用脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR数字滤波器汇总
iir 数字滤波器间接设计法 名词解释
数字滤波器是一种对数字信号进行处理的工具，用于去除或减弱信号中的噪音、滤波和频率选择。
数字滤波器间接设计法是一种设计数字滤波器的方法，它通过指定滤波器的频率响应特性，然后利用一些已知的滤波器结构来实现所需的频率响应特性。
在数字滤波器间接设计法中，常用的方法包括脉冲响应不变法、双线性变换法和频率变换法等。
在数字滤波器间接设计法中，常用的方法有：1. 脉冲响应不变法：该方法是通过将模拟滤波器的脉冲响应直接映射到数字滤波器的脉冲响应来实现。
这样做的好处是保持了模拟滤波器的一些重要性质，比如稳定性和线性相位特性。
但是它也存在一些缺点，比如频率响应不稳定，因此在实际应用中需要谨慎选择。
2. 双线性变换法：该方法是通过将模拟滤波器的传输函数进行双线性变换，将其转换成数字滤波器的传输函数。
这种方法的优点是能够保持频率响应的完整性，但是也存在一些局限性，比如需要进行频率归一化，使得频率响应的曲线和模拟滤波器的曲线产生一些偏差。
3. 频率变换法：该方法是通过在频率域上对模拟滤波器进行频率变换，然后从频率域上得到数字滤波器的传输函数。
这种方法的优点是可以直观地理解模拟滤波器和数字滤波器之间的关系，但是也需要考虑到频率变换的误差，需要在设计中加以考虑。
数字滤波器间接设计法是一种常用的数字滤波器设计方法，它允许工程师根据具体的应用需求和特定的滤波器结构选择合适的设计方法。
在实际的工程应用中，需要综合考虑滤波器的性能指标、系统的实时性需求以及硬件成本等方面的因素，来选择最适合的设计方法。
通过灵活运用数字滤波器间接设计法，可以设计出性能稳定、响应准确的数字滤波器，为各种数字信号处理系统提供有效的支持。
数字滤波器是一种可以对数字信号进行处理的工具，可以用于去除或减弱信号中的噪音、滤波和频率选择。
而数字滤波器的设计方法也有很多种，其中间接设计法是一种常用的设计方法之一。
在上文中，我们已经介绍了间接设计法的一些方法，接下来我们将继续探讨数字滤波器间接设计法的特点和应用。
用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器
用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器一、实验目的1、加深对脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器基本方法的了解。
2、掌握使用模拟滤波器原型进行脉冲响应变换的方法。
3、了解MATLAB有关脉冲响应变换的子函数。
二、实验涉及的MATLAB子函数Impinvar：用脉冲响应不变法实现模拟到数字的滤波器变换。
三：实验原理1、脉冲响应不变法的基本知识脉冲响应不变法又称为冲击响应不变法，是将系统从s平面到z平面的一种映射方法，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲击响应h s(n)。
其变换关系式为z=e sT。
用MATLAB冲击响应不变法进行IIR数字滤波器设计的步骤如下：输入给定的数字滤波器设计指标；根据公式Ω= /T，将数字滤波器指标转换成模拟滤波器设计指标；确定模拟滤波器的最小阶数和截止频率；计算模拟低通原型滤波器的系统传递函数；利用模拟域频率变换法，求解实际模拟滤波器的系统传递函数；用脉冲响应不变法将模拟滤波器转换为数字滤波器。
2、用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器3、用脉冲响应不变法设计IIR数字带通滤波器4、观察脉冲响应不变现象和混叠现象由于脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器，因此，高频区幅频特性不等于零的高通和带阻滤波器不能采用脉冲响应不变法。
四、实验内容采用脉冲响应不变法设计一个椭圆数字带通滤波器，要求：ωp1=π，ωp2=π，Rp=1dB；阻带ωs1=π，ωs2=π，A s=15dB，滤波器采样频率Fs=2000Hz。
试显示数字滤波器的幅频特性和零极点分布图，并写出该系统的传递函数。
实验步骤1、打开MATLAB软件，选择“File/New”创建一个新的文件；2、按照以下方式进行编程：将上述程序在MATLAB中运行，并对实验结果进行分析。
六、实验结果实验结果如下图所示：。
实验三 IIR数字滤波器设计及实现
