高一数学期末考试压轴题
【压轴卷】高一数学下期末试卷(附答案)
【压轴卷】高一数学下期末试卷(附答案)一、选择题1．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．1B ．4C ．1或4D ．2或42．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-4．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，当0x ≥时，函数()()210216()122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[]()2()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．51,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．1111,,2448⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．11,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 5．已知函数21(1)()2(1)a x x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-6．函数2ln ||y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知二项式2(*)nx n N⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14 B ．14-C ．240D ．240-9．若tan()24πα+=，则sin cos sin cos αααα-=+（ ）A ．12B ．2C ．2-D ．12-10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UB ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++= D ．()()22114x y +++=12．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ）A ．7a =，3b =，30B =oB ．6b =，c =，45B =oC ．10a =，15b =，120A =oD ．6b =，c =60C =o二、填空题13．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若22nn n S a =-，则n S =__________．14．在ABC △ 中，若22a b -= ，sin C B = ，则A 等于__________． 15．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ． 16．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,,9}a b ∈L .若||1a b -…，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______. 17．()()()()()1tan11tan 21tan31tan 441tan 45︒︒︒︒︒+++++L =__________．18．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．19．已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)20．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________.三、解答题21．已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=．（1）求角A 的大小；（2）若23,4a b c =+=，求ABC ∆的面积． 22．投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设表示前n 年的纯利润总和（前年总收入-前年的总支出 -投资额72万元）（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？（Ⅱ）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值. 23．已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，21n n a S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，38522a a a +=+． （1）求n a ； （2）设数列1{}n S 的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 25．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式，并写出()f x 的最小正周期；(2)令()1π212g x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若在[]0,x π∈内，方程()()212320a g x ag x ⎡⎤-+-=⎣⎦有且仅有两解，求a 的取值范围.26．已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g(x)＝log 44•23xa a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则121282l r S lr +===，， ∴解得28r l ==， 或44r l ==，41lrα==或， 故选C ．2．B解析：B 【解析】 【分析】计算函数()y f x =的表达式，对比图像得到答案. 【详解】 根据题意知：cos cos OM OP x x ==M 到直线OP 的距离为：sin cos sin OM x x x = 1()cos sin sin 22f x x x x ==对应图像为B故答案选B 【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.3．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.4．B解析：B 【解析】 【分析】作出函数()y f x =的图像，设()f x t =，从而可化条件为方程20t at b ++=有两个根，利用数形结合可得114t =，2104t <<，根据韦达定理即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由题意，作出函数()y f x =的图像如下，由图像可得，10()(2)4f x f ≤≤=Q 关于x 的方程[]()2()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，设()f x t =，20t at b ∴++=有两个根，不妨设为12,t t ；且114t =，2104t << 又12a t t -=+Q11,24a ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.5．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．6．A解析：A 【解析】 【分析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。
【压轴题】高一数学下期末试卷含答案
解析：2
【解析】
抛物线的准线为 ，与圆相切，则 ， ．
17．【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数
解析：
A． B． C． D．
5．若 均为锐角， ， ，则
A． B． C． 或 D．
6．已知 的前 项和 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A．20B．10C．30D．60
8．已知 ，若存在三个不同实数 ， ， 使得 ，则 的取值范围是（）
A．(0,1)B．[-2,0)C． D．（0,1）
解析：3
【解析】
【分析】
【详解】
故答案为3.
【点评】
本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义，利用向量的数量积转化是解决本题的关键，
三、解答题
21．a＜0时，不等式的解集是（ ，1）；
a＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）；
解析：
【解析】
【分析】
由题意将 代入 进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m的范围．
【详解】
由题意知两个正数x，y满足 ，
则 ，当 时取等号；
的最小值是 ，
不等式 恒成立， ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．
【分析】
画出函数图像，根据图像得到 ， ，得到答案.
【压轴题】高一数学下期末试题(附答案)
【压轴题】高一数学下期末试题(附答案)一、选择题1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2B ．3C ．2D ．32．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5B ．7C ．9D ．113．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元4．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．25．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A cB b=，7sin 4B =，574ABC S =△，则b =（ ） A ．23B ．27C ．15D ．146．已知集合 ，则A ．B ．C ．D ．7．已知01a b <<<，则下列不等式不成立．．．的是 A ．11()()22ab>B ．ln ln a b >C ．11a b> D ．11ln ln a b>8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．10C ．30D ．609．记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1)(3,4)-UB ．(1,3)C ．(1,4)-D ．(,1)(4,)-∞-+∞U10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生12．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．4二、填空题13．设a ＞0，b ＞033a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值是__． 14．抛物线214y x =-上的动点M 到两定点(0,1)(1,3)--、的距离之和的最小值为__________．15．不等式2231()12x x -->的解集是______． 16．已知ABC V ，135B o∠=，22,4AB BC ==，求AB AC ⋅=u u u r u u u r______．17．已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b=+的最小值是__________． 18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =___.19．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式12019113n T ->成立的最大正整数n 的值是_______． 20．关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 最大值为2；④()f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______．三、解答题21．已知23()sin cos 3cos f x x x x =+- （1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）求函数()f x 在[0，]π上的单调递增区间.22．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455--，）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 23．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ；（2）平面//EFG 平面11BDD B .24．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若1BC =，ABC θ∠=，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，设ABC ∆的面积为1S ，正方形的面积为2.S(1)用θ表示1S 和2S ； (2)当θ变化时，求12S S 的最小值及此时角θ的大小. 25．已知数列{}n a 满足()*112112n n n n na a a n Nb a a +==∈=+，，，． ()1证明数列{}n b 为等差数列；()2求数列{}n a 的通项公式．26．ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (1)求sin sin BC； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】 余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！2．A解析：A 【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A. 3．B解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．4．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可知，()min 19a x y x y ⎡⎤⎛⎫++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，将代数式()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a 的不等式，解出即可. 【详解】()11a ax yx y a x y y x⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭Q .若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；若0xy >，则0yx>，0x y >.①当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立； ③当0a >时，())211111a ax y x y a a a x y y x⎛⎫++=+++≥+=+=⎪⎝⎭，当且仅当=y 时，等号成立.所以，)219≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.5．D解析：D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简sin 5sin 2A cB b=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c，由sin 4B =，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】 由于sin 5sin 2A c B b=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即52a c =由于在ABC V中，sin 4B =，4ABC S =△1sin 24ABC S ac B ==V ，联立521sin 24sin a c ac B B ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：5a =，2c = 由于B为锐角，且sin 4B =，所以3cos 4B ==所以在ABC V 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=，故14b =（负数舍去） 故答案选D 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．6．D解析：D 【解析】 试题分析：由得，所以，因为，所以，故选D.【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.7．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项. 【详解】依题意01a b <<<，由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为定义域上的减函数，故11()()22a b >，故A 选项不等式成立.