《高等代数》期末试卷B

合集下载

高等代数期末卷及答案

沈阳农业大学理学院第一学期期末考试《高等代数》试卷(1)1 •设 f (x) = x 4+x ? +4x - 9 ,贝H f (一3) = 69 .. 2•当 t = _2,-2 . 时，f(x)=x 3—3x+t 有重因式。

3.令f(x),g(x)是两个多项式，且f(x 3) xg(x 3)被x 2x 1整除，则 f(1)=_0_^ g(1)= 0 . 0 6 2=23 。

1 1 —-2 0 1x , 2x 2 2x 3 x 4 二 07. 2x 1 x 2 -2x 3 -2x 4 二 0 的一般解为x( ~'X 2 _'4x 3 ~3x 4 = 0题号-一--二二-三四五六七总分得分、填空(共35分，每题5 分)得分4.行列式1 -35.■’4 10"1 0 3-1、 -1 1 3'9 -2 -1 2 1 0 2」2 0 1< 9 9 11<1 3 4 丿6.z5 0 0 1 -1<0 2 1；0-2 3矩阵的积c 亠5 刘=2x3 X44x3, x4任意取值。

X2 二-2x^ --x4、(10分)令f(x),g(x)是两个多项式。

求证当且仅当(f(x)g(x), f(x)g(x))=1。

证：必要性.设(f(x)g(x), f (x)g(x)) =1。

故 p(x) |1 矛盾。

(2%)充分性.由(f (x)g(x), f (x)g(x)^1知存在多项式u(x), v(x)使u(x)(f(x) g(x)) v(x)f(x)g(x)=1,(2%)从而 u(x)f(x) g(x)(u(x) v(x) f(x)) =1,(2%)故(f (x), g(x)) =1 o (1%)ax 「bx 2 2x 3 =1 ax 1 (2 b -1)x 2 3x 3 =1 ax 1 bx 2 - (b 3)X 3 = 2b _1有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。

2020-2021某大学《高等代数》期末课程考试试卷合集(含答案)

【解】
（1）方法一：数学归纳法证明 Dn = (n +1)an ． k = 1时， D1 = 2a ，
假设 k n −1时， Dk = (n +1)ak ．则当 k = n 时，
Dn = 2aDn−1 − a2Dn−2 = 2anan−1 − a2 (n −1)an−2 = (n +1)an.
方法二：递推法．
5、在
中，
是的维数则在基
下的矩阵为_________________。
6. 元实二次型
是正定的充分必要条件是它的正惯
性指数等于___________________.
7.对于线性空间 V 中向量
,若在数域 P 中有个
不全为零的数
,使
,则向量
称为_________.
8.相似矩阵的特征值__________.
（D） 1 + 22 ,2 + 23,3 + 21 . 3 线性方程组 Ax = b 的系数矩阵式 45 矩阵，且 A 的行向量线性无关，则错误的命题是
（ D ）.
(A) 齐次方程组 AT x = 0 只有零解；
（B）齐次方程组 AT Ax = 0 必有非零解； (C) 对任意的 b ，方程组 Ax = b 必有无穷多解； (D) 对任意的 b ，方程组 AT x = b 必有唯一解.
考试日期：
考试时间：120 分钟
试卷总分：100 分
一、填空（共 50 分，每小题 5 分）
1、设矩阵
与
相似，则
。
2、已知
是矩阵
的一个特征向量，则
特征向量对应的特征值
。
3、满足________时，二次型

试卷及答案-南昌大学-高等代数2013-2014-2

所以当 k 1 ， k 4 时，方程组有唯一解
x1 x2 x3 4 当 k 1 时，原方程组成为 x1 x2 x3 1 x x 2 x 4 3 1 2 1 1 1 4 1 1 1 4 增广矩阵 B 1 1 1 1 0 0 0 5 1 1 2 4 0 2 3 8
—南昌大学考试试卷—
【适用时间：20 13 ～20 14 学年第二学期课程编号：课程名称： J5510N0017 高等代数理学院考试形式：闭卷 120 分钟试卷类型：[ B ]卷】 6026
试卷编号：
教师填写栏
试卷说明：
1、本试卷共 7 页。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
2 5 。 3 2 1 1 3
南昌大学 13～14 学年第二学期高等代数期末考试（B 卷）评分标准
第 9 页共 11 页
1 2 3、 A 0 2
1 5 3 2
2 2 1 3 4 0 2 3 0 1 7 0
1 2 2 3 1 0 3 2 3 0 3 3 1 2 2 3 1 0 0 3 3 0 0 0
评阅人
第 3 页共 11 页
1 2、（10 分）已知 A 2 3
2 2 4
3 1 , 利用初等变换求 A -1 . 3
1 2 3、（10 分）求矩阵 A 0 2
1 5 3 2
2 2 3 4 的秩 R A 。 2 3 1 7
4 ； 3
评阅人
）矩阵.
2、设 A 为二阶矩阵，若 3A 3 ，则 2 A （
1 （A）；（B） 1 ； 2 3、下列说法错误的是（）．．

