湖南省娄底市2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题及答案
娄底市2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷考试时间：120分钟试题满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|x≥3}，N＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，则M∪N＝（ ）A．M＝{x|3≤x≤5} B．M＝{x|x≥3}C．{x|x≥﹣2} D．{x|x≤5}2．下列式子成立的是（ ）A．a＝B．a＝﹣C．a＝D．a＝﹣3．已知p：|m+1|＜1，q：幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递减，则p是q的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）＝3x，f（a）f（b）＝9，若a＞0，b＞0，则ab的最大值为（ ）A．B．2C．1D．45．函数y＝a|x|（a＞1）图象是（ ）A．B．C．D．6．已知a＝，b＝（）3，c＝（）3，则a，b，c的大小顺序正确的是（ ）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．a＞c＞b7．定义在R上的偶函数f（x）在[0，5]上是增函数，且f（5）＝3，则f（x）在[﹣5，0]上是（ ）A．增函数，且最大值是3B．减函数，且最大值是3C．增函数，且最小值是3D．减函数，且最小值是38．若x＞1，则的最大值为（ ）A．B．C．D．9．已知f（x）是定义在R上的增函数，若y＝f（x）的图象过点A（﹣2，﹣1）和B （3，1），则满足﹣1＜f（x+1）＜1的x的取值范围是（ ）A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣1，4）D．（﹣1，1）10．函数f（x）的定义域为D，若满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D （a＜b），使得f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称y＝f（x）为闭函数．若是闭函数，则实数k的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、多项选择题:本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的．11．关于函数f（x）＝的性质描述，正确的是（ ）A．f（x）的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]B．f（x）的值域为（﹣1，1）C．f（x）在定义域上是增函数D．f（x）的图象关于y轴对称12．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A．a2+b2≥2ab B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题满分90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上．13．已知f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝x（2﹣x），则x＜0时，f（x）＝ ．14．已知函数的最小值为6，则正数m的值为 ．15．若函数y＝a x（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为6，则实数a ＝ ．16．已知a ∈R ，函数．①当a ＝0时，函数f （x ）的最小值为 ；②若f （x ）在区间[1，4]上的最大值是5，则实数a 的取值范围为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本题满分10分）已知集合，，全集.{}a x a x A +≤≤-=22{}0)4)(1(≥--=x x x B R U = (1) 当时，求，； 3=a B A ()B C A U (2) 若，求实数的取值范围。
∅=B A a18. （本题满分12分）因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n （n ∈N +）年的材料费、维修费、人工工资等共为（）万元，每年的销售收入55万元．设使用该设备前n 年的总盈利额为f （n ）万元．（1）写出f （n ）关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利； （2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理； 问哪种方案处理较为合理？并说明理由．19.（本题满分12分）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最小值1和最大值为4，设（1）求a、b的值（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在区间[﹣1，1]上有解，求实数k的范围．20.（本题满分12分）已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜x的解集；（Ⅱ）记函数f（x）的最大值为M．若正实数a，b，c满足，求的最小值．21.（本题满分12分）已知定义域为R的函数f（x）＝a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求实数k的值；（2）若f（1）＜0，求不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0对x∈R恒成立时t的取值范围．22.（本题满分12分）已知f（x）＝ax2﹣2x+1﹣a，a∈R．（1）求f（x）在[0，2]上的最小值g（a）；（2）若关于x的方程f（2x）＝（a+1）•4x﹣a•（2x+1）﹣2x+1+3有正实数根，求实数a的取值范围．高一数学期中考试试卷考试时间：120分钟试题满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|x≥3}，N＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，则M∪N＝（）A．M＝{x|3≤x≤5}B．M＝{x|x≥3}C．{x|x≥﹣2}D．{x|x≤5}【考点】并集及其运算．【分析】求出集合N，由此能求出M∪N．【解答】解：∵集合M＝{x|x≥3}，N＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}＝{x|﹣2≤x≤5}，∴M∪N＝{x|x≥﹣2}．故选：C．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．下列式子成立的是（）A．a＝B．a＝﹣C．a＝D．a＝﹣【考点】有理数指数幂及根式．【分析】注意a的符号，然后把化为根式得答案．【解答】解：要使有意义，则a＜0，∴＝﹣＝．故选：B．【点评】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，注意a的符号是关键，是基础题．3．已知p：|m+1|＜1，q：幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递减，则p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件．【分析】分别化简p，q，再根据充分必要条件的定义即可判断．【解答】解：p：|m+1|＜1等价于﹣2＜m＜0，∵幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递减，∴m2﹣m﹣1＝1，且m＜0，解得m＝﹣1，∴p是q的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了幂函数的定义单调性、绝对值不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知函数f（x）＝3x，f（a）f（b）＝9，若a＞0，b＞0，则ab的最大值为（）A．B．2C．1D．4【考点】指数函数的图象与性质．【分析】由已知结合指数的运算性质，可得a+b＝2，结合a＞0，b＞0及基本不等式，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）＝3x，∴f（a）f（b）＝3a•3b＝3a+b＝9，∴a+b＝2，∴ab≤＝1，当且仅当a＝b＝1时，ab取最大值1，故选：C．【点评】本题考查的知识点是指数的运算性质，基本不等式的应用，难度中档．5．函数y＝a|x|（a＞1）图象是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据指数函数的图象和性质进行翻折判断即可．【解答】解：根据指数函数的性质可得y＝a x（a＞1）递增函数，函数y＝a|x|（a＞1）的图象是y＝a x（a＞1）的图象去掉y轴左侧图象，把右侧图象关于y轴对称可以．故选：A．【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，翻折问题，根据函数图象关系是解决本题的关键．6．已知a＝，b＝（）3，c＝（）3，则a，b，c的大小顺序正确的是（）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．a＞c＞b【考点】指数函数的图象与性质．【分析】把各个数都转化为x3的形式即可【解答】解：∵a＝＝（3，又y＝x3在R上是增函数，因为，所以a＞c＞b，故选：D．【点评】本题考查幂函数的性质，属于基础题7．定义在R上的偶函数f（x）在[0，5]上是增函数，且f（5）＝3，则f（x）在[﹣5，0]上是（）A．增函数，且最大值是3B．减函数，且最大值是3C．增函数，且最小值是3D．减函数，且最小值是3【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据偶函数的性质及[0，5]上的单调性判断出f（x）在[﹣5，0]上的单调性，进而可得f（x）在[﹣5，0]上的最值．【解答】解：∵定义域为R的偶函数f（x）在[0，5]上是增函数，∴在[﹣5，0）上是减函数，∴f（x）在[﹣5，0]上有最大值f（﹣5），又∵f（5）＝3，∴f（﹣5）＝f（5）＝3，故选：B．【点评】本题考查函数单调性、奇偶性的应用，属中档题，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．8．若x＞1，则的最大值为（）A．B．C．D．【考点】基本不等式及其应用．【分析】令t＝x﹣1，换元，将原式转化为t的算式，结合基本不等式即可得到结果．【解答】解：令t＝x﹣1，则x＝t+1，t＞0，原式＝＝＝≤＝，当且仅当t＝1即x＝2时等号成立，故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的应用，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．9．已知f（x）是定义在R上的增函数，若y＝f（x）的图象过点A（﹣2，﹣1）和B（3，1），则满足﹣1＜f（x+1）＜1的x的取值范围是（）A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣1，4）D．（﹣1，1）【考点】函数的值域．【分析】据函数单调性及图象上两点可解得不等式﹣1＜f（x+1）＜1的解集．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的增函数，y＝f（x）的图象过点A（﹣2，﹣1）和B（3，1），则由﹣1＜f（x+1）＜1即f（﹣2）＜f（x+1）＜f（3），可得﹣2＜x+1＜3，解得﹣3＜x＜2，故﹣1＜f（x+1）＜1的解集为（﹣3，2）．故选：B．【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，不等式的解法，属于中档题．10．函数f（x）的定义域为D，若满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D（a ＜b），使得f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称y＝f（x）为闭函数．若是闭函数，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的性质与判断．【分析】可看出f（x）在[0，+∞）上是增函数，根据f（x）是闭函数可得出，从而得出方程有两个不同的非负实数根，然后设，从而得出，可画出函数在[0，+∞）上的图象，结合图象即可求出k的取值范围．【解答】解：f（x）在[0，+∞）内是增函数，∵f（x）是闭函数，∴存在[a，b]⊆[0，+∞），使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，∴，∴方程有两个不同的非负实数根，设，t≥0，则，如图，∵t≥0，所以要使方程有两个不同的实根，则，∴实数k的取值范围为．故选：C．【点评】本题考查了幂函数的单调性，闭函数的定义，二次函数的图象，数形结合解题的方法，考查了计算能力，属于中档题．二、多项选择题:本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的．11．关于函数f（x）＝的性质描述，正确的是（）A．f（x）的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]B．f（x）的值域为（﹣1，1）C．f（x）在定义域上是增函数D．f（x）的图象关于y轴对称【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域．【分析】先求出函数的定义域，再求值域，然后利用函数单调性以及奇偶性定义即可求解．【解答】解：A，由，解得x∈[﹣1，0）∪（0，1]即为函数的定义域，故A正确；B，由定义域可化简函数得f（x）＝，当x∈[﹣1，0）时，f（x）∈[0，1）；当x∈（0，1]时，f（x）∈（﹣1，0]，所以f（x）∈（﹣1，1），故B正确；C，因为f（﹣）＝＞f（）＝，所以函数不是增函数，故C错误；D，因为定义域关于原点对称，且对任意x∈（0，1]，f（x）＝﹣＝﹣f（﹣x），所以函数是奇函数，故D错误，故选：AB．【点评】本题主要考查函数的概念与图象，函数单调性以及奇偶性，属于中档题．12．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2≥2ab B．C．D．【考点】基本不等式及其应用．【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A对对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错∵ab＞0∴故选：AD．【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：一正、二定、三相等．第Ⅱ卷（非选择题满分90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上．13．已知f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝x（2﹣x），则x＜0时，f（x）＝x（2+x）．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质与判断．【分析】根据题意可推出当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣x（2+x），因为f（x）为奇函数，可得当x＜0时，f（x）的解析式．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，又因为当x＞0时，f（x）＝x（2﹣x），所以f（﹣x）＝﹣x（2+x），因为f（x）为奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x），所以当x＜0时，f（x）＝﹣[﹣x（2+x）]＝x（2+x），故答案为：x（2+x）．【点评】本题考查函数的解析式，解题中注意奇函数的应用，属于中档题．14．已知函数的最小值为6，则正数m的值为4．【考点】基本不等式及其应用．【分析】由x＞2，可得y＝x﹣2++2≥+2＝2+2，再利用函数的最小值为6，可得2+2＝6，解得m．【解答】解：∵x＞2，∴y＝x﹣2++2≥+2＝2+2，又函数的最小值为6，∴2+2＝6，解得m＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．若函数y＝a x（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为6，则实数a＝2．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】两种情况：（1）当a＞1时，函数y＝a x在区间[1，2]上是增函数，所以y max＝a2 y min＝a，由于最小值和最大值之和6，所以建立方程a2+a＝6解得：a＝2或﹣3（负值舍去）（2）0＜a＜1，函数y＝a x在区间[1，2]上是减函数，所以：y max＝a y min＝a2，由于最小值和最大值之和6，所以建立方程，即a2+a＝6，解得：a＝2或﹣3，因为0＜a＜1，所以都舍去．【解答】解：（1）当a＞1时，函数y＝a x在区间[1，2]上是增函数，所以y max＝a2，y min＝a，由于最小值和最大值之和6，即：a2+a＝6，解得：a＝2或﹣3（负值舍去）；（2）0＜a＜1，函数y＝a x在区间[1，2]上是减函数，所以：y max＝a，y min＝a2，由于最小值和最大值之和6，即：a2+a＝6，解得：a＝2或﹣3，而0＜a＜1，故都舍去；故答案为：2．【点评】本题考查的知识要点：指数函数的单调性的分类讨论，解一元二次方程等相关的运算问题．16．已知a∈R，函数．①当a＝0时，函数f（x）的最小值为4；②若f （x ）在区间[1，4]上的最大值是5，则实数a 的取值范围为 ．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】①把a ＝0代入函数解析式，写出分段函数，然后分段求出函数的最小值，则函数f （x ）的最小值可求；②由条件可得a ﹣5≤+x ﹣a ≤5﹣a ，再由1≤x ≤4时，得4≤+x ≤5，可得2a ﹣5≤4，从而得到a 的范围．【解答】解：①当a ＝0时，f （x ）＝|x +|＝．若x ＞0，则f （x ）＝，当且仅当x ＝，即x ＝2时等号成立；若x ＜0，则f （x ）＝﹣x ﹣，当且仅当﹣x ＝，即x ＝﹣2时等号成立．综上，函数f （x ）的最小值为4；②∵f （x ）在区间[1，4]上的最大值是5，∴f （x ）＝|+x ﹣a |+a ≤5， ∴|+x ﹣a |≤5﹣a ，则a ≤5，∴a ﹣5≤+x ﹣a ≤5﹣a ，即2a ﹣5≤+x ≤5． ∵1≤x ≤4，∴4≤+x ≤5，得2a ﹣5≤4， ∴a ≤，∴实数a 的取值范围为（﹣∞，]． 故答案为：4；（﹣∞，]．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查转化与化归思想，训练了利用基本不等式求最值，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本题满分10分）已知集合{}a x a x A +≤≤−=22，{}0)4)(1(≥−−=x x x B ，全集R U =. (1) 当3=a 时，求B A ，()B C A U ；(2) 若∅=B A ，求实数a 的取值范围。
