所以若点P 是A ，B ，C ，D 的中位点，则P 是AC ，BD 的交点. 【考点】新定义 三、解答题16.【答案】数列{}n a 的首项为4，公差为0；或首项为1，公差为3；前n 项和4n S n =或232n n nS -=【解析】设该数列公差为d ，前n 项和为n S .由已知，可得1228a d +=，2111(3)()(8)a d a d a d +=++，所以14a d +=，1(3)0d d a -=， 解得14a =，0d =，或11a =，3d =，即数列{}n a 的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.7 / 14所以数列的前n 项和4n S n =或232n n nS -=.【提示】设该数列公差为d ，前n 项和为n S ，由已知，可得1228a d +=，2111(3)()(8)a d a d a d +=++，解除1a 与d ，由前n 项和公式可求n S . 【考点】等差数列的性质 17.【答案】（Ⅰ）3cos 5A =-（Ⅱ）2||cos 2BA B = 【解析】（Ⅰ）由232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-，得3[cos()1]cos sin()sin cos 5A B B A B B B -+---=-，即3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-，则3cos()5A B B -+=-，即3cos 5A =-.（Ⅱ）由3cos ,0π5A A =-<<，得4sin 5A =，由正弦定理，有sin sin a bA B=， 所以，sin 2sin 2b A B a ==. 由题知a b >，则A B >，故π4B =. 根据余弦定理，有2223(42)5255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得1c =或7c =-（舍去）.故向量BA 在BC 方向上的投影为2||cos 2BA B =. 【提示】（Ⅰ）根据三角形中角的关系利用公式化简可得； （Ⅱ）由3cos ,0π5A A =-<<，得4sin 5A =，根据正弦定理求得B 的值，根据余弦定理求得c 的值，即可求投影.【考点】正弦定理，余弦定理18.【答案】（Ⅰ）变量x 是在1，2，3，……24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能. 当x 从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故112P =；数学试卷 第15页（共28页）当x 从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故213P =； 当x 从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故316P =. （Ⅱ）当2100n =时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为(123)i i =,,的频率如下： 输出y 的值为1的频率输出y 的值为2的频率输出y 的值为3的频率甲 10272100 3762100 6972100 乙10512100 6962100 3532100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. （Ⅲ）随机变量ξ可能取值为0，1，2，3.030031283327P C ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12113124339P C ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21223122339P C ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，303331213327P C ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故ξ的分布列为ξ0 1 2 3P 82749 29 127 所以8421()01+2+3=1279927E ξ=⨯+⨯⨯⨯ 即ξ的数学期望为1.【提示】（Ⅰ）当x 从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y 的值为1，当x 从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y 的值为2，当x 从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y 的值为3，从而得出输出y 的值为1的概率为12；输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16； （Ⅱ）当2100n =时，列出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率的表格，再比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大；（Ⅲ）随机变量ξ可能取值为0，1，2，3，求出相应取值的概率，列出分布列，即可求期望值. 【考点】选择结构的程序框图19.【答案】（Ⅰ）如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l BC ∥，因为l 在平面1A BC 外，BC 在平面1A BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面1A BC .9 / 14由已知，AB AC =，D 是BC 中点，所以BC AD ⊥，则直线l AD ⊥， 又因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA l ⊥，又因为AD ，1AA 在平面11ADD A 内，且AD 与1AA 相交， 所以直线l ⊥平面11ADD A .（Ⅱ）解法一：连接1A P ，过A 作1AE A P ⊥于E ，过E 作1EF A M ⊥于E ，连接AF . 由（Ⅰ）知，MN ⊥平面1AEA ，所以平面1AEA ⊥平面1A MN ， 所以AE ⊥平面1A MN ，则1A M AE ⊥， 所以1A M ⊥平面AEF ，则1A M ⊥AF ，故AFE ∠为二面角1A A M N --的平面角（设为θ）. 设11AA =，则由12AB AC AA ==，120BAC ∠=， 有60BAD ∠=，2AB =，1AD =.又P 为AD 的中点，所以M 为AB 的中点，且1AM =，12AP =， 在1Rt AA P △中，152A P =；在1Rt A AM △中，12A M =， 从而，1115AA AP AE A P ==，1112AA AM AF A M ==， 所以2sin 5AE AF θ==， 所以22215cos 1sin 155θθ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故二面角1A A M N --的余弦值为155. 解法二：设11AA =，如图，过1A 作1A E 平行于11B C ，以1A 为坐标原点，分别以1A E ，11A D ，1AA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz （点O 与点1A 重合），则1(0,0,0)A ，(0,0,1)A . 因为P 为AD 的中点，所以M ，N 分别为AB ，AC 的中点，故31,,122M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,,122N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以131 ,,1 22A M⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()10,0,1A A=，(3,0,0)NM=.设平面1AA M的一个法向量为1111(,,)n x y z=，则1111n A Mn A A⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即1111n A Mn A A⎧=⎪⎨=⎪⎩，故有11111131(,,),,1022(,,)(0,0,1)0x y zx y z⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，从而11113122x y zz⎧++=⎪⎨⎪=⎩，取11x=，则13y=-，所以1(1,3,0)n=-.设平面1A MN的一个法向量为2222(,,)n x y z=，则212n A Mn NM⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即212n A Mn NM⎧=⎪⎨=⎪⎩，故有22222231(,,),,1022(,,)(3,0,0)0x y zx y z⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，从而2222312230x y zx⎧++=⎪⎨⎪=⎩，取22y=，则21z=-，所以2(0,2,1)n=-.设二面角1A A M N--的平面角为θ，又θ为锐角，则1212(1,3,0)(0,2,1)15cos5||||25n nn nθ--===.