抛物线图片欣赏
抛物线
2
(3)
2 y 2 5x 0
x2 8y 0
x 5
(1)焦点坐标(5,0).准线方程是:
1 (2)焦点坐标是(0, 8),准线方程是:
1 y 8
那么求抛物线的标准方程关键就是求 p与知道焦点 的位置.
； 连接器生产商 连接器接插件 4 x
D. y 2 8x
例1 (1)已知抛物线的标准方程是 y 6 x ,求它的焦 点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它的标准方程
2
解: (1) 因为
x 3 2
p 3,
3 ( , 0) ,准线方程是 所以抛物线的焦点坐标是 2
• 归纳
• • • • • • •
1.抛物线的开口是向着焦点所在的位置; 2.焦点在正半轴,那么准线肯定与负半轴相交; 焦点在负半轴,那么准线肯定与正半轴相交; 3.焦点在x轴上,则x的指数为一次; 焦点在y轴上,则y的指数为一次; 4.焦点在正半轴,则标准方程取正号 焦点在负半轴,则标准方程取负号
• 解: 如图,在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐 标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合. 2 • 设抛物线的标准方程是 y 2 px, • 由已知条件可得,点A的坐标是 (0.5 , 2.4), • 代入方程, 得p=5.76 所以, • 所求抛物线的标准方程是, y 2 11.52x • 焦点坐标是(2.88 , 0)
走."根汉似乎想起了什么,这东西不能就这样放在这里可惜了,还是要带走.只不过要用什么装这三生池水呢,这可是仙池,自己如何将它给装走呢.他试着先拿了壹个储物芥子出来,好在自己身上还有一些储物芥子带在手上,兴许可以装走の.可是试了试,根本无法装填进去,这三生池水 只
27.2.1二次函数y=ax^2的图像与性质
通过前面的比较学习，从 开口方向，对称轴，顶点 坐标，增减性，最值这几 个方面总结一下二次函数 y=ax2的性质
小组交流讨论
驶向胜利的 彼岸
动脑筋
抛物线
y=x2
（0，0） y轴
y= -x2
（0，0） y轴
顶点坐标
对称轴 位置 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外) 向上 向下 开口方向 增减性 最值
顶点外),
<0 当x_____时,y随着x的增大而增大；
当x_____时,y随着x的,增大而减小 >0
当x=0时,函数y的值最大,最大值是_____, 0 当x
0时,y<0.
小结
拓展
回味无穷
由二次函数y=x2和y=-x2知：
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口 向上,并且向上无限伸展； 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向 下,并且向下无限伸展.
1.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8) (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上; (3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的 坐标; (4)若点(m,n)在此抛物线上,那么点 (-m,n)是否在此抛物线上?点(m，-n) 呢?
2.填空:
(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是_____; （0，0）
x
2 y=x
… -3 -2 -1 0
… 9 4 1
1 2
3
… …
0 1
4 9
描 x
?
-4 -3 -2 -1
高二数学抛物线及标准方程1
l
K
y
d
.M
.
F
O
x
y 2 2 px, ( p 0)（其中p是焦点到准线的距离）
－－抛物线标准方程
标准方程 y2=2px(p>0)
焦点坐标 准线方程 (p/2,0)
y
l
x=-p/2
F
o
l
F
x
标准方程 x2=2py(p>0)
四、例题与练习：
例1、（1）已知抛物线的标准方程是 y2 = 6x，求它的 焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程；
（3）已知抛物线的标准方程是 y= 6x2，求它的焦点坐标和 准线方程；
（4）已知抛物线经过点(-4,-2),求它的标准方程.
y
o
(-4,-2)
l
定点F是抛物线的焦点， 定直线l叫做抛物线的准线， 常数e＝ 1是抛物线的离心率 .
d
.M .
F
三、抛物线的标准方程：
如图，以过F点垂直于直线l的直线为x轴， F 和垂足的中点为坐标原点建立直角坐标系. 设 | FK | p,( p 0), M ( x, y), p p 则F ( ,0), l : x 2 2 p 2 p 2 MF d 即 ( x ) y | x | 2 2
焦点坐标 准线方程 (0,p/2) y=-p/2
图
y
像
F
x
方
p0
程
焦
点
准
线
y 2 2 px
O
p F ( , 0) 2
p F ( , 0) 2
拱结构
截面较小、充分利用了 抗压性能好的材料。
水平推力的存在是个 麻烦且费材料的事
张拉成型拱架结构 是一种新型大跨空 间结构形式，引入 了张拉成型技术及 预应力技术，不仅 能解决高空作业问 题，而且使结构具 有水平推力小、节 约用钢量、挠度小 等优点，是一种非 常有实用价值的新 结构。
拱结构介绍
8 2 5 6 7 0 4 10 1 3 9
拱结构是一种主要承受轴向压力并由两端推力维持平衡的曲线或折线形构件。
按力学结构分：三铰拱、两铰拱、无铰拱
按外形分：半圆拱、抛物线拱
拱结构图片欣赏ຫໍສະໝຸດ 等， 面 低 拱 造 工 造 优而 过 桥 高 性 不 成 大 点且 渡 面 度 地 利 桥 跨 。还 平 和 大 采 。 高 度 具稳大大用为坡的 有，跨降了此陡桥 用车度低圆，、梁 料辆的。弧李过选 省行双这拱春不用 、人重样形和便半 施非目就式工。圆 工常的实，匠二形 方方，现使们是拱 便便桥了石创施，
抛物线的性质和图像
抛物线的图像是一个开口向上或向下 的抛物线形状，其对称轴与x轴平行 。当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上； 当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
学生对知识掌握情况自评
理解抛物线的定义和方程，能够 熟练地写出不同形式的抛物线方
程。
掌握抛物线的性质，能够准确地 找出抛物线的对称轴、顶点、焦
点和准线等。
对称轴
抛物线的对称轴是一条经过其焦点的直线，对于开口向右的抛物线，对称轴为 $y$ 轴；对于开口向上的抛物线，对称轴为 $x$ 轴。在对称轴两侧，抛物线具 有对称性，即关于对称轴对称的点都在抛物线上。
02
抛物线图像特点
形状与位置
抛物线是一种平面曲线，其形状 类似于一个开口的U形或倒U形
。
抛物线具有一个对称轴，该轴是 垂直于水平面的直线，且抛物线
抛物线在生活中的应用
建筑设计中应用
抛物线型建筑外观
建筑师在设计建筑时，有时会采用抛 物线形状，使建筑外观更加美观和独 特。
抛物线型结构
在建筑结构中，抛物线型结构具有良 好的承载能力和稳定性，常用于桥梁 、拱门等建筑元素的设计。
物理现象解释
抛体运动
在物理学中，抛体运动是一种典型的抛物线运动，如投掷物 体、炮弹发射等。这些运动轨迹可以用抛物线方程来描述。
焦点位置
对于向上开口的抛物线，焦点 位于顶点上方；对于向下开口 的抛物线，焦点位于顶点下方
。
代数性质
标准方程
抛物线的标准方程为 $y = ax^2 + bx + c$（向上开口） 或 $x = ay^2 + by + c$（向右开口）。
一次项系数和常数项
影响抛物线的位置和顶点坐标。通过配方，可以将一般式 化为顶点式，从而确定顶点的坐标。
初中数学——(33)二次函数的图像