延安大学继续教育学院二零二二年高等代数期末考试试题及答案

延安大学继续教育学院二零二二年高等代数期末考试试题及答案注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合2A x x x B=--<=-，则{|340},{4,1,3,5}A、{4,1}-B、A B={1,5}C、{3,5}D、{1,3}2、若3zz=++，则||=12i iA、0B、1C D、23、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 、14B 、12C 、14D 、12+ 4、设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A 、15 B 、25 C 、12D 、455、某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A 、y a bx =+B 、2y a bx =+C 、e x y a b =+D 、ln y a b x =+6、已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A 、1B 、2C 、3D 、47、设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A 、10π9B 、7π6C 、4π3D 、3π28、设3log 42a =，则4a -=A 、116B 、19C 、18D 、169、执行下面的程序框图，则输出的n =A 、17B 、19C 、21D 、2310、设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=A 、12B 、24C 、30D 、3211、设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为A 、72B 、3C 、52D 、212、已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A 、64πB 、48πC 、36πD 、32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2014下高等代数B

2014年秋季学期《高等代数》课程期末考试试卷（B 卷）注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟一、单项选择题（共5小题，每小题3分，共15分）1、下列命题为真的是( ).A. 最大公因式是唯一的；B. 有理数域是最小的数域；C. 若2()()p x f x , 则()p x 是()f x 二重因式；D.若()f x 有重根, 则()f x有重因式, 反之亦然。

2、排列318742695的逆序数是（）(A)8 ； (B)14 ； (C)10 ； (D) 都不对3、设 1=k h d g fe c ba ，则=---khd g fe cb a 621226 ( ).A.0B. -12C.-24D.64. 设向量组s ααα,,,21Λ的秩为r ，则下列命题为假的是（）.A. 如果r ααα,,,21Λ线性无关，则它必是s ααα,,,21Λ的一个极大线性无关组；B. 如果每个向量)1(s i i ≤≤α都可以由向量组s ααα,,,21Λ的一个部份组it i i ααα,,,21Λ线性表出，则r t =C. 如果向量组t βββ,,,21Λ的秩为r ，则t βββ,,,21Λ一定与s ααα,,,21Λ等价D. 如果向量组t βββ,,,21Λ与s ααα,,,21Λ等价，则t βββ,,,21Λ的任何r 个线性无关的向量都是它的极大线性无关组5、A, B 为n 阶方阵，下列结论正确的是（）1. 若1=AB , 则B 可逆；2.,AB AC B C ==若则；3. 0,00AB A B ===若则或;4. 若1=AB , 则无法判断A 可逆。

二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1. 已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=111211120A ，则=1-A ； 2. 一个向量组的一部分线性相关，则整个向量必，如果一向量线性无关，则它的任意一个部分组必。

3、B AXA =，A 可逆，则=X4、设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛ22112222212*********,,（1）的系数矩阵与增广矩阵分别为A 和A ，则（1）有解的充要条件是，（1）有无穷多个解的充要条件是 .5、13-x 在有理数域, 复数域上的标准分解式为 , .B AXA =三、计算题（每小题8分，共24分）1．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式()r x , 其中53()258f x x x x =--,()3g x x =+;三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名命题教师审题教师…………….………….……试题不要超过密封线………….………………………………2．计算行列式2464273271014543443342721621-3. 用非退化线性替换化下列二次型为标准型, 并利用矩阵验算所得结果:121323422x x x x x x -++;四、（本题14分）讨论λ取什么值时, 下列方程组有解, 并求解:12312321231,,;x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩五、（本题10分）如果,==AB BA AC CA , 证明:()(),()().+=+=A B C B C A A BC BC A六、（本题12分）证明: 如果向量组12,,,r αααL 线性无关,而12,,,,r αααβL 线性相关,则向量β可由12,,,r αααL 线性表出.七、（本题10分）若21，33=∈⨯A RA ，求*10)31(1A A --。