故二面角1A A M N--的余弦值为155.【提示】（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l BC∥，根据直线和平面平行的判定定理可得直线l与平面1A BC平行.等腰三角形ABC中，根据等腰三角形中线的性质可得AD BC⊥，故l AD⊥.再由1AA⊥底面ABC，可得1AA l⊥.再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l⊥平面11ADD A；（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）的结论得出平面1AEA⊥平面1A MN，从而证得AFE∠为二面角1A A M N--的平数学试卷第19页（共28页）11 / 14面角，设11AA =，可求出AB 、AD 、A 1M 、A 1P 、AE 和AF 的长，最后余弦定理，算出二面角1A A M N --的余弦值；解法二：分别以1A E ，11A D ，1AA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ，求出平面1AA M 和平面1A MN 的法向量，即可求出两法向量所成角的余弦值.【考点】二面角平面角的基本知识20.【答案】（Ⅰ）22（Ⅱ）Q 的轨迹方程是2210(2)318y x --=，135,225y ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）22221241412||||11223333a PF PF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2a =.又由已知，1c =，所以椭圆C 的离心率22c e a ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C 的方程为2212x y +=，设点Q 的坐标为(,)x y . （1）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1)，(0,1)-两点，此时Q 点坐标为350,25⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭； （2）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为2y kx =+，因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为11(,2)x kx +，22(,2)x kx +，则2221||(1)AM k x =+，2222||(1)AN k x =+，22222||+(2)(1)AQ x y k x ==+-由222211||||||AQ AM AN =+， 得22222212211(1)(1)(1)k x k x k x =++++， 即21212222221211()2212x x x x x x x x x +-=+=① 将2y kx =+代入2212x y +=中， 得22(21)860k x kx +++=②由22(8)4(21)60k k ∆=-⨯+⨯>，得232k >. 由②可知122821k x x k +=-+，122621x x k =+代入①中并化简，得2218103x k =-③， 因为点Q 在直线2y kx =+上，所以2y k x -=， 代入③中并化简，得2210(2)318y x --=.由③及232k >，可知302x <<，即66,00,22x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又350,25⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭满足2210(2)318y x --=，故66,22x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭. 由题意，(,)Q x y 在椭圆C 内部，所以11y -≤≤，又由22210(2)3183y x x --=+有299(2),54y ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭且11y -≤≤， 则135,225y ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以点Q 的轨迹方程是2210(2)318y x --=，其中135,225y ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭.【提示】（Ⅰ）由椭圆的定义得出122||||22a PF PF =+=，求出2a =，由已知得1c =，可求离心率； （Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C 的方程，设点Q 的坐标为(,)x y ，当直线l 与x 轴垂直时，求出Q 的坐标；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为2y kx =+，M 、N 的坐标分别为11(,2)x kx +、22(,2)x kx +，将直线代入椭圆方程得22(21)860k x kx +++=，求出12x x +，12x x 的值.将坐标代入222211||||||AQ AM AN =+可得21212222221211()2212x x x x x x x x x +-=+=，化简得2218103x k =-，将k 代入，求得2210(2)318y x --=，可出Q 的轨迹方程.【考点】圆锥曲线中的轨迹问题21.【答案】（Ⅰ）函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，单调递增区间为[1,0)-，(0,)+∞（Ⅱ）1（Ⅲ）(ln 21,)--+∞【解析】（Ⅰ）函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，单调递增区间为[1,0)-，(0,)+∞；（Ⅱ）由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为1()f x '，点B 处的切线斜率为2()f x '，13 / 14故当点A 处的切线与点B 处的切垂直时，有12()()1f x f x ''=-.当0x <时，对函数()f x 求导，得()22f x x '=+，因为120x x <<，所以12(22)(22)1x x ++=-，所以1(22)0x +<，2(22)0x +>，因此2112121[(22)(22)](22)(22)12x x x x x x -=-+++≥-++=，当且仅当12(22)(22)1x x ++=-，即1231=22x x =-且时等号成立.所以函数()f x 的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，21x x -的最小值为1.（Ⅲ）当120x x <<或210x x >>时，12()()f x f x ''≠，故120x x <<.当10x <时，函数()f x 的图象在点11(,())x f x 处的切线方程为 21111(2)(22)()y x x a x x x -++=+-，即211(22)y x x x a =+-+；当20x >时，函数()f x 的图象在点22(,())x f x 处的切线方程为2221ln ()y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-. 两切线重合的充要条件是12221122ln 1x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①②，由①及120x x <<知，110x -<<，由①②得，2211111+ln 1ln(22)122a x x x x =-=-+-+. 设211111()ln 1(10)22h x x x x =+--<<+， 则1111()201h x x x '=-<+， 所以11()(10)h x x -<<是减函数，则1()(0)ln 21h x h >=--，所以ln 21a >--.又当1(1,0)x ∈-且趋近于1-时，1()h x 无限增大，所以a 的取值范围是(ln 21,)--+∞.故当函数()f x 的图象在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(ln 21,)--+∞.【提示】（Ⅰ）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）由导数的几何意义知，点A 处的切线的斜率为1()f x '，点B 处的切线的斜率为2()f x '，再利用()f x 的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，斜率之积等于1-，得出12(22)(22)1x x ++=-，后利用基本不等式可求21x x -的最小值；（Ⅲ）先根据导数的几何意义写出函数()f x 在点A ，B 处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出211ln(22)1a x x =-+-，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a 的取值范围.【考点】不等式的综合应用。
2013年理科全国各省市高考真题——圆锥曲线(带答案)
