高考数学专题复习圆锥曲线中的斜率问题试题及解析
圆锥曲线中的斜率问题
一、考情分析
斜率问题也是高考圆锥曲线考查的热点,主要有以下类型：利用斜率求解三点共线问题；与斜率之和或斜
率之积为定值有关的问题；与斜率有关的定值问题；与斜率有关的范围问题.
二、解题秘籍
(一)利用斜率求解三点共线问题
利用斜率判断或证明点A,B,C共线,通常是利用kAB=k
AC.
【例1】(2023届广东省部分学校高三上学期联考)设直线x=m与双曲线C：x2
-y2
3=m(m>0)的两条渐近
线分别交于A,B两点,且三角形OAB的面积为3.
(1)求m的值；
(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0,l与C交于两个不同的点M,N,M关于x轴的对称点为M,F
为C的右焦点,若M,F,N三点共线,证明：直线l经过x轴上的一个定点.
【例2】(2022届北京市一六一中学高三上学期期中)已知椭圆W
:x2
4
+y2
3=1的左､右顶点分别为A,B,右焦
点为F,直线l1:x=4.
(1)若椭圆W的左顶点A关于直线x+my-4=0的对称点在直线l
1上,求m的值；
(2)过F的直线l
2与椭圆W相交于不同的两点C,D(不与点A,B重合),直线CB与直线l1相交于点M,求
证：A,D,M三点共线.
(二)根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质
1.设点Pm,n是椭圆C:x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若k
PA+
k
PB=λ,则λ=0时直线AB斜率为定值bm2
an2n≠0,若λ≠0,则直线AB过定点m-2n
λ,-n-2b2ma2λ,
2.设点Pm,n是双曲线C:x2
a2-y2
b2=1(a>0,b>0)一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若
k
PA+k
PB=λ,则λ=0时直线AB斜率为定值-bm2
an2n≠0,若λ≠0,则直线AB过定点
m-2n
λ,-n+2b2m
a2λ；
3.设点Pm,n是抛物线C：y2=2pxp>0一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若k
PA+k
PB
=λ,则λ=0时直线AB斜率为定值-p
nn≠0,若λ≠0,则直线AB过定点m-2n
λ,-n+2p
λ；
【例3】(2023届山西省山西大附属中学高三上学期诊断)若点P在直线y=t上,证明直线PA,PB关于y=t
对称,或证明直线y=t平分∠APB,可证明kPA+k
PB=0.
已知椭圆C：x2
a2+y2
b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F
1,F
2,点M0,2是椭圆C的一个顶点,△F
1MF
2
是等腰直角三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线MA,MB的斜率分别为k
1,k
2,且k
1+k
2=
8,证明：直线AB过定点．
【例4】(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研)已知点A(2,1)在双曲线C
:x2
a2
-y2
a2-1=1(a
>1)上,直线l交C于P，Q两点,直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率;
(2)若tan∠PAQ=22,求△PAQ的面积.
【例5】(2022届广东省深圳市高三上学期月考)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,其中P为E的准线
上一点,O是坐标原点,且OF
⋅OP
=-9
4.
(1)求抛物线E的方程；
(2)过Q1,0的动直线与E交于C,D两点,问：在x轴上是否存在定点Mt,0t≠0,使得x轴平分
∠CMD?若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.
(三)根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质
1.若点A,B是椭圆C：x2
a2+y2
b2=1a>b>0上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的
点,则kPA⋅k
PB=-b2
a2；若点A,B是双曲线C：x2
a2-y2
b2=1a>0,b>0上关于原点对称的两点,点P是
双曲线C上与A,B不重合的点,则kPA⋅k
PB=b2
a2.
2.若圆锥曲线上任意一点P作两条直线与该圆锥曲线分别交于点A,B,若k
PA⋅k
PB为定值,则直线AB过定
点.
