1.2应用举例(1)导学案解读
1.2解三角形应用举例(测量距离、高度、角度)
福建美佛儿学校自主型发展大课堂数学导学案班级姓名设计者日期课题：§1.2应用举例（第一课时测量距离问题）课时：3课时●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。
其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。
情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力●教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解●教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图●教学过程一、课题导入1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、[设置情境]请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
二、讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解](2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75。
一个数除以小数1.2(导学案)五年级上册数学人教版
一个数除以小数1.2（导学案）五年级上册数学人教版今天我们要学习的五年级上册数学人教版的内容是：一个数除以小数1.2。
我们要明确本节课的教学目标。
通过本节课的学习，学生需要掌握一个数除以小数的计算方法，能够正确进行计算，并理解其背后的数学原理。
为了帮助学生更好地理解本节课的内容，我准备了一些教具和学具。
教具包括PPT和黑板，用来展示计算过程和原理。
学具则是每位学生一份的练习纸，用来进行随堂练习。
然后，我会引导学生回顾之前学过的除法知识，例如除法的定义和方法。
接着，我会提出本节课的核心问题：“当除数为小数时，我们应该如何进行计算？”在展示完计算方法后，我会让学生进行随堂练习，练习纸上的题目我会提前设计好，包括不同难度的题目，以满足不同学生的学习需求。
在学生进行练习的过程中，我会巡回指导，解答他们遇到的问题，并强调计算的注意事项。
课后，我会进行反思和拓展延伸。
反思本节课的教学效果，看看学生是否掌握了所学知识，哪些地方需要改进。
拓展延伸则是给学生提供一些相关的阅读材料，让他们进一步了解除法的应用和原理。
重点和难点解析：在上述教学设计中，有几个关键的细节是需要特别关注的。
情景引入的设计是至关重要的，因为它能够激发学生的兴趣，并使他们能够将新知识与现实生活联系起来。
例如，我选择了小明分苹果的情景，这是一个简单且直观的例子，能够让学生理解除法的基本概念。
教学难点的处理是我需要重点关注的。
在本节课中，教学难点在于理解当除数为小数时如何进行计算。
为了克服这个难点，我选择了将小数转换为整数的方法，通过将除数和被除数同时乘以相同的倍数，使得除数成为整数，从而简化计算过程。
这个方法的讲解和演示是教学中的重点，因为它是理解小数除法计算的关键。
作业设计的质量也非常重要。
作业不仅是巩固课堂知识的手段，也是检验学生学习效果的方法。
在作业设计中，我会注重题目的多样性和层次性，既有基础的计算题，也有稍加难度的应用题，以满足不同学生的学习需求。
1.2直角三角形全等的判定(1)导学案
1.2 直角三角形全等的判定（1）班别： 姓名：学习目标：1.理解判定两个直角三角形全等可以用已经学过的全等三角形判定方法来判定.2.掌握“斜边、直角边”公理，并能利用公理来判定两个直角三角形全等。
重点：熟练掌握“斜边、直角边”公理难点：利用公理来判定两个直角三角形全等学习过程：【预习导学】：1．判定两个三角形全等方法： ， ， ，它们的共同点：2、判断：如图∠C ＝∠C ′＝90°,具有下列条件的Rt △ABC 与Rt △A ′B ′C ′是否全等？全等的在（ ）里填写理由；如果不全等的，在（ ）里打“×”：（1）AC ＝A ′C ′,∠A ＝A ′ （ ）（2）AC ＝A ′C ′，BC ＝B ′C （ ）（3）AB ＝A ′B ′，BC ＝B ′C （ ）（4）∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′（ ）（5）AC ＝A ′C ′，AB ＝A ′B ′（ ）3. 如图在△ABC 与△ADC 中，∠B ＝∠D ＝90°，若利用“AAS ”证明△ABC ≌△ADC ，则需添加条件 或 ；若利用“HL ”证明证明△ABC ≌△ADC ，则需添加条件或 . 4．直角三角形 (“是”/“不是”)三角形中的一类， (“具有”/“不 具有”)一般三角形所具有的性质,所以判定两个直角三角形全等可以 ， ， ， ， 。
【探究活动】：探究1． 证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（简写为“H L ”） 已知，在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∠ACB =∠A ’C ’B ’=90°，AB =A ’B ’，AC =A ’C ’，求证：△ABC ≌△A ’B ’C ’第3题图1、“HL ”公理是：有 相等的两个 三角形全等。
即：在应用“HL ”公理时，必须先得出两个 三角形，然后证明 对应相等。
2．注意：（1）“HL ”公理是仅适用于Rt △的特殊方法。