由于ln y x =为定义域上的增函数，故ln ln 0a b <<，则11ln ln a b>，所以B 选项不等式不成立，D 选项不等式成立.由于01a b <<<，故11a b>，所以C 选项不等式成立.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.8．B解析：B 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果. 【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322S =⨯⨯= ∴三棱锥体积：1115410332V Sh ==⨯⨯=本题正确选项：B 【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.9．A解析：A 【解析】 【分析】画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可． 【详解】函数()f x 的图象如图，直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ， 故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<. 故选A. 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.10．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.11．C解析：C 【解析】 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.12．B解析：B 【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.二、填空题13．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键 解析：【解析】由已知0,0a b >>33a 与b 的等比中项，则233,1a b ab =⋅∴=则111111122ab a b ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立 故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．14．4【解析】【分析】【详解】由题意得交点设作与准线垂直垂足为作与准线垂直垂足为则 解析：4 【解析】 【分析】 【详解】由题意得交点(0,1)F - ，设(1,3)A - ，作AN 与准线垂直，垂足为N ，作MH 与准线垂直，垂足为H ，则314MA MF MA MH AN +=+≥=+=15．【解析】【分析】先利用指数函数的单调性得再解一元二次不等式即可【详解】故答案为【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法属中档题 解析：()1,3-【解析】 【分析】先利用指数函数的单调性得2230x x --<，再解一元二次不等式即可． 【详解】22321 ()1230132x x x x x -->⇔--<⇔-<<． 故答案为()1,3- 【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题．16．16【解析】【分析】由正余弦定理可得由平面向量的数量积公式有：得解【详解】由余弦定理可得：所以由正弦定理得：所以所以即故答案为16【点睛】本题考查了余弦定理正弦定理及向量的数量积属简单题解析：16 【解析】 【分析】由正余弦定理可得cos A ∠，由平面向量的数量积公式有：cos 165AB AC AB AC A u u u r u u u r u u u r u u u r ⋅=∠==，得解．【详解】由余弦定理可得：2222cos13540AC AB BC AB BC =+-⨯=o ，所以AC = 由正弦定理得：sin sin135BC ACA =∠o，所以sin A ∠=所以cos 5A ∠=，即cos 16AB AC AB AC A u u u r u u u r u u u r u u u r⋅=∠==， 故答案为16 【点睛】本题考查了余弦定理、正弦定理及向量的数量积，属简单题17．【解析】分析：利用题设中的等式把的表达式转化成展开后利用基本不等式求得y 的最小值详解：因为所以所以（当且仅当时等号成立）则的最小值是总上所述答案为点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情 解析：92【解析】分析：利用题设中的等式，把y 的表达式转化成14()()2a b a b++，展开后，利用基本不等式求得y 的最小值. 详解：因为2a b +=，所以12a b+=，所以14145259()()222222a b b a y a b a b a b +=+=+=++≥+=（当且仅当2b a =时等号成立），则14y a b =+的最小值是92，总上所述，答案为92. 点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.18．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信 解析：2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．19．6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q 由于是正项的递增等比数列可得q ＞1由a1+a5=82a2•a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通解析：6 【解析】 【分析】设等比数列{a n }的公比q ，由于是正项的递增等比数列，可得q ＞1．由a 1+a 5=82，a 2•a 4=81=a 1a 5，∴a 1，a 5，是一元二次方程x 2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a 1，a 5，利用通项公式可得q ，a n ．利用等比数列的求和公式可得数列{2na }的前n 项和为T n ．代入不等式2019|13T n ﹣1|＞1，化简即可得出． 【详解】数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，a 2•a 4=81=a 1a 5， 即15158281a a a a +=⎧⎨⋅=⎩解得15181a a =⎧⎨=⎩，则公比3q =，∴13n n a -=，则2122221333n n T -=++++L 11132311313n n -⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭-， ∴12019113n T ->，即1201913n ⨯>，得32019n <，此时正整数n 的最大值为6. 故答案为6. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析解析：①③ 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判定函数()y f x =的奇偶性，可判断出命题①的正误；在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，去绝对值，化简函数()y f x =的解析式，可判断函数()y f x =在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，可判断命题②的正误；由22f π⎛⎫=⎪⎝⎭以及()2f x ≤可判断出命题③的正误；化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误. 【详解】对于命题①，函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，该函数为偶函数，命题①正确； 对于命题②，当2x ππ<<时，sin 0x >，则()sin sin 2sin f x x x x =+=，则函数()y f x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，命题②错误；对于命题③，sin 1x ∴≤，sin 1x ≤，()2f x ∴≤，又22f π⎛⎫=⎪⎝⎭Q ，所以，函数()y f x =的最大值为2，命题③正确；对于命题④，当0πx <<时，sin 0x >，()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>， 由于该函数为偶函数，当0x π-<<时，()0f x >，又()()()00ff f ππ=-==Q ，所以，该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.三、解答题21．（1）对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈（2）单调递增区间为[0，]12π和7[,]12ππ【解析】 【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式对函数进行整理，可得()sin(2)3f x x π=+，令2()32x k k Z πππ+=+∈即可求出对称轴.（2）由（1）知，令222()232k x k k Z πππππ-+++∈剟，即可求出函数的单调递增区间，令0k =和1可求得函数在[0，]π上的单调递增区间. 【详解】解：（1）已知2()sin cos 2f x x x x =+-1sin 2cos 2)222x x =++-， sin(2)3x π=+，令2()32x k k Z πππ+=+∈，解得：()212k x k Z ππ=+∈， 所以函数()f x 的对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈. （2）由（1）得：令：222()232k x k k Z πππππ-+++∈剟，整理得：5()1212k x k k Z ππππ-++∈剟，当0k =和1时， 函数在[0，]π上的单调递增区间为[0，]12π和7[,]12ππ. 【点睛】本题考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了三角函数的对称轴求解，考查了三角函数单调区间的求解.本题的关键是对函数解析式的化简.本题的易错点是在求单调区间时，解不等式求错. 22．（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665- 或1665. 【解析】【分析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin α，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos α，再根据同角三角函数关系得()cos αβ+，最后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求结果. 【详解】详解：（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-， 所以()4sin πsin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-，由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±. 由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=. 点睛：三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 23．（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合几何体，因为,E G 分别是,BC SC 的中点，所以//EG SB .，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由,F G 分别是,DC SC 的中点，得//FG SD .由线面平行的判定定理//FG 平面11BDD B .，再由（1）知，再利用面面平行的判定定理证明.【详解】 证明： （1）如图，连接SB ，,E G Q 分别是,BC SC 的中点，//EG SB ∴.又SB ⊂Q 平面11,BDD B EG ⊄平面11BDD B ，所以直线//EG 平面11BDD B .（2）连接,,SD F G Q 分别是,DC SC 的中点，//FG SD ∴.又∵SD ⊂平面11,BDD B FG ⊄平面11,BDD B//FG ∴平面11BDD B .又EG ⊂平面,EFG FG ⊂平面,EFG EG FG G ⋂=， ∴平面//EFG 平面11BDD B . 【点睛】本题主要考查了线面平行，面面平行的判断定定理，还考查了转化化归的能力，属于中档题.24．（1）2121sin cos sin cos 41sin cos S S θθθθθθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭，；（2）最小值944πθ=， 【解析】 【分析】（1）在Rt ABC ∆中，可用,R θ表示,AB AC ，从而可求其面积，利用三角形相似可得PS 的长度，从而可得2S .（2）令sin 2t θ=，从而可得(]21144,0,14t t S t S ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，利用(]4,0,1s t t t=+∈的单调性可求12S S 的最小值.【详解】（1）在Rt ABC ∆中，cos ,sin AB AC θθ==，所以11sin cos 2S θθ=，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，. 而BC 边上的高为sin cos sin cos 1θθθθ=， 设APS ∆斜边上的为1h ，ABC ∆斜边上的高为2h ， 因APS ABC ∆∆:，所以12sin cos sin cos h PS PSBC h θθθθ-==， 故sin cos 1sin cos PS θθθθ=+，故222sin cos 1sin cos S PS θθθθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，.（2）()()212221sin cos 2sin 224sin 2sin cos 1si 1sin cos 2sin cos n cos S S θθθθθθθθθθθθ++===⎛⎫ ⎪+⎝⎭，令(]sin 2,0,1t t θ=∈，则()212214444t t S t t S+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭. 令(]4,0,1s t t t=+∈，设任意的1201t t <<≤， 则()()1212121240t t t t s s t t ---=>，故(]4,0,1s t t t=+∈为减函数， 所以min 5s =，故m 12in94S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时1t =即4πθ=. 【点睛】直角三角形中的内接正方形的问题，可借助于解直角三角形和相似三角形得到各边与角的关系，三角函数式的最值问题，可利用三角变换化简再利用三角函数的性质、换元法等可求原三角函数式的最值. 25．（1）见解析；（2）21n a n =+ 【解析】 【分析】（1）已知递推关系取倒数，利用等差数列的定义，即可证明.（2）由（1）可知数列{}n b 为等差数列，确定数列{}n b 的通项公式，即可求出数列{}n a 的通项公式． 【详解】()1证明：10a Q ≠，且有122nn n a a a +=+， ∴()*0n a n N ≠∈，又1n nb a =Q ， ∴1121111222n n n n n n a b b a a a +++===+=+，即()*112n n b b n N +-=∈，且1111b a ==， ∴{}n b 是首项为1，公差为12的等差数列． ()2解：由()1知()111111222n n n b b n -+=+-⨯=+=，即112nn a+=， 所以21n a n =+．【点睛】本题考查数列递推关系、等差数列的判断方法，考查了运用取倒数法求数列的通项公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题. 26．（1）12；（2）1 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解. 试题解析： （1），1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠， ∵2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =． 由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.（2）∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，22DC =， ∴2BD =．设AC x =，则2AB x =，在△ABD 与△ACD 中，由余弦定理可知，2222cos 222AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅222232cos 22xAD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅ ∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，2232222x-=1x =， 即1AC =．考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．。