厦门大学参考答案--08-09学年第一学期《高等代数》期末考试卷

厦门⼤学参考答案--08-09学年第⼀学期《⾼等代数》期末考试卷特别说明：答案写在答题纸上⼀、单选题（32分. 共8题, 每题4分）1.下列说法错误的是A) 若向量组123,,ααα线性⽆关，则其中任意两个向量线性⽆关； B) 若向量组123,,ααα中任意两个向量线性⽆关，则123,,ααα线性⽆关； C) 向量组122331,,αααααα---线性相关；D) 若向量组123,,ααα线性⽆关，则112123,,αααααα+++线性⽆关.2. 设n 维列向量12,,...,m ααα()m n <线性⽆关, 则n 维列向量12,,...,m βββ线性⽆关的充要条件是A) 向量组12,,...,m ααα可由向量组12,,...,m βββ线性表⽰； B) 向量组12,,...,m βββ可由向量组12,,...,m ααα线性表⽰； C) 向量组12,,...,m ααα与向量组12,,...,m βββ等价； D) 矩阵12(,,...,)m A ααα=与矩阵12(,,...,)m B βββ=相抵.3.设线性⽅程组0Ax =的解都是线性⽅程组0Bx =的解，则A) ()()r A r B <； B) ()()r A r B >； C) ()()r A r B ≥；D) ()()r A r B ≤.4.设n 阶⽅阵A 的伴随矩阵*0A ≠，⾮齐次线性⽅程组Ax b =有⽆穷多组解，则对应的齐次线性⽅程组0Ax =的基础解系 A) 不存在；B) 仅含⼀个⾮零解向量；C) 含有两个线性⽆关的解向量； D) 含有三个线性⽆关的解向量.5.下列⼦集能构成22R的⼦空间的是A) 221{|||0,}V A A A R ?==∈；B) 222{|()0,}V A tr A A R==∈；C) 2223{|,}V A A A A R ?==∈；D) 224{|,}V A A A A A R ?'==-∈或.6.设V 是数域K 上的线性空间, V 上的线性变换?在基12,,...,n ααα下的矩阵为A 且||2A =，若?在基11,,...,n n ααα-下的矩阵为B , 则||B =A) 2n； B) 2； C)12； D) 不能确定.7.设V 是n 维向量空间，?和ψ是V 上的线性变换，则dimIm dimIm ?ψ=的充分必要条件是A) ?和ψ都是可逆变换；B) Ker ?=Ker ψ；C) Im Im ?ψ=； D) ?和ψ在任⼀组基下的表⽰矩阵的秩相同. 8.设?是线性空间V 到U 的同构映射, 则下列命题中正确的有个. (Ⅰ) ?为可逆线性映射；(Ⅱ) 若W 是V 的s 维⼦空间, 则()?W 是U 的s 维⼦空间； (Ⅲ) ?在给定基下的表⽰矩阵为可逆阵；(Ⅳ) 若12V=V V ⊕, 则1212)))⊕=⊕(V V (V (V . A) 1B) 2C) 3D) 4⼆、填空题（32分. 共8题,每题4分）1. 若矩阵1234(,,,)A αααα=经过⾏初等变换化为1003002401050000-??-, 那么向量组1234,,,αααα的⼀个极⼤⽆关组是其余向量由此极⼤⽆关组线性表⽰的表⽰式为.2. 设3维向量空间的⼀组基为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)ααα===，则向量(2,0,0)β=在这组基.3. 设1V ，2V 均为线性空间V 的⼦空间，则12()L V V ?4. 数域K 上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是的⼀组基. 5. 已知12K上的线性变换?定义如下：((,))(0,)ab a ?=-，则Ker ?=Im ?6. 设?是数域K 上n 维线性空间V 到m 维线性空间U 的线性映射, 则?为满射的充分必要条件是（请写出两个）7. 设12,,...,n ααα和12,,...,n βββ是线性空间V 的两组基，从12,,...,n ααα到12,,...,n βββ的过渡矩阵为P . 若?是V 上的线性变换且,()i i ?αβ=1,2,...,i n =，则?在基12,,...,n βββ下的表⽰矩阵是8. 设?是线性空间V 上的线性变换，?在基12,,...,n ααα下的表⽰矩阵为0A B C ??，其中A 为r r ?矩阵，则存在V 的⼀个⾮平凡?-,,)r α.三、(8分) 设线性空间V 的向量组12,,...,m ααα线性⽆关，V β∈，考虑向量组12,,,...,m βααα.求证：或者该向量组线性⽆关，或者β可由12,,...,m ααα线性表⽰. ,,m α线性相关，则存在不全为,,k m 使得+k m m α+=．事实上，若k +k m m α+=12,,...,ααα线性⽆关知1m k ==k =0．m ==k =0．,,k m 不全为０相⽭盾．mm k k α--从⽽，或者该向量组线性⽆关，或者β可由α四、(10分) 设1V ,2V 分别是数域K 上的齐次线性⽅程组12n x x x == =与120n x x x +++=的解空间. 证明112n KV V ?=⊕.1n V V a ?∈n n a a ==++=，则0n a ===1n n K a ??∈，11i V a n∈∑, 21n i i V a n =??∈?∑n a ＝1n i i a n =?∑＋n a1n V V a ∈n n a a ==++=，则0n a ===(1)000011n n-?，1,1,,1)n ?，所以1．故1dim V (1)000011n n-? ?，1,1,,1)n ?，1dim 1,dim V =1n n K a ??∈，11i n V a n ?∈∑, 21n i i n V a n =??∈?∑n a ＝1n i i n a n =?