自动控制第5章3
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自动控制原理_第5章_3
5.3 控制系统的频率特性
在绘制各个典型环节频率特性的基础上， 可以绘制控制系统的频率特性。
5.3.1 控制系统开环频率特性的Nyquist图
一个控制系统的开环传递函数可以写成典型
环节的连乘积形式。
1
举例 一个开环传递函数为
K ( s 1) G( s) 2 2 s(T1s 1)(T2 s 2 T2 s 1)
27
2
对于非单位反馈系统， 在其开环频率特性幅值
G( j)H ( j) 很大的频段内， 闭环频率特性
1 ( j ) H ( j )
即近似等于反馈环节频率特性的倒数。
对于开环放大倍数 K 很大的闭环系统，在低频段
具有这个特点。
28
3
对于非单位反馈系统， 一般来说， 其开环
频率特性的高频段幅值很小。在这一频段内， 闭环
1
当 0 时，放大环节、惯性环节、振荡环节、
一阶微分环节、二阶微分环节的幅角均为 00 。
。 只有积分环节， 0 时，相角为 900 当
如果开环传递函数中含有 v 个积分环节，开环频率 特性的Nyquist图在 0 的起始处幅角为 v 900 。
6
2
当 0 时， 放大环节的幅值为 K ，
21
[例5-5] 控制系统的开环传递函数为
10( s 1) G( s) s(2.5s 1)(0.04s 2 0.24s 1)
绘制系统的渐近开环对数幅频特性和相频特性。
22
100 Magnitude (dB)
Asymptotic Bode Diagram
-20dB/dec
50
20
频率特性近似等于系统前向通道的频率特性。 一般来说，闭环系统在高频段内显示这一性质。 在工程实践中， 当开环幅频特性
在绘制各个典型环节频率特性的基础上， 可以绘制控制系统的频率特性。
5.3.1 控制系统开环频率特性的Nyquist图
一个控制系统的开环传递函数可以写成典型
环节的连乘积形式。
1
举例 一个开环传递函数为
K ( s 1) G( s) 2 2 s(T1s 1)(T2 s 2 T2 s 1)
27
2
对于非单位反馈系统， 在其开环频率特性幅值
G( j)H ( j) 很大的频段内， 闭环频率特性
1 ( j ) H ( j )
即近似等于反馈环节频率特性的倒数。
对于开环放大倍数 K 很大的闭环系统，在低频段
具有这个特点。
28
3
对于非单位反馈系统， 一般来说， 其开环
频率特性的高频段幅值很小。在这一频段内， 闭环
1
当 0 时，放大环节、惯性环节、振荡环节、
一阶微分环节、二阶微分环节的幅角均为 00 。
。 只有积分环节， 0 时，相角为 900 当
如果开环传递函数中含有 v 个积分环节，开环频率 特性的Nyquist图在 0 的起始处幅角为 v 900 。
6
2
当 0 时， 放大环节的幅值为 K ，
21
[例5-5] 控制系统的开环传递函数为
10( s 1) G( s) s(2.5s 1)(0.04s 2 0.24s 1)
绘制系统的渐近开环对数幅频特性和相频特性。
22
100 Magnitude (dB)
Asymptotic Bode Diagram
-20dB/dec
50
20
频率特性近似等于系统前向通道的频率特性。 一般来说，闭环系统在高频段内显示这一性质。 在工程实践中， 当开环幅频特性
自动控制原理第五章
•表5-1 RC网络的幅频特性和相频特性数据
A( )
( )
0 1 0
1 0.707
45
2 0.45
5 0.196
0
63.4 78.69 90
图5-2 RC网络的幅频和相频特性
图5-3 RC网络频率特性的幅相曲线
对数频率特性图又称伯德图（Bode图），包 括对数幅频特性和对数相频特性两条曲线， 其中，幅频特性曲线可以表示一个线性系 统或环节对不同频率正弦输入信号的稳态 增益；而相频特性曲线则可以表示一个线 性系统或环节对不同频率正弦输入信号的 相位差。对数频率特性图通常绘制在半对 数坐标纸上，也称单对数坐标纸。
图5-20控制系统结构图
将系统的开环频率特性函数按典型环节划分， 可以分解为： ( j 1) ( ( j ) 2 ( j ) 1) k
m1 m2
G ( j ) H ( j )
k
2 l
2
l l
( j )
0
k 1 n1
( i s 1) ( 2 ( j ) 2 2 j j ( j ) 1) j
图5-19 Ⅱ型三阶系统幅相频率特性图
讨论更一般的情况，对于如图5-20所示的闭 环控制系统结构图，其开环传递函数为 G( s) H ( s) ，可以把系统的开环频率特性写作如 下的极坐标形式或直角坐标形式：
G( j)H ( j) G( j)H ( j) e j () P() jQ()
