黑龙江--互为反函数的函数图象间的关系(高中数学教案)
高中数学必修一《互为反函数的函数图象间的关系》优秀教学设计
归纳总结:函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f－1(x)的图象关于直线y=x对称.
教学软件演示两函数图象关于直线y=x对称.
求反函数,画图.
观察思考并作出猜想
求反函数,画图.
观看动画演示,总结得出互为反函数的函数图象间的关系.
通过设疑,创设问题情境,激发学生学习兴趣.
采用动画演示功能创设生动、形象、直观的教学情景，来帮助同学理解和掌握，降低教学难度,使学生充分完成感性认识到理性认识的过渡.
教学环节
课
堂
练
习
教师活动
引导学生运用所学知识解题,板书解题思路.
点评学生解题情况
媒体运用
微机操作和演示
学生活动
练习1:已知函数y=f(x)(定义域为D,值域为A)有反函数y=f-1(x)，则方程f(x)=0有解x=a，且f(x)>x(x∈D)的充要条件是y=f-1(x)满足( )
A.f-1(a)=0且f-1(x)<x,x∈A
B.f-1(0)=a且f-1(x)>x,x∈A
C.f-1(0)=a且f-1(x)<x,x∈A
D.f-1(a)=0且f-1(x)>x,x∈A
练习2:若点A(1,2)既在函数
f(x)=的图象上，又在y=f(x)的反函数的图象上，求a,b的值.
练习3:已知函数
教学设计
课题：互为反函数的函数图象间的关系
教材分析：
这一节与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，了解互为反函数的函数图象间的关系并应用其解题，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后指、对函数的教学做好准备 , 起到承上启下的重要作用。
高中数学：2.1《互为反函数的函数图象间的关系》课件苏教版必修1
练习：①画出函数y=√x(x∈[0,+∞))的图象. 好画吗? 怎样转化,用我们学过的知识来画?
先画y=x2 (x∈[0,+∞))这个我们熟悉!
y
yx
yx
2
x y
0 0
1 1
2 4
3 … 9 …
y x
x
x y
0 0
1 1
4 2
9 … 3 …
3 例2、 已知函数f ( x) 1 2 x 3 ( x )有反函数， 且点(a, b) 2 在原函数图象上， 也在反函数图象上， 求a, b的值.
原函数图象与反函数图象关于直线y=x对称。
自学例1 求函数y=3x-2(x∈R)的反函数，并且画出原来的函
数 和它的反函数的图象。
解 ∵y=3x-2
x 2 函数y=3x-2(x∈R)的反函数为y= 3 y
x y x y 0 -2 -2 0
2 3
y2 ∴x= 3
y=3x-2
yx
0
1
y
x2 3
2、调（x, y）
3、注定（定义域）
2、函数y=2x2-3(x∈R)有没有反函数？ 为什么？ 如何改写定义域才能使其有反函数？
解: 没有; 因为它不是一一映射构成的函数； 把定义域改写为 (-∞,0]、[0,+∞)时它有 反函数.