因此，判断两个直角三角形全等的方法除可以使用“ ”、“ ”、“ ”、“ ”外，还可以使用“HL ”。
导学案与教案的区别
导学案与教案的区别教学目标：1. 理解导学案和教案的定义和基本概念。
2. 掌握导学案和教案的设计方法和实施步骤。
3. 了解导学案和教案的区别和联系。
教学内容：第一章：导学案的概念与特点1.1 导学案的定义1.2 导学案的特点1.3 导学案的类型和应用第二章：教案的概念与特点2.1 教案的定义2.2 教案的特点2.3 教案的设计与实施步骤第三章：导学案与教案的区别3.1 目标导向不同3.2 设计主体不同3.3 实施方式不同第四章：导学案与教案的应用案例分析4.1 案例一：导学案在课堂中的应用4.2 案例二：教案在课堂中的应用第五章：导学案与教案的联系与融合5.1 导学案与教案的互补关系5.2 导学案与教案的融合策略5.3 导学案与教案在教学中的优化应用教学方法：1. 讲授法：讲解导学案和教案的概念、特点和应用。
2. 案例分析法：分析导学案和教案在课堂中的应用案例。
3. 讨论法：引导学生讨论导学案和教案的区别和联系。
教学评价：1. 课堂参与度：学生参与课堂讨论和提问的情况。
2. 课后作业：学生完成课后作业的情况。
3. 小组讨论：学生参与小组讨论的表现。
教学内容：第六章：导学案的设计原则与方法6.1 导学案设计的基本原则6.2 导学案设计的步骤与方法6.3 导学案设计的注意事项第七章：教案的设计原则与方法7.1 教案设计的基本原则7.2 教案设计的步骤与方法7.3 教案设计的注意事项第八章：导学案与教案的评价与反思8.1 导学案评价与反思的方法8.2 教案评价与反思的方法8.3 导学案与教案评价与反思的整合第九章：导学案与教案的实践与应用9.1 不同学科中导学案与教案的应用9.2 不同学段中导学案与教案的应用9.3 导学案与教案在教学改革中的应用第十章：导学案与教案的未来发展10.1 教育信息化对导学案与教案的影响10.2 教育教学改革对导学案与教案的发展趋势10.3 导学案与教案在未来的发展方向教学方法：1. 讲授法：讲解导学案和教案的设计原则与方法。
人教A版必修5数学 精品导学案：1.2应用举例—①
§1.2应用举例—①班级姓名学号学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题学习过程一、课前准备复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝232+，c＝22，则∠A为.复习2：在△ABC中，sin A＝sin sincos cosB CB C++，判断三角形的形状.二、新课导学※典型例题例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是a，∠BAC=α，∠ACB=β. 求A、B两点的距离.分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.例3、坡度、仰角、俯角、方位角探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.例4. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25︒的方向上，仰角为8︒，求此山的高度CD.1. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）.A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时2. 在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则ABC ∆的形状（ ）.A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.在ABC ∆中，已知4a =，6b =，120C =，则sin A 的值是 ．4.在∆ABC 中，cos 5cos 3A bB a ==，则∆ABC 的形状是、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若::a b c A:B:C 的值.1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，的C 、D 两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.2. 在∆ABC中，b=2a=，且三角形有两解，则A的取值范围是．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
1.2应用举例(练习)
高
二
学 科：
数
学
安阳n shiyan zhongxue sibujiaoxuefa daoxuean
课题：1.2 应用举例（练习） 制单人：田志龙
一. 自主学习 1 学习目标
1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量的实际问题； 2．三角形的面积及有关恒等式．
审核人：高二数学组
班级：________ 组名：________姓名：________ 时间：__
2 学习指导
阅读教材,回答下面问题： 复习 1：解三角形应用题的关键：将实际问题转化为解三角形问题来解决． 复习 2：基本解题思路是： ①分析此题属于哪种类型（距离、高度、角度） ； ②依题意画出示意图，把已知量和未知量标在图中； ③确定用哪个定理转化，哪个定理求解； ④进行作答，并注意近似计算的要求．