【压轴题】高一数学上期末试题(带答案)
【压轴题】高一数学上期末试题(带答案)一、选择题1．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<2．已知函数22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++的取值范围为（ ） A ．(0,+)∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,+)∞3．已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12B ．2C ．22D ．25．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．B ．C ．D ．6．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f （x ）由右表给出，则1102f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．若函数*12*log (1),()3,x x x N f x x N⎧+∈⎪=⎨⎪∉⎩，则((0))f f =( ) A ．0B ．-1C ．13D ．18．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（ ）A ．1B ．-1C ．-3D ．39．设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 （ ） A ．()1,2B ．()2,+∞C ．()31,4D ．()34,210．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x11．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图所示，则点P 所走的图形可能是A ．B ．C ．D ．12．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5B ．7C ．9D ．11二、填空题13．若函数()1f x mx x =--有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______. 14．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______15．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，11()42x xf x =-+，则此函数的值域为__________.16．函数y =________17．已知()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，其中a 是方程lg 4x x +=的解，b 是方程104x x +=的解，如果关于x 的方程()f x x =的所有解分别为1x ，2x ，…，n x ，记121==+++∑nin i xx x x ，则1ni i x ==∑__________．18．若当0ln2x ≤≤时，不等式()()2220x xxx a e e ee ---+++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____.19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数，则()()2f x f ≤的解集是________．20．若函数()22xxe a x ef x -=++-有且只有一个零点，则实数a =______.三、解答题21．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当(),0x ∈-∞时，()11xf x x+=-． ()1求函数()f x 在R 上的解析式；()2判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．22．已知函数1()21x f x a =-+，()x R ∈. （1）用定义证明：不论a 为何实数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（2）若()f x 为奇函数，求a 的值；（3）在（2）的条件下，求()f x 在区间[1，5]上的最小值. 23．已知全集U =R，函数()lg(10)f x x =-的定义域为集合A ，集合{}|57B x x =≤<（1）求集合A ； （2）求()U C B A ⋂.24．为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：小明阅读“经典名著”的阅读量()f t （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示；()f t 0 2700 5200 7500阅读“古诗词”的阅读量()g t （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足如图1所示的关系.（1）请分别写出函数()f t 和()g t 的解析式；（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？ 25．已知全集U=R ，集合{}12A x x x =-或 ，{}213UB x x p x p 或=-+．（1）若12p =，求A B ⋂； （2）若A B B ⋂=，求实数p 的取值范围．26．设全集U =R ，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≤-． （1）求()U A C B ⋂；（2）若函数()lg(2)f x x a =+的定义域为集合C ，满足A C ⊆，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．2．B解析：B 【解析】 【分析】由题意作函数()y f x =与y m =的图象，从而可得122x x +=-，240log 2x <，341x x =，从而得解【详解】 解：因为22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，，可作函数图象如下所示：依题意关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,即函数()y f x =与y m =的图象有四个不同的交点，由图可知令1234110122x x x x <-<<<<<<<， 则122x x +=-，2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，所以341x x =，则341x x =，()41,2x ∈所以12344412x x x x x x +++=-++，()41,2x ∈ 因为1y x x =+，在()1,2x ∈上单调递增，所以52,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即44152,2x x⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 1234441120,2x x x x x x ⎛⎫∴+++=-++∈ ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题3．D解析：D 【解析】 【分析】令()3g x ax bx =+，则()g x 是R 上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值．【详解】令3()g x ax bx =+ ，则()g x 是R 上的奇函数，又(2)3f =，所以(2)35g +=， 所以(2)2g =，()22g -=-，所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．4．A解析：A【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.5．B解析：B 【解析】因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．6．D解析：D 【解析】 【分析】采用逐层求解的方式即可得到结果. 【详解】∵(] 121∈-∞，，∴112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则110102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴()1(())21010f f f =， 又∵[)102∈+∞，，∴()103f =，故选D ． 【点睛】本题主要考查函数的基础知识，强调一一对应性，属于基础题．7．B【解析】 【分析】根据分段函数的解析式代入自变量即可求出函数值. 【详解】因为0N *∉,所以0(0)3=1f =，((0))(1)f f f =，因为1N *∈，所以(1)=1f -，故((0))1f f =-，故选B. 【点睛】本题主要考查了分段函数，属于中档题.8．C解析：C 【解析】 【分析】由(1)(3)0f x f x ++-=结合()f x 为奇函数可得()f x 为周期为4的周期函数，则(2019)(1)f f =-，要使函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，结合图像可得(1)3f =，即可得到答案．【详解】()f x 为定义在R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，又(1)(3)0(13)(33)0f x f x f x f x ++-=⇔+++--=，(4)()0(4)()()f x f x f x f x f x ++-=⇔+=--=∴， ∴()f x 在R 上为周期函数，周期为4， ∴(2019)(50541)(1)(1)f f f f =⨯-=-=-函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，令6()m x x = ，则5()6m x x '=，所以(,0)x ∈-∞为函数6()m x x =减区间，(0,)x ∈+∞为函数6()m x x =增区间，令()(1)cos 43x f x ϕ=⋅-，则()x ϕ为余弦函数，由此可得函数()m x 与函数()x ϕ的大致图像如下：由图分析要使函数()m x 与函数()x ϕ只有唯一交点，则(0)(0)m ϕ=，解得(1)3f =∴(2019)(1)3f f =-=-，故答案选C ． 【点睛】本题主要考查奇函数、周期函数的性质以及函数的零点问题，解题的关键是周期函数的判定以及函数唯一零点的条件，属于中档题．9．D解析：D 【解析】∵对于任意的x ∈R ,都有f (x −2)=f (2+x ),∴函数f (x )是一个周期函数，且T =4.又∵当x ∈[−2,0]时,f (x )=1 2x⎛⎫ ⎪⎝⎭−1,且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若在区间(−2,6]内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有3个不同的实数解， 则函数y =f (x )与y =()log 2a x +在区间(−2,6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f (−2)=f (2)=3，则对于函数y =()log 2a x +，由题意可得，当x =2时的函数值小于3，当x =6时的函数值大于3，即4a log <3,且8a log >3,由此解得：34<a <2， 故答案为(34,2).点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解10．D解析：D 【解析】试题分析:因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D ．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．11．C解析：C 【解析】 【分析】认真观察函数图像，根据运动特点，采用排除法解决.【详解】由函数关系式可知当点P 运动到图形周长一半时O,P 两点连线的距离最大，可以排除选项A,D,对选项B 正方形的图像关于对角线对称，所以距离y 与点P 走过的路程x 的函数图像应该关于2l对称，由图可知不满足题意故排除选项B ， 故选C ． 【点睛】本题考查函数图象的识别和判断，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点．考查学生分析问题的能力．12．B解析：B 【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.选B.二、填空题13．【解析】【分析】令可得从而将问题转化为和的图象有两个不同交点作出图形可求出答案【详解】由题意令则则和的图象有两个不同交点作出的图象如下图是过点的直线当直线斜率时和的图象有两个交点故答案为：【点睛】本 解析：0,1【解析】 【分析】 令0f x，可得1mx x =-，从而将问题转化为y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点，作出图形，可求出答案. 【详解】由题意，令()10f x mx x =--=，则1mx x =-， 则y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点， 作出1y x =-的图象，如下图，y mx =是过点()0,0O 的直线，当直线斜率()0,1m ∈时，y mx =和1y x =-的图象有两个交点. 故答案为：0,1.【点睛】本题考查函数零点问题，考查函数图象的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.14．【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数（为常数）且所以所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基 解析：1-【解析】 【分析】由()35f -=，求得1532723a b -⋅-+=，进而求解()3f 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），且()35f -=， 所以()15332725f a b -=-⋅-+=，所以153273a b -⋅-=， 又由()1533272321f a b -=⋅++=-+=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查了函数值的求解，其中解答中根据函数的解析式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.15．【解析】【分析】可求出时函数值的取值范围再由奇函数性质得出时的范围合并后可得值域【详解】设当时所以所以故当时因为是定义在上的奇函数所以当时故函数的值域是故答案为：【点睛】本题考查指数函数的性质考查函解析：11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】可求出0x ≥时函数值的取值范围，再由奇函数性质得出0x ≤时的范围，合并后可得值域．【详解】设12x t =，当0x ≥时，21x ≥，所以01t <≤，221124y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， 所以104y ≤≤，故当0x ≥时，()10,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当0x <时，()1,04f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故函数()f x 的值域是11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数的奇偶性，求奇函数的值域，可只求出0x ≥时的函数值范围，再由对称性得出0x ≤时的范围，然后求并集即可．16．【解析】【分析】先求得函数的定义域然后利用同增异减来求得复合函数的单调区间【详解】依题意即解得当时为减函数为减函数根据复合函数单调性同增异减可知函数的单调递增区间是【点睛】本小题主要考查复合函数的单 解析：[)1,0-【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后利用“同增异减”来求得复合函数的单调区间. 【详解】依题意220.50log 0x x ⎧>⎨≥⎩，即201x <≤，解得[)(]1,00,1x ∈-.当[)1,0x ∈-时，2x 为减函数，0.5log x 为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知，函数y =递增区间是[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查复合函数的单调区间的求法，考查函数定义域的求法，属于基础题.17．