初中数学——（33）二次函数的图像一、二次函数的图像（一）二次函数的图像是一条关于某直线对称抛物线，这条直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点（二）二次函数图像二、二次函数图像的特征（一）抛物线的主要特征：a＞0，开口向上；a＜0，开口向下b（二）对称轴解析方程：x＝﹣2a推导：二次函数y＝ax2+bx+c本质是一个一元二次方程1、当y=0时，二次函数变换为一元二次方程0＝ax2+bx+c2、图像与x轴的交点x1，x2就是方程的解b3、由伟达定律可知：x1+x2=﹣a4、二次函数图像是一条对称的抛物线，对称轴的横坐标就是两个交点的中点，即2x 21x ＝﹣2ab 5、对称轴的一条垂直于X 轴的直线，即：x ＝﹣2a b （三）抛物线的顶点坐标1、抛物线的顶点就是对称轴与抛物线的交点2、对称轴与X 轴的交点就是顶点的横坐标3、将x ＝﹣2ab 代入二次函数y ＝ax 2+bx+c 中，可得到y 的值 即：y=4ab -4ac 2 4、因此，顶点坐标为（﹣2a b ，4a b -4ac 2） （四）对于顶点式：y ＝a(x-h)2+k （a ≠0）1、h=﹣2ab 2、k=4ab -4ac 2 3、所以我们通过顶点式可以直接得出抛物线的顶点坐标三、练习题（一）根据下列条件，分别求出对应的二次函数的表达式1、二次函数图像经过(0，-1),(1,0),(-1,2)；2、抛物线的顶点为(1，-3)，且与y 轴交于点(0,1)；3、抛物线与x 轴交于点(-3,0),(5,0),且与y 轴交于点(0，-3)。
高考数学 第八章第八节 抛物线课件 新A
∴(y1＋y2)·xy11－－yx22＝a，
∴a＝4×1＝4，∴y2＝4x.
答案：y2＝4x
1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等 的点的轨迹叫做抛物线， 点F 叫做 抛物线的焦点， 直线l 叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
B．y2＝－8x D．y2＝－4x
()
解析：设抛物线方程为 y2＝2px(p<0)， 由抛物线定义知，|－p2＋3|＝5，解得 p＝－4， ∴抛物线方程为 y2＝－8x.
答案： B
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，
B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于 ( )
图形
范围
y≥0，x∈R
x2＝－2py(p>0) y≤0，x∈R
对称轴 顶点坐标
焦点坐标
(0，p2)
y轴
原点O(0,0) (0，－p2)
准线方程 离心率 焦半径
y＝－p2
y＝p2 e＝1
|PF|＝y0＋p2
|PF|＝－y0＋p2
考点一 抛物线的定义及应用
设P是抛物线y2＝4x上的一个动点． (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离 之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
3．直线与抛物线的位置关系 (1)设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线Ax＋By＋C＝0，将
直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋ q＝0， ①若m≠0，当Δ>0时，直线与抛物线有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点． ②若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线 的对称轴平行．
高三文科数学圆锥曲线之抛物线
圆锥曲线之抛物线图形xyO FlxyO Fl方程)0(22>=p px y )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x焦点 )0,2(p )0,2(p -)2,0(p)2,0(p -准线 2p x -= 2p x =2p y -=2p y =抛物线的几何性质 （1）范围因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标（x ，y ）满足不等式x ≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
（2）对称性以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y ＝0时，x ＝0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点。
（4）离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示。
由抛物线的定义可知，e ＝1。
抛物线中的常用结论①过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的弦AB 长的最小值为2p②设A(x 1，y)， 1B(x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px 上的两点， 则AB 过F 的充要条件是y 1y 2＝－p 2③设A ， B 是抛物线y 2＝2px 上的两点，O 为原点， 则OA ⊥OB 的充要条件是直线AB 恒过定点(2p ，0)(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e 表示，当0＜e ＜1时，是椭圆，当e ＞1时，是双曲线，当e ＝1时，是抛物线．1.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 82.【2012高考四川文9】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
圆锥曲线---抛物线
圆锥曲线---抛物线抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线（定点在定直线外）的距离的点的轨迹，它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线，它只有一支（双曲线有两支），只有一条对称轴，没有渐近线和对称中心，属于无心曲线．抛物线的焦半径、焦点弦性质丰富多彩，此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨，抛物线的许多性质也是历年高考的重点和热点，这里就它的一些性质加以归纳，说明和证明，及其在历年高考和模拟考试出现的典例． 一、焦半径、焦点弦性质如图，AB 是过抛物线 y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的弦，AD 、BC 是准线的垂线，垂足分别为D 、C ，M 是CD 的中点，N 是AB 的中点．设点A (x 1，y 1)、点B (x 2，y 2)，直线AB 交y 轴于点K (0，y 3)，则： ⑴ ① y 1y 2＝－p 2；② x 1x 2＝p 24；③ 1y 1＋1y 2＝1y 3；④ | AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ（θ为AB 的倾斜角）； ⑤ S △OAB ＝p 22sin θ，S 梯形ABCD ＝2p 2sin 3θ..⑵1| AF |＋1| BF |＝2p； ⑶ ∠AMB ＝∠DFC ＝Rt ∠； ⑷ AM 、BM 是抛物线的切线；⑸ AM 、BM 分别是∠DAB 和∠CBA 的平分线； ⑹ AM 、DF 、y 轴三线共点，BM 、CF 、y⑺ A 、O 、C 三点共线，B 、O 、D 三点共线； ⑻ 若| AF |：| BF |＝m ：n ，点A 在第一象限，θ为直线AB 的倾斜角. 则cos θ＝m －nm ＋n； ⑼ 以AF 为直径的圆与y 轴相切，以BF 为直径的圆与y 轴相切； 以AB 为直径的圆与准线相切.⑽ MN 交抛物线于点Q ，则，Q 是MN 的中点.★⑴ ① y 1y 2＝－p 2；② x 1x 2＝p 24；③ 1y 1＋1y 2＝1y 3④ | AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ （θ为AB 的倾斜角）；⑤S △OAB ＝p 22sin θ，S 梯形ABCD ＝2p 2sin 3θ.【证明】设过焦点F (p 2，0)的AB 的直线方程为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程y 2＝2px 得y 2－2pmy －p 2＝0，因此 ① y 1y 2＝－p 2，y 1＋y 2＝2pm .