课堂反思
3 自学检测
（1）某观测站 C 在目标 A 的南偏西 25 方向，从 A 出发有一条南偏东 35 走向的公路，在 C 处测得与 C 相距 31 km 的公路上有一人正沿着此公路向 A 走去，走 20 km 到达 D，此时测得 CD 距离为 21 km ，求此人在 D 处距 A 还有多远？
二. 合作交流
1 如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S△ADC= D AB 的长． A 1 2
15 3 ，求 2
D
A
600
B
B
C
C
2. 为测某塔 AB 的高度， 在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30°， 测得塔基 B 的俯角为 45°，则塔 AB 的高度为多少 m？
三. 拓展延伸
新人教A版必修5高中数学第一章1.2应用举例(一)导学案
§1.2 应用举例(一)课时目标1．了解数学建模的思想；2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A 点的方位角为α.3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．一、选择题 1．若点P 在点Q 的北偏西45°10′方向上，则点Q 在点P 的( ) A ．南偏西45°10′ B ．南偏西44°50′ C ．南偏东45°10′ D ．南偏东44°50′ 答案 C2．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 答案 B解析 ∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a ， ∴由余弦定理得AB ＝3a .3．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile 答案 D解析 在△ABC 中，∠C ＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin B∴BC sin 60°＝10sin 45° 解得BC ＝5 6.4．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为()A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m答案 A解析 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB，∴AB ＝AC ·sin∠ACBsin ∠ABC ＝50×2212＝50 2 (m)．5．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2) 海里/小时B ．20(6－2) 海里/小时C ．20(6＋3) 海里/小时D ．20(6－3) 海里/小时 答案 B解析 由题意，∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°. 由正弦定理得MN sin 30°＝MSsin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)．则v 货＝20(6－2) 海里/小时．6．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507 分钟B.157小时 C ．21.5 分钟 D ．2.15 分钟 答案 A解析 设行驶x 小时后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ， 则∠DBC ＝180°－60°＝120°.∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120° ＝28x 2－20x ＋100＝28(x 2－57x )＋100＝28⎝⎛⎭⎪⎫x －5142－257＋100∴当x ＝514(小时)＝1507(分钟)时，y 2有最小值．∴y 最小．二、填空题7．如图，A 、B 两点间的距离为________．答案 32－ 28．如图，A 、N 两点之间的距离为________．答案 40 39．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______．答案 60 m解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC .∴AC ＝AB ＝120 m. 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD，∴120sin 90°＝CD sin 30°， ∴CD ＝60(m)∴河的宽度为60 m.10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.答案 36解析如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 km. 由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223 (km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36 (km)．三、解答题11．