【解析】【分析】根据互为反函数的两个图像与性质可求得的等量关系代入解析式可得分段函数分别解方程求得方程的解即可得解【详解】是方程的解是方程的解则分别为函数与函数和图像交点的横坐标因为和互为反函数所以 解析：1-【解析】 【分析】根据互为反函数的两个图像与性质,可求得a ,b 的等量关系,代入解析式可得分段函数()f x .分别解方程()f x x =,求得方程的解,即可得解. 【详解】a 是方程lg 4x x +=的解,b 是方程104x x +=的解,则a ,b 分别为函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像交点的横坐标因为lg y x =和10x y =互为反函数,所以函数lg y x =和10xy =图像关于y x =对称所以函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像的两个交点也关于y x =对称所以函数4y x =-+与y x =的交点满足4y x y x =-+⎧⎨=⎩,解得22x y =⎧⎨=⎩根据中点坐标公式可得4a b +=所以函数()242,02,0x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩当0x ≤时,()242f x x x =++,关于x 的方程()f x x =,即242x x x ++=解得2,1x x =-=-当0x >时,()2f x =,关于x 的方程()f x x =,即2x = 所以()()12121ni i x ==-+-+=-∑故答案为:1- 【点睛】本题考查了函数与方程的关系,互为反函数的两个函数的图像与性质,分段函数求自变量,属于中档题.18．【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时∴即综上故答案为：【 解析：25[,)6-+∞ 【解析】 【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式．然后用分离参数法转化为求函数最值． 【详解】设x x t e e -=-，1xxx x t e e e e -=-=-是增函数，当0ln2x ≤≤时，302t ≤≤， 不等式()()2220x xxx a e eee ---+++≥化为2220at t +++≥，即240t at ++≥，不等式240t at ++≥在3[0,]2t ∈上恒成立，0t =时，显然成立，3(0,]2t ∈，4a t t-≤+对3[0,]2t ∈上恒成立，由对勾函数性质知4y t t=+在3(0,]2是减函数，32t =时，min 256y =，∴256a -≤，即256a ≥-． 综上，256a ≥-． 故答案为：25[,)6-+∞． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化与化归，首先用换元法化指数型不等式为一元二次不等式，再用分离参数法转化为求函数最值．19．【解析】【分析】由题意先确定函数在上是增函数再将不等式转化为即可求得的取值范围【详解】函数是定义在上的偶函数且在区间上是减函数函数在区间上是增函数或解集为故答案为：【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解析：(][)22-∞-⋃+∞，， 【解析】 【分析】由题意先确定函数()f x 在(),0-∞上是增函数，再将不等式转化为()()112f f ⨯≤即可求得x 的取值范围. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数，∴函数()f x 在区间(),0-∞上是增函数()()2f x f ≤()()2f x f ∴≤2x ∴≥2x ∴≥或2x -≤∴解集为(][),22,-∞-+∞故答案为：(][),22,-∞-+∞【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解抽象函数不等式问题，直观想象能力，属于中等题型.20．2【解析】【分析】利用复合函数单调性得的单调性得最小值由最小值为0可求出【详解】由题意是偶函数由勾形函数的性质知时单调递增∴时递减∴因为只有一个零点所以故答案为：2【点睛】本题考查函数的零点考查复合解析：2 【解析】 【分析】利用复合函数单调性得()f x 的单调性，得最小值，由最小值为0可求出a ． 【详解】由题意()22122xxx x e ex a e x a ef x -=++-=++-是偶函数， 由勾形函数的性质知0x ≥时，()f x 单调递增，∴0x ≤时，()f x 递减． ∴min ()(0)f x f =，因为()f x 只有一个零点，所以(0)20f a =-=，2a =． 故答案为：2. 【点睛】本题考查函数的零点，考查复合函数的单调性与最值．掌握复合函数单调性的性质是解题关键．三、解答题21．（1）()1,010,01,01xx x f x x x x x+⎧<⎪-⎪==⎨⎪-⎪->+⎩（2）函数()f x 在()0,+∞上为增函数,详见解析【解析】 【分析】()1根据题意，由奇函数的性质可得()00f =，设0x >，则0x -<，结合函数的奇偶性与奇偶性分析可得()f x 在()0,+∞上的解析式，综合可得答案； ()2根据题意，设120x x <<，由作差法分析可得答案．【详解】解：()1根据题意，()f x 为定义在R 上的函数()f x 是奇函数，则()00f =， 设0x >，则0x -<，则()11xf x x--=+， 又由()f x 为R 上的奇函数，则()()11xf x f x x-=-=-+， 则()1,010,01,01xx x f x x x x x+⎧<⎪-⎪==⎨⎪-⎪->+⎩；()2函数()f x 在()0,+∞上为增函数；证明：根据题意，设120x x <<，则()()()()()1212211212211221111111111x x x x x x f x f x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-----=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭， 又由120x x <<，则()120x x -<，且()110x +>，()210x +>； 则()()120f x f x ->，即函数()f x 在()0,+∞上为增函数． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及应用，涉及掌握函数奇偶性、单调性的定义． 22．(1)见解析；(2)12a =；(3) 16. 【解析】 【分析】 【详解】 (1)()f x 的定义域为R, 任取12x x <,则121211()()2121x x f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)x x x x -++. 12x x <,∴1212220,(12)(12)0xx x x -++.∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <. 所以不论a 为何实数()f x 总为增函数. (2)()f x 在x ∈R 上为奇函数,∴(0)0f =,即01021a -=+. 解得12a =. (3)由(2)知，11()221x f x =-+, 由(1) 知，()f x 为增函数,∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为(1)f . ∵111(1)236f =-=， ∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为16. 23．(1) {}|310A x x =≤< (2) {}()|35710U C B A x x x ⋂=≤<≤<或【解析】试题分析：（1）根据真数大于零以及偶次根式被开方数非负列不等式，解得集合A （2）先根据数轴求U C B ，再根据数轴求交集 试题解析：（1）由题意可得：30100x x -≥⎧⎨->⎩，则{|310}A x x =≤<（2）{|57}U C B x x x =<≥或(){|35710}U C B A x x x ⋂=≤<≤<或24．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）设f （t ）=2a ?t bt +，代入（10，2700）与（30，7500），解得a 与b. 令()g t ＝kt ，(040)t ≤<,代入（40，8000），解得k,再令()g t ＝mt +b ，()4060t ≤≤,代入（40，8000），（60，11000），解得m ，b 的值．即可得到()f t 和()g t 的解析式； （2）由题意知每天的阅读量为()()()h t f t g t =+=28012000t t -++，分020t ≤≤和2060t <≤两种情况，分别求得最大值，比较可得结论. 【详解】（1）因为f （0）=0，所以可设f （t ）=2a ?t bt +，代入（10，2700）与（30，7500），解得a=-1,b=280.所以()2280f t t t =-+ ,又令()g t ＝kt ，(040)t ≤<,代入（40，8000），解得k=200,令()g t ＝mt +b ，()4060t ≤≤,代入（40，8000），（60，11000），解得m=150,b=2000，所以 ()()200(040)150********t t g t t t ≤<⎧=⎨+≤≤⎩. （2）设小明对“经典名著”的阅读时间为()060t t ≤≤，则对“古诗词”的阅读时间为60t -，① 当06040t ≤-<，即2060t <≤时，()()()()228020060h t f t g t t t t =+=-++-=28012000t t -++ =()24013600t --+，所以当40t =时，()h t 有最大值13600． 当406060t ≤-≤，即020t ≤≤时，h ()()()()2280150602000t f t g t t t t =+=-++-+=213011000t t -++，因为()h t 的对称轴方程为65t =， 所以 当020t ≤≤时，()h t 是增函数，所以 当20t =时，()h t 有最大值为13200. 因为 13600>13200，所以阅读总字数()h t 的最大值为13600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读时间为20分钟． 【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法及应用，二次函数的图象和性质，难度中档． 25．（1）722⎛⎤ ⎥⎝⎦，； （2）342p p -或． 【解析】 【分析】由题意可得{}213B x p x p =-≤≤+,（1）当12p =时，结合交集的定义计算交集即可； （2）由题意可知B A ⊆.分类讨论B =∅和B ≠∅两种情况即可求得实数p 的取值范围.【详解】 因为{}213UB x x p x p =-+，或，所以(){}213UUB B x p x p ==-≤≤+,（1）当12p =时，702B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，所以7=22A B ⎛⎤⋂ ⎥⎝⎦，, （2）当A B B ⋂=时，可得B A ⊆.当B =∅时，2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意；当B ≠∅时，应满足21331p p p -≤+⎧⎨+<-⎩或213212p p p -≤+⎧⎨->⎩解得44p p ≤⎧⎨<-⎩或432p p ≤⎧⎪⎨>⎪⎩； 即4p <-或342p <≤. 综上，实数p 的取值范围342p p -或． 【点睛】本题主要考查交集的定义，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.26．（1）{}23x x <<（2）()2,+∞ 【解析】 【分析】（1）先化简集合B ，再根据集合的交并补运算求解即可；（2）函数()lg(2)f x x a =+定义域对应集合可化简为2a C x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，又A C ⊆，故由包含关系建立不等式即可求解； 【详解】（1）由题知，{}2B x x =≤，{}2U C B x x ∴=>{}13A x x =-≤<(){}23UA CB x x ∴⋂=<<（2）函数()lg(2)f x x a =+的定义域为集合2a C x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，A C ⊆，12a∴-<-， 2a ∴>.故实数a 的取值范围为()2,+∞. 【点睛】本题考查集合的交并补的混合运算，由集合的包含关系求参数范围，属于基础题。
高一数学期末压轴题
高一数学期末压轴题4(包含全国各重点中学模拟题和全国各地期末试卷) 1.已知集合}1,log |{3>==x x y y A ，}0,3|{>==x y y B x ，则=⋂B AA }310|{<<y yB }0|{>y yC }131|{<<y y D }1|{>y y16. 函数y=)35(log 21-x 的定义域是 ______ .21.（本题满分12分）已知)ln()(a e x f x +=为奇函数，)()(x f x g λ= （1） 求实数a 的值。
（2） 若x x x g 2log )(≤在]3,2[∈x 上恒成立，求λ的取值范围。
（提示：即求x x 2log 的最值）21.答案：（1）a=0;(2)x x x x f x g 2log )()(≤=≤λλ在[2,3]上恒成立即x 2log ≤λ在[2,3]上恒成立，而x 2log =λ在[2,3]上的最小值为1，故1≤λ.16、下列几个命题①方程2(3)0x a x a +-+=的有一个正实根，一个负实根，则0a <。
②函数y = ③函数()f x 的值域是[2,2]-，则函数(1)f x +的值域为[3,1]-。
④ 设函数()y f x =定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于y 轴对称。
⑤一条曲线2|3|y x =-和直线 ()y a a R =∈的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1。
其中正确的有_____1\5______________。
20. （本小题满分14分）已知二次函数()2f x ax bx c =++.(1) 若0)0(,0)1(==-f f ，求出函数)(x f 的零点；(2) 若()f x 同时满足以下条件：①当1x =-时，函数()f x 有最小值0；②1)1(=f , 求)(x f 的解析式；(3) 若对)3()1(f f ≠，证明方程)]3()1([21)(f f x f +=必有一个实数根属于区间(1,3).20.解：（1）【法一】0)0(,0)1(==-f f b a =∴………………………………… 1分)1()(+=∴x ax x f ………………………………… 2分所以：函数)(x f 的零点是0和-1. ………………………………… 3分 【法二】因为)(x f 是二次函数，所以)(x f 最多有两个零点，┄┄┄┄┄┄1分又0)0(,0)1(==-f f ┄┄┄┄┄┄┄2分所以：函数)(x f 的零点是0和1-. ┄┄┄┄┄┄┄┄3分(2)由条件①得：241,024b ac b a a--=-=,0>a ………………………………… 5分⇒ 222,444b a b ac a ac a c ==⇒=⇒=………………………………… 6分 由条件②知：1=++c b a ……………… 7分由12a b c b a a c++=⎧⎪=⎨⎪=⎩得11,42a c b === ………………………………… 9分所以：221111()(1)4244f x x x x =++=+ …………………………………10分 （3）令)]3()1([21)()(f f x f x g +-=，则)]3()1([21)]3()1([21)1()1(f f f f f g -=+-=)]1()3([21)]3()1([21)3()3(f f f f f g -=+-=，…………………………………11分0)]3()1([41)3()1(2<--=⋅∴f f g g ………………………………… 13分()0g x ∴=在(1,3)内必有一个实根即方程)]3()1([21)(f f x f +=必有一个实数根属于(1,3) …………………………………14分 ⒛(本小题满分10分)对于函数()()()0,212≠-+++=a b x b ax x f ,若存在实数0x ,使()0x f =0x 成立,则 称0x 为()x f 的不动点.⑴当2,2-==b a 时,求()x f 的不动点;⑵若对于任意实数b ,函数()x f 恒有两个不相同的不动点,求a 的取值范围.⒛解:⑴由题义()()x x x =--++-+221222 …………………………2分 整理得04222=--x x ,解方程得2,121=-=x x …………4分 即()x f 的不动点为－１和2. ………5分⑵由()x f =x 得022=-++b bx ax …………6分 如此方程有两解,则有△=()0842422>+-=--a ab b b a b …7分 把0842>+-a ab b 看作是关于b 的二次函数,则有()()()0216321684422<-=-=-a a a a a a ……………9分解得20<<a 即为所求. ………10分8.已知向量3(sin ,)2x =a ，(cos ,1)x =-b .（1）当a ∥b 时，求2cos sin 2x x -的值；（2）设1x ，2x 为函数()()4f x =-++⋅a b b 的两个零点，求12x x -的最小值．