【例6】(2022届黑龙江省大庆高三上学期期中)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2
4+y2
3=1的左、右
顶点和右焦点分别为A、B和F,直线l:x=my+t与椭圆C交于不同的两点M、N,记直线AM、BM,
BN的斜率分别为k
1、k2、k3.
(1)求证：k
1k
2为定值；
(2)若k
1=3k
3,求△FMN的周长.
【例7】(2023届湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试)点P(4,3)在双曲线C:x2
a2-y2
b2=1(a>0,b>0)
上,离心率e=7
2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)A,B是双曲线C上的两个动点(异于点P),k
1,k
2分别表示直线PA,PB的斜率,满足k1k
2=3
2,求证：直
线AB恒过一个定点,并求出该定点的坐标.
(四)判断或证明与斜率有关的定值与范围问题
1.判断或证明与斜率有关的定值问题,通常是把与斜率有关的式子用某些量来表示,然后通过化简或赋值
得到定值.
2.求斜率有关的范围问题,通常是把与斜率有关的式子用其他量来表示,转化为求函数值域问题,或由已知
条件整理出关于斜率的不等式,通过解不等式求范围.
【例8】(2022届山东省学情高三上学期12月质量检测)已知椭圆C
:x2
a2
+y2
b2=1(a>b>0)的左右焦点分别
为F1(-1，0),F
2(1，0).过F
2与x轴垂直的直线与椭圆C交于点D,点D在x轴上方,且DF1=32
2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F
2的直线l与椭圆C交于A,B两点,是否存在一定点M使得kMA+k
MB为定值,若存在,求出点M
的坐标,若不存在,请说明理由.
【例9】(2022届广东省高三上学期12月大联考)已知圆(x+1)2+y2=16的圆心为A,点P是圆A上的动点,
点B是抛物线y2=4x的焦点,点G在线段AP上,且满足GP=GB.
(1)求点G的轨迹E的方程；
(2)不过原点的直线l与(1)中轨迹E交于M,N两点,若线段MN的中点Q在抛物线y2=4x上,求直线l
的斜率k的取值范围.
三、跟踪检测
1.(2023届山西省长治市高三上学期9月质量检测)已知点P1,3
2在椭圆C：x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)上,
且点P到椭圆右顶点M的距离为13
2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点A,B是椭圆C上不同的两点(均异于M)且满足直线MA与MB斜率之积为1
4．试判断直线AB
是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由．
2.(2023届重庆市第八中学校高三上学期月考)已知椭圆C的中心为坐标原点,对称轴为x轴,y轴,且过A
(-2,0),B1,3
2两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)F为椭圆C的右焦点,直线l交椭圆C于P,Q(不与点A重合)两点,记直线AP,AQ,l的斜率分别为k
1,
k
2,k,若k
1+k
2=-3
k,证明：△FPQ的周长为定值,并求出定值.
3.(2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考)已知椭圆C
:x2
a2
+y2
b2=1(a>b>0)
的离心率为2
2,上
顶点为D,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点M的坐标为(2,1)
时,直线l恰好经过D点.
(1)求椭圆C的方程：
(2)当l不过点D时,若直线DM与直线l的斜率互为相反数,求k的取值范围.
4.(2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测)已知A,A分别是椭圆C
:x2
a2
+y2
b2=1(a>b>0)的
左､右顶点,B,F分别是C的上顶点和左焦点.点P在C上,满足PF⊥AA,AB∥OP,FA=2-2.
(1)求C的方程；
(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M,N两点,设直线AM,AN的斜率分别为k
1,k
2,求证：k
1k
2为
定值.
5.(2023届重庆市第一中学校高三上学期9月月考)已知椭圆C
:x2
a2
+y2
b2=1(a>b>0)经过点
3,1
2,其
右焦点为F3,0.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若点P,Q在椭圆C上,右顶点为A,且满足直线AP
与AQ的斜率之积为1
20.求△APQ面积的最大
值.
