最新人教版九年级数学下册26.1.2反比例函数的图像和性质(第2课时)
第二十六章 反比例函数
高于铺二中 张涛
1.使学生进一步理解和掌握反比例函数的图象 及性质 . 2.会用待定系数法求反比例函数解析式. 3.能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合 的问题.
1．反比例函数的图象
xy k 探究：y＝ (k≠0)可变形为 k＝__________. x
m5 的图象一支，根 y x
例2：如图是反比例函数 据图象回答下列问题 ： （1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值 范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a， b）和b（a′，b′），如果a>a′，那 么b和b′有怎样 的大小关系？
（２）∵ｍ－５＞０，在这个函数图象 的任一支上，ｙ随ｘ的增大而减小， ∴当ａ＞ａ′时ｂ＜ｂ′
a2 1 y 1、在反比例函数 x 的图象上有三点
（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若 x1>x2>0>x3，则下列各式中正确的是（ ） A A、 y B、y3>y2>y1 3>y1>y2 C、y1>y2>y3 D、y1>y3>y2
知识点 3
k 的几何意义(知识拓展)
【例 3】 过如图 26-1-4 所示双曲线上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM、PN，求四边形 PMON 的面积．
解：依题意设函数解析式为 k y＝x(k<0)，P(x，y)． ∵PM⊥x 轴， ∴△PMO 是直角三角形，且 OM＝|x|，PM＝|y|. 1 1 1 ∴S△ PMO＝2OM· PM＝2|x||y|＝2|xy|. 1 k 又由 y＝x，有 k＝xy，∴S△ PMO＝2|k|. 1 同理，可得 S△ PNO＝2|k|. 1 1 ∴S 四边形 PMON＝S△ PMO＋S△ PNO＝2|k|＋2|k|＝|k|.
2.根据图中点的坐标
y
A(-2,b).
0
（1）求出y与x的函数解析式.
（2）如果点A（-2，b）在双
x
B (3,-1)
曲线上，求b的值. （3）比较绿色部分和黄色部 分的面积的大小.
答案：（1）
3 y x
（2）
3 y 2
（3）绿色部分和黄色部分的面积相等，都等于︱k︱
y
y= x
5
o
B
A
x
5 3.如图：A，B是双曲线y= x 上的
K<0
增 减 y随x的增大而减小 性
知识巩固
5 二,四 象限，在每 1.函数 y = x 的图象在第_____ 个象限内，y 随 x 的增大而_____ 增大 . 1 2. 双曲线 y = 经过点（-3，___） 3x m-2 3.函数 y = x 的图象在二、四象限，则m的取
<2 . 值范围是 m ____ 1 减小 而 4.对于函数 y = 2x ，当 x<0时，y 随x的_____ 三 增大，这部分图象在第 ________ 象限.
5.函数 y =(2m+1)x
3 则m= ____.
m+2m-16
2
, y 随 x 的减小而增大，
例1:已知反比例函数的图象经过点A(2，6). (1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何 变化? 4 (2)点B(3，4)、C( 2 1 , ）和 4 D（2，5）是否在这个 5 2 函数的图象上？ k 解：（１）设这个反比例函数为 y ， x
∵图象过点A（2，6） k 解得： ｋ＝１２ 6
12 ∴这个反比例函数的表达式为 y x
2
∵ｋ＞０ ∴这个函数的图象在第一、第三象限， 在每个象限内，ｙ随ｘ的增大而减小。
例1:已知反比例函数的图象经过点A(2，6). (1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何 变化? 4 (2)点B(3，4)、C( 2 1 , ）和 4 D（2，5）是否在这个 5 2 函数的图象上？ 12 （２）把点Ｂ、Ｃ和Ｄ的横坐标代入 y ，可知点Ｂ、 x
xy 得正，因此可以判断 x，y 的符号 (1)当 k>0 时，由于______
相同 ，所以点(x，y)在____________ 第一或第三 象限，所以函数图象位 ________ 一、三 于__________象限．
xy (2)当 k<0 时，由于__________ 得负，因此可以判断 x，y
m5 y 的图象一支，根 x
k－2 4．(2012 年山东济宁)如图 2613，是反比例函数 y＝ x 的
图象的一个分支，对于给出的下列说法： 图 26-1-3
①常数 k 的取值范围是 k＞2；
②另一个分支在第三象限；
③在函数图象上取点 A(a1 ，b1)和点 B(a2 ，b2)，当 a1 ＞a2 时，则 b1＜b2； ④在函数图象的某一个分支上取点 A(a1，b1)和点 B(a2，b2)， 当 a1＞a2 时，则 b1＜b2. ①②④ 在横线上填出正确的序号)． 其中正确的是 __________(
1 = OD·PD 2
1 = 2
y
m n
P (m,n)
o
1 = k 2
D
x
思考
k 反比例函数 y 上一点P（x0，y0），过点P x
作PA⊥y轴，PB⊥X轴，垂足分别为A、B，则 四边形AOBP的面积为 S△BOP = 。
k 2
k S△AOP ；且
k 设P(m, n)是 双 曲 线 y (k 0)上 任 意 一 点 ,有 : x (1)过P作x轴 的 垂 线 ,垂 足 为 A, 则 1 1 1 SOAP OA AP | m | | n | | k | 2 2 2
A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1 = S2 D.S1和S2的大小关系不能确定.