•图5-6积分环节频率特性的极坐标图
在伯德图上，积分环节的对数频率特性为
L( ) lg A( ) lg G( j ) lg ( ) 2
图5-7积分环节的伯德图
《自动控制原理》第五章：系统稳定性
5.2 稳定的条件
当σi和λi均为负数，即特征根的 σi和λi均为负数， 均为负数 实部为负数，系统是稳定的； 实部为负数，系统是稳定的； 或极点均在左平面。 或极点均在左平面。
5.3 代数稳定性判据
定常线性系统稳定的充要条件 定常线性系统稳定的充要条件是特征方程的根具有负 充要条件是特征方程的根具有负 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。为 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布， 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布，看其 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性，这样 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性， 也就产生了一系列稳定性判据。 也就产生了一系列稳定性判据。 其中最主要是E.J.Routh(1877 )h和Hurwitz（ 其中最主要是E.J.Routh(1877年)h和Hurwitz（1895 E.J.Routh(1877年 年）分别提出的代数判据。 分别提出的代数判据 代数判据。
习题讲解： 习题讲解：
µ
G1
Q21
G1
h2
k1 k1 G1 ( s ) = , G1 ( s ) = (T1s + 1) (T1s + 1) k1k 2 G0 ( s ) = (T1s + 1)(T2 s + 1)
kp
G0 ( s ) G(s) = 1 + G0 ( s ) K p
5.4 Nyquist稳定性判据 Nyquist稳定性判据
系统稳定的条件？ 系统稳定的条件？
5.2 稳定的条件
d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) 线性系统微分方程： 线性系统微分方程： n a + an −1 + L + a1 + a0 y (t ) n ( n −1) dt dt dt d m x(t ) d ( m −1) x(t ) dx(t ) = bm + bm−1 + L + b1 + b0 x(t ) m ( m −1) dt dt dt d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) + a( n −1) + L + a1 + a0 y (t ) = 0 齐次微分方程： 齐次微分方程： an n ( n −1) dt dt dt an s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0 = 0 设系统k 设系统k个实根
自动控制原理第5章频率特性
自动控制原理第5章频率特性频率特性是指系统对输入信号频率的响应特点。
在自动控制系统设计中，了解和分析系统的频率特性是非常重要的，因为它可以帮助工程师评估系统的稳定性，性能和稳定裕度。
本章主要介绍频率特性的相关概念和分析方法，包括频率响应函数、频率幅频特性、相频特性、对数坐标图等。
1.频率响应函数频率响应函数是描述系统在不同频率下的输出和输入之间的关系的函数。
在连续时间系统中，频率响应函数可以表示为H(jω)，其中j是虚数单位，ω是频率。
频率响应函数通常是复数形式，它包含了系统的振幅和相位信息。
2.频率幅频特性频率幅频特性是频率响应函数的模的图形表示，通常用于表示系统的增益特性。
频率幅频特性通常用对数坐标图绘制，以便更好地显示系统在不同频率下的增益特性。
对数坐标图上，增益通常以分贝（dB）为单位表示。
3.相频特性相频特性是频率响应函数的相角的图形表示，通常用于表示系统的相位特性。
相频特性可以让我们了解系统对输入信号的相位延迟或提前情况。
在相频特性图上，频率通常是以对数坐标表示的。
4. Bode图Bode图是频率幅频特性和相频特性的综合图形表示。
它将频率幅频特性和相频特性分别绘制在纵轴和横轴上，因此可以直观地了解系统在不同频率下的增益和相位特性。
5.系统的稳定性分析频率特性可以帮助工程师判断系统的稳定性。
在Bode图上，当系统的相位角趋近于-180度，且增益在此处为0dB时，系统即将变得不稳定。
对于闭环控制系统，我们希望系统在特定频率范围内保持稳定，以便实现良好的控制性能。