2013年全国各省市理科数学—圆锥曲线1、2013山东理T9.过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 （A ）2x+y-3=0 （B ）2x-y-3=0 （C ）4x-y-3=0 （D ）4x+y-3=0 2、2013重庆理T7.已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为（ ）A 、4 B1 C 、6-3、2013全国理T8．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（A ）1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （C ）112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （D ）314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，4、2013新课标I 理10.已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)03(,F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点。
若AB 的中点坐标为)11(-,，则E 的方程为A1364522=+y x B 1273622=+y x C 1182722=+y x D 191822=+y x 5、2013浙江理T9．如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点。
若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是A. 2B. 3C.23 D.266、2013辽宁理T15.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,6,cos ABF ,5AF BF AB AF C e ==∠=连接若则的离心率= .7、2013上海理T9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，BC =Γ的两个焦点之间的距离为________8、2013福建理14. 椭圆()01:2222>>=+Γb a by a x 的左右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2，若直线()c x y +=3与椭圆的一个交点满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于_____9、2013江苏T12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ．10、2013新课标I 理T4.已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为25，则C的渐近线方程为（A ）x y 41±= （B ）x y 31±= （C ） x y 21±= （D ）x y ±=11、2013北京理T6.若双曲线22221x y a b-=A. y =±2xB. y =C.12y x =±D.y x = 12、2013福建理T3.双曲线1422=-y x 的顶点到渐进线的距离等于（ ）A. 52B.54C. 552D.55413、2013广东理T7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A . 2214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．2212x =14、2013天津理T5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =(A) 1(B)32(C) 2 (D) 315、2013湖北理T5.已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D. 离心率相等16、2013江苏T3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 17、2013陕西理T11. 双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于 .18、2013湖南理T14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30 ，则C 的离心率为___。
2013年高考理科数学试题分类汇编圆锥曲线含答案
2013年全国高考理科数学试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1 ．（2013年高考江西卷（理））过点引直线l与曲线y =A,B两点,O 为坐标原点,当∆AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于（ ） A ．3B．3-C．3±D．【答案】B2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ．25B ．45CD【答案】C3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（ ）A．2214x -= B ．22145x y -= C ．22125x y -= D．2212x =【答案】B4 ．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b-=(0,0a b >>)的离心率则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =± B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C5 ．（2013年高考湖北卷（理））已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ） A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等 D ．离心率相等【答案】D6 ．（2013年高考四川卷（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ） A ．12BC ．1 D【答案】B7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是A ．2B ．3C ．23D ．26 【答案】D8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的则p =（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B10．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =（ ）A ．12B ．2C D ．2【答案】D11．（2013年高考北京卷（理））若双曲线22221x y a b-=,则其渐近线方程为（ ）A ．y =±2xB ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】B12．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知抛物线1C :212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D13．（2013年高考新课标1（理））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为（ ） A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =【答案】C15．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】C16．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为 （ ）A ．4B 1C ．6-D【答案】A 二、填空题17．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为_____________.【答案】x y 43±=18．（2013年高考江西卷（理））抛物线22(0)x py p =>的焦点为F,其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点,若ABF ∆为等边三角形,则P =_____________【答案】619．（2013年高考湖南卷（理））设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为___.【答案】3 20．（2013年高考上海卷（理））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4CBA π∠=,若AB=4,BC =则Γ的两个焦点之间的距离为________【答案】3. 21．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知直线y a=交抛物线2y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得ABC ∠为直角,则a 的取值范围为___ _____.