湖南师大附中2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试卷
湖南师大附中2020－2021学年度高一第一学期期中考试数学时量：120分钟满分：100分(试卷Ⅰ)＋50分(试卷Ⅱ)得分：____________试卷Ⅰ一、选择题：本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{}－3，－1，0，1，3，N ＝{}－2，－1，0，1，2，则M ∩N ＝ A .{}－2，－1，0 B .{}－1，0，1C .{}0，1，2D .{}－3，－2，－1，0，1，2，32．命题“x 0>0，x 20－4x 0＋3<0”的否定是 A ．x>0，x 2－4x ＋3≥0 B ．x 0≤0，x 20－4x 0＋3<0 C ．x ≤0，x 2－4x ＋3<0 D ．x 0>0，x 20－4x 0＋3≥03．已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克A ．5730B ．11460C ．17190D ．229204．下列四组函数中，f ()x 与g ()x 表示同一函数是A ．f ()x ＝x －1，g ()x ＝x 2－1x ＋1B ．f ()x ＝3x 3，g()x ＝()x 2C ．f ()x ＝1，g ()x ＝()x ＋10D ．f ()x ＝||x ＋1，g ()x ＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥－1－x －1，x<－15．下列说法正确的是A ．a>b ac 2>bc 2B ．a>b a 2>b 2C ．a>b a 3>b 3D ．a 2>b 2a>b6．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立，则a 的最小值是 A ．0 B ．－2 C ．－52D ．－3二、多选题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．7．若函数y ＝x 2－4x －4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数m 的值可能为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．58．若函数f ()x 、g ()x 分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f ()x －g ()x ＝e x ，则有 A ．f ()x ＝12()e x －e －xB ．g ()x ＝12()e x ＋e －xC ．f ()2<g ()0<f ()3D ．g ()0<f ()2<f ()3三、填空题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．9．设函数f ()x ＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2＋1，x>0，则f ()f ()－1的值为________．10．已知p ：x 2－8x －33>0，q ：||x －1>a ()a>0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为______．四、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11．(本小题满分12分)化简求值(1)⎝⎛⎭⎫12－3＋⎝⎛⎭⎫1620－1634＋⎝⎛⎭⎫32×36(2)log 142＋2lg 4＋lg 58＋e ln 212. (本小题满分12分)已知函数f(x)＝ae x ＋1＋1为奇函数．(1)求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数f ()x 在R 上是增函数； (2)求不等式f (t 2)＋f (2t －3)≤0的解集．13.(本小题满分13分)已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且 x >0时，f (x )<0. (1)求证：f (x )在R 上是奇函数； (2)求证：f (x )在R 上是减函数；(3)若f (1)＝－23，求f (x )在区间 [－3，3]上的最大值和最小值．14. (本小题满分13分)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，且f (x )≤0的解集为[－1，2]． (1)求函数f (x )的解析式；(2)解关于x 的不等式mf (x )>2(x －m －1)，其中m ∈R .试卷Ⅱ一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若奇函数f(x)在(－∞，0)内是减函数，且f(－2)＝0, 则不等式x·f(x)>0的解集为 A ．(－2，0)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0，2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－2，0)∪(0，2)2．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧（3－a ）x －4a ，x<1x 2，x ≥1在R 上是单调的函数，则a 的取值范围是A.⎣⎡⎭⎫25，3B.⎝⎛⎦⎤25，3 C.()－∞，3 D.⎣⎡⎭⎫25，＋∞ 二、多选题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．3．下列命题中正确的有A ．|x|2＋|x|－2＝0有四个实数解B ．设a 、b 、c 是实数，若二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，则ac>0C ．若a>b ，则a c 2＋1>bc 2＋1D ．若x ∈R ，则函数y ＝x 2＋4＋1x 2＋4的最小值为2 4．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出如下命题，其中正确的是 A ．c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数B ．b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根C ．y ＝f (x )的图像关于点(0，c )对称D ．方程f (x )＝0最多有两个实根三、填空题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．5．已知f(x)＝e x －1＋e 1－x ＋2a 只有一个零点，则a ＝____________．6．设关于x 的不等式ax 2＋8(a ＋1)x ＋7a ＋16≥0，(a ∈Z )，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则不等式的全部整数解的和为____________．四、解答题：本大题共2小题，共20分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 7．(本小题满分10分)“金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”。
2020年湖南省娄底市中考数学试卷(附答案详解)
2020年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共22小题，共66.0分）1.(2020·广西壮族自治区钦州市·单元测试)有理数−2的相反数是()A. 2B. 12C. −2 D. −122.(2020·湖北省荆州市·历年真题)下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是()A. B. C. D.3.(2020·湖北省荆州市·历年真题)在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象是()A. B.C. D.4.(2021·浙江省宁波市·期中考试)将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB=30°，则∠ACB的度数是()A. 45°B. 55°C. 65°D. 75°5.(2021·湖南省长沙市·月考试卷)八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/ℎ，则可列方程为()A. 102x −10x=20 B. 10x−102x=20 C. 10x−102x=13D. 102x−10x=136.(2020·陕西省西安市·期中考试)若x为实数，在“(√3+1)□x”的“□”中添上一种运算符号(在“+，−，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不可能是()A. √3+1B. √3−1C. 2√3D. 1−√37.(2021·单元测试)如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE=CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE=DF；④∠BCE=∠CDF.只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是()A. ①B. ②C. ③D. ④8.(2021·贵州省贵阳市·单元测试)如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°.C为OA的中点，BC=1，则点A的坐标为()A. (√3,√3)B. (√3,1)C. (2,1)D. (2,√3)9.(2021·河北省石家庄市·模拟题)定义新运算“a∗b”：对于任意实数a，b，都有a∗b=(a+b)(a−b)−1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4∗3= (4+3)(4−3)−1=7−1=6.若x∗k=x(k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况为()A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根10.(2020·湖北省荆州市·历年真题)如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为()A. √55B. 2√55C. 12D. √3211.(2021·山东省枣庄市·历年真题)−2020的倒数是()A. 2020B. −2020C. 12020D. −1202012.(2020·湖南省娄底市·历年真题)下列运算正确的是()A. a2⋅a3=a6B. (a+b)2=a2+b2C. (−2a)3=−8a3D. a2+a2=a413.(2021·山东省泰安市·模拟题)如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1=28°，那么∠2的度数为()A. 62°B. 56°C. 28°D. 72°14.(2020·湖南省娄底市·历年真题)一组数据7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是()A. 7、10B. 9、9C. 10、10D. 12、1115.(2020·全国·期中考试)我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是()A. B. C. D.16.(2021·山东省泰安市·模拟题)2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%.其中1695.9亿元用科学记数法表示为()A. 16.959×1010元B. 1695.9×108元C. 1.6959×1010元D. 1.6959×1011元17.(2020·湖南省娄底市·历年真题)若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是()A. 5B. 6C. 7D. 818.(2021·全国·期末考试)如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1=L⋅cosα，阻力臂L2=l⋅cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是()A. 越来越小B. 不变C. 越来越大D. 无法确定19.(2021·江苏省无锡市·模拟题)如图，平行于y轴的直线分别交y=k1x 与y=k2x的图象(部分)于点A、B，点C是y轴上的动点，则△ABC的面积为()A. k1−k2B. 12(k1−k2) C. k2−k1 D. 12(k2−k1)20.(2020·陕西省西安市·期中考试)下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为()A. 135B. 153C. 170D. 18921.(2020·湖南省娄底市·历年真题)函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是()A. y=x2+x+2B. y=√x+1C. y=x+1xD. y=|x|−122.(2021·广东省深圳市·模拟题)二次函数y=(x−a)(x−b)−2(a<b)与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m<n，下列结论正确的是()A. m<a<n<bB. a<m<b<nC. m<a<b<nD. a<m<n<b二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）23.(2020·湖北省荆州市·历年真题)若a=(π−2020)0，b=−(12)−1，c=|−3|，则a，b，c的大小关系为______.(用“<”号连接)24.(2020·江苏省·单元测试)若单项式2x m y3与3xy m+n是同类项，则√2m+n的值为______．25.(2020·湖北省荆州市·历年真题)已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据______________．26.(2021·安徽省芜湖市·单元测试)若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只(摘B前需先摘C)，直到摘完，则最后一只摘到B的概率是______．27.(2020·湖北省荆州市·历年真题)“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C=90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km.若tan∠ABC=34，∠DEB=45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了______km．28.(2020·广东省·单元测试)我们约定：(a,b，c)为函数y=ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”.若关联数为(m,−m−2,2)的函数图象与x轴有两个整交点(m为正整数)，则这个函数图象上整交点的坐标为______．29.(2021·广西壮族自治区玉林市·模拟题)一元二次方程x2−2x+c=0有两个相等的实数根，则c=______．30.(2021·浙江省湖州市·期末考试)口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球2个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是______．31.(2020·河北省石家庄市·期中考试)若ba =dc=12(a≠c)，则b−da−c=______．32.(2020·广东省深圳市·同步练习)如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m(米)，某车在标有R=300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB=______米．33.(2020·湖南省娄底市·历年真题)如图，四边形ABDC中，AB=AC=3，BD=CD=2，则将它以AD为轴旋转180°后所得分别以AB、BD为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为______．34.(2020·湖南省娄底市·历年真题)由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积(a−b)2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2=c2，还可以用来证明结论：若a>0、b>0且a2+b2为定值，则当a______b时，ab取得最大值．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）35.