实验三 IIR 数字滤波器设计及实现一、实验目的（1）熟悉用脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR 数字滤波器的原理与方法；（2）学会调用MATLAB 信号处理工具箱中滤波器设计函数设计IIR 数字滤波器，学会根据滤波需求确定滤波器指标参数。
二、实验原理设计IIR 数字滤波器一般采用脉冲响应不变法和双线性变换法。
1. 脉冲响应不变法的变换原理与步骤从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应模仿模拟滤波器的冲击响应，即h (n )是h a (t )的采样值。
设T 为采样周期，变换过程：如果模拟滤波器的系统函数只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数，用脉冲响应不变法求数字滤波器的系统函数有简便方法：将 H a (s ) 展成部分分式的并联形式，再利用下述变换公式直接写出 H (z )2. 双线性变换法的变换原理和步骤 （1）保证s 平面压缩到s 1平面的宽为2π/T 的横带内（2）保证低频部分基本对应根据要求，确定数字滤波器指标。
如是模拟频率临界点，则要先转变)()()()(z H n h t h s H ZT nT t a ILT a −→−−−→−−→−=1111)( )(-==-=⇒-=∑∑z eTA z H s s A s H T s k N k k k N k a k )2tan()2tan(1ωC T C =Ω=ΩTC T C T C 2 2)2tan(11=Ω⋅≈Ω⋅=Ω成数字频率，以便预畸变处理。
将数字指标转换成与Ha (s )对应的模拟性能指标。
设计模拟滤波器的系统函数Ha (s ) 。
将映射关系代入Ha (s )中得数字滤波器系统函数H (z ) 。
由于数字滤波器传输函数只与频域的相对值有关，故在设计时可先将滤波器设计指标进行归一化处理。
设采样频率为Fs ，归一化频率的计算公式是：2/)()/(Fs Hz Fs s rad 实际模拟频率实际数字频率实际模拟角频率归一化频率==⨯=ππ利用典型法设计数字滤波器的步骤：1、将设计指标归一化处理。
实验二. R数字滤波器的设计
实验二 IIR数字滤波器的设计1、实验目的学会用MATLAB设计IIR数字滤波器。
2、实验原理IIR数字滤波器的设计（1）脉冲响应不变法变换原理脉冲响应不变法将模拟滤波器的s平面转换成数字滤波器的z平面，从而将模拟滤波器映射成数字滤波器。
IIR滤波器的系统函数为(或z)的有理式，即，且一般满足MN（2）双线性变换法变换原理为克服脉冲响应不变法产生频率响应的混叠失真，可以采用非线性频率压缩方法，使s平面与z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，这就是双线性变换法。
3、实验内容问题〔2.1〕试设计一个模拟低通滤波器，fp=2400Hz，fs=5000 Hz，Rp=3 dB，Rs=25 dB。
分别用巴特沃斯和椭圆滤波器原型，求出其3dB 截止频率和滤波器阶数，传递函数，并作出幅频、相频特性曲线。
程序：（巴特沃斯滤波器）f_p=2400; f_s=5000; R_p=3; R_s=25; % 设计要求指标[n, fn]=buttord(f_p,f_s,R_p,R_s, 's'); % 计算阶数和截止频率Wn=2*pi*fn; % 转换为角频率[b,a]=butter(n, Wn, 's'); % 计算H(s)f=0:100:10000; % 计算频率点和频率范围s=j*2*pi*f; % s=jw=j*2*pi*fH_s=polyval(b,s)./polyval(a,s); % 计算相应频率点处H(s)的值figure(1);subplot(2,1,1); plot(f, 20*log10(abs(H_s))); % 幅频特性axis([0 10000 -40 1]);xlabel('频率 Hz');ylabel('幅度 dB');subplot(2,1,2); plot(f, angle(H_s)); % 相频特性xlabel('频率 Hz');ylabel('相角 rad');figure(2); freqs(b,a); % 也可用指令freqs直接画出H(s)的频率响应曲线。
脉冲响应不变法设计iir数字滤波器
脉冲响应不变法设计iir数字滤波器以脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器引言：数字滤波器是数字信号处理中的重要组成部分，用于处理和改变数字信号的频率特性。
脉冲响应不变法（Impulse Invariance Method）是一种常用的IIR数字滤波器设计方法，其基本原理是通过将连续时间域中的模拟滤波器的脉冲响应与采样脉冲响应进行匹配，从而实现滤波器的设计。
