多元线性回归课件
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财经-财务会计专业计量经济学-第四章多元线性回归分析课件
两变量回归决定系数的公式
ei2
R 2 1
i
Yi Y 2
i
调整的决定系数
R 2 1 n 1 1 R2 1 n 1
n K 1
n K 1
ei2
i
Yi Y 2
i
10
第四节 统计推断和预测
一、参数估计量的标准化和误差方差估计 二、统计推断和检验 三、预测
11
一、参数估计量的标准化
13
（一）单个参数的置信区间
给定置信度要求，下面的不等式应该成立：
tk
bk k
2
XX
1 k 1,k 1
t 2
因此参数 k 置信度为 1 的置信区
间（或称区间估计）为：
bk t 2
S2
XX
1 k 1,k 1
k
bk
t 2
S2
XX
1 k 1,k 1
14
（二）参数的显著性
第4章
多元线性回归分析
1
第一节 多元线性回归模型 第二节 多元线性参数估计 第三节 参数估计量的性质 第四节 回归拟合度评价和决定系数 第五节 统计推断和预测
2
第一节 多元线性回归模型
一、模型的建立 二、模型的假设 三、多元线性回归模型的矩阵表示
3
一、模型的建立
模型形式
Y 0 1X1 K X K K 2
解释变量都是确定性的而非随机变量， 而且解释变量之间不存在线性关系
i 服从正态分布
5
第二节 多元线性回归参数估计
一、最小二乘估计 二、最小二乘估计的向量、矩阵形式 三、最大似然估计 四、投资函数模型参数估计
6
一、最小二乘估计
样本回归方程
第三章多元线性回归-PPT课件
ˆ b ˆ x b ˆ x ... b ˆ x yb 0 1 1 2 2 k k
四、拟合优度
与简单线性回归一样，可以定义 2 总平方和： TSS yi y i 2 ˆ RSS y y 解释（回归）平方和： i
ˆi 残差平方和： ESS yi y i 并有：TSS=RSS+ESS
2 ESS n k 1 n 1 (1 R ) 2 R 1 1 TSS n 1 n k 1
注意：R方虽然属于0～1，但调整R方的值却可能是负的。 调整R方为负表明是一个很差的拟合模型。
如：R2=0.1,n=51,k=10,验证一下调整R方=？ 其他例子见3.1和3.2
xik
i 1
y
i
多元回归的解释
ˆ b ˆ x b ˆ x ... b ˆ x , 因此 ˆb y 0 1 1 2 2 k k ˆ x b ˆ x ... b ˆ x , ˆ b y
1 1 2 2 k k
所以，如果保持 x2 ,..., xk 固定不变， ˆ x 也就是说每个 b 都具有 ˆ b 意味着y
min
i 1
ˆ b ˆ x ...b ˆ x yi b 0 1 i1 k ik
2
y
i i 1 i1
FOC：
i
ˆ b ˆ x ...b ˆ x =0 b 0 1 i1 k ik
i
x y
......
ˆ b ˆ x ...b ˆ x =0 b 0 1 i1 k ik ˆ b ˆ x ...b ˆ x =0 b 0 1 i1 k ik
第三章
第3章 多元线性回归模型 《计量经济学》PPT课件
于是：
βˆ
ˆ1 ˆ 2
0.7226 0.0003
0.0003 1.35E 07
15674 39648400
01.0737.71072
⃟ 正规方程组 的另一种写法
对于正规方程组 XY XXβˆ
XXβˆ Xe XXβˆ
于是 Xe 0 (*)
或
ei 0
(**)
X jiei 0
i
(*) 或（ ** ）是多元线性回归模型正规方程 组的另一种写法。
第三章 经典单方程计量经济学模型： 多元线性回归模型
• 多元线性回归模型 • 多元线性回归模型的参数估计 • 多元线性回归模型的统计检验 • 多元线性回归模型的预测 • 回归模型的其他形式
§ 3. 1 多元线性回归模型
一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定
一、多元线性回归模型
多元线性回归模型 : 表现在线性回归模型 中的解释变量有多个。
的秩 =k+1 ，即 X 满秩。
假设 2. 随机误差项零均值，同方差。
0
0
0
E
(μ
μ
)
E
1
n
1
n
E
12
n 1
1 n
2 n
var(1 ) cov(1, n ) 2 0
2I
cov(
n
,
1
)
var(n )
0
2
i E(i )
βˆ (xx)1 xY
ˆ0 Y ˆ1 X 1 ˆk X k