另由⑶得在Rt △CFD 中，FR ⊥CD ， 有| RF |2＝| DR |·| RC |，而| DR |＝| y 1 |，| RC |＝| y 2 |，| RF |＝p ，且y 1 y 2＜0 ∴y 1y 2＝－p 2.② 又点A 、B 在抛物线上，有x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p ，因此x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝(y 1y 2)24p 2＝p 24.③1y 1＋1y 2＝y 1＋y 2y 1y 2＝2pm －p 2＝－2mp， 在直线AB 方程x ＝my ＋p 2中令x ＝0，得y 3＝－p 2m ，代入上式得1y 1＋1y 2＝1y 3④【证法一】根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x 1＋p 2，| BF |＝| BC |＝x 2＋p2，| AB |＝| AF |＋| BF |＝x 1＋x 2＋p又| AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝1＋m 2| y 2－y 1 |＝1＋m 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋m 24m 2p 2＋4p 2＝2p (1＋m 2) 当m ≠0时，m ＝1k ＝1tan θ＝cos θsin θ，有1＋m 2＝1＋cos 2θsin 2θ＝1sin 2θ（k 为直线AB 的斜率）当m ＝0时，θ＝90︒，1＋m 2＝1也满足1＋m 2＝1sin 2θ∴| AB |＝2p (1＋m 2)＝2psin 2θ. 【证法二】如图2，过A 、B 引x 轴的垂线AA 1、BB 1，垂足为 A 1、B 1，那么| RF |＝| AD |－| F A 1 |＝| AF |－| AF |cos θ， ∴| AF |＝| RF |1－cos θ＝p1－cos θ同理，| BF |＝| RF |1＋cos θ＝p1＋cos θ∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝p 1－cos θ＋p 1＋cos θ＝2psin 2θ.【证法三】极坐标法，设抛物线的极坐标方程为ρ＝p1－cos θ，则| AF |＝ρ1＝p 1－cos θ ，| BF |＝ρ2＝p 1－cos(π＋θ )＝p1＋cos θ.∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝p 1－cos θ＋p 1＋cos θ＝2psin 2θ.⑤S △OAB ＝S △OAF ＋S △OBF ＝12| OF || y 1 |＋12| OF || y 1 |＝12·p2·(| y 1 |＋| y 1 |)∵y 1y 2＝－p 2，则y 1、y 2异号，因此，| y 1 |＋| y 1 |＝| y 1－y 2 |∴S △OAB ＝p 4| y 1－y 2 |＝p 4(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝p 44m 2p 2＋4p 2＝p 221＋m 2＝p 22sin θ.又∵| CD |＝| AB |sin θ＝2p sin θ ，| AD |＋| BC |＝| AB |＝2psin 2θ.∴S 梯形ABCD ＝12(| AD |＋| BC |)·| CD |＝12×2p sin θ×2p sin 2θ＝p 2sin 3θ.【例1】（2001年新课程高考文）设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →＝ ················································································· （ ）A. 34B. －34C. 3D. －3【解】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－34，故选B.【例2】（2009年福建理）过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 作倾斜角为45︒的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝ . 【解】由性质⑴得| AB |＝2p sin 2θ＝2psin 245︒＝8，∴p ＝8×122＝4.★⑵1| AF |＋1| BF |＝2p【证法一】由⑴x 1x 2＝p 24，且| AF |＝x 1＋p 2，| BF |＝x 2＋p2.∴1| AF |＋1| BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p (x 1＋p 2)·(x 2＋p 2)＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝x 1＋x 2＋p p 24＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24 ＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2＋p ) ＝2p【证法二】由| AF |＝ρ1＝p 1－cos θ ，| BF |＝ρ2＝p 1－cos(π＋θ )＝p1＋cos θ.∴1| AF |＋1| BF |＝1ρ1＋1ρ2＝1－cos θp ＋1＋cos θp ＝2p【例3】（2000全国）过抛物线y ＝ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则1p ＋1q 等于 ························································· （ ）A. 2aB. 12aC.4aD. 4a【解】由y ＝ax 2得x 2＝1a y ，（抛物线焦点到准线的距离为12a ），由此得1p ＋1q ＝4a ，故选C.★⑶ ∠AMB ＝∠DFC ＝Rt ∠，先证明：∠AMB ＝Rt ∠ 【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ，如图3，则△ADM ≌△ECM ，∴| AM |＝| EM |，| EC |＝| AD | ∴| BE |＝| BC |＋| CE |＝| BC |＋| AD | ＝| BF |＋| AF |＝| AB |∴△ABE 为等腰三角形，又M 是AE 的中点， ∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt ∠ 【证法二】取AB 的中点N ，连结MN ，则| MN |＝12(| AD |＋| BC |)＝12(| AF |＋| BF |)＝12| AB |，∴| MN |＝| AN |＝| BN |∴△ABM 为直角三角形，AB 为斜边，故∠AMB ＝Rt ∠.【证法三】由已知得C (－p 2，y 2)、D (－p 2，y 1)，由此得M (－p 2，y 1＋y 22).∴k AM ＝y 1－y 1＋y 22x 1＋p 2＝y 1－y 22·y 212p ＋p ＝p (y 1－y 2)y 21＋p 2＝p (y 1－－p 2y 1)y 21＋p 2＝p y 1，同理k BM ＝py 2 ∴k AM ·k BM ＝p y 1·p y 2＝p 2y 1y 2＝p 2－p 2＝－1∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt ∠.【证法四】由已知得C (－p 2，y 2)、D (－p 2，y 1)，由此得M (－p 2，y 1＋y 22).∴MA →＝(x 1＋p 2，y 1－y 22)，MB →＝(x 3＋p 2，y 2－y 12)∴MA →·MB →＝(x 1＋p 2)(x 2＋p 2)＋(y 1－y 2)(y 2－y 1)4＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24－(y 1－y 2)24＝p 24＋p 2(y 212p ＋y 222p )＋p 24－y 21＋y 22－2y 1y 24＝p 22＋y 1y 22＝p 22＋－p 22＝0 ∴MA →⊥MB →，故∠AMB ＝Rt ∠.