2020年四川省成都外国语学校高一(上)期中数学试卷

高一（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={1,2，4}，B={x|x2−4x+m=0}，若A∩B={1}，则B=()A. {1,−3}B. {1,0}C. {1,3}D. {1,5}2.函数f(x)=log121x+1的图象大致是()A. B.C. D.3.函数f(x)=lnx+13x−2的零点所在区间为()A. (2,e)B. (3,4)C. (e,3)D. (1,2)4.一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲．乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)，给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确的论断是()A. ①B. ①②C. ①③D. ①②③5.已知x=1og35,y=1og52,z=3−12，则下列关系正确的是()A. x>y>zB. y>x>zC. z>y>xD. x>z>y6. 函数f(x)=x 2−(32)x 的零点的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 方程4x 2+(m −2)x +m −5=0的一根在区间(−1,0)内，另一根在区间(0,2)内，则m 的取值范围是( )A. (53,5)B. (−73,5) C. (−∞,53)∪(5,+∞)D. (−∞,53)8. 若数f(x)=ln(√1+4x 2+2x)+3，且f(log a 2019)=5，则f(log a 12019)=( )A. −5B. 4C. 3D. 19. 已知函数f(x)=|log 2x|，(x ≤2)，若a ≠b ，且f(a)=f(b)，则a +b 的取值范围是( )A. (1,52]B. (2,52]C. (2,+∞)D. [1,2]10. 已知max{a,b}表示a ，b 两数中的最大值，若f(x)=max{e |x|,e |x+2|}，则f(x)的最小值为( )A. eB. 1C. e 2D. 211. 给出下列命题，其中正确的命题的个数( )①函数y =log 12(x 2−2x +3)图象恒在x 轴的下方； ②将y =2x 的图象经过先关于y 轴对称，再向右平移1个单位的变化后为y =21−x 的图象；③若函数f(x)=log 2(x 2−2ax +1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是(−1,1)； ④函数f(x)=e x 的图象关于y =x 对称的函数解析式为y =lnx ．A. 1B. 2C. 3D. 412. 若函数f(x)=log 9(9x +1)−x2，则使不等式f(x)−m ≤0有解时，实数m 的最小值为( )A. 0B. −log 32C. log 32D. log 3√2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数y =log a (2x −5)−1恒过定点的坐标为______． 14. 若f(2x −1)=x 5+2x ，则f(−3)=______．15. 若函数f(x)=m−2xn+2x+1是奇函数．则实数m +n =______．16. 已知函数f(x)={x 3,x ≤a8log a x,x >a若存在实数x 1，x 2，且x 1≠x 2使得函数f(x 1)=f(x 2)成立，则实数a 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知全集U =R ，集合A ={x|2x +a >0}，集合B 是f(x)=√log 12(2x +1)的定义域．(Ⅰ)当a =2时，求集合A ∩B ；(Ⅱ)若B ∩(∁U A)=B ，求实数a 的取值范围．18. 求下列各式的值(Ⅰ)(214)−12−3[(1−√2)2]12+log (2+√3)(√3−2)2+√32+log 32；(Ⅱ)已知a 12+a −12=3，求a 32+a−32a 2+a −2值．19. 设函数g(x)=3x ，ℎ(x)=9x ．(Ⅰ)解关于x 的方程ℎ(x)−11g(x)+2ℎ(1)=0；(Ⅱ)令F(x)=g(x)+√3，求F(12020)+F(22020)+⋯+F(20182020)+F(20192020)的值．20.已知函数f(x)=x−m2+2m+2(m∈Z)为偶函数，且f(3)>f(2)．(Ⅰ)求m的值，并确定f(x)的解析式；(Ⅱ)若g(x)=log a[f(x)−ax+5](a>0，且a≠1)，是否存在实数a，使得g(x)在区间[1,2]上为减函数．21.已知f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若对于任意的a，b∈[−1,1]且a+b≠0，有f(a)+f(b)>0恒成立．a+b(Ⅰ)判断f(x)在[−1,1]上的单调性，并证明你的结论；(Ⅱ)若函数F(x)=f[a⋅2x+4x]+1有零点，求实数a的取值范围．22.