(2021·山西省太原市·同步练习)先化简，再求值：(1−1a )÷a2−1a2+2a+1，其中a是不等式组{a−2≥2−a ①2a−1<a+3 ②的最小整数解．四、解答题（本大题共15小题，共130.0分）36.(2021·全国·单元测试)阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x2+2x+4√x2+2x−5=0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设√x2+2x=t(t≥0)，则有x2+2x=t2，原方程可化为：t2+4t−5=0，【续解】37.(2021·山东省济宁市·模拟题)如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．(1)求证：BC//AD；(2)若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．38.(2021·湖南省长沙市·模拟题)6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩(满分为100分)，收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：分析数据：根据以上信息回答下列问题：(1)请直接写出表格中a，b，c，d的值；(2)通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；(3)该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”.估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？39.(2021·河南省平顶山市·期末考试)九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=2|x|的图象与性质共探究过程如下：(1)绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=______；x…−3−2−1−1212123…y (2)312442m23…描点：根据表中各组对应值(x,y)，在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；(2)通过观察图1，写出该函数的两条性质；①______；②______；(3)①观察发现：如图2.若直线y=2交函数y=2|x|的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于C.则S四边形OABC=______；②探究思考：将①中“直线y=2”改为“直线y=a(a>0)”，其他条件不变，则S四边形OABC=______；③类比猜想：若直线y=a(a>0)交函数y=k|x|(k>0)的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于C，则S四边形OABC=______．40.(2021·福建省福州市·月考试卷)如图，在矩形ABCD中，AB=20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH=2：3，(1)求证：△EGC∽△GFH；(2)求AD的长；(3)求tan∠GFH的值．41.(2020·安徽省·期中考试)为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表(单位：元/吨)．目的地A B生产厂甲2025乙1524(1)求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；(3)当每吨运费均降低m元(0<m≤15且m为整数)时，按(2)中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．42.(2021·江苏省常州市·模拟题)如图1，在平面直角坐标系中，A(−2,−1)，B(3,−1)，以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED//BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．(1)求证：BC是半圆O的切线；(2)试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；(3)如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q.使S△EPQ=S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．)−1．43.(2020·湖南省娄底市·历年真题)计算：|√3−1|−3tan30°+(3.14−π)0+(1244.(2021·贵州省·其他类型)先化简(mm+3−2mm−3)÷mm2−9，然后从−3，0，1，3中选一个合适的数代入求值．45.(2020·湖南省娄底市·历年真题)我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间t(ℎ)：A.0≤t≤0.5，B.0.5<t≤1，C.1<t≤1.5，D.t>1.5，将所得数据绘制成了如图不完整的统计图：(1)本次调查参加义务劳动的学生共______人，a=______．(2)补全条形统计图．(3)扇形图中“0≤t≤0.5”部分的圆心角是______度．46.(2020·湖南省娄底市·历年真题)如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”.该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面5m，从E点处测得D点俯角为30°，斜面ED长为4m，水平面DC长为2m，斜面BC的坡度为1：4，求处于同一水平面上引桥底部AB的长．(结果精确到0.1m，√2≈1.41，√3≈1.73)．47.(2021·江苏省常州市·模拟题)为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶．求：(1)该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？(2)若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？48.(2020·湖南省娄底市·历年真题)如图，▱ABCD中，BC=2AB，AB⊥AC，分别在边BC、AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF、AE、CF、DE．(1)试判定四边形AECF的形状，并说明理由；(2)求证：AE⊥DE．49.(2021·贵州省贵阳市·单元测试)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．(1)求证：DE与⊙O相切；(2)若AB=5，BE=4，求BD的长；(3)请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．50.(2021·安徽省芜湖市·期末考试)如图，抛物线经过点A(−3,0)、B(1,0)、C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P(m,n)是抛物线上的动点，当−3<m<0时，试确定m的值，使得△PAC的面积最大；(3)抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2−DC2=6，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【知识点】相反数【解析】解：有理数−2的相反数是：2．故选：A．直接利用相反数的定义得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相关定义是解题关键．2.【答案】A【知识点】作图-三视图、简单几何体的三视图【解析】解：选项A的俯视图是三角形，选项B、C、D的俯视图均为圆．故选：A．俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形．本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3.【答案】C【知识点】一次函数的图象【解析】解：一次函数y=x+1中，令x=0，则y=1；令y=0，则x=−1，∴一次函数y=x+1的图象经过点(0,1)和(−1,0)，∴一次函数y=x+1的图象经过一二三象限，故选：C．依据一次函数y=x+1的图象经过点(0,1)和(−1,0)，即可得到一次函数y=x+1的图象经过一二三象限．本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．4.【答案】D【知识点】翻折变换(折叠问题)、平行线的性质【解析】【分析】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．根据平行线的性质和翻折的性质解答即可．【解答】解：如图所示：∵将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，∴ED//FA，∠EBC=∠CBA，∴∠EBC=∠ACB=∠CBA，∠CAB=∠DBA=30°，∵∠EBC+∠CBA+∠ABD=180°，∴∠ACB+∠ACB+30°=180°，∴∠ACB=75°，故选：D．5.【答案】C【知识点】由实际问题抽象出分式方程【解析】解：设骑车学生的速度为xkm/ℎ，则乘车学生的速度为2xkm/ℎ，依题意，得：10x −102x=13．故选：C．设骑车学生的速度为xkm/ℎ，则乘车学生的速度为2xkm/ℎ，根据时间=路程÷速度结合骑车的学生比乘车的学生多用20min(即13ℎ)，即可得出关于x的分式方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．6.【答案】C【知识点】分母有理化、实数的运算【解析】【试题解析】解：A.(√3+1)−(√3+1)=0，故本选项不合题意；B.(√3+1)(√3−1)=2，故本选项不合题意；C.(√3+1)与2√3无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；D.(√3+1)(1−√3)=−2，故本选项不合题意．故选：C．根据题意，添上一种运算符号后一判断即可．本题主要考查了实数的运算，熟记平方差公式是解答本题的关键．(a+b)(a−b)=a2−b2．7.【答案】C【知识点】菱形的性质、全等三角形的判定【解析】解：∵四边形BCD是菱形，∴BC=CD，AB//CD，∴∠B=∠DCF，①∵添加BE=CF，∴△BCE≌△CDF(SAS)，②∵添加CE⊥AB，DF⊥BC，∴∠CEB=∠F=90°，∴△BCE≌△CDF(AAS)，③∵添加CE=DF，不能确定△BCE≌△CDF；④∵添加∠BCE=∠CDF，∴△BCE≌△CDF(ASA)，故选：C．根据菱形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论．本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．8.【答案】B【知识点】坐标与图形性质、解直角三角形、直角三角形斜边上的中线【解析】解：如图，∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．∴∠AOD=30°，∴AD=1OA，2∵C为OA的中点，∴AD=AC=OC=BC=1，∴OA=2，∴OD=√3，则点A的坐标为：(√3,1)．故选：B．根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根据勾股定理可得OB的值，进而可得点A的坐标．本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．9.【答案】C【知识点】实数的运算、根的判别式【解析】解：∵x∗k=x(k为实数)是关于x的方程，∴(x+k)(x−k)−1=x，整理得x2−x−k2−1=0，∵△=(−1)2−4(−k2−1)=4k2+5>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．利用新定义得到(x+k)(x−k)−1=x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△>0可判断方程根的情况．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．10.【答案】B【知识点】解直角三角形、圆周角定理、三角形的外接圆与外心【解析】解：如图，作直径BD，连接CD，由勾股定理得，BD=√22+42=2√5，在Rt△BDC中，cos∠BDC=CDBD =42√5=2√55，由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC，∴cos∠BAC=cos∠BDC=2√55，故选：B．作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC，根据余弦的定义解答即可．本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．11.【答案】D【知识点】倒数【解析】解：−2020的倒数是−12020，故选：D．乘积是1的两数互为倒数．依据倒数的定义回答即可．本题主要考查的是倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键．12.【答案】C【知识点】幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式【解析】解：A、a2⋅a3=a5，原计算错误，故此选项不符合题意；B、(a+b)2=a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；C、(−2a)3=−8a3，原计算正确，故此选项符合题意；D、a2+a2=2a2，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C．利用同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则、合并同类项法则和完全平方公式分别化简求出答案即可判断．此题主要考查了整式的运算．正确掌握同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则、合并同类项法则和完全平方公式等知识，熟练掌握相关法则和公式是解题的关键．13.【答案】A【知识点】平行线的性质【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，两锐角互余的性质，掌握平行线的性质是本题的关键． 由两锐角互余的性质可求∠DAC 度数，由平行线的性质可求解．【解答】解：如图，标注字母，由题意可得：∠BAC =90°，∠DAC =∠BAC −∠1=62°，∵EF//AD ，∴∠2=∠DAC =62°，故选：A ．14.【答案】C【知识点】算术平均数、中位数【解析】解：x −=7+8+10+12+135=10，从小到大排列处在中间位置的一个数是10，因此中位数是10，故选：C ．根据平均数、中位数的计算方法求出结果即可．本题考查平均数、中位数的意义和计算方法，理解平均数、中位数的意义和计算方法是得出正确答案的前提． 15.【答案】B【知识点】中心对称图形【解析】【分析】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误；B、是中心对称图形．故正确；C、不是中心对称图形．故错误；D、不是中心对称图形．故错误．故选：B．16.【答案】D【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】解：1695.9亿元=169590000000元=1.6959×1011元，故选：D．17.【答案】B【知识点】多边形的外角和定理、多边形内角与外角【解析】解：设所求正n边形边数为n，则60°⋅n=360°，解得n=6．故正多边形的边数是6．故选：B．多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成60°n，列方程可求解．本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．18.【答案】A【知识点】解直角三角形的应用、锐角三角函数的定义【解析】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值>0，∴动力随着动力臂的增大而减小，∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cosα的值越来越大，又∵动力臂L1=L⋅cosα，∴此时动力臂也越来越大，∴此时的动力越来越小，故选：A．根据杠杆原理及cosα的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性等知识；熟练掌握相关知识是解决本题的关键．19.【答案】B【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的图象【解析】解：由题意可知，AB=k1x −k2x，AB边上的高为x，∴S△ABC=12×(k1x−k2x)⋅x=12(k1−k2)，故选：B．AB的长是两个函数当自变量为x时，因变量的差的绝对值，再根据三角形的面积公式进行计算即可．本题考查反比例函数图形上点的坐标特征，表示三角形的底和高是正确解答的关键．20.【答案】C【知识点】数式规律问题【解析】解：根据规律可得，2b=18，∴b=9，∴a=b−1=8，∴x=2b2+a=162+8=170，故选：C．分析前三个正方形可知，规律为左上方的数等于序号数，左下方的数比左上方数大1，右上方数是左下方数的2倍，右下方数为左下方数的平方数的2倍加上序号数，由此解决问题．此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于找出各个数之间的关系．21.【答案】D【知识点】函数值【解析】解：当y=0时，方程x2+x+2=0无实数根，因此选项A不符合题意；方程√x+1=0无实数根，因此选项B不符合题意；=0无实数根，因此选项C不符合题意；方程x+1x方程|x|−1=0的解为x=±1，因此选项D符合题意，故选：D．根据函数的零点的意义，逐项代入求解进行判断即可．本题考查函数值的意义，求出当函数值为0时，自变量的求值是正确判断的前提．