二、探索研究
y 4 3 2 1 B -1 0 -1 1 2 3 4 A ●P(2,4) O’
（2）由上面各对称点的坐标之间关系可得出一般结 论：点P（a，b）关于直线 y＝ x对称的点 P’的坐标 是（ ）．
结论推广：
y f ( x)
x A yC
互为反函数
人教A版高中数学必修1《二章 基本初等函数 2.2 对数函数 互为反函数的两个函数图象之间的关系》赛课教案_10
一、教学说明：本节内容是学习了几个初等函数及其图象之后的一个拓展类知识，主要内容包括函数)(x f y =的反函数的存在问题及其反函数)(1x f y -=及其求法，原函数)(x f y =与反函数)(1x f y -=图象之间的关系两大块内容。
用特殊到一般的方法来探究原函数)(x f y =与反函数)(1x f y -=两个图象之间的对称关系，并逐步掌握及运用这些性质去解决一些具体问题。
在学生的探究过程中引导学生以信息技术为依托的数学研究方法，并努力拓展学生数学视野。
二、教学目标：1.理解反函数的概念及反函数的求法；2.探究并掌握原函数)(x f y =与反函数)(1x f y -=两个图象之间的对称关系，并理清两函数的定义域和值域之间的关系；三、教学重点与难点重点：理解反函数的概念及反函数的求法；难点：1. 理解反函数)(1x f y -=的概念及其求法；2. 从特殊点出发探究原函数)(x f y =与反函数)(1x f y -=两个图象之间的对称关系，并理清两函数的定义域和值域之间的关系；四、教学过程1．复习。
反函数的概念、反函数求法、互为反函数的函数定义域值域的关系。
求出函数y ＝x 3的反函数。
2．新课。
先让学生用几何画板画出y ＝x 3的图象，学生纷纷动手，很快画出了函数的图象。
有部分学生发出了“咦”的一声，因为他们得到了如下的图象（图1）：图1教师在画出上述图象的学生中选定生1，将他的屏幕内容通过教学系统放到其他同学的屏幕上，很快有学生作出反应。
生2：这是y ＝x 3的反函数y ＝的图象。
师：对，但是怎么会得到这个图象，请大家讨论。
（学生展开讨论，但找不出原因。
）师：我们请生1再给大家演示一下，大家帮他找找原因。
（生1将他的制作过程重新重复了一次。
）生3：问题出在他选择的次序不对。
师：哪个次序？生3：作点Ｂ前，选择x A 和x A 3为Ｂ的坐标时，他先选择x A 3，后选择x A ，作出来 的点的坐标为（x A 3，x A ），而不是（x A ，x A 3）。
《互为反函数的两个函数图象之间的关系》教学设计
《互为反函数的两个函数图象之间的关系》教学设计一.教材地位和作用：《互为反函数的两个函数图象之间的关系》是新课程标准人教A版必修一中课后探究与发现的内容，本课是在学生已经学习了指数函数和对数函数的性质图象之后，教材独立抽出的探究内容，虽位于教材的课后探究部分，但地位不容忽视，它承接了指数函数和对数函数性质的运用，又在其基础上加深了推导和联系，同时，本节内容为后期学习与导函数有关的距离问题中起到铺垫作用，是连接指数函数、对数函数与导数的一个衔接点，在高考中的地位不容忽视.二.教学目标：（1）知识与技能目标：了解互为反函数的两个函数图象之间的关系，并且能利用这一关系解决求参数，定义域和值域的问题.（2）过程与方法：由特殊例子出发，经过教师的引导，让学生探索得到互为反函数的两个函数图象间的关系，并在此过程中渗透数形结合的思想.（3）情感态度与价值观：通过探究互为反函数的两个函数图象之间的关系的过程，让学生体会用数形结合的方法解决数学问题的重要性，并感受数学的对称美，进而激发学生学习数学的兴趣.三.重点和难点：（1）重点：互为反函数的两个函数图象之间的关系，原函数与反函数的几个重要性质的推导和应用.（2）难点：原函数的定义域和值域之间的关系的推导和运用.四.学情分析：学生在学习了指数函数和对数函数的图象和性质之后，对不同的函数图象的性质和特征有了一定的了解，但知识层面还停留在单一的指数函数或者对数函数的图象的阶段，还不能够准确的探究归纳出两种图象之间的联系，所以，数形结合的思想和归纳概括、总结新知识的能力还有待训练，同时，运用图象来解决难题的方法有待学习和提高.