o
S2
S1
A
B
x
C
D
1 8.如图, 在y ( x 0)的图像上有三点 A, B, C , x 经过三点分别向 x轴引垂线, 交x轴于A1 , B1 , C1三点, 边结OA, OB, OC, 记OAA 的 1 , OBB 1 , OCC1 面积分别为S1 , S2 , S3 , 则有 __ A.
y P(m,n) P(m,n) o A x o A x y
面积性质（一）
面积性质（二）
( 2)过P分别作x轴, y轴的垂线, 垂足分别为A, B, 则S矩 形OAPB OA AP | m | | n || k | (如图所示).
y
y
B
P(m,n)
A
B
P(m,n) A
o
x
o
x
根据象限确定k的符号
图 26-1-4
P 在第四象限，或双曲线在第一、三象限， 则同样有 S 四边形PMON＝|k|.
若
因此
k 的几何意义为：过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的
垂线，所得的四边形的面积为|k|.
2 2.如图,点P是反比例函数 y 图象上 x 的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积
为 1 .
S△POD
OB＝AB＝AC＝OC＝1，所以周长为
4.
k2 6．已知：正比例函数 y＝k1x 的图象与反比例函数 y＝ x (x>0)
的面积等于 2，求这两个函数的解析式．
解：∵MN⊥x 轴，点 M(a,1)， 1 ∴S△OMN＝2a＝2，∴a＝4. ∴M(4,1)． k2 ∵正比例函数 y＝k1x 的图象与反比例函数 y＝ x (x>0)的图 象交于点 M(4,1)， 1 ∴k1＝4，k2＝4×1＝4. 1 ∴正比例函数的解析式是 y＝4x，反比例函数的解析式是 y 4 ＝x.
O B
x
例4.(成都·中考)如图，已 知反比例函数 与一次函数y=x+b的
图象在第一象限相交于点A（1，-k+4）. （1）试确定这两个函数的解析式.
பைடு நூலகம்
（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根
据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取 值范围.
y=mxm²-5 0
x
k 1、反比例函数 y 的图象经过（2， x
-1），则k的值为
；
-2
k 2、反比例函数 y 的图象经过点（2， x
5），若点（1，n）在反比例函数图象 上，则n等于（ A ）
A、10
B、 5
C、2
D、-6
2 3、下列各点在双曲线 y 上的是（ x
B ）
4 3 A、（ ， ） 3 2 4 3 C、（ ， ） 3 4
的图象交于点 M(a,1)，MN⊥x 轴于点N(如图 26-1-6)，若△OMN
图 26-1-6
6 .(武 汉 市 2 0 0 0 年 )1 如图:A、C是函数 y 的图象上任意两点， x 过 A作 x 轴 的 垂线 , 垂 足为 B. 过 C作y 轴 的 垂线 , 垂 足为 D. 记 R tΔ A O B 的 面积 为 S1 , y R tΔ O C D 的 面积 为 S2 , 则 _ C_ _ .