【答案】),1[+∞22．（ 2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））抛物线2xy =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__________.【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,223．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为_______.【答案】324．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________125．（2013年高考陕西卷（理））双曲线22116x y m -=的离心率为54, 则m 等于___9_____.【答案】926．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,A F B F ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则C 的离心率e =______.【答案】5727．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）抛物线28y x =的准线方程是_______________【答案】2x =-28．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数xy 1=(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为_______.【答案】1-或1029．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设F为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若2||=FQ ,则直线的斜率等于________.【答案】1±三、解答题30．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、(1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥,求直线l 的方程.【答案】[解](1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩, 解得243a =,213b =故椭圆C 的方程为2214133x y +=.(2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=.当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=. 设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则 2212121111222242(1)(1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++，，，，， 因为11F P FQ ⊥,所以110F P FQ ⋅=,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++2271021k k -==+, 解得217k =,即7k =±故直线l的方程为10x +-=或10x --=.31．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.【答案】解:122a PF PF =+==所以,a =又由已知,1c =, 所以椭圆C的离心率2c e a=== ()II 由()I 知椭圆C 的方程为2212x y +=.设点Q 的坐标为(x,y).(1)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于()()0,1,0,1-两点,此时Q点坐标为0,2⎛ ⎝⎭(2) 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为2y kx =+. 因为,M N 在直线l 上,可设点,M N 的坐标分别为1122(,2),(,2)x k xx k x ++,则22222212(1),(1)AM k x AN k x =+=+. 又()222222(1).AQ x y k x =+-=+由222211AQAMAN=+,得()()()22222212211111k x k x k x =++++,即 ()212122222212122211x x x x x x x x x +-=+= ① 将2y kx =+代入2212x y +=中,得()2221860kx kx +++= ②由()()22842160,k k ∆=-⨯+⨯>得232k >.由②可知12122286,,2121k x x x x k k +=-=++ 代入①中并化简,得2218103x k =- ③ 因为点Q 在直线2y kx =+上,所以2y k x-=,代入③中并化简,得()22102318y x --=.由③及232k >,可知2302x <<,即60,22x ⎛⎫⎛⎫∈-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又0,25⎛- ⎝⎭满足()22102318y x --=,故22x ⎛∈⎝⎭. 由题意,(),Q x y 在椭圆C 内部,所以11y -≤≤, 又由()22102183y x -=+有()2992,54y ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭且11y -≤≤,则1,225y ⎛∈- ⎝⎦. 所以点Q 的轨迹方程是()22102318y x --=,其中,22x ⎛∈- ⎝⎭,1,225y ⎛∈- ⎝⎦32．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值. 【答案】解:(Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=得2b y a =±由题意知221b a =,即22a b = 又ce a ==2所以2a =,1b = 所以椭圆方程为2214x y +=1||||PF PM PF PM ⋅=2||||PF PM PF PM ⋅,1||PF PM PF ⋅=2||PF PMPF ⋅,设00(,)P x y 其中204x ≠,将向量坐标代入并化简得:m(23000416)312x x x -=-,因为204x ≠, (3)由题意可知,l 为椭圆的在p 点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:得001200114(8x x kk kk x x +=-+=-为定值.33．（2013年高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如图,已知曲线221:12x C y -=,曲线2:||||1C y x =+,P 是平面上一点,若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点,则称P 为“C 1—C 2型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证); (2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“C 1—C 2型点”;(3)求证:圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”.【答案】:(1)C 1的左焦点为(F ,过F 的直线x =C 1交于(2±,与C 2交于(1))±+,故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”,且直线可以为x =(2)直线y kx =与C 2有交点,则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩,若方程组有解,则必须||1k >; 直线y kx =与C 2有交点,则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩,若方程组有解,则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点,即原点不是“C 1-C 2型点”.(3)显然过圆2212x y +=内一点的直线l 若与曲线C 1有交点,则斜率必存在;根据对称性,不妨设直线l 斜率存在且与曲线C 2交于点(,1)(0)t t t +≥,则:(1)()(1)0l y t k x t kx y t kt =+=-⇒-++-=直线l 与圆2212x y +=内部有交点,<化简得,221(1)(1)2t tk k +-<+............① 若直线l 与曲线C 1有交点,则2222211()2(1)(1)10212y kx kt t k x k t kt x t kt x y =-++⎧⎪⇒-++-++-+=⎨-=⎪⎩ 22222214(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2k t kt k t kt t kt k ∆=+---+-+≥⇒+-≥-化简得,22(1)2(1)t kt k +-≥-.....