已知函数f(x)=a2x+t(a>0,a≠1)是奇函数．a x(Ⅰ)求实数t的值；−a恒成立，求实数k取值(Ⅱ)若f(1)<0，对任意x∈[0,1]有f(2x2−kx−k)>1a范围；(Ⅲ)设g(x)=log m[a2x+a−2x−mf(x)],(m>0,m≠1)，若f(1)=3，问是否存2在实数m使函数g(x)在[1,log23]上的最大值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集及元素与集合的关系，属于基础题．由交集的定义，可得1∈A且1∈B，代入一元二次方程，求得m，再解方程可得集合B．【解答】解：因为集合A={1,2，4}，B={x|x2−4x+m=0}，若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1−4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，此时符合A∩B={1}．故选C．2.【答案】D【解析】解：由1x+1>0得x+1>0得x>−1，即函数的定义域为(−1,+∞)，排除A，B，当x=1时，f(1)=log1212=1>0，排除C，故选：D．先求出函数的定义域，结合函数值的对应性进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用定义域和函数值的对应性结合排除法是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=lnx+13x−2是x>0时的连续增函数，函数f(e)=1+13e−2<0，f(3)=ln3+1−2>0，f(e)⋅f(3)<0，∴函数f(x)=lnx+13x−2的零点所在区间为(e,3)；故选：C．判断函数的连续性，通过求解f(e)，f(3)的值，利用零点判断定理，从而得出结论．本题考察了函数的零点问题，函数零点判断定理的应用，本题是一道基础题．4.【答案】A【解析】解：由甲，乙图得进水速度1，出水速度2，结合丙图中直线的斜率解答∴只进水不出水时，蓄水量增加是2，故①对；∴不进水只出水时，蓄水量减少是2，故②不对；∴二个进水一个出水时，蓄水量减少也是0，故③不对；只有①满足题意．故选A．由甲，乙图得进水速度1，出水速度2，图中直线的斜率即为蓄水量的变化率，比如，0点到3点时的蓄水量的变化率为2.根据进水出水的情况，结合丙图中直线的斜率解答．数形结合是解决此题的关键，本题容易错选成①③，其实二个进水一个出水时，蓄水量减少也是0，这是个动态中的零增量．5.【答案】D【解析】解：∵x=log35>1，y=log52<log5√5=12，1>z=3−12=1√3=√33>12，∴x>z>y．故选：D．利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质分别比较x，y，z与1与12的大小得答案．本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．6.【答案】C【解析】解：函数f(x)=x2−(32)x的零点的个数为x2−(32)x=0的解的个数，也就是y=x2，与y=(32)x交点的个数，两个函数的图象如图：交点有3个．故选：C．函数的零点个数转化为两个函数的图象交点的个数，利用数形结合求解即可．本题考查函数的零点个数的判断，数形结合的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7.【答案】B【解析】解：∵方程4x 2+(m −2)x +m −5=0的一根在区间(−1,0)内，另一根在区间(0,2)内，∴函数f(x)=4x 2+(m −2)x +m −5的两个零点一个在区间(−1,0)内，另一个在区间(0,2)内，则{f(−1)=4−(m −2)+m −5>0f(0)=m −5<0f(2)=16+2(m −2)+m −5>0，解得−73<m <5．∴m 的取值范围是(−73,5)． 故选：B ．由题意可得函数f(x)=4x 2+(m −2)x +m −5的两个零点一个在区间(−1,0)内，另一个在区间(0,2)内，由此可得关于m 的不等式组求解．本题考查一元二次方程根的分布，考查函数零点与方程根的关系，是中档题．8.【答案】D【解析】解：令g(x)=f(x)−3，则g(x)+g(−x)=ln(√1+4x 2+2x)+ln(√1+4x 2−2x)， =ln(1+4x 2−4x 2)=0， ∴g(−x)=−g(x)，∴f(−x)−3=−f(x)+3，即f(x)+f(−x)=6， ∵f(log a 2019)=5，则f(log a 12019)=f(−log a 2019)=6−f(log a 2019)=1． 故选：D ．令g(x)=f(x)−3，则g(x)+g(−x)=0，进而可得f(x)+f(−x)=6，代入即可求解． 本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是通过奇函数g(x)寻求发现f(−x)与f(x)的关系．9.