人教版九年级数学上册单课件-直接开平方法解次方程.ppt
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人教版数学九年级上册解一元二次方程—直接开平方法课件
(x+2)2=64
2(x－5)2=72
x+2=±8
(x－5)2=36
x1=-2 +8 或 x2=-2-8
x－1=±6
x1= x2=-10 x1=11 或 x2=-1
直接开平方法 解一元二次方程
步骤
平方根的意义
通过“降次”将一元二次 方程转化为一元一次方程
①将方程转化为x2=p(p≥0)或(x+m)2=p(p≥0)的情势 ②方程两边同时开平方，得到两个一元一次方程
根据平方根意义求下列方程的解：
（1）x2=25;
解：∵（±5）2 =25 ∴x= ±5
即：x1=5,x2=-5
（2）x2= 4 ;
9
解：
2 2
4
3 9
x 2 3
即：x1
2 3
,
x2
2 3
市区有一块边长为１５米的正方形绿地，经城市 计划，需扩大绿化面积，估计计划后的正方形绿 地面积将到达400平方米，请问这块绿地的边长 增加了多少米？
开方得x 1 2
x1 1 2, x2 1- 2
(4)、x2 4x 4 25
解：原方程整理得 (x 2)2 25
开方得x 2 5
x1 7, x2 3
（5）.(x+2)2－64=0 （6）.2(x－5)2－12=0
解1：(x+2)2－64=0
解2： 2(x－5)2－72=0
(15+x)2=400 转化
一元二次方程
降次
15+x=20 15+x=-20 一元一次方程
化繁为简
例1：利用直接开平方法解下列方程
(1)、x2 100
(2)、x2 25 0
一元二次方程的解法(一)直接开平方法(课件)数学九年级上册(人教版)
即 x-5=1或x-5=-1
∴x1=6,x2=4.
（4）8x2-8x+2=-6
解： 4x2-4x+1=-3，
(2x-1)2=-3，
∵ (2x-1)2≥0，
∴ (2x-1)2≠-3，
∴此方程无实数根.
15.已知关于x的方程(x＋1)2=k2+3的一个根是x=2，求k的值及另
一个根.
解:把x=2代入原方程得k2+3=9，
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）
2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程.(重点）
1.什么是平方根？一个数的平方根怎样表示？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
a(a≥0)的平方根记作：± .
x2＝a(a≥0)，则根据平方根的定义知，x＝± .
C.当n≥0时，有两个解=± −
D.当n≤0时，无实数解
B
)
2=1则x=_________.
±8
-1或-3
7.若x2=64，则x=______;若(x+2)
m≥1
8.若关于x的方程2(x-1)2=m-1有实数根，则m的取值范围是_______.
2−4
9.当x=_____时，分式
值为零.
−2
∴k2=6.解得k=± 6.
把k2=6代入原方程，得(x+1)2=9,可解得方程的另一个根为x=—4.
A.10cm
B）
B.5cm
C.±10cm
5.下列方程可以用直接开方法求解的有(
①(x-1)2-1=O
A.①和②
②x2-2=0
B.①和③
D.±5cm
∴x1=6,x2=4.
（4）8x2-8x+2=-6
解： 4x2-4x+1=-3，
(2x-1)2=-3，
∵ (2x-1)2≥0，
∴ (2x-1)2≠-3，
∴此方程无实数根.
15.已知关于x的方程(x＋1)2=k2+3的一个根是x=2，求k的值及另
一个根.
解:把x=2代入原方程得k2+3=9，
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）
2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程.(重点）
1.什么是平方根？一个数的平方根怎样表示？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
a(a≥0)的平方根记作：± .
x2＝a(a≥0)，则根据平方根的定义知，x＝± .
C.当n≥0时，有两个解=± −
D.当n≤0时，无实数解
B
)
2=1则x=_________.
±8
-1或-3
7.若x2=64，则x=______;若(x+2)
m≥1
8.若关于x的方程2(x-1)2=m-1有实数根，则m的取值范围是_______.
2−4
9.当x=_____时，分式
值为零.
−2
∴k2=6.解得k=± 6.
把k2=6代入原方程，得(x+1)2=9,可解得方程的另一个根为x=—4.