②由①②得,222212(1)(1)(1)12k t tk k k -≤+-<+⇒<但此时,因为2210,[1(1)]1,(1)12t t k k ≥+-≥+<,即①式不成立;当212k =时,①式也不成立综上,直线l 若与圆2212x y +=内有交点,则不可能同时与曲线C 1和C 2有交点,即圆2212x y +=内的点都不是“C 1-C 2型点” .34．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤.(1)求证:点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1,求直线的方程.【答案】解:(Ⅰ)依题意,过*(,19)∈≤≤i A i Ni 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)i B i ,∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ,由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x ii y x 得:2110=y x ,即210=x y , ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上,且抛物线E 方程为210=x y(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ,直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N设:1122(,)(,)M x y N x y ,则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅<x x ,∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y,解得32=±k直线的方程为3+102=±y x ,即32200-+=x y 或3+2200-=x y35．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ,且122k k +=,1l E 与相交于点A,B,2l E 与相交于点C,D.以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l .(I)若120,0k k >>,证明;22FM FN P <;(II)若点M 到直线l 的距离的最小值为,求抛物线E 的方程. 【答案】解: (Ⅰ)，设),(),,(),,(),,(),,(),,().2,0(3434121244332211y x N y x M y x D y x C y x B y x A pF 02,221211=++-+=p x pk x E px k y l ：方程联立，化简整理得与抛物线方程：直线),(2,20,2211211212112221121p k p k FM p p k y p k x x x p x x p k x x -=⇒+==+=⇒=-=⋅=+⇒),(2,2,222223422134p k p k FN p p k y p k x x x -=⇒+==+=⇒同理. )1(2121222221221+=+=⋅⇒k k k k p p k k p k k FN FM22121221212121212)11(1)1(,122,,0,0pp k k k k p FN FM k k k k k k k k k k =+⋅⋅<+=⋅∴≤⇒≥+=≠>> 所以,22p FN FM <⋅成立. (证毕) (Ⅱ),)]2(2[21)]2()2[(21,212121121p p k p p k p y p y p r r r N M +=++=+++=⇒的半径分别为、设圆,2同理,221211p p k r p p k r +=+=⇒.,21r r N M 的半径分别为、设圆则21212212)()(r y y x x N M =-+-的方程分别为、,的方程为：，直线l r y y x x 22234234)()(=-+- 0-)(2)(2222123421223421212341234=+-+-+-+-r r y y x x y y y x x x .))(-())(())(()(2)(212123412341234123412212212=++--+--+-+-⇒r r r r y y y y x x x x y k k p x k k p2)((1))(()(2)(2)(2222121222222122212212212212++-+++-+-+-+-⇒k k k k p k k k k p k k p y k k p x k k p0202)(1)(222212221=+⇒=+++++--+⇒y x k k p k k p p y x55758751)41()41(2|512||52|),(212112121212==+-+-⋅≥++⋅=+=p p k k p y x d l y x M 的距离到直线点y x p 1682=⇒=⇒抛物线的方程为.36．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D(1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.【答案】解:(Ⅰ)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2214x y +=; (Ⅱ)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=,直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=,所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =,所以（第21题图）直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==;由2222248014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以228||44D P k x x DP k k +=-∴==++,所以11||||22444313ABDS AB DP k k k ∆====++++2323213==≤=+当252k k =⇒=⇒=时等号成立,此时直线1:1l y x =- 37．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于,A A '两点,4AA '=. (1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P ',过,P P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ P Q '⊥,求圆Q 的标准方程.【答案】38．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设椭圆2222:11x y E a a+=-的焦点在x 轴上 (Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P F Q ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上.【答案】解:(Ⅰ)13858851,12,122222222=+=⇒+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为： .(Ⅱ) ),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221m c QF y c x P F m Q y x P c F c F -=-=-（则设. 由)1,0(),1,0()1,0(012∈∈⇒∈⇒>-y x a a .⎩⎨⎧=++=-⊥=+=0)()(,//).,(),,(112211my c x c ycx c m F F QF F m c F y c x F 得：由 解得联立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒22222222222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c xy x y x y x yx y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(1121222222222 所以动点P 过定直线01=-+y x .39．（2013年高考新课标1（理））已知圆M:22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.【答案】由已知得圆M的圆心为M (-1,0),半径1r =1,圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3.设动圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R. (Ⅰ)∵圆P与圆M外切且与圆N内切,∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4,由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左右焦点,场半轴长为2,短(左顶点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-.