一、脉冲响应不变法基本原理脉冲响应不变法的基本原理是将连续时间域中的模拟滤波器的脉冲响应与离散时间域中的数字滤波器的脉冲响应进行匹配。
在这种方法中，首先需要确定模拟滤波器的脉冲响应，然后通过采样得到数字滤波器的脉冲响应，最后将其离散化得到数字滤波器的差分方程。
二、脉冲响应不变法的设计步骤1. 确定模拟滤波器的脉冲响应：选择适当的模拟滤波器类型，并设计其频率响应。
根据滤波器的阶数和截止频率，确定模拟滤波器的差分方程。
2. 采样得到数字滤波器的脉冲响应：通过将连续时间域中的模拟滤波器的脉冲响应与采样脉冲进行卷积，得到数字滤波器的脉冲响应。
3. 离散化得到数字滤波器的差分方程：将数字滤波器的脉冲响应离散化，得到数字滤波器的差分方程。
根据差分方程，可以计算数字滤波器的各个系数。
三、脉冲响应不变法的优缺点脉冲响应不变法具有以下优点：1. 设计方法简单：通过匹配模拟滤波器和数字滤波器的脉冲响应，可以直接得到数字滤波器的差分方程，设计方法相对简单。
2. 精度较高：脉冲响应不变法可以保持模拟滤波器的频率响应特性，因此可以实现较高的滤波器精度。
3. 适用范围广：脉冲响应不变法适用于各种模拟滤波器类型和滤波器规格的设计。
然而，脉冲响应不变法也存在一些缺点：1. 频率响应失真：由于采样过程中的截断和抽样误差，脉冲响应不变法可能导致数字滤波器的频率响应失真。
2. 高阶滤波器设计困难：对于高阶滤波器的设计，脉冲响应不变法可能会导致数字滤波器的稳定性问题和数值计算问题。
四、脉冲响应不变法的应用领域脉冲响应不变法广泛应用于数字信号处理领域，特别是在音频信号处理、图像处理和通信系统中的滤波器设计中。
脉冲响应不变法设计iir数字滤波器
脉冲响应不变法设计iir数字滤波器以脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器引言：数字滤波器在信号处理领域起着重要的作用，而设计滤波器的方法也有很多种。
其中一种常用的方法是脉冲响应不变法（Impulse Invariance Method），它是一种将模拟滤波器转化为数字滤波器的方法。
本文将介绍脉冲响应不变法的基本原理和步骤，并以一个实例进行说明。
一、脉冲响应不变法的基本原理脉冲响应不变法的基本原理是通过保持模拟滤波器和数字滤波器的单位脉冲响应相等，来实现滤波器的转换。
具体而言，将模拟滤波器的单位脉冲响应与采样脉冲序列进行卷积，得到数字滤波器的单位脉冲响应。
这样可以保持滤波器的频率响应特性在一定程度上保持一致。
二、脉冲响应不变法的步骤1. 确定模拟滤波器的传递函数H(s)，并将其转化为零极点形式。
2. 对传递函数进行低通化处理，即将其映射到单位圆内部，以避免数字化后的频率混叠。
3. 进行离散化处理，即将连续时间变为离散时间。
这里常用的方法是将模拟滤波器的传递函数中的s替换为z，其中z为复平面上的离散点。
4. 对离散化后的传递函数进行归一化处理，确保单位圆上频率为π的点的模为1。
5. 对归一化后的传递函数进行因子化，消除传递函数中的公共因子。
6. 根据因子化后的传递函数，可以得到数字滤波器的差分方程，即数字滤波器的单位脉冲响应。
三、实例分析为了更好地理解脉冲响应不变法的应用，我们以一个二阶低通滤波器为例进行分析。
假设模拟滤波器的传递函数为H(s)，经过前述步骤转化为数字滤波器的差分方程为：y[n] = b0*x[n] + b1*x[n-1] + b2*x[n-2] - a1*y[n-1] - a2*y[n-2]其中，b0、b1、b2为数字滤波器的前馈系数，a1、a2为数字滤波器的反馈系数。
根据传递函数的零极点分解，我们可以得到数字滤波器的差分方程的系数。
具体计算步骤如下：1. 求解传递函数的零点和极点，得到模拟滤波器的零极点分解形式。
DSP用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器
2
3) 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的 频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应 的频率之间成线性关系。
3
传输函数从 s平面转换到 z平面的方法
1) 脉冲响应不变法 2)双线性变换法
4
一 脉冲响应不变法
核心原理：
通过对连续函数 ha (t) 等间隔采样得到 离散序列 ha (nT)
其中 h(n) ha (nT)
17
优缺点分析
优点
1）频率坐标变换是线性的，即，ω=ΩT
