高中数学公式——极坐标与参数方程
极坐标方程与参数方程公式转化 -回复
极坐标方程与参数方程公式转化-回复
互化公式有：cos²θbai+sin²θ=1，ρ=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y。
参数方程，为数学术语，其和函数很相似，它们都是由一些在指定的集的数，称为参数或自变量，以决定因变量的结果。
例如在运动学，参数通常是“时间”，而方程的结果是速度、位置等。
在数学中，极坐标系是一个二维坐标系统。
该坐标系统中任意位置可由一个夹角和一段相对原点—极点的距离来表示。
极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海、航空以及机器人领域。
在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。
对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。
参数方程与极坐标
参数方程与极坐标参数方程是指用参数表示的一组函数方程，极坐标则是用角度和半径来表示点的坐标系统。
这两种坐标系统在数学和物理等领域中具有广泛应用。
本文将介绍参数方程和极坐标的概念、性质以及它们的应用领域。
一、参数方程1. 参数方程的概念参数方程是指将变量用参数表示的函数方程。
通常用参数t表示，例如在二维平面上，一个曲线的参数方程可以表示为：x = f(t), y = g(t)2. 参数方程的性质参数方程具有以下性质：- 参数方程可以表示一些常规方程无法表示的图形，如螺旋线等。
- 参数方程可以简化复杂的曲线方程，将其分解为一系列简单的参数方程。
- 参数方程可以描述随时间变化的物体运动，例如质点的运动轨迹。
- 参数方程适用于描述具有对称性的图形，如心形线等。
3. 参数方程的应用参数方程在多个领域中都有应用，包括数学分析、物理学和计算机图形学等。
例如在物理学中，参数方程可以用来描述粒子在电场和磁场中的运动轨迹；在计算机图形学中，参数方程可以用来生成平滑的曲线和曲面。
二、极坐标1. 极坐标的概念极坐标系统是用角度和半径来表示二维平面上的点的坐标系统。
一个点的极坐标可以表示为(r, θ)，其中r为点到极坐标原点的距离，θ为点与极坐标正半轴的夹角。
2. 极坐标的性质极坐标具有以下性质：- 极坐标可以用于描述圆形、半径为r的圆、螺旋线等曲线。
- 极坐标可以简化极坐标下复杂函数的表示，例如指数函数在极坐标下具有较简单的形式。
- 极坐标下的积分和微分计算更加方便，适用于某些特定的数学问题。
3. 极坐标的应用极坐标在多个领域中都有应用。
在物理学中，极坐标可用于描述粒子在强磁场中的运动；在地理学中，极坐标可用于描述地球表面上的某点的位置；在工程学中，极坐标可用于描述旋转机械中的运动。
三、参数方程与极坐标的关系参数方程与极坐标是可以相互转换的。
对于平面曲线的参数方程，可以通过参数方程的参数化形式得到极坐标的形式，反之亦然。
高中数学极坐标与参数方程
高中数学—极坐标与参数方程引言在高中数学中，我们学习了许多的数学概念和方法。
而在代数学的领域中，有两个重要的概念是极坐标和参数方程。
它们在解决复杂的几何图形和方程时发挥着重要的作用。
本文将介绍极坐标和参数方程的基本概念，并探讨它们在数学问题中的应用。
极坐标极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，它使用极径和极角两个参数来确定点的位置。
在极坐标中，每个点的位置由一个正实数和一个角度来表示。
极坐标表示方式在极坐标中，点的位置由两个数值表示，第一个数值表示极径（r），它表示点到原点的距离；第二个数值表示极角（θ），它表示点到正半轴的角度。
例如，一个点的极坐标表示为(r,θ)。
其中，r表示点到原点的距离，θ表示点到正半轴的角度。
可以通过将直角坐标与极坐标之间的转换关系来获得极坐标的表示方式。
极坐标和直角坐标的转换在直角坐标系中，点的位置由两个坐标表示，即横坐标（x）和纵坐标（y）。
而在极坐标系中，点的位置由极径（r）和极角（θ）表示。
要将一个点的直角坐标转换为极坐标，我们可以使用以下公式：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)其中，“√”表示开方，“arctan”表示反正切函数。
根据这些公式，我们可以计算出一个点的极坐标。
同样地，我们也可以将一个点的极坐标转换为直角坐标。
转换公式如下所示：x = r × cos(θ)y = r × sin(θ)极坐标的应用极坐标在解析几何和物理学中有着重要的应用。
在一些复杂的几何问题中，使用极坐标可以简化计算，简化方程的表示和解决。
例如，在描述圆和椭圆的方程时，使用极坐标比直角坐标更简单。
此外，极坐标也可以用来描述旋转和周期性现象。
对于极坐标系中的点，我们可以将它们视为围绕原点进行旋转的向量。
极角表示向量的方向，而极径表示向量的长度。
参数方程参数方程也是一种表示几何图形的方法，与直角坐标系和极坐标系相比，参数方程可以描述出更复杂的图形。
数学极坐标方程与参数方程总结
数学极坐标方程与参数方程总结
数学中有两种表示平面上点的方式：极坐标和参数方程。
这两种方式都可以描述点的位置，但使用的方法不同。
1. 极坐标方程
极坐标方程是一种表示平面上点的方式，它使用极坐标系来描述点的位置。
极坐标系中，每个点用一个半径和一个角度来表示，其中半径是点到极点的距离，角度是点到极轴的角度。
极坐标方程就是用半径和角度的函数来表示点的位置。