6.(2023届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考)已知双曲线C:x2-y2=1和点B0,1.
(1)斜率为k且过原点的直线与双曲线C交于E,F两点,求∠EBF最小时k的值.
(2)过点B的动直线与双曲线C交于P,Q两点,若曲线C上存在定点A,使k
AP+k
AQ为定值λ,求点A的
坐标及实数λ的值.
圆锥曲线中直线斜率类高考热点综合练习题(高考压轴题)
1.在平面直角坐标系xOy中，已知点(1,0)F，直线:1lx，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，动点Q满足：RQPF，PQl．
（1）求动点Q的轨迹方程E；
（2）若直线PF与曲线E交于A，B两点，过点F作直线PF的垂线与曲线E相交于C，D两点，求FAFBFCFDuuuruuuruuuruuurgg的最大值．
2.过点(0,2)P的直线与抛物线2:4Cxy相交于A，B两点．
（1）若2APPBuuuruuur，且点A在第一象限，求直线AB的方程；
（2）若A，B在直线2y上的射影分别为1A，1B，线段11AB的中点为Q，求证1//BQPA．
3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为(1,0)F，且点3(1,)2在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线4x于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上．
4.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyEabab经过点(2,2)P，离心率为22．
（1）求E的方程；
（2）过点P斜率为1k，2k的两条直线分别交椭圆E于A，B两点，且满足120kk．证明：直线AB的斜率为定值．
5.设直线l与抛物线22xy交于A，B两点，与椭圆22142xy交于C，D两点，设直线OA，OB，OC，(ODO为坐标原点）的斜率分别为1k，2k，3k，4k，若OAOB．
（1）证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标；
（2）是否存在常数，满足1234()kkkk？并说明理由．
解析几何中与斜率有关的综合题
解析几何中与斜率有关的综合题
陈玉生
圆锥曲线是高中数学的重要内容，也是高考重点考查的知识点，其中与斜率有关的综合问题是高考题中的“亮点”，倍受命题者青睐.它涉及知识多、方法灵活、综合性强，能有效地考查学生的推理运算能力、理性思维能力.
1.斜率为定值的证明题
例1 如图，曲线G的方程为y2=2x(y≥0)，以原点为圆心，以t(t>0)为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B，直线AB与x轴相交于点C.
(1)求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；
(2)设曲线G上点D的横坐标为a+2，求证：直线CD的斜率为定值.
分析：对于(1)只要直接求解即可，对于(2)需要通过(1)求得用a表示的点C的坐标.直接表示出直线CD的斜率，通过运算即可证明此斜率为定值.
解：(1)由题意知，A(a,2a)，因为|OA|=t,所以a2+2a=t2,又t>0,故t=a2+2a(1)，由点B(0，t),C(c,0)的坐标知直线BC的方程为xc+yt=1.又因A在直线BC上，故有ac+2at=1，将(1)代入上式得ac+2aa(a+2)=1,∴c=a+2+2(a+2).
(2)因为D(a+2,2(a+2))，所以直线CD的斜率为k〤D=2(a+2)a+2-c=
2(a+2)a+2-(a+2+2(a+2))=2(a+2)-2(a+2)=-1(定值).
注：本题综合考查运算能力、思维能力及综合分析问题、解决问题的能力.
2.斜率存在的探索题
例2 平面直角坐标系xOy中，过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆x22+y2=1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B，是否存在常数k，使得向量㎡P+㎡Q哂氇〢B吖蚕?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.
分析：联立直线与圆锥曲线方程，将曲线交点转化为方程的解，利用韦达定理，设而不求，整体思维，整体代换，避繁就简，是解决圆锥曲线问题的通性、通法.
