2008-2009学年第一学期线性代数试题A卷
2008年线性代数考试A卷
2
第 2 页 共 7页
学院
姓名
学号
任课老师
选课号
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……
0 0⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ P = ⎜ 2 −1 0⎟ ， ⎜ − 4 1 1⎟ ⎠ ⎝
−1
所以有
0 0⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎛ 1 0 0 ⎞⎛ 1 ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ A = PBP = ⎜ 2 − 1 0 ⎟⎜ 0 0 0 ⎟⎜ 2 − 1 0 ⎟ ⎜ 2 1 1 ⎟⎜ 0 0 − 1⎟⎜ − 4 1 1 ⎟ ⎠ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎝
⎛ λ1 0 ⎜ ⎜ 0 λ2 T −1 P AP = P AP = ⎜ " " ⎜ ⎜0 0 ⎝
0⎞ ⎟ " 0⎟ ， " "⎟ ⎟ " λn ⎟ ⎠ "
3．设 n 元非齐次线性方程组是 Ax = b ，它对应的齐次线性方程组是 Ax = 0 ，则下面结 论中正确的是( ② ). ① 若 Ax = 0 有惟一解，则 Ax = b 也有惟一解； ② 若 Ax = b 有无穷多个解，则 Ax = 0 也有无穷多个解； ③ 若 Ax = 0 有无穷多个解，则 Ax = b 也有无穷多个解； ④ 若 Ax = 0 有惟一解，则 Ax = b 无解. 分析：A 未必是方阵。 4．设 α 1 , α 2 , β 线性无关， α 2 , α 3 , β 线性相关，则下面结论正确的是( ④ )。 ① ③ k1α 1 + k 2α 2 + k 3α 3 = 0 仅有零解； k1α 2 + k 2α 3 = β 必有解； ② ④ k1α 1 + k 2α 2 + k 3α 3 = 0 必有非零解； k1α 1 + k 2α 2 + k 3 β = α 3 必有解。
《线性代数》模拟试卷(A)卷
厦门大学网络教育2008-2009学年第一学期《线性代数》模拟试卷（ A ）卷一、单项选择题(每小题3分，共24分).1. 若111221226a a a a =，则121122212020021a a a a --的值为( ). A ．12； B. －12； C. 18； D. 0. 2. 设A B 、为同阶方阵，则下面各项正确的是( ).A.若0AB =, 则0A =或0B =；B.若0AB =，则0A =或0B =；C.22()()A B A B A B -=-+；D.若A B 、均可逆，则111()AB A B ---=.3. 若方程组12312302403690x t x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的基础解系含有两个解向量，则 t =( ). A ．2； B ．4； C ．6； D ．8.4. 已知方程组A x b =对应的齐次方程组为0Ax =，则下列命题正确的是( ).A ．若0Ax =只有零解，则Ax b =一定有唯一解；B ．若0Ax =有非零解，则Ax b =一定有无穷解；C ．若Ax b =有无穷解，则0Ax =一定有非零解；D ．若Ax b =有无穷解，则0Ax =一定只有零解.5. 设12, u u 是非齐次线性方程组Ax b =的两个解，则以下结论正确的是( ).A ．12u u +是Ax b =的解；B ．12u u -是Ax b =的解；C ．1ku 是Ax b =的解（1k ≠）；D ．12u u -是0Ax =的解. 6. 设123,,a a a 线性相关，则以下结论正确的是( ).A ．12,a a 一定线性相关；B ．13,a a 一定线性相关；C ．12,a a 一定线性无关；D ．存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k a k a k a ++=.7. 若20000101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与200010001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦相似，则x =( ). A ．-1； B ．0； C ．1； D ．2.8. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=32232221x x 12x 3x 3x +++是( ).A. 正定的；B. 半正定的；C. 负定的；D. 不定的.二、填空题(每小题4分，共24分)1. 设802020301A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，*A 为A 的伴随矩阵，则*A =_________. 2. 非齐次线性方程组m n A x b ⨯=有唯一解的充分必要条件是_________.3. 设方程组123131232 1 2 53(8)8x x x x x x x a x ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩，当a 取__________时，方程组无解.4. 设向量组1(1,3,)a k =-，2(1,0,0)a =，3(1,3,2)a =-线性相关，则k =_________.5. 二次型3231212322213214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型，则t 的取值范围是_____________.6. 3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则21()A -的特征值为_________.三、计算题(共38分).1. (10分) 计算行列式 3112513420111533D ---=---.2. (10分) 求123221343A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵1A -.3. (10分)求向量组)11,9,5,8(),2,1,1,3(),10,7,1,1(),1,1,1,2(4321=--=-==αααα的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.4. (8分)已知111131111A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求A 的特征值. 