⃟ 随机误差项的方差的无偏估计
可以证明，随机误差项的方差的无偏 估计量为：
ˆ 2
ei2 n k 1
ee n k 1
多元线性回归分析课件优秀课件
根着据自s变y.x量1x2的…x增p大加小而判减断少方，程但优当劣增时加的一优些点无：统一计般学随 意义的自变量后，剩余标准差反而增大。 根据复相关系数R来判断，但只反映密切程度，不 反应方向
根据sy.x1x2…xp大小判断方程优劣时的优点： 一般随着自变量的增加而减少，但当增加 一些无统计学意义的自变量后，剩余标准 差反而增大。
(normality) 4.方差齐性(homogeneity or equal variance)
简称为LINE
PAN.sav数据库是某地29名13岁男童的体重x (kg) 和肺 活量y(L)资料，试建立体重与肺活量的直线回归方程。
SPSS程序：Analyze Regression Linear，打开对 话框，把肺活量y放入应变量栏中，体重x放入自变 量栏中。
2
1.538 15.642
Res idual 2.557
26
.098
T otal 5.634
28
a.Predictors: (Constant), 身 高 , 体 重
b.Dependent Variable: 肺 活 量
Sig. .000a
衡量回归方程的标准
建立回归方程时要求：既要尽可能提高拟合 的精度，又要尽可能使模型简单。 常用的衡量方程“优劣”的标准有：
1、决定系数（R2）； 2、复相关系数R 3、调整决定系数（R2adj）； 4、剩余标准差（sy.x1x2…xp）。 5、赤池信息准则（AIC） 6、Cp统计量
根据R2大小判断方程优劣时的缺点是：变量最多 的方程最好，即使所增加的变量无统计学意义。
根学意据意义R义的2a的 变dj 变 量大量 进小进 入判入方断方程方程，程，优R2劣aRd2j时反adj的而增优减加点少；：。当当无有统统计计学
根据sy.x1x2…xp大小判断方程优劣时的优点： 一般随着自变量的增加而减少，但当增加 一些无统计学意义的自变量后，剩余标准 差反而增大。
(normality) 4.方差齐性(homogeneity or equal variance)
简称为LINE
PAN.sav数据库是某地29名13岁男童的体重x (kg) 和肺 活量y(L)资料，试建立体重与肺活量的直线回归方程。
SPSS程序：Analyze Regression Linear，打开对 话框，把肺活量y放入应变量栏中，体重x放入自变 量栏中。
2
1.538 15.642
Res idual 2.557
26
.098
T otal 5.634
28
a.Predictors: (Constant), 身 高 , 体 重
b.Dependent Variable: 肺 活 量
Sig. .000a
衡量回归方程的标准
建立回归方程时要求：既要尽可能提高拟合 的精度，又要尽可能使模型简单。 常用的衡量方程“优劣”的标准有：
1、决定系数（R2）； 2、复相关系数R 3、调整决定系数（R2adj）； 4、剩余标准差（sy.x1x2…xp）。 5、赤池信息准则（AIC） 6、Cp统计量
根据R2大小判断方程优劣时的缺点是：变量最多 的方程最好，即使所增加的变量无统计学意义。
根学意据意义R义的2a的 变dj 变 量大量 进小进 入判入方断方程方程，程，优R2劣aRd2j时反adj的而增优减加点少；：。当当无有统统计计学
多元线性回归课件
多元线性回归课件
在这个多元线性回归课件中，我们将详细介绍多元线性回归的概念、应用场 景以及模型训练和评估方法。一起来探索多元线性回归的奥秘吧！
什么是多元线性回归
多元线性回归是一种统计模型，用于分析多个自变量与因变量之间的关系。它可以帮助我们理解多个因素对目 标变量的影响，并进行预测和解释。
为什么要使用多元线性回归
2
特征选择
选择对目标变量有显著影响的特征，减少冗余信息，提高模型的解释能力。
3
数据分割
将数据集划分为训练集和测试集，用于模型的训练和评估。
模型训练
模型建立
选择适当的多元线性 回归模型，确定自变 量的权重系数。
损失函数
选择合适的损失函数， 衡量模型的预测误差。
梯度下降算法
使用梯度下降算法优 化模型参数，逐步减 小损失函数。
医学研究
多元线性回归可以帮助分析疾病风险因素，进行 疾病预防和治疗方案的制定。
市场营销
多元线性回归可以预测产品销量，帮助制定营销 策略和定价策略。
社会科学
多元线性回归可以帮助研究社会行为、心理因素 等对人群群体影响的相关规律。