24、圆锥曲线专题第四节圆锥曲线中角度与斜率问题1配套题答案与解析
。
1 一．选择题（共7小题）
1．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】由椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，列出方程组求出a=2，b=，从而得到椭圆方程为，再由直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），利用点差法能求出直线l的斜率．
【解答】解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，
∴，解得a=2，b=，
∴椭圆方程为，
∵直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），
∴设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣4，y1+y2=2，
又，两式相减，得：（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2）=0，
∴﹣（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=0，
∴直线l的斜率k==．
故选：C． 。
2 【点评】本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、点差法的合理运用．
2．过椭圆+y2=1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【分析】由椭圆方程，a，b，c．直线AB方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点坐标公式即可求得k值，从而解决问题．
【解答】解：由椭圆方程，a=，b=1，c=1，则点F为（﹣1，0）．
直线AB方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，得
（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则
圆锥曲线：高考大题第六类题型 角度与斜率问题
圆锥曲线：高考大题专攻
第六类题型 角度与斜率问题
1．（本题满分13分）
已知椭圆222210xyabab过点0,1，离心率22e.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点,0Pm，过点1,0作斜率为0kk直线l，与椭圆交于M，N两点，若x轴平分MPN ，求m的值．
2.（本小题14分）
已知椭圆22221(0)xyCabab：的离心率等于22，经过其左焦点(1,0)F且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于,MN两点．
(Ⅰ) 求椭圆C的方程；
(Ⅱ) O为原点，在x轴上是否存在定点Q，使得点F到直线QM，QN的距离总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
3.（本小题共14分）
已知椭圆G:)0(12222babyax的离心率为12，过椭圆G右焦点F的直线:1mx与椭圆G交于点M（点M在第一象限）.
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）已知A为椭圆G的左顶点，平行于AM的直线l与椭圆相交于,BC两点.判断直线,MBMC是否关于直线m对称，并说明理由.
4． (本小题满分14分)CY
已知椭圆的离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点，直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数．若直线与椭圆交于两点且均不与点重合，设直线与轴所成的锐角为，直线与轴所成的锐角为，判断与大小关系并加以证明．
2222:1(0)xyCabab222(1,)2CC1lC,AB2l1l2l,EF,ABAEx1BFx212
5.已知椭圆C：22221xyab0ab，四点111P，，201P，，3312P，，4312P，中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过2P点且与C相交于A、B两点，若直线2PA与直线2PB的斜率的和为1，证明：l过定点．
圆锥曲线中一类斜率关系题
数学有数
圆锥曲线中一类斜率关系题
■俞新龙
在最近一段时间的复习中，经常遇到圆锥曲线中一类斜率
关系题，从同学们答题的情况看，掌握的不理想，下面，我们通