∑＋n n a五、(10分) 设m n A K ?∈. 证明：()r A r =的充分必要条件是存在m r B K ?∈，r n C K ?∈，使得()()r B r C r ==且A BC =.证明：充分性：由于m rB K∈，r nC K∈满⾜()()r B r C r ==且A BC =，所以()()()()()r r B r C r r A r BC r B r =+-≤=≤=故()r A r =．必要性：由于()r A r =，所以存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q 使得000rI A P Q ??=．令,(,0)0r r I B P C I Q ??==，则m r B K ?∈，r n C K ?∈满⾜()()r B r C r ==且A BC =．六、(8分) 设V , U, W 是有限维线性空间，:V U ?→，:W U ψ→是线性映射. 求证：存在线性映射:V W σ→使得?ψσ=的充分必要条件是Im Im ?ψ?.证明：充分性：法⼀：取V 的⼀组基12,,,n ααα，由于Im Im ?ψ?，所以()Im i ?αψ∈，1i n ?≤≤，即存在i W β∈使得()()i i ?αψβ=．定义线性映射:V W σ→满⾜(),1i i i n σαβ=?≤≤，则()()(),1i i i i n ψσαψβ?α==?≤≤．因此，ψσ?=．法⼆：取V 的⼀组基12,,,n ξξξ，U 的⼀组基12,,,m ηηη，W 的⼀组基12,,,s γγγ．设1212(,,,)(,,,)n m m n A ?ξξξηηη?= 1212(,,,)(,,,)s m m s B ψγγγηηη?=其中1212(,,,),(,,,)n s A B αααβββ==．由于I m I m ?ψ?，所以1212(,,,)(,,,)n s L L αααβββ?，即11,sj ij i i j n c αβ=?≤≤=∑．取()ij s n C c ?=，则A B C =．定义线性映射:V W σ→满⾜1212(,,,)(,,,)n s C σξξξγγγ=，则?ψσ=.必要性：对任意Im β?∈，存在V α∈使得()β?α=．由于?ψσ=，所以()β?α=(())Im ψ?αψ=∈从⽽，Im Im ?ψ?．附加题: (本部分不计⼊总分)设V , U, W 是有限维线性空间且dim dim V W =，:V U ?→，:W U ψ→是线性映射. 证明：存在可逆线性映射:V W σ→使得?ψσ=的充分必要条件是Im Im ?ψ=.证明：充分性：法⼀：由于d i m d i m V W =且Im Im ?ψ=，所以由维数公式知：d i m d i m Ke r K e r ?ψ=．取Ker ψ的⼀组基12,,,r ηηη；Ker ?的⼀组基12,,,r ξξξ，将其扩充为V的⼀组基121,,,,,r r n ξξξξξ+，则1(),()r n ?ξ?ξ+是Im ?的⼀组基．由于Im Im ?ψ=，所以1(),()r n ?ξ?ξ+是Im ψ的⼀组基．设()(),1i i r i n ?ξψη=?+≤≤，由于1(),,()r n ψηψη+线性⽆关，所以1,,r n ηη+线性⽆关．我们断⾔，121,,,,,,r r n ηηηηη+线性⽆关．事实上，若1122110r r r r n n k k k k k ηηηηη++++++++=，则将ψ作⽤于上式得11()()0r r n n k k ψηψη++++=．由于1(),,()r n ψηψη+线性⽆关，所以10r n k k +===．于是1122r r k k k ηηη+++＝０．⼜12,,,r ηηη是Ker ψ的⼀组基，故10r k k ===从⽽，121,,,,,,r r n ηηηηη+线性⽆关．注意到dim W n =，故121,,,,,,r r n ηηηηη+是W 的⼀组基．定义线性映射:V W σ→满⾜(),1i i i n σξη=?≤≤．由于12,,,n ξξξ是V 的⼀组基，12,,,n ηηη是W的⼀组基，故σ可逆．⼜()()(),1i i i i n ψσξψη?ξ==?≤≤，从⽽?ψσ=．法⼆：取V 的⼀组基12,,,n ξξξ，U 的⼀组基12,,,s γγγ，W 的⼀组基12,,,n ηηη．设1212(,,,)(,,,)n s s n A ?ξξξγγγ?=1212(,,,)(,,,)n s s n B ψηηηγγγ?=且dimIm dimIm r ?ψ==，则()()r A r B r ==．于是，存在n 阶可逆矩阵,P Q 使得1(,0),AP A =1(,0)BQ B =，其中11,s r A B K ?∈列满秩．由于Im Im ?ψ=，所以同上题证明可知存在n 阶矩阵C 使得A BC =，则11(,0)()A AP BQ Q CP -==．设111212122X X Q CP X X -??=，其中11X 是r 阶⽅阵，则1112112122(,0)(,0)X X A B X X ??=．从⽽，1111A B X =．⼜1A 列满秩，所以存在2r sA K ?∈使得21r A A I =．于是，212111()r I A A AB X ==，即11X 是可逆矩阵．因此，存在可逆矩阵11100n r X X Q P I --??=使得()111111111111100(,0),0(,0)00n r n r X X BX BQ P B P B X P A P A I I ------=====定义线性映射:V W σ→满⾜1212(,,,)(,,,)n n X σξξξηηη=由于X 可逆且A BX =，故σ可逆且?ψσ=．必要性：由于?ψσ=，所以同上题证明可知Im Im ?ψ?．⼜由:V W σ→可逆可知1ψ?σ-=，所以Im Im ψ??．从⽽，Im Im ?ψ=．。