8. （本小题满分10分）解：（1）由a ∥b 得：3cos sin 02x x +=， ……………1分若cos 0x =，则sin 1x =±，不合题意.则3tan .2x =- …………2分因此22222cos 2sin cos 12tan 16cos sin 2.sin cos tan 113x x x x x x x x x ---===++ …………4分（2）()()4f x =-++⋅a b b 1(sin cos ,)(cos ,1)24x x x =+⋅--111(sin cos )cos sin 2cos 224224x x x x x =+--=+-)244x π=+-. …………………6分 依题得1sin(2)42x π+=，解得124x k π=π-或2724x k π=π+，12,k k ∈Z . ……………8分又12x x -＝217243k k ππππ-π+≥+24， 所以12x x -的最小值为3π． ………10分9. 已知函数253()sin cos 82f x x a x a =++-，a ∈R .（1）当1a =时，求函数()f x 的最大值；（2）如果对于区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意一个x ，都有()1f x ≤成立，求a 的取值范围.9. （本小题满分12分） 解：（1）2227113()sin cos cos cos (cos ).8828f x x x x x x =+-=-++=--+………2分 则当1cos 2x =时，函数()f x 的最大值是3.8………4分（2）22151()cos 2482a f x x a a ⎛⎫=--++- ⎪⎝⎭. ……………5分当02x π≤≤时，1cos 0≤≤x ，令x t cos =，则10≤≤t . ………6分 ,218542122-++⎪⎭⎫⎝⎛--=a a a t y 10≤≤t .当012a ≤≤，即02a ≤≤时，则当2a t =，即cos 2ax =时， 2max51()1482a f x a =+-≤，解得342a -≤≤，则302a ≤≤； ……………8分当02a<，即0a <时，则当0t =即cos 0x =时， max 51()182f x a =-≤，解得125a ≤，则0a <. ……………10分当12a>，即2a >时，则当1t =即cos 1x =时，max 53()182f x a a =+-≤，解得2013a ≤，无解.综上可知，a 的取值范围3(,]2-∞． ………12分22．（本题满分14分）如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花.若BC=a ，∠ABC=θ，设△ABC 的面积为S 1，正方形的面积为S 2． （１）用a ，θ表示S 1和S 2； （２）当a 为定值，θ变化时，求21S S 取最小值时的θ．22. (本题满分14分）解：（1）∵AC=,cos ,sin θθa AB a =∴θθθ2sin 41cos sin 21221a a S ==………………3分 设正方形边长为,tan ,cot ,θθx RC x BQ x ==则 ∴a x x =+tan cot θθθθθθθθθ2sin 22sin cos sin 1cos sin 1tan cot +=++=++=a a a x ，∴.2sin 42sin 42sin )2sin 22sin 2(22222θθθθθ++=+=a S ………………6分（2）当a 固定，θ变化时，22212)2sin 211(2sin 2sin 41)2sin 211(θθθθ+=+=a S S t =++=θθθθ2sin .42sin 42sin 2sin 42令， 则)0(444444212≠++=++=t tt t t t S S ………………9分 ∵,20πθ<≤∴,],1,0(,,4)(,102121t t t t tt t f t <∈+=≤<且任取令()112121212111444)()(t t t t t t t t t t t f t f --=-+-=- ∴.04,1,0212121<-<<-t t t t t t ∴0)()(21>-t f t f∴]1,0(4)(在tt t f +=上是减函数……………………12分∴t=1时，)(t f 有最小值5，∴.4,9412πθ=此时有最大值为S S …………14分 （北京海淀）(17)（本小题共12分）某车间为了制作某个零件，需从一块扇形的钢板余料（如图1）中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板ABCD ，其中顶点B 、C 在半径ON 上，顶点A 在半径OM 上，顶点D 在NM 上, 6MON π∠=，1ON OM ==.设DON θ∠=，矩形ABCD 的面积为S .（Ⅰ）用含θ的式子表示DC 、OB 的长； （Ⅱ）试将S 表示为θ的函数； （Ⅲ）求S 的最大值.N O M 图1 θDC B A N O M 图2❤（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为1OD =，四边形ABCD 是矩形，所以在Rt DOC ∆中，sin sin DC OD θθ=⋅=. …………………1分 所以sin AB DC θ==.在Rt AOB ∆中，tan6ABOB θπ==. ……………………3分（Ⅱ）在Rt DOC ∆中，cos cos OC OD θθ=⋅=.所以cos BC OC OB θθ=-=. ………………………5分 所以S DC BC =⋅sin (cos )θθθ=2sin cos θθθ=（06πθ<<）. …………………………………7分（Ⅲ）因为2sin cos S θθθ=11cos 2sin 222θθ-= …………9分1sin 222θθ=sin(2)32πθ=+-（06πθ<<）， …………………10分所以，当232ππθ+=，即(0,)126ππθ=∈时， S取得最大值12-. ……………………12分20. (本小题满分14分)已知函数xtx y +=有如下性质：如果常数0>t，那么该函数在(0,上是减函数，在)+∞上是增函数．（Ⅰ）已知123124)(2+--=x x x x f ，]1,0[∈x ，利用上述性质，求函数)(x f 的单调区间和值域；（Ⅱ）当1≥a 时，对于（Ⅰ）中的函数)(x f 和函数a x a x x g 23)(23--=，若对任意]1,0[1∈x ，总存在]1,0[2∈x ，使得)()(12x f x g =成立，求实数a 的取值范围．❤ 9.D 10.C 14． 0a < 20. (本小题满分14分)解：（Ⅰ） 123124)(2+--==x x x x f y 812412-+++=x x ， 设12+=x u ，31≤≤u ，则84-+=uu y ，]3,1[∈u 由已知性质得，当[1,2]u ∈，即1[0,]2x ∈时，)(x f 单调递减；所以)(x f 的单调递减区间为1[0,]2当[2,3]u ∈，即1[,1]2x ∈时，)(x f 单调递增；所以)(x f 的单调递增区间为1[,1]2由3)0(-=f ，4)21(-=f ，311)1(-=f ，得)(x f 的值域为[]3,4--.（Ⅱ）设12,[0,1]x x ∈，且21x x <，则)3)(()(3)()(222212121122323121a x x x x x x x x a x x x g x g -++-=-+-=-（*）21x x < ，021<-∴x x ；又1021≤<≤x x ，1≥a ，3222121<++∴x x x x ，332≥a ， 032222121<-++∴a x x x x所以（*）式0>，即)()(21x g x g >，所以)(x g 在区间[0,1]上单调递减， 对于[0,1]x ∈，)0()()1(g x g g ≤≤，所以2()[132,2]g x a a a ∈--- 由题意，即要)(x f 的值域是)(x g 的值域的子集，所以只需：2132432a a a⎧--≤-⎨-≤-⎩ 解得231≤≤a .所以实数a 的取值范围是3[1,]219、（本小题满分10分）已知函数421,0()3,1c ccx x c f x x x c x +<<⎧=⎨+≤<⎩ 满足29()8f c =； （1）求常数c 的值； （2）解不等式()2f x <．19、解：（1）因为01c <<，所以2c c <； 由29()8f c =，即3918c +=，12c = （2）由（1）得211122()31x x f x x x x ⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩，，≤由()2f x <得，当102x <<时，解得102x <<，当112x <≤时，2320x x +-<解得1223x <≤， 所以()2f x <的解集为203x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．4．(本题满分8分）已知向量)2sin 1,2(cos αα+=OA ，)2,1(=,)0,2(=.(1)若)2,0(πα∈，且1010sin =α，求证：,,O A B 三点共线；(2)若24παπ≤≤，求向量OA 与OC 的夹角θ范围．24. 解：（1）1010sin =α ，)2,0(πα∈，10103cos =∴α53cos sin 22sin ==ααα，54sin cos 2cos 22=-=ααα．………………………………… 3分 54)58,54(==∴，∴//．B A,,O ∴三点共线，……………………………………………………… 4分(2)αααααααααθcos sin 22cos 2sin 222cos )2sin 1(2cos 2)0,2()2sin 1,2(cos cos 22+=+=++⋅+=)4cos()sin (cos 22)cos (sin 2sin cos 22πααααααα+=-=+-=……………………… 6分 4342,24ππαππαπ≤+≤∴≤≤, 而],0[πθ∈，4παθ+=∴θ∴的范围为]43,2[ππ．…………………………………… 8分25．(本题满分10分）已知二次函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，(2)(0)0f f -==，()f x 的最小值为1-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设1)()()(+--=x f x f x g λ，若)(x g 在]1,1[-上是减函数，求实数λ的取值范围；（3）设函数2()log [()]h x p f x =-，若此函数在定义域范围内不存在零点，求实数p 的取值范围.25.解：（1）设)2()(+=x ax x f ，又0>a ，1)1(-=-f ， 1=∴a ，∴x x x f 2)(2+=.……………………………………… 4分 (2) 2()(1)2(1)1g x x x λλ=--++,① 当1=λ时，()41g x x =-+在[-1,1]上是减函数，∴1=λ.② 当1≠λ时，对称轴方程为:λλ-+=11x . ⅰ)当1<λ时，10λ->，所以11111λλλλ+≥⇔+≤--，得10<≤λ； ⅱ)当1>λ时，10λ-<111-≤-+λλ，所以11111λλλλ+≤-⇔+≥-+-，得1>λ. 综上，0≥λ．…………………………………………………………… 7分(3) 函数2()log [()]h x p f x =-在定义域内不存在零点,必须且只须有 ()0p f x ->有解,且()1p f x -=无解.即0)]([max >-x f p ,且1不在)]([x f p -的值域内．)(x f 的最小值为1-，∴函数)(x f p y -=的值域为]1,(+-∞p ．⎩⎨⎧+>>+∴1101p p ，解得01<<-p ． p ∴的取值范围为)0,1(-．………………………………… 10分。
高一期末数学压轴题
20、已知函数1()22x x f x =- (1)设集合15()4A x f x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭,{}260B x x x p =-+<,若A B ⋂≠∅,求实数p 的取值范围；(2)若2(2)()0t f t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立,求实数m 的取值范围２1、已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数,且(1)1f =-，若x 、[1,1]y ∈-,0x y +≠，则()()0f x f x x y+<+ （1）用定义证明,()f x 在[1,1]-上是减函数；（2）解不等式：11()()12f f x x <+-； （3)若2()21f x t at ≥--对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-均成立,求实数t 的取值范围22、设函数()a f x x x=+，2()22g x x x a =-+-,其中0a > (1）若1x =是关于x 的不等式()()f x g x >的解，求a 的取值范围;（２)求函数()a f x x x=+在(0,2]x ∈上的最小值； (3）若对任意的1x ,2(0,2]x ∈,不等式12()()f x g x >恒成立,求a 的取值范围；(4）当32a =时，令()()()h x f x g x =+，试研究函数()h x 在(0,)x ∈+∞上的单调性，并求()h x 在该区间上的最小值18.(本题满分10分）本大题共２个小题,每小题5分.(A 组题）已知函数()2log 1.f x x =-(１)作出函数()f x 的大致图像；(2)指出函数()f x 的奇偶性、单调区间及零点．(Ｂ组题）已知()()2.f x x x =-(1)作出函数()f x 的大致图像,并指出其单调区间;（２）若函数()f x c =恰有三个不同的解，试确定实数c 的取值范围.19.(本题满分１0分)如图，在半径为40cm 的平面图形(O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料A ＢC Ｄ,其中点A,B 在直径上，点Ｃ，D 在圆周上.(1)设AD x =，将矩形A ＢＣＤ的面积表示成y 的函数，并写出其定义域;（2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD 的面积最大？并求出最大面积.20．(本题满分12分)本题共3个小题,每小题4分.（请考生务必看清自己应答的试题）（Ａ组题）已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与函数()yg x =的图象关于直线y x =对称.（１)若()()26f g x x =-,求实数x 的值; （2)若函数()()2y g f x =的定义域为[](),0m n m ≥，值域为[]2,2m n ,求实数,m n 的值; （３）当[]1,1x ∈-时,求函数()()223y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦的最小值()h a .（B 组题）已知函数()()log 0,1a f x b x a a =+>≠的图象经过点()8,2和()1,1.- （１)求()f x 的解析式;（2)若()()23f x f x =⎡⎤⎣⎦，求实数x 的值；(3）令()()()21y g x f x f x ==+-，求()y g x =的最小值及其取最小值时x 的值.本题共２小题,第（1）小题４分，第(2）小题６分.设函数()()20,1.x x x a a a a ϕ=->≠（1）求()x ϕ在[]2,2-上的最大值;（２)当a =,()222x t mt ϕ≤-+对所有的[]2,2x ∈-及[]1,1m ∈-恒成立,求实数m 的取值范围．。
【压轴卷】高一数学下期末试卷(带答案)