四、证明题(每小题7分，共14分).1. 设列矩阵12(,,,)T n X x x x = 满足1T X X =，E 为n 阶单位阵，2T H E XX =-，证明: H 是对称阵，且T HH E =.2. 证明二次型22256444f x y z xy xz =---++是负定的.答案：一．1．A 1211121112111112222122212221212220220(1)22122021a a aa a a a a a a a a a a a a =-=-==--2. B 由矩阵的理论可得选项B3. C 基础解系含有两个解向量3()2()1r A r A ⇒-=⇒=,12312324006369000A t t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,6t =时，()1r A =4. C 当()()r A r A =时，Ax b =有解5. D 1212()2A u u Au Au b b b +=+=+=，因此12u u +不是Ax b =的解， 下面的选项类似讨论6. D 由线性相关的定义可得选项D7. B 相似矩阵具有相同的特征值8．D f 的矩阵是100036063A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，A 的各阶主子式为：1110a =>，103003=>，10003613366270063A ==⋅⋅-⋅=-<，因此f 为不定的 二．1．16 8022016124301A ==-=， 33***416A A A E A AA A ====⇒=2. n A r =)( 由方程组解的理论可得3. 0 方程组无解可得()(,)r A r A b ≠11211121112110120111011153880223001a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,(,)3r A b =，当0a =时，()2r A =。
2008-2009第一学期试卷
2008-2009第一学期《线性代数》试卷（A 卷） 一、填空题（每小题4分，共20分）1、若n 阶方阵A 满足E A =2009，则_____1=-A 。
2、已知三阶行列式||A 的第一行各元素及其余子式均为1，则____||=A 。
3、若三维向量组),1,1(),1,,1(),1,1,(c b a 为正交向量组，则向量____),,(=c b a 。
4、设A 是54⨯矩阵，B 是45⨯矩阵，且2)(=A r ，B 的列向量都是0 =x A 的解，则____)}({max =B r B。
5、设21,ηη 是四元线性非齐次方程组b x A =的两个不同的解，3)(=A r ，则b x A =的通解为___=x 。
二、选择题（每小题4分，共20分）1、设B A ,均为n 阶方阵，且O AB =，则必有（ ）。
(A) O A =或O B = (B) O BA = (C)0||=A 或0||=B (D) BA AB =2、n 维向量组m a a a ,,,21)3(n m ≤≤线性无关的充要条件是（ ）。
(A) m a a a ,,,21中任意两个向量均线性无关(B) 向量组m a a a ,,,21的秩小于m(C) m a a a,,,21中任意一个向量均不能由其余1-m 个向量线性表示 (D) 方程组02211 =+++m m a x a x a x 有非零解3、方程组0321=++x x x 的一个基础解系为（ ）。
(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011,000 (B)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101,011 (C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110,011,101 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111,011 4、已知A 为三阶实对称阵，且1)(,2==A r A A ，则A 的特征值为（ ）。
(A) 0,0,0 (B) 1,0,0 (C) 1,1,0 (D) 1,1,15、下列矩阵中不能．．相似于对角阵的是（ ）。
2008-2009(1)安徽工业大学线性代数试卷A参考答案121
任课教师 专业名称 学生姓名 学号安徽工业大学线性代数期末考试试卷（A 卷）参考答案卷编号 考试时间：2008年11月27日 14:30—16:3068分分1 -⎝12分分；最后一步写成其他形式也可，但10分6、解：初等行变换可把Ａ变成行标准型，初等行变换相当于左乘相应初等矩阵，故对()|I A 进行初等行变换，把A 化为行标准型，I 即变成P 。
()1000|103120100|13011|0010|217250001|4214061000|103121100|033032010|011014001|022421110|1030124201|011011100|00011247130|00000I A ⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪- ⎪---⎝⎭⎛⎫- ⎪⎪- ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭3分 ｒ（Ａ）＝３4分1110242010********30P ⎛⎫- ⎪ ⎪- ⎪=⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭8分注：其余答案只要符合题意均可，单独写出行标准形，给3分，秩1分，若可逆阵P 写错或者没写扣4分。
7、解：由题意知()0A B X λ-=有非零解，故0A B λ-=，3分即10012200,3428412λλλλλλλλ---=---1，23所以＝，＝，()2312121020,71210,,0801A B X x x X k k k k λλ-=++=--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1当＝时，解，即x 分解得，＝分()12320100012009100000,0101A B X x x x X k k λλ-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭当＝时，解，即分解得，＝分注：若求出A ，B 的特征值，特征向量的给1分。