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°方向上，求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∠B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24(n mile)．(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°， 解得CD ＝83≈14(n mile)．即A 处与D 处的距离为24 n mile ， 灯塔C 与D 处的距离约为14 n mile.12．如图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD的长为32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A 、B 两点间的距离．解 在△BDC 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝64(km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD 为正三角形．∴AC ＝CD ＝32(km)．在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34＋616－2×32×64×22＝38， ∴AB ＝64(km)．答 河对岸A 、B 两点间距离为64km.能力提升13．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时 答案 B解析 设t 小时时，B 市恰好处于危险区，则由余弦定理得： (20t )2＋402－2×20t ×40·cos 45°＝302. 化简得：4t 2－82t ＋7＝0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝1.14．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？解 如图所示，连结A 1B 2，由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2，又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200.∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船速度的大小为 10220×60＝302(海里/小时)． 答 乙船每小时航行302海里．1．解三角形应用问题的基本思路是：实际问题――→画图数学问题――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解．2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．。
苏教版六年级上册数学导学案：11整理与练习(1)
苏教版六年级上册数学导学案：11整理与练习（1）一、知识点整理1.1 除法的应用1.1.1 余数的概念与性质在除法运算中，如果被除数不能被除数整除，就会有余数。
余数是指被除数除以除数所得的余数。
例如，21 ÷ 4，商为5，余数为1。
其中，5是商，1是余数。
除法中的余数有以下性质：•余数一定小于除数。
例如，21 ÷ 4，商为5，余数为1。
而4 > 1。
•若除数是1，余数为0。
例如，21 ÷ 1，商为21，余数为0。
1.1.2 除法应用举例我们可以用余数的概念来解决一些实际问题。
例如：小明有48个糖果，他想给他的6个朋友每人分8个，这样还剩下多少糖果？解决这个问题，我们可以使用除法来计算：48 ÷ 6 = 8 … 0。
因此，小明还剩下0颗糖果。
1.2 乘法基础1.2.1 乘法的定义乘法是数学中的一种运算，是将两个或多个数相乘的过程。
其中，每个数都叫做因数，相乘的结果叫做积。
例如：3 × 4 = 12。
其中，3和4是因数，12是积。
1.2.2 乘法表的应用在学习乘法的过程中，我们经常使用乘法表，也叫做九九乘法表。
这个表格可以帮我们记忆乘法表，并更快地进行乘法计算。
例如：我们可以使用乘法表计算8 × 9。
在乘法表中，我们可以找到8的位置，然后向下寻找到9所在的行，找到交叉点就是8 × 9 = 72。
二、练习题2.1 选择题1.下面哪个数不是5的倍数？A. 25B. 30C. 45D. 50答案：C2.小明家里有24盆花，他想把它们都放在6个花盆里，每个花盆放4盆花。
这样，小明家里还剩下多少盆花？A. 0B. 2C. 4D. 6答案：A2.2 计算题1.36 ÷ 4 × 6 = ?答案：54解析：先进行36 ÷ 4 = 9 的除法运算，然后再将乘法运算6 × 9 = 54。
2.小明有12个苹果，他想把它们都分给3个朋友，每个朋友分多少个？答案：4解析：将12这个数进行除法运算，12 ÷ 3 = 4。