6.频率特性的设计频率特性的设计是自动控制系统设计中的一个重要任务。
工程师需要根据系统对不同频率下的增益和相位的要求，设计出合适的控制器。
常见的设计方法包括校正器设计、分频补偿、频率域设计等。
总结：本章重点介绍了自动控制系统的频率特性，包括频率响应函数、频率幅频特性、相频特性和Bode图。
频率特性的分析和设计对于掌握自动控制系统的稳定性、性能和稳定裕度非常重要。
自动控制原理_第5章习题解答-
第5章频率特性法教材习题同步解析一放大器的传递函数为：G (s )=1+Ts K测得其频率响应，当ω=1rad/s 时，稳态输出与输入信号的幅值比为12/2，稳态输出与输入信号的相位差为－π/4。
求放大系数K 及时间常数T 。
解：系统稳态输出与输入信号的幅值比为A ==222172K T ω=+ 稳态输出与输入信号的相位差arctan 45T ϕω=-=-︒，即1T ω=当ω=1rad/s 时，联立以上方程得T =1，K =12放大器的传递函数为：G (s )=121s +已知单位负反馈系统的开环传递函数为5()1K G s s =+ 根据频率特性的物理意义，求闭环输入信号分别为以下信号时闭环系统的稳态输出。
（1）r （t ）=sin （t +30°）； （2）r （t ）=2cos （2t －45°）；（3）r （t ）= sin （t +15°）－2cos （2t －45°）； 解：该系统的闭环传递函数为65)(+=Φs s 闭环系统的幅频特性为365)(2+=ωωA闭环系统的相频特性为6arctan )(ωωϕ-=（1）输入信号的频率为1ω=，因此有37375)(=ωA ，()9.46ϕω︒=- 系统的稳态输出537()sin(20.54)37ss c t t ︒=+ （2）输入信号的频率为2ω=，因此有10()A ω=，()18.43ϕω︒=- 系统的稳态输出10()cos(263.43)2ss c t t ︒=- （3）由题（1）和题（2）有对于输入分量1：sin （t +15°），系统的稳态输出如下5371()sin( 5.54)37ss c t t ︒=+ 对于输入分量2：－2cos （2t －45°），系统的稳态输出为102()cos(263.43)ss c t t ︒=-- 根据线性系统的叠加定理，系统总的稳态输出为)4363.632cos(210)537.5sin(37375)(︒︒--+=t t t c ss绘出下列各传递函数对应的幅相频率特性与对数频率特性。
河南理工大学自动控制原理第5章 第3讲 Nyquist稳定性判据及稳定裕度2012
其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点 在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右 半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。 如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯 西幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次 数应为：
R= F(s)|开环右半极点数 −F(s)|右半零点数 =P-Z
K
试判断闭环系统的稳定性。
s(T1s + 1)(T2 s + 1)
解 系统的开环频率特性为
G ( jω )H ( jω ) =
K
jω (1 + jω T1 )(1 + jω T2 )
[解]：显然这是I型系统。先根据奈
氏路径画出完整的映射曲线。
ω = 0−
从图上看出：映射曲线顺时针包 围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0) 一圈，所以R=1-1=0，而P = 0 ， 故 Z = P − R = 0 ，闭环系统是稳 定的。
ω = +∞ −1 ω = −∞
ω = 0+
21
[例5]某最小相位系统的开环频率特性 如下图所示，试用奈氏判 据判断闭环系统稳定性。
（3）若R≠P，则系统闭环不稳定，在右半平面的极点数 Z=P-R
（4）若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L 个极点分布在s平面的虚轴上。
13
[例1] 设单位反馈系统的开环传递函数如下如示，试
用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。G ( s) =
K
(T1 s + 1)(T 2 s + 1)
容易看出： δ ∠(s－z1)＝－2π
δ ∠(s－zi )＝0 (i＝2,3)