22.【答案】C【知识点】二次函数的图象、二次函数图象与几何变换【解析】【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．依照题意画出二次函数y=(x−a)(x−b)及y=(x−a)(x−b)−2的图象，观察图象即可得出结论．【解答】解：二次函数y=(x−a)(x−b)与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y=(x−a)(x−b)−2的图象，如图所示．观察图象，可知：m<a<b<n．故选C．23.【答案】b<a<c【知识点】绝对值、负整数指数幂、零指数幂、实数大小比较)−1=−2，c=|−3|=3，【解析】解：∵a=(π−2020)0=1，b=−(12∴b<a<c．故答案为：b<a<c．利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题的关键．24.【答案】2【知识点】同类项、算术平方根【解析】解：根据题意得：m=1，m+n=3，解得n=2，所以2m+n=2+2=4，√2m+n=√4=2．故答案是：2．根据同类项的定义(所含字母相同，相同字母的指数相同)列出方程，求出n，m的值，再代入代数式计算即可．本题考查了算术平方根和同类项的定义．解题的关键是掌握算术平方根和同类项的定义，要注意同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．25.【答案】线段的垂直平分线的性质【知识点】线段垂直平分线的概念及其性质、作三角形的内切圆与外接圆、三角形的外接圆与外心【解析】解：∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，∴OA=OC=OB，∴⊙O为△ABC的外接圆．故答案为：线段的垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质得到OA=OC=OB，然后根据点与圆的位置关系可判断点A、C在⊙O上．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．26.【答案】23【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】解：画树状图如图：共有3个等可能的结果，最后一只摘到B的结果有2个，∴最后一只摘到B的概率为2；3故答案为：2．3画出树状图，由概率公式即可得出答案．本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．27.【答案】24【知识点】解直角三角形的应用【解析】解：过D点作DF⊥BC，xkm，设EF=xkm，则DF=xkm，BF=43xkm，在Rt△BFD中，BD=√BF2+DF2=53∵D地在AB正中位置，∴AB=2BD=103xkm，∵tan∠ABC=34，∴cos∠ABC=45，∴x+43x+110 3x=45，解得x=3，则BC=8km，AC=6km，AB=10km，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，他跑了8+10+6=24(km)．故答案为：24．过D点作DF⊥BC，设EF=xkm，则DF=xkm，BF=43xkm，在Rt△BFD中，根据勾股定理得到BD，进一步求得AB，再根据三角函数可求x，可得BC=8km，AC=6km，AB=10km，从而求解．此题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．28.【答案】(1,0)、(2,0)或(0,2)【知识点】二次函数与一元二次方程、二次函数图象上点的坐标特征【解析】解：根据题意，令y=0，将关联数(m,−m−2,2)代入函数y=ax2+bx+c，则有mx2+(−m−2)x+2=0，△=(−m−2)2−4×2m=(m−2)2>0，∴mx2+(−m−2)x+2=0有两个根，由求根公式可得x=m+2±√(−m−2)2−8m2mx=m+2±|m−2|2mx1=m+2+(m−2)2m=1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；x2=m+2+2−m2m =42m，当m=1或2时符合题意；x2=2或1；x3=m+2−m+22m =42m，当m=1或2时符合题意；x3=2或1；x4=m+2−2+m2m=1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；所以这个函数图象上整交点的坐标为(2,0)，(1,0)；令x=0，可得y=c=2，即得这个函数图象上整交点的坐标(0,2)．综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为(2,0)，(1,0)或(0,2)；故答案为：(2,0)，(1,0)或(0,2)．根据题意令y=0，将关联数(m,−m−2,2)代入函数y=ax2+bx+c，则有mx2+ (−m−2)x+2=0，利用求根公式可得m，将m代入可得函数图象与x轴的交点坐标；令x=0，可得y=c=2，即得这个函数图象上整交点的坐标(0,2)．本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的特征，理解题意是解答此题的关键．29.【答案】1【知识点】根的判别式【解析】解：∵一元二次方程x2−2x+c=0有两个相等的实数根，∴△=b2−4ac=(−2)2−4c=0，解得c=1．故答案为1．若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2−4ac=0，建立关于c的不等式，求出c的值即可．此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．30.【答案】25【知识点】概率公式【解析】解：∵袋子中共有5个小球，其中白色小球有2个，∴从中任意摸出一球，有5种等可能结果，其中摸到白色小球的有2种可能，∴从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是2，5．故答案为：25从袋中任取一球有3+2=5种可能，其中摸出白球有3种可能，利用概率公式进行求解．本题主要考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中．事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn。
2020-2021学年湖南省娄底市第一中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年湖南省娄底市第一中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}3M x x =≥，{}23100N x x x =--≤，则M N ⋃=（ ） A ．{}35M x x =≤≤ B ．{}3M x x =≥ C ．{}2x x ≥- D ．{}5x x ≤-【答案】C【分析】解一元二次不等式化简集合N ，利用并集的定义计算即可． 【详解】集合{}3M x x =≥，{}()(){}{}2310052025N x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤则M N ⋃={}2x x ≥- 故选：C2．已知函数()f x 为奇函数，当0x <时，21()f x x x=-，则(2)f =（ ） A ．2- B ．92-C ．2D ．92【答案】B【分析】令2x =-代入解析式求出()2f -，由函数的奇偶性知()(2)2f f =--.【详解】因为当0x <时，21()f x x x=-，所以()192422f -=+=，又()f x 为奇函数，所以()9(2)22f f =--=-.故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于基础题.3．函数()2f x x x =+在区间[]1,1-上的最小值是（ ）A ．2B ．0C ．14D ．14-【答案】D【分析】()2f x x x =+的开口向上，对称轴[]11,12x =-∈-，然后可得出答案.【详解】因为()2f x x x =+的开口向上，对称轴[]11,12x =-∈- 所以()min 11112424f x f ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题考查的是二次函数的最值，较简单.4．关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{12}xx -<<∣，则关于x 的不等式20bx ax c -->的解集为（ ）A ．{21}xx -<<∣ B ．{12}xx -<<∣ C ．{2xx >∣或1}x <- D ．{1xx >∣或2}x <- 【答案】D 【分析】根据不等式的解集可知0a <，由根与系数的关系得出b ，c 与a 的关系，代入待求不等式即可求解.【详解】因为不等式20ax bx c ++>的解集为{12}xx -<<∣， 所以0a <，1,2b ca a-==-， 故,2b a c a =-=-，所以20bx ax c -->可化为220ax ax a --+>， 即220x x +->，分解因式得(2)(1)0x x +->， 解得2x <-或1x >，所以不等式的解集为{1xx >∣或2}x <-， 故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于中档题.5．若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n的最小值为（ ）A ．3＋B ．3C ．2＋D ．3【答案】A【分析】利用基本不等式，即可容易求得结果. 【详解】因为2m ＋n ＝1， 则1m ＋1n ＝11m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭·(2m ＋n )＝3＋n m ＋2m n≥3＋3＋当且仅当n m ，即m ＝22-，n －1时等号成立，所以1m ＋1n的最小值为3＋. 故选：A.【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，属基础题.6．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 【答案】D【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内7．已知函数()()23,12,1a x x f x a x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩在(),-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,1 B ．(]0,1C ．()0,2D ．(]0,2【答案】B【分析】根据一次函数、反比例函数的性质以及分段函数的单调性得到关于a 的不等式组，解出即可．【详解】若函数(2)3,1()2,1a x x f x a x x-+⎧⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞上是减函数，则2020232a a a a -<⎧⎪>⎨⎪-+⎩，解得01a <， 故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数以及反比例函数的性质，考查分段函数的单调性问题，是一道基础题．8．函数()f x 的定义域为D ，若满足；（1）()f x 在D 内是单调函数；（2）存在[],a b D ⊆，()a b <使得()f x 在[],a b 上的值域也是[],a b ，则称()y f x =为闭函数；若()f x k =k 的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．11,24⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】先判定函数()f x 的单调性,然后根据条件建立方程组,转化为使方程20x x k --=有两个相异的非负实根,最后建立关于k 的不等式,解之即可.【详解】因为函数()f x k =+是单调递增函数,所以()()f a af b b =⎧⎨=⎩,即()f x x =有两个相异非负实根,所以20k -=有两个相异非负实根,令t =,所以20t t k --=有两个相异非负实根,令2()g t t t k =--,则(0)014()0g k ≥⎧⎨-⨯->⎩,解得1(,0]4k ∈-.故选C .【点睛】本题考查了函数与方程,二次方程实根的分布,转化法,属于中档题.二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc >B ．若23,12a b -<<<<，则42a b -<-<C ．若0,0b a m <<<，则m m a b> D ．若,a b c d >>，则ac bd >【答案】BC【分析】由不等式的性质对合选项一一进行判断可得答案. 【详解】解：A 项，若a b >，取0c，可得22ac bc =，故A 不正确；B 项, 若23,12a b -<<<<,可得：21b -<-<-，故42a b -<-<，故B 正确；C 项，若0,b a <<可得011b a>>，由0m <可得：m ma b >，故C 正确；C 项，举反例，虽然52,12>->-，但是5-<-4，故D 不正确； 故选：BC.【点睛】本题主要考查利用不等式的性质比较大小，属于基础题型. 10．下列函数中,是偶函数,且在区间()0,1上为增函数的是（ ） A ．y x = B ．y =1-x 2C ．1y x=-D ．224y x =+【答案】AD【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝|x |，是偶函数，且在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意； 对于B ，y ＝1﹣x 2，是二次函数，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意； 对于C ，y 1x=-，是反比例函数，是奇函数，不符合题意； 对于D ，y ＝2x 2+4，为二次函数，是偶函数且在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意； 故选：AD ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．11．命题“12x ∀≤≤，20x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a ≥ B ．5a ≥ C ．8a ≥ D ．4a ≤【答案】BC【分析】将命题“12x ∀≤≤，20x a -≤”是真命题，转化为12x ∀≤≤，2a x ≥”恒成立求得a 的范围，再利用充分不必要条件的定义判断. 【详解】因为命题“12x ∀≤≤，20x a -≤”是真命题， 所以12x ∀≤≤，2a x ≥”恒成立， 所以4a ≥，所以命题是真命题的一个充分不必要条件是5a ≥，8a ≥， 故选：BC【点睛】本题主要考查命题为真的应用以及恒成立问题，属于基础题. 12．下列命题为真命题的是（ ）A ．函数1y x =-既是偶函数又在区间[)1,+∞上是增函数B ．函数()f x =的最小值为2C ．“2x =”是“2x -=D ．1,1x R x x∃∈<+ 【答案】CD【分析】根据函数的奇偶性，基本不等式，算术平方根的性质，取特值，即可得出结论. 【详解】1y x =-当1x =时，0y =，当1x =-时，2y =， 所以1y x =-不是偶函数，选项A 错误；令1[3,),()t g t t t=+∞=+根据对勾函数的单调性可得，()g t 在[3,)+∞是增函数，()g t 的最小值为103，即()f x 的最小值为103，选项B 错误；20,20,2x x x -=≥-≥∴=，选项C 正确；当1x =时，11x x<+成立，选项D 正确. 故选:CD.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到函数的性质、对勾函数、以及特称命题的判断，属于中档题.三、填空题13．函数(11)f x x =-的定义域为_________. 【答案】[2,1)(1,)-+∞【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组可得答案 【详解】解：由题意得2010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得2x ≥-或1x ≠， 所以函数的定义域为[2,1)(1,)-+∞，故答案为：[2,1)(1,)-+∞14．若幂函数()2()1mf x m m x =--在(0,)+∞上为减函数，则实数m =_________. 【答案】1-【分析】由幂函数的定义可知211m m --=，可得m 的值，由减函数可知0m <，即可得答案.【详解】由题意知211m m --=，即()()210m m -+=，解得1m =-或2m =， 又因为()2()1mf x m m x =--在(0,)+∞上为减函数， 所以0m <，所以1m =- 故答案为：1-【点睛】本题主要考查了利用幂函数的性质求幂函数的解析式，属于基础题. 15．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()23f x x x =--，则当0x <时，()f x =______. 【答案】23x x -【分析】设0x <，可得出0x ->，求得()f x -的表达式，利用奇函数的性质可求得()f x 在0x <的表达式.【详解】当0x ≥时，()23f x x x =--，当0x <时，则0x ->，∴()()()2233f x x x x x -=----=-+， 由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则当0x <时，()22()()33x x x x f x f x =--=--+=-，故答案为：23x x -.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解析式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.16．已知函数()f x 的定义域是(0)+∞，，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >，则不等式()(3)2f x f x -+-≥-的解集为_____． 