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§1.2应用举例（1）【学习目标】1．能正确运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些有关测量不能到达的一点或两点的距离的实际问题．2．巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯．【学习过程】一、问题引入1.正弦定理和余弦定理的基本公式是什么？2.正弦定理和余弦定理分别适合解哪些类型的三角形？3.在测量问题中，对于可到达的点之间的距离，一般直接度量，对于一个或两个点不可到达的两点间的距离，常在特定情境下通过解三角形进行计算，我们将对这类问题作些实例分析.二、自主探究探究（一）：一个不可到达点的距离测量思考1：如图，设A、B两点在河的两岸，测量者在点A的同侧，在点A所在河岸边选定一点C，若测出A、C的距离是55m，∠BAC=51°，∠ACB=75°，如何求出A、B两点的距离？思考2：若改变点C的位置，哪些相关数据可能会发生变化？对计算A、B两点的距离是否有影响？思考3：一般地，若A为可到达点，B为不可到达点，应如何设计测量方案计算A、B两点的距离（总结思考1，给出解决问题的步骤）？思考4：根据上述测量方案设置相关数据，设AC=d，∠ACB=α，∠BAC=β. 计算A、B两点的距离公式是什么？探究（二）：两个不可到达点的距离测量思考1：如图，在四边形ABCD中，已知∠BAC＝∠DBC＝45°，∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，且AB＝3，你能求出CD边的长吗？思考2：设A、B两点都在河的对岸（不可到达），你能设计一个测量方案计算A、B两点间的距离吗（总结思考1，给出解决问题的步骤）？思考3：在上述测量方案中，设CD=a，∠ACB=α，∠ACD=β，∠BDC=γ，∠ADB=δ，那么AC 和BC的计算公式是什么？思考4：测量两个不可到达点之间的距离还有别的测量方法吗？三、理论迁移1．如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝120 米．(1)求 sin75°； (2)求该河段的宽度．2．如图，A，B 两点都在河的对岸(不可到达)，在河岸边选定两点C，D，测得CD＝1 000 米，∠ACB ＝30°，∠BCD＝30°，∠BDA＝30°，∠ADC＝60°，求AB 的长．30, 30min后航行到B处, 3．如图,一艘船以32n mile/h的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东︒75方向上,（1）求灯塔S和B处的距离；（2）已知距离此灯塔7 n mile 在B处看灯塔S在船的北偏东︒AB以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？4．某观测站C 在城A 的南偏西20°方向，由城A 出发的一条公路沿南偏东40°方向笔直延伸.在C 处测得公路上B 处有一人与观测站C 相距31km ，此人沿公路走了20km 后到达D 处，测得C 、D 间的距离是21km ；问这个人还要走多远才能到达A 城？5．如图，现要计算北江岸边两景点 B 与 C 的距离．由于地形的限制，需要在岸上选取 A 和 D 两个测量点，现测得AD ⊥CD ，AD ＝10 km ，AB ＝14 km ，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求两景点B 与C 的距离．(假设A ，B ，C ，D 在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：2≈1.414)北四、小结1.根据测量需要适当确定的线段叫做基线.基线的选取不唯一，一般基线越长，测量的精确度越高.2.距离测量问题包括一个不可到达点和两个不可到达点两种，设计测量方案的基本原则是：能够根据测量所得的数据计算所求两点间的距离，其中测量数据与基线的选取有关，计算时需要利用正、余弦定理.§1.2应用举例（2）【学习目标】1．能正确运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量问题．3．巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯．【学习过程】一、问题引入1.测量一个可到达点与一个不可到达点之间的距离，应如何测量和计算？2.测量两个不可到达点之间的距离，应如何测量和计算？3.竖直方向两点间的距离，通常称为高度.如何测量顶部或底部不可到达的物体的高度，也是一个值得探究的问题.二、自主探究探究（一）：利用仰角测量高度思考1：设AB是一个底部不可到达的竖直建筑物，A为建筑物的最高点，在水平面上取一点C，可以测得点A的仰角，若计算建筑物AB的高度，还需解决什么问题？注：仰角和俯角是指与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线与目标视线的_________，目标视线在水平视线上方时叫做_________，目标视线在水平视线下方时叫做_________．如图仰角为_________，俯角为_________．思考2：取水平基线CD，只要测量出哪些数据就可计算出AC的长？思考3：设在点C、D出测得A的仰角分别为α、β，CD=a，测角仪器的高度为h，那么建筑物高度AB的计算公式是什么？思考4：如图，在山顶上有一座铁塔BC，塔顶和塔底都可到达，A为地面上一点，通过测量哪些数据，可以计算出山顶的高度？思考5：设在点A处测得点B、C的仰角分别为α、β，铁塔的高BC=a，测角仪的高度忽略不计，那么山顶高度CD的计算公式是什么？探究（二）：利用俯角测量高度思考1：飞机的海拔飞行高度是可知的，若飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，飞机在水平飞行中测量山顶的高度，关键是求出哪个数据？