δ ∠(s－pj )＝0 ( j＝1,2,3)
R= F(s)|开环右半极点数 −F(s)|右半零点数 =P-Z
K
试判断闭环系统的稳定性。
s(T1s + 1)(T2 s + 1)
解 系统的开环频率特性为
G ( jω )H ( jω ) =
K
jω (1 + jω T1 )(1 + jω T2 )
[解]：显然这是I型系统。先根据奈
氏路径画出完整的映射曲线。
ω = 0−
从图上看出：映射曲线顺时针包 围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0) 一圈，所以R=1-1=0，而P = 0 ， 故 Z = P − R = 0 ，闭环系统是稳 定的。
ω = +∞ −1 ω = −∞
ω = 0+
21
[例5]某最小相位系统的开环频率特性 如下图所示，试用奈氏判 据判断闭环系统稳定性。
（3）若R≠P，则系统闭环不稳定，在右半平面的极点数 Z=P-R
（4）若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L 个极点分布在s平面的虚轴上。
13
[例1] 设单位反馈系统的开环传递函数如下如示，试
用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。G ( s) =
K
(T1 s + 1)(T 2 s + 1)
容易看出： δ ∠(s－z1)＝－2π
δ ∠(s－zi )＝0 (i＝2,3)
δ ∠(s－pj )＝0 ( j＝1,2,3)
孙炳达版 《自动控制原理》第5章 控制系统的频率特性分析法-3
比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入 信号，幅值上有放大或衰减作用；υ (ω)=0º ，表示输 出与输入同相位，既不超前也不滞后。
5.3 典型环节的频率特性
二、积分环节 1.代数表达式 传递函数
G (s) 1 s 1
频率特性 相频特性
幅频特性
A( )
1 1 1 j 90 G( j ) j e j () 90
对数频率特性曲线是一条斜线, 斜率为-20dB/dec, 称为高频渐 近线，与低频渐近线的交点为ωn=1/T，ωn称为交接频率或转 折频率，是绘制惯性环节的对数频率特性时的一个重要参数。
5.3 典型环节的频率特性
3.伯德图 对数幅频图
L( ) 20lg A( ) 20lg 1 1 2T 2 20lg 1 2T 2
G ( j ) 1 j 2 2 2 (1 2 2 ) j 2 (1 2 2 ) 2 (2 ) 2 e
2 T j arctan 1 2 2
5.3 典型环节的频率特性
2.极坐标图 理想微分环节的极坐标图在0 ＜＜的范围内，与正虚轴重合。 可见，理想微分环节是高通滤 波器，输入频率越高，对信号的 放大作用越强；并且有相位超前 作用，输出超前输入的相位恒为 90º ，说明输出对输入有提前性、 预见性作用。 （纯微分）
在控制工程中，采用分段直线表示对数幅频特征 曲线，作法为： a.当Tω<<1（ω<<1/T）时，系统处于低频段 L( ) 20lg1 0 b.当Tω>>1（ω>>1/T）时，系统处于高频段
L( ) 20lg T
此直线方程过（1/T，0）点， 且斜率为-20dB/dec。
自动控制原理_第5章_3 (8)
20
1
减小或消除输入信号作用下的稳态误差
采用PI或PID控制是加入串联积分环节的常用方法。 PI
比例+积分
比例+积分+微分
PID
21
PI控制器
R(s)
E (s)
-
Kp
+
U (s)
G0 ( s )
Y (s)
KI s
PI控制器的传递函数为：
KI K p s K I Gc ( s) K p s s
[例3-19] 单位反馈系统的开环传递函数为：
K G ( s) s T1s 1T2 s 1
若输入信号为 r (t ) a 1(t ) bt
a 和 b 为正常数，
欲使系统的稳态误差 ess 0 （正常数）， 求系统各参数应满足的条件。
1
3.10.4 动态误差系数
(1) e
1 (l ) e (0) sl l!
记为
e ( s) c0 c1s c2 s 2 cl s l
其中
c0
c1 cl
称为动态误差系数。
4
e ( s) c0 c1s c2 s cl s
2 l
-
其偏差信号就等于误差信号： ( s) E ( s)
E ( s) e ( s ) R( s )
其中偏差闭环传递函数：
E ( s) 1 e ( s) R( s ) 1 G ( s )
3
在 s 0 的邻域内将 e ( s) 展成Taylor级数：
1 (2) e ( s) e (0) (0)s e (0)s 2 2!