故这种方法会很好地重现原模拟滤波器的频 率特性； 2) 脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲 响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也 就是时域逼近良好.
Hale Waihona Puke 18缺点：有频率响应的混叠效应。 所以， 脉冲 响应不变法只适用于带限的模拟滤波器(例如， 衰减特性很好的低通或带通滤波器)，不适合 高通和带阻滤波器的设计。
率 ，因此标准映射关系的周期性会造成
T
混叠失真。
15
图6.3.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象
16
说明
1）脉冲响应不变法设计的数字滤波器可以很
好地重现原模拟滤波器的频响；
2）数字滤波器频率响应幅度还与采样间隔T
成反比，如果采样频率很高，即T很小，数字 滤波器可能具有太高的增益，这是不希望的。 3）一般Ha(s)的极点si是一个复数，且以共轭 成对的形式出现，这一点可用来简化设计。
19
§6.4 双线性变换法
20
引言
脉冲响应不变法
缺点：容易产生频域混叠
原因：模拟低通的最高截止频率超过了折叠
频率
T
.
改进措施: 采用非线性频率压缩方法，将整个频率
IIR数字滤波器设计及实现
实验三IIR数字滤波器设计及实现一、实验目的(1)熟悉用脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR数字滤波器的原理与方法；(2)学会调用MATLAB信号处理工具箱中滤波器设计函数设计IIR数字滤波器，学会根据滤波需求确定滤波器指标参数。
二、实验原理设计IIR数字滤波器一般采用脉冲响应不变法和双线性变换法。
脉冲响应不变法：根据设计指标求出滤波器确定最小阶数N和截止频率Wc；计算相应的模拟滤波器系统函数；将模拟滤波器系统函数:'转换成数字滤波器系统函数双线性变换法：根据数字低通技术指标得到滤波器的阶数N；取合适的T值，几遍校正计算相应模低通的技术指标--；根据阶数N查表的到归一化低通原型系统函数。
,将"' Q 代入。
‘去归一化得到实际的,/ ：' ；用双线性变换法将：’转换成数字滤波器三、实验内容及步骤1、用脉冲响应不变法设计(1)根据设计指标求出滤波器确定最小阶数N和截止频率Wcclear;close all;clc; % 开始准备fp=3400;fs=5000;Fs=22050;Rp=2;Rs=20;T=1/Fs; % T=1s 的模拟滤波器设计指标W1p=fp/Fs*2; W1s=fs/Fs*2; % 求归一化频率[N, Wn] = buttord(W1p, W1s, Rp, Rs, 's'; % 确定 butterworth 的最小阶数 N 和频率参数Wn 得到结果为:N 二7Wn 二 0.3266 即：该设计指标下的模拟滤波器最小阶数为N=7,其截至频率为Wn =0.3266；(2)计算相应的模拟滤波器系统函数打:, clear;close all;clc; % 开始准备fp=3400;fs=5000;Fs=22050;Rp=2;Rs=20;T=1/Fs; % T=1s 的模拟滤波器设计指标W1p=fp/Fs*2; W1s=fs/Fs*2; % 求归一化频率[N, Wn] = buttord(W1p, W1s, Rp, Rs, 's'; % 确定 butterworth 的最小阶数 N 和频率参数 Wn[B,A]=butter(N,1,'s' %计算相应的模拟滤波器系统函数得到结果为： B = 1.0e-003 * 0 00 0 0 0 0 0.3966 A =1.0000 1.4678 1.0773 0.5084 0.1661 0.0375 0.0055 0.0004 >>(3)将模拟滤波器系统函数转换成数字滤波器系统函数 clear;close all;clc; % 开始准备fp=3400;fs=5000;Fs=22050;Rp=2;Rs=20;T=1/Fs; % T=1s 的模拟滤波器设计指标W1p=fp/Fs*2; W1s=fs/Fs*2; % 求归一化频率[N, Wn] = buttord(W1p, W1s, Rp, Rs, 's'; % 确定 butterworth 的最小阶数 N 和频率参数Wn[B,A]=butter(N,1,'s' ； %计算相应的模拟滤波器系统函数 [Bz,Az]=impinvar(B,A %用脉冲相应不变法将模拟滤波器转换成数字滤波器 sys=tf(Bz,Az,T； %得到传输函数‘‘‘‘‘ Bz =1.0e-004 *-0.0000 0.0045 0.2045 0.8747 0.7094 0.1090 0.0016 0Az =1.0000 -5.5415 