【答案】B【解析】解：因为f(a)=f(b)，所以|log 2a|=|log 2b|，不妨设0<a <b ，则0<a <1<b ≤2，∴log 2a =−log 2b ，log 2a +log 2b =0，∴log 2(ab)=0， ∴ab =1，又a >0，b >0，且a ≠b ， ∴(a +b)2>4ab =4， ∴a +b >2，a +b =b +1b ，因为函数y =x +1x ，x ∈(1,2]是增函数，函数的最大值为：f(2)=52，所以a +b ≤52， 所以a +b ∈(2,52]． 故选：B ．由已知条件a ≠b ，不妨令a <b ，又y =log 2x 是一个增函数，且f(a)=f(b)，故可得，0<a <1<b ≤2，则log 2a =−log 2b ，再化简整理即可求解．本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，根据条件a >0，b >0，且a ≠b 可以利用重要不等式(a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时取等号)列出关系式(a +b)2>4ab =4，以及函数的单调性的最值的求法，是中档题．10.【答案】A【解析】解：由于f(x)=max{e |x|,e|x+2|}={e |x+2|,x ≥−1e |x|,x <−1当x ≥−1时，f(x)≥e ，且当x =−1时，取得最小值e ； 当x <−1时，f(x)>e 故f(x)的最小值为f(−1)=e 故选：A ．化简函数的解析式，讨论x 的取值范围，由指数函数的单调性，可得最小值． 本题需要先根据定义，写出函数f(x)解析式，最后求最值，属于新定义题11.【答案】C【解析】解：对于①，因为x 2−2x +3=(x −1)2+2>2，根据对数性质可知log 12(x 2−2x +3)<log 122=−1，所以对应函数的图象恒在x 轴的下方，故①对；对于②，函数y =2x 图象关于y 轴对称后得到的函数解析式为y =(12)x =2−x ，向右移动一个单位后得到y =2−(x−1)=21−x ，故②对；对于③，若函数值域为R，令f(x)=x2−2ax+1，则可得f(x)可以取所有的正数，∴△= 4a2−4≥0∴a≥1或a≤−1，故③错；对于④，令y=x，得x=e y，所以y=lnx，故④对；综上正确的个数为3个，故选：C．对于①，这是一个复合函数，可判断出x2−2x+3>2，再结合对数函数的单调性可得图象；对于②，利用对称和平移的基本结论可得移动后图象；对于③，因为值域为R，所以x2−2ax+1取遍所有的正数，所以△=4a2−4≥0，解出a的取值范围即可；对于④，交换x，y位置即可得新函数解析式．本题考查命题真假性判断，涉及基本初等函数的图象及性质，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：∵3x>0，∴函数f(x)=log9(9x+1)−x2=log9(9x+1)−log99x2=log9(32x+1)−log93x=log9(3x+13x )≥log92√3x⋅13x=log92=log3√2，当且仅当3x=13x即x=0时上式取等号，f(x)min=log3√2要使不等式f(x)−m≤0有解，则f(x)min≤m，∴log3√2≤m故实数m的最小值为log3√2．故选：D．利用对数的有关法则和基本不等式对函数f(x)=log9(9x+1)−x2进行整理化简，求出函数的最小值，要使不等式f(x)−m≤0有解，等价于f(x)min≤m，从而求出实数m的最小值．本题考查了对数的运算法则、基本不等式，考查了不等式有解的解法，以及学生的运算化简能力，属于中档题．13.【答案】(3,−1)【解析】解：由2x −5=1得2x =6，x =3，此时y =log a 1−1=0−1=−1， 即函数过定点(3,−1)， 故答案为：(3,−1)，根据对数函数的性质，令2x −5=1，求出x ，y 的值即可．本题主要考查对数函数过定点的性质，利用1的对数恒等于0是解决本题的关键．比较基础．14.【答案】−12【解析】解：∵f(2x −1)=x 5+2x ，∴f(−3)=f[2×(−1)−1]=(−1)5+2−1=−12．故答案为：−12．由f(2x −1)=x 5+2x ，f(−3)=f[2×(−1)−1]，能求出f(−3)的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】3或−3【解析】解：根据题意，函数f(x)=m−2x n+2x+1是奇函数，则f(−x)=−f(x)，即m−2−xn+2=m⋅2x −1n⋅2+2=−(m−2x n+2)，则有{m =1n =2或{m =−1n =−2．故m +n =3或−3； 故答案为：3或−3．根据题意，由奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，即m−2−x n+2−x+1=m⋅2x −1n⋅2x +2=−(m−2x n+2x+1)，分析可得m 、n 的值，相加即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意奇函数的定义，属于基础题．16.