数据预处理
1
数据清洗
通过处理缺失值、异常值和重复值等，确保数据的准确性和完整性。
正规方程法
使用正规方程法求解 模型参数，避免迭代 优化算法。
模型评估
1
均方误差
2
衡量模型对目标变量的预测精度，越小
越好。
3
R2 分数
4
衡量模型对目标变量变异性的解释能力， 越接近1越好。
平均绝对误差
衡量模型对目标变量的预测误差，越小 越好。
均方根误差
衡量模型对目标变量的预测准确度，越 小越好。
在这个多元线性回归课件中，我们将详细介绍多元线性回归的概念、应用场 景以及模型训练和评估方法。一起来探索多元线性回归的奥秘吧！
什么是多元线性回归
多元线性回归是一种统计模型，用于分析多个自变量与因变量之间的关系。它可以帮助我们理解多个因素对目 标变量的影响，并进行预测和解释。
为什么要使用多元线性回归
2
特征选择
选择对目标变量有显著影响的特征，减少冗余信息，提高模型的解释能力。
3
数据分割
将数据集划分为训练集和测试集，用于模型的训练和评估。
模型训练
模型建立
选择适当的多元线性 回归模型，确定自变 量的权重系数。
损失函数
选择合适的损失函数， 衡量模型的预测误差。
梯度下降算法
使用梯度下降算法优 化模型参数，逐步减 小损失函数。
医学研究
多元线性回归可以帮助分析疾病风险因素，进行 疾病预防和治疗方案的制定。
市场营销
多元线性回归可以预测产品销量，帮助制定营销 策略和定价策略。
社会科学
多元线性回归可以帮助研究社会行为、心理因素 等对人群群体影响的相关规律。
数据预处理
1
数据清洗
通过处理缺失值、异常值和重复值等，确保数据的准确性和完整性。
正规方程法
使用正规方程法求解 模型参数，避免迭代 优化算法。
模型评估
1
均方误差
2
衡量模型对目标变量的预测精度，越小
越好。
3
R2 分数
4
衡量模型对目标变量变异性的解释能力， 越接近1越好。
平均绝对误差
衡量模型对目标变量的预测误差，越小 越好。
均方根误差
衡量模型对目标变量的预测准确度，越 小越好。
11多元(重)线性回归精品PPT课件
编号
收缩压 年龄
(ID)
Y
X1
17
145
49
18
142
46
19
135
57
20
142
56
21
150
56
22
144
58
23
137
53
24
132
50
25
149
54
26
132
48
27
120
43
28
126
43
29
161
63
30
170
63
31
152
62
32
164
65
吸烟
X2
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0
多元（重）线性回归
例子
人的体重与身高、胸围 血压值与年龄、性别、劳动强度、饮食习惯、
吸烟状况、家族史 糖尿病人的血糖与胰岛素、糖化血红蛋白、
血清总胆固醇、甘油三脂 射频治疗仪定向治疗脑肿瘤过程中，脑皮质
的毁损半径与辐射的温度、与照射的时间
32例40岁以上男性的年龄、吸烟、 体 重指数与收缩压
0.7967
Adj R-Sq （校正决定系数） 0.7749
Dependent Mean 应变量Y 的均值＝144.43750
剩余标准差（ Root MSE ）
S Y|12...p (YYˆ)2 /(np1)
SS残（np1） MS残 46.044886.78564
反映了回归方程的精度，其值越小说明回归效果越好
2. 逐步选择法
1. 前进法（forward selection） 2. 后退法（backward elimination） 3. 逐步回归法（stepwise regression）
《多元线性回归》课件
案例三：销售预测
总结词
利用多元线性回归模型预测未来销售情况，为企业制定 生产和销售计划提供依据。
详细描述
选取影响销售业绩的因素，如市场需求、竞争状况、产 品定价等，建立多元线性回归模型。通过分析历史销售 数据，预测未来销售趋势。在实际应用中，需要考虑市 场变化和不确定性因素，对模型进行动态调整和优化。
市场分析
在市场营销领域，多元线性回归可用于分析消费 者行为、市场趋势等，为企业制定营销策略提供 支持。
多元线性回归的基本假设
线性关系
自变量与因变量之间存在线性 关系，即随着自变量的增加或 减少，因变量也按一定比例变
化。
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性 ，即自变量之间没有高度的相 多元线性回归的 案例分析
案例一：股票价格预测