(Ⅱ)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM|-|PN|=22R -≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.∴当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=, 当l 的倾斜角为090时,则l 与y 轴重合,可得|AB|=当l 的倾斜角不为090时,由1r ≠R 知l 不平行x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则||||QP QM =1Rr ,可求得Q(-4,0),∴设l :(4)y k x =+,由l 于圆M 相1=,解得k =当k =时,将y x =代入221(2)43x y x +=≠-并整理得27880x x +-=,解得1,2x 12||x x -=187.当k 时,由图形的对称性可知|AB|=187,综上,|AB|=187或|AB|=. 40．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.【答案】41．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b ：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ,直线l 的方程为=4x . (1) 求椭圆C 的方程;(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=.k k k λ?若存在求λ的值;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由3(1,)2P 在椭圆上得,221914a b+= ① 依题设知2a c =,则223b c = ② ②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)方法一:由题意可设AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++ ④ 在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有121211y yk x x ==--. 所以1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++ ⑤④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-⋅=---+++, 又312k k =-,所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意.方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:00(1)1y y x x =--, 令4x =,求得003(4,)1y M x -, 从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-,联立0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,得0000583(,)2525x y A x x ---, 则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=-,直线PB 的斜率为:020232(1)y k x -=-, 所以00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---,故存在常数2λ=符合题意.42．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >,解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '=设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --= 因为切线,P AP B 均过点()00,P x y ,所以1220x x y y --=,2002220x x y y --=所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=. (Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+ 又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭ 所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.43．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点F 作直0x y +=交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】44．（2013年高考湖北卷（理））如图,已知椭圆1C与2C的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n()m n>,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记mnλ=,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S . (I)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(II)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.【答案】解:(I)12S S λ=()m n m n λ⇒+=-,1111m n m n λλλ++∴==--解得:1λ=+(舍去小于1的根)(II)设椭圆()22122:1x y C a m a m +=>,22222:1x y C a n +=,直线l :ky x =22221ky x x y a m =⎧⎪⎨+=⎪⎩2222221a m k y a m +⇒=A y ⇒= 同理可得,B y =又BDM ∆和ABN ∆的的高相等12B D B AA B A BS BD y y y y S AB y y y y -+∴===-- 如果存在非零实数k 使得12S S λ=,则有()()11A B y y λλ-=+,即:()()222222222211a n k a n kλλλλ-+=++,解得()()2222232114a k n λλλλ--+=第21题图∴当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当11λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l .45．（2013年高考北京卷（理））已知A 、B 、C 是椭圆W :2214x y +=上的三个点,O是坐标原点.(I)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积;(II)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.【答案】解:(I)椭圆W :2214x y +=的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分. 所以可设A(1,m ),代入椭圆方程得2114m +=,即m =. 所以菱形OABC 的面积是11||||22||22OB AC m ⋅=⨯⨯=. (II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠.由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=. 设A 1,1()x y ,C 2,2()x y ,则1224214x x km k +=-+,121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M(2414km k -+,214mk+). 因为M 为AC 和OB 的交点,所以直线OB 的斜率为14k-.因为1()14k k⋅-≠-,所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形,与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形.46．（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.【答案】解:(Ⅰ) A (4,0),设圆心C2222,2),,(EC ME CM CA MNME E MN y x +===，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（ (Ⅱ)点B (-1,0),222121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.080)()(88811211221212222112211=+⇒=+++⇒+-=+⇒+-=+⇒y y y y y y y y y yy y x y x y 直线PQ 方程为:)8(1)(21121112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-⇒---=- 1,088)(8)()(122112112==⇒=++⇒-=+-+⇒x y x y y y y x y y y y y y所以,直线PQ 过定点(1,0)47．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )01x =,切线.MA 的斜率为12-.(I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为【答案】48．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，,离心率为3，直线2y =与C . (I)求,;a b ;(II)设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点,且11AF BF =,证明:22AF AB BF 、、成等比数列.【答案】49．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.已知抛物线2 4C y x =：的焦点为F . (1)点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P。