图3【证法五】由下面证得∠DFC ＝90︒，连结FM ，则FM ＝DM .又AD ＝AF ，故△ADM ≌△AFM ，如图4 ∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4 ∴∠2＋∠3＝12×180︒＝90︒∴∠AMB ＝Rt ∠.接着证明：∠DFC ＝Rt ∠【证法一】如图5，由于| AD |＝| AF |，AD ∥RF ，故可设∠AFD ＝∠ADF ＝∠DFR ＝α， 同理，设∠BFC ＝∠BCF ＝∠CFR ＝β， 而∠AFD ＋∠DFR ＋∠BFC ＋∠CFR ＝180︒ ∴2(α＋β)＝180︒，即α＋β＝90︒，故∠DFC ＝90︒ 【证法二】取CD 的中点M ，即M (－p 2，y 1＋y 22)由前知k AM ＝py 1，k CF ＝－y 2＋p 2＋p 2＝－y 2p ＝p y 1∴k AM ＝k CF ，AM ∥CF ，同理，BM ∥DF ∴∠DFC ＝∠AMB ＝90︒.【证法三】∵DF →＝(p ，－y 1)，CF →＝(p ，－y 2)，∴DF →·CF →＝p 2＋y 1y 2＝0 ∴DF →⊥CF →，故∠DFC ＝90︒.【证法四】由于| RF |2＝p 2＝－y 1y 2＝| DR |·| RC |，即| DR || RF |＝| RF || RC |，且∠DRF ＝∠FRC ＝90︒ ∴ △DRF ∽△FRC∴∠DFR ＝∠RCF ，而∠RCF ＋∠RFC ＝90︒ ∴∠DFR ＋∠RFC ＝90︒ ∴∠DFC ＝90︒【例4】（2009年湖北文）如图7，过抛物线y 2＝2px （P ＞0）的焦点F 的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向准线l 作垂线，垂足分别为M 1、N 1，求证：FM 1⊥FN 1图6★⑷ AM 、BM 是抛物线的切线【证法一】∵k AM ＝p y 1，AM 的直线方程为y －y 1＝py 1(x －y 212p)与抛物线方程y 2＝2px 联立消去x 得 y －y 1＝p y 1(y 22p －y 212p )，整理得y 2－2y 1y ＋y 21＝0可见△＝(2y 1)2－4y 21＝0， 故直线AM 与抛物线y 2＝2px 相切， 同理BM 也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y 2＝2px ，两边对x 求导，(y 2)'x＝(2px )'x ， 得2y ·y 'x＝2p ，y 'x ＝p y ，故抛物线y 2＝2px 在点A (x 1，y 1)处的切线的斜率为k 切＝y 'x | y ＝y 1＝py 1. 又k AM ＝py 1，∴k 切＝k AM ，即AM 是抛物线在点A 处的切线，同理BM 也是抛物线的切线.【证法三】∵过点A (x 1，y 1)的切线方程为y 1y ＝p (x ＋x 1)，把M (－p 2，y 1＋y 22)代入左边＝y 1·y 1＋y 22＝y 21＋y 1y 22＝2px 1－p 22＝px 1－p 22，右边＝p (－p 2＋x 1)＝－p 22＋px 1，左边＝右边，可见，过点A 的切线经过点M ，即AM 是抛物线的切线，同理BM 也是抛物线的切线. ★⑸ AM 、BM 分别是∠DAB 和∠CBA 的平分线 【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ，如图9，则△ADM ≌△ECM ，有AD ∥BC ，AB ＝BE ， ∴∠DAM ＝∠AEB ＝∠BAM ，即AM 平分∠DAB ，同理BM 平分∠CBA .【证法二】由图9可知只须证明直线AB 的倾斜角α是直线AM 的倾斜角β的2倍即可，即α＝2β. 且M (－p 2，y 1＋y 22)∵tan α＝k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1 y 222p －y 212p＝2py 1＋y 2. tan β＝k AM ＝y 1－y 1＋y 22x 1＋p 2＝y 1－y 22·y 212p ＋p ＝p (y 1－y 2)y 21＋p 2＝p (y 1－－p 2y 1)y 21＋p 2＝py 1. ∴tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2py 11－(p y 1)2＝2py 1y 22－p 2＝2py 1y 22＋y 1y 2＝2py 1＋y 2＝tan α ∴α＝2β，即AM 平分∠DAB ，同理BM 平分∠CBA .图9图8★⑹ AM 、DF 、y 轴三线共点，BM 、CF 、y 轴三线共点 【证法一】如图10，设AM 与DF 相交于点G 1，由以上证明知| AD |＝| AF |，AM 平分∠DAF ，故AG 1也是DF 边上的中线， ∴G 1是DF 的中点.设AD 与y 轴交于点D 1，DF 与y 轴相交于点G 2， 易知，| DD 1 |＝| OF |，DD 1∥OF ， 故△DD 1G 2≌△FOG 2∴| DG 2 |＝| FG 2 |，则G 2也是DF 的中点.∴G 1与G 2重合（设为点G ），则AM 、DF 、y 轴三线共点， 同理BM 、CF 、y 轴也三线共点.【证法二】AM 的直线方程为y －y 1＝py 1(x －y 212p)，令x ＝0得AM 与y 轴交于点G 1(0，y 12)，又DF 的直线方程为y ＝－y 1p (x －p 2)，令x ＝0得DF 与y 轴交于点G 2(0，y 12)∴AM 、DF 与y 轴的相交同一点G (0，y 12)，则AM 、DF 、y 轴三线共点，同理BM 、CF 、y 轴也三线共点H ．由以上证明还可以得四边形MHFG 是矩形. ★⑺ A 、O 、C 三点共线，B 、O 、D 三点共线 【证法一】如图11，k OA ＝y 1x 1＝y 1 y 212p＝2py 1，k OC ＝y 2 －p 2 ＝－2y 2p ＝－2py 2p 2＝－2py 2－y 1y 2＝2py 1∴k OA ＝k OC ，则A 、O 、C 三点共线， 同理D 、O 、B 三点也共线.【证法二】设AC 与x 轴交于点O '，∵AD ∥RF ∥BC∴| RO ' || AD |＝| CO ' || CA |＝| BF || AB |，| O 'F || AF |＝| CB || AB |， 又| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，∴| RO ' || AF |＝| O 'F || AF |∴| RO ' |＝| O 'F |，则O '与O 重合，即C 、O 、A 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线. 【证法三】设AC 与x 轴交于点O '，RF ∥BC ，| O 'F || CB |＝| AF || AB |，∴| O 'F |＝| CB |·| AF || AB |＝| BF |·| AF || AF |＋| BF |＝11| AF |＋1| BF |＝p2【见⑵证】 ∴O '与O 重合，则即C 、O 、A 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线.图11图10【证法四】∵OC →＝(－p 2，y 2)，OA →＝(x 1，y 1)，∵－p 2·y 1－x 1 y 2＝－p 2·y 1－y 212p y 2＝－py 12－y 1y 2y 12p ＝－py 12＋p 2y 12p ＝0∴OC →∥OA →，且都以O 为端点∴A 、O 、C 三点共线，同理B 、O 、D 三点共线.【推广】过定点P (m ，0)的直线与抛物线y 2＝2px （p ＞0）相交于点A 、B ，过A 、B 两点分别作直线l ：x ＝－m 的垂线，垂足分别为M 、N ，则A 、O 、N 三点共线，B 、O 、M 三点也共线，如下图：【例5】（2001A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴. 证明直线AC 经过原点O . 