五.教学方法：引导、合作探究法六.教学过程：1.温故知新（1）反函数存在性的判断：只有一一映射的函数才具有反函数，也就是一个对应一个的函数才具有反函数.教师活动：板书本课标题，并通过微课小视屏复习知识点—反函数的存在性判断的方法.学生活动：同教师一起复习回顾上节课所学的知识，快速回想判断一个函数是否存在反函数的方法，并通过视屏来检验自己上节课所学成果.（2）求一个函数（原函数）的反函数的步骤：①反解②互换自变量与因变量的位置③写出反函数的定义域.教师活动：抽学生口答求原函数的反函数的三步骤，并根据学生的回答情况给予反馈.学生活动：积极回答老师的问题，假如有问题的同学可以快速参考上节课所做的课堂笔记.2.提出问题（1）探究：求一次函数的反函数，并在坐标纸上画出原函数和反函数的图象，思考两函数的图象之间可能存在的对称关系.解：第一步：反解，由知，，第二步：互换自变量与因变量的位置，把互换位置后可以得到，第三步：写出反函数的定义域，所以，原函数的反函数为.（2）探究：求指数函数的反函数，并在坐标纸上画出原函数和反函数的图象，思考两函数的图象之间可能存在的对称关系.第一步：反解，由知，，第二步：互换自变量与因变量的位置，把互换位置后可以得到，第三步：写出反函数的定义域，所以，原函数的反函数为.3.探究新知（1）思考：根据坐标纸上的两个函数图象，思考是否原函数的图象过点，反函数的图象就过点？为什么？学生活动：小组讨论，探究思考老师提出的问题，并积极交流，共享方法.教师解答：由上一节课所学的知识，已知原函数的解析式，求其反函数的过程知存在对应关系：对于的自变量取时，函数值，所以曲线过点；对于，取时，，所以曲线一定过点.性质一：若原函数的图象过点，则反函数的图象必过点.例1：已知（1,2）既在的图象上，又在其反函数的图象上，求的值.解：由（1,2）在反函数的图象上，知（2,1）在的图象上，又因为点（1,2）在的图象上，所以，解得.例2：已知函数的图象经过点（1,7），其反函数的图象经过点（4,0），则的表达式为 .解：由（4，0）在反函数的图象上，知（0,4）在的图象上，又因为点（1,7）在的图象上，所以，即，解得，综上，.课堂练习：变式训练1：已知在定义域内存在反函数，且，求的值.变式训练2：已知函数的反函数的图象经过点（1，4），求的值.性质二：若原函数的定义域是，值域为，则反函数的定义域是，值域为.例3：设函数，则的定义域为（ ）A. B. C. D.例4：求函数的值域.（利用原函数与反函数的性质来求）答案：课堂练习：变式训练3：已知函数互为反函数，求的值.解：因为互为反函数，所以的定义域和值域相反，一方面，的定义域为，值域为，另一方面，的定义域为，值域为，所以，，则，函数过，则过，所以.综上，.性质三：原函数的图象与反函数的图象关于直线对称.例5：设点在曲线上，点在曲线上 ，则的最小值为（ ）A. B.C. D.变式训练4：设，又函数的图象关于对称，求的值.解：因为，则，所以，则.又因为函数的图象关于对称，所以函数互为反函数，令，即，解得，由原函数与反函数的性质可知， .4.课堂小结：由学生归纳总结本节课的内容：（1）复习回顾原函数和反函数的图象得出的过程；（2）归纳概括原函数与反函数的图象之间的关系；（3）熟记原函数和导函数的图象之间的三个性质.。
高中数学必修一《探究与发现 互为反函数的函数图像间的关系》优秀教学设计
教材：人教A版2003课标版必修一册上2.2探究与发现互为反函数的函数图像间的关系一、教材分析古希腊生物学家普罗塔戈说过：“头脑不是一个要被填满的容器，而是一把需被点燃的火把。
”因此，教师不应是“灌输者”，而应是“点火者”。
数学教学要充分发挥学生的主动性,启发学生积极主动地探索数学的奥妙,实现自主学习。
《新课标》也要求：教师应激发学生的学习积极性，帮助他们在动手实践、自主探索、合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
因此新课程理念下的高中数学教学应打破传统，从“灌输式”转变为“探究式”，将教学过程变成师生共同探索知识的过程。