2013年四川高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =I （ ） A.{2}- B.{2} C.{2,2}- D.∅ 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】通过解不等式再考查集合间的运算. 【难易程度】容易. 【参考答案】A 【试题解析】{+2=0}{2}.A x x A =∴=-Q ，2{40},{2,2}.B x x B =-=∴=-Q {2}.A B ∴=-I 故选A.2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是 （ ）第2题图【测量目标】复平面.【考查方式】利用共轭复数考查点在复平面上的位置. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】设+i(,)z a b a b =∈R ，且0,0a b <>，则z 的共轭复数为i a b -,其中0,0a b <-<，故选B.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 （ ）第3题图A B C D第3题图【测量目标】平图形的直观图和三视图. 【考查方式】给出三视图判断其直观图. 【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】由俯视图的圆环可排除A,B,进一步将已知三视图还原为几何体，故选D. 4．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） A.:,2p x A x B ⌝∀∃∈∉ B.:,2p x A x B⌝∀∉∉C.:,2p x A x B ⌝∃∉∈D.:,2p x A x B ⌝∃∈∈ 【测量目标】全称量词与存在量词. 【考查方式】给出全称命题求存在命题. 【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】命题p 是全称命题：,2x A x B ∀∈∈，则p ⌝是特称命题：,2x A x B ∃∈∈.故选D.5．函数ππ()2sin(),(0,)22f x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是 （ ）第5题图A.π2,3-B.π2,6-C.π4,6-D.π4,3【测量目标】函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其变化. 【考查方式】给出三角函数图象求解析式中的未知参数. 【难易程度】中等. 【参考答案】A【试题解析】35π3π()π41234T =--=Q,πT ∴=2ππω∴=2ω∴=.由图象知当5π12x =时，5π2π+=2π+122k k ϕ⨯∈Z （）,即π2π()3k k ϕ=-∈Z .π3ϕ∴=-.故选A.6．抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是 （ ） A.12C.1【测量目标】双曲线和抛物线的基本性质. 【考查方式】给出抛物线和双曲线的方程，求距离. 【难易程度】中等. 【参考答案】B【试题解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为（1,0），则焦点到渐近线的距离12d ==或22d ==. 7．函数331x x y =-的图象大致是 （ ）A B C D第7题图【考查方式】给出函数解析式判断函数图象. 【难易程度】中等. 【参考答案】C【试题解析】由3100,xx -≠≠∴得函数331x x y =-的定义域{0},x x ≠可排除A ，当2x =时，y =1，当x=4时，6480y =，但从选项D 的函数图象可以看出函数在(0,)+∞上是单调增函数，两者矛盾，故选C.8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是 （ ） A.9 B.10 C.18 D.20 【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】通过数字组合的对数差不同来考查排列组合. 【难易程度】中等. 【参考答案】C【试题解析】从1，3,5，7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数25A 20,=但lg1lg3lg3lg9,lg3lg1lg9lg3-=--=-，所以不同值的个数为20-2=18，故选C.9．节日里某家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （ ） A.14 B.12 C.34 D.78【测量目标】几何概型.【考查方式】给出实际案例求现实生活中的几何概型. 【难易程度】较难. 【参考答案】A【试题解析】设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为,x y ,则04,04x y 剟剟，而事件发生的概率为2x y -…，可行域如图阴影部分所示，有几何概型得22142(22)3244P -⨯⨯⨯==. 第9题图10．设函数()f x =a ∈R ，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是 （ ） A.[1,e] B.1[e 1]--1，C.[1,e 1]+D.1[e 1,e 1]--+【考查方式】给出函数解析式以及等式方程判断参数范围. 【难易程度】较难. 【参考答案】A 【试题解析】由已知点00(,)x y 在曲线000sin sin ,[0,1],y x y x y ==∈上，得即存在000[0,1](())y f f y y ∈=，使成立，则点0000(,()),((),)A y f y A f y y '都在的图象上，又()e x f x x a =+-在[0,1]上单调递增，所以0000()()0,[()][()]0,A A A A x x y y f y y y f y ''--∴--厖200[()]0f y y ∴-„∴00()f y y =，所以()f x x =在[0,1]上有解，2e ,[0,1]x a x x x ∴=+-∈，令2()e ,[0,1],()x x x x x x ϕϕ=+-∈在[0,1]上单调递增，又(0)1,(1)e,()[1,e],x ϕϕϕ==∴∈即[1,e]a ∈.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是_________．（用数字作答） 【测量目标】二项式展开式.【考查方式】求二项式展开式中的某一项. 【难易程度】简单. 【参考答案】10【试题解析】3232345C 10,T x y x y ==故填10.12．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=u u u r u u u r u u u r，则λ=_________．【测量目标】平面向量的四则运算.【考查方式】给出平面向量的等式求未知参数. 【难易程度】简单. 【参考答案】2【试题解析】由向量加法的平行四边形法则，得.AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r又O 是AC 的中点，2,2,, 2.AC AO AC AO AB AD AO λλ∴=∴=∴+=∴=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r13．设sin 2sin αα=-，π(,π)2α∈，则tan 2α的值是_________． 【测量目标】二倍角公式.【考查方式】给出关系式求特殊角的正切值. 【难易程度】中等. 3【试题解析】由题意得1cos 2α=-而π(,π)2α∈，24ππ,tan2=tan π=tan 3333αα∴=∴=14．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当x …0时，2()4f x x x =-，那么，不等式(2)5f x +<的解集是________ ．【测量目标】解不等式.【考查方式】给出函数的部分区间的解析式，求函数在整个区间的不等式的解集. 【难易程度】较难. 