【答案】[)1,0-【分析】由已知令1x y ==，求得(1)0f =，再求(2)1f =-，即有(4)2f =-，原不等式()(3)2f x f x -+-≥-即为(3)[])(4f x x f --≥，再由单调性即可得到不等式组，解出它们即可．【详解】由于()()()f xy f x f y =+， 令1x y ==，则(1)2(1)f f =，即(1)0f =， 则11(1)(2)(2)()022f f f f =⨯=+=， 由1()12f =，则(2)1f =-， 即有(4)2(2)2f f ==-，不等式()(3)2f x f x -+-≥-即为(3)[])(4f x x f --≥， 由于对于0x y <<，都有()()f x f y >，则()f x 在(0)+∞，上递减， 则原不等式即为030(3)4x x x x ->⎧⎪->⎨⎪--≤⎩，即有0314x x x <⎧⎪<⎨⎪-≤≤⎩，即有10x -≤<，即解集为[)1,0-.故答案为：[)1,0-.【点睛】本题考查抽象函数及其应用，考查由函数的单调性解不等式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.四、解答题17．已知全集U =R ，集合{}240A x x x =-≤，{}2B x m x m =≤≤+． （1）若3m =，求UB 和A B ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围； 【答案】（1）{|3UB x x =<或5}x >，{}|34A B x x =≤≤；（2）[]0,2．【分析】（ 1）先求集合A ，B ，再求集合B 的补集，根据交集定义求结果； （ 2）依据集合的包含关系，得到区间端点的大小关系为024m m ≥⎧⎨+≤⎩可得答案.【详解】（1）当3m =时，{}|35B x x =≤≤，集合{}{}24004A x x x x x =-≤=≤≤，∴{|3UB x x =<或5}x >，{}|34A B x x =≤≤．（2）∵集合{}04A x x =≤≤，{}|2B x m x m =≤≤+，B A ⊆，∴024m m ≥⎧⎨+≤⎩，解得02m ≤≤．∴实数m 的取值范围是[]0,2．【点睛】在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍. 18．已知函数()()22323x x x f x -=<-≤+.（1）用分段函数的形式表示函数()f x；（2）画出函数()f x的图象；（3）写出函数()f x的值域.【答案】（1）()2,20 12,033x xf xx x+-<≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；（2）图象答案见解析；（3）(]0,2. 【分析】（1）分20x-<≤和03x<≤两种情况去掉绝对值可求出函数的解析式；（2）根据（1）的解析式画出函数的图像；（3）根据函数图像可求出函数的值域【详解】（1）()2,2012,033x xf xx x+-<≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩.（2）函数()f x的图象如下图所示.（3）由图得函数()f x 的值域为(]0,2.【点睛】此题考查分段函数，考查由函数解析式画函数图像，根据图像求出函数的值域，属于基础题19．已知函数2()3f x x ax =+-．（1）若不等式()4f x >-的解集为R ，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()26f x ax ≥-对任意[]1,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(2,2)-；（2）(,-∞．【分析】（1）由已知得210x ax ++>的解集为R ，只需∆<0可得答案；（2）由已知得230x ax -+≥对任意[]1,3x ∈恒成立，可分别讨论对称轴的位置，然后利用单调性和二次函数的性质可得答案. 【详解】（1）()4f x >-即234x ax +->-， 即210x ax ++>，由不等式()4f x >-的解集为R ， 可得∆<0，即240a -<， 解得22a -<<，故a 的取值范围是(2,2)-．（2）()26f x ax ≥-即2326x ax ax +-≥-， 即230x ax -+≥，由不等式()26f x ax ≥-对任意[]1,3x ∈恒成立，可得当12a≤，即2a ≤时，10f ≥（），即40a -≥，得4a ≤，从而2a ≤； 当132a<<，即26a <<时，0∆≤，即2120a -≤，得a -≤≤2a <≤当32a≥，即6a ≥时，(3)0f ≥，即1230a -≥，得4a ≤，此时无解．综上，a 的取值范围是(,-∞．【点睛】对于一元二次不等式的恒成立的问题，可结合二次函数图象，利用函数的单调性和二次函数的性质处理，也可以利用参数分离求最值． 20．已知函数2(),f x x x=-+其定义域为(0,)+∞ （1）判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性，并用定义证明. （2）若(1)(2),f x f x +< 求x 的取值范围.【答案】（1）单调递减，证明见解析；（2）01x <<.【分析】（1）函数()f x 在(0,)+∞上递减，利用单调性的定义，证得()()120f x f x ->，即证得函数为定义域上的减函数；（2）根据（1）中证得的函数的单调性，结合函数的定义域列不等式组，解不等式组求得x 的取值范围. 【详解】（1）函数()f x 在(0,)+∞上递减，证明如下： 任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则()()21122112x x f x f x x x x x --=-+()()2112121x x x x x x -+=，由于21120,0x x x x ->>，故()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，故函数()f x 在(0,)+∞上递减.（2）由（1）可知函数()f x 在定义域上递减，故由(1)(2)f x f x +<得102012x x x x +>⎧⎪>⎨⎪+>⎩，解得01x <<.【点睛】本小题主要考查利用定义法证明函数的单调性，考查利用单调性解不等式，属于基础题.21．中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台需要另投入成本()C x （万元）．当年产量不足80台时，21()402C x x x =+（万元），当年产量不小于80台时，8100()1012180C x x x=+-（万元），若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完． （1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式．（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．【答案】（1）2160500,080281001680,80x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元． 【分析】（1）分别求080x <<和80x ≥时函数的解析式可得答案； （2）当080x <<时，21(60)13002y x =--+，配方法求最值、；当80x ≥时， 利用基本不等式求最值，然后再做比较. 【详解】（1）当080x <<时，2211100405006050022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-⎪⎝⎭，当80x ≥时，8100810010010121805001680y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 于是2160500,080281001680,80x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩．（2）由（1）可知当080x <<时，21(60)13002y x =--+， 此时当60x =时y 取得最大值为1300（万元）， 当80x ≥时，8100168016801500y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当8100x x=即90x =时y 取最大值为1500（万元）， 综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.22．已知函数2()(14)x mf x x x+=≤≤，且()15f =.（1）求实数m 的值，并求函数()f x 的值域；（2）函数()()122g x ax x =--<<，若对任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）4m =；值域为[]4,5；（2）3a ≥或3a ≤-.【分析】（1）由()15f =求出4m =得到()f x ，再利用单调性可求出值域； （2）对于任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立， 转化为()f x 的值域是()g x 值域的子集可求得答案. 【详解】（1）()15f =，4m ∴=.()244x f x x x x∴+==+()f x 在[]1,2上递减，在[]2,4上递增，且()24f =，()()145f f ==.()f x ∴值域为[]4,5.（2）对于任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立， 则()f x 的值域是()g x 值域的子集； 依题意知，0a ≠当0a >时，()[]021,21g x a a ∈---，[][]4,521,21a a ∴⊆---.214215a a a >⎧⎪∴--≤⎨⎪-≥⎩.3a ∴≥. 当0a <时，()0[21,21]g x a a ∈---，[][]4,521,21a a ∴⊆---.0214215a a a <⎧⎪∴-≤⎨⎪--≥⎩.3a ∴≤-. 故3a ≥或3a ≤-.【点睛】本题考查了利用函数的单调性求值域，考查了对于任意1x D ∈，总存在0x E ∈，使得()()01g x f x =成立，转化为则()f x 的值域是()g x 值域的子集问题求解.。
2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷及答案解析
2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）2．命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式￢p 为（ ） A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2B ．∃x ∈N ，x 3＞x 2C ．∃x ∈N ，x 3＜x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 23．已知p ：|m +1|＜1，q ：幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知幂函数f （x ）＝x 2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．35．设集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n +1，n ∈Z }，则（ ） A ．M ⫋NB ．N ⫋MC ．M ∈ND ．N ∈M6．已知a =312，b =log 2√3，c ＝log 92，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a7．函数y =4xx 2+1的图象大致为（ ） A ．B ．C．D．8．给出下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2＞2（a﹣b﹣1）；③x2+y2＞2xy．其中恒成立的个数是（）A．0B．1C．2D．3二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）A．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|x＞3}B．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是RC．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|﹣1＜x＜3}D．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是∅10．函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列命题中正确的有（）A．f（0）＝0B．若f（x）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f（x）在（﹣∞，0]上有最大值1C．若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为减函数D．若x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x11．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝a t．关于下列说法正确的是（）A．浮萍每月的增长率为2B．浮萍每月增加的面积都相等C．第4个月时，浮萍面积不超过80m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3 12．若集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0}中只有一个元素，则a的取值可以是（）A．92B．98C．0D．1三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数f（3﹣2x）的定义域为．14．某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁，进一步调研，了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240根据以上信息，你认为该经营部把桶装水定价为元/桶时能获得最大利润．15．不等式0.1x﹣ln（x﹣1）＞0.01的解集为．16．对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．若函数f（x）＝4x﹣m•2x﹣3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围为．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（1）已知a ≤2，化简：√(a −2)2+√(a +3)33+(14)−12；（2）求值：3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}． （1）求A ∪B ，（∁U A ）∩B ；（2）若“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，求a 的取值范围．19．（12分）已知函数f(x)=x2−2x+ax．（1）当a＝4时，求函数f（x）在x∈（0，+∞）上的最小值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立．试求实数a的取值范围；（3）若a＞0时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．20．（12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=12x2+40x+3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．（Ⅰ）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（Ⅱ）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种．①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？21．（12分）定义在R上的奇函数f（x）是单调函数，满足f（3）＝6，且f（x+y）＝f（x）+f（y）（x，y∈R）．（1）求f（0），f（1）；（2）若对于任意x∈[12，3]都有f（kx2）+f（2x﹣1）＜0成立，求实数k的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝2x−12x，g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b（b∈R）．（1）若f（x）＞0，求实数x的取值范围；（2）若存在x1，x2∈[1，+∞），使得f（x1）＝g（x2），求实数b的取值范围；2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）解：∵集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}， ∴B ＝{x |23＜x ＜2}，则A ∪B ＝（0，+∞），A ∩B ＝（23，2），故选：D ．2．命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式￢p 为（ ） A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2B ．∃x ∈N ，x 3＞x 2C ．∃x ∈N ，x 3＜x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 2解：命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式是特称命题； ∴￢p ：“∃x ∈N ，x 3≤x 2”． 故选：D ．3．