A.10cm
B）
B.5cm
C.±10cm
5.下列方程可以用直接开方法求解的有(
①(x-1)2-1=O
A.①和②
②x2-2=0
B.①和③
D.±5cm
新人教版九年级数学上册全册ppt课件
10x - 4.9x2． 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗 （精确到 0.01 s）？
1．探究因式分解法
你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这 个方程？
10x - 4.9x2 = 0
配方法 降 公式法 次
？
x
1
=
0，x
2
=
100 49
1．探究因式分解法
问题3 观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9 （x + 3）2 = 5
x3 5
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x 3 5 ，或 x 3 5
解一次方程
x1 3 5， x2 3 5
2．推导求根公式
想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
• 学习重点： 一元二次方程的概念．
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 （腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒 的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方 形？
1．复习配方法，引入公式法
问题2 能否用公式法解决一元二次方程的求根问 题呢？
1．探究因式分解法
你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这 个方程？
10x - 4.9x2 = 0
配方法 降 公式法 次
？
x
1
=
0，x
2
=
100 49
1．探究因式分解法
问题3 观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9 （x + 3）2 = 5
x3 5
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x 3 5 ，或 x 3 5
解一次方程
x1 3 5， x2 3 5
2．推导求根公式
想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
• 学习重点： 一元二次方程的概念．
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 （腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒 的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方 形？
1．复习配方法，引入公式法
问题2 能否用公式法解决一元二次方程的求根问 题呢？
专题(二) 一元二次方程的解法课件(人教版)
解：x1＝3＋ 10，x2＝3－ 10
7. 2x－2＝2x2. 解：原方程无实数根
四、用因式分解法解方程
此解法合适于右边为0，左边能进行因式分解的一元二次方程 8．(x－1)2－2(x－1)＝0.
解：x1＝3，x2＝1 9．(x＋2)2－10(x＋2)＋25＝0.
解：x1＝x2＝3
五、用适当的方法解方程 解一元二次方程时，先视察方程的特征，然后选择适当的方法求 解 10．2(x－3)2＝x2－9.
九年级上册人教版数学 专题(二) 一元二次方程的解法
一、用直接开平方法解方程 一元二次方程若能化成 x2＝p 或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，适 合用此方法求解 1．(4x－1)2＝225.
解：x1＝4，x2＝－72 .13(x－2)2＝8.
解：x1＝2＋2 6，x2＝2－2 6
3．(2x＋1)2＝(x－1)2. 解：x1＝－2，x2＝0
二、用配方法解方程 此解法适合所有的一元二次方程，配方的关键是方程二次项系 数化为 1 后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方 4．2t2－3t＝－1.
解：t1＝1，t2＝12
5．(2x－1)2＝x(3x＋2)－7. 解：x1＝4，x2＝2
三、用公式法解方程 此解法适合所有的一元二次方程，关键是找准 a，b，c 的值及 熟记求根公式 6．x2＝6x＋1.
解：x1＝3，x2＝9
11．(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2.
解：x1＝－1＋2 6，x2＝－1－2 6
12．(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8. 解：x1＝1，x2＝－3
7. 2x－2＝2x2. 解：原方程无实数根
四、用因式分解法解方程
此解法合适于右边为0，左边能进行因式分解的一元二次方程 8．(x－1)2－2(x－1)＝0.
解：x1＝3，x2＝1 9．(x＋2)2－10(x＋2)＋25＝0.
解：x1＝x2＝3
五、用适当的方法解方程 解一元二次方程时，先视察方程的特征，然后选择适当的方法求 解 10．2(x－3)2＝x2－9.
九年级上册人教版数学 专题(二) 一元二次方程的解法
一、用直接开平方法解方程 一元二次方程若能化成 x2＝p 或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，适 合用此方法求解 1．(4x－1)2＝225.
解：x1＝4，x2＝－72 .13(x－2)2＝8.
解：x1＝2＋2 6，x2＝2－2 6
3．(2x＋1)2＝(x－1)2. 解：x1＝－2，x2＝0
二、用配方法解方程 此解法适合所有的一元二次方程，配方的关键是方程二次项系 数化为 1 后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方 4．2t2－3t＝－1.
解：t1＝1，t2＝12
5．(2x－1)2＝x(3x＋2)－7. 解：x1＝4，x2＝2
三、用公式法解方程 此解法适合所有的一元二次方程，关键是找准 a，b，c 的值及 熟记求根公式 6．x2＝6x＋1.
解：x1＝3，x2＝9
11．(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2.
解：x1＝－1＋2 6，x2＝－1－2 6
12．(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8. 解：x1＝1，x2＝－3
人教版九年级数学上用直接开平方法解一元二次方程
一般地，对于方程x²=p，（Ⅰ）
讨论p对方程根的影响，同学们谈谈自己的想法。
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根；
（2）当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根：x1=x2=0；
（3）当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x²≥0，所以方程（Ⅰ）无实数根.