y
A S1 S2 B C
A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
o
A1
S3 B1 C1
x
12 3、如图，已知反比例函数 y 的图象与一次函数 x
y= kx+4的图象相交于P、Q两点，且P点的纵坐标 是 6。 （1）求这个一次函数的解析式 （2）求三角形POQ的面积
第二或第四 相反 的符号________ ，所以点(x，y)在____________ 象限，所以函数 二、四 图象位于__________ 象限． 双曲线 ，它有_____ 两个 分支． 归纳：反比例函数的图象是_______ 一、三 当 k>0 时，函数图象位于____________ 象限； 二、四 当 k<0 时，函数图象位于____________ 象限．
人教版九年级数学下册：26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案2
人教版九年级数学下册：26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案2一. 教材分析《反比例函数的图象和性质》是人教版九年级数学下册第26章第1节的内容。
本节课主要介绍了反比例函数的图象和性质，是学生在学习了正比例函数和一次函数的基础上进行学习的。
通过本节课的学习，使学生能理解反比例函数的概念，会绘制反比例函数的图象，掌握反比例函数的性质，并能应用于实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了正比例函数和一次函数的相关知识，对函数的概念、图象和性质有一定的了解。
但反比例函数的概念和性质与前两者存在较大差异，需要学生在已有的知识基础上进行迁移和拓展。
同时，学生需要理解反比例函数图象的特点，如双曲线、渐近线等，这对学生的空间想象能力有一定要求。
三. 教学目标1.了解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质。
2.学会绘制反比例函数的图象，并能分析反比例函数图象的特点。
3.能将反比例函数应用于实际问题中，提高解决问题的能力。
4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.反比例函数的概念和性质。
2.反比例函数图象的绘制和分析。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法。
通过设置问题引导学生思考，分析案例使学生理解反比例函数的应用，小组合作讨论促进学生交流和拓展思维。
六. 教学准备1.准备反比例函数的相关案例和问题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备反比例函数图象的素材，如图片、图表等。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如购物时商品的单价和数量的关系，引出反比例函数的概念。
让学生思考并讨论这些问题，引导学生发现其中的规律。
呈现（10分钟）教师通过多媒体展示反比例函数的图象和性质，引导学生观察和分析。
同时，教师给出反比例函数的定义，并解释反比例函数的性质。
操练（10分钟）教师提出一些有关反比例函数的问题，让学生独立解答。
教师选取部分学生的解答进行讲解和分析，引导学生掌握反比例函数的性质。
人教版九年级数学下册26.1.2反比例函数的图像和性质(第2课时) 课件
【解析】因为反比例函数y=mxm²-5，它的两个
分支分别在第一、第三象限，
所以必须满足｛
m²-5= m﹥0
-1
得 m =2
y
y=mxm²-5
0
x
1、反比例函数 y kx的图象经过（2，
-1），则k的值为
； -2
2、反比例函数 y kx的图象经过点（2， 5），若点（1，n）在反比例函数图象
【解析】选C.设A点的坐标为（a,b），则k=ab，△ABO的
面积为 1 OB OA 1 ab 3 ，所以ab=6，即k=6
2
2
5.（威海·中考）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比
知识巩固
1.函数 y =
5 x
的图象在第_二__,四__象限，在每
个象限内，y 随 x 的增大而_增__大__ .
2. 双曲线 y =
1 3x
经过点（-3，___）
3.函数
y
=
m-2 x
的图象在二、四象限，则m的取
值范围是m__<_2_ .
4.对于函数 y =
1 2x
，当 x<0时，y 随x的_减__小__而
y
y
B
P(m,n)
oA
x
根据象限确定k的符号
B
P(m,n)
oA
x
2.根据图中点的坐标
y A(-2,b).
0
（1）求出y与x的函数解析式.
（2）如果点A（-2，b）在双
x 曲线上，求b的值. B (3,-1) （3）比较绿色部分和黄色部
分的面积的大小.
答案：（1） y 3 x
（2）
y3 2
人教版数学九年级下册《反比例函数的图象和性质》(第2课时)教学设计
反比例函数性质的应用(续表)活动一：创设情境导入新课【课堂引入】出示问题：已知反比例函数的图象经过点A(2，6).(1)这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化？(2)点B(3，4)，C(－2.5，－4.8)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？师生活动：教师引导学生利用反比例函数的性质进行解答，学生先独立思考后，再小组内讨论，最后书写解题过程.通过问题的设置，引导学生对反比例函数性质的复习，激发学生的学习兴趣，引入课题.活动二：实践探究交流新知【活动1】教师引导学生解答例题：教师活动：教师引导学生分析得出解答本题的关键是求出反比例函数的解析式，对于问题(2)的解决方法要突出反比例函数的特点，图象上的点的横、纵坐标之积等于比例系数k的值，强调这种判断方法更简便.学生活动：教师指定一生板演，其他学生在练习本上书写解题过程.【活动2】反比例函数性质的应用：如图26－1－15是反比例函数y＝m－5x的图象的一支，根据图象回答下列问题：(1)图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？图26－1－30(2)在这个函数图象的某一支上取点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系呢？师生活动：教师先组织学生分析图象，确定图象的另一支的位置，再根据性质得出m的取值范围，师生共同根据增减性分析，可得出函数值的大小关系.