【证法一】因为抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F (－p2，0)，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p2；代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根， ∴y 1y 2＝－p 2因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p 2上，故C (－p2，y 2)，∴直线CO 的斜率为 k OC ＝y 2 －p 2 ＝2p y 1＝y 1x 1＝k OA .∴直线AC 经过原点O .【证法二】如图13，过A 作AD ⊥l ，D 为垂足，则：AD ∥EF ∥BC连结AC 与EF 相交于点N ，则| EN | | AD | ＝| CN | | AC | ＝| BF | | AB | ，| NF | | BC | ＝| AF | | AB | 由抛物线的定义可知：| AF |＝| AD |，| BF |＝| BC | ∴| EN |＝| AD |·| BF | | AB |＝| AF |·| BC || AB |＝| NF |.即N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O .图12图13★⑻ 若| AF |：| BF |＝m ：n ，点A 在第一象限，θ为直线AB 的倾斜角. 则cos θ＝m －nm ＋n； 【证明】如图14，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D ，C ，过B 作BE ⊥AD 于E ，设| AF |＝mt ，| AF |＝nt ，则| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，| AE |＝| AD |－| BC |＝(m －n )t ∴在Rt △ABE 中，cos ∠BAE ＝| AE || AB |＝ (m －n )t (m ＋n )t ＝m －nm ＋n∴cos θ＝cos ∠BAE ＝m －nm ＋n.【例6】设经过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线相交于两点A 、B ，且| AF |：| BF |＝3：1，则直线AB 的倾斜角的大小为 . 【答案】60︒或120︒.★⑼ 以AF 为直径的圆与y 轴相切，以BF 为直径的圆与y 轴相切；以AB 为直径的圆与准线相切. 【说明】如图15，设E 是AF 的中点，则E 的坐标为( p2＋x 1 2，y 12)，则点E 到y 轴的距离为d ＝ p2＋x 1 2＝12| AF |故以AF 为直径的圆与y 轴相切， 同理以BF 为直径的圆与y 轴相切.【说明】如图15，设M 是AB 的中点，作MN ⊥准线l 于N ，则| MN |＝12(| AD |＋| BC |)＝12(| AF |＋| BF |)＝12| AB |则圆心M 到l 的距离| MN |＝12| AB |，故以AB 为直径的圆与准线相切. ★⑽ MN 交抛物线于点Q ，则Q 是MN 的中点.【证明】设A (y 212p ，y 1)，B (y 222p ，y 1)，则C (－p 2，y 2)，D (－p2，y 1)，M (－p 2，y 1＋y 22)，N (y 21＋y 224p ，y 1＋y 22)，设MN 的中点为Q '，则Q ' ( －p 2＋y 21＋y 224p 2，y 1＋y 22)∵ －p 2＋y 21＋y 224p 2＝ －2p 2＋y 21＋y 22 8p ＝ 2y 1y 2＋y 21＋y 228p ＝⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222 2p∴点Q ' 在抛物线y 2＝2px 上，即Q 是MN 的中点.图16二、定点、定值、定直线问题（共9个结论）★⑴平行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点，如图17. 【证明】如图17，设抛物线方程为y 2＝2px （p ＞0），直线AB ∥x 轴，点A 的坐标为(x 0，y 0)，则过A 点的切线方程为y 0y ＝p (x ＋x 0)，直线l 的斜率为k 0＝p y 0，设直线AB 到l 的角为α，则tan α＝py 0，设直线AF 的斜率为k 1，则k 1＝y 0x 0－p 2＝2py 0y 20－p 2，设直线l 到AF 的角为β，则tan β＝k 1－k 01＋k 0k 1＝2py 0y 20－p 2－p y 0 1＋p y 0·2py 0y 20－p2＝p (y 20＋p 2)y 0(y 20＋p 2)＝p y 0. ∴tan α＝tan β，又α、β∈[0，π)，则α＝β，也就是说平行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点. 【例7】（2004年福建省质检）如图18，从点M (x 0，2)发出的光线沿平行于抛物线y 2＝4x 的轴的方向射向抛物线的点P ，反射后经焦点F 又射向直线l ：x －2y －7＝0上的点N ，再反射后又设回点M ，则x 0＝ .【解】PM ∥x 轴，点P 在抛物线上，得P 的坐标为(1，2)，经过F (1，0)点后反射在Q 点，则Q 的坐标为(1，－2)，经Q 反射后点N 的坐标为(3，－2)，设M 关于l 对称的点为M '，依题意，Q 、N 、M '共线.故可设M '(x 1，－2)，由此得 ⎩⎨⎧2＋2x 0－x 1·12＝－1x 0＋x 12―2·2－22―7＝0，解得x 0＝6.【另解】若设Q 关于直线l 的对称点为Q '，设Q ' (a ，b )，由于Q 、Q '关于直线l 对称，由此得⎩⎨⎧b ＋2a －1·12＝－1a ＋12―2·b －22―7＝0，解得⎩⎨⎧a ＝95b ＝－185 则Q '的坐标为(95，－185)， 又M 、N 、Q '三点共线，k MN ＝k NQ '，即－185＋195－3＝2＋2x 0－3，∴x 0＝6.★⑵若C (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的任一点，过C 引两条互相垂直的直线交抛物线于A 、B ，则直线AB 过定点(2p ＋x 0，－y 0).【证明】设A (s 22p ，s )、B (t 22p，t )（s ，t ，y 0互不相等）那么，由AC ⊥BC 得k AC ·k BC ＝y 0－s x 0－s 22p ·y 0－tx 0－t 22p＝y 0－s y 202p －s 22p ·y 0－t y 202p －t 22p ＝4p 2(y 0＋s )(y 0＋t )＝－1∴4p 2＝－(y 0＋s )(y 0＋t )∴st ＝－4p 2－(s ＋t )y 0－y 20 ·················· ①又直线AB 的方程为y －s t －s ＝x －s 22p t 22p －s 22p，整理得，y ＝2px ＋sts ＋t② 把①代入②得 y ＝2px －4p 2－(s ＋t )y 0－y 20s ＋t ＝2px －4p 2－2px 0s ＋t －y 0＝2ps ＋t (x －2p －x 0)－y 0令x －2p －x 0＝0，即x ＝2p ＋x 0，得y ＝－y 0. 故直线AB 过定点(2p ＋x 0，－y 0).特别地，当C 是抛物线的顶点时，定点P 的坐标为(2p ，0).【拓展】C (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的一定点，直线AB 与抛物线相交于A 、B 两点（都异于C ），若直线CA 、CB 的斜率k CA 、k CB 的乘积为定值m ，那么，直线AB 过定点(x 0－2pm ，－y 0). 【例8】（2000京皖春季高考）如图20，设点A 和B 为抛物线y 2＝4px （p ＞0）上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线． 【解法一】点A ，B 在抛物线y 2＝4px 上，设A (y 2A 4p ，y A )，B (y 2B4p ，y B )，OA 、OB 的斜率分别为k OA 、k OB ．∴k OA ＝y A y 2A 4p ＝4p y A ，k OA ＝4p y B ，k AB ＝y B －y A y 2B 4p －y 2A4p ＝4p y A ＋y B . 