互助探究2：
类比上面的方法，依据平方根的意义，思考：
课题
21.2.1配方法
第1课时用直接开平方法解一元二次方程
课型
新授课
共课时
第课时
教
学
目
标
知识与技能
理解直接开平方法解一元二次方程的依据，会用直接开平方法解简单的一元二次方程。
过程与方法
在理解平方根的基础上，探索解二次方程的方法，体会“降次”的必要性。
情感、态度、价值观
培养学生对数学知识的探索精神。
教学重点
4.如果实数a，b满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是．
5.解下列方程：
（1）x2=16（2）x2-0.81=0
（3）9x2=4（4）y2-144=0
6.解下列方程：
(1)(x-1)2=4 (2)(x+2)2=3
(3)(x-4)2-25=0
(4)(2x+3)2-5=0
(5)(2x-1)2=(3-x)2
（3）(x+6)²-9=0（4）3(x-1)²-6=0
解：整理，得解：整理，得3(x-1)²=6
(x+6)²=9.即(x-1)²=2
根据平方根的意义，得两边开平方，
x+6=±3，得x-1=
即x1=-3，x2=-9.即x1=，x2=
（5）x²-4x+4=5（6）9x²+5=1
讨论p对方程根的影响，同学们谈谈自己的想法。
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根；
（2）当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根：x1=x2=0；
（3）当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x²≥0，所以方程（Ⅰ）无实数根.
互助探究2：
类比上面的方法，依据平方根的意义，思考：
课题
21.2.1配方法
第1课时用直接开平方法解一元二次方程
课型
新授课
共课时
第课时
教
学
目
标
知识与技能
理解直接开平方法解一元二次方程的依据，会用直接开平方法解简单的一元二次方程。
过程与方法
在理解平方根的基础上，探索解二次方程的方法，体会“降次”的必要性。
情感、态度、价值观
培养学生对数学知识的探索精神。
教学重点
4.如果实数a，b满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是．
5.解下列方程：
（1）x2=16（2）x2-0.81=0
（3）9x2=4（4）y2-144=0
6.解下列方程：
(1)(x-1)2=4 (2)(x+2)2=3
(3)(x-4)2-25=0
(4)(2x+3)2-5=0
(5)(2x-1)2=(3-x)2
（3）(x+6)²-9=0（4）3(x-1)²-6=0
解：整理，得解：整理，得3(x-1)²=6
(x+6)²=9.即(x-1)²=2
根据平方根的意义，得两边开平方，
x+6=±3，得x-1=
即x1=-3，x2=-9.即x1=，x2=
（5）x²-4x+4=5（6）9x²+5=1
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第一课时直接开平方法)课件人教版
∴ x3 5 或 x3- 5 .
∴ x1= 5-3 ，x2 = - 5-3 .
解一元二次方程的基本思路是：
把一个一元二次方程“ 降次 ”，转化 为两个一元一次方程．
由应用直接开平方法解形如：
x2=p（p≥0），那么x=± p
由应用直接开平方法解形如：
（mx+n）2=p（p≥0），则mx+n=____p_ .
问题：一桶油漆可刷的面积为1500 dm2 ， 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体 形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的 棱长吗？
提示
可以根据正方体表面积 S=6a2求解. 同时要注意 所得的结果要符合实际
意义.
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方 体的表面积为__6_x_2_dm2 .根据一桶油漆可 刷面积列出方程 1_0_×_6_x_2_=_1_5_0_0____.
解下列方程：
（1）9x2 5 3；
解：移项，得 9x2 8.
系数化为1，得 x2 8 .
9
直接开平方，得
x
8. 9
x1
22 3
，x2
22 3
.
注意：二次根 式必须化为最 简二次根式。
（2）9x2 5 1.
解：先移项，得 9x2 4. 系数化为1，得 x2 4 0 9
1
x1
, 3
x2
1.
整理，得_x_2_=_2_5 ， 根据平方根的意义得x=___±_5__. 即x1=___5___，x2=__-_5___. 因为_棱__长__不_能__为__负__值__，所以正方体的棱长 是_5_d_m__.
21.2 一元二次方程的解法——直接开平方法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
2
(2) x －18＝0．
2
解： x －18＝0
2
x ＝18
x2＝36
∴x1＝6，x2＝－6
10．解方程：
(1)(2－x)2＝8；
解：(2－x)2＝8
2－x＝±2
∴x1＝2－2 ，x2＝2＋2
(2)3(x－1)2－6＝0．
解：3(x－1)2－6＝0
3(x－1)2＝6
(x－1)2＝2
小结：通过移项、系数化为1，化为x2=p（p≥0）的形式求
解.