过四道典型问题一起来集中突破． （注：每题第（１）问请同学们自行求解．） 例１．已知抛物线Ｃ：ｙ＝ａｘ 过点Ｐ（４，４）． （Ｉ）求实数ｎ的值；
（ＩＩ）设点Ａ，Ｂ在抛物线Ｃ上，直线ＰＡ，ＰＢ的斜率分别为
Ｋ。，ｋ ，且ｋ２－ｋ ：１，若△ＡＤＰ的面积是△ ０日的面积的２倍（０
为坐标原点），求直线 的方程．
解析：（Ｉ） ｝．
Ｊｘ＋ｌ＞０．
．‘． ∈［０，１］时，１２ｘ＋ｔ＞０， 恒成立， ｌｘ＋ｌ≤（２ｘ＋１） ，
ｆＸ＋１＞０
．・． ∈［０，１］时，｛ ＞一２ｘ 恒成立，
Ｉ￡≥一 ＋、／
即 ∈［０，１］时， ≥一２ｘ＋、／ 恒成立，于是转化为求一２ｘ＋ 、／ （ ［０，１］）的最大值问题．
令ｕ＝、／ ，则Ｘ＝／．／，２－１，由 ［０，１］，知 ∈［１，、／ ］．
．・．一 ＋ ＝一２（／￣２ １） 一２（“一｝） ．
当ｕ＝ｌ时．即ｘ＝０时，一 ＋、／ Ｔ－有最大值为１．
．・．ｔ的取值范围是￡≥１．
点评：对于含参数问题，常常用分类讨论的方法；而恒成
立问题，除了运用分类讨论的方法外，还可采用分离参数的方 法． 三、专题复习小结
１．不等式与函数的综合题，如求函数的定义域、值域， 求参数的取值范围，与函数有关的不等式证明等，解决此类
综合题，要充分运用函数的单调性，注意函数的定义域，并
结合函数的奇偶性、周期性一起讨论． ２．不等式与数列的综合题，一般来说多是证明题，要熟
悉不等式的常用证明方法，特别是比较法、综合法、分析法、
数学归纳法等，也可利用函数的思想．
３．含有参数的不等式问题，求解过程中要利用不等式的 性质将不等式进行变形转化，化为一元二次不等式等问题去
解决，注意参数在转化过程中对问题的影响．
４．对于应用题要通过阅读．理解所给定的材料．寻找量 与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，
高考数学90个考点90个专题专题《以斜率比为约束或目标的几种必会套路》解析版
高考数学90个考点90个微专题《斜率比为约束或目标的几种
必会套路》
【考点辨析】
直线与圆锥曲线相交的综合问题是每年高考的必考点，而以斜率积为背景更是重点考查。其通常采取设而
不求法来处理，设而不求法又分为逐个消元法、齐次化法、点乘双根法，定比分点点差法，而其中逐个消元法
是最常用的方法，其步骤为设直线、联立、化简约束条件、化简目标式子，求解的过程就是逐个消元的过程。
此问题的难点是变量多，步骤长，只要按特定的顺序逐个消元即可化解。【知识储备】
(1)两定点一动点下的斜率比与定直线的关系：__________________________
(2)两定点一动点下斜率积与圆锥曲线的关系:
(3)一定点两动点下的斜率积与动直线过定点的关系：
【典例剖析】
类型一：以斜率比或定直线为目标式子
例1.（以斜率比为目标式子）已知双曲线C：x2
a2-y2
b2=1(a>0,b>0)的焦距为4，左右定点为A，B，P
(2,3)是双曲线C上一点，且直线l经过C的右焦点，且与双曲线交于M、N两点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设直线AM，BN的斜率分别为k
1，k2，若k1=λk
2，求证λ为定值。
【解析】【答案】
解法1非对称韦达定理：(1)由题意2c=4，则c=2，
即焦点坐标为，因为P点坐标为，
所以PF2⊥F
1F
2，且，所以在Rt△PF1F
2中，，
所以，即a=1，
所以b2=c2-a2=3，
所以双曲线C的标准方程为x2-y2
3=1；
(2)证明：因为直线l的方程为x=ty+2，，
由消去x，整理得(3t2-1)y2+12ty+9=0，
因为，，
则y1+y
2=-12t
3t2-1，y1y
2=9
3t2-1，
且y1=-y
2-12t
3t2-1，
因为A，B
坐标分别为，k2=
y
2
x
2-1，k1=
y
1
x1+1，所以
=ty
1y
2+y
1
ty
1y
2+3y
2=
9t
3t2-1-y
2-12t
3t2-1
9t
3t2-
1+3
y
2=-3t
3t2-1-y
2
9t
3t2-1+3y
2=-1
25、圆锥曲线专题第四节圆锥曲线中角度与斜率问题2配套题答案与解析
一．选择题（共8小题）
1．直线x=ky+3
与双曲线只有一个公共点，则k的值有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．无数多个
【分析】将直线x=ky+3
代入双曲线，可化为（4k2﹣9）y2+24ky=0．分
类讨论：当4k2﹣9=0时，可得k=
±，此时直线与双曲线的渐近线平行，满足
题意；当4k2﹣9≠0时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得△=0，解出
即可．
【解答】解：x=ky+3
代入双曲线，可化为（4k2﹣9）y2+24ky=0．