已知p ：|m +1|＜1，q ：幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：p ：|m +1|＜1等价于﹣2＜m ＜0，∵幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减， ∴m 2﹣m ﹣1＝1，且m ＜0， 解得m ＝﹣1，∴p 是q 的必要不充分条件， 故选：B ．4．已知幂函数f （x ）＝x 2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．3解：∵幂函数f （x ）＝x 2m ﹣1的图象经过点（2，8），∴22m ﹣1＝8，∴m ＝2， 故选：C ．5．设集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n +1，n ∈Z }，则（ ） A ．M ⫋NB ．N ⫋MC ．M ∈ND ．N ∈M解：①当n ＝2m ，m ∈Z 时，x ＝4m +1，m ∈Z ， ②当n ＝2m +1，m ∈Z 时，x ＝4m +3，m ∈Z ， 综合①②得：集合N ＝{x |x ＝4m +1或x ＝4m +3，m ∈Z }， 又集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }， 即M ⫋N ， 故选：A ． 6．已知a =312，b=log 2√3，c ＝log 92，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a解；∵a =312∈（1，2），b=log 2√3＞log 2√2=12，∵log 2√3＜log 22=1， ∴12＜b ＜1，c ＝log 92＜log 93=12， 则a ＞b ＞c ， 故选：A ． 7．函数y =4xx 2+1的图象大致为（ ） A ．B．C．D．解：函数y=4xx2+1的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y＝f（x）=4xx2+1，则f（﹣x）=−4xx2+1=−f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，D，当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除B，故选：A．8．给出下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2＞2（a﹣b﹣1）；③x2+y2＞2xy．其中恒成立的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：①a2+3﹣2a＝（a﹣1）2+2＞0恒成立，所以a2+3＞2a，故①正确；②a2+b2﹣2a+2b+2＝（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，所以a2+b2≥2（a﹣b﹣1），故②正确；③x2+y2≥2xy，当且仅当x＝y时等号成立，故③不正确．故恒成立的个数是2．故选：C．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）A．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|x＞3}B．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是RC．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|﹣1＜x＜3}D．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是∅解：在A 项中，依题意可得a ＝0，且3b +3＝0，解得b ＝﹣1，此时不等式为﹣x +3＞0，解得x ＜3，故A 项错误；在B 项中，取a ＝1，b ＝2，可得x 2+2x +3＝（x +1）2+2＞0，解集为R ，故B 项正确； 在C 项中，依题意可得a ＜0，且{−1+3=−ba −1×3=3a ，解得{a =−1b =2，符合题意，故C 项正确．在D 选中，当x ＝0时，ax 2+bx +3＝3＞0，可得其解集不为∅，故D 选错误； 故选：BC ．10．函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，下列命题中正确的有（ ） A ．f （0）＝0B ．若f （x ）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f （x ）在（﹣∞，0]上有最大值1C ．若f （x ）在[1，+∞）上为增函数，则f （x ）在（﹣∞，﹣1]上为减函数D ．若x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则当x ＜0时，f （x ）＝﹣x 2﹣2x 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），当x ＝0时，有f （0）＝﹣f （0），变形可得f （0）＝0，A 正确，对于B ，若f （x ）在[0，+∞）上有最小值﹣1，即x ≥0时，f （x ）≥﹣1，则有﹣x ≤0，f （﹣x ）＝﹣f （x ）≤1，即f （x ）在（﹣∞，0]上有最大值1，B 正确，对于C ，奇函数在对应的区间上单调性相同，则若f （x ）在[1，+∞）上为增函数，则f （x ）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，C 错误，对于D ，设x ＜0，则﹣x ＞0，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（x 2+2x ）＝﹣x 2﹣2x ，D 正确， 故选：ABD ．11．如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系为y ＝a t ．关于下列说法正确的是（ ）A ．浮萍每月的增长率为2B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积不超过80m 2D ．若浮萍蔓延到2m 2，4m 2，8m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 2＝t 1+t 3 解：图象可知，函数过点（1，3）， ∴a ＝3，∴函数解析式为y ＝3t ， ∴浮萍每月的增长率为：3t+1−3t3t=2×3t 3t=2，故选项A 正确，∵函数y ＝3t 是指数函数，是曲线型函数，∴浮萍每月增加的面积不相等，故选项B 错误， 当t ＝4时，y ＝34＝81＞80，故选项C 错误，对于D 选项，∵3t 1=2，3t 2=4，3t 3=8，∴t 1＝log 32，t 2＝log 34，t 3＝log 38， 又∵2log 34＝log 316＝log 32+log 38，∴2t 2＝t 1+t 3，故选项D 正确， 故选：AD ．12．若集合A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0}中只有一个元素，则a 的取值可以是（ ） A ．92B ．98C ．0D ．1解：∵A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0}中只有一个元素，∴若a ＝0，方程等价为﹣3x +2＝0，解得x =23，满足条件． 若a ≠0，则方程满足△＝0，即9﹣8a ＝0，解得a =98．故选：BC ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．若函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则函数f （3﹣2x ）的定义域为 [12，52] ． 解：∵函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]， ∴由﹣2≤3﹣2x ≤2，解得12≤x ≤52．∴函数f （3﹣2x ）的定义域为[12，52]．故答案为：[12，52]．14．某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁，进一步调研，了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶480440400360320280240根据以上信息，你认为该经营部把桶装水定价为 11.5 元/桶时能获得最大利润． 解：由表可知，销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶． 设每桶水的价格为（6+x ）元，公司日利润为y 元，则y ＝（6+x ﹣5）（480﹣40x ）﹣200＝﹣40x 2+440x +280＝﹣40(x −112)2+1490， 所以当x ＝5.5时，y 取得最大值，所以每桶水定价为11.5元时，公司日利润最大． 故答案为：11.5．15．不等式0.1x ﹣ln （x ﹣1）＞0.01的解集为 （1，2） ． 解：设函数f （x ）＝0.1x ﹣ln （x ﹣1）， ∵y ＝0.1x 和y ＝﹣ln （x ﹣1）均为减函数， ∴函数f （x ）为减函数，∵f （2）＝0.01，且函数的定义域为（1，+∞）， ∴原不等式等价于f （x ）＞f （2）， ∴1＜x ＜2，∴不等式的解集为（1，2）． 故答案为：（1，2）．16．对于函数f （x ），若在定义域存在实数x ，满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），则称f （x ）为“局部奇函数”．若函数f （x ）＝4x ﹣m •2x ﹣3是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为 [﹣2，+∞） ．解：根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：若函数f （x ）＝4x ﹣m •2x ﹣3是定义在R 上的“局部奇函数”，则方程f （﹣x ）＝﹣f （x ）有解； 即4﹣x ﹣m •2﹣x ﹣3＝﹣（4x ﹣m •2x ﹣3）有解；变形可得4x +4﹣x ﹣m （2x +2﹣x ）﹣6＝0，即（2x +2﹣x ）2﹣m （2x +2﹣x ）﹣8＝0有解即可；设2x +2﹣x ＝t （t ≥2），则方程等价为t 2﹣mt ﹣8＝0在t ≥2时有解；设g （t ）＝t 2﹣mt ﹣8＝0，必有g （2）＝4﹣2m ﹣8＝﹣2m ﹣4≤0， 解可得：m ≥﹣2，即m 的取值范围为[﹣2，+∞）； 故答案为：[﹣2，+∞）．四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）（1）已知a ≤2，化简：√(a−2)2+√(a +3)33+(14)−12；（2）求值：3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927． 解：（1）∵a ≤2， ∴√(a −2)2+√(a +3)33+(14)−12， ＝2﹣a +a +3+2＝7；（2）3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927， =12+log 610⋅lg6+32， =12+1+32=3．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}． （1）求A ∪B ，（∁U A ）∩B ；（2）若“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，求a 的取值范围．解：（1）∵集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}∴A ∪B ＝{x |1≤x ＜8}，（∁U A ）＝{x |x ＜1或x ≥5}，（∁U A ）∩B ＝{x |5≤x ＜8}（2）∵“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}∴C ⫋A ，∴{a +3＜5a ≥1，解得1≤a ＜2，故a的取值范围是[1，2）．19．（12分）已知函数f(x)=x2−2x+ax．（1）当a＝4时，求函数f（x）在x∈（0，+∞）上的最小值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立．试求实数a的取值范围；（3）若a＞0时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．解：（1）当a＝4时，f（x）=x−2x+4x=x+4x−2，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x+4x−2≥2√x×4x−2＝2，当且仅当x=4x即x＝2时等号成立，所以f（x）的最小值为2．（2）根据题意可得x2﹣2x+a＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，等价于a＞﹣x2+2x在x∈（0，+∞）上恒成立，因为g（x）＝﹣x2+2x在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）max＝g（1）＝1，所以a＞1．（3）f（x）＝x+ax−2，设0＜x1＜x2＜√a，f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+ax1−a x2=（x1﹣x2）（1−ax1x2）=(x1−x2)(x1x2−a)x1x2，∵0＜x1＜x2＜√a，∴x1x2＜a，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，√a）单调递减，同理可证f（x）在（√a，+∞）单调递增，当0＜a≤4时，0＜√a≤2，函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（2）=a 2，当a＞4时，√a＞2，函数f（x）在[2，√a）上单调递减，在（√a，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（√a）＝2√a−2．所以f（x）min={a2(0＜a＜4)2√a−2(a＞4)．20．（12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%． 某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x （单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y （单位：元）与日加工处理量x 之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2+40x +3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．（Ⅰ）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（Ⅱ）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种． ①每日进行定额财政补贴，金额为2300元； ②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x ．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？ 解：（Ⅰ）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为yx=x 2+3200x+40，x ∈[70，100]，而x2+3200x +40≥2√x 2⋅3200x+40=2×40+40＝120，当且仅当x2=3200x，即x ＝80时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低．因为80＜100，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态．（Ⅱ）若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为y 1，y 1=100x −(12x 2+40x +3200)+2300=−12x 2+60x −900=−12(x −60)2+900， 因为x ∈[70，100]，所以当x ＝70吨时，企业获得最大利润，为850元． 若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为y 2，y 2=130x −(12x 2+40x +3200)=−12x 2+90x −3200=−12(x −90)2+850， 因为x ∈[70，100]，所以当x ＝90吨时，企业获得最大利润，为850元．结论：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润；选择方案二，当日加工处理量为90吨时，获得最大利润， 由于最大利润相同，所以选择两种方案均可．21．（12分）定义在R 上的奇函数f （x ）是单调函数，满足f （3）＝6，且f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）（x ，y ∈R ）． （1）求f （0），f （1）；（2）若对于任意x ∈[12，3]都有f （kx 2）+f （2x ﹣1）＜0成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）因为R 上的奇函数f （x ）是单调函数，满足f （3）＝6，且f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）．令x ＝y ＝0可得f （0）＝2f （0）， 所以f （0）＝0，令x ＝1，y ＝1，可得f （2）＝2f （1），令x ＝2，y ＝1可得f （3）＝f （1）+f （2）＝3f （1）＝6， 所以f （1）＝2；（2）∵f （x ）是奇函数，且f （kx 2）+f （2x ﹣1）＜0在x ∈[12，3]上恒成立， ∴f （kx 2）＜f （1﹣2x ）在x ∈[12，3]上恒成立，且f （0）＝0＜f （1）＝2； ∴f （x ）在R 上是增函数，∴kx 2＜1﹣2x 在x ∈[12，3]上恒成立， ∴k ＜(1x )2−2(1x )在x ∈[12，3]上恒成立， 令g(x)=(1x )2−2(1x )=(1x −1)2−1． 由于12≤x ≤3，∴13≤1x≤2．∴g （x ）min ＝g （1）＝﹣1，∴k ＜﹣1，即实数k 的取值范围为（﹣∞，﹣1）． 22．（12分）已知函数f （x ）＝2x −12x ，g （x ）＝（4﹣lnx ）•lnx +b （b ∈R ）． （1）若f （x ）＞0，求实数x 的取值范围；（2）若存在x 1，x 2∈[1，+∞），使得f （x 1）＝g （x 2），求实数b 的取值范围；解：（1）f（x）＞0⇔2x−12x＞0，∴2x＞2﹣x，∴x＞﹣x，即x＞0．∴实数x的取值范围为（0，+∞）．（2）设函数f（x），g（x）在区间[1，+∞）的值域分别为A，B．∵f（x）＝2x−12x在[1，+∞）上单调递增，∴A＝[32，+∞）．∵g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b＝﹣（lnx﹣2）2+b+4（b∈R）．∵x∈[1，+∞），∴lnx∈[0，+∞），∴g（x）≤b+4，依题意可得A∩B≠∅，∴b+4≥32，即b≥−32．∴实数b的取值范围为[−32，+∞）．。
湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
绝密★启用前湖南省三湘名校教育联盟2020-2021高一期中考试试题数学本试卷共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{2，3，4，6，7}，B＝{2，3，5，7}，则A∩B＝A.{2，3，5}B.{2，3，7}C.{2，3，5，7}D.{2，3，4，5，6，7}2.“a>c且b>d”是“a＋b>c＋d”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.中文“函数(function)”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中两个函数相等的是A.f(x)g(x)＝|x| B.f(x)＝x(x∈R)与g(x)＝x(x∈Z)C.f(x)＝|x|与g(x)＝x0x x0≥⎧⎨-<⎩，，D.f(x)＝x－1与g(x)＝2x1x1-+4.设a－b<0，c<0，则下列结论中正确的是A.ac2<bc2B.a2c>b2cC.11ab bc< D.c ca b>5.函数y的单调递增区间为A.(－∞，32] B.[32，＋∞) C.[32，2] D.[1，32] 6.若不等式x 2＋1>2mx 在R 上恒成立，则实数m 的取值范围是A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.(－∞，－1]∪[1，＋∞)C.[－1，1]D.(－1，1)7.已知函数f(x)＝()2x 4ax x 12a 3x 4a 5x 1⎧-+≤⎪⎨+-+>⎪⎩，，，若f(x)在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是 A.(12，1] B.[12，32] C.(12，＋∞) D.[1，2] 8.在R 上定义运算：A B ＝(A －2)·B ，若不等式(t －x)(x ＋t)<4对任意的x ∈R 恒成立，则实数t 的取值范围是A.(－3，1)B.(－1，2)C.(－1，3)D.(－∞，－1)∪(3，＋∞)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省娄底市2021-2022学年-有答案-九年级上学期期中数学试题
湖南省娄底市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题一、单选题1. 已知反比例函数y=的图象经过点(2, 3)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A.(−6, 1)B.(1, 6)C.(2, −3)D.(3, −2)2. 方程是关于的一元二次方程，则的值为()A.3B.−3C.±3D.不存在3. 若反比例函数的图象分布在二、四象限，则关于x的方程的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.只有一个实数根4. 如图，已知则添加下列一个条件后，仍无法判定的是( )A. B. C. D.5. 若2x−5y=0，且xy≠0,则()A. B. C. D.6. 已知正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，若点A(a, 4)，则点B的坐标为()A.(−1, 4)B.(1, −4)C.(4, −1)D.(−4, 1)7. 下列多边形一定相似的是( )A.两个平行四边形B.两个矩形C.两个菱形D.两个正方形8. 在函数y＝的图象上有三点A1(x1, y1)、A2(x2, y2)、A3(x3, y3)，若x1<0<x2<x3，则下列正确的是（）A.y1<0<y2<y3B.y2<y3<0<y1C.y2<y3<y1<0D.0<y2<y1<y39. 已知关于x的一元二次方程x2+mx−8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（）A.4，−2B.−4，−2C.4，2D.−4，210. 如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，F是BA延长线上一点,FD⊥BC于D,交AC于点E，则图中相似三角形共有几对()A.6对B.5对C.4对D.3对11. 如图，在宽度为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（）A.(20+x)(32−x)＝540B.(20−x)(32−x)＝100C.(20−x)(32−x)＝540D.(20+x)(32−x)＝54012. 如图，平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一个定点，点P是函数上一个动点，轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会A.先增后减B.先减后增C.逐渐减小D.逐渐增大二、填空题把一元二次方程3x(x−2)=4化为一般形式是________．双曲线在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是________已知，则 ________如图，△ABC中，DE // BC交AB于点D，交AC于点E，BD=2，AB=6，AC=9，则AE的长为________若，是一元二次方程的两根，则的值是________。
娄底市第一中学2020_2021学年高一地理上学期期中试题
湖南省娄底市第一中学2020—2021学年高一地理上学期期中试题时量：60分钟；总分：100分;一、单选题（本大题共30小题,共60.0分)1.在乡间，在晴朗的夜晚，仰望苍穹，繁星满天.这些星星基本上是（）A。
恒星B。
行星C。
卫星D。
彗星据英国《每日邮报》报道，天文学家发现一颗绕昏暗恒星运转的类地行星，距地球仅40光年．它是一个热气腾腾的“水世界”，体积是地球的6倍。
据推测，这个“水世界"同样拥有大气层,且75%的表面区域被水覆盖,但由于温度太高，它无法支持地球型生命的存在。
结合材料回答2～3题。
2. “水世界"类地行星所在的天体系统是（）A. 银河系B. 太阳系C。
河外星系 D. 地月系3。
天文学家推测“水世界”类地行星无法支持地球型生命存在的主要依据是(（）A。
该行星陆地面积狭小 B. 该行星距离恒星太近C. 该行星距离太阳太远D。
该行星不存在大气层如图所示是一款太阳灶图片。
读图回答4～5题。
4。
有关太阳辐射及其对地球的影响,叙述正确的是（）A. 太阳辐射的能量来源于太阳活动B。
干扰无线电短波通信C。
太阳辐射的电磁波对地球磁场影响明显，从而使地球上产生磁暴现象D。
太阳辐射是促进地球上水循环的主要动力5. 我国下列地区中，最适宜使用太阳灶的是（）A。
四川盆地 B. 长江中下游平原C。
东北平原D。
青藏高原2015年1月13日凌晨4时24分,太阳M处耀斑爆发,是2015年首个太阳活动(如图）。
读图完成6~7题。
6。
如图示M处的太阳活动爆发于（）A. 太阳内部B. 光球层C。
色球层 D. 日冕层7。
此太阳活动爆发对地球的可能影响是(）A. 地球沿海地带出现天文大潮B。
扰乱大气层，造成有线通信中断C。
轮船航行中指南针突然失灵 D。
南极附近地区出现多彩的极光读太阳辐射中各种波长的光所占的比例图，回答8~10题。
8。
太阳辐射分为三部分,其中A、B、C分别代表（)A. 红外光、紫外光、可见光B. 紫外光、可见光、红外光C。
湖南省娄底市新化县第一中学2022-2023学年高一上学期期末线上测试数学试题
A．
y
=
tan
æ çè
x
+
p 3
ö ÷ø
B．
y
=
cos
æ çè
2x
+
p 2
ö ÷ø
C． y = sin 2x
D． y = sin x
4．若对 " x， y > 0 都有 x + y + 2 xy £ a (2x + 3y ) 成立，则实数 a 的最小值是（ ）
A． 4 5
B．
5 6
C． 6 3
D． 5 + 2 6 12
的残余量约占原始含量的 76.7% ，试推算马王堆古墓的年代约为___________年前．
（若每克组织中的碳 14 含量为 1，1 年后残留量为 x ，碳 14 含量与死亡年份对应关系
为 年数 1 2 3 … n … n 含量 x x2 x3 … xn …
前后误差不超过 10 年， lg 2 » 0.3010 ， lg 0.767 » -0.1152 ）
分表示的集合为（ ）
A． [ -2, 3]
B． ( -2, 3)
C． (-2,3]
D． [ -2, 3)
2．已知条件 p : 2x - 4 > 0 ，条件 q : x2 - 5x + 6 < 0 ，则 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．下列函数中，最小正周期为 π，且为偶函数的是（ ）
四、解答题
{ } 17．已知集合 A = {x 3 £ x < 6} ， B = x x2 -13x + 36 < 0 .
湖南省娄底市高一数学下学期期中试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某市2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（每小题4分，每小题只有一个正确选项）1．一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为（）A．2 B．5 C．15 D．802．某校高中生共有900人，其中2014-2015学年高一年级有300人，2014-2015学年高二年级有200人，2015届高三年级有400人，现采用分层抽样方法抽取一个容量为45的样本，则2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级抽取的人数分别为（）A．10，15，20 B．15，15，15 C．20，5，20 D．15，10，203．下列给出的赋值语句中正确的是（）A．3=A B．M=﹣M C．B=A=2 D．x+y=04．把77化成四进制数的末位数字为（）A．4 B．3 C．2 D．15．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有一个白球；都是红球6．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是（）A．23与26 B．31与26 C．24与30 D．26与307．用秦九韶算法求多项式f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时，v3的值为（）A．27 B．86 C．262 D．7898．假设关于某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：x 1 2 4 5y 1 1.5 5.5 8若由资料可知y对x呈线性相关关系，则y与x的线性回归方程=bx+a必过的点是（）A．（2，2）B．（1，2）C．（3，4）D．（4，5）9．阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c分别为21，32，75，则输出的a，b，c分别是（）A．75，21，32 B．21，32，75 C．32，21，75 D．75，32，2110．在两个袋内，分别写着装有1，2，3，4，5，6六个数字的6X卡片，今从每个袋中各取一X卡片，则两数之和等于9的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分）11．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．12．已知{x1，x2，x3，…x n}的平均数为a，方差为b，则3x1+2，3x2+2，…，3x n+2的平均数是．13．如图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长．在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为．14．管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘．10天后，又从池塘内捞出50条鱼，其中有标记的有2条．根据以上数据可以估计该池塘内共有条鱼．15．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy=．三、解答题16．用辗转相除法求884与1071的最大公约数（写出过程）17．为了参加奥运会，对自行车运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度的数据如表所示：甲27 38 30 37 35 31乙33 29 38 34 28 36请判断：谁参加这项重大比赛更合适，并阐述理由．18．某校从参加2014-2015学年高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．19．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6点﹣8点之间把报纸送到你家，你每天离家去工作的时间在早上7点﹣9点之间，求你离家前不能看到报纸（称事件A）的概率是多少？20．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料：使用年限x 2 3 4 5 6维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0若由资料知y对x呈线性相关关系．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据最小二乘法求出线性回归方程=bx+a的回归系数a，b；（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？21．甲盒中有一个红色球，两个白色球，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2个，每次从中任意地取出1个球，用列表的方法列出所有可能结果，计算下列事件的概率．（1）取出的2个球都是白球；（2）取出的2个球中至少有1个白球．某某省某某市2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（每小题4分，每小题只有一个正确选项）1．一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为（）A．2 B．5 C．15 D．80考点：频率分布直方图．专题：计算题．分析：由样本容量是20，某组的频率为0.25，由此直接计算能求出该组的频数．解答：解：由题设知该组的频数：20×0.25=5．故选B．点评：本题考查频数的性质和应用，解题时要注意样本容量、频数和频率之间相互关系的灵活运用．2．某校高中生共有900人，其中2014-2015学年高一年级有300人，2014-2015学年高二年级有200人，2015届高三年级有400人，现采用分层抽样方法抽取一个容量为45的样本，则2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级抽取的人数分别为（）A．10，15，20 B．15，15，15 C．20，5，20 D．15，10，20考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数．解答：解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在2014-2015学年高一年级抽取的人数是300×=15人，2014-2015学年高二年级抽取的人数是200×=10人，2015届高三年级抽取的人数是400×==20人，故选：D．点评：本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．3．下列给出的赋值语句中正确的是（）A．3=A B．M=﹣M C．B=A=2 D．x+y=0考点：赋值语句．专题：阅读型．分析：本题根据赋值语句的定义直接进行判断．解答：解：根据题意，A：左侧为数字，故不是赋值语句B：赋值语句，把﹣M的值赋给MC：连等，不是赋值语句D：不是赋值语句，是等式，左侧为两个字母的和．点评：本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义的把握直接进行判断即可．属于基础题．4．把77化成四进制数的末位数字为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：排序问题与算法的多样性．专题：计算题．分析：利用“除k取余法”是将十进制数除以5，然后将商继续除以4，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．解答：解：∵77÷4=19 (1)19÷4=4 (3)4÷4=1 01÷4=0 (1)故77（10）=1031（4）末位数字为1．故选D．点评：本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．5．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有一个白球；都是红球考点：互斥事件与对立事件．分析：由题意知所有的实验结果为：“都是白球”，“1个白球，1个红球”，“都是红球”，再根据互斥事件的定义判断．解答：解：A、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，故A不对；B、“至少有1个红球”包含“1个白球，1个红球”和“都是红球”，故B不对；C、“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故C对；D、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是对立事件，故D不对；故选C．