线代
专业 2008 级本科
《线性代数》期中试题 A 卷评析
一、单项选择题（本大题共 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分。 ） 1. 在 5 级排列：12345, 52341, 54321, 14325, 41325 中有几个是偶排列 ( ) Ａ、1 个 Ｂ、2 个 Ｃ、3 个 Ｄ、4 个 【讲评】考点：奇偶排列的概念与性质，排列的逆序数的计算， 本题：N(12345)=0, N(52341)=7, N(54321)=10, N(14325)=3, N(41325)=4, 共有 3 个偶排列。或用交换排列中的两个数码，所得的排列恰改变奇偶性，偶→奇→偶→奇→偶 选：C。
-7 !
以上通过交换 D 的第 1,6 列，交换 D 的第 2,5 列，交换 D 的第 3,4 列得到。 10．设 3 阶行列式 D3 的第 2 列元素分别为 1，-2，3，对应的余子式分别为-3，2，1，求 D3. 【讲评】考点：行列式依行依列展开的性质。 [解]: D3 的第 2 列元素对应的代数余子式分别为 A12=(-1)1+2M12=3，A22=(-1)2+2M22=2，A32=(-1)3+2M32= -1， 所以 D3=1×3+(-2)×2+3×(-1) = -4 11. 设 A=(aij)3×3，|A|=4, Aij 表示|A|中元素 aij 的代数余子式(i,j=1,2,3)，计算：
A1
* 0 A⎤⎡ 0 2B*⎤ 0 ⎤ ⎡3AA ⎡E2 0⎤ 根据分块矩阵的乘法得到⎡ = * ⎣B 0 ⎦⎣3A 0 ⎦ ⎣ 0 6BB*⎦ = 6⎣0 E2⎦
0 2B*⎤ 所以 C*=⎡ ⎣3A* 0 ⎦ 选：B。
⎡1 2 1 ⎤ 7．设矩阵 A=⎢2 ab+4 2⎥的秩为 2，则 ⎣2 4 a+2⎦ A、a=0, b=0 B、a=0, b≠0 C、a≠0, b=0 【讲评】考点：矩阵的秩的定义与性质，矩阵的秩的计算。 ⎡1 本题：因为 A=⎢2 ⎣2
全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A卷
全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A 卷试卷 A 考试方式 闭卷 考试时间（120分钟）一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。
每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1、设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB，则必有（ ） (A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ； （C ）0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。
2、A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有（ ） (A) A E =； (B)B E =； （C ） A B =. (D) AB BA =。
3、设A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是（ ）(A) A 的列向量线性无关； (B) A 的列向量线性相关； （C ） A 的行向量线性无关； (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是（ ） (A) A 的秩小于n ； (B) 0A ≠；(C) A 的特征值都等于零； (D) A 的特征值都不等于零； 二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-，A *是A 的伴随矩阵，则*A = 。
6、A 为n n ⨯阶矩阵，且220A A E --=，则1(2)A E -+= 。
7、已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解，则a = 。
8、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的，则t 的取值范围是 。
三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式1111111111111111x x D y y+-=+-10、计算n 阶行列式121212333n n n n x x x x x x D x x x ++=+四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。
2008级《线性代数》考题(2009年12月25用)(1)
2008级《线性代数》考题（2009年12月用）(附答案)一. 填空题（每空3分，共15分）1. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333222111c b a c b a c b a A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A 20 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围是44 t -3. A 为3阶方阵，且21=A ，则=--*12)3(A A 2716-4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是0,21====n n λλλ5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 n二. 选择题（每题3分，共15分）6. 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=-0322313221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（A ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（C ）成立(A) B A B A +=+ (B) BA AB =(C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A8. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010101P ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010100012P 则（C ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （D ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ⨯矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（B ） （A ）任意r 个列向量线性无关 (B) 必有某r 个列向量线性无关(C) 任意r 个列向量均构成极大线性无关组(D) 任意1个列向量均可由其余n －1个列向量线性表示三. 计算题（每题7分，共21分）11. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300041003A 。