高等代数期末考试题库及答案解析

高等代数期末考试题库及答案解析第一部分：选择题（共10题，每题2分，总分20分）1.高等代数是一门研究什么的数学学科？a.研究高等数学b.研究代数学c.研究线性代数d.研究数论–答案：b2.什么是矩阵的秩？a.矩阵中非零行的个数b.矩阵中非零列的个数c.矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大个数d.矩阵的行数与列数的乘积3.给定一个方阵A，如果存在非零向量x使得Ax=0，那么矩阵A的秩为多少？a.0b.1c.方阵A的行数d.方阵A的列数–答案：a4.什么是特征值和特征向量？a.矩阵A与它的转置矩阵的乘积b.矩阵A的负特征值和负特征向量的乘积c.矩阵A与它的逆矩阵的乘积d.矩阵A与一个非零向量的乘积等于该向量的常数倍，并且这个向量成为特征向量，该常数成为特征值。

5.什么是行列式？a.矩阵A所有元素的和b.矩阵A中所有元素的乘积c.矩阵A的转置矩阵与它自身的乘积d.矩阵A的行列式是一个标量，表示矩阵A所表示的线性变换的倍数比例。

–答案：d6.什么是矩阵的逆？a.矩阵的行向量与列向量交换位置b.矩阵A的转置矩阵c.存在一个矩阵B，使得矩阵AB=BA=I（单位矩阵）d.矩阵的所有元素取倒数7.给定一个2x2矩阵A，当且仅当什么时候矩阵A可逆？a.矩阵A的行列式为0b.矩阵A的行列式不为0c.矩阵A的特征值为0d.矩阵A的特征值不为0–答案：b8.什么是矩阵的转置？a.矩阵的行与列互换b.矩阵的行与行互换c.矩阵的列与列互换d.矩阵的所有元素取相反数–答案：a9.对于矩阵A和B，满足AB=BA，则矩阵A和B是否可逆？a.可逆b.不可逆c.只有A可逆d.只有B可逆–答案：b10.什么是矩阵的秩-零空间定理？a.矩阵中非零行的个数加上零行的个数等于行数b.矩阵中非零列的个数加上零列的个数等于列数c.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于列数d.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于行数–答案：c第二部分：计算题（共4题，每题15分，总分60分）1.计算矩阵的秩： A = \[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9\]–答案：矩阵A的秩为22.计算特征值和特征向量： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的特征值为5和-1，对应的特征向量分别为\[1; 1\]和\[-2; 1\]3.计算行列式： A = \[3, 1, 4; 1, 5, 9; 2, 6, 5\]–答案：矩阵A的行列式为-364.计算逆矩阵： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的逆矩阵为\[-2, 1/2; 3/2, -1/2\]第三部分：证明题（共2题，每题25分，总分50分）1.证明：当矩阵A为可逆矩阵时，有出现在矩阵A的行列式中的每个元素，将该元素与其对应的代数余子式相乘之后的结果，再求和得到的值等于矩阵A的行列式的值。