13.2850 -17.8428 14.4878 -7.1069 1.9491 -0.2304>>>>即：由Bz和Az可以写出数字滤波器系统函数为：Transfer function:-9.992e-015 z~7 + 4.454e-007 z~6 + 2.045e-005 z~5 + 8.747e-005 z~4 + 7.094e-005 z"3 + 1.09e-005 z~2+ 1.561e-007 z z 7 - 5.541 z 6 + 13.28 z 5 - 17.84 z 4 + 14.49 z 3 - 7.107 z 2 + 1.949 z - 0.2304Sampling time: 4.5351e-005>>(4)绘图clear;close all;clc; % 开始准备fp=3400;fs=5000;Fs=22050;Rp=2;Rs=20;T=1/Fs; % T=1s 的模拟滤波器设计指标W1p=fp/Fs*2; W1s=fs/Fs*2; % 求归一化频率[N, Wn] = buttord(W1p, W1s, Rp, Rs, 's'; % 确定butterworth 的最小阶数N 和频率参数Wn[B,A]=butter(N,Wn,'s'; %计算相应的模拟滤波器系统函数[Bz,Az]=impinvar(B,A; %用脉冲响应不变法将模拟滤波器转换成数字滤波器sys=tf(Bz,Az,T；%得到传输函数‘ [H,W]=freqz(Bz,Az,512,Fs; % 生成频率响应参数plot(W,20*log10(abs(H; % 绘制幅频响应grid on; %加坐标网格得到结果为：观察实验结果图可看到：在频率为3402Hz处频率为衰减2.015db,在频率为5017Hz处幅度衰减21.36db。
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吉林建筑大学电气与电子信息工程学院数字信号处理课程设计报告设计题目：IIR数字滤波器的设计专业班级：信工111学生姓名：**学号：********指导教师：高晓红王超设计时间：2014.01.06－2014.01.10目录一、设计目的 (1)二、设计内容 (1)三、设计原理 (1)3.1 数字低通滤波器的设计原理 (1)3.2 变换方法的原理 (2)四、设计步骤 (8)五、数字低通滤波器 MATLAB 编程及幅频特性曲线 (10)5.1 MATLAB语言编程 (10)5.2 幅频特性曲线 (12)六、总结 (13)七、参考文献 (13)一、设计目的课程设计是理论学习的延伸，是掌握所学知识的一种重要手段，对于贯彻理论联系实际、提高学习质量、塑造自身能力等于有特殊作用。
本次课程设计一方面通过MATLAB仿真设计内容，使我们加深对理论知识的理解，同时增强其逻辑思维能力，另一方面对课堂所学理论知识作一个总结和补充。
二、设计内容已知通带截止频率fp =0.2kHz,通带最大衰减αp=1dB,阻带截止频率f s =0.3kHz，阻带最小衰减αs=25dB，T=1ms，按照以上技术要求，用脉冲响应不变法和双线性变换法设计巴特沃斯数字低通滤波器，并观察所设计数字滤波器的幅频特性曲线。
三、设计原理3.1 数字低通滤波器的设计原理滤波器是自动控制、信号处理和通信领域的重要组成部分,广泛地应用于各种系统中。
数字滤波器是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。
与模拟滤波器相比具有很多突出的优点，例如它可以满足滤波器对幅度和相位特性的严格要求，可以避免模拟滤波器所无法克服的电压漂移和噪声问题。
设计数字滤波器，首先要按一定规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标。
根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器G(s)，再按一定的规则将G(s)转换成H(z)。
若是高通、带通或带阻数字滤波器则将它们的技术指标先转化为低通模拟滤波器的技术指标，然后设计出低通G(s)，再将G(s)转换为所需的H(z)将系统函数Ha(s)从s平面转换到z平面的方法有多种，但工程上常用的是脉冲响应不变法和双线性变换法。
这两种方法有着各自的优缺点，在设计巴特沃斯数字低通滤波器时需要根据相应要求或想要达成的效果从中选择。
3.2 变换方法的原理脉冲响应不变法原理：Ha(s) 拉氏逆变换 ha(t) 等间隔采样 ha(nT)=h(n) Z 变换 H(z)脉冲响应不变法是一种将模拟滤波器转化为数字滤波器的基本方法。