在教学中教师要重视探索过程，采用问题教学法和主体性学习的教学模式，始终以学生的独立思考、自主探索、合作交流来开展数学学习活动，充分调动学生学习积极性，从而习得知识、经验和方法，提高学习兴趣，培养学习能力，形成情感、态度、价值观。
探究课是指教师运用探究技能让学生通过主动探索，相对独立地进行科学发现或创造，并由此获得科学活动的实际体验和经验。
数学课程标准强调，要培养学生的创新意识、实践能力。
学生的创新意识是在主动探索知识的过程中得到培养的，学生的实践能力是在运用知识解决问题的实践能力活动中得到发展的。
“探索是数学的生命线，没有探索就没有数学的发展”。
所以在课堂教学中实施探究性学习，势在必行.“探究与发现互为反函数的函数图像间的关系”是人教A版2003课标版必修一册上2.2节的探究与发现内容,教学需要一个课时，本节课是在学生学习完指数函数和对数函数定义与性质后淡淡的说了反函数定义,而我想有意识的培养学生的探究与归纳能力，从而设计了这节课！二、学情分析：从基础知识的角度看，学生在前面已经学习了函数的定义、对指数函数和对数函数的定义和性质、会画基本的函数图像、反函数的定义，因此具备了学习该部分内容的基础。
但由于高一学生还没有全面的适应高中的学习，观察归纳能力还有待提高，所以有必要让学生参与实践，用几何画板演示由特殊到一般的动态过程，发现规律，总结特点、归纳方法，让学生亲身经历探索认知过程。
人教A版高中数学必修1《二章 基本初等函数 2.2 对数函数 互为反函数的两个函数图象之间的关系》赛课教案_12
课题：互为反函数的函数图像间的关系教学设计教材：人教版教材必修1 反函数（第二课时）学目标依据教学大纲、考试说明及学生的实际认知情况，设计目标如下：1、知识与技能：（1）了解互为反函数的函数图像间的关系，并能利用这一关系，由已知函数的图像作出反函数的图像。
（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。
2、过程与方法：由特殊事例出发，由教师引导，学生主动探索得出互为反函数的函数图像间的关系，使学生探索知识的形成过程，本可采用自主探索，引导发现，直观演示等教学方法，同时渗透数形结合思想。
3、情感态度价值观：通过图像的对称变换是学生该授数学的对称美和谐美，激发学生的学习兴趣。
重点难点根据教学目标，应有一个让学生参与实践，发现规律，总结特点、归纳方法的探索认知过程。
特确定：重点：互为反函数的函数图像间的关系。
难点：发现数学规律。
教学结构创设情景，引入新课提出问题，探究问题习题精炼，深化概念总结反思，纳入系统布置作业，承上启下教学过程设计一、创设情景，引入新课 1、复习提问反函数的概念。
〇学生活动 学生回答，教师总结（1）用y 表示x （2）把y 当自变量还是函数 提出问题，探究问题一、 画出y=3x-2)(R x ∈的图像，并求出反函数。
●引导设问1原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系？ 〇学生活动 学生很容易回答原函数y =3x-2中 反函数32+=y x 中y:函数x ：自变量 x:函数y ：自变量 ●引导设问2原函数的点：(0,-2)、(1,1)、(2,4)、(3,7)…… 反函数的点：(-2,0)、(1,1)、(4,2)、(7,3)…… 引导设问3点P(a,b) 与P′的坐标(b.a)关于直线____对称.▲教师引导，活动：在一张白纸上绘制指数函数，然后将x ，y 轴对换，在背面形成了一个对数函数图像，并且用几何花板,演示指数函数与对数函数的图像的关系，总结互为反函数的两个函数图象关于y=x 对称二、引出新课 给出定理：函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数的图象关于直线 y = x 对称。
互为反函数的函数图象间的关系教学设计
互为反函数的函数图象间的关系教学设计Teaching design of the relationship between f unction images of reciprocal functions互为反函数的函数图象间的关系教学设计前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是高中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。