南通大学数学高代(二)B期末考试及答案

南通大学学年第二学期高等代数（二）（闭卷）试卷（B ）第1页共3页试题一二三四总分得分一、判断题：（在括号中，正确者填“对”，错误者填“错”，每题2分，共12分）1：（）若1(,,)s V L αα= ，则V 的任一组基都与向量组1,,s αα 等价。

2：（）设12,V V 是线性空间V 的两个子空间，若12,V V ∈+α但1V α∉，则2.V ∈α3：（）若有限维线性空间V 的线性变换A 满足：V V A ≠，则0是A 的一个特征值。

4：（）若n 阶-λ矩阵)(λA 的行列式不等于零，则)(λA 可逆。

5：（）若n 阶方阵A 与B 有相同的特征多项式和最小多项式，则A 与B 相似。

6：（）设V 是一欧氏空间，,V ∈ξη是两个线性无关的单位向量，则长度：||2+<ξη.二、填空题：（每空格2分，共18分）1：n n P ⨯中主对角元皆为零的全体矩阵作成的子空间，其维数是：，它的一组基可以取为：.2：设1220,30x y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，且A ，B 相似，则=x ，=y .3：已知3阶矩阵A 的特征值为1,0,1-，则行列式：223--=A A E .4：设2200()0(1)000λλλλλ⎛⎫+⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭A ，则()λA 的标准形是：.5：已知数字矩阵A 的初等因子是2,,(1),(1),1λλλλλ--+，则A 的不变因子是：.6：在欧氏空间4中，()()2,0,1,7,3,2,1,1T T==--αβ，则内积：(),=αβ，α与β的夹角是：.得分评卷人得分评卷人三、计算题：（第1、3题各15分，第2题16分，共46分）1：设123(1,0,1),(2,1,0),(1,1,1)T T T ===ααα与123(3,1,1),(3,2,1),(2,1,2)T T T ===βββ是3的两组基，（1）求由基123,,ααα到123,,βββ的过渡矩阵X ；（2）求向量(4,3,4)T =ξ在基123,,βββ下的坐标；（3）定义线性变换 (1,2,3)i i i ==A αβ，求A 在基123,,ααα下的矩阵。

2020-2021大学《高等代数》期末课程考试试卷B1(含答案)