【活动3】探究反比例函数的几何意义：问题1：如图26－1－30，在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P分别作x轴，y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q 图26－1－30分别作x轴，y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为S2，请问S1和S2之间有什么关系？为什么？师生活动：教师指导学生根据图象进行探讨，学生小组内讨论，并进行解析.S1＝|x1|·|y1|＝|x1y1|＝k，同理，S2＝|x2|·|y2|＝|x2y2|＝k，所以S1＝S2.问题2：若点P，Q分别在不同的分支上呢？或反比例函数的图象在第二、四象限内时呢？师生共同总结：S矩形＝|k|.问题3：如图26－1－31，从反比例函数y＝kx的图象上任取1.在分析反比例函数的增减性时，一定要注意强调图象所在的象限，由“形”到“数”，目的是提高学生从图象中获取信息的能力，加深对反比例函数图象和性质的理解.2.通过探索矩形面积和比例系数之间的数量关系，用类比的方法得出三角形面积与比例系数之间的数量关系，使知识得到升华．建构知识框架，培养学生的数形结合思想.一点向坐标轴作垂线段，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形的面积是多少？ 图26－1－31师生解答，归纳总结得：S △A OB ＝S △COD ＝12|k |.(续表)活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1 已知反比例函数y＝－2x的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若y1<y2，则x1－x2的值是( D)A.正数B．负数C．非正数D．不能确定分析：因为k＝－2<0，所以函数图象在第二、四象限，所以点A，B的位置不能确定，因而两自变量的取值大小无法确定.通过例题的解答，巩固加深对反比例函数图象的性质的应用，实现由知识向能力的转化.【拓展提升】例2 如图26－1－32，M为反比例函数y＝kx的图象上的一点，MA⊥y轴于点A，△MAO的面积为2，则k的值为__4__.教师重点关注：学生对反比例函数性图26－1－32质的理解与把握；学生能否理解反比例函数系数的几何意义及其应用.例3 已知：如图26－1－33，反比例函数y＝kx的图象与一次函数y＝x＋b的图象相交于点A(1，4)，B(－4，n).(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求△OAB的面积；图26－1－33(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.例2和例3是中考常考题型，这类问题的补充，有助于提升学生综合运用知识的能力.活动三：开放训练体现应用【达标测评】练习：教材第8页练习第1，2题.补充练习：1.若一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点坐标是(2，3)，则另一个交点坐标为(D)A.(2，3) B．(3，2)C.(－2，3) D．(－2，－3)2.如图26－1－34，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y＝kx的图象过点A，则k的值是(D)A.2 B．－2 图26－1－34C.4 D．－43.反比例函数y＝n＋7x的图象的一支在第一象限，A(－1，a)，B(－3，b)两点均在这个函数的图象上.(1)图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？(2)请比较a，b的大小；通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.(续表)活动四：课堂总结反思1.课堂总结：教师与学生一起回顾所学主要内容：(1)本课时学习的反比例函数性质的运用，主要体现在哪几个方面？(2)已知反比例函数图象及其图象上两点横坐标的大小，如何比较纵坐标的大小？(3)反比例函数的系数k的几何意义是什么？2.布置作业：教材第9页习题26.1第6，9题.注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会. 【知识网络】提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在回顾过程中，让学生复习了反比例函数的图象和性质，为新课的学习打好基础；在探究新知过程中，利用问题的形式对反比例函数的性质和图象进行探讨，引导学生有目的地解答问题，使学生接受能力得以提升.②[讲授效果反思]讲解重点问题时，注意：(1)k的几何意义是反比例函数的重点内容，体现数形结合思想；(2)关于面积的计算问题，指导学生注意求反比例函数解析式这一基础. 由于课本例题比较基础，可作为本课引入探究，同时补充中考常考的系数k与面积的关系、反比例函数与一次函数综合的题目，有效加强学生对本课知识的理解及运用能力.③[师生互动反思]____________________________________________________________________________________________________________④[习题反思]好题题号错题题号反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.典案二 导学设计 【学习目标】知识技能1.进一步理解和掌握反比例函数的图象及性质；2．结合函数图象，能用待定系数法求函数解析式，并能比较大小． 3．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法．数学思考 通过观察反比例函数的图象，分析、探究反比例函数的性质，培养学生的探究、归纳及概括的能力，体会数形结合的思想和分类讨论的思想． 解决问题经历观察、分析，交流的过程，逐步提高从函数图象中感受其规律的能力，结合数形结合思想、类比思想理解并应用反比例函数的性质． 情感态度通过利用反比例函数的图象及性质解决实际问题，提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平，使学生从整体上领悟研究函数的一般要求，培养了学生学习数学的兴趣，同时也增加了学生学习的信心.【学习重难点】1. 重点：灵活运用反比例函数的性质．2. 难点：利用数形结合思想比较大小及求函数解析式． 