【压轴卷】高一数学下期末试卷(带答案)一、选择题1．已知向量()cos ,sin a θθ=v ，()1,2b =v ，若a v 与b v 的夹角为6π，则a b +=v v （ ）A ．2B ．7C ．2D ．12．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．73B ．8π3- C ．83D ．7π3- 4．在ABC ∆中，2AB =2AC =，E 是边BC 的中点.O 为ABC ∆所在平面内一点且满足222OA OB OC ==u u u v u u u v v ，则·AE AO u u u v u u u v 的值为（ ）A ．12B ．1C ．22D ．325．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A cB b=，7sin B =，57ABC S =△b =（ ） A ．3B ．7C 15D 146．函数()23sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 9．已知01a b <<<，则下列不等式不成立．．．的是 A ．11()()22ab>B ．ln ln a b >C ．11a b> D ．11ln ln a b> 10．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生11．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )A ．2π B ． C ． D ．3π 12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UB ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题13．在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为________． 14．已知a 0>，b 0>，且111a b +=，则b3a 2b a++的最小值等于______． 15．直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且与直线20x y +=垂直，则直线l 的方程为 ．16．已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．17．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==u u u v u u u v u u u v u u u v,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN u u u u v的最小值是_____.18．设，则________19．函数()sin f x x ω=（0>ω）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅，n A ，⋅⋅⋅，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、l A 、p A ，使得△k l p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为n ω，则6ω=________.20．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m的取值范围为 .三、解答题21．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ． （1）求f （0）及f （f （1））的值； （2）求函数f （x ）的解析式；（3）若关于x 的方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围， 22．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；23．已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.(1)求a 、b 的值； (2)设()()2g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．24．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，），AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.25．如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，12BC CD AD ==.（Ⅰ）求证：CD ⊥PD ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面P AB ；（Ⅲ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面P AB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由.26．如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2AD BC BAD AB BC π∠==12AD a ==，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.（Ⅰ）证明：CD ⊥平面1A OC ；（Ⅱ）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为362，求a 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先计算a r 与b r的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+r r r r 即可计算求值.【详解】因为()cos ,sin a θθ=r，()1,2b =r ，所以||1a =r ，||3b =r. 又222222()2||2||||cos ||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+r r r r r r r r r r r r312337=+⨯+=， 所以7a b +=r r，故选B.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.2．D解析：D 【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．3．B解析：B 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为21118222123233ππ-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B. 【点睛】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.4．D解析：D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知()12AE AB AC =+u u u v u u u v u u u v，将所求数量积化为1122AB AO AC AO ⋅+⋅u u uv u u u v u u u v u u u v ；由模长的等量关系可知AOB ∆和AOC ∆为等腰三角形，根据三线合一的特点可将AB AO ⋅u u u v u u u v 和AC AO ⋅u u u v u u u v 化为212AB u u uv 和212AC u u u v ，代入可求得结果.【详解】E Q 为BC 中点 ()12AE AB AC ∴=+u u u v u u u v u u u v()111222AE AO AB AC AO AB AO AC AO ∴⋅=+⋅=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v222OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v Q AOB ∴∆和AOC ∆为等腰三角形211cos 22AB AO AB AO OAB AB AB AB ∴⋅=∠=⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，同理可得：212AC AO AC ⋅=u u u v u u u v u u u v22111314422AE AO AB AC ∴⋅=+=+=u u u v u u u v u u u v u u u v本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.5．D解析：D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简sin 5sin 2A cB b=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c，由sin 4B =，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】 由于sin 5sin 2A c B b=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即52a c =由于在ABC V中，sin B =，ABC S =△1sin 2ABC S ac B ==V联立521sin 24sin 4a c ac B B ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：5a =，2c = 由于B为锐角，且sin B =，所以3cos 4B ==所以在ABC V 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=，故b =（负数舍去） 故答案选D 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．6．A解析：A 【解析】 【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 其单调增区间满足：()23222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得：()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A . 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．A解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A. 考点：样本数据的方差和平均数．8．C解析：C 【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.考点：等差数列9．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项. 【详解】依题意01a b <<<，由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为定义域上的减函数，故11()()22a b >，故A 选项不等式成立.由于ln y x =为定义域上的增函数，故ln ln 0a b <<，则11ln ln a b>，所以B 选项不等式不成立，D 选项不等式成立.由于01a b <<<，故11a b>，所以C 选项不等式成立.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.10．C解析：C 【解析】 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.11．A解析：A 【解析】 【分析】由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解． 【详解】设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角，在△A 2BM 中，22252()2a A B a BM a a ==+=，，222313()2a A M a a =+=，222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．12．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得()f x 的图象，据此分析可得答案. 【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以它的图象关于原点对称，且()00f =， 已知当0x >时，()32f x x =-， 作出函数图象如图所示， 从图象知：33022f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则不等式()0f x >的解集为33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想.二、填空题13．【解析】概率为几何概型如图满足的概率为 解析：14【解析】概率为几何概型，如图，满足20x y -<的概率为2111122=14OABS S ∆⨯⨯=正方形14．11【解析】分析：构造基本不等式模型化简整理应用基本不等式即可得出答案详解：当且仅当时取等号的最小值等于11故答案为11点睛：本题考查基本不等式的性质与应用同时考查了整体思想与转化思想的运用解析：11【解析】分析：构造基本不等式模型1132()(32)b b a b a b a a b a ++=+++，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案.详解：Q 111a b+=， ∴1132()(32)53()b b b a a b a b a a b a a b++=+++=++ Q 0a >，0b >，∴0b a >，0a b >， ∴2b a a b+≥，当且仅当2a b ==时取等号. 325611b a b a++≥+=. ∴32b a b a++的最小值等于11. 故答案为11. 点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用.15．【解析】试题分析：设与直线垂直的直线方程：圆化为圆心坐标因为直线平分圆圆心在直线上所以解得故所求直线方程为考点：1直线与圆的位置关系；2直线的一般式方程与直线的垂直关系【思路点睛】本题是基础题考查直 解析：2y x =【解析】试题分析：设与直线20x y +=垂直的直线方程：20x y b -+=，圆22240x y x y +--=化为()()22125x y -+-=，圆心坐标()12，．因为直线平分圆，圆心在直线20x y b -+=上，所以21120b ⨯-⨯+=，解得0b =，故所求直线方程为2y x =．考点：1．直线与圆的位置关系；2．直线的一般式方程与直线的垂直关系．【思路点睛】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，直线与直线垂直的方程的设法，据此设出与已知直线垂直的直线方程，利用直线平分圆的方程，求出结果即可． 16．2【解析】抛物线的准线为与圆相切则解析：2【解析】 抛物线的准线为2p x =-，与圆相切，则342p +=，2p =． 17．【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数 解析：7 【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅uu u r uuu r,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN u u u u r u u u r .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN u u u u r ,结合二次函数性质即可求得最小值.【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒ 则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=-o u u u r u u u r u u u r u u u r 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()12AN AB AC =+u u u r u u u r u u u r由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r 所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦u u u u r u u u r u u u r 222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r 221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭u u u u r 因为(),0,1λμ∈所以当17μ=时, 2MN u u u u r 取得最小值17因而min 1777MN ==u u u u r 故答案为:7 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.18．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-解析：-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】，，所以，故答案为-1. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．19．【解析】【分析】由可求得的横坐标进而得到的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以为顶点的三角形为等腰直角三角形即可由垂直关系可得平面向量数量积为零进而求得的通项公式代入即可得到结果【详解】由得：…… 解析：112π 【解析】【分析】 由2x k πωπ=+可求得n A 的横坐标，进而得到n A 的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以1A ，2n A ，41n A -为顶点的三角形为等腰直角三角形即可，由垂直关系可得平面向量数量积为零，进而求得n ω的通项公式，代入6n =即可得到结果.【详解】由2x k πωπ=+，k Z ∈得：()212k x πω+=，k Z ∈ 1,12A πω⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，23,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，35,12A πω⎛⎫ ⎪⎝⎭，47,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，…… 若123A A A ∆为等腰直角三角形，则212232,2,240A A A A πππωωω⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r 解得：2πω=，即12πω=同理若147A A A ∆为等腰直角三角形，则14470A A A A ⋅=u u u u r u u u u u r 232πω∴= 同理若1611A A A ∆为等腰直角三角形，则166110A A A A ⋅=u u u u r u u u u u r 352πω∴= 以此类推，可得：()212n n πω-= 6112πω∴=故答案为：112π 【点睛】 本题考查正弦型函数图象与性质的综合应用问题，关键是能够根据正弦函数周期性的特点确定所分析成等腰直角三角形的三个顶点的位置，进而由垂直关系得到平面向量数量积为零，构造方程求得结果.20．