由OA ⊥OB ，得k OA ·k OB ＝16p 2y A y B＝－1 ·························· ①∴直线AB 方程为，y －y A ＝4py A ＋y B (x －y 2A 4p )，即(y A ＋yB )(y －y A )＝4p (x －y 2A 4p ) ··············· ②由OM ⊥AB ，得直线OM 方程y ＝ y A ＋y B4p ······························ ③设点M (x ，y )，则x ，y 满足②、③两式，将②式两边同时乘以－x4p，并利用③式图20整理得，x4p y A 2＋yy A －(x 2＋y 2)＝0 ················································ ④由③、④两式得－x4p ＋y B y A －(x 2＋y 2)＝0，由①式知，y A y B ＝－16p 2，所以x 2＋y 2－4px ＝0． 因为A 、B 是原点以外的两点，所以x ≠0．所以点M 的轨迹是以(2p ，0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点．【解法二】由性质(2)易知AB 经过定点P (4p ，0)，由于OM ⊥AB ，那么，M 的轨迹以(2p ，0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点．其轨迹方程为x 2＋y 2－4px ＝0（x ≠0）.★⑶抛物线y 2＝2px （p ＞0）的弦AB 的中点D 恰好在定直线l ：x ＝m （m ＞0）上，则线段AB 的垂直平分线过定点M (m ＋p ，0).【证明】如图22，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (m ，y 0)，那么⎩⎨⎧y 21＝2px 1…………①y 22＝2px 2…………②①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2) ∴直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝py 0∴直线DM 的斜率k DM ＝－1k AB ＝－y 0p∴DM 的直线方程为y －y 0＝－y 0p (x －m )令y ＝0，得x ＝m ＋p∴直线AB 的垂直平分线恒过定点(m ＋p ，0).【例9】（2008湖南理科高考）若A 、B 是抛物线y 2＝4x 上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点P ，则称弦AB 是点P 的一条“相关弦”.已知当x ＞2时，点P (x ，0)存在无穷多条“相关弦”．给定x 0＞2．⑴证明：点P (x 0，0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；⑵（略） 【说明】应用性质⑶，由已知得p ＝2，由定点P (x 0，0)得m ＋p ＝x 0，故m ＝x 0－2 ∴“相关弦”的中点的横坐标为x 0－2.图21图22★⑷设直线l与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，那么①若直线l过抛物线对称轴的定点M(a，0)，则y1y2＝－2ap，x1x2＝a2；反之②若y1y2＝k（定值），则直线l恒过定点N (－k2p，0).③若直线l与y轴相交于点(0，y3)，则1y1＋1y2＝1y3.【证明】①设过点M(a，0)的直线方程为x＝my＋a，代入抛物线方程y2＝2px得y2－2pmy－2pa＝0，因此y1y2＝－2ap，x1x2＝y212p·y222p＝(y1y2)24p2＝4a2p24p2＝a2.②设直线l方程为x＝my＋b，代入抛物线方程y2＝2px得y2－2pmy－2pb＝0，即方程的根y1、y2是P、Q两点的纵坐标∴y1y2＝－2pb，又y1y2＝k.∴－2pb＝k，即b＝－k2p，则直线l方程为x＝my－k2p令y＝0，得x＝－k2p，则直线l恒过定点N(－k2p，0).③由l的方程x＝my＋a中，令x＝0得y3＝－am，y1＋y2＝2pm∴1y1＋1y2＝y1＋y2y1y2＝2pm－2ap＝－ma＝1y3.【例10】（北京2005年春季高考理科）如图24，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别为a和b（a＞0，b≠0），且交抛物线y2＝2px （p＞0）于M(x1，y1)、N(x2，y2)两点.⑴写出直线l的截距式方程；⑵证明：1y1＋1y2＝1b.⑴【解】直线l的截距式方程为xa＋yb＝1.⑵由上面性质⑶证明可得1y1＋1y2＝1b.图23★⑸过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且与准线交于点M ，设MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，则λ＋μ＝0.【证法一】设过点F (p 2，0)的直线方程为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程y 2＝2px 得y 2－2pmy －p 2＝0，因此y 1y 2＝－p 2，y 1＋y 2＝2pm 令x ＝－p 2，得y M ＝－pm由MA →＝λAF →得(x 1＋p 2，y 1＋p m )＝λ (p 2－x 1，－y 1)∴y 1＋p m ＝－λ y 1，λ＝1＋p my 1，同理，μ＝1＋pmy 2∴λ＋μ＝2＋p my 1＋pmy 2＝2＋p (y 1＋y 2)my 1 y 2＝2＋p ·2pm m ·(－p 2)＝2－2＝0.【证法二】由已知MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，得λ·μ＜0．则|MA →| |MB →| ＝－λ|AF →| μ|BF →| ······························· ①过点A ，B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1， 则有：|MA →| |MB →| ＝|AA 1→| |BB 1→| ＝|AF →||BF →| ·················· ②由①②得－λ|AF →|μ|BF →| ＝|AF →||BF →|，即λ＋μ＝0.【例11】（2007年福建理科高考）如图27，已知点F (1，0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →． ⑴求动点P 的轨迹C 的方程；⑵过点F 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，交直线l 于点M ，已知 MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求λ1＋λ2的值； 【略解】⑴动点P 的轨迹C 的方程为：y 2＝4x ；⑵λ1＋λ2＝0.A图27★⑹定长为l 的弦AB 的两个端点在抛物线y 2＝2px 上，M 是AB 的中点，M 到y 轴的距离为d ，那么，M 的轨迹方程为：4(y 2＋p 2)(2px －y 2)＝p 2l 2，且①当0＜l ＜2p 时，d 的最小值为l 28p ，此时，AB ∥y 轴；②当l ≥2p 时，d 的最小值为l －p2，此时，弦AB 过焦点F . 【解】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M 的坐标为(x 0，y 0)，AB 的直线方程为x ＝my ＋b ，代入抛物线方程y 2＝2px 得y 2－2pmy －2pb ＝0. ∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－2pb . 又AB 的中点为M (x 0，y 0)，且点M 在直线AB 上，∴y 0＝y 1＋y 22＝pm ，x 0＝my 0＋b ，m ＝y 0p ，b ＝x 0－my 0＝x 0－y 20p .∴| AB |2＝l 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(my 1＋b －my 2－b )2＋(y 1－y 2)2＝(1＋m 2)(y 1－y 2)2＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] ＝(1＋y 20p 2)[4y 20＋8pb ]＝(1＋y 20p 2)[4y 20＋8p (x 0－y 20p)]整理得，4(y 20＋p 2)(2px 0－y 20)＝p 2l 2. 