便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。
互为反函数的函数图象间的关系一、教学目标1.理解并掌握互为反函数的函数图像间的关系定理，运用定理解决有关反函数的问题，深化对互为反函数本质的认识．2.运用定理画互为反函数的图像，研究互为反函数的有关性质，提高解函数综合问题的能力．3.提高学生的形象思维与抽象思维相结合的逻辑思维能力，培养学生数形结合的数学思想和转化的数学思想．二、教学重点互为反函数的函数图象间的关系和数形结合的数学思想三、教学难点互为反函数的函数图象间的关系四、教学方法启发式教学方法五、教学手段多媒体课件六、教学过程（一）复习：1．求反函数的步骤（1解 2换 3注明）2．求出下列函数的反函数① y=2x+4（x∈r）（y=x/2 -2 x∈r）② y=6-2x （x∈r）（y=3- x/2 x∈r）③ y=x2（x≥0）（y=x1/2 x≥0）（二）新课导入1．分别将上述三个函数与其反函数的图象做在同一个直角坐标系中2．分析各图中互为反函数的函数图象间的关系3．给出定理：函数y=f（x）的图象和它的反函数y=f –1（x）图象关于直线y=x对称4．讲解例一：例1 求函数y=x3 （x∈r）反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图象。
互为反函数的函数图象间的关系课件
如果函数y=f(x)与其反函数 y=f^(-1)(x)的图象关于直线y=x 对称，则称函数y=f(x)与其反函 数y=f^(-1)(x)互为反函数。
反函数的性质
01
02
03
单值性
对于任意一个自变量x， 反函数f^(-1)(x)只有一个 因变量y与之对应。
对应性
对于任意一个因变量y， 反函数f^(-1)(x)只有一个 自变量x与之对应。
交换性
如果函数y=f(x)与其反函 数y=f^(-1)(x)的图象关于 直线y=x对称，则它们的 定义域和值域互换。
反函数的求法
代数法
通过解方程组来求反函数。首先将原 函数表示为x的函数，然后解出x，得 到反函数的解析式。
几何法
通过观察原函数的图象来求反函数的 图象。首先找到原函数的值域和定义 域，然后通过平移和对称变换得到反 函数的图象。
理解值域与定义域的互换是理解反函数的关键
掌握这一性质有助于理解反函数的定义和性质，以及如何从已知函数求得其反函数。
函数图象的交点
互为反函数的函数图象交点关于直线y=x对称
如果两个互为反函数的函数图象在某点$(a,b)$相交，那么它们必然关于直线y=x对称地 交于另一点$(b,a)$。这是因为互为反函数的两个函数满足$f(x)=y$和$f^{-1}(y)=x$，
当它们在$(a,b)$相交时，必然也在$(b,a)$相交。
交点的对称性是判断两个函数是否互为反数的重要依据
如果两个函数的图象没有交点或者交点不关于直线y=x对称，那么它们就不可能互为反 函数。
04
反函数的应用
在数学中的应用
函数性质研究
01
通过研究反函数的性质，可以深入了解原函数的性质，如单调
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课题：互为反函数的函数图像间的关系
教学过程设计
创设情景，引入新课
1、复习提问反函数的概念。
〇学生活动学生回答，教师总结（1）用y表示x（2）把y当自变量还是函数
提出问题，探究问题
一、画出y=3x-2)
(R
x∈的图像，并求出反函数。
●引导设问1原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系？
〇学生活动学生很容易回答
原函数y =3x-2中反函数3
2
+
=
y
x
中
y:函数x：自变量 x:函数y：自变量
●引导设问2在原函数定义域内任给定一个x0都有唯一的一个y0与之对应，即
()y
x
,在原函数图像上，那么哪一点在反函数图像上？