2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷B1专业：考试日期：所需时间：120分钟总分：100分闭卷一、选择题（5分×5）1设A 为型矩阵，B 为型矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若AB=E ，则（）AA 、秩r(A)=m, 秩r(B)=mB 、秩r(A)=m, 秩r(B)=nC 、秩r(A)=n, 秩r(B)=mD 、秩r(A)=n, 秩r(B)=n2设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是（A ）.（A ） 122331,,αααααα---；（B ） 122331,,αααααα+++；（C ） 1223312,2,2αααααα---；（D ） 1223312,2,2αααααα+++.3线性方程组Ax b =的系数矩阵式45⨯矩阵，且A 的行向量线性无关，则错误的命题是（ D ）.(A) 齐次方程组0TA x =只有零解；（B ）齐次方程组0T A Ax =必有非零解； (C) 对任意的b ，方程组Ax b =必有无穷多解； (D) 对任意的b ，方程组TA x b =必有唯一解.4 设102011101A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 满足2AB A B E =--，则()B E -=.B（A ）17；（B ）97-；（C ）97；（D ）1-.5 设,A B 是满足0AB =的任意两个非零矩阵，则（ A ）. （A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组必线性相关；（B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组必线性相关；（C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组必线性相关；（D ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组必线性相关.二、填空题（5分×5）6 设A 为3阶矩阵，2A =-，把A 按行分块为123A A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则行列式312123___.A A A A -= ——67设1231212011311042025kA ⎛⎫⎪- ⎪⎪=⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，且A 得秩为3，k =___1___.8 设()1,,(1,,,)Ti i in a a i r r n α==<是n 维实向量，且1,,r αα线性无关，已知()1,,T n b b β=是线性方程组11110n r rn a a x a a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭的非零解，判断向量组1,,,r ααβ的线性相关性.___________【解】根据定义来判断.设()1,,,0r s ααβ=，这里()11,,Tr s s s +=.由题意，0T i αβ=，则0T i βα=.由()1,,,0r s ααβ=得()1110T r r r s s s βααβ++++=，即()1110T T T r r r s s s βαβαββ++++=.所以10T r s ββ+=，10r s +=.又因为1,,r αα线性无关，10r s s ===.所以向量组1,,,r ααβ的线性无相关.院系：—————— 专业班级：——————— 姓名：——————— 学号：——————装订线9 判断二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定_______.【解】f 所对应的矩阵为524212425-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，它的顺序主子式5245250,0,2120.21425->>->--所以 f 正定.10已知平面上三条不同直线的方程分别为230,230,ax by c bx cy a ++=++=230,cx ay b ++=试证明这三条直线交于一点的充要条件是0a b c ++=.三、解答题. （10分×5）11设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100x b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（1）证明行列式(1)nA n a =+；（2）当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ；（3）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．【解】（1）方法一：数学归纳法证明(1)nn D n a =+．1k =时，12D a =，假设1k n ≤-时，(1)kk D n a =+．则当k n =时，21221222(1)(1).n n n n n n D aD a D ana a n a n a ----=-=--=+方法二：递推法．由2122n n n D aD a D --=-，得到211212222321()()().n n n n n n n nn n D aD aD a D a D aD a D aD aD aD a ---------=-=-=-==-=所以，()122221212(2)(1)(1).n n n n n n nn n n nD a a a aD a a D n a aD n a aD n a -----=++=+==-+=-+=+（2）当0a ≠时，0n D ≠，方程组有唯一解．11(1)(1)n nna nx n a n a-==++．（3）当0a =时，()1r A n =-，(|)1r A b n =-，所以方程组有无穷多解，通解为01100000x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．12246123__4812n A A -⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭已知，则.【解】()()()()212123422212312381238444(8)n n A A A A A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-1，故111，所以。

高等代数09级数学本科《高等代数2》(B)

1井冈山大学2009—2010第二学期一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1. 设 ,A B 均为 n 阶矩阵，2,3A B，则 2A B.2. 若二次型 2221231231223(,,)2422f x x x x x x x x tx x 正定，则 t 的取值范围是. 3. 在4P 中，向量(1,2,1,1)在基12(1,1,1,1),(1,1,1,1),3(1,1,1,1),4(1,1,1,1) 下的坐标是 .4. 设 A 与 100010002相似，12,V V 分别为 A 的属于特征值 1 和 2 的特征子空间，则12dim dim V V .5. 在4中，向量(1,1,1,2),(3,1,1,0) 的夹角 ,.二、选择题（每小题 3 分，共 15 分）1. 设 ,A B 同为 n 阶方阵，则下列说法正确的是. A. A B A B ；B. AB BA ；C. ABBA ； D. 111()A B AB .2. 以下哪组矩阵是合同的.2 A.1341,3414， B. 1326,3434； C.1323,3437， D. 13114,3441. 3. 设 12,,,,,n是数域 P 上线性空间 V 中的向量，秩{12,,,,n}秩{12,,,n }r 且秩{12,,,,n}1r ，则对任意 k P ，秩{1,12,,,,,nk }.A. r ；B. 1r ； B. 2r ； D. 无法确定. 4. 下列关于子空间的叙述，正确的有个.① 设 V 是线性空间，U 是 V 的子空间，则存在唯一的 V 的子空间 U ，使得 V U U ； ② 设 12{,,,}n 是 V 的一组基，U 是 V 的子空间，若对任意 1,iniU ，则 0U ；③ 设 12,U U 是 V 的子空间，且 12dim dim dim U U V ，则 12VU U ； ④ 设 12,U U 是 V 的子空间，若 12U U 是 V 的子空间，则必有 12U U 或21U U .A. 1B. 2C. 3D. 45. 设是 3[]P x 上的线性变换，若对任意的 3()[]f x P x ，定义(())fx(1)()f x f x ，则在 3[]P x 的基 21,,x x 下的矩阵是 .A. 101012000 ； B. 011002000； C. 100010120； D. 00010012.三、判断题（每小题2 分，共10分）（对的打“√”，错的打“×”）31. 设 ,A B 都是 n 级是实矩阵，则 A 与 B 合同当且仅当 A 与 B 有相同的正惯性指数与负惯性指数. ( )2. n 阶实对称矩阵 A 为半正定的充分必要条件是 A 的所有顺序主子式全为非负. ( )3. 在线性空间 V 中，设变换0，期中是 V 中一固定向量，则是一个线性变换. ( ) 4. 相似矩阵有相同的特征多项式. ( ) 5. 设 ,A B 两个 n 阶实对称矩阵矩阵，则 ,A B 合同当且仅当 ,A B 相似. ( )四、计算题：（每题10 分，共40分）1. 设矩阵12111222222a Ab c问 ,,a b c 取何值时，A 为正交矩阵，当 A 为正交矩阵时，求解线性方程组 Ax ，其中 (1,1,1).42. 用非退化线性替换化二次型21231213233(,,)4223f x x x x x x x x x x 为标准形，并求相应的线性替换与二次型的符号差.3. 在实线性空间4中，12341234{(,,,)|0}U a a a a a a a a ； 12341234{(,,,)|0}Wa a a a a a a a .求 U W 的维数与基.54. 设是复数域上 3 维线性空间 V 上的线性变换，123,,是 V 的一组基，线性变换在123,,下的矩阵是021203130A求的特征值与特征向量.五、证明题（ 20 分）1. 设 A 是数域 P 上 n 级可逆矩阵，将 A 分块为 12A A A . 证明 nP 是齐次线性方程组 10A X 和 20A X的两个解空间的直和62. 已知 V 是欧氏空间，是 V 上的保距变换，即满足对任意的,V ，有成立，若(0)0，证明是正交变换.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