故中点M 的轨迹方程为：4(y 2＋p 2)(2px －y 2)＝p 2l 2. 由上可知d ＝x ＝pl 28(y 2＋p 2)＋y 22p，令t ＝y 2＋p 2≥p 2，即y 2＝t －p 2，则d ＝x ＝pl 28t ＋t －p 22p ＝pl 28t ＋t 2p －p 2（t ≥p 2）.令pl 28t ＝t 2p ，得t ＝pl 2.①当0＜l ＜2p 时，p 2＞pl2，d 在t ∈[ p 2，＋∞)上是增函数，∴当t ＝p 2，即y ＝0时，d min ＝pl 28p 2＋p 22p －p 2＝l 28p，此时，m ＝0，即AB ∥y 轴.②当l ≥2p 时，p 2≤pl 2，∴d ＝pl 28t ＋t 2p －p2≥2p tt pl 282⨯－p 2＝l －p 2.当且仅当pl 28t ＝t 2p ，即t ＝pl2≥p 2时取等号，故d 的最小值为l －p 2.②【证法二】当l ≥2p 时，过A 、B 、M 作准线x ＝－p2的垂线，垂足为A '、B '、M '，则| MM ' |＝d ＋p 2＝12(| AA ' |＋| BB ' |)＝12(| AF |＋| BF |)≥12| AB |＝12l .上式当且仅当| AF |＋| BF |＝| AB |，即弦AB 过抛物线的焦点M 时取等号，则d 的最小值为12l －p 2＝l －p2.【说明】经过焦点F 的最短弦是通经2p ，因此当弦AB 的长l ＜2p 时，不能用证法二证明d 的最小值为l 28p .图29图28【例12】长度为a 的线段AB 的两个端点在抛物线x 2＝2py （a ≥2p ＞0）上运动，以AB 的中点C 为圆心作圆与抛物线的准线相切，求圆C 的最小半径.【解】依题意，问题转化为定长的弦的两个端点在抛物线上，弦的中点C 到y 轴的距离的最值问题，由上面的性质可知当弦AB 经过焦点F 时，点C 到准线的距离为最小值. 如图30. ∴圆C 的最小半径为r ＝a 2.★⑺过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的对称轴上的定点M (m ，0)（m ＞0），作直线AB 与抛物线相交于A ，B 两点．点N 是定直线l ：x ＝－m 上的任一点，则直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列. 【证明】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (－m ，n )， 由性质⑶有y 1y 2＝－2pm ，则直线AN 、BN 的斜率为k AN ＝y 1－n x 1＋m ，k BN ＝y 2－nx 2＋m∴k AN ＋k BN ＝y 1－n y 212p ＋m ＋y 2－ny 222p＋m＝2p (y 1－n )y 21＋2pm ＋2p (y 2－n )y 22＋2pm ＝2p (y 1－n )y 21－y 1y 2＋2p (y 1－n )y 22－y 1y 2＝2p [y 2(y 1－n )－y 1(y 2－n )]y 1y 2(y 1－y 2)＝2pn (y 1－y 2)y 1y 2(y 1－y 2)＝2pn y 1y 2＝2pn －2pm ＝－n m又∵直线MN 的斜率为k MN ＝n －0－m －m＝－n2m .∴k AN ＋k BN ＝2k MN∴直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列.★⑻抛物线的一组平行弦的中点共线，且所在直线平行于对称轴或与对称轴重合.【证明】设斜率为k （k 为常数）的一组平行线与抛物线y 2＝2px （p ＞0）交于点A i 、B i （i ＝1，2，…），弦A i B i 的中点为M i ，（即M 1，M 2，…，M n ），且A i B i 的直线方程为y ＝kx ＋b i （b i 为直线A i B i 在y 轴上的截距），A i (x 1，y 1)，B i (x 2，y 2)，M i (x i ，y i ).联立方程组⎩⎨⎧y 2＝2px y ＝kx ＋b i，消去x 得k2p y 2－y ＋b i ＝0∴y 1＋y 2＝2pk，又M i 是A i B i 的中点∴y i ＝y 1＋y 22＝p k ，则M 1，M 2，…，M n 在平行于x 轴的直线y ＝p k上.当直线A i B i 与x 轴垂直（即直线A i B i 的斜率不存在时），易知M 1，M 2，…，M n 在x 轴上.(－【例13】（2009年陕西卷理20文21）已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ． ⑴证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行； 【证明】如图34，设A (x 1，2x 21)，B (x 1，2x 22)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2得2x 2－kx －2＝0， 由韦达定理得x 1＋x 2＝k2，x 1x 2＝－1，∴x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，即N 点的坐标为(k 4，k 28)设抛物线在点N 处的切线l 的方程为y －k 28＝m (x －k4)，将y ＝2x 2代入上式得2x 2－mx ＋mk 4－k 28＝0，∵直线l 与抛物线C 相切， ∴∆＝m 2－8(mk 4－k 28)＝0，解得m ＝k ，即l ∥AB .【说明】其实，也就是与AB 平行的弦，它们的中点在过AB 中点且与对称轴（x 轴）平行的直线上，它与C 的交点N ，此时的切点就是这些弦的缩点，故过N 点的抛物线C 的切线与AB 平行. ★⑼过定点P (x 0，y 0)作任一直线l 与抛物线y 2＝2px （p ＞0）相交于A 、B 两点，过A 、B 两点作抛物线的切线l 1、l 2，设l 1，l 2相交于点Q ，则点Q 在定直线px －y 0y ＋px 0＝0上. 【证明】设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，因为过点P 与x 轴平行的直线与抛物线只有一个交点，所以直线AB 与x 轴不平行，故可设AB 的方程为x －x 0＝m (y －y 0).联立方程组⎩⎨⎧y 2＝2pxx －x 0＝m (y －y 0)，消去x 得12py 2－my ＋my 0－x 0＝0 ∴y 1y 2＝2p (my 0－x 0)又过A 、B 两点的抛物线的切线方程为y 1y ＝p (x ＋x 1)和y 2y ＝p (x ＋x 2)，联立方程组⎩⎨⎧y 1y ＝p (x ＋x 1)y 2y ＝p (x ＋x 2)解得x Q ＝x 1y 2－x 2y 1y 1－y 2＝－ y 212p ·y 2－y 222p ·y 1 y 1－y 2＝y 1y 22p ＝my 0－x 0 ·················· ①y Q ＝p ·x 1－x 2y 1－y 2＝pm ······························································ ②由②得m ＝y Q p 代入①得x Q ＝y Qpy 0－x 0，∴点Q 在直线px －y 0y ＋px 0＝0上.图34【例14】（2007年重庆文科高考题）如图36，对每个正整数 n ，A n (x n ，y n )是抛物线x 2＝4y 上的点，过焦点F 的直线F A n 交抛物线于另一点B n (s n ，t n ). ⑴试证：x n s n ＝－4（n ≥1）；⑵取x n ＝2n，并记C n 为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的交点.试证：| FC 1 |＋| FC 2 |＋…＋| FC n |＝2n －2－n ＋1＋1.【说明】本题第⑴小题就是抛物线的焦点弦的性质y 1y 2=－p 2.第⑵小题两条切线的交点C n 就是上面抛物线的性质，即点C n 必在直线y ＝－1上.【例15】（2008年山东理科高考）如图，设抛物线方程为x 2＝2py（p ＞0），M 为 直线y ＝－2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .⑴求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；⑵⑶略. 