课前延伸 【知识梳理】(1)反比例函数y ＝－4x的图象在第__二、四__象限，在每个象限内，y 随x 的增大而__增大__；(2)已知反比例函数y ＝－m －1x的图象位于第一、三象限，则m 的取值范围是__m ＜1__； (3)已知点(2，－3)在双曲线上，则双曲线对应的函数解析式为__y ＝－6x__． 预习思考题已知反比例函数的图象过点(3，5)．(1)这个函数的图象分布在哪些象限？在每个象限内，y 随x 的减小如何变化？ (2)点A (－3，4)，B (5，3)，C (2，8)是否在函数图象上？ 自主学习记录卡1.自学本课内容后，你有哪些疑难之处？2．你有哪些问题要提交小组讨论？课内探究一、课堂探究1(问题探究，自主学习)1．点A (－2，y 1)与点B (－1，y 2)都在反比例函数y ＝－2x的图象上，则y 1与y 2的大小关系为( A )A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．无法确定2.已知反比例函数y ＝kx(k ≠0)与一次函数y ＝x 的图象有交点，则k 的取值范围是__k ＞0__． 3．若ab ＜0，则函数y ＝ax 与y ＝b x在同一平面直角坐标系中的图象大致是( B )A B C D 二、课堂探究2(分组讨论，合作探究)1．在函数y ＝－k 2－1x的图象上有三点 (x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3) 其中x 1＜0＜x 2＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系为__y 1＞y 3＞y 2__．2．已知反比例函数y ＝－2x，当x ＝－2时，y ＝__1__；当－2<x <0时，y 的取值范围是__y ＞1__；当y ≤1时，x 的取值范围是__x ＜－2或x ＞0__．3．如图26－1－35，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝m x的图象交于A (－2，1)，B (1，n )两点．①求反比例函数和一次函数的解析式；②根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值时x 的取值范围．图26－1－35 图26－1－364．如图26－1－36，A ，B 是反比例函数y ＝1x的图象上关于原点O 对称的两点，AC 平行于y轴，BC 平行于x 轴，则△ABC 的面积是__2__．5．已知一次函数的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数的图象交于C ，D 两点，如果点A 坐标为(2，0)，点C ，D 分别在第一、三象限内，且OA ＝OB ＝AC ＝BD ，试求一次函数和反比例函数的解析式． 三、反馈训练1．已知反比例函数y ＝3m －2x ，当m __＜23__时，其图象在第二、四象限内；当__＞23__时，其图象在每个象限内，y 随x 的增大而减小．2．已知点P (1，m 2＋1)在双曲线y ＝k x上，则双曲线在第__一、三__象限，在每个象限内，y 随x 的增大而__减小__．3．下列函数中，当x >0时，y 随x 的增大而增大的是( D )A ．y ＝2－3xB ．y ＝2xC ．y ＝－2x －1D ．y ＝－12x4．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则反比例 函数y ＝kb x的图象在( C )A ．第一、二象限B ．第三、四象限C ．第一、三象限D ．第二、四象限5．下列函数中，图象大致为如图26－1－37所示的是( D )图26－1－37A ．y ＝－1x (x <0)B ．y ＝1x (x >0)C ．y ＝－1x (x >0) D ．y ＝1x(x <0) 6．已知圆柱体的侧面积为80 π cm 2，若圆柱底面半径为r (cm)，高线长为 h (cm)，则 h 关于r 的函数图象大致是( )7．反比例函数的图象过点(2，－2)，求函数y 与自变量x 之间的解析式，它的图象在第几象限内？在每一象限内，y 随x 的减小如何变化？请画出函数图象，并判断点(－3，0)，(－3，－3)是否在图象上．8．如图26－1－38所示，一个反比例函数的图象在第二象限内，点A 是函数图象上的任意一点，AM ⊥x 轴于点M ，O 是坐标原点，若S △AOM ＝3，求该反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围．图26－1－38 课后提升1．已知反比例函数y ＝k x的图象与直线y ＝2x 和y ＝x ＋1经过同一点． (1)求该反比例函数的解析式；(2)当x ＞0时，反比例函数值y 随x 的增大如何变化？2．如图26－1－39，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝－8x的图象交于A ，B两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是－2. 求：(1)一次函数的解析式； (2)△AOB 的面积．图26－1－39。
(人教版)九年级数学下：26.1.2《反比例函数的图像和性质(2)》ppt课件
象限.这个函二数的四图象的一支位于第_____象限，则另一支必位于第_一___象限.因为这个函
数的图象位于第___三_、____象限，所以m-5____0,解得m___一_
三ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
>
>5
(2)因为m-5____0，在这个函数图象的任一支上，y随x的增大而____，
所以当a﹥a′时b>____ b′
减少
<
第6页，共11页。
象限，在每个象限内，x y都随x的增大而__增__大___ .
3、设x为一切实数，在下列函数中，当x减小时，y的值总
是增大的函数是( B ) (A) y = -5x -1
( B)y = 20
x
(C)y=-2x+2；
(D)y=4x.
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四、归纳小结
1、正比例函数图象、反比例函数的区别：
双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每
当 _K_>_0_时 ，_个__象__限__内_y_值__随__x_值_的__增__大__而_减__少_____，
双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个
当_K__<_0时 ，_象__限__内_y_值__随_x_值__的_增__大_而__增__大_________ .