例如，一个点的极坐标为(r,θ)，那么它的极坐标方程可以表示为：
r = f(θ)
其中，f(θ)是一个关于θ的函数，描述了点在极坐标系中的位置。
极坐标方程可以用来表示各种曲线，如圆、椭圆、双曲线等。
2. 参数方程
参数方程是另一种表示平面上点的方式，它使用参数来描述点的位置。
参数方程中，每个坐标用一个参数t来表示，其中x和y是t 的函数。
参数方程可以表示各种曲线，如直线、圆、椭圆、双曲线等。
例如，一个点的坐标为(x,y)，那么它的参数方程可以表示为：
x = f(t)
y = g(t)
其中，f(t)和g(t)是关于t的函数，描述了点在平面上的位置。
参数方程可以用来描述各种复杂的曲线，如螺旋线、心形线等。
总结：
极坐标方程和参数方程都是表示平面上点的方式，它们使用不同的方法来描述点的位置。
极坐标方程使用极坐标系，用半径和角度的函数来表示点的位置；参数方程使用参数，用x和y的函数来表示点的位置。
两种方式都可以用来描述各种曲线，但有时一个曲线的极坐标方程和参数方程并不相同，需要根据具体情况选择合适的表示方式。
第1节 极坐标、参数方程、直角坐标方程的互化
【解析】 (1)圆的参数方程为
:
x y
6 5 sin
5 cos
(
为参数).
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极 坐标方程.
(2)由x cos , y sin可得C的极坐标方程为 : 2 12 cos 11 0.
以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)1中3.,直线l的方程为
sin( + π ) 2 2.
4 (2)求直线l被曲线C截得的弦长.
(2) 直线l的直角坐标方程为x y 4 0, 由x2 y2 4x 0得直线l与曲线C的交点坐标为(2, 2), (4, 0),
x y 4 所以直线l被曲线C截得的弦长为2 2.
【解析】由于cos 2 1 2sin2 ,故y 1 2x2,
即y 2x2 1(1 x 1).
8.将参数方程
x y
t t
1 t
2
1 t2
(t为参数)化为普通方程为
.
【答案】 x2 y 2( y 2)
【解析】 y
t2
x2 y2 2x 6 y,即(x 1)2 ( y 3)2 10. 曲线C2的直角坐标方程为(x 1)2 ( y 3)2 10.
5.圆O的方程为:(x-1)2+(y+1)2=4.
【解析】 参数方程
:
x
y
1 2 1
cos 2 sin
(
为参数);
极坐标方程 : 2 2 cos 2 sin 2 0.
6.椭圆的方程为: x2 y2 1. 94
高中数学极坐标与参数方程知识点
极坐标与参数方程知识点（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2B A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==） 中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θθec a y b x s tg ==） 5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0） 直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． （三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
参数方程与极坐标(精华版)
参数方程与极坐标(精华版)y y tsin注意：倾角为的直线，斜率为tan，所以tan=tan，即tcos=tsin，所以cos=sin，即=45，即直线与x轴或y轴夹45角。
Eg：已知直线L过点（1，2）且与x轴夹45角，求直线L的方程。
解：设直线L的参数方程为x=1+tcos45，y=2+tsin45，即x=1+t/2，y=2+t/2，将y=mx+b代入得到m=1，b=3/2，即直线L的方程为y=x+3/2.四、极坐标1、定义：在平面直角坐标系中，点P到原点O的距离r和OP与x轴正半轴的夹角唯一确定点P的位置，称（r，）为点P的极坐标，r为极径，为极角，记作P（r，）。
2、极坐标与直角坐标的转换x=r cos，y=r sinr2=x2+y2，tan=y/x3、常见曲线的极坐标方程1）圆：r=a2）半直线：=0或=3）双曲线：r=a sec或r=a cosec4）椭圆：r=a bcos或r=a sin5）心形线：r=a(1+cos)6）阿基米德螺线：r=a+b7）对数螺线：r=a e b8）伯努利双曲线：r2=a2 sec29）费马螺线：r=2a sin(/2)10）旋轮线：r=a或r=a sin(n)/sin（n为正整数）总结：极坐标的方程形式比较简单，但是不同曲线的极坐标方程需要记忆，转换成直角坐标系方程需要用到三角函数的知识。
P点的有向距离在点P两侧t的符号相反，可以通过直线的参数方程来表示。
其中，t代表有向距离的几何意义。
需要注意的是，t的符号相对于点P，正负在P点两侧，且|PP|=|t|。
直线参数方程可以有多种变式，比如y=y+tsinα和x=x+at，y=y+bt，但此时t的几何意义不是有向距离。
只有当t前面系数的平方和为1时，t的几何意义才是有向距离。
因此，可以将直线参数方程整理为x=x+a2+b2t，XXX，让a2+b2t作为t，这样t的几何意义就是有向距离了。
例如，对于直线x=-1+3t，y=2-4t，可以求其倾斜角。
极坐标方程与参数方程公式转化