点评：本题考查了互斥事件和对立事件的定义的应用，一般的做法是找出每个时间包含的试验结果再进行判断，是基础题．6．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是（）A．23与26 B．31与26 C．24与30 D．26与30考点：众数、中位数、平均数；茎叶图．专题：图表型．分析：由茎叶图写出所有的数据从小到大排起，找出出现次数最多的数即为众数；找出中间的数即为中位数．解答：解：由茎叶图得到所有的数据从小到大排为：12，14，20，23，25，26，30，31，31，41，42∴众数和中位数分别为31，26故选B点评：解决茎叶图问题，关键是将图中的数列出；求数据的中位数时，中间若是两个数时，要求其平均数．7．用秦九韶算法求多项式f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时，v3的值为（）A．27 B．86 C．262 D．789考点：算法思想的历程．专题：计算题．分析：根据秦九韶算法求多项式的规则变化其形式，得出结果即可解答：解：f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x=（（（（（7x+6）x+5）x+4）x+3）x+2）x+1）x故v3=（（7x+6）x+5）x+4当x=3时，v3=（（7×3+6）×3+5）×3+4=262故选C．点评：本题考查排序问题与算法的多样性，正确理解秦九韶算法求多项式的原理是解题的关键8．假设关于某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：x 1 2 4 5y 1 1.5 5.5 8若由资料可知y对x呈线性相关关系，则y与x的线性回归方程=bx+a必过的点是（）A．（2，2）B．（1，2）C．（3，4）D．（4，5）考点：线性回归方程．专题：计算题．分析：根据所给的两组数据，做出横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，根据线性回归方程一定过样本中心点，得到线性回归直线一定过的点的坐标．解答：解：∵，==4，∴这组数据的样本中心点是（3，4）∵线性回归方程过样本中心点，∴线性回归方程一定过点（3，4）故选C点评：本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．9．阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c分别为21，32，75，则输出的a，b，c分别是（）A．75，21，32 B．21，32，75 C．32，21，75 D．75，32，21考点：设计程序框图解决实际问题．专题：操作型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是按顺序交换变量a，b，c的值．模拟程序的执行过程，易得答案．解答：解：由流程图知，a赋给x，x赋给b，所以a的值赋给b，即输出b为21，c的值赋给a，即输出a为75．b的值赋给a，即输出c为32．故输出的a，b，c的值为75，21，32故选A点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．在两个袋内，分别写着装有1，2，3，4，5，6六个数字的6X卡片，今从每个袋中各取一X卡片，则两数之和等于9的概率为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：首先计算从两个袋中各取一X卡片的取法数目，再列举其中和为9的情况，可得其数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：从两个袋中各取一X卡片，每个袋中有6X卡片，即有6种取法，则2X卡片的取法有6×6=36种，其中和为9的情况有（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），共4种情况，则两数之和等于9的概率为=，故选C．点评：本题考查等可能事件的概率的计算，解题时注意取出的卡片有顺序，即（3，6）与（6，3）是不同的取法．二、填空题（每小题4分）11．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号785，667，199，507，175（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．考点：简单随机抽样．分析：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．解答：解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916它大于800要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．故答案为：785、667、199、507、175点评：抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．12．已知{x1，x2，x3，…x n}的平均数为a，方差为b，则3x1+2，3x2+2，…，3x n+2的平均数是3a+2．考点：众数、中位数、平均数．专题：计算题．分析：根据所给的这组数据的平均数，写出求平均数的公式形式，把要求平均数的数据，代入求平均数的公式，根据上面写出的式子，得到结果．解答：解：∵x1，x2，x3，…x n的平均数为a，∴∴==3a+2∴3x1+2，3x2+2，…，3x n+2的平均数是3a+2，故答案为：3a+2点评：本题考查平均数的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．13．如图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长．在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为．考点：几何概型；扇形面积公式．分析：先令正方形的边长为a，则S正方形=a2，则扇形所在圆的半径也为a，则S扇形=，从而结合几何概型的计算公式即可求得黄豆落在阴影区域内的概率．解答：解：令正方形的边长为a，则S正方形=a2，则扇形所在圆的半径也为a，则S扇形=则黄豆落在阴影区域外的概率P=1﹣=．故答案为：．点评：本小题主要考查扇形面积公式、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．关键是要求出阴影部分的面积及正方形的面积．属于基础题．14．管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘．10天后，又从池塘内捞出50条鱼，其中有标记的有2条．根据以上数据可以估计该池塘内共有750条鱼．考点：收集数据的方法．专题：计算题．分析：由题意可得：池塘中有标记的鱼的概率为．因为池塘内具有标记的鱼一共有30条鱼，所有可以估计该池塘内共有750条鱼．解答：解：由题意可得：从池塘内捞出50条鱼，其中有标记的有2条，所有池塘中有标记的鱼的概率为：．又因为池塘内具有标记的鱼一共有30条鱼，所有可以估计该池塘内共有条鱼．故答案为750．点评：解决此类问题的关键是正确的把实际问题转化为数学问题，利用概率的知识解决问题．15．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy=96．考点：众数、中位数、平均数．分析：标准差是，则方差是2，根据方差和平均数，列出方程解出x、y的值．注意运算正确．解答：解：∵标准差是，则方差是2，平均数是10，∴（9+10+11+x+y）÷5=10 ①[1+0+1+（x﹣10）2+（y﹣10）2]=2 ②由两式可得：x=8，y=12∴xy=96，故答案为：96．点评：这个知识点是初中学过的，它和高中所学的有密切关系，区别随机变量的期望与相应数值的算术平均数．期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．三、解答题16．用辗转相除法求884与1071的最大公约数（写出过程）考点：用辗转相除计算最大公约数．专题：简易逻辑．分析：用辗转相除法求884与1071的最大公约数，写出1071=884×1+187，…34=17×2，得到两个数字的最大公约数．解答：（本题满分8分）解：1071=884×1+187，884=187×4+136，187=136×1+51，136=51×2+3451=34×1+17，34=17×2，∴884与1071的最大公约数为17．点评：本题考查辗转相除法，这是算法案例中的一种题目，本题解题的关键是解题时需要有耐心，认真计算，不要在数字运算上出错，本题是一个基础题．17．为了参加奥运会，对自行车运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度的数据如表所示：甲27 38 30 37 35 31乙33 29 38 34 28 36请判断：谁参加这项重大比赛更合适，并阐述理由．考点：众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：先做出甲和乙的速度的平均数，甲和乙的速度的平均数相同，需要再比较两组数据的方差，选方差较小运动员参加比赛比较好．解答：解：S甲=，（ 4分）S乙=，S甲＞S乙乙参加更合适点评：本题考查两组数据的平均数和方差，对于两组数据，通常要求的是这组数据的方差和平均数，用这两个特征数来表示分别表示两组数据的特征．18．某校从参加2014-2015学年高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．考点：频率分布直方图．专题：计算题；图表型．分析：（1）在频率分直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，根据频率的和等于1建立等式解之即可；（2）60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，从而求出抽样学生成绩的合格率，再利用组中值估算抽样学生的平均分即可．解答：解：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4=1﹣（0.025+0.015*2+0.01+0.005）*10=0.3（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）*10=0.75所以，抽样学生成绩的合格率是75%利用组中值估算抽样学生的平均分45•f1+55•f2+65•f3+75•f4+85•f5+95•f6=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71估计这次考试的平均分是71．点评：本题主要考查了频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．19．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6点﹣8点之间把报纸送到你家，你每天离家去工作的时间在早上7点﹣9点之间，求你离家前不能看到报纸（称事件A）的概率是多少？考点：几何概型．分析：根据题意，设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y；则（X，Y）可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件A所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案．解答：解：如图，设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y，记小王离家前不能看到报纸为事件A；则（X，Y）可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9}一个正方形区域，面积为SΩ=4，事件A所构成的区域为A={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9，X＞Y}即图中的阴影部分，面积为S A=0.5．这是一个几何概型，所以P（A）===0.125．答：小王离家前不能看到报纸的概率是0.125．点评：本题考查几何概型的计算，解题的关键在于设出X、Y，将（X，Y）以及事件A在平面直角坐标系中表示出来．20．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料：使用年限x 2 3 4 5 6维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0若由资料知y对x呈线性相关关系．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据最小二乘法求出线性回归方程=bx+a的回归系数a，b；（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？考点：线性回归方程．专题：数系的扩充和复数．分析：（1）根据表格中的数据画出散点图即可；（2）求出x与y的平均数，表示出，，求出ξ，根据=﹣ξ，计算即可得到结果；（3）把x=10代入（2）中结果计算即可得到结果．解答：解：（1）做出图象，如图所示：；（2）由上表得：==4，==5，=2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7=112.3，=22+32+42+52+62=90，∴ξ===1.23，则=﹣ξ=1.23x+0.08；（3）由（2）得：=1.23x+0.08，把x=10代入得：ξ=1.23×10+0.08=12.38，则使用年限为10年时，维修费用是大概为12.38万元．点评：此题考查了线性回归方程，弄清线性回归方程的意义是解本题的关键．21．甲盒中有一个红色球，两个白色球，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2个，每次从中任意地取出1个球，用列表的方法列出所有可能结果，计算下列事件的概率．（1）取出的2个球都是白球；（2）取出的2个球中至少有1个白球．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：用列举法列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答，比较即可．解答：解：（1）设红色球为1，两个白色球分别为2，3，列举所有等可能的结果：（1，1），（1，2），（1，3），（2，2），（2，1），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2）共9种；取出的2个球都是白球有：4种，故取出的2个球都是白球的概率为；（2）取出的2个球中至少有1个白球有：8种，故取出的2个球中至少有1个白球的概率为：．点评：列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．。
娄底市第一中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题
湖南省娄底市第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题一、单选题1．“1m ”是“方程22115y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线"的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若关于x 的不等式242x x mx-+>的解集为{}|02x x <<，则实数m 的值为（ ) A ．1- B ．1 C ．2D ．2- 3．已知,a b 为非零实数，且a b <,则下列命题一定成立的是( )A ．22ab <B ．|a ｜〈|b|C ．3223a ba b < D ．22acbc <4．已知(2,1,3)a =-，(4,1,2)a x y =-+-，若//a b ，则x y +=（ ） A ．6-B ．5-C ．4-D ．3-5．设函数()()310f x x ax a =++<,曲线()y f x =在点()(),a f a 处的切线方程为2y x b=+，则a b +=( ）A ．1-B ．1C ．2D ．46．已知数列—1， 1a ,2a ，—4成等差数列，—1，b 1,b 2，b 3，—4成等比数列，则212b a a -的值为（ ）A ．12B ．-12C ．12或-12D ．7．已知点A 是抛物线2:2(0)C xpy p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点(0,10)M 为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点,且ABO ∆为等边三角形,则P 的值是( )A ．52B ．53C ．56D ．598．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()''0f x g x f x g x ->,且()03g =,则不等式()()0f x g x <的解集是(）A ．()()3,03,-⋃+∞B ．()()3,00,3-C ．()(),33,-∞-+∞D ．()(),30,3-∞-二、多选题9．下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有( ） A ．B ．所有的正方形都是矩形C ．D ．至少有一个实数x ，使310x+=10．已知实数a 、b ，判断下列不等式中哪些一定是正确的( )A ．2a bab +≥B ．12a a+≥C ．||2a bb a+≥ D ．()()2222a b a b +≥+11．如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．不是定值C ．三棱锥11B D PC -的体积为定值D ．11DCD P ⊥12．首项为正数，公差不为0的等差数列{}na ，其前n 项和为nS ，现有下列4个命题中正确的有（ ) A ．若10S =，则280S S +=；B ．若412S S =,则使0nS>的最大的n 为15C ．若150S>，16S<,则{}nS 中8S 最大D ．若78SS <，则89SS <三、填空题13．当x 〉1时，x ＋的最小值为________14．若函数()()32'123f x f xx =-+,则()'1f 的值为 。