线性代数试卷
2008—2009学年第一学期《线性代数》试卷A班级 学号 姓名 成绩一．填空题（每小题4分，共28分）：1．设A ，B 都为二阶方阵，且|A |=1，|B |=-2，则=-*|2|1B A 。
2．设三阶方阵A 的特征值为1,2,3，则)(1E A +-的特征值为 。
3．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000110001100011A ，则=4A 。
4．设)1,1,1(1=α，)3,2,1(2=α，),3,1(3t =α，则=t 时，向量组线性相关。
5．设200012025A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= 。
6．二次型323121321224),,(x tx x x x x x x x f ++-=的秩为2，则=t 。
7．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=141222c b a A 是正定矩阵，则c b a ,,满足条件 。
二．试解下列各题（每小题7分，共28分）：1．设矩阵B A ,满足如下关系式B A AB 2+=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321011324A ，求矩阵B 。
2．计算行列式30124025312613442-----。
3．已知A 是四阶方阵且满足矩阵方程32A A A E O -+-=，试求矩阵A 的逆。
4．已知向量组12(1,1,2,4),(0,3,1,2),T T αα=-=3(3,0,7,14),T α=4(1,1,2,0),T α=- 5(2,1,5,6)T α=，求该向量组的秩和一组极大线性无关组。
三．（7分）用Schmidt 正交化方法将向量组T )1,1,1(1=α，T )3,2,1(2=α，T )9,4,1(3=α标准正交化。
四．（12分）求矩阵110430102A-⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭的特征值与特征向量。
五．（12分）讨论参数λ为何值时，方程组1232 1232 1231 x x xx x xx x xλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1）有唯一解；2）无解；3）有无穷多解？如果方程组有无穷多解，求出方程组的通解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课程编号：A073003 北京理工大学2008-2009学年第一学期
线性代数试题A 卷
班级 ________ 学号 _________ 姓名 __________ 成绩 ___________
一、（10分）已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001310520A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3423B ，求行列式 1002A B - 。
二、（10分）已知矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=100021012A ，矩阵X 满足I XA AXA +=**2，其中*A 为A 的
伴随矩阵，I 为3阶单位矩阵，求X 。
三、（10分）求下列线性方程组的通解
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-++=----=+-+-=-+-.
,,,16351749524311325432142143214321x x x x x x x x x x x x x x x （用导出组的基础解系表示通解）
四、（10分）已知
),,,,( ,),,,( ,),,,( ,),,,(22321010011111114321====αααα
(1) 求向量组1234,,,αααα的秩和一个极大无关组;
(2) 用所求的极大无关组线性表出剩余向量。
五、（10分）已知321ααα,,是向量空间3R 的一个基,33212211232αβααβααβ=+=+=,,.
(1) 证明321βββ,,为3R 的一个基;
(2) 求基321ααα,,到基321βββ,,的过渡矩阵;
(3) 求向量321αααγ++=关于基321βββ,,的坐标。
六、（10分）已知矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=284014013A ，
(1) 求A 的特征值和特征向量;
(2) 判断A 是否可以相似对角化。
七、（10分）已知线性方程组0=AX 的一个基础解系：
T T X X ),,( ,),,(01210121==，
求此方程组的解空间的一个标准正交基。
八、（10分）已知实二次型AX X x x x f T =),,(321，其中A 相似于对角矩阵),,(diag 011。
(1) 求二次型),,(321x x x f 的一个标准形;
(2) 判断二次型),,(321x x x f 是否正定。
九、（10分）已知3阶矩阵A 有特征值1，2，且0=A 。
(1) 求I A +2的所有特征值;
(2) 证明I A +2为可逆矩阵。
十、（10分）设A 为3阶实对称矩阵，其特征值为201-,,，矩阵A 的属于特征值1和2-的特征向量分别是T ),,(121和T a ),,(11-。
(1) 求a 的值;
(2) 求方程组0=AX 的通解。