极坐标方程与参数方程公式转化[1]首先极坐标是个坐标,不是方程.不能说极坐标是参数方程.曲线的直角坐标方程、极坐标方程及参数方程只是曲线的3种表达方式,可以相互转化.[2]参数方程转化为曲线方程就是找到x、y之间的关系,消去参数.[3]参数方程的参数t和极坐标里的θ没有什么必然关系.θ是在极坐标系里曲线上一点M与极点O连线与极轴之间的夹角.而t是为了表示x、y之间的关系而引入的第三个变量即为“参变量”.扩展资料：曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t)。
圆的参数方程x=a+r cosθy=b+r sinθ（θ∈[0，2π) ）(a,b) 为圆心坐标，r 为圆半径，θ为参数，(x,y) 为经过点的坐标椭圆的参数方程x=a cosθy=b sinθ（θ∈[0，2π））a为长半轴长b为短半轴长θ为参数双曲线的参数方程x=a secθ（正割）y=b tanθa为实半轴长b为虚半轴长θ为参数抛物线的参数方程x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离t为参数直线的参数方程x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直线经过（x',y'），且倾斜角为a,t为参数或者x=x'+ut，y=y'+vt (t∈R)x',y'直线经过定点（x',y'),u，v表示直线的方向向量d=(u,v)圆的渐开线x=r(cosφ+φsinφ）y=r(sinφ-φcosφ）（φ∈[0,2π））r为基圆的半径φ为参数坐标转化（1）极坐标系坐标转换为平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）下坐标：极坐标系中的两个坐标ρ和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值：x=ρcos θ；y=ρsinθ（2）平面直角坐标系坐标转换为极坐标系下坐标：由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和 y两坐标如何计算出极坐标下的坐标：在 x= 0的情况下：若 y为正数θ= 90°(π/2 radians)；若 y为负，则θ= 270°(3π/2 radians).极坐标系的意义（1）用于定位和导航。
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极坐标与参数方程
一、参数方程
1.参数方程的概念
重点体会参数t 与点M （x ，y ）的一 一对应关系。
2.参数方程和普通方程的互化
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数得到普通方程.注意互化过程中必须使x 、y 的取值范围保持一致。
3．利用22cos sin 1θθ+=将圆、椭圆的普通方程化为参数方程
如，圆229x y +=化为参数方程：x y =⎧⎨=
⎩ 圆22
(1)(2)5x y -++=化为：x y =⎧⎨=⎩ ，椭圆22143x y +=化为：x y =⎧⎨=⎩ 4．直线的参数方程
（1）经过点M 00(,)x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为: x y =⎧⎨=
⎩
（2）参数t 的几何意义：直线l 上的点P 对应的参数为t ，则||t =||PM 。
注：①P 必须是直线l 上的点，很多时候是l 与其他曲线的交点，M 必须是建立参数方程时使用的点M 00(,)x y ；
②当点P 在M 的上方是0t >，当点P 在M 的下方是0t <，当点P 与M 重合时0t =。
（3）弦长与中点：直线l 上的点,A B 对应的参数分别为12,t t ，
则12||||AB t t =-= ， __________AB t =的中点所对应的参数
（4） 1212||||||||||MA MB t t t t =⋅=
||||MA MB +=1212121212
||,0||||||,0t t t t t t t t t t +>⎧+=⎨-<⎩, （此处不能死记结论，要明白原因） 要通过图像或者韦达定理判断12,t t 的符号。
二、极坐标方程
1.极坐标系的概念
ρ=||OM 叫做点M 的极径, θ= xOM ∠叫做点M 的极角.
有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ。
一般地,不作特殊说明时, 0ρ≥（后面有过极点的直线另外规定R ρ∈） 2.极坐标和直角坐标的互化(建议结合图像)
点 直角坐标 极坐标
互化公式
3.一类特殊的直线：过极点（坐标原点）的直线（0απ≤<）
直线()R θαρ=∈化为直角坐标方程即表示过原点、倾斜角为α的直线. 如2()3
R πθρ=∈，化为直角坐标方程：_______ 如_____________,化为直角坐标方程：3y x =
如()2R π
θρ=∈，化为直角坐标方程：______
注：①对于(,)P ρθ点，0,0,P P ρρ><当时点在极轴上方，当时点在极轴下方
②(,)'(,)P P ρθρθ-点与点关于极点对称。
4.弦长公式：
①过极点的一条直线上的两点12(,),(,)A B ρθρθ,则12||=||AB ρρ-;
②一般情况下1122(,),(,)A B ρθρθ，由余弦定理得222121212||=+2cos()AB ρρρρθθ--
5.极点三角形的面积公式: 12121=|sin()|2
AOB S ρρθθ∆-。