它利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可从不同的角度出发。
脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n) 模仿模拟滤波器的冲击响应ha(t), 使h(n)正好等于ha(t)的采样值，即)()(nT h n h a =T 为采样周期。
利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可从不同的角度出发。
脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n) 模仿模拟滤波器的冲击响应ha(t), 使h(n)正好等于ha(t)的采样值，即)()(nT h n h a =T 为采样周期。
如以Ha(s)及H （z ）分别表示ha(t)的拉氏变换及h(n)的z 变换，即)]([)(t h L s H a a =)]([)(n h Z z H =则根据采样序列z 变换与模拟信号拉氏变换的关系，得:上式表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完成的S 平面到Z 平面的变换，正是以前讨论的拉氏变换到Z 变换的标准变换关系，即首先对Ha(s)作周期延拓，然后再经过z=e st 的映射关系映射到Z 平面上。
z=e st 的映射关系表明，S 平面上每一条宽为2π/T 的横带部分，都将重叠地映射到Z 平面的整个全部平面上。
每一横带的左半部分映射到Z 平面单位圆以内，每一横带的右半部分映射到Z 平面单位圆以外，jΩ轴映射在单位圆上，但jΩ轴上的每一段2π/T 都对应于绕单位圆一周，如图1所示。
图1 脉冲响应不变法的映射关系应当指出，z=e st 的映射关系反映的是Ha(s)的周期延拓与H （z ）的关系，而不是Ha(s)本身与H （z ）的关系，因此，使用脉冲响应不变法时，从Ha(s)到H(z)并没有一个由S 平面到Z 平面的简单代数映射关系，即没有一个s=f(z)的代数关系式。
另外，数字滤波器的频响也不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓，周期为Ωs =2π/T=2πf s ，即∑∑∞-∞=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∞=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+Ω=m a m a j T m j H T T m j j H T e H πωπω2121)(如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率Ωs /2以内，即0)(=Ωj H a |Ω|≥π/T这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响)(1)(Tj H T e H a j ωω= |ω|＜π 但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即混淆，这时，数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。
模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。
虽然脉冲响应不变法能保证S 平面与Z 平面的极点位置有一一对应的代数关系，但这并不是说整个S 平面与Z 平面就存在这种一一对应的关系，特别是数字滤波器的零点位置与S 平面上的零点就没有一一对应关系，而是随着Ha(s)的极点si 与系数Ai 的不同而不同。
H(ejω) 是Ha(jΩ)的周期延拓（周期为f s ），因Ha(jΩ)并不是带限，即在超过f s 频率部分并不为0，所以就产生了混迭。
当为低通或带通滤波器时，f s 越大，则Ha(jΩ)的下一周期相隔越远，混迭也就越小。
当为带阻或高通滤波器时，Ha(jΩ)在超过f s /2频率部分全为通带，这样就不满足抽样定理，发生了完全的混迭，所以脉冲响应不变法不能设计带阻或高通滤波器。
双线性变换法原理：脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。
这是因为从S 平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。
为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T ～π/T 之间，再用z e st=转换到Z 平面上。