_________________________
第8页，共11页。
五、强化训练
1值、y1已、知y反2 的比大例小函关数系y=是1xy_1_，>_y_若2_x_1_＜_ x2 ,其对应
2、已知点A（-3，a）、B（-2，b）、C（4，c） 均在y=- 2 的图象上，则a、b、c的大小关系是 :____c_<_a_<x_b___
人教版数学九年级下 册26.1反比例函数的图像和性质(2) 课件
与y2的大小关系(从大到小y )为
y1 ＞y2
A
oy1 x2
x
1
y2
B
.
x
八年级 数学
4都.已在知反点比例A(函-2数,y1),B(y-1,4xy2的),C图(4象,y上3) ,则y1、
y2与y3的大小关系(从大到小)
为 y3 ＞y1＞.y2
y
-2 -1 y3 o
A B
yy12
C
4x
八年级 数学
练一练 1
1.反比例函数 y= k 的图象过点(-4,-2),
那么它的解析式为_xy_=__8x____.当x=1时,
y=__8__.
2.已知点A（－3，a），B（－2，b），
在双曲线 y＝－2 上，则 a__<_b(填>、
=或<)。
x
八年级 数学
1.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)
都在反比例函数
y
x
在每一象限内，y 随x 的增大而____减__小___. 函数 y 30 的图象在第__二_、__四___象限,
x
在每一象限内，y 随x 的增大而____增_大____.
函数 y ,当x>0时,图象在第__一__象限,
x y随x 的增大而_____减_小___.
八年级 数学
２.若关于x,y的函数
y
y
1y1.=已kx知,yk2<=0,则kx 函在数同一坐标 (A)
系中的图象大致是 (D )
(C)
2与. 已y2=知kkx>0在,则同函一数坐y标1=系kx中+k
的图象大致是 ( C )
(A)
0 x (B)
y
初中数学人教版九年级下册《26.1.2 反比例函数的图象与性质 第2课时》PPT课件
（1）它们会与坐标轴相交吗？
y
y
它们都不与坐标轴相交．
O
xO
x
（2）反比例函数的图象是中心对称图形吗？
是中心对称图形,对称中心是坐标原点.
（3）反比例函数的图象是轴对称图形吗？
是轴对称图形,它们有两条对称轴.
【结论】
1.反比例函数的图象是双曲线． ⑴当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限
内,在每一象限内，y的值随x值的增大而减小.
问题 反比例函数 ① y 2 ；② y 1 ；
x
3x
③ 7 y 10 ；④ y 3 的图象：
x
100 x
（1）位于第一、三象限的是 ② ④ ； （2）位于第二、四象限的是 ① ③ ．
问题
在反比例函数①
y 2 ；②
y
1 ；
③7y
10 ； x
④y
3 100 x
x
3x
的图象中，（x1，y1），
所以，这个反比例函数的解析式为 y 12 .
因 满为 足点y B，12C，的所坐以标点都B满，足C在y 函1数x2 ，y 点 1D2的的坐图标x 象不
x
x
上，点D不在这个函数的图象上.
即学即练
1.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有 __（__1_）__（__2_）__（__3_）___; 在其所在的象限内，y随x的增大而增大的有__(_4_)_.
(2)如果点A（-2,y1),B(-1,y2)和C(3,y3)都在反比例函
数
的图象上，那么y1、 y2 、y3的大小关系又如何呢？
解当k>0时, y2 < y1 < y3 ; 当k＜0时, y3 < y1 < y2.
人教版数学九年级下册《反比例函数的图像和性质》(第2课时)
01
LEARNING OBJECTIVES
学习目标
1、能用待定系数法求反比例函数解析式。 2、能用反比例函数的定义和性质解决实际问题。
01 反比例函数知识点回顾
概念： 图像与性质：
01 观察与思考
x … -4 -2 -1 1
观察x，y的值，你发现了什么？
x • y = 4 … -1 -2 -4 4
∵k>0 ∴函数图象过一、三象限，在每一个象限内 y随x的增大而减小
y A(2，6)
6
5
4
- - - 01 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1-
1 23 45 6
01 观察与思考
已知反比例函数的图象经过点 A(2，6)．
2)点B(3，4)，C(-2.5,-4.8)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？
|x| •| y| = |k|=4
点P与坐标轴围成的三角形面积呢？
y
6
5
4
3
2
2
4 …1
x
- - - - - 01 2 3 4 5 6
5 4 3 2 1-
2
1
…
1 -
P(x，
2-
y)
3
-
4-
5
-
6
01 观察与思考
已知反比例函数的图象经过点 A(2，6)． 1)这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
《反比例函数的图像和性质》 (第2课时)
人教版数学九年级下册
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目录
01 学习目标
1、能用待定系数法求反比例函数解析式。 2、能用反比例函数的定义和性质解决实际问题。
26.1.2反比例函数的图像和性质(二)学案人教版九年级数学下册