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17
例5-5
设闭环系统的开环传递函数为：
K H ( s)G ( s) (T1s 1)(T2 s 1)
H ( j )G( j )
的轨迹如图5-41所示。 的轨迹不包围 1 j 0
H (s)G( s) 在右半s平面内没有任何极点，并且
H ( j )G( j )
，所以对于任何的值，该系统都是稳定的。 见下图
s lime j
0
(lim
0
K1
jv jv ) e e v
15
j
Im D
C
s平面
GH平面
G( s) H ( s)
K s (Ts 1)
2
j
j 0 j0
s e
s e
j
K
2 j e 2
B 1 A F
E
0
2018/10/18 16
5.3.5 Nyquist稳定判据 如果在s平面内，奈奎斯特轨迹包含 1 H (s)的 Z 个零点 G( s)
和P个极点，并且当s变量顺时针沿奈奎斯特轨迹运动时，不
H (s)G( s) 通过 1 H (s)的任何极点或零点，则在 平面上相对应 G( s ) 的曲线将沿顺时针方向包围 点 N 1次（负 j0 N值表示逆时 Z P
5.3奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion)
C (s) G ( s) 闭环传递函数为 R( s ) 1 H ( s)G ( s)
图3-35 闭环系统 充要条件
为了保证系统稳定，特征方程的全部根， 都必须位于s平面左半平面。
注：
虽然开环传递函数 H (s)G(s) 的极点和零点可能位
在 F ( s) 平面上的变换
2018/10/18 4
当s平面上的图形包围两个F ( s) 的极点时，
F ( s) 的轨迹将逆时针方向包围 F ( s)
2018/10/18
平面上原点两次
5
当s平面上的图形包围 F ( s) 的两个极点和两个零点， 相应的 F ( s) 的轨迹将不包围原点
2018/10/18 6
s 1 j2
6 F (1 j 2) 1 1.115 j 0.577 (2 j 2)(3 j 2)
这样，对于s平面上给定的连续轨迹，只要它不通过任何 奇点，在 F ( s ) 平面上就必有一个封闭曲线与之对应。
2018/10/18 3
F ( s )平面上的变换或影射 图5-36 s平面上的图形在 上半s平面内的直线 3,1 和 2
于s平面的右半平面，但如果闭环传递函数的所有
极点均位于s平面的左半平面，则系统是稳定的。
2018/10/18 1
5.3.1 预备知识
令
F (s) 1 H (s)G(s) 0
辅助函数
可以证明，对于S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封 闭曲线 ，在 F ( s) 平面上必存在一条封闭曲线与之对应。
14
5.3.4 虚轴上有开环极点的奈奎斯特判椐
对于含有积分环节的开环传函，不能直接 应用前面所示的奈氏曲线。 因为：映射定理要求回线不经过F(s)极点。 当s沿着小半圆移动时，有：s lim e j
0
K G ( s) H ( s) s(Ts 1)
当s沿着小半圆从
0
变化到 0 时，
0
1
Re
j
limj G( s) H ( s)
90 90
180 180
在右半s平面内没有极点，并且对所有的正K值，轨迹包围 G(s) s平面内存在两 1 j0 点两次。所以函数 1 H (s)在右半
个零点，即闭环极点。因此，系统是不稳定的。
N Z P
P0
2018/10/18
N 0 Z 0
P0
N 2
Z 2
K值比较小时是稳定的
K值比较大时是不稳定的
20
例5-7 设开环传递函数为： 该系统的闭环稳定性取决于 T1 和 T2
T1 T2
Im
H ( s)G( s)
K (T2 s 1) s 2 (T1s 1)
相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。
其辅助方程为：
6 ( s 1.5 j 2.4)(s 1.5 j 2.4) F ( s) 1 H ( s)G( s) 1 0 ( s 1)(s 2) ( s 1)(s 2)
函数 例如
F ( s) 在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每 一个解析点， F ( s) 平面上必有一点与之对应。
2018/10/18
11
5.3.3 奈奎斯特稳定判椐
设系统的特征方程为： F ( s) 1 H ( s)G( s) 0 开环传递函数：
G( s) H ( s) K1 ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
2018/10/18 13
根据系统的特征方程有： G(s) H (s) F (s) 1
F 1 G( jw) H ( jw) 曲线绕原点运动的情况，相当于 G( jw) H ( jw)
绕（-1,j0）点的运动情况。
Im
1 GH平面
01 1 G( j)H ( j)
Re
2018/10/18
mn