总结词
通过分析历史股票数据，利用多元线性回归 模型预测未来股票价格走势。
详细描述
选取多个影响股票价格的因素，如公司财务 指标、宏观经济指标、市场情绪等，建立多 元线性回归模型。通过训练数据拟合模型， 并使用测试数据评估模型的预测精度。在实 际应用中，需要考虑市场变化、政策影响等
特点
多元线性回归具有简单易用、可解释性强等优点，适用于探 索多个变量之间的相互关系，并能够提供可靠的预测结果。
多元线性回归的应用场景
1 2 3
经济预测
通过对多个经济指标进行多元线性回归分析，可 以预测未来的经济走势，为政策制定提供依据。
医学研究
在医学领域，多元线性回归常用于研究疾病发生 与多个风险因素之间的关系，为疾病预防和治疗 提供参考。
用于检验自变量与因变量之间是否存在线性关系。常用的方法包括散点图、趋 势线等。如果数据点在散点图上呈现一条直线，或者趋势线与水平线接近平行 ，则可以认为自变量与因变量之间存在线性关系。
《多元线性回归分析》PPT课件
的线性关系而使因变量Y 变异减小的部分；
SS回归 b1l1Y b2l2Y bmlmY biliy
SS剩余 表示剩余平方和，说明除自变量外，其它随机因素
对 Y 变异的影响。 SS剩余 SS总 SS回归
整理ppt
14
各变量的离差矩阵
b1 0.1424 ， b2 0.3515 ， b3 0.2706 ， b4 0.6382
Y 的误差平方和Q (Y Yˆ)2 为最小值
的一组回归系数b1 ,b2 ,bm 值。
求回归系数 b1 ,b2 ,bm 的方法
是求解正规方程组（normal equations）：
b1l11 b2l12 bml1m l1y
b1l21
b2l22
bml2m
l2y
b1lm1 b2lm2 bmlmm lmy
整理ppt
28
2.决定系数
决定系数（coefficient of determination）表示回归平 方和占总平方和的比例，反映各自变量对因变量回 归贡献的大小，用 R2 表示。 R2 SS回归
SS总
R2 无单位，取值在 0~1 之间。值越大，说明回归平 方和在总平方和中所占的比重越大，剩余平方和所占 比例越小，回归效果越好。
partial
regression
coefficient）。标准偏回归系数
b
' i
与
注 意
偏回归系数之间的关系为：
b
' i
=
bi
lii l yy
= bi
si sy
标准偏回归系数绝对值的大小，可用以衡量自变量对
因变量贡献的大小，即说明各自变量在多元回归方程
中的重要性。
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B
X Y
l1y
，
lty
其中： l jy n (xij x j )( yi y) , j 1,2,,t 。 i 1
h
13
l11 .l21
l12 .l22
. .. .
l1t l2t .
记 ： L .. .. . .. .. .
. .. . ..
lt1
.. .. ..
ltt
L1
l2 y
lty
ˆ1
l1y
即： ˆ 0
y
，
ˆ2
L1
l
2y
ˆt
lty
h
15
由此可得 ˆ1,, ˆt 为下列方程的解：
ll2111ˆˆ11
ltt ˆ1
l1t ˆt l1y l2t ˆt l2 y
ltt ˆt lty
ˆ0 y ˆ1 x1 ˆt xt
xi xi 2
B X Y
yi xi yi
C A1 n(
1 xi 2
nx
2
)
xi 2 nx
nx n
1 nlxx
xi 2 nx
nx n
故：
ˆ
CB
1 nlxx
xi 2 nx
nx n
ny xi
yi
y ˆ1x
lxy / lxx
h
10
例2.2 下面的模型称为t 元中心化线性回归模型：
从上述性质可知，残差向量的各分量之间一般也是相关的。
并且当为正态时， e ~ N (0, (1 H ) 2 )
h
19
性质三 Cov(e, ˆ ) 0
证明：
Cov(e, ˆ ) Cov((1 H )Y , ( X X )1 X Y )
构矩阵， 为随机误差向量， I n 为单位矩阵。显然，由假
设可知：
Y ~ N ( X , 2 I n )
h
4
§2.2 参数的最小二乘估计
和一元线性回归一样，仍采用最小二乘法去估计参数
0 , 1,, t 。令：
n
Q( ) ( yi 0 1xi1 t xit )2 i 1
(Y X ) '(Y X )
l11 l12 . . l1t l 21 l 22 . . l 2t
L1 . . . . .