【答案】0<a <1或a >2【解析】解：若a>1，则当x≤a时，f(x)=x3≤a3，当x>a时，f(x)=8log a x>8log a a=8，若存在实数x1，x2，且x1≠x2使得函数f(x1)=f(x2)成立，则a3>8，此时a>2，若0<a<1，x≤a时，f(x)=x3≤a3，当x>a时，f(x)=8log a x<8log a a=8，此时存在实数x1，x2，且x1≠x2使得函数f(x1)=f(x2)恒成立，综上0<a<1或a>2，故答案为：0<a<1或a>2结合三次函数以及对数函数的单调性，转化为分段函数的最值关系，进行转化求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合分段函数的表达式，利用分类讨论以及数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．17.【答案】解：(Ⅰ)∵全集U=R，集合A={x|2x+a>0}={x|x>−a2}，集合B是f(x)=√log12(2x+1)的定义域．∴B={x|{2x+1>00<2x+1≤1}={x|−12<x≤0}.当a=2时，A={x|x>−1}，∴集合A∩B={x|−12<x≤0}.(Ⅱ)集合A={x|2x+a>0}={x|x>−a2}，B={x|−12<x≤0}，∴C U A={x|x≤−a2}，∵B∩(∁U A)=B，∴C U A⊇B，∴−a2≥0，解得a≤0．∴实数a的取值范围是(−∞,0]．【解析】(Ⅰ)分别求出集合A，B，由此能求出集合A∩B．(Ⅱ)集合A={x|2x+a>0}={x|x>−a2}，B={x|−12<x≤0}.从而C U A={x|x≤−a2}，由B∩(∁U A)=B，得C U A⊇B，由此能求出实数a的取值范围．本题考查交集、补集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】(Ⅰ)(214)−12−3[(1−√2)2]12+log(2+√3)(√3−2)2+√32+log32=[(32)2]−12−3(√2−1)+log(2+√3)(2+√3)−2+3⋅√3log32=23−3√2+3−2+3√2=53；(Ⅱ)由a12+a−12=3，得a+2+a−1=9，∴a+a−1=7，则a2+2+a−2=49，∴a2+a−2=47．a32+a−32=(a12+a−12)(a+a−1−1)=18，∴a 32+a−32a2+a−2=1847．【解析】(Ⅰ)直接利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质化简求值；(Ⅱ)由已知分别求得a32+a−32与a2+a−2的值，则答案可求．本题考查有理指数幂的运算性质，考查对数的运算性质，是基础的计算题．19.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，函数g(x)=3x，ℎ(x)=9x，即9x−11×3x+18=0，设t=3x，则有t2−11t+18=0，解可得：t=2或t=9，若3x=2，则x=log32，若3x=9，则x=2，故方程的解为2和log32；(Ⅱ)根据题意，F(x)=g(x)+√3=x3x+√3，则F(1−x)=1−x31−x+√3=√3√3+3x，则F(x)+F(1−x)=1，故F(12020)+F(22020)+⋯+F(20182020)+F(20192020)=F(12020)+F(20192020)+F(22020)+F(20182020)+⋯…=1009.5．【解析】(1)根据题意，原方程即9x−11×3x+18=0，设t=3x，由换元法可得t2−11t+18=0，解可得t的值，进而可得x的值，即可得答案；(2)根据题意，由函数的解析式可得F(1−x)的值，进而可得F(x)+F(1−x)=1，据此分析可得答案．本题考查函数值的计算，涉及指数幂的计算，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)由函数f(x)=x−m2+2m+2(m∈Z)，且f(3)>f(2)．则函数f(x)=x−m2+2m+2(m∈Z)在(0,+∞)上单调递增，∴−m2+2m+2>0，即m2−2m−2<0，∴1−√3<m<1+√3，又m∈Z，∴m=0或1或2，当m=0时，−m2+2m+2=2；当m=1时，−m2+2m+2=3；当m=2时，−m2+2m+2=2；又函数f(x)=x−m2+2m+2(m∈Z)为偶函数，−m2+2m+2必为偶数，∴当m=0或2时，f(x)=x2；故m=0或2，f(x)的解析式为f(x)=x2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)=log a[x2−ax+5](a>0，且a≠1)，设y=log a u，u(x)=x2−ax+5，x∈[1,2]当0<a<1时，y=log a u为减函数，只有u(x)=x2−ax+5在[1,2]为增函数时，且u(1)>0时，g(x)在区间[1,2]上为减函数．∴{0<a<1a2≤1u(1)=1−a+5>0，∴0<a<1．当a>1时，y=log a u为增函数，只有u(x)=x2−ax+5在[1,2]为减函数时，且u(2)>0时，g(x)在区间[1,2]上为减函数．∴{a>1a2≥2u(2)=4−2a+5>0，∴4≤a<92．