【证明】由题意设A (x 1，x 212p )，B (x 2，x 222p)，x 1＜x 2，M (x 0，－2p )由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，y ＝xp所以，k MA ＝x 1p ，k MB ＝x 2p，因此直线MA 的方程为y ＋2p ＝x 1p (x －x 0)，直线MB 的方程为y ＋2p ＝x 2p (x －x 0)，所以，x 212p ＋2p ＝x 1p(x 1－x 0)…………①，x 222p ＋2p ＝x 2p(x 2－x 0)…………②， ①－②得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2p ＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)p －x 0(x 1－x 2)p∴x 1＋x 22＝x 1＋x 2－x 0，即2x 0＝x 1＋x 2所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列.图37★⑽过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则| AB || FM |＝2.【证明】设过焦点F (p 2，0)的直线AB 的方程为x ＝my ＋p2（m ≠0），且A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 把x ＝my ＋p2代入y 2＝2px ，得y 2＝2pmy ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1·y 2＝－p 2 ∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋p ＝2pm 2＋p ， ∴AB 的中点N 的坐标为(pm 2＋p2，pm )AB 的垂直平分线方程为y －pm ＝－m (x －pm 2－p2)令y ＝0，得M 的横坐标为x ＝pm 2＋3p2∴| FM |＝| x M －p2|＝pm 2＋p ＝p (m 2＋1)，又| AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p (m 2＋1).∴| AB || FM |＝2p (m 2＋1)p (m 2＋1)＝2 【证法二】设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，过A 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为C 、D ，则C (－p2，y 1)、D (－p 2，y 2)，则CD 的中点E 的坐标为(－p 2，y 1＋y 22)，由证法一知y 1＋y 2＝2pm ， ∴E (－p2，pm )，所以k EF ＝pm－p 2－p 2＝－m 又k AB ＝1m ，所以k AB ·k EF ＝(－m )·1m ＝－1∴EF ⊥AB ，又MN ⊥AB ，所以EF ∥MN 又EN ∥x 轴，所以四边形EFMN 为平行四边形 ∴| FM |＝| EN |＝12(| AC |＋| B D |)＝12| AB |所以| AB || FM |＝2★⑾P 是过抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的一定点，过P 作与x 轴平行的直线m ，过OP 的直线为n ，直线l ⊥x 轴，l 与m 、n 分别相交于A 、B 两点，则AB 的中点M 在点P 处的切线. 【证明】设P (t 22p，t )，则m 的方程为y ＝t ，直线n （即OP ）的方程为y ＝2pt x ，设直线l 的方程为x ＝s （s ≠t 22p ），那么A 的坐标为(s ，t )，B 的坐标为(s ，2pst )，AB 的中点M 的坐标为(t ，t ＋2ps t 2)，即(t ，2ps ＋t 22t )又过点P (t 22p ，t )的抛物线的切线方程为yt ＝p (x ＋t 22p )∴y ＝p t (x ＋t 22p)当x ＝x M ＝s 时，y ＝p t (s ＋t 22p )＝ps t ＋t 2＝2ps ＋t 22t ＝y M可见点M 在点P 处的切线n 上.★⑿点P (a ，0)（a ≠0）是抛物线y 2＝2px （p ＞0）的对称轴上的一点，过P 的直线l 与抛物线相交于两点A 、B ，A 关于x 轴的对称的点为A '，又点Q (－a ，0)，那么A '、B 、Q 三点共线. 【证明】设直线l 的方程为x ＝my ＋a ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则A '(x 1，－y 1)，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝2pxx ＝my ＋a，消去x 得 y 22p－my －a ＝0，那么y 1 y 2＝－2pa ， 又QA '→＝(x 1＋a ，－y 1)，QB '→＝(x 2＋a ，y 2)， ∵(x 1＋a )y 2＋(x 2＋a )y 1 ＝(y 212p ＋a )y 2＋(y 222p＋a )y 1＝y 21y 22p ＋y 22y 12p ＋a (y 1＋y 2)＝y 1y 2(y 1＋y 2)2p ＋a (y 1＋y 2)＝(y 1＋y 2)(y 1y 22p ＋a )＝(y 1＋y 2)(－2pa 2p ＋a )＝0 ∴QA '→∥QB '→∴Q 、A '、B 三点共线.【例16】给出一个抛物线，根据其性质，用尺规作图求出该抛物线的对称轴、顶点和焦点.2图a 图b【作法】1.任意作两条平行弦A1B1和A2B2；2.分别取A1B1和A2B2的中点M、N，过M、N作直线m；3.作直线CD⊥m，交抛物线于C、D；4.取CD的中点E；5.过E作直线l∥m，交抛物线于点O.则直线l为抛物线的对称轴，O为抛物线的顶点，如图a.6.过顶点O作两条互相垂直的弦OP、OQ；7.设PQ与对称轴l相交于点G；8.取OG的靠近O的四等分点F.则F为抛物线的焦点.【说明】1.根据性质⑻，平行弦的中点共线，且与对称轴平行；2.垂直于对称轴的弦CD的中点在对称轴上，故l为抛物线的对称轴；3.根据性质⑵得PQ过顶点(2p，0)，故F为抛物线的焦点.第21页。
课件1二次函数的图像和性质
（2）在平面直角坐标系中描点：
y
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
x
-2
-4
-6
-8
y = - x2
-10
（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= -x2 的图象.
二次函数的图象是不是跟投篮路线很像？
知识要点
抛物线： 像这样的曲线通常叫做抛物线。 二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 y ax2 bx c 的图象叫做抛物线 y ax2 bx c。
()
A．江南制造总局的汽车
B．洋人发明的火车
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析] 由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民 到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。
二、近代以来交通、通讯工具的进步对人们社会生活的影 响
(1)交通工具和交通事业的发展，不仅推动各地经济文化交 流和发展，而且也促进信息的传播，开阔人们的视野，加快 生活的节奏，对人们的社会生活产生了深刻影响。
(2)通讯工具的变迁和电讯事业的发展，使信息的传递变得 快捷简便，深刻地改变着人们的思想观念，影响着人们的社 会生活。
y= 2x2
y=x2
y 10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
y= 0.5x2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2
-3 -4
-5
-6
-7
-8 -9
y=－21 x
-10
y=－2x2 y=x2
a的符号决定抛物线的开口方向，|a|的 大小决定抛物线开口的大小，|a|越大开 口越小