【参考答案】73x -<<【试题解析】220,0.0()4()4x x x f x x x f x x x <->=-∴-=-Q 设则当时，…故()f x 为在定义域上的偶函数224,0(),+4,0x x x f x x x x ⎧-∴=⎨<⎩…由()555f x x x ===-得或，所以()555,(2)5,73f x x f x x <-<<+<-<<得由得,所以不等式的解集为73x -<<.15．设12,,,n P P P L 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到12,,,n P P P L 点的距离之和最小，则称点P 为12,,,n P P P L 点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点．则有下列命题：①若,,A B C 三个点共线，C 在线AB 上，则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号） 【测量目标】考查新定义.【考查方式】给出新定义的含义，根据新定义解题. 【难易程度】较难. 【参考答案】①④【试题解析】+CA CB AB =当且仅当点C 在线段AB 上等号成立，所以点C 是中位点，故①为真命题. ②③为假命题，若P 为点A ，C ,则点P 在线段AC 上，若点P 是B ,D 的中位点，则点P 在线段BD 上，所以若点P 是A,B,C,D 的中位点，则p 是AC ，BD 的交点.所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．故④是真命题.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 在等差数列{}n a 中，318a a +=，且4a 为2a 和9a 的等比中项，求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和． 【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】给出等差数列的项与项之间的关系，求通项和前n 项和. 【难易程度】中等.【试题解析】设该数列公差为d ,前n 项和为n S .由已知,可得()()()21111228,38a d a d a d a d +=+=++.所以()114,30a d d d a +=-=,（步骤1）解得14,0a d ==,或11,3a d ==,即数列{}n a 的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.所以数列的前n 项和4n S n =或232n n n S -=（步骤2）.17．(本小题满分12分) 在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若42a =，5b =，求向量BA u u u r 在BC uuur 方向上的投影． 【测量目标】正弦定理和余弦定理.【考查方式】给出三角形中角的关系通过投影考查余弦定理. 【难易程度】中等.【试题解析】()I 由()()232coscos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-. (步骤1)()II 由3cos ,0π5A A =-<<,得4sin 5A =, 由正弦定理,有sin sin a bA B=,所以,sin 2sin 2b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故π4B =.根据余弦定理,有()2223425255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去). （步骤2）故向量BA u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为2cos 2BA B =u u u r . （步骤3）18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =； （Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i 1,2,3)=的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．运行 次数n 输出y 的值 为1的频数输出y 的值 为2的频数 输出y 的值为3的频数… ………运行次数n 输出y 的值 为1的频数输出y 的值 为2的频数 输出y 的值为3的频数…………第18题图【测量目标】选择结构的程序框图.【考查方式】通过实际案列来考查对框图的识别。
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2013年四川卷
9、从椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）
（A ）4 （B ）12 （C ）2 （D ）2
13、已知函数()4(0,0)a f x x x a x =+
>>在3x =时取得最小值，则a =____________。
20、(本小题满分13分)
已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=，点O 是坐标原点.直线:l y kx =与圆C 交于,M N 两点。
（Ⅰ）求k 的取值范围；
（Ⅱ）设(,)Q m n 是线段MN 上的点，且
222211||||||OQ OM ON =+.请将n 表示为m 的函数.
21、(本小题满分14分)
已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩
，其中a 是实数.设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <.
（Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，证明：211x x -≥； （Ⅲ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围.
2014年四川卷
9、设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）
A B C D 、
10、已知F 为抛物线2
y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅= （其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）
A 、2
B 、3
C 、
8
D 20、(本小题满分13分)
已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为(2,0)F -（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q 。
当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积.
21、(本小题满分14分)
已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数。
（Ⅰ）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值；
（Ⅱ）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，证明：21e a -<<。
2015年四川卷
4、设a,b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“22log log 0a b >>”的
(A)充要条件 (B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
7、过双曲线2
2
13y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点，则|AB|＝
(C)6 10、设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点
M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是
(A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4)
20、如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是2
，点(0,1)P 在短轴CD 上，且
1PC PD =-
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于,A B 两点。
是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ+
为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
21、(本小题满分14分)
已知函数22()2ln 2f x x x x ax a =-+-+，其中0a >.
（Ⅰ）设()g x 为()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；
（Ⅱ）证明：∃(0,1)a ∈，使得()0f x ≥恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解.。