6．解方程：
(1)(x－2)2＝4；
(2)(x＋6)2－9＝0．
解：(x－2)2＝4
解：(x＋6)2－9＝0
x－2＝±2
(x＋6)2＝9
∴x1＝4，x2＝0
x＋6＝±3
∴x1＝－3，x2＝－9．
小结：将方程化为（x+n）2=p（p≥0）的形式，直接开平方.
7．解方程：
(1)(2x－3)2－9＝0；
(2)(2x－1)2＝(x－3)2．
解：(2x－3)2－9＝0
解：(2x－1)2＝(x－3)2
2x－1＝±(x－3)
∴x1＝－2，x2＝ ．
(2x－3)2＝9
2x－3＝±3
∴x1＝3，x2＝0．
小结：（1）中化为（mx+n） 2=p（p≥0）的形式；（2）中
(3)(x－1)2－25＝0．
解： (x－1)2－25＝0
(x－1)2＝25
x－1＝±5
∴x1＝－4， x2 ＝6
(2)(x－2)2＝3；
解：(x－2)2＝3
x－2＝±
∴x1＝2＋ ，x2＝2－
人教版初三数学上册一元二次方程的解法1(直接开方法).2 一元二次方程的解法1(直接开方)(定稿) (1)
一元二次方程的解法（ --直接开平方法
复习回顾：
什么是一元二次方程？一元二次方程的一般形式？
等式两边都是整式，只含有一个未知数（一元）， 并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一 元二次方程.
一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).
复习旧知
2、你学过的整式方程有哪些？它们是如 何求解去？分母➔去括号➔移项、合并同类项➔
的形式，那么等式两边直接开平方可得
xp或 m xnp.
3 x24x45
解： x 22 5,
x2 5,
x2 5,x25,
方程的两 x1 2 5
根为
x2 2 5.
解下列方程： 1、2x2-8=0; 2、(x+6)2-9=0 3、9x2+6x+1=4 4、x2-4x=-4
独立 作业
教材：P42 习题22.2 1; 订正走进名校P31-32 （中午）
《节节高》p22-23页 （晚上）
或：依一题个意正得方1体0×的6表x2面=1积50=0刷漆①的面积
x2=25
即 x1=5，x2=－5
棱长不能是负值，所以正方体的 棱长为5dm。
如果方程能化成 x2p(p0)
的形式，那么等式两边直接开平方可得
xp或mxnp.
解下列方程：
(1)9x2 53
解：移项 9x2 8,
方程 未知数的系数化为1➔得解
一元一次方程 二元一次方程组
一元二次方程
消元 降次
类比 猜想
问题1一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李明 用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒 子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
一解桶：漆设可正刷方的体面的积棱=长刷为的x正d方m，体则（一表个面正积方)的体总的表 面数积为6x2dm2，
复习回顾：
什么是一元二次方程？一元二次方程的一般形式？
等式两边都是整式，只含有一个未知数（一元）， 并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一 元二次方程.
一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).
复习旧知
2、你学过的整式方程有哪些？它们是如 何求解去？分母➔去括号➔移项、合并同类项➔
的形式，那么等式两边直接开平方可得
xp或 m xnp.
3 x24x45
解： x 22 5,
x2 5,
x2 5,x25,
方程的两 x1 2 5
根为
x2 2 5.
解下列方程： 1、2x2-8=0; 2、(x+6)2-9=0 3、9x2+6x+1=4 4、x2-4x=-4
独立 作业
教材：P42 习题22.2 1; 订正走进名校P31-32 （中午）
《节节高》p22-23页 （晚上）
或：依一题个意正得方1体0×的6表x2面=1积50=0刷漆①的面积
x2=25
即 x1=5，x2=－5
棱长不能是负值，所以正方体的 棱长为5dm。
如果方程能化成 x2p(p0)
的形式，那么等式两边直接开平方可得
xp或mxnp.
解下列方程：
(1)9x2 53
解：移项 9x2 8,
方程 未知数的系数化为1➔得解
一元一次方程 二元一次方程组
一元二次方程
消元 降次
类比 猜想
问题1一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李明 用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒 子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
一解桶：漆设可正刷方的体面的积棱=长刷为的x正d方m，体则（一表个面正积方)的体总的表 面数积为6x2dm2，
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难点: 探究( x－m)2=a的解的情况,具有分类 讨论的意识.