①当4k2﹣9=0时，可得k=
±，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲
线有且只有一个交点，满足题意；
②当4k2﹣9≠0时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得△=
（24k）2﹣0=0，解得k=0．此时满足条件．
综上可得：k=
±，0．
故选：C．
【点评】本题考查了直线与双曲线的位置关系及其性质、一元二次方程与△的
关系、分类讨论等基础知识与基本方法，属于难题．
2．直线y=kx﹣2与椭圆x2+4y2=80相交于不同的两点P、Q，若PQ的中点横坐标
为2，则直线的斜率等于（ ）
A
．B
．C．2D．4
【分析】设P（x
1，y
1），Q（x
2，y
2），由直线y=kx﹣2与椭圆x2+4y2=80联立得：
（4k2+1）x2﹣16kx﹣64=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求
出k．
【解答】解：设P（x
1，y
1），Q（x
2，y
2），
由直线y=kx﹣2与椭圆x2+4y2=80联立得：（4k2+1）x2﹣16kx﹣64=0因为直线y=kx﹣2与椭圆x2+4y2=80相交于不同的两点P、Q，
所以△=（﹣16k）2﹣4×（4k2+1）×（﹣64）＞0，
即1280k2+256＞0，此式显然成立．
把P，Q点的坐标待入椭圆方程得：，①
，②
①﹣
②得：
=﹣，
所以
=﹣，
又因为PQ的中点横坐标为2，所以x
1+x
2=4，
所以
k=﹣，即（2k﹣1）2=0，解得
k=．
故选：B．
【点评】本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函
高考数学：圆锥曲线复习题附答案解析
第 1 页 共 8 页 圆锥曲线复习题
1．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，经过F倾斜角为60°的直线l与抛物线C交于A，B两点．求弦AB的长．
【分析】根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解．
【解答】解：∵抛物线C：y2＝4x，
∴抛物线的焦点F（1，0），p＝2，
设点A（x1，y1），B（x2，y2），
∵直线l经过F倾斜角为60°，
∴直线l的方程为y=√3(𝑥−1)，
联立方程{𝑦=√3(𝑥−1)𝑦2=4𝑥，化简整理可得，3x2﹣10x+3＝0，
由韦达定理可得，𝑥1+𝑥2=103，
∴|AB|=|𝐴𝐹|+|𝐵𝐹|=𝑥1+𝑝2+𝑥2+𝑝2=𝑥1+𝑥2+𝑝=103+2=163．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于基础题．
2．已知𝐴(2，√2)为椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）与抛物线y2＝2px的交点，设椭圆的左右焦点为F1，F2，抛物线的焦点为F，直线AF将ΔAF1F2的面积分为9：7两部分．
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）若直线l：y＝kx+m与椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1相交于P、Q两点，且△OPQ的重心恰好在圆O：x2+y2＝1上，求m的取值范围．
【分析】（1）利用点A为椭圆和抛物线的交点，代入两个方程，即可求出抛物线的方程，再利用直线AF将ΔAF1F2的面积分为9：7两部分，求出c的值，由此得到a，b的值，从而得到椭圆的标准方程；
（2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理和判别式大于0，由△POQ重心恰好在圆x2+y2＝1上，得到(𝑥1+𝑥2)2+(𝑦1+𝑦2)2=9，利用韦达定理进行化简变形，表示出m2的表达式，由基本不等式求解即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可知，点𝐴(2，√2)为椭圆与抛物线的交点，
4𝑎2+2𝑏2=1且2＝4p，
解得𝑝=12，则y2＝x； 第 2 页 共 8 页 又直线AF将ΔAF1F2的面积分为9：7两部分，
高中数学圆锥曲线系统讲解第13讲《椭圆、双曲线的两个斜率积结论》练习及答案
1
第13讲 椭圆、双曲线的两个斜率积结论
知识与方法
1．椭圆的第三定义：如图1所示，设椭圆22
22:1xy
C
ab+=()0ab的左、右顶点分别
为A和B，点P为椭圆C上不与A、B重合的动点，则直线PA、PB的斜率之积
2
2
21
PAPBb
kke
a=−=−.