九年级数学下分层优化堂堂清 第26章 反比例函数26.1.2 反比例函数的图像和性质（二）学习目标：1 通过图象探索反比例函数的主要性质.2 逐步提高从函数图象获取信息的能力，会运用数形结合的思想方法解决涉及反比例函数的有关问题．老师对你说：知识点一 、反比例函数()中的比例系数k 的几何意义过双曲线x k y =(0k ≠) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . 过双曲线x k y =(0k ≠) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k.要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.知识点二 、反比例函数几何意义的应用【考点1】 反比例函数的几何意义【例11】已知反比例函数y ＝图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．k ＞0B ．若图象上点的坐标分别是 M （﹣2，y 1 ），N （﹣1，y 2 ），则 y 1＞y 2C ．y 随x 的增大而减小D ．若矩形OABC 面积为2，则k ＝﹣2【例12】若图中反比例函数的表达式均为y ＝，则阴影面积为1.5的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例13】如图，等边三角形OAB ，点B 在x 轴正半轴上，S △OAB ＝4，若反比例函数y ＝（k ≠0）图象的一支经过点A ，则k 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【例14】反比例函数的图象如图所示，则△ABC 的面积为（ ） A ． B ． C ．3 D ．6【例21】如图，点A 在双曲线2y x =上，点B 在双曲线6y x =上，点C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 是矩形，则它的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【例22】如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数1y ＝1k x（x ＞0）及2y ＝2k x （x ＞0）的图象分别交于点A 、B ，连接OA 、OB ，若△OAB 的面积为3，则k 1﹣k 2的值为（ ）A ．32B ．3C ．6D ．9【例23】如图所示，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数6y x =-和8y x=的图象交于点A 和点B ，若点C 是x 轴上任意一点，连接,AC BC ，则ABC 的面积为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．14能力强化提升训练1 .如图，平行四边形OABC 的顶点O ，B 在y 轴上，顶点A 在y ＝（k 1＜0）上，顶点C 在y ＝（k 2＞0）上，则平行四边形OABC 的面积是（ ）A ．﹣2k 1B ．2k 2C ．k 1+k 2D ．k 2﹣k 1 2 .如图，在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，有点P 1、P 2、P 3、P 4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S 1、S 2、S 3，则S 1+S 2+S 3＝（ ）A ．1 C ．2 D ．无法确定3 .如图，两个反比例函数3y x =和1y x =在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，设点P 在C 1上，PC ⊥x 轴于点C ，交C 2于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形P AOB 的面积为_______．4 .如图，点,2A a 在反比例函数4y x =的图象上，//AB x 轴，且交y 轴于点C ，交反比例函数k y x=于点B ，已知2AC BC =．（1）求直线OA 的解析式； （2）求反比例函数k y x=的解析式； （3）点D 为反比例函数k y x =上一动点，连接AD 交y 轴于点E ，当E 为AD 中点时，求OAD △的面积． 堂堂清一、选择题（每小题4分，共32分）1 .若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（ ）A ．B ．C ．D ．4 .如图，点A 是反比例函数y ＝x的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ．点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC ．若△ABC 的面积为4，则k 的值是( )A . 4B . ﹣4C . 8D . ﹣8上，若□ABCD 面积为6，则k 的值是（ ）A ．1B ．3C ．6D ．6 7 .如图，点A 、B 在反比函数12y x =的图象上，A 、B 的纵坐标分别是3和6，连接OA 、OB ，则OAB 的面积是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6MN ⊥x 轴于点N ，则⊥MON 的面积可能是（ ）A ．0.5．B ．1．C ．2．D ．3.5．二、填空题（每小题4分，共20分）10 .如图，A ，B 两点在双曲线 y ＝x上，分别经过 A ，B 两点向轴作垂线段，已知阴影小矩形的面积为 1，则空白两小矩形面积的和 S 1+S 2＝______．11 .如图，在平面直角坐标系中，点B 在第一象限，BA x ⊥轴于点A ，反比例函数(0)k y x x=>的图象与线段AB 相交于点C ，且C 是线段AB 的中点，若OAB ∆的面积为3，则k 的值为__________．12 .点A ，B 分别是双曲线(0)k y k x=>上的点，AC y ⊥轴正半轴于点C ，BD y ⊥轴于点D ，联结AD ，BC ，若四边形ACBD 是面积为12的平行四边形，则k =________．13 .如图，点P 是双曲线()4:0C y x x =>上的一点，过点P 作x 轴的垂线交直线1:22AB y x =-于点Q ，连结,OP OQ 当点P 在曲线C 上运动，且点P 在Q 的上方时，POQ △面积的最大值是________．