知识回顾
问题1.什么叫做平方根?用式子如何表示？
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 做a的平方根。
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x= a
即x= a 或x= a
问题如2：.9平的方平根方根有是哪_些_±__性_3_质2？54 的平方根是____52__
方程： x2 pp0或
mxn2 pp0;
思想方法
1. 降次的实质：将一个二次方程转化为两个 一次方程；
降次的方法：直接开平方法； 降次体现了：转化思想； 2. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步 骤：先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方 式，右边是非负数的形式，再利用平方根的定义求 解.
检测与评价
x1= a +m, x2=- a +m.
4.完成课前的实际问题 课本第5页
5、真刀实枪，实战演练：
1x2 90;
2t2 450
316x2 490; 42x32 5;
5x52 360; 66x12 25;
●总结梳理 整合提高
1．直接开平方法的依据是什么？
（平方根）
2.用直接开平方法可解下列类型的一元二次
方程 x3220
将方程化成
(mx n) p 2
例2、 解方程
x3220
解： x32 2
x3 2
(p≥0）的形 式,再求解
即： x3 2,或x3 2;
x13 2,x2 3 2;
•练习：解方程： (1)2(x 1)2 6 0 (2)(3x 1 )2 0 2
•用直接开平方法还可以解形如_(m_x___n)_2__p_(_p___0)_方
认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正。
（ 1 y+1）2-5=0
解：
3 （
1
y+1）2=5
13 y+1=
5
31 3 y= 5 -1
（×）
y=3 5 -1 （ × ）
3、实力比拼
探究( x-m)2=a的解的情况。
( x－m)2=a 当a＜0时,此一元二次方程无解.
当a≥0时, x－m=± a
C层 解下列方程： 1．（4x- 5 ）(4x+ 5 )=3 2.(ax+b) 2=b 3. x2-2 x-7=0 4. （2x-1）2 =x2
什么叫直接开平方法？
像解x2=4，x2-2=0这样，利用平方根的 定义用直接开平方解一元二次方程的方法
叫做直接开平方法。
•能利用直接开平方法解的一元二次方程应
满足的形式为__x_2 __p_(_p___0)___ •例：解方程：(1)x2 16 0 (2)x2 3 0
•一元二次方程如果有解，则解的个数一定为
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反
问题4.根据平方根的意义你能解下列方程吗？
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
解（1）∵x是4的平方根 ∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）为： x1=2，x2 =－2
（2）移向，得x2=2 ∵ x就是2的平方根
∴x= 2Leabharlann 概括总结程•从 (mx n)2 p 变形mx n p
转化
归纳：直接开平方法
如 果 方 程 能 化 成 x2p或 (m xn)2p(p0) 的 形 式 ， 那 么 可 得 xp或 m xnp.
用直接开平方法来解的方程有什么 特征?
小结 直接开平方法适用于A2p p0 形式的一元二次方 程的求解。这里的A既可以是字母，单项式，也可 以是含有未知数的多项式。换言之：只要经过变 形可以转化为 A2p p0 形式的一元二次方程 都可以用直接开平方法求解。
初中数学九年级上册
解一元二次方程
——直接开平方法
分享
▪ 人生重要的不是所站的位置，而是所 朝的方向。
●学习目标
▪ 1．理解解一元二次方程降次的转化思想；
▪ 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx ＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程；
重点: 能够熟练而准确的运用直接开平方法 求一元二次方程的解.
A层
1用求平方根的方法解一元二次方程的方法叫 __________.
2. 如果x2=121,那么x1=__________,x2=___________. 3. 如果3x2=18那么x1=__________,x2=___________. 4. 如果25x2-16=0那么x1=__________,x2=___________. 5. 如果x2=a(a≥0)那么 x1=__________,x2=___________. B层
1.小试身手 :
判断下列一元二次方程能否用直接开平方法 求解并 说明理由.