推广：如图2所示，A、B为椭圆22
22:1xy
C
ab+=()0ab上关于原点对称的任意两点，
P为椭圆C上的动点且直线PA、PB的斜率均存在，则直线PA、PB的斜率之积
2
2
21
PAPBb
kke
a=−=−
2．椭圆中点弦结论：如图3所示，设AB是椭圆22
22:1xy
C
ab+=()0ab的任意一条不
垂直于坐标轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则直线OM与直线AB的斜率之积
2
2
21
OMABb
kke
a=−=−.
3．双曲线的第三定义：如图4所示，设A、B分别为双曲线22
22:1xy
C
ab−=()0,0ab
的左、右顶点，P为双曲线上不同于A、B的任意一点，则直线PA、PB的斜率之积
2
2
21
PAPBb
kke
a==−
推广：如图5所示，设A、B为双曲线22
22:1xy
C
ab−=()0,0ab上关于原点O对称的
任意两点，P为双曲线C上的动点，且PA、PB的斜率都存在，则直线PA、PB的斜率之积2
2
21
PAPBb
kke
a==−
4．双曲线中点弦结论：如图6所示，设AB是双曲线22
22:1xy
C
ab−=()0,0ab的不垂
直于坐标轴且不过原点的弦，M为AB中点，则直线OM与直线AB的斜率之积
2
2
21
OMABb
kke
a==−.
2
提醒：若是焦点在y轴上的椭圆或双曲线，则上述四个斜率积的结果都要取倒数.
典型例题
【例1】设椭圆2
2:1
2x
Cy+=的左、右顶点分别为A和B，P为椭圆C上不与A、B重合的
任意一点，则直线PA、PB的斜率之积为______. 【解析】由题意，()2,0A−，()2,0B，设()
00,Pxy，
02x，则2
微专题5 圆锥曲线中斜率定值问题(原卷版)
第 1 页 微专题5 圆锥曲线中斜率定值问题
一、背景研究：
圆锥曲线是高考的必考知识之一，也是很多学生突破高分中的拦路虎，计算量大，综合性强是圆锥曲线的特点，因此很多学生视其为“眼中钉、肉中刺”。不过圆锥曲线题目是有规律也寻的，特别是经常会遇到这样一类问题，它不仅仅是“定值”问题，更重要的是证明或者探究直线的斜率为定值问题，只有真正做好练习和巩固，这类问题便可手到擒来。
二、知识回顾：
1、斜率反应了直线的倾斜程度，是高考中必考的知识点；
2、已知点11,yxA和点22,yxB，且21xx，则直线AB的斜率为2121xxyykAB；
3、在出现斜率为定值的问题当中，经常会证明一条直线或者两条直线斜率和，差或者积与商为定值，我们需要先将斜率表示出来。
第 2 页 三、经典例题：
【例1】已知抛物线C：2y=2px经过点P（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N。
（1）求直线l的斜率的取值范围；
（2）设O为原点，QMQOuuuuruuur，QNQOuuuruuur，求证：11为定值。
第 3 页 【例2】如图，椭圆E：222210xyabab经过点0,1A，且离心率为22。
（1）求椭圆E的方程；
（2）经过点1,1，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），
证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值。
第 4 页 【例3】已知点和动点，以线段为直径的圆内切于圆。
（1）求动点的轨迹方程；
（2）已知点，，经过点的直线与动点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的斜率之和为定值。
第 5 页 四、课堂练习：
1、如图，直线:210lxy与y轴交于点A，与抛物线2:2(0)Cxpyp交于,PQ
点B与点A关于x轴对称，连接,QBBP并延长分别与x轴交于点,MN。