〇学因为y0=3x0-2成立，所以3
2
+
=
y
x成立即(y
,x0)在反函数图像上。
●引导设问3若连结BG，则BG与y=x什么关系？点B与点G什么关系？为什么？点B
再换一个位置行吗？
〇学生活动学生根据图形很容易得出y=x垂直平分BG，点B与点G关于y=x对称。
学生证法可能有OB=OG,BD=GD等。
▲教师引导教师用几何花板，就上面的问题追随学生的思路演示当()y
x
,在y =3 x-2图像变化时(y0,x0)也随之变化但始终有两点关于y=x对称。
●引导设问4若不求反函数，你能画出y=3x-2)
(R
x∈的反函数的图像吗？怎么画？
〇学生活动有了前面的铺垫学生很容易想到只要找出点G的两个位置便可以画出反函数的图像。
●引导设问5上题中原函数与反函数的图像，这两条直线什么关系？
〇学生活动由前面容易得出（关于y=x 对称）
●引导设问6若把l /
当作原函数的图像，那么它的反函数图像是谁？
〇学生活动由图中可以看出l l /
,关于y=x 相互对称所以他的反函数图像应是l ，另外由上节课原函数与反函数互为反函数也可得。
●引导设问7以上是一个特殊的函数，图像为直线，若对一个一般的函数图像你能根据上题的原理画出反函数的图像吗？如图是x y 3
=
的图像，请你猜想出它的反函数图像。
〇学生活动由上题学生不难得出做y=x 的对称图像（教师配合动画演示）
●引导设问8通过上面的两个问题我们可以得出原函数图像与反函数图像有什么关系？
▲ 学生总结，教师补充 结论（1）一个函数若存在反函数则原函数和反函数的图像关于
y=x 这条直线对称。
（2）一个函数若存在反函数则这两个函数许违反寒暑，若把其中一
个图像当作原函数图像则另一个图象便是反函数图像。
习题精炼，深化概念
●引导设问9根据图像判断函数x y 2
=有没有反函数？为什么？对自变量加上什么条件才
能有反函数？
函数的定义域值域有什么关系？
〇学生活动由上面结论很容易做出通过图形的样式使学生进一步认识到原函数的定义域值域是反函数的值域定义域。
总结反思，纳入系统： 内容总结：
1、
()y x 0
,在原函数图像上，那么(y 0
,x 0
)在反函数图像上。
2、()y x 00
,与(y 0
,x 0
)关于y=x 对称。
3、原函数和反函数的图像关于y=x 这条直线对称。
思想总结：
由特殊到一般的思想，数形结合的思想 布置作业，承上启下
个特殊的函数图像得出一般结论的。
我认为这样处理虽然可以使学生得出并记住这个结论，但学生对这个结论理解并不深刻。
这样处理也不利于培养学生严密的数学思维。
而我
对这节课的处理是在不增加教材难度的情况下（不严密证明）利用
()y x 0
,在原函数图像
上，那么(y 0
,x 0
)在反函数图像上这一性质，从图形上充分研究()y x 0
,与(y 0
,x 0
)的关系。
经讨论研究可得出结论“()y x 00
,与(y 0
,x 0
)关于y=x 对称”。
进而通过任意点的对称得出
原函数和反函数的图像关于y=x 这条直线对称，另外利用任意点来研究图像也是以后数学中经常用到的方法。
具体操作大致如下：首先请学生画出y=3x-2)(R x ∈的图像，并求出反函数，然后提出问题1：原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系？学生很容易得出原函数与反函数中的自变量，函数值正好对调即：原函数y =3x-2中
y:函数x ：自变量，反函数3
2+=y x 中x:函数y ：自变量。
问题2：在原函数定义域
内任给定一个x 0都有唯一的一个
y
与之对应，即()y x 0
0,在原函数图像上，那么哪一点在
反函数图像上？对于这个问题有了上题的铺垫，学生不难得出(y 0
,x 0)在反函数图像上。
问题3：若连结B
()y x 0
,，G (y 0
,x 0
)，则BG 与y=x 什么关系？点B 与点G 什么关系？为什
么？点B 再换一个位置行吗？对于这个问题的设计重在帮助学生理解()y x 0
,与(y 0
,x 0
)
为什么关于y=x 对称，突出本课重点和难点。
其它环节具体见教案。