大一线性代数期末试题及答案

C. 32322,2,a a a a +
D. 1321,,a a a a －
6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是 【 】
A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出
B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出
C.(I)中任意两个向量线性无关
D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使
7．设a 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是
【 】
A ．A 的行向量组线性相关
B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组⎩⎨
⎧=++=++00
332
211332211x b x b x b x a x a x a
的基础解系含2个解向量，则必有 【 】 A.
03221= b b a a B.02121≠ b b a a C. 332211b a b a
b a == D. 02
131= b b a a
9.方程组123123
12321 21 3 321
x x x x x x x x x a ++=⎧
⎪++=⎨⎪++=+⎩
有解的充分必要的条件是
【 】
A. a=-3
B. a=-2
C. a=3
D. a=1
10. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】
A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组
B. 与η1，η2，η3等秩的向量组
C.η1－η2，η2－η3，η3－η1
D. η1，η1-η3，η1-η2-η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则
【 】
A. 方程组有无穷多解
B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解
C. 方程组有唯一解或无穷多解
D. 方程组无解
阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】
A.互不相同的特征值
B.互不相同的特征向量
C.线性无关的特征向量
D.两两正交的特征向量
13. 下列子集能作成向量空间R n
的子空间的是 【 】
A. }0|),,,{(2121=a a a a a n
B. }0|),,,{(121∑=
=n
i i
n a a a a
C. },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈
D. }1|),,,{(121∑==n i i
n
a
a a a
14.若2阶方阵A 相似于矩阵⎥
⎦
⎤⎢
⎣⎡=3- 20
1B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵
【 】
A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 10 1
B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 1 0 1-
C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 2-0 0
D. ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡4- 2-0 1-
15.若矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是 【 】 A ．a < 8 B. a ＞4 C ．a ＜-4 D ．-4 ＜a ＜4
二、填空题（每小题2分，共20分）。

16．设矩阵,1
00 2,1 0 23 1- 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=B A 记T A 为A 的转置，则B A T
= 。

17．设矩阵 1 22 1A ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
则行列式det(T
AA )的值为 . 18．行列式 3 4 8
5 9 1 7 2 6
的值为 .
19．若向量组123123824001a (, , ), a (, t, ), a ( , , )===线性相关，则常数
t = .
20.向量组（10，20），（30，40）， （50，60）的秩为 .
21.齐次线性方程组12312
3 0230x x x x x x --=⎧⎨+-=⎩ 的基础解系所含解向量的个数为
22.已知T
, , x )201(1=、T
, , x )54(32=是3元非齐次线性方程组b Ax =的两个解向
量，则对应齐次线性方程0=Ax 有一个非零解ξ= .
23.矩阵 1 2 30 2 30 0 3A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的全部特征值为 。

24．设λ是3阶实对称矩阵A 的一个一重特征值，T 1) 3 1, 1, (ξ=、T
2) 12 a, 4, (ξ=是A 的属于特征值λ的特征向量，则实常数a= .
25.二次型222
1231122133(,,)448f x x x x x x x x x x =-+++对应的实对称矩阵A= .
三、计算题（，共50分）
26．设111 011001A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
,且E AB 2=-A ,其中E 是三阶单位矩阵,求矩阵B 。

27．a 取何值时，方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=++=+a x x x x x x x 3232121 107432
有解在有解时求出方程组的通解。

28．设向量组321,,a a a 线性无关。

试证明：
向量组332123211,,a a a a a a =-=++=βββ线性无关。

29．试证向量组123(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)a a a ===为3
R 的一组基，并求向量(2,2,2)
x =在该组基下的坐标。

2007线性代数考试试题B
----------参考答案及评分标准
一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）
14. C
15. D
二、填空题（本大题共10空，每空3分，共30分）
16. 0 30 0 0 4⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
17. 9 18. -360 19. 16 20. 2 21. 1 22.(2,4,3)T
(或它的非零倍数) 23. 1、2、3
24. 4 25. 1 -2 4-2 4 04 0 1⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
三、计算题（每小题6分，共30分）
26. 2
96 02220 01435
430--=
D 2
9 62- 2 25
4 33=…………4分 .96=…………8分
27. 解:由于E AB 2
=-A ,因此E AB 2
-=A ,又A 10=≠,故A 可逆, ……2分
所以1111111022B A 0110
11002001001000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=-=--= ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
……8分
28． ,200021103021⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡→ a- - -
A 故当且仅当a=2时，有解。

…………2分
当2=a 时，得x x x x x ( 22323
2
1⎩⎨
⎧+-=-=是任意）
， 所以)( 112203是任意常数k k x ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=…………8分 或 ⎩⎨
⎧+=--=),( 22133
231任意x x x x x 即).( 112021是任意常数k k x ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=…………8分 29．证一：设有一组数321,,x x x 使,0332211=++βββx x x …………2分
即0)()()(331221121=++-++a x x a x x a x x 由321,,a a a 线性无关，有
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=-=+0 0
31
2121x x x x x x …………2分 该方程组只有零解0321===x x x 故321,,βββ线性无关。

…………6分
证二：因321,,a a a 线性无关，321,,βββ用321,,a a a 线性表出的系数行列式
021
- 11
11
0 00 1- 11 1 1≠-==
=∆故线性无关。

（若只证明△≠0，不强调321,,a a a 线 性无关这一条件,就得出321,,βββ线性无关的结论，扣2分）。

故命题得证。

…8分
30．证明：令
110011101
∆=，则11011001101120101
002
∆===≠，故向量组 123(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)a a a ===为3R 的一组基，…………4分
又设332211αααx x x x ++=，得线性方程组1223
1
32
2 2
x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
解之得向量(2,2,2)x =在该组基下的坐标为(1,1,1)x =。

…………8分。