三、解答题（共6小题，48分）14 （6分）双曲线C 1：y ＝和C 2：y ＝如图所示，点A 是C 1上一点，分别过点A 作AB ⊥x 轴，AC ⊥y 轴，垂足分别为点B 、点C ，AB ，AC 与C 2分别交于点D 、点E ，若四边形ADOE 的面积为4，求k 1﹣k 2的值15 .（9分）如图，点,2A a 在反比例函数4y x=的图象上，//AB x 轴，且交y 轴于点C ，交反比例函数k y x=于点B ，已知2AC BC =． （1）求直线OA 的解析式；（2）求反比例函数k y x=的解析式； （3）点D 为反比例函数k y x =上一动点，连接AD 交y 轴于点E ，当E 为AD 中点时，求OAD △的面积． 16 .（8分）反比例函数，（n ＜0）的图象如图所示，点P 为x 轴上不与原点重合的一动点，过点P 作AB ∥y 轴，分别与y 1、y 2交于A 、B 两点．（1）当n ＝﹣10时，求S △OAB ；（2）延长BA 到点D ，使得DA ＝AB ，求在点P 整个运动过程中，点D 所形成的函数图象的表达式．（用含有n 的代数式表示）．17 .（8分）如图，A 、B 两点在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，其中k ＞0，AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，且AC ＝1（1）若k ＝2，则AO 的长为 ，△BOD 的面积为 1 ；（2）若点B 的横坐标为k ，且k ＞1，当AO ＝AB 时，求k 的值．18 .（8分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点D （1，4）是BC 中点，反比例函数y ＝的图象经过点D ，并交AB 于点E ．（1）求k 的值；（2）求五边形OAEDC 的面积S ．19 .（9分）平面直角坐标系中，点A 在函数y 1＝（x ＞0）的图象上，点B 在y 2＝﹣（x ＜0）的图象上，设A 的横坐标为a ，B 的纵坐标为b ．（1）当|a |＝|b |＝5时，求△OAB 的面积；（2）当AB ∥x 轴时，求△OAB 的面积．拓展培优*冲刺满分1 .反比例函数y＝在一象限上有两点A、B．（1）如图1，AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，求证：△AMO的面积与△BNO面积相等；（2）如图2，若点A（2，m），B（n，2）且△AOB的面积为16，求k值．。
《反比例函数的图象和性质》反比例函数PPT教学课件(第2课时)
x
（2）设B点坐标为（a，b），如图，作AD⊥BC于D，则D（2，b）
∵反比例函数
y6 x
的图象经过点B（a，b），
∴
b
巩固练习
如图，直线y=k1x+b与双曲线
y k2 x
交于A、B两点，
其横坐标分别为1和5，则不等式
k1x
b
k2 x
的解集
是__1_＜__x_＜__5_．
探究新知
考点 3 利用函数的交点解答问题
已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4).
试求出它们的解析式，并画出图象.
解：设 y=k1x 和
S1的值
4
S2的值
4
S1与S2 的关系
S1=S2
猜想 S1，S1=S2=k S2 与 k 的关系
探究新知
若在反比例函数 y 4 中也用
x
同样的方法分别取 P，Q 两点，填 写表格：
y
P Q
SS21
y 4 x
O
x
S1的值 S2的值
S1与S2 的关系
猜想与k 的关系
P (－1，4) Q (－2，2)
巩固练习
反比例函数
y 12的图象与正比例函数
x
y = 3x 的图象的
交点坐标为 (2，6)，(－2，－6) ．
解析：联立两个函数解析式解方程得：
解得：
x1 y1
2 6
y 12 x y 3x
x2 2
y2
6
链接中考
1.如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数 y kx（x＞0）的图 象上 S矩形OABC ＝6，则k＝ 6 ．
探究新知 知识点 3
反比例函数中k的几何意义
人教版数学九年级下册26.1.2反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质(教案)
2.注重数形结合，通过图象和实际案例，帮助学生更好地理解反比例函数。
3.增加课堂互动，鼓励学生提问和发表观点，提高他们的课堂参与度。
4.加强小组合作，培养学生团队协作和交流表达能力。
5.着重培养学生的数据分析能力，使他们能够运用所学知识解决实际问题。
本节课的核心素养目标主要包括：
1.培养学生运用数学知识分析和解决问题的能力，通过反比例函数的学习，让学生掌握从具体到抽象的认知过程。
2.培养学生的数形结合思想，通过观察反比例函数图象，理解其性质，提高学生的直观想象和逻辑推理能力。
3.培养学生的数据分析观念，让学生在研究反比例函数性质的过程中，学会从数据中提取信息，培养数据分析素养。
2.反比例函数的图象特点：图象为双曲线，且分为两个分支，分别位于第一、三象限或第二、四象限。
3.反比例函数的性质：
-在每个象限内，随着\( x \)的增大（或减小），\( y \)值随之减小（或增大）。
-反比例函数图象与坐标轴无交点。
-反比例函数图象关于原点对称。
4.反比例函数的增减性及其应用。
二、核心素养目标
同学们，今天我们将要学习的是《反比例函数的图象和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过随着一个量的增加，另一个量反而减少的情况？”（如：一个人匀速跑步，跑得越久，剩余路程越少）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索反比例函数的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）