综上，当0<a<1或4≤a<92时，g(x)在区间[1,2]上为减函数．故存在实数a ∈(0,1)∪[4，92)，使得g(x)在区间[1,2]上为减函数．【解析】(Ⅰ)由题知，∴−m 2+2m +2>0且−m 2+2m +2必为偶数，确定m 的值，求出f(x)的解析式；(Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)=log a [x 2−ax +5](a >0，且a ≠1)，由复合函数单调性，据a 的值分类讨论使得g(x)在区间[1,2]上为减函数时a 成立的条件．本题考查了幂函数的性质，考查了函数的奇偶性的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，考查了计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，f(x)在[−1,1]上为增函数，证明如下：f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)， 设−1≤x 1<x 2≤1，则f(x 1)−f(x 2)=f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2(x 1−x 2)=f(x 1)+f(−x 2)x 1+(−x 2)(x 1−x 2)<0，则函数f(x)在[−1,1]上为增函数，(Ⅱ)根据题意，若函数F(x)=f[a ⋅2x +4x ]+1有零点，即f[a ⋅2x +4x ]=−1有解， 又由f(x)为奇函数且f(1)=1，则f(−1)=−1，f(x)在[−1,1]上为增函数，则a ⋅2x +4x =−1，即4x +a ⋅2x +1=0①有解， 设t =2x ，则①等价于t 2+at +1=0有正根，则有{a 2≥4−a >0，解可得a ≤−2，即a 的取值范围为(−∞,−2]．【解析】(Ⅰ)根据题意，设−1≤x 1<x 2≤1，则f(x 1)−f(x 2)=f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2(x 1−x 2)，结合函数的奇偶性分析可得结论；(Ⅱ)根据题意，原问题转化为f[a ⋅2x +4x ]=−1有解，结合函数的奇偶性与单调性分析可得4x +a ⋅2x +1=0有解，设t =2x ，由换元法结合一元二次函数的性质分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数与方程的关系，属于综合题． 22.【答案】解：(Ⅰ)f(x)为奇函数，则f(0)=0，a 0+t a 0=0， 则t =−1；(Ⅱ)由f(1)<0，有f(1)=a 2−1a<0，得0<a <1；则f(x)=a 2x −1a x=a x −1a x在R 上单调递减；任意x ∈[0,1]有f(2x 2−kx −k)>1a −a 恒成立；即任意x ∈[0,1]有f(2x 2−kx −k)>1a −a =f(−1)恒成立； 所以2x 2−kx −k <−1在x ∈[0,1]上恒成立； 即k >2x 2+1x+1=2(x 2−1)+3x+1=2(x +1)+3x+1−4∵当时，2(x +1)+3x+1−4≤32 所以实数k 取值范围k >32；(Ⅲ)由f(1)=32，得a =2，假设存在满足条件的m ，g(x)=log m [22x +2−2x −m(2x −2x )]=log m [(2x −2−x )−m(2x −2−x )+2] 设t =2x −2−x ，t ∈[32,83] 设ℎ(t)=t 2−mt +2，当0<m <1 时，y =log m ℎ(t)是单调递减函数， ∵函数ℎ(t)=t 2−mt +2，在t ∈[32,83] 有最小值1； ∵对称轴方程为t =m2 <12；函数在t ∈[32,83] 上单调递增， ∴ℎ(t)min =ℎ(32)=174−32m =1，解得：m =136(不满足，舍去)当m >1时，ℎ(t)>0在[32,83]上恒成立，且最大值为1； 所以函数ℎ(t)=t 2−mt +2，在t ∈[32,83] 有最大值为1； ∵对称轴方程为：t =m2， 当m2<2512 时，即m <256，当t =83 时，有ℎ(t)最大值； ∴ℎ(83)=829−8m 3=1，即m =7324；∵m 2=7348∈[32,83]，当t =7348时，ℎ(t)取得最小值ℎ(7348)<0，所以此时不满足条件； 当m2≥2512时，即m ≥256，ℎ(t)在t =32 时取得最大值； 即ℎ(32)=174−3m 2=1，则m =136(不符合条件)故不存在正实数m ，满足条件．【解析】(Ⅰ)利用奇函数的性质，f(0)=0，即可求出t的值；(Ⅱ)由f(1)<0，得0<a<1，f(x)单调递减，有f(2x2−kx−k)>1a−a=f(−1)，利用单调性脱去函数符号，再分离参数求解；(Ⅲ)由f(1)=32，得a=2，设t=2x−2−x，t∈[32,83]，设ℎ(t)=t2−mt+2，然后对m进行分类讨论；本题考察函数奇偶性的性质，恒成立问题，函数最值，二次函数再闭区间上的最值，恒成立问题一般选用参变量分离法，最值法，数形结合法求解．属于难题．。