也就是说，第一步先将整个S 平面压缩映射到S1平面的-π/T ～π/T 一条横带里；第二步再通过标准变换关系1z e s t =将此横带变换到整个Z 平面上去。
这样就使S 平面与Z 平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图2所示。
图2双线性变换的映射关系为了将S 平面的整个虚轴j Ω压缩到S1平面j Ω1轴上的-π/T 到π/T 段上，可以通过以下的正切变换实现 ⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=Ω2tan 21T T （1） 式中,T 仍是采样间隔。
当Ω1由-π/T 经过0变化到π/T 时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个j Ω轴。
将式（1）写成 2/2/2/2/11112T j T j T j T j e e e e T j ΩΩΩΩ+-=Ω将此关系解析延拓到整个S 平面和S1平面，令j Ω=s ，j Ω1=s1，则得 T T s s T j T j T j T j e e T T s T e e e e T s 1111111122tan 2212/2/2/2/+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-=ΩΩΩΩ再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z 平面z=e s1T ，从而得到S 平面和Z 平面的单值映射关系为： 11112--+-=z z T s （2）s T s T T s T z -+=-+=222121 （3）式（2）与式（3）是S 平面与Z 平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换。
式（1）与式（2）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。
首先,把z=e j Ω，可得 Ω=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-=--j T j e e T s j j 2tan 2112ωωω （4） 即S 平面的虚轴映射到Z 平面的单位圆。
其次，将s=σ+j Ω代入式（4），得因此由此看出，当σ<0时，|z|<1；当σ>0时，|z|>1。
也就是说，S 平面的左半平面映射到Z 平面的单位圆内，S 平面的右半平面映射到Z 平面的单位圆外，S 平面的虚轴映射到Z 平面的单位圆上。
因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。
双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。
这是因为S 平面与Z 平面是单值的一一对应关系。
S 平面整个j Ω轴单值地对应于Z 平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。
这个关系如式（4）所示，重写如下：上式表明，S平面上Ω与Z平面的ω成非线性的正切关系，如图3所示。
由图3看出，在零频率附近，模拟角频率Ω与数字频率ω之间的变换关系接近于线性关系；但当Ω进一步增加时，ω增长得越来越慢，最后当Ω→∞时，ω终止在折叠频率ω=π处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。
但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，如前边式（4）及图3所示。
图3双线性变换法的频率变换关系由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。
首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；还有一点，就是这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图4所示。
图4双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。
也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。
由于双线性变换法获得的数字滤波器频率响应特性中不会出现混叠现象，因此可以适用于高通、带通和带阻滤波器的设计。
四、设计步骤脉冲响应不变法设计IIR 数字低通滤波器步骤：（1）将数字滤波器设计指标转换为相应的模拟滤波器指标。