教育科学系14级小学教育（科学与数学）专业2014—2015学年度春学期
期末考试《高等代数Ⅱ》试卷(B )
试卷说明：1.本试卷共2页，4个大题，满分100分，120分钟完卷；
2.试题解答全部书写在本试卷上。

班号：学号姓名
一、选择题：（每题3分，共15分）
1．当λ=（）时，方程组1231
231
222x x x x x x λ++=⎧⎨++=⎩，有无穷多解。

A 1
B 2
C 3
D 4
2．若向量组中含有零向量，则此向量组（）。

A 线性相关
B 线性无关
C 线性相关或线性无关
D 不一定
3．设α是n 阶可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，在下列矩阵中，α不是（）
的特征向量。

A 2()A E +
B -3A
C *A
D T A
4．若A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则1P A P -为（）。

A 实对称阵
B 正交阵
C 非奇异阵
D 奇异阵
5．设矩阵
A ，
B ，
C 均为n 阶矩阵，则矩阵A B 的充分条件是（）。

A A 与
B 有相同的特征值
B A 与B 有相同的特征向量
C A 与B 与同一矩阵相似
D A 一定有n 个不同的特征值
1．已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，)7,6,5,4(4=α，则向量=+-+4321αααα 。

2．若120s ααα++
+=，则向量组12,,
,s ααα必线性。

3．设向量空间1212{(,,
)|0,}n n i V x x x x x x x R =++
+=∈，则V 是维
空间。

4．A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，1B =-，则*A B B += 。

5．设矩阵A 满足条件2560A A
E -+=，则矩阵A 的特征值
是。

6.二次型yz xz xy z y x z y x f 222),,(222---++=的矩阵是____________。

二、填空题：（每题3分，共27分）
7. A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2000000
1k k 是正定阵，则k 满足条件__________________。

8. 设σ为变换，V 为欧氏空间，若V ∈∀ηξ,都有ηξησξσ,)(),(=，则
σ为变换。

9. 设(),,,,21n a a a =α，则在n R 中，α= 。

三、计算题：（共4小题，总计46分）
1．（12分）设n 阶矩阵 (2)n ≥，11111
111
1A ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭。

求A 的特征值和特征向量，并判断A 是否相似于对角阵。

2．（12分）讨论a 取何值时，方程组⎪⎩⎪
⎨⎧-=++-=++-=++2
23
321
321321ax x x x ax x a x x ax 有解，并求解。

3．（10分）求矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=320230005A 的特征根和相应的特征向量。

4．（12分）求一个正交变换PY X =把二次型
2
3322
22
13213234),,(x x x x x x x x f +++=化为只含有平方项的标准形。

四、证明题：（共1小题，总计12分）
1.（12分）设γβα,,线性无关，证明αγγββα+++,,也线性无关。