代入特征方程得： F (s) 1
K1 ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) ( s p1 )(s p 2 ) ( s p n )
闭环系统稳定的条件： (s p1 )(s p2 )(s pn ) K1 (s z1 )(s z 2 )(s z m ) (s p1 )(s p2 )(s pn ) 系统特征方程的根， 特征方程根 F(s)的零点，都位于s平 ( s s1 )(s s 2 ) ( s s n ) 闭环极点 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn ) 面的左半平面。
如果这个曲线只包围一个零点，相应的 F ( s) 的轨迹将顺时针包 围原点一次； 若封闭曲线既不包围零点又不包围极点，F ( s) 的轨迹将永远不会 包围 F ( s) 平面上的原点 。
2018/10/18 7
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点 (k=0,1,2…)， 即包围的零点数与极点数相同，则在 F (平面上，相 s) 应的封闭曲线不包围 F ( s 平面上的原点。 ) 上述讨论是影射定理的图解说明。奈奎斯特稳定判 据正是建立在影射定理基础上的。
2
从
经0变化到 2
，
G(s) H (s)
s lime
j
这时 G(s) H (s) 平面上的映射曲线将 沿半径无穷大的圆弧按顺时针 从 v 经0转到 v 。
2
2
2018/10/18
K1 ( j s 1)
j 1
m
0
s v (Ti s 1)
i 1
n v
2018/10/18
8
5.3.2 影射定理
Nyquist判据依据的是复变函数中的映射定理。设有复变函数：
s S为复变量，
jw
表示； F(s)为复变函数， F (s) U jV 表示。
对于s平面上的除了有限的奇点外的任意一点s，复变函数
F(s)为解析函数。 解析函数即：单值、连续的正则函数。 对于s平面上的每一点，在F(s)平面上必定有一个对应的映 射点。 如果在s平面上画一条封闭曲线，并使其不通过F(s)的任一 奇点，则在F(s)平面上必有一条对应的映射曲线。
j 1 i 1 m n
假设在s平面上的封闭曲线包围了F(s)的一个零点，而其他 零点、极点位于封闭曲线的外边，则当s沿着s平面上的封闭曲 线顺时针方向运动一周时，向量 (s 的相角变化 而其他各 2 z1 ) 向量的相角变化为零。 10 2018/10/18 这意味着映射曲线沿顺时针方向绕原点转动一周。
Re
T1 T2
H ( s)G( s)
K (T2 s 1) s 2 (T1s 1)
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例5-8 设一个闭环系统具有下列 K 开环传递函数： G ( s) H ( s) s(Ts 1)
试确定该闭环系统的稳定性。
(1 jT ) K H ( j)G( j) j (1 jT ) (1 jT )
GH平面
T 1 T2
Байду номын сангаас
Im
GH平面
0 1 0
0
Re
0 1
Re
T 1 T2
T1 T2 G( j)H ( j)矢量穿过 1 j0点
H (s)G( s) 的轨迹不包围
1 j 0 系统是稳定的
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图5-41 例5-5中的 H ( j )G( j ) 极坐标图
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H ( s)G ( s)
K (T1s 1)(T2 s 1)
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例5-6 设系统具有下列开环传递函数： K H ( s)G( s) s(T1s 1)(T2 s 1) 试确定以下两种情况下，系统的稳定性：增益K较小增益K较大。
结论： 为了判断系统的稳定性，需检验F(s)是否有 位于s右半平面的零点。
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系统开环极点
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为了判断系统的稳定性，令s平面上 的封闭曲线包围整个s右半平面。这 时的封闭曲线由虚轴（从 到 ）和整个右半s平面上半径 为无穷大的半圆轨迹两部分构成的。 称封闭曲线为奈奎斯特曲线。 奈奎斯特曲线包围了整个右半平面，所以包围了1 H (s)G(s) 所有正实部的极点和零点。 设F(s)在s平面的右半部有z个零点和p个极点，根椐映射定理， 当s沿着s平面上的奈氏曲线顺时针运动一周，在F(s)平面上的映 射曲线 F 1 G( jw)H ( jw) 按顺时针绕原点旋转N=Z-P周。 若在s平面上，s沿着奈氏曲线顺时针移动一周，在F(s)平面 上的映射曲线 F 绕原点逆时针旋转N=P周，则系统稳定。