【解析】【分析】【详解】因为函数的图象开口向上的抛物线所以要使对于任意的都有成立解得所以实数的取值范围为【考点】二次函数的性质解析：2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】【详解】因为函数2()1f x x mx =+-的图象开口向上的抛物线，所以要使对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <成立，()222()10(1)1(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得02m -<<， 所以实数m的取值范围为⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 【考点】二次函数的性质．三、解答题21．（1）f （0）＝0，f （1）＝﹣1（2）()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩（3）（﹣1，0） 【解析】【分析】（1）根据题意，由函数的解析式，将x ＝0代入函数解析式即可得f （0）的值， 同理可得f （1）的值，利用函数的奇偶性分析可得f （f （1））的值；（2）设x ＜0，则﹣x ＞0，由函数的解析式分析f （﹣x ）的解析式，进而由函数的奇偶性分析可得答案；（3）若方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，则函数y ＝f （x ）与直线y ＝m 有4个交点，作出函数f （x ）的图象，由数形结合法分析即可得答案．【详解】（1）根据题意，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ；则f （0）＝0，f （1）＝1﹣2＝﹣1，又由函数f （x ）为偶函数，则f （1）＝f （﹣1）＝﹣1，则f （f （1））＝f （﹣1）＝﹣1；（2）设x ＜0，则﹣x ＞0，则有f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ，又由函数f （x ）为偶函数，则f （x ）＝f （﹣x ）＝x 2+2x ，则当x ＜0时，f （x ）＝x 2+2x ，∴()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩ （3）若方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，则函数y ＝f （x ）与直线y ＝m 有4个交点，而y ＝f （x ）的图象如图：分析可得﹣1＜m ＜0；故m 的取值范围是（﹣1，0）．【点睛】本题考查偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，注意利用数形结合法分析与应用，是中档题．22．（1）见解析；（2）见解析；【解析】【分析】（1）要证BD⊥平面PAC ，只需在平面PAC 上找到两条直线跟BD 垂直即证，显然AC BD ⊥，从PA ⊥平面ABCD 中可证PA BD ⊥，即证.(2)要证明平面PAB⊥平面PAE,可证 A E ⊥平面PAB 即可.【详解】（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA BD ⊥；因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥;因为PA AC A ⋂=,,PA AC ⊂平面PAC ,所以BD ⊥平面PAC .（2）证明：因为底面ABCD 是菱形且60ABC ∠=︒，所以ACD ∆为正三角形，所以AE CD ⊥,因为//AB CD ,所以AE AB ⊥；因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ,所以AE PA ⊥；因为PA AB A ⋂=所以AE ⊥平面PAB ，AE ⊂平面PAE ,所以平面PAB ⊥平面PAE .【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．（1）1,0a b ==；（2）4k <.【解析】【分析】（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可.【详解】解：（1）()g x Q 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，()g x ∴在[]2,3上单调递增()()()()min max 2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩. 解得1a =且0b =.（2）()0f x k ->Q 在(]2,5x ∈上恒成立所以只需()min k f x <.有（1）知()221112224222x x f x x x x x x -+==+=-++≥=--- 当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<.【点睛】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题.24．（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8.【解析】【分析】(1) 直线AB 斜率确定，由垂直关系可求得直线AD 斜率，又T 在AD 上，利用点斜式求直线AD 方程；（2）由AD 和AB 的直线方程求得A 点坐标，以M 为圆心，以AM 为半径的圆的方程即为所求.【详解】(1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3． 又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0．(2)由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩,得02x y =⎧⎨=-⎩, ∴点A 的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |= ∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．【点睛】本题考查两直线的交点，直线的点斜式方程和圆的方程,考查计算能力，属于基础题.25．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得CD ⊥平面P AD ，从而易得CD ⊥PD ；（Ⅱ）要证BD ⊥平面P AB ，关键是证明BD AB ⊥；（Ⅲ）在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点.【详解】（Ⅰ）证明：因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥P A .因为CD ⊥AD ，PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面P AD .因为PD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥PD .(II )因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥P A .在直角梯形ABCD 中，12BC CD AD ==，由题意可得AB BD ==， 所以222AD AB BD =+，所以BD AB ⊥.因为PA AB A =I ，所以BD ⊥平面P AB .（Ⅲ）解：在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点.证明：取P A 的中点N ，连接MN ，BN ，因为M 是PD 的中点，所以12MN AD P. 因为12BC AD P ，所以MN BC P . 所以MNBC 是平行四边形，所以CM ∥BN .因为CM ⊄平面P AB , BN ⊂平面P AB .所以//CM 平面P AB .【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定定理,以及直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.26．（Ⅰ） 证明见解析，详见解析；（Ⅱ）6a =.【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）依据直线与平面垂直的判定定理推证；（2）借助题设条件运用等积法建立方程求解.试题解析:（1）在图1中，易得//,BE AOC OE CD CD AO CD OC ⊥∴⊥⊥Q所以，在图2中，1,CD OC CD AO CD ⊥⊥∴⊥平面1A OC（2）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE , 1CD A O ⊥所以1A O ⊥平面BCDE21112362362,6332BCDE AO S a a a ∴⋅=⋅== 考点：空间线面垂直的位置关系和棱锥的体积公式等有关知识的运用．。
2021-2022学年高一数学上学期期末精选50题压轴题原卷
期末精选50题（压轴版）一、单选题1．（2021·贵州黔东南·高一期末）已知定义在R 上的函数()y f x =对于任意的x 都满足()()2f x f x +=，当11x -≤<时，3()f x x =，若函数()()()log 1a g x f x x a =->至少有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,5B ．()2,+∞C ．()3,+∞D ．()5,+∞2．（2021·河南·高一期末（文））已知,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,32ππβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin αβαβ=+，则tan()αβ-=（ ）AB ．1 C．2D23．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c +=-，则1tan 2tan()C B C +-的最小值为（ ）AB ．2C ．1 D．4．（2021·浙江浙江·高一期末）对于非空数集M ，定义()f M 表示该集合中所有元素的和.给定集合{2,3,4,5}S =，定义集合(){},T f A A S A =⊆≠∅，则集合T 的元素的个数为（ ） A ．11B ．12C ．13D ．145．（2021·安徽·合肥一六八中学高一期末）函数()12,0,2,0,x x x f x x +⎧-≥=⎨<⎩若123x x x <<，且()()()123f x f x f x ==，则()2123x f x x x +的取值范围是（ ）A ．10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦6．（2021·福建三明·高一期末）设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x -=，且当[)2,0x ∈-时，()2(2)f x x x =-+．若对任意[),x m ∈+∞，都有3()4f x ≤，则m 的取值范围是（ ）A ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高一期末（理））已知函数()b f x ax x=+，若存在两相异实数,m n 使()()f m f n c ==，且40a b c ++=，则||m n -的最小值为（ ）A B C D 8．（2021·上海市金山中学高一期末）设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,3A a π==2b 2c bc ++的取值范围为（ ）A ．(1，9]B ．(3，9]C ．(5，9]D ．(7，9]9．（2021·河南驻马店·高一期末（理））已知函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线()y g x =，若关于x 的方程()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[)0,3C ．[)2,3D ．)1,310．（2021·陕西阎良·高一期末）已知函数()()()sin 010f x x ωϕω=+<<，若存在实数1x 、2x ，使得()()122f x f x -=，且12x x π-=，则ω的最大值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．511．（2019·广东汕头·高一期末）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)2B ．()2,+∞C ．(D ．()1,2二、多选题12．（2021·湖北·沙市中学高一期末）已知函数2()2sin()3f x x ωπ=-，其中ω为常数，且(0,6)ω∈，将函数()f x 的图象向左平移24π个单位所得的图象对应的函数为偶函数，则以下结论正确的是（ ） A ．2ω=B ．点(,0)6π是()f x 的图象的一个对称中心C ．()f x 在[,]62ππ上的值域为[D ．()f x 的图象在5[0,]6π上有四条对称轴 13．（2021·浙江义乌·高一期末）已知函数()|cos 2|cos ||f x x x =+，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ） A ．()f x 在区间33,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．π是()f x 的一个周期C ．()f x 的值域为2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．()f x 的图象关于y 轴对称14．（2021·广东实验中学高一期末）已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中, a b R ∈，且的0ab ≠，若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（ ）A ．56f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．5()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是奇函数D ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数15．（2021·浙江浙江·高一期末）若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x ，当0x <时，23()22f x x ax a =++(a ∈R )，则下列说法正确的是（ ）A ．若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则0a <或48a <<B ．若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则48a <<C ．若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则8a >D ．若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则4a >16．（2021·重庆南开中学高一期末）已知函数22(2)log (1),1()2,1x x x f x x +⎧+>-⎪=⎨≤-⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）A ．12m <≤B ．11sin cos 0x x ->C ．3441x x +>-D ．2212log m x x ++10 17．（2021·广东·汕头市第一中学高一期末）已知函数f (x )满足：当-<3≤0x 时，|2|()32x f x +=-，下列命题正确的是（ ）A ．若f (x )是偶函数，则当03x <≤时，|2|()32x f x +=-B ．若(3)(3)f x f x --=-，则()()1g x f x =-在(6,0)x ∈-上有3个零点C ．若f (x )是奇函数，则()()1212,[3,3],14x x f x f x ∀∈--<D ．若(3)()f x f x +=，方程2[()](2)()20f x k f x k -++=在[3,3]x ∈-上有6个不同的根，则k 的范围为11k -<<18．（2021·浙江·高一期末）定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为 []a b ，，则称区间[]a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间 [],a b 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（ ）A ．