. . . . .
l
t1
lt2
. .
l tt
则
( X X )1
C
A1
1
n 0
0 L1h
14
ˆ
ˆ 0 ˆ1
ˆty
y
l1y
yi
0
1(xi1 x1) t (xit 各iiid ~ N(0,2)
xt )i
i
1,2,, n
写出模型相应的矩阵X,Y, A, B,C ，并求出模型参数的最小二
乘估计。
h
11
记：
y1
0
Y
y2
yn
1
t
则模型可写为
1
X
1
1
x11 x1 x21 x1
xn1 x1
h
17
下面几个性质除性质 6 之外，对随机误差假定
E 0 ， Var 2In 。 性质一 ˆ 是 的线性无偏估计，且Varˆ 2 ( X X )1 证明：因 ˆ ( X X )1 X Y 是Y 的线性函数，故为线性估计。 又： Eˆ ( X X )1 X EY ( X X )1 X X ，即： ˆ 为 的
h
6
为了方便,我们定义:
A X X 为正规方程组的系数矩阵，为 (t 1) 阶方阵；
B X Y 为正规方程的常数项矩阵，为 t 1 维向量矩阵；
C A1 ( X X )1 为相关矩阵，为 (t 1) 阶方阵。
h
7
例 2.1 用矩阵形式写出如下一元线性回 归 模型：
yi 0 1xi i i ~ i.i.d ~ N (0, 2 )
x1t x2t
xt xt
xnt xt
1
2
n
Y X ~ N (0, 2 I n )
h
12
n 0 0
A
X
X
0
l11
l1t
，
0 lt1
ltt
其中： lkj l jk
n
(xij x j )( xik xk ) ,
j, k 1,2,,t
。
i 1
ny
则各 的 LS 估计 ˆ ，满足
Q(ˆ ) = min Q( ) mh in(Y X ) '(Y X ) 5
根据微积分原理，
Q
|
ˆ
X
'Y
X
'Y
(X
'
X
X
'
X
)ˆ
0
整理可得正规方程组：
X ' X ˆ X 'Y
当 ( X X )1 存在时， 的最小二乘估计为：
ˆ ( X X )1 X Y
,n
h
2
为了方便起见，多元回归分析常采用矩阵形式来表示，并通过
矩阵的性质来研究参数及其他性质。记:
y1
Y
y2
yn
0
1
t
1
Y
1
1
x11 x21
xn1
x1t x2t
xnt
1
2
n
h
3
则模型可表示为
Y X ~ N (0, 2 I n )
称Y 为随机变量的观测向量， 为未知参数向量，X 为结
i 1,2,, n
并 用 矩 阵 形 式 求 出 0 , 1 的 最 小 二 乘 估 计 。
h
8
解：记：
y1
Y
y2
yn
0 1
1 x1
X
1
x2
1 xn
1
2
n
则可记为:
Y X ~ N (0, 2 I n )
,并 且 有 ：
h
9
A X X
n xi
无偏估计。
Varˆ ( X X )1 X DYX ( X X ) 2 ( X X )1
h
18
性质二 Ee 0 , Vare 2 (1 H )
证明：由于 e (1 H )Y ,故有：
Ee (1 H )EY (1 H )X 0 Vare (1 H )VarY (1 H ) 2 (1 H ) 2 (1 H )
第二章
多元线性回归
h
1
§2.1多元线性回归模型
为了研究 y 与 x1, , xt 之间的关系，首先必须收集 n 组独立
观测数据,
(xi1,, xit , yi ) ， i 1,2,, n
并假定它们之间有如下关系式：
yi
0 1xi1 t xit i
i 1, 2,
各i相互独立且同分布服从N (0, 2 )
例子，见 p38-41
h
16
参数估计的性质
记：Yˆ Xˆ X ( X X )1 X Y ˆ HY
为拟合向量。其中：H X ( X X )1 X 为方阵，其元素记为
{hij } ，显然， H 是对称并且幂等矩阵。
e Y Yˆ (I H )Y 为残差向量。
SSE (Y Yˆ)(Y Yˆ) Y (I H )Y 为残差平方和。