思考2：如图，设飞机在飞临山顶前，在B、C两处测得山顶A的俯角分别是α、β，B、C两点的飞行距离为a，飞机的海拔飞行高度是H，那么山顶的海拔高度h的计算公式是什么？探究（三）：借助方向角测量高度思考1：一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°方向上，仰角为8°，根据这些测量数据计算，此山的高度约是多少？思考2：若在A、B两处测得山顶D的仰角分别为α、β，从A到B的行驶距离为a，能否求出此山的高度？思考3：在上述条件下，若在A处还测得山顶D的方位角是西偏北θ方向，能否求出此山的高度？三、理论迁移1.为了测量某塔的高度，某人站在A 处测得塔尖的仰角为 60°，前进 38.5 m 后，达到B 处测得塔尖的仰角为 75°.试计算该塔的高度(精确到 1 m)．2．在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高.P B AQ C βγα3．在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°，60°，求该塔的高度．4．在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走m 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，求证：山高)sin()sin(sin αγβγα--=m h ．四、小结1.解决物体高度测量问题时，一般先从一个或两个可到达点，测量出物体顶部或底部的仰角、俯角或方位角，再解三角形求相关数据.具体测量哪个类型的角，应根据实际情况而定.通常在地面测仰角，在空中测俯角，在行进中测方位角.2.计算物体的高度时，一般先根据测量数据，利用正弦定理或余弦定理计算出物体顶部或底部到一个可到达点的距离，再解直角三角形求高度.§1.2应用举例（3）【学习目标】1．能正确运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些角度计算的实际问题．3．巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯．【学习过程】一、问题引入1.测量水平面内两点间的距离，有哪两种类型？分别测量哪些数据？2.测量物体的高度时，对角的测量有哪几种类型？在实际问题中如何选择？3.角度是三角形的基本元素，是反映实际问题中物体方向的几何量，根据相关数据计算角的大小，也是测量问题中的一个重要内容.二、自主探究探究（一）：探究（一）：测量行进方向思考1：一艘海轮从海港A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C，那么A、C 两点间的直线距离是否确定？如何计算？思考2：在上述问题中，若海轮直接从海港A出发，直线航行到海岛C，如何确定海轮的航行方向？思考3：甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，以20 n mile/h的速度向正北方向航行，若使甲船在直线航行中，与乙船在某处相遇，那么甲船的航行方向由什么因素所确定？思考4：在上述问题中，若甲船的航速为320n mile/h，那么甲船应沿什么方向航行才能与乙船在C处相遇？探究（二）：测量相对位置思考1：甲船在A处，乙船在点A的东偏南45°方向，且与甲船相距9 n mile的B处.在点B 南偏西15°方向有一个小岛C，甲、乙两船分别以28 n mile/h和20 n mile/h的速度同时向小岛直线航行，并同时达到小岛，那么B处与小岛的距离是多少？思考2：在A处观察小岛，其位置如何？三、理论迁移1. 在A 处有一条小船，在点A 的北偏东30°方向有一个小岛B ，这附近海域内有北偏东60°方向，且速度为4 nmile/h 的潮流.已知小船的航速是)26(2+ n mile/h ，若使小船在最短的时间内达到小岛，小船应沿什么方向航行？2. 如图，已知一艘船以30 n mile/h 的速度往北偏东︒15的A 岛行驶，计划到达A 岛后停留10min 后继续驶往B 岛，B 岛在A 岛的北偏西︒60的方向上。
船到达C 处时是上午10时整，此时测得B 岛在北偏西︒30的方向，经过20 min 到达D 处，测得B 岛在北偏西︒45的方向，如果一切正常的话，此船何时能到达B 岛？3．如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角（从指北方向顺时针转ACD ︒60︒45︒30B到目标方向线的水平角）为45，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以h mile n /)13(10-的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以h mile n /610的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.4.在海岸A 处，发现北偏东 45方向，距离A 为)13(- n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西 75方向，距离A 为2 n mile 的C 处有一艘缉私艇奉命以310n mile / h 的速度追截走私船，此时，走私船正以10 n mile / h 的速度从B 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间。