1） x2=2
(√ )
2） p2 - 49=0
( √)
3） 6 x2=3 4) （5x+9）2+16=0 5) 121-(y+3) 2 =0
(√ ) (× ) ( √)
2、明察秋毫。
下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你
_2_个__ •方程 x2 0 解为 x1 x2 0 •方程 x2 3 无解
用直接开平方法解下列方程：
（1） y2 121 0 ;
y 11
（2） x2 2 0
x 2
(3) 16x2250
x5 4
将方程化成
x2 p
(p≥0）的形 式,再求解
思考：类比上面解方程的过程，你认为应怎样解
知识回顾
问题1.什么叫做平方根?用式子如何表示？
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 做a的平方根。
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x= a
即x= a 或x= a
问题如2：.9平的方平根方根有是哪_些_±__性_3_质2？54 的平方根是____52__
方程： x2 pp0或
mxn2 pp0;
思想方法
1. 降次的实质：将一个二次方程转化为两个 一次方程；
降次的方法：直接开平方法； 降次体现了：转化思想； 2. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步 骤：先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方 式，右边是非负数的形式，再利用平方根的定义求 解.
检测与评价
x1= a +m, x2=- a +m.
4.完成课前的实际问题 课本第5页
5、真刀实枪，实战演练：
1x2 90;
2t2 450
316x2 490; 42x32 5;
5x52 360; 66x12 25;
●总结梳理 整合提高
1．直接开平方法的依据是什么？
（平方根）
2.用直接开平方法可解下列类型的一元二次
方程 x3220
将方程化成
(mx n) p 2
例2、 解方程
x3220
解： x32 2
x3 2
(p≥0）的形 式,再求解
即： x3 2,或x3 2;
x13 2,x2 3 2;
•练习：解方程： (1)2(x 1)2 6 0 (2)(3x 1 )2 0 2
•用直接开平方法还可以解形如_(m_x___n)_2__p_(_p___0)_方
认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正。
（ 1 y+1）2-5=0
解：
3 （
1
y+1）2=5
13 y+1=
5
31 3 y= 5 -1
（×）
y=3 5 -1 （ × ）
3、实力比拼
探究( x-m)2=a的解的情况。
( x－m)2=a 当a＜0时,此一元二次方程无解.
当a≥0时, x－m=± a
C层 解下列方程： 1．（4x- 5 ）(4x+ 5 )=3 2.(ax+b) 2=b 3. x2-2 x-7=0 4. （2x-1）2 =x2
什么叫直接开平方法？
像解x2=4，x2-2=0这样，利用平方根的 定义用直接开平方解一元二次方程的方法
叫做直接开平方法。
•能利用直接开平方法解的一元二次方程应
满足的形式为__x_2 __p_(_p___0)___ •例：解方程：(1)x2 16 0 (2)x2 3 0
•一元二次方程如果有解，则解的个数一定为
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反
问题4.根据平方根的意义你能解下列方程吗？
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
解（1）∵x是4的平方根 ∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）为： x1=2，x2 =－2
（2）移向，得x2=2 ∵ x就是2的平方根
∴x= 2Leabharlann 概括总结程•从 (mx n)2 p 变形mx n p
转化
归纳：直接开平方法
如 果 方 程 能 化 成 x2p或 (m xn)2p(p0) 的 形 式 ， 那 么 可 得 xp或 m xnp.
用直接开平方法来解的方程有什么 特征?
小结 直接开平方法适用于A2p p0 形式的一元二次方 程的求解。这里的A既可以是字母，单项式，也可 以是含有未知数的多项式。换言之：只要经过变 形可以转化为 A2p p0 形式的一元二次方程 都可以用直接开平方法求解。
初中数学九年级上册
解一元二次方程
——直接开平方法
分享
▪ 人生重要的不是所站的位置，而是所 朝的方向。
●学习目标
▪ 1．理解解一元二次方程降次的转化思想；
▪ 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx ＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程；
重点: 能够熟练而准确的运用直接开平方法 求一元二次方程的解.
A层
1用求平方根的方法解一元二次方程的方法叫 __________.
2. 如果x2=121,那么x1=__________,x2=___________. 3. 如果3x2=18那么x1=__________,x2=___________. 4. 如果25x2-16=0那么x1=__________,x2=___________. 5. 如果x2=a(a≥0)那么 x1=__________,x2=___________. B层
1.小试身手 :
判断下列一元二次方程能否用直接开平方法 求解并 说明理由.
1） x2=2
(√ )
2） p2 - 49=0
( √)
3） 6 x2=3 4) （5x+9）2+16=0 5) 121-(y+3) 2 =0
(√ ) (× ) ( √)
2、明察秋毫。
下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你
_2_个__ •方程 x2 0 解为 x1 x2 0 •方程 x2 3 无解
用直接开平方法解下列方程：
（1） y2 121 0 ;
y 11
（2） x2 2 0
x 2
(3) 16x2250
x5 4
将方程化成
x2 p
(p≥0）的形 式,再求解
思考：类比上面解方程的过程，你认为应怎样解