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”B ．⎣⎦是 ()f x 的一个“完美区间”C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+19．（2021·湖南华容·高一期末）设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数.令()[]f x x x =-，以下结论正确的有（ ） A ．()1.10.9f -= B ．函数()f x 为奇函数 C ．()()11f x f x +=+ D ．函数()f x 的值域为[)0,1三、填空题20．（2021·北京西城·高一期末）设函数()sin f x x π=，()21g x x x =-+，有以下四个结论.①函数()()y f x g x =+是周期函数： ②函数()()y f x g x =-的图像是轴对称图形： ③函数()() y f x g x =⋅的图像关于坐标原点对称： ④函数()()f x yg x =存在最大值 其中，所有正确结论的序号是___________.21．（2021·西藏·拉萨中学高一期末）如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为___________.22．（2021·广东·深圳市高级中学高一期末）已知函数()4,44,4x x f x x x -≥⎧=⎨-+<⎩．若存在正实数k ，使得方程()kf x x=有三个互不相等的实根1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围是__________．23．（2021·安徽芜湖·高一期末）在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为(,)x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值,,r r xx y y分别叫做角α的正割､余割､余切，分别记作sec α，csc α，cot α，把sec ,csc ,cot y x y x y x ===分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号)①3cot14π=；②sin csc 1αα⋅=；③sec y x =的定义域为{}|,Z x x k k π≠∈； ④22sec csc 4αα+；⑤2cot 1cot22cot ααα-=.24．（2021·江苏盐城·高一期末）已知函数()2242,0log ,0482,4x x x f x x x x x ⎧---≤⎪=<≤⎨⎪-->⎩，方程()f x m =有六个不同的实数根1x 、2x 、3x 、4x 、5x 、6x ，则123456x x x x x x +++++的取值范围为________．25．（2021·广东潮阳·高一期末）函数())22ln41ax a xf x x a++=++，若()f x 最大值为M ，最小值为N ，[]1,3a ∈，则M N +的取值范围是______.26．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）已知函数()222131x x f x x =-++．若存在()1,4m∈使得不等式()()2432f ma f m m -++>成立，则实数a 的取值范围是________．27．（2021·浙江·高一期末）在ABC 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则22Sa bc+的最大值为______四、解答题28．（2021·浙江省三门第二高级中学高一期末）已知函数()cos cos sin 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1（1）求常数a 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若()35f α=，且α是第一象限角，求cos α的值．29．（2021·安徽阜阳·高一期末）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ(0A >，0>ω，2πϕ<)的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()4f x g x f x π⎛+=⎫⎪⎝⎭，若在()0,m 内存在唯一的0x ，使得()()0g x g x ≥对x ∈R 恒成立，求m 的取值范围.30．（2021·甘肃省会宁县第一中学高一期末）已知函数2()cos cos()6f x x x x π=-+．（1）求()f x 的最小正周期T ；（2）若()1(1)0n f x m ++-⋅>对任意的[,]44x ππ∈-和n *∈N 恒成立，求实数m 的取值范围．31．（2021·黑龙江·哈九中高一期末）已知函数()21x f x ax b+=+是定义域上的奇函数，且()12f -=-.（1）求函数()f x 的解析式，判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性并证明；（2）令()()ln h x f x x a =-+⎡⎤⎣⎦，设0a >，若对任意1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当[]12,,1x x b b ∈+时，都有()()12ln 4h x h x -≤，求实数a 的取值范围.32．（2021·浙江浙江·高一期末）已知函数()()2f x x x a =+，2()1x ag x x +=+，[]2,2a ∈-.（1）当1a =-时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若[]11,1x ∀∈-，∃唯一的[]20,2x ∈，使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围.33．（2021·内蒙古赤峰·高一期末（文））已知函数224()2x x f x x ++=+.（1）求函数f （x ）在区间[1,1]-上的最值；（2）若关于x 的方程（x +2）f （x ）-ax =0在区间（0，3）内有两个不等实根，求实数a 的取值范围.34．（2021·浙江浙江·高一期末）在海岸A 处，发现北偏东45︒方向，距离A 1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75︒方向，距离A 为2海里的C 处有一艘缉私艇奉命以/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30方向逃窜.（1）问C 船与B 船相距多少海里？C 船在B 船的什么方向？（2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间.35．（2021·安徽师范大学附属中学高一期末）已知函数()cos 14f x x x π⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭.（1）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()20f x mf x m --≤恒成立，求实数m 的取值范围；（2）是否同时存在实数a 和正整数n ，使得函数()()g x f x a =-在[]0,n π上恰有2021个零点?若存在，请求出所有符合条件的a 和n 的值；若不存在，请说明理由.36．（2021·江苏宿迁·高一期末）已知函数()()2cos 02,02f x x πωϕωϕ⎫=+<<<<⎪⎭． 请在下面的三个条件中任选两个解答问题．①函数()f x 的图象过点(0,；②函数()f x 的图象关于点12⎛ ⎝对称；③函数()f x 相邻两个对称轴之间距离为2． （1）求函数()f x 的解析式； （2）若12,x x 是函数()f x 的零点，求()12cos2x x π+的值组成的集合；（3）当 ()2,0a ∈-时，是否存在a 满不等式32()2f a f a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭？若存在，求出a的范围，若不存在，请说明理由.37．（2021·广东实验中学高一期末）已知函数()sin()0,||,24f x x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>≤=- ⎪⎝⎭为()f x 的零点，4x π=为()f x 图象的对称轴．（1）若()f x 在[0,2]π内有且仅有6个零点，求()f x ；（2）若()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，求ω的最大值．38．（2021·福建省福州第一中学高一期末）已知函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><，()f x 图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差2π，______；（1）①()f x 的一条对称轴3x π=-且()16f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭； ②()f x 的一个对称中心5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； ③()f x 向左平移6π个单位得到的图象关于y 轴对称且(0)0f > 从以上三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；（2）在（1）的情况下，令()()1cos 22h x f x x =-，()()g x h h x =⎡⎤⎣⎦，若存在,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得()()()2230g g x a x a +-+-≤成立，求实数a 的取值范围.39．（2021·上海交大附中高一期末）若定义域为R 的函数()y h x =满足：对于任意x ∈R ，都有()()()22h x h x h ππ=++，则称函数()y h x =具有性质P ．（1）设函数()y f x =，y g x 的表达式分别为()sin f x x x =+，()cos g x x =，判断函数()y f x =与y g x 是否具有性质P ，说明理由；（2）设函数()y f x =的表达式为()()sin f x x ωϕ=+，是否存在01ω<<以及πϕπ-<<，使得函数()sin y x ωϕ=+具有性质P ？若存在，求出ω，ϕ的值；若不存在，说明理由；（3）设函数()y f x =具有性质P ，且在0,2π上的值域恰为()()20,f f π⎡⎤⎣⎦；以2π为周期的函数y g x 的表达式为()()()sin g x f x =，且在开区间0,2上有且仅有一个零点，求证：()22f ππ=．40．（2021·浙江衢州·高一期末）如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上的两点，AB //CD . AD = BC =1，设AB =x ，四边形ABCD 的周长为f （x ）.（1）求函数f （x ）的解析式；（2）关于x 的方程4|()|f x t x-=在[2，6]上有两个不相等的实数根，求实数t 的取值范围； （3）△ABC 的面积的平方为g （x ），若对于[]12,6x ∀∈，[]22,6x ∀∈，使得12()()f x g x ≥+a 的取值范围.41．（2021·广东揭东·高一期末）如图，OAB 是边长为2的正三角形，记OAB 位于直线()0x t t =>左侧的图形的面积为()f t ．（1）求函数()f t 解析式；（2）当函数()() g t f t at =-有且只有一个零点时，求a 的值．42．（2021·浙江浙江·高一期末）设函数2()||f x ax x a =--，a ∈R .（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当12a -≤≤时，若对任意的[1,3]x ∈，均有()0f x bx +≤成立，求2a b +的最大值.43．（2021·河南驻马店·高一期末（理））已知函数()2021x f x =可以表示为一个奇函数()g x 与一个偶函数()h x 的和．（1）请分别求出()g x 与()h x 的解析式；（2）记()()()F x g x h x =⋅．（i ）证明：()F x 为奇函数；（ii ）若存在[]0,2x ∈，使得不等式()()39330x x x F F m -+⋅-<成立，求实数m 的取值范围．44．（2021·广东广州·高一期末）给定函数()()2222,,f x x x a a g x x x a a a R =+++=-+-∈．且,x R ∀∈用()M x 表示()f x ，()g x 的较大者，记为()()(){}=max ,M x f x g x ．（1）若1a =，试写出()M x 的解析式，并求()M x 的最小值；（2）若函数()M x 的最小值为3，试求实数a 的值．45．（2021·浙江浙江·高一期末）已知函数2()22,()2|1|f x x tx t g x x =-+-=-，函数()min{(),()}F x f x g x =，其中{},min ,.,p p q p q q p q ≤⎧=⎨>⎩（1）若()24f x t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围；（2）若6t ≥，①求使得()()F x f x =成立的x 的取值范围；②求()F x 在区间[0,6]上的最大值()M t ．46．（2021·北京市八一中学高一期末）设集合(){1,2,3,...,}2,n A n n n N =≥∈，集合n P A ⊆，如果对于任意元素x P ∈，都有1x P -∈或1x P +∈，则称集合P 为n A 的自邻集.记(1,)k n k n k N a ≤≤∈为集合nA 的所有自邻集中最大元素为k 的集合的个数. （1）直接判断集合{1,2,3,5}P =和{1,2,4,5}Q =是否为5A 的自邻集；（2）比较610a 和531010a a +的大小，并说明理由；（3）当4n ≥时，求证：121111...n n n n n n a a a a ----≤+++.47．（2021·江苏·南京市第十三中学高一期末）已知集合(){1,2,3,,2}A n n N *=∈，对于A的子集S 若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素1a 、2a ，都有12a a m -≠，则称S 具有性质P .（1）当10n =时，判断集合{|9}B x A x =∈>和{}|31,C x A x k k N *=∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由；（2）若1000n =时，①如果集合S 具有性质P ，那么集合{(2001)|}D x x S =-∈是否一定具有性质P ？并说明理由； ②如果集合S 具有性质P ，求集合S 中元素个数的最大值.48．（2021·江苏·南京市第十三中学高一期末）已知函数()x x f x a q a -=-⋅（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇函数，且()312f =． （1）求q 的值，并判断和证明()f x 的单调性；（2）是否存在实数m （2m >且3m ≠），使函数()()()222log 1x x m g x a a mf x --⎡⎤=+-+⎣⎦在[]1,2上的最大值为0，如果存在，求出实数m 所有的值；如果不存在，请说明理由．（3）是否存在正数k ，()1k ≠使函数()()22x x a a kf x x k ϕ-⎡⎤+-⎣⎦=在[]21,log 3上的最大值为k ，若存在，求出k 值，若不存在，请说明理由．49．（2021·江苏扬州·高一期末）若函数()f x 的图象关于点(),a b 中心对称，则对函数()f x 定义域中的任意x ，恒有()2(2)f x b f a x .如：函数()f x 的图象关于点()3,5中心对称，则对函数()f x 定义域中的任意x ，恒有()()106f x f x =--.已知定义域为[]0,22m +的函数()f x ，其图象关于点()1,m e +中心对称，且当[)0,1x m ∈+时，||()x m f x e -=，其中实数1m >-，e 为自然对数的底.（1）计算()1f m +的值，并求函数()f x 在[]0,22m +上的解析式；（2）设函数13()1g x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对任意[]10,22x m ∈+，总存在332(1),(1)x e e ⎡⎤∈--⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围.50．（2021·浙江·高一期末）设a 为正数，函数2()f x ax bx c =++满足(0)1f =且2()()f x f x a=- （1）若f (1)=1，求f (x )；（2）设2()log (2)g x x =-，若对任意实数t ，总存在x 1、x 2∈[t -1，t +1]，使得f (x 1)-f (x 2)